Optimización

Asesor: Alfredo Huerta Durán

October 22, 2011

Sugerencias útiles.a) Desarrolle una actitud positiva y analítica. Lea el problema lentamente.b) Cuando sea necesario, dibuje una ilustración.c) Introduzca variables y fíjeseen toda relación que exista entre ellas.d) Utilizando todas las variables necesarias, establezca una función que deba ser maximizada o minimizada. Si se usa

más de una variable, entonces emplee una relación entre ellas para reducir la función a una variable.e) Haga notar el intervalo en el cual la función está de�nida. Determine todos los valores críticos.d) Si la función que va a ser maximizada o minimizada es continua y de�nida en un intervalo cerrado [a, b], entonces

pruebe si hay extremos en las fronteras. Si el extremo deseado no ocurre en la frontera, debe ocurrir en un valor críticodentro del intervalo abierto (a, b).

f) Si la función que va a ser maximizada o minimizada está de�nida en un intervalo que no es cerrado, entonces debeemplearse un criterio de derivada en cada valor crítico.

Ejemplos.

Ejemplo 1. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 15 tales que el producto de uno con el cuadradodel otro sea máximo.

a) No es posible hacer un dibujo o esquema.

b) Denótese por x y los dos números no negativos; esto es x ≥ 0 & y ≥ 0. Nótese que está dado que:

x+ y = 15

c) Denotamos por P el producto:

P = x y2

Entonces:

x+ y = 15 =⇒ y = 15− x

para expresar P sólo en términos de x:

P (x) = x (15− x)2

d) La función P (x) está de�nida solamente para 0 ≤ x ≤ 15, puesto que, si x > 15,entonces y = 15− x sería negativo, contrario a las condiciones dadas.Ahora bien, por la regla del producto:

P ′(x) = (2x) (15− x) (−1) + (15− x)2 = 0

P ′(x) = (15− x) (15− 3x) = 0

Así que el único valor crítico en (0, 15) es x = 5.e) La prueba en los puntos frontera del intervalo revela que P (0) = P (15) = 0 es el valor mínimo del producto.Por consiguiente, P (5) = 5(10)2 = 500 debe ser el valor máximo. Los dos números no negativos son 5 y 10.

Ejemplo 2. Se desea hacer un corral de forma rectangular con 100m de malla, para encerrar algunos pollos,¾cuál deben ser las dimensiones del corral para cubrir el área máxima?

1

En primer lugar dibujaremos la situación que se nos plantea. Si x representa el ancho & y representa el largo, tendríamosque el perímetro es de 2x + 2y, como sólo contamos con 100 m de mall, entonces este perímetro deb ser igual a 100: esdecir:

2x+ 2y = 100

Expresamos a y en términos de x, para trabajar con una sola variable, por lo que

2x+ 2y = 100

2y = 100− 2x

y =100− 2x

2

y = 50�x

El área de un rectángulo es base por altura por lo que el área deseada puede expresarse como:

A = x y

Puesto que y expresado en términos de x es (50�x)

A = x (50�x)

Y puede escribirse

A = 50x�x2

El área en función del ancho es

A(x) = 50x�x2

Como es una función cuadrática, los resultados se comportan grá�camente como una parábola. Esto signi�ca que tieneun valor máximo que se obtiene con el vértice, y es precisamente lo que necesitamos saber.

El x del vértice se obtiene mediante el eje de simetría:

x = − b

2a

En este caso x = − 50(2)(−1) = 25

Esto signi�ca que el área máxima se obtiene cuando el largo es 25, y la longitud del ancho la determinamos por laformula y = 50�x.

y = 50�25 = 25

Por consiguiente la �gura que con un perímetro de 100 m encierra el área máxima es un cuadrado de 25m de lado yel área máxima es de 625m2 .

Ejemplo 3. Tiro parabólico. Alcanse vs Ángulo.

