EO

2012

GRUPO1

INTEGRANTES:

ZARATE SIERRA, JACK ZAVALA AlVAN, MARVIN

LLOPEZ GUARDAMINO, PEDRO

PROFESOR: ALEX CRUZ HUALPARA.

FACULTAD: MATEMÁTICA

CURSO: OPTIMIZACION

22/07/2012

Desarrollo de aplicaciones prácticas a diferentes

campos mediante la Programación Lineal

OPTIMIZACION

DEDICATORIA

Este trabajo en primer lugar se lo queremos dedicar a Dios, que durante todo este

tiempo nos estuvo acompañando, iluminando y guiándonos para llegar a nuestro

objetivo.

A nuestro profesor que con su dedicación, paciencia y profesionalismo nos dirigió

durante todo este trayecto, con el objetivo de enseñarnos e instruirnos para nuestro

futuro.

OPTIMIZACION

INTRODUCCION

El siguiente trabajo monográfico está orientado a desarrollar más a profundidad el

tema de Programación Lineal, ya que no solamente se trata de aprenderse

mecánicamente las formulas de las diferentes formas de soluciones, el propósito de

este trabajo es analizar las variables y los coeficientes a utilizarse.

Este tipo de problemas presentan una gran facilidad en su formulación y son

aplicables en distintas disciplinas (su empleo es f recuente en apl icaciones

de la industr ia, la economía, la estrategia mil i tar , etc) La simplicidad de

su planteamiento debida a la linealidad, ha permitido desarrollar algoritmos para su

resolución que han sido implementados en paquetes informáticos desde hace

algunas décadas

Un problema de programación lineal es un problema de optimización con

restricciones de igualdad y desigualdad con la particularidad de tener; tanto la

función objetivo, como las funciones que definen las restricciones todas ellas

lineales. La resolución de esta clase de problemas se conoce desde 1947 y es

debida a G. B. Dantzing.

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Historia de la programación lineal

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70); el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas.

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CONCEPTOS:

Programación Lineal (PL)

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden

resolver la siguiente situación.

El objetivo es Optimizar, una función objetivo, lo cual implica maximizar o minimizar

una función lineal de varias variables sujeta a: una serie de restricciones ó

limitaciones, expresadas por inecuaciones ó ecuaciones lineales.

Como se mencionó anteriormente la Función Objetivo se encuentra sujeta a un

conjunto de restricciones ó limitaciones como puede ser limitaciones al uso de un

recurso, como ejemplo podemos citar limitaciones a materia prima ó materiales,

horas de trabajo, mano de obra, dinero disponible, etc. Este tipo de problemas se los

conoce como problemas de decisión que a la vez se pueden expresar en forma

matemática, aquellos problemas donde la función objetivo y las restricciones se

expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de

programación lineal.

Un problema es lineal porque su función objetivo y restricciones que se imponen al

sistema son lineales, quiere decir que cumplen con las propiedades de

Proporcionalidad y Aditividad.

Proporcionalidad: El valor de cada variable, X1, X2……..Xn debe ser

directamente proporcional en la función objetivo y uso de los recursos, o sea

que las variaciones de las variables deben afectar en forma proporcional a la

función objetivo y al conjunto de restricciones.

Aditividad: Requiere que la función objetivo sea la suma directa de las

contribuciones de cada variable y las restricciones deben ser la suma de los

usos individuales de cada variable del recurso correspondiente. Como

ejemplo podemos mencionar dos productos que compiten en el mercado, si el

aumento en la venta de uno de ellos hace que la venta del otro sea menor,

entonces ambos productos no satisfacen la condición de aditividad.

OPTIMIZACION

Componentes básicos de la programación lineal:

Variables:

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

Restricciones:

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Donde:

A: valor conocido a ser respetado estrictamente

B: valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado

C: valor conocido que no debe ser superado

j= 1,2,3,…,m (número total de restricciones)

i=1,2,3,…,n

X: variables incógnitas

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Formulación de un programa lineal: Formas Estándar y Canónica

Un programa lineal se presenta en forma estándar cuando todas sus restricciones son de

igualdad y sus variables son no negativas.

