optimització. integració jose barrera. ies thos i...

Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i Codina

1

OPTIMiTZACIÓ. INTEGRACIÓ.2n Batxillerat. Curs 04/05

OPTIMITZACIÓDels 3 problemes, n’heu de fer els 2 que vulgueu. Cada problema val 2 punts

1. S'ha de construir un gran dipòsit cilíndric de 81π m3 de volum. La superfície lateral ha de serconstruïda amb un material que costa 30 € el m2 i les dues bases amb un material que costa 45 € elm2.

a. Determineu la relació que hi haurà entre el radi r de les bases circulars i l'altura h del cilindre, idoneu el cost C(r) del material necessari per construir aquest dipòsit en funció de r.

Volum del cilindre =

€

πr2h = 81π → h = 81r 2

, que és la relació que hi haurà entre r i h.

Cost = Superfície lateral · Preu material lateral + Superfície de les bases · Preu material bases

€

C(r ) = 2π rh ⋅ 30 + 2 ⋅ π r2 ⋅ 45 = 2π r 81r 2

⋅ 30 + 2 ⋅ π r2 ⋅ 45 = 4860πr

+ 90π r 2;

€

C(r ) = 90π 54r

+ r2

;

b. Quines dimensions (radi i altura) ha de tenir el dipòsit perquè el cost del material necessari perconstruir-lo sigui el mínim possible?

Cal trobar el mínim del cost C(r):

€

′ C (r ) = 90π − 54r2

+ 2 r

= 180π −

27r 2

+ r

;

€

′ C (r ) = 0 → − 27r 2

+ r = 0 → r 3 = 27 → r = 3.

€

′ ′ C (r ) = 180π 54r3

+ 1

> 0

Per tant, la funció C(r) és mínima si r = 3 i aquest valorim que . El corresponent valor de h és

€

h = 81r 2

=8132

= 9

Llavors, el radi de la base del cilindre ha de ser de 3 metres i l’altura ha de ser de 9 metres per talque el cost del material necessari sigui mínim.

c. Quin serà, en aquest cas, el cost del material?

€

C(r ) = 90π 54r

+ r2

→ C(3) = 90π

543

+ 32

= 2430π ≈ 7634.07 . El cost mínim és de 7634.07 €.

2. Volem unir el punt M situat en un costat d’un carrer de 3 m d’amplada amb el punt N situat a l’altrecostat i 9 m més avall mitjançant dos cables rectes, un des de M fins a un punt P situat a l’altre costatdel carrer i un altre des de P fins a N seguint el mateix costat del carrer, segons l’esquema següent:


2

El cost de la instal·lació del cable MP és de 12 € per metre i del cable PN de 6 € per metre.Anomenem x a la longitud del cable que uneix els punts P i N.

a. Trobeu l’expressió de la funció, C(x), que dóna el cost total dels dos cables en funció de x.

MP (x) =

€

32 + 9 − x( )2 = 9 + 9− x( )2 ; PN (x) = x

Cost = MP · Preu cable MP + PN · Preu cable PN

€

C(x) = 12 9 + 9 − x( )2 + 6x

b. Trobeu les longituds dels dos cables per tal que el cost total sigui mínim i el cost en aquest cas.

Cal trobar el mínim del cost C(r):

€

′ C (x) = 12 x − 9

9 + (9 − x)2+ 6 = 6 1− 2(9 − x)

9 + (9 − x)2

;

€

′ C (x) = 0 → 1− 2(9 − x)

9 + (9 − x)2= 0 → 9 + (9 − x)2 = 2(9 − x) → 9 + (9 − x)2 = 4(9 − x)2 →

€

3(9 − x)2 = 9 → (9 − x)2 = 3 → 9 − x = ± 3 → x = 9 ± 3

Si comprovem aquests dos valors, veiem que

€

x = 9 + 3 no és solució de la solució

€

′ C (x) = 0 (amés no té sentit segons el dibuix). Comprovem que l’opció

€

x = 9 − 3 minimitza el cost.

€

′ ′ C (x) = 108

9 + (9 − x)2[ ]32

→ ′ ′ C (9 − 3) = 108

9 + ( 3)2

32

> 0 .

Llavors,

MP (

€

x = 9 − 3 ) =

€

= 9 + 3

2

= 12 = 2 3 ≈ 3.46

PN (

€

x = 9 − 3 ) =

€

9 − 3 ≈ 7.23

€

C(9 − 3) = 12 9 + 3

2

+ 6(9 − 3) = 18(3 + 3) ≈ 85.18 €.

Per tant, les longituds dels dos cables per tal que el cost total sigui mínim són MP ≈ 3.46 metres iPN ≈ 7.23 metres. El cost en aquest cas serà de aproximadament 85.18 €.

3. Un camp té forma de trapezi rectangle, de bases 240 m i 400 m, i el costat perpendicular a les basestambé de 400 m. Es vol partir tal com indica la figura per fer dos camps rectangulars C1 i C 2.Anomenem x i y els catets d’un dels triangles rectangles que es formen.


3

a. Fent servir la semblança entre triangles, proveu que 2y = 5x.

El trapezi es pot descompondre en un rectangle i un triangle rectangle. Aquest triangle rectangleté 160 metres de base i 400 metres d’altura. Aquest triangle rectangle i el triangle rectangle debase x i altura y són semblants i, per tant, els seus costats són proporcionals. Llavors tenim:

€

400160

=52

=yx

→ 2y = 5x → y = 52

x

b. Utilitzant la igualtat anterior, escriviu les funcions S1(x ) i S2(x) que donen, respectivament, lesàrees dels rectangles C1 i C2 en funció de x.