El movimiento de vuelo libre de un proyectil se estudia en términos de sus componentes rectangulares, dado que laaceleración del proyectil siempre actúa en dirección vertical. Para el análisis del movimiento se hacen dos suposiciones:

i) La aceleración de caída libre (aceleración de la gravedad: g = 9.81ms2 es constante en todo el intervalo de movimiento yestá dirigidahacia abajo.

ii) El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse, la única fuerza que actúa es el propio peso del proyectil.El alcance horizontal R de un proyectil está dado por:

R(θ) =v20gsen(2θ),

0 ≤ θ ≤ π2

0 ≤ θ ≤ 900

R′(θ) = 2v20gcos(2θ) = 0, con 2

v20g

∦ 0

⇒ cos(2θ) = 0 ⇒ 2θ = arccos(0) ⇒ 2θ =π

2= 900

∴ θ =π

4= 450

Para lograr el máximo alcance, el proyectil debe ser disparado a un ángulo de 450 con la horizontal.

2

Ejemplo 4. Abrevadero de 20 [ft] de largo tiene sus extremos en forma de triángulos isósceles cuyos ladosiguales son de 4 [ft] de longitud. Determinar la anchura en la parte superior de un extremo triangular, de maneraque el volumen del abrevadero sea máximo.

Su volumen es: V =(área del extremo triangular) (longitud).

El área esA(x) = 12 (b h) = 2[12 (x2 )(

√16− x2

4 ) se aplicó el teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2

V (x) = (x

2

√16− x2

4) (20) = 5x

√64− x2

Además, V (x) solamente tiene sentido en el intervalo cerrado [0, 8]. (¾Por qué? Cuando V (0) = V (8) = 0)Derivando y simpli�cando se obtiene

V ′(x) = −10x2 − 32√64− x2

= 0 =⇒ x = 4√

2

V ′(4√

2) = 160 ft3

Ejemplo 5. Un terreno rectangular que tiene 1500m2 va a ser cercado y dividido en dos porciones igualesmediante una cerca adicional paralela a dos de los lados. Encontrar las dimensiones del terreno que requieren lamenor cantidad de cerca.

Se introducen las variables x & y de forma que x y = 1500, Entonces la función que se desea minimizar es la suma de laslongitudes de las cinco porciones de cerca :

L(x) = 2x+ 3y

Pero y = 1500x permite escribir

L(x) = 2x+1500

x

en donde el único requisito para la variable x es que sea no negativa. Así que, a diferencia de los ejemplos anteriores,la función que se está considerando no está de�nida en un intervalo cerrado. De

L′(x) = 2− 4500

x2= 0 ⇒ x2 = 2250

∴ x = 15√

10

Calculamos la segunda derivada

L′′(x) =13, 500

x3⇒ L′′(15

√10) > 0

Ejemplo 6. Una caja rectangular se fabrica con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho, dela cual se cortan cuadrados idénticos a partir de las cuatro esquinas y se doblan los lados hacia arriba. Determinelas dimensiones de la caja de volumen máximo. ¾Cuál es ese volumen?

Sea x el ancho del cuadrado que se cortará y V el volumen de la caja resultante. Entonces

V (x) = x (9− 2x) (24− 2x) = 216x− 66x2 + 4x3

Ahora, x no puede ser menor que 0 ni mayor que 4.5. Por lo tanto, nuestro problema es maximizar V en [4.5]. Por lotanto, nuestro problema es maximizar. Los puntos estacionarios se determinan haciendo dV

dx = 0 y resolviendo la ecuaciónresultante:

dV

dx= 216− 132x+ 12x2 = 12 (18− 11x+ x2) = 12 (9− x) (2− x) = 0

Esto da x = 2 ó x = 9, pero 9 no está en el intervalo [4.5]. Vemos que sólo existen tres puntos críticos 0, 2 y 4.5. Enlos puntos fronterizos 0 y 4.5, V = 0; en 2.

V (2) = 216(2)− 66(2)2 + 4(2)3 = 200

Concluimos que la caja tiene un volumen máximo de 200 pulgadas cúbicas, si x = 2, esto es, si la caja es de 20 pulgadasde largo, 5 de ancho y 2 de profundidad.

3

Ejemplo 7. Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 64 cm3de volumen. Hallarlas dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal (área total) sea mínima, en el caso en que (a) Elrecipiente sea abierto y b) Sea cerrado.