Min (máx.): c1x1 + c2x2 +……..+ cnxn

Sujeto a: a11x1 + a12x2 +……..+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +……..+ a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 +……..+ amnxn = bm

x1, x2, x3,…., xn≥0

Un programa lineal se presenta en forma canónica cuando todas sus restricciones son de

desigualdad y sus variables son no negativas.

Para el caso de minimización se tiene:

Min: c1x1 + c2x2 +……..+ cnxn

Sujeto a: a11x1 + a12x2 +……..+ a1nxn ≥b1

a21x1 + a22x2 +……..+ a2nxn ≥b2

am1x1 + am2x2 +……..+ amnxn ≥bm

x1, x2, x3,…., xn≥0

OPTIMIZACION

Para el caso de maximización se tiene:

Max: c1x1 + c2x2 +……..+ cnxn

Sujeto a: a11x1 + a12x2 +……..+ a1nxn ≤b1

a21x1 + a22x2 +……..+ a2nxn ≤b2

am1x1 + am2x2 +……..+ amnxn ≤bm

x1, x2, x3,…., xn≥0

Métodos de resolución de una programación lineal:

Método grafico:

El procedimiento gráfico comienza elaborando una gráfica que muestre las soluciones

posibles (valores X1 y X2). La gráfica tendrá valores los valores X1 en el eje horizontal y los

valores X2 en el eje vertical. El procedimiento para hallar la solución gráfica consiste en lo

siguiente:

Para cada inecuación del sistema de restricciones (medio espacio cerrado) se toma la recta

correspondiente y se determinan los interceptos con la gráfica. Si la recta pasa por el

origen del eje de coordenadas, el término independiente es cero, entonces se traza la recta

tomando el origen y otro punto determinado dando un valor arbitrario a una de las

variables.

Para determinar los puntos que satisfacen cada inecuación se sustituye un punto

cualquiera del espacio (se recomienda el origen cuyas coordenadas son (0,0)), y de esta

forma se determina si los puntos que satisfacen la misma están hacia el lado que está el

origen o hacia el lado contrario, señalando con una flecha ese lado. Cuando la recta pasa

por el origen entonces se toma otro punto cualquiera pero que sean sencillos los valores de

sus coordenadas, por ejemplo, ( 0,1) , (1,0 ), (1,1), etc.

Luego se determina la región solución que es la región del plano que satisface todas las

restricciones al mismo tiempo y que debe estar en el primer cuadrante. La figura formada

es un poliedro convexo que tiene un conjunto de puntos extremos.

Se busca el punto óptimo entre el conjunto de puntos extremos. Para eso se sustituye cada

par de puntos (X1, X2) de los puntos extremos en la función objetivo y se calcula el valor

de Z. Si se está maximizando el valor de la misma, el punto óptimo será aquel que

proporcione el valor mayor para Z y si el criterio de optimización es de minimizar,

entonces el punto óptimo será aquel que proporcione el valor mínimo de Z.

Una desventaja del método grafico es que generalmente es aplicable para 2 variables.

OPTIMIZACION

Ej.:

Max: Z= 20x + 25y

Sujeto a: 3x + 2y ≤ 12

x + 2y ≤ 8

x, y≥0

La región factible seria:

Solución:

Z(0, 0) = 20(0) + 25(0) = 0

Z (0, 4) = 20(0) + 25(4) = 100

Z(2, 3) = 20(2) + 25(3) = 115

Z(4, 0) = 20(4) + 25(0) = 80

Los valores óptimos son:

Valor Optimo: 115

Vértice Optimo: (2,3)

OPTIMIZACION

Método matricial: (Búsqueda exhaustiva de soluciones básicas)

