optica geométrica vs. física en medios anisotrópicos · optica geométrica vs.física en medios...

Revista Mexicana de Física 43, No. 6 (1997) 1027-1043

,Optica geométrica vs. Física en medios

anisotrópicos

A.L. RIVERA; SERGEY M. CHUMAKOV y K.B. WOLFInstituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas

Unive,.sidad Nacional A utónoma de MéxicoApar.tado postal 48-3, 62251 Guemavaca, Mor., Mexico

Recibido el 25 de febrero de 1997;aceptado el 17 de abril de 1997

RESUMEN. Estudiamos los rayos de la óptica geométrica en medios anisotrópicos1 que requierenque el Índice de refracción dependa de la dirección del rayo. Usamos el formalismo hamiltonianocon la longitud de arco por parámetro de evolución. Comparamos los resultados con los obtenidosde las ecuaciones de l\.laxwellen el límite de longitudes de onda pequeñas.

RESU1tEN. \Ve study the rays of geometrical optics in allisotropic which allow the refractive indexto depend OIlthe ray directioll. \Ve use the hamiltonian formalism with arc-Iength for evolutionparameter. \Vecompare the results with those obtailled from the rvlaxwellequatioIls in the smal1wavelength limit.

PACS: 42.15.Gs; 4l.20.Bt

l. INTRODUCCIÓN

En este artículo cOIuparamos las formula.ciones geométricas de la óptica de Inedias aniso-trópicos con la que deriva ele las ecuaciones de Maxwell en el límite ele longitudes de ondapequeíias. Las formulaciones geométricas son la lagrangiana.1 basada en el principio va-r¡acional de Fennat

1y la hamiltoniana que conduce a ecuaciones diferenciales; la priInera

es global, es decir, propone un criterio para elegir entre toelas las posibles trayectoriasque seguiría un rayo entre dos puntos separados; la segunda es local, pues parte desde elinicio leyes de movimiento entre puntos infinitcsimahnente cercanos. La óptica maxwe-lIiana, en contraste, se basa en las leyes físicas del electromagnetismo, particularizadaspara canlpos oscilatorios que se mueven en un medio material.

La óptica geométrica como límite de la ondulatoria ha sido ampliamente estudia-da [1,2] en el caso de medios inhomogéncos pero isc)trópicos. Para los medios aniso-trópicos, donde el índice de refracción depende no sólo de las coordenadas de posición,sino de la dirección del rayo, no encontramos un tratamiento adecuado en la literatura.Mejor dich0

1los tratamientos geométricos privilegian el principio de Fenuat1 el cual tiene

un sentido matemático muy claro y fructífero, pero cnyos resultados requieren ser com-parados críticaIueute con la.s predicciollc~ del tratamiento llla.xwelliano. Este últüuo, re-cordeIllos, reconoce la interacción entre los campos eléctrico y magnético de la luz con las

•Elcctronic mail: rivera@c(..ifisicalll.Ullam.mx

mailto:[email protected]

1028 A.L. RIVERA ET AL.

propiedades dieléctricas de la materia en la cual se mueven. La formulación matemática,en cambio, no hace referencia a los campos eléctrico y magnético que constituyen la luz.Simplemente generalizan resultados correctos a un ámbito más amplio.

El tratamiento matemático se resume en la Seco2, escogiendo por parámetro de evo-lución la longitud de arco medida sobre el rayo. Torres del Castillo [31 ha estudiadotambién la formulación lagrangiana y hamiltoniana de sistemas ópticos anisotrópicos uti-lizando como parámetro de evolución el tiempo. En la Ref. 4 nosotros escogimos un ejeóptico en el espacio (el eje z) como parámetro de evolución; esto validó los resultados queaquípresentamos solamente sostenidos por argumentos breves. La longitud de arco nosparece más conveniente como parámetro de evolución porque lleva a fórmulas covariantesy sencillas; con él se introduce de manera natural un vector de anisotropía [4,5], que en al-gunos aspectos adquiere el papel del potencial vectorial del campo electromagnético. Sinembargo, la longitud de arco tiene la desventaja de que cn el límite de medios isotrópicos,la formulación lagrangiana se vuelve singular. Su formulación hamiltoniana, en cambio,sigue siendo perfectamente clara y atractiva su interpretación. La teoría matemáticade la luz en medios anisotrópicos ha merecido tratamientos más abstractos basados engeometría simpléctica desarrollados por Cariñena y Nasarre [6]. Hemos encontrado quesolamente Kravtsov y Orlov [7) presentan un tratamiento completo de los medios aniso-trópicos, demostrando resultados geométricos corno caso límitc de la teoría ondulatoria.Por ello consideramos de interés comparar las predicciones puramente geométricas conlas que provienen de la óptica maxwelliana.