Sean r y h el radio de la base y la altura en cm, A la cantidad de metal y V el volumen del recipiente.a) V = πr2h = 64 cm3 y A = 2πrh+ πr2

Para expresar A en función de una sola variable se despeja h de la primera relación y se sustituye en la segunda;resulta:

A = 2πr (64

πr2) + πr2 =

128

r+ πr2

dA

dr= −128

r2+ 2πr =

2 (πr3 − 64)

r2= 0

El valor crítico es r = 43√π

Por lo tanto, h = 64πr2 = 4

3√π, y r = h = 4 3

√π cm

b)V = πr2h = 64 cm3 y A = 2πrh+ 2πr2

A = 2πr (64

πr2) + 2πr2 =

128

r+ 2πr2

dA

dr= −128

r2+ 4πr =

4 (πr3 − 32)

r2= 0

El valor crítico es r = 4 3

√4π

Por lo tanto, h = 64πr2 = 4 3

√4π , y h = 2r = 4 3

√4π cm

Ejemplo 8. El coste total de producción de x unidades diarias de un producto es de 14x

2 + 35x + 25 pesos,y el precio de venta de una de ellas es de (50 − 1

4x) pesos. A) Hallar el número de unidades que se deben venderdiariamente para que el bene�cio sea máximo. B) Mostrar que el coste de producción de una unidad tiene un mínimorelativo.

A) El bene�cio de la venta de x unidades diarias es P = x (50− 12x)− ( 1

4x2 + 35x+ 35)

dP

dx= 15− 3x

2= 0

El valor crítico es x = 10

B) El coste de producción de una unidad es C =14x

2+35x+25

x ⇒ dCdx = 1

4 −25x2 = 0

El valor crítico es x = 10

Ejemplo 9. El coste del combustible que consume una locomotora es proporcional al cuadrado de la velocidady vale $1, 600 por hora cuando la velocidad es de 40 km

hr . Independientemente de la velocidad, el coste por hora seincrementa, por otras causas, en $3, 600 pesos por hora. Calcular la velocidad a la que debe ir la locomotora paraque el coste por kilómetro sea mínimo.

Sea v la velocidad y C el coste total por km. El coste de combustible por hora es kv2, siendo k una constante que podemosdeterminar sabiendo que para v = 40, kv2 = 1, 600 v2 = 1, 600., de donde resulta que k = 1.

C[ $km ] =

coste ( $hr )

velocidad ( kmhr )

= v2+3,600v = v + 3600

v

dC

dv= 1− 3, 600

v= 0

El valor crítico para v = 60. Así pues, la velocidad más económica es la de 60kmhr .

Ejemplo 10. Suponga que un pez nada río arriba con velocidad relativa al agua v y que la corriente del ríotiene velocidad −vc (el signo negativo indica que la velocidad de la corriente es en dirección opuesta a la del pez).La energía empleada en recorrer una distancia a contracorriente es directamente es proporcional al tiempo requeridopara recorrer la distancia d y el cubo de la velocidad. ¾Qué velocidad v minimiza la energía empleada en nadar estadistancia?

4

Como la velocidad del pez a contra corriente es v− vc, tenemos d(v− vc)t, donde t es el tiempo requerido. Así, t = dv−vc .

Por lo tanto, para un valor �jo de v, la energía requerida para que el pez recorra la distancia d es:

E(v) = kdv3

v − vc

El dominio de la función E es el intervalo abierto (vc, ∞). Para determinar el valor de v que minimiza la energíarequerida hacemos E′(v) = 0 y despejamos a v:

E′(v) = kd(v − vc)(3v2)− (v3)(1)

(v − vc)2=

kd

(v − vc)2(v2)(2v − 3vc) = 0

El único punto crítico en el intervalo (vc, ∞) se determina resolviendo 2v − 3vc = 0, que lleva a v = 32vc. El intervalo

es abierto, por lo que no existen puntos fronterizos que veri�car. El signo de E′(v) depende por completo de la expresión2v − 3vc, ya que las otras expresiones son positivas.

Si v < 32vc, entonces 2v − 3vc < 0, por lo que E es decreciente a la izquierda de 3

2vc.Si v > 3

2vc, entonces 2v − 3vc > 0, por lo que E es creciente a la derecha de 32vc.