€

S1(x) = (400 − x)y = 52 (400− x) x ;

€

S2(x) = 240(400− y) = 240(400− 52 x) = 600(160 − x)

c. El camp C1 es vol sembrar amb blat de moro i el camp C2 amb blat. Amb el blat de moro s’obtéun benefici de 0,12 € per m2 i amb el blat un benefici de 0,10 € per m2. Determineu les mides decada un dels camps per obtenir el benefici màxim i calculeu aquest benefici màxim.

Benefici =

€

B(x) = 0.12 ⋅S1(x) + 0.10 ⋅S2(x) = 0.12 ⋅ 52 (400− x) x + 0.10 ⋅ 600(160 − x) ;

€

B(x) = −0.3x2 + 60x + 9600

Cal trobar el màxim del benefici:

€

′ B (x) = −0.6x + 60

€

′ B (x) = 0 → − 0.6x + 60 = 0 → x = 100

€

′ ′ B (x) = −0.6 < 0

€

B(100) = −0.3 ⋅1002 + 60 ⋅100 + 9600 = 12600

Per tant, el benefici és màxim si x = 100.

Llavors les dimensions dels camps han de ser:

Base AlturaC1 300 m 250 mC2 240 m 150 m

I el benefici màxim és de 12600 €.

INTEGRACIÓDels 6 exercicis, n’heu de fer els 4 que vulgueu. Cada exercici 1.5 punts

4. Calculeu l'àrea compresa entre les gràfiques de les corbes y = e 2x i y = e -2x i la recta y = 5representada en l'esquema següent:


4

Per simetria, l’àrea demanada és

€

A = 2 (5 − e2x )dx0

a

∫ ,on a és el punt d’abscissa on es tallen les corbes de les funcions y = e2x i y = 5.

Llavors, tenim e2a = 5 →

€

a = 12

ln5

Per tant,

€

A = 2 (5 − e2x )dx0

12 ln5

∫ = 2 5x − 12 e2x[ ]012 ln5

= 2 52

ln5− 12

eln5( ) − 0− 12( )

= 5ln5− 4

5. Calculeu el valor positiu de a que fa que l'àrea compresa entre la recta d'equació y = ax + 2a i laparàbola y = ax2 valgui 18.

Els punts d’intersecció de les dues corbes són:

ax + 2a = ax2 → x2 – x – 2 = 0 → x = - 1 i x = 2.

Llavors, ha de ser

€

18 = (ax + 2a − ax2)dx−1

2

∫ = a (x + 2− x2)dx−1

2

∫ = a 12 x2 + 2x − 13 x3[ ]−12

= 92

a = 92

a → a = 4 → a = ± 4

6. Calculeu la integral definida

€

2ln3 xx

dx1

e

∫ fent servir el canvi de variable ln x = t.

€

lnx = t →

dxx

= dt → dx = xdt

x = 1→ t = ln1= 0x = e → t = lne = 1

i llavors,

€

2ln3 xx

dx1

e

∫ = 2 t3

xxdt

0

1

∫ = 2 t3dt0

1

∫ = 2 14 t 4[ ]01

= 12

7. Considereu les funcions f(x) = 3x2 i g(x) = 3.

a. Regresenteu gràficament l’àrea tancada per les corbes de les dues funcions.

b. Calculeu aquesta àrea.

€

A = 2 (3 − 3x2)dx0

1

∫ = 2 3x − x3[ ]0

1= 4 u.a.

8. Considereu la integral

€

x + 1+ x + 1x + 1

dx0

3

∫ . Calculeu-la pels dos procediments següents.

a. Demostrant que es pot simplificar fins a obtenir-ne

€

dx + x + 1( )−12

0

3

∫ dx0

3

∫ .


5

€

x + 1+ x + 1x + 1

dx0

3

∫ = x + 1x + 1 +(x + 1)

12

x + 1

dx

0

3

∫ = 1+ (x + 1)−12

dx

0

3

∫ = dx0

3

∫ + (x + 1)−12 dx

0

3

∫ = x[ ]03

+ 2(x + 1)12

0

3= 5

b. Demostrant que si es fa el canvi de variable

€

x + 1 = t s’obté la integral equivalent

€

2 t + 1( )1

2

∫ dt .

€

x + 1 = t → x = t2 −1 →dx = 2tdt

x = 0 → t = 1x = 3→ t = 2

Llavors,

€

x + 1+ x + 1x + 1

dx0

3

∫ = t2 + tt2

2tdt1

2

∫ = 2 (t + 1)dt1

2

∫ = 2 12 (t + 1)2[ ]12

= 9 − 4 = 5

9. Calculeu la primitiva de la funció

€

f (x) = x x2 −1 que s’anul·la en el punt d’abscissa x = 2.

€

F (x) = f (x)dx∫ = x x2 −1dx∫ = x(x2 −1)12 dx∫ = 13 (3x)(x2 −1)

12 dx∫ = 13 (x2 −1)

32 + C

€

F (2) = 0 → 13

(22 −1)32 + C = 0 → C = − 1

33

32 = − 3

Llavors,

€

F (x) = 13

(x2 −1)32 − 3

optimització. integració jose barrera. ies thos i...

Documents