En la Seco3, en el marco de lo permitido para el Índice de refracción, clasificamos losmedios ópticos por su multipolaridad, es decir, por la dependencia angular de su aniso-tropía. así evidenciarnos que la óptica geométrica, como otras estructuras matemáticas,nos da más libertad que la física. Por otro lado, la física nos presenta fenómenos quela matemática no puede prever a partir de los axiomas elegidos: así corno ante discon-tinuidades del medio se generan en general dos rayos (el rcfractado y el reflejado), enmedios anisotrópicos se mueven también dos rayos: el ordinario y el extraordinario. Estapredicción no deriva de los axiomas del modelo geométrico.

La Seco4 resume el tratamiento geométrico maxwelliano que predice la existenciae índices de refracción efectivos para estos dos rayos; en cristales uniaxiales, el rayoordinario 'no siente' la anisotropÍa del medio; el rayo extraordinario es su complementoinseparable. Finalmente, la Seco5 ofrece algunas conclusiones sobre la semejanza y lasdiferencias entre las dos teorías.

2. ÓPTICA GEOMÉTRICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS

2.1. PRINCIPIO DE FERMAT

El principio de Fermat propone que la trayectoria de un rayo de luz entre dos puntos PIy P2 cs tal que su tiempo de propagación es estacionario. En la literatura frecuentementese nlcnciona éste como un principio de mínima acción, pero si considerarnos reflexión,el tiempo es máximo: véase por cjemplo Luneburg [8J. Este principio se exprcsa cn laecuación variacional [9]:

ÓPTICA GEOMÉTRICA vs. FÍSICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS

lP'ó dt = O.PI

1029

(1)

Sea s E R la longitud medida a lo largo de la trayectoria indicada por el vector tridimen-sional r(s), sea ds su elemento de longitud, y r = dr(s)/ds SIl vector tangente de normaunidad: Irl = 1. El Índice de refracción n(r, r) es la razón de la velocidad clásica c de un"grano de luz" en el vacío newtoniano, a su velocidad en el medio ds/dt, en el punto r ycon la dirección r. Por definición, entonces, la dependencia de n(r, r) en r es solamenteen la dirección del vector velocidad r sobre la esfera, y no de la norma del vector develocidad. Cuando n ds = cdt se reemplaza en la Ec. (1), ésta toma la forma [4]

lP'Ó dsn(r,r) = O.PI

2.2. PROBLEMA CON LA FORMULACIÓN LAGRANGIANA

(2)

Como vemos en la Ec. (2), la función lagrangiana de la óptica respecto del parámetro sa lo largo del rayo es el índice de refracción:

.c = n(r,r) .

Esto debemos compararlo con el lagrangiano común de la mecánica clásica, cuya formaes energía cinética menos energía potencial: r2/2m - V(r). Las ecuaciones de Euler-Lagrange [10, 11] que satisface el integrando son

(3)

De acuerdo con esta formulación, el momento del sistema, que indicaremos adelantepor p, está dado por el vector de anisotropía del medio,

o.cA = Dr . (4)

Como r . oL/or = Irl a.c/Dlrl = O, el vector de anistropía es ortogonal al vector dedirección del rayo:

r. A = O. (5)

Cuando el medio es isotrópico, A = Oy el miembro derecho de la ecuaciones de Euler-Lagrange es cero; el formalismo lagrangiano deja de ser válido, pues un lagrangianoindependiente de la velocidad (o de la energía cinética en mecánica) puede extraersedel integrando en (2), y entonces esta formulación pierde su capacidad de distinguir latrayectoria estacionaria de entre todas las posibles.


,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,

ni'

p

FIGURA 1. En un medio anisotrópico, mientras el vector ¡. genera la esfera unitaria, ni' dibujala superficie del rayo (línea punteada) y el vector de momento p recorre el ovoide de Descartes(línea continua).

2.3. FORMULACIÓN HAMILTONIANA

Dado que el límite isotrópico de la formulación lagrangiana es singular, evitaremos el usode las ecuaciones de Euler-Lagrange (3), pasando a la formulación hamiltoniana mediantela transformación de Legendre. Esto nos sugiere construir la función hamiltoniana delsistema como función de las coordenadas y los momentos. Esperamos que la funciónhamiltoniana siga teniendo la forma de la transformación de Legendre

1-l=p.r-C, (6)

y sabemos que será constante bajo evolnción del parámetro s, longitnd de arco. En estaecuación vale C = n y la propiedad (5); para satisfacerla, postulamos el vector momentodel sistema

l' = nr+A. (7)

Porque l' . r = n, su reemplazo en (6) da una función hamiltoniana 1-l = n-nidénticamente cero para toda trayectoria.