Por lo tanto, con base en la prueba de la primera derivada, v = 32vcproduce un mínimo local. Ya que éste es el único

punto crítico en el intervalo (vc, ∞), esto debe dar un mínimo global.Por lo tanto, la velocidad que minimiza la energía empleada es una y media veces la rapidez de la corriente.

Ejemplo 11. La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante PV = K dondeP es la presión, V el volumen y K una constante. Si la presión está dada por la expresión : P (t) = 30 + 2t con P encm de Hg, t en segundos; el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razón de cambio del volumen V con respectoal tiempo t a los 10 segundos.

Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen respecto del tiempo en el instante t = 10 s,o sea, el valor de la derivada dV

dt calculada en t = 10. La idea será entonces expresar el volumen V en función del tiempot.

La ley de Boyle establece que PV = K

V (t) =k

P (t)

La presión varía con el tiempo: P (t) = 30 + 2t

V (t) =K

30 + 2t

Determinamos V ′(t) y determinamos el valor para t = 10 s.

dV

dt= − 2K

(30 + 2t)2

Entonces

dV (10)

dt= − 2K

(30 + 2t)2= −2K

502

El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante K. En efecto, para t = 0 deberáV=60.

Sustituyendo:

60 =K

30⇒ K = 1800

dV

dt(10) = −3600

2500= −1.44

cm3

s, el signo, menos indica disminucion

En de�nitiva el gas está disminuyendo su volumen a razón de 1.44 cm3

s a los 10 s de iniciado el proceso de compresión.

Ejemplo 12. Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100m3 depetróleo. Calcula con que rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m si el espesor disminuyea razón de 10 cm

hr en el instante en que R = 50m.

5

Debemos determinar la velocidad con que aumenta el radio R a medida que la mancha se expande sobre la super�cie delmar, en el instante en que R = 50m. Podríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente. Sinembargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h varía con el tiempo por lo que no lograremosencontrar R(t).

Partimos de la relación entre R y h que nos proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.Tenemos:

V = πR2h ∀ t ≥ 0

Derivamos a V con respecto a t:

dV

dt= π

(2R

dR

dth+R2 dh

dt= 0

)Despejando dR

dt obtenemos dRdt = −R

2hdhdt

Ejemplo 13. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto. Calcula la rapidez devariación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2. Se supone que el triángulo se matiene equiláteroen todo instante.

Si llamamos L al lado del triángulo equilátero, siendo su altura h =√32 L entonces calculamos su área A :

A =

√3

2L2

con A = A(t) yL = L(t)Debemos calcular la variación de la longitud de los lados, por lo que debemos calcular dL

dt para A = 200 cm2, entonces:

dA

dt=

√3

22L

dL

dt

debemos despejar dLdt y sustituir dA

dt y L por sus valores correspondientes al instante en que A = 200 cm2.

200 =

√3

2L2 ⇒ L ≈ 21.5 cm

teniendo en cuenta que dAdt = −4 cm

2

min

dL

dt≈ −8

(21.5) (√

3)≈ −0.21

cm

min

Ejemplo 14. Un pasillo de 6 ft de ancho da vuelta en un ángulo recto. ¾Cuál es la longitud de la varilla delgadamás larga que pueda transportarse alrededor de la esquina, suponiendo que la varilla no pueda doblarse?

La varilla tocará apenas la esquina interna de la vuelta y las paredes exteriores del pasillo. Como se sugiere en la �g.sean a y b las longitudes de los segmentos AB y BC, sea θ la medida de los ángulos ]DBA y ]FCB. Considere losdos triángulos rectángulos semejantes M ADB y M BFC, estos tienen hipotenusas a y b, respectivamente. Un poco detrigonometría aplicada a estos ángulos da:

a =6

cosθ= 6 secθ

b =6

senθ= 6 cscθ

Observe que el ángulo θ determina la posición de la varilla. Así que la longitud total de la varilla es:L(θ) = a+ b = 6 secθ + 6 cscθEl dominio para θ es el intervalo abierto (0, π2 ). La derivada de L es

L′(θ) = 6 secθ tanθ − 6 cscθ cotθ

L′(θ) = 6

(senθ

cos2θ+

cosθ

sen2θ

)

