Optimizacin

En la resolucin de problemas de optimizacin de funciones seguiremos los siguientes pasos:1. Plantear la funcin que hay que maximizar o minimizar.2. Plantear una ecuacin que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya ms de una variable.3.Despejar una variable de la ecuacin y sustituirla en la funcin de modo que nos quede una sola variable.4. Derivar la funcin e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.5. Realizar la 2 derivada para comprobar el resultado obtenido.

Concavidad y convexidad

Estudio de los intervalos de concavidad y convexidadf(x) = x3 3x + 2 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.f''(x) = 6x 6x = 0x = 0. 2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.Si f''(x) < 0 es cncava.Si f''(x) > 0 es convexa.Del intervalo ( , 0) tomamos x = 1, por ejemplo. f''(1) = 6(1) < 0 Cncava. Del intervalo (0, ) tomamos x =1, por ejemplo. f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

4. Escribimos los intervalos:Convexidad: (0, )Concavidad: (, 0)

Ejercicios

Puntos de inflexinEn los puntos de inflexin hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Clculo de los puntos de inflexinf(x) = x3 3x + 2 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:f'''(x) 0 Tenemos un punto de inflexin.f'''(x) = 6 Ser un punto de inflexin. 3. Calculamos la imagen (en la funcin) del punto de inflexin.f(0) = (0)3 3(0) + 2 = 2 Punto de inflexin: (0, 2)

Clculo de los puntos de inflexin conociendo los intervalos de concavidad y convexidadLos puntos de inflexin son los puntos de la funcin en que sta pasa de cncava a convexa o vicecersa.Ejercicios

Tenemos un punto de inflexin en x = 0, ya que la funcin pasa de concava a convexa.Punto de inflexin (0, 0)

Dominio

ProblemasObtener la ecuacin de la tangente a la grfica de f(x) = 2x3 6x2 + 4 en su punto de inflexin.f'(x) = 6x2 12xf''(x) = 12x 1212x 12 = 0x = 1 f'''(x) = 12 f'''(1) 0 f(1) = 0 Punto de inflexin: (1, 0)f(1) = 6 12= 6 = my 0 = 6(x 1)y = 6x + 6

La curva f(x) = x3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexin en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexin a la curva: f(x) = x 3x + 7x + 1.f'(x) = 3 x 2 6x+ 7 f''(x) =6 x 6 6 x 6 = 0 x= 1 f'''(x) =12 f'''(1) 0 f(1)= 6 Punto de inflexin: (1, 6)m t = f(1) = 4 m n = 1/4 Recta tangente: y 6 = 4 (x 1) 4x y + 2 = 0Recta normal: y 6 = 1/ 4 (x 1) x + 4 y 25 = 0

Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la grfica de la funcin f(x) tenga para x= 1 un punto de inflexin, y cuya recta tangente en ese punto forme un ngulo de 45 con el eje OX. f'(x) = 3 x2 + 2 ax + b f''(x) = 6x + 2a f'(1) = 1 3 + 2a + b = 1f''(1) = 0 6 + 2a = 0 a = 3 b = 4