La restricción de las trayectorias a la superficie 1-l = Ose hace patente notando quela Ec. (7), leída nr = l' - A, tiene norma

11' - Al = n(r,r). (8)

Es decir, la conservación del hanültoniano restringe al vector Ill00uento p a moverse sobrelo que llamaremos el ovoide de Descarte.' ilustrado en la Fig. 1. En el caso isotrópico,A = Oy la Ec. (8) se reduce a 11'1 = n(r). Esta construcción generaliza el concepto deesfera de Descartes de los medios isotrópicos a los anisotrópicos.

ÓPTICA GEO:-'lÉTRICA vs. FÍSICA EN ~lEDIOS ANISOTRÓPICOS 1031

Hacemos notar aquí que la Ec. (8) es, de hecho, la ecuación de Hamilton-Jacobi dela óptica geométrica anisotrópica. Recordemos que l' = \1S es el gradiente de la funcióneikoflal. La formulación de la mecánica mediante la ecnación de Hamilton y Jacobi es latercera fonuulacióll, además de la lagrangiana y halniltoniana, que puede ser extendidaa la óptica geométrica.

2.4. OVOIDES lJE DESCARTES

Recordemos que la teoría de la refracción desarrollada por Descartes [121 explica el quiebrede las trayectorias de la luz al cruzar la interfase entre mcdios de índices de refraccióndiferentes con la condición de conservación de la componente del vector momento quees tangente a la. interfase en el punto de contacto, COlnosi el grano de luz estuvieseacompañado por una esfera cuyo radio cambia con el índice de refracción local, y cuyovector tangente debe acomodarse de talluanera que su componente normal a la superficie(en general ortogonal al gradiente local del índice) se mantuviesc constante [13].

En medios ópticos inhomogéneos y anisotrópicos cuyo índicc dc refracción es n(r, r)sc puede repetir la interpretación de Descartes. Sólo se requicrc de una definición máscuidadosa de las cantidades que a continuación restlluimos:

• El rayo tiene un vector tangente r de norma unidad quc dctcrmina la trayectoriar(s), por intcgración de la primera igualdad en

(9)

• El rayo ticne un vector de momento óptico l' dado por (7), y éste responde a lainhomogcneidad dcl mcdio obedeciendo la primcra igualdad cn

dI' a}{-=\ln= --ods dr

( lO)

El medio prcsenta, pues, un campo vectorial que describe su inhomogeneidad, \In =anlar, y otro que dcscribe su anisotropía, A = anlar cumpliendo r. A = O. En elovoide de Descartes, el vector mOlllcllto se acomoda de tal manera que su cOlllponentetangencial a la., superficies n = constante se conserva: dI' x \In = O.

En efecto, las afirmaciones anteriores pueden postular", como axiomas y las segundasigualdades de las dos cxpresiones anteriores provccn la., dos ecuaciones de Hamilton dela óptica allisotrópica, con la función hamiltoniana

}{ = 11' - Al - 71 , (11)

cuyo valor sobre las traycctorias ópticas es nulo [5].Como mostramos cn la Fig. 2, cuando los rayos cruzan la interfase plana entre dos

medios anisotrópicos diferentes, con índices de refracción n(r) y n'(r) diferentes, trazamoslas curva., dondc se mucven n(r)r y n'(r')r' c indicamos SIlS tangentcs A(r) y A'(r'). Estasúltimas llevan a. los ovoides de Descartes de los momentos en los dos lllCdios. Podenlosdibujar/computar su refracción de la siguiente manera:


n

n' .

//,,,,

1,'",..',,,. ,

nr, ,,

,II,

'.',., .,,,,,,

FIGURA 2. Diagrama de Descartes para la construcción de los ángulos de refracción en la interfaseentre dos medios anisotrópicos cuadrupolares con Índices de refracción n y n'. Los semicírculoscorresponden al vector ¡., mientras que la línea continua da el ovoide de Descartes en el cualdescansa el vector momento P, la línea punteada es la superficie de rayo dibujada por ni-. Lalínea continua quebrada es la trayectoria del rayo refractado cuya construcción se describe en eltexto.

• Dada la dirección del rayo entrante r, ubicamos el rayo en la curva nr correspondien-te y seguimos la tangente A hasta encontrar el vector momento p correspondiente .

• Proyectamos el momento p sobre el plano tangente a la interfase para encontrar p;éste es el momento conservado .

• Dibujamos el momento p' del rayo saliente sobre el segundo ovoide de Descartes,de tal manera que su proyección sobre el plano tangente a la interfase sea igual a p.

• En el segundo ovoide de Descartes seguimos el vector A' hasta el punto correspon-diente en la curva de nr'; ésta última tiene la dirección r' del rayo saliente.