6

L′(θ) = 6

(sen3θ + cos3θ

cos2θ sen2θ

)= 0

Si y sólo si sen3θ + cos3θ = 0. Esto lleva a senθ = cosθ . El único ángulo en (0, π2 ) para que el senθ = cosθ es elángulo π

4 . Nuevamente aplicamos la prueba de la primera derivada;a) Si 0 < θ < π

4 entonces senθ < cosθ, de modo que sen3θ + cos3θ < 0. Por lo tanto L(θ) es decreciente en (0, π4 ).b)Si π4 < θ < π

2 entonces senθ > cosθ, de modo que sen3θ + cos3θ > 0. Por lo tanto L(θ) es decreciente en (π4 ,π2 ).

Con base en el criterio de la primera derivada, (π4 produce un mínimo. No obstante, problema pregunta por la varillamás larga que pueda dar vuelta alrededor de la esquina. En realidad determinamos la varilla más corta que satisface lascondiciones, se ha determinado la varilla más corta que no da vuelta alrededor de la esquina. Por lo tanto, la varilla máslarga que puede dar vuelta alrededor de la esquina es L(π4 ) = 6 secπ4 + 6 cscπ4 = 12

√2 ≈ 16.97 ft

Ejercicios

1. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 60 y cuyo producto sea máximo.

2. Obtenga dos números no negativos cuyo producto sea 50 y cuya suma sea mínima.

3. Encuentre dos números cuyo producto sea −16 y cuya suma de sus cuadrados sea mínima. Solución: −4 & 4.

4. ¾Para qué número la raíz cuadrada principal excede en la mayor cantidad posible a ocho veces el número?

5. ¾Para qué número la raíz cuarta principal excede en la mayor cantidad posible al doble del número? Solución: 116

6. Encuentre dos números cuyo producto sea −12 y la suma de sus cuadrados sea mínima.

7. Muestre que para un rectángulo de perímetro dado K, aquel de área máxima es un cuadrado.

8. Determine el volumen de la mayor caja abierta que pueda fabricarse con una pieza de cartón de 24 in2, recortandocuadrados iguales a partir de las esquinas y doblando hacia arriba los lados. Solución: 1024 in3

9. Hallar dos números positivos cuya suma sea 20 y (a) su producto sea máximo, b) la suma de sus cuadrados seamínima, c) el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro se máximo. Solución: a) 10, 10, b) 10, 10,c) 8, 12

10. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y a) su suma sea mínima . b) La suma de uno de ellos con elcuadrado del otro sea mínima. Solución: a) 4, 4, b) 8, 2

11. Hallar las dimensiones de una caja rectangular abierta de 6, 400 cm3 para que resulte económica, teniendo en cuentaque el precio de coste de la base es de 75 pesos y el de super�cies laterales de 25pesos por cm2. Solución: 20 ∗ 22 ∗ 16

12. Una pared de 3.2m de altura está situada a una distancia de 1.35m de una casa. Hallar la longitud de la escaleramás corta de manera que, apoyándose en el suelo y en la pared, llegue a la cima de la casa. Solución: 6.25m.

13. Hallar la mínima distancia del punto (4, 2) a la parábola y2 = 8x. Solución: 2√

2

14. Hallar la ecuación de la recta que, pasando por el punto (3, 4), determina en el primer cuadrante con los ejescoordenados, un triángulo de área mínima. Solución: 4x+ 3y − 24 = 0

15. Una entidad bancaria tiene las siguientes tarifas: $30 por cada mil para operaciones de hasta $50, 000; para lacantidad que sobrepasa esta cifra, disminuye la tasa anterior en 0.375 por cada mil. Hallar la operación óptima demanera que el bene�cio del banco sea máximo. Solución: $90, 000

Referencias

[1] Frank Ayres Jr, Cálculo Diferencial e Integral (serie Shaum), Ed. McGraw-Hill, México, 1971.

[2] Edwin J. Purcell, Dale Vargerg y Steven E. Rigdon, Cálculo, Ed. Pearson - Educación, 9na ed., 2007.

[3] Dennis G. Zill, Cálculo con Geometría Analítica, Ed. Iberoamericana, México, 1995.

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