Representemos la P.L.:

Min (máx.): c1x1 + c2x2 +……..+ cnxn

Sujeto a: a11x1 + a12x2 +……..+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +……..+ a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 +……..+ amnxn = bm

x1, x2, x3,…., xn≥0

Consideremos:

CT= (c1, c2,…., cn)

XT= (x1, x2,…., xn)

BT= (b1, b2,…., bm)

A =

Podemos escribir dicho programa como:

Min (máx.): CTX

Sujeto a: AX = B

X≥0

Sea:

P1= ; P2= ; ……. ; Pn=

Si Rang(A)= Rang(A, B)= m y si Ab es una matriz cuadrada de orden “m” no

singular (Ab es inversible; significa que las columnas de A son l.i.) .

→ Xb= Ab-1.B es solución factible

OPTIMIZACION

Ej.:

Max: 3x1 + 2x2

Sujeto a: 3x 1+ x2 ≤ 9

x 1+ 2x2 ≤ 8

x1 , x2≥0

En forma estándar:

Max: 3x1 + 2x2

Sujeto a: 3x 1+ x2 + x3= 9

x 1+ 2x2 + x4= 8

x1 , x2, x3, x4≥0

C= ; B= ; A= ; X= ; (A, B)=

Rang (A) = 2; Rang (A, B) =2

P1= , P2= , P3= , P4=

De:

(P1P2)= =Ab → Ab-1=

Luego:

Xb= Ab-1.B → = . =

x1=2 , x2=3 posible solución

De:

(P1P3)= =Ab → Ab-1=

Luego:

Xb= Ab-1.B → = . =

x1=8 , x3=-16 no es solución

OPTIMIZACION

De:

(P1P4)= =Ab → Ab-1=

Luego:

Xb= Ab-1.B → = . =

x1=3 , x4=5 posible solución

De:

(P2P3)= =Ab → Ab-1=

Luego:

Xb= Ab-1.B → = . =

X2=4, x3=5 posible solución

De:

(P2P4)= =Ab → Ab-1=

Luego:

Xb= Ab-1.B → = . =

X2=9, x3=-10 no es solución

Entonces el máximo esta en:

x1 =2 , x2=3 → 3(2)+2(3)=12

OPTIMIZACION

Método Simplex:

Simplex Tabular

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX,

vamos a resolver el siguiente problema:

Maximizar Z= f(x, y)= 3x + 2y

sujeto a: 2x + y 18

2x + 3y 42

3x + y 24

x 0 , y 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para

convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:

2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 24

2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de

las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de

la función objetivo:

Tabla I . Iteración nº 1

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x y h s d

h 2 1 1 0 0 18

s 2 3 0 1 0 42

d 3 1 0 0 1 24

OPTIMIZACION

Z -3 -2 0 0 0 0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila,

la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente

negativo mayor (en valor absoluto).

En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior,

entonces se elige uno cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha

alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de

aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos

negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En

color azulado).

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada

término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la

columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso:

18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el

caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos

una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente

positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la

base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado).

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las

variables correspondientes pueden salir de la base.

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote

operacional, 3.

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5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la

fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes

términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las

otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

También se puede hacer utilizando el siguiente esquema:

Fila del pivote:

Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)

Resto de las filas:

Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)

Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):

Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42

- - - - - -

Coeficiente 2 2 2 2 2 2

x x x x x x

Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8

= = = = = =

Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26

Tabla II . Iteración nº 2

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x y h s d

h 0 1/3 1 0 -2/3 2

s 0 7/3 0 1 -2/3 26

x 1 1/3 0 0 1/3 8

Z 0 -1 0 0 1 24

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado

todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

OPTIMIZACION

A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde

al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última

columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:

2:1/3 [=6], 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8]

y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de

holgura que sale es h.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:

Tabla III . Iteración nº 3

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x y h s d

y 0 1 3 0 -2 6

s 0 0 -7 0 4 12

x 1 0 -1 0 1 6

Z 0 0 3 0 -1 30

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no

hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde

al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última

columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:

6/(-2) [=-3], 12/4 [=3], y 6:1 [=6]

y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de

holgura que sale es s.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

OPTIMIZACION

Obtenemos la tabla:

Tabla IV. Final del proceso

Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

x y h s d

y 0 1 -1/2 0 0 12

d 0 0 -7/4 0 1 3

x 1 0 -3/4 0 0 3

Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos,

hemos llegado a la solución óptima.

La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores

solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice

donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de

decisión que han entrado en la base: D (3,12)

APLICACIÓN:

La NORI & LEET CO., una de las mayores productoras de acero del mundo occidental, está

localizada en la ciudad de Steeltown y es la única empresa grande de la localidad.

Steeltown ha crecido y prosperado junto con la compañía, que de momento emplea a

cerca de 50.000 residentes. La actitud de los residentes h a s i d o s i e m p r e f a v o r a b l e

a l a c o m p a ñ í a ; s i n e m b a r g o , e s t a a c t i t u d e s t á c a m b i a n d o , y a q u e

l a contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la planta

está en camino de arruinar la apariencia de la ciudad y de poner en peligro la salud de sus

habitantes. Como resultado, después de una revuelta de los accioni stas se eligió un

nuevo consejo directivo más responsable. Los nuevos directores han decidido

seguir políticas de responsabilidad social y realizar consultas con las autoridades de

la ciudad y con grupos de ciudadanos para tomar medidas respecto a la contaminación

ambiental. Juntos han establecido estándares rigurosos de calidad del aire para la

ciudad de Steeltown. Los tres tipos principales de contaminantes son partículas de

materia, óxidos de azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que

la compañía reduzca su emisión anual de estos contaminantes en las siguientes

cantidades presentadas en la tabla Nº I. E041l consejo directivo ha dado instrucciones a la

gerencia para que el personal de ingeniera determine como lograr estas reducciones en la

forma más económica. La fabricación de acero tiene 2 fuentes principales de

contaminación, los altos hornos para fabricar el arrabio y los hornos de hogar abierto

para transformar el hierro en acero. En ambos casos, los ingenieros determinaron que los

métodos de abatimiento más efectivos son: 1) aumentar la altura de las chimeneas,2) usar

filtros (incluyendo trampas de gas) en las chimeneas y 3) incluir limpiadores de

OPTIMIZACION

alto grado en los combustibles de los hornos. Todos estos métodos tienen

limitaciones tecnológicas en cuanto al nivel en que pueden usarse (por ejemplo,

un incremento factible máximo en la altura de las chimeneas), pero t am bié n

e x i s t e un a g ra n f l ex ib i l i da d pa r a u sa r e l mé t od o e n c ua l qu i e r n i ve l

f r acc io na r i o de s u l ími t e tecnológico.

La tabla II se muestra la cantidad de emisión (en millones de libras anuales) que se puede

eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo límite

tecnológico. Para fines de análisis, se supone que cada método se puede usar a un nivel

menor para lograr cualquier fracción en las reducciones de las tasas de emisión mostradas en

la tabla. Además, para cualquiera de los hornos, el uso simultáneo de otro método no afecta de

manera significativa la reducción de emisiones que alcanza cada uno de ellos.

Tabla NO III Costo anuales totales (millones de dólares)

Altos hornos Hornos de hogar abierto

Partículas 8 10

Óxidos de azufre 7 6

Hidrocarburos 11 9

Después de obtener estos datos, quedó claro que ningún método por si solo podría lograr las

reducciones requeridas. Por otro lado, la combinación de los tres métodos a toda su capacidad

(lo que sería demasiado caro si se quiere que los productos sigan siendo competitivos en

precio) resulta mucho mayor de lo que se pide. Por todo esto, la conclusión de los

ingenieros fue que tendrían que usar alguna combinación de métodos, tal vez con

capacidades fraccionarias, con base en sus costos relativos. Lo que es más, debido a las

OPTIMIZACION

diferencias los altos hornos y los hornos de hogar abierto, es probable que la combinación sea

diferente para cada tipo de horno. Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo

total anual de cada método de abatimiento. El costo total an ua l de u n mé t od o

i nc lu ye e l aume nt o e n l o s ga s to s de o pe ra c ió n y ma nte n imie n t o , a l i gua l

q ue l a reducción en los ingresos debida a cualquier pérdida de eficiencia en el proceso de

producción que pudiera resultar por el uso del correspondiente método. El otro costo

importante que se debe tener en cuenta es el capital inicial requerido para instalar el método.

Para hacer que este costo único fuera conmensurable con los costos anuales, se usó el

valor del dinero en el tiempo para calcular el gasto anual (sobre el tiempo

esperado de vida del método) que será equivalente a este costo fijo inicial. El análisis

proporcionó estimaciones de los costos anuales totales (en millones de dólares)

dados en la tabla Nº III, en que se incurren al usar los métodos a toda su

capacidad de abatimiento. También se determinó que el costo de un método que

se utiliza a un nivel menor es esencialmente proporcional a la capacidad

fraccional de la capacidad de abatimiento dada en la tabla Nº III que se logra.

Entonces, para cualquier fracción lograda, el costo anual seria en esencia la fracción de la

cantidad correspondiente en la tabla Nº II. En este momento, todo está listo para desarrollar el

marco general del plan de la compañía para disminuir la contaminación.

Definición de variables de decisión: Xij = fracción por año del método i (1, 2, 3) utilizado

en el tipo de horno j (1, 2)

i (1: Partículas, 2: Óxidos de Azufre, 3: Hidrocarburos)

j (1: Altos hornos, 2: Hornos de hogar abierto)

Función objetivo: Min 8X11 + 10X12 + 7X21 + 6X22 + 11X31 + 9X32

Sujeto a: 12X11 + 9X12 + 25X21 + 20X22 + 17X31 + 13X32≥60

35X11 + 42X12 + 18X21 + 31X22 + 56X31 + 49X32≥150

37X11 + 53X12 + 28X21 + 24X22 + 19X31 + 20X32≥125

X11 + X12 + X21 + X22 + X41 + X32≥1

Xij≥0

OPTIMIZACION

Con la ayuda del programa Lingo se tiene que:

Se considero que:

x1=X11; x2=X12; x3=X21; x4=X22; x5=X31; x6=X32

OPTIMIZACION

Conclusiones:

Se pedía minimizar los costos de aplicar métodos para reducir la contaminación producida

por partículas de materia, oxido de azufre e hidrocarburos, en el cual se obtiene que:

Se gastaría 29.8 millones de dólares, aplicando 0.4 años el método de chimeneas más altas

para las emisiones de partículas de materia de los hornos de hogar abierto y 4.2 años el

método de colocar filtros en los hornos de hogar abierto.

Aportes:

Así como se utilizo el programa LINGO, también una variedad de programas matemáticos

para la resolución de problemas de Programación Lineal:

TABLEAU (http://www.slideshare.net/alexandergts/programacin-lineal-2886624)

SOLVER de EXCEL

(http://www.slideshare.net/alexandergts/programacin-lineal-2886624)

LINDO (http://mat.uab.es/~mzakyn/lunes_30_10_06.pdf),

(http://www.investigacion-operaciones.com/Software/Winqsb.zip)

WinQSB (http://www.investigacion-operaciones.com/Software/Manual%20WinQSB.pdf)

Prglinhttp (http://www.investigacion-operaciones.com/Software/prglin.exe)

InvOp (http://www.investigacion-operaciones.com/Software/invop.zip)