3. ANISOTROPÍA GEOMÉTRICA

Aquií clasificaremos sistemáticamente las dependencias angulares del índice de refracciónque permite el modelo geométrico: medios ópticos dipolares, cuadrupolares y, genérica-mente, multipolares. En adelante soslayaremos la inhomogeneidad.

ÓPTICA GEOMÉTRICA vs. FÍSICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS 1033

FIGURA 3. En un medio anisotrópico dipolar, mientras el vector r recorre la esfera unitaria, Adibuja una superficie tipo cardioide (línea punteada) y el vector de momento p genera una esferacon centro en D (línea continua).

3.1. MEDIO DIPOLAR

Consideremos primero el caso cuando el vector de anisotropía (4) de un medio óptico esconstante, es decir, cuando existe una dirección privilegiada en el medio indicada por unvector D. El índice de refracción puede entonces depender sólo linealmente del vector dedirección del rayo:

Llamaremos a n(O) la parte monopolar del medio, a n(l) la parte dipolar, y a D su vectordipolar.El vector de anisotropía del medio dipolar que obtenemos de la Ec. (4) es

A(l) = on I = (1 - rr.)D = D - n(l)(rjr = (r x D) x r, (12)or Irl=1

donde usamos la notación diádica [(1- vv. )D)j = Dj -vj(v.D). El vector de anisotropÍadipolar A (1) esta en el plano de r y D y es ortogonal a la dirección del rayo r. El vectorde momento óptico en un medio dipolar es:

p = n(O)r + D .

Entonces, mientras la dirección del rayo r está sobre la esfera de radio unidad centradaen el origen, el vector momento tiene por ovoide de Descartes una esfera de radio n(O)con centro en D. Esto está ilustrado en la Fig. 3.


3.2. MEDIO CUADRUPOLAR

Consideremos ahora el caso cuando el índice de refracción depende cuadráticamente dela dirección del rayo:

(13)x,y,z

Preparamos la notación v . T entre un vector v y una matriz o tensor T para indicarcontracción respecto de su primer Índice. Llamamos a n(2) la parte cuadrupolar y a O sutensor (matriz) cuadrupolar.

Como la matriz cuadrupolar O en (13) colinda con el mismo vector r a ambos lados,es suficiente considerarla como simétrica; como Irl = 1, basta que tenga traz~ nula.Conforme r genera una esfera, n(r) traza un elipsoide porque es una función cuadráticaen r. Hay cinco parámetros: dos razones entre los tres semi-ejes del elipsoide, y tresque especifican su orientación respecto de las coordenadas x, y, z. Los tres parámetros deorientación de la figura no son esenciales porque mediante rotaciones de los ejes podemosreferir el elipsoide a sus ejes principales, es decir, llevar su matriz cuadrupolar Q a formadiagonal,

(

Qx O O)Q = O Qy O

O O Qzdonde Qx + Qy + Qz = O.

Calculamos el vector de anisotropÍa cuadrupolar utilizando D(v. Tv)/Dv = 2Tv. Surestricción a Ivl = 1 es, como en la Ec. (12),

A(2)= DQ I = 2(1- rr. )Or = 2 [O - rPl(r)] r.Dr Irl=1

El vector momento es

l' = [n(r) +2(1- rr. )0] r = (n(O) + 20 -ro Or)r.

(14)

(15 )

Cuando r se mueve sobre su esfera de direcciones, l' dibuja el ovoide de Descartes delmedio cuadrupolar, como indicamos en la Fig. 4. Porque la dirección r y la anisotropíaA son ortogonales, el cuadrado de (15) es

El ovoide de Descartes de un medio cuadrupolar

11'1 = y'n(r)2 - A(r)2 '" n(r) - A(rf /2n(0) - ... ,

difiere del elipsoide n(r) en un término proporcional al cuadrado y potencias más altasdel vector de anisotropía. Si la anisotropía es débil, A(r) « 11.(0), éstas últimas puedenser despreciadas.

ÓPTICA GEOMÉTRICA VS. FíSICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS 1035

FIGURA 4. En un medio anisotrópico cuadrupolar, mientras el vector nOr recorre la esfera deradio nO, nr genera la superficie de forma de cacahuate r el momento p dibuja el ovoide.

Medio cuadrupolar llniaxial

Un caso particulm pero importante de anisotropía cnadrupolar es el medio con un eje desimetría; una dirección alrededor de la cual el medio se ve y actúa igual: el medio uniaxial.Denotamos las coruponentes de r por (x, y, z) y alineamos el eje de sitnetrÍa con el eje z,mientras x y y están en el plano transverso invariante bajo rotaciones. En este caso, elovoide de Descartes de la Fig. 1 es una figura de revolución que puede dibujarse en elplano de la página. El Índice de refracción, de ac;¡erdo con la Ec. (13) para Qx = Qy = 1/

Y Q, = -21/, es:

n(i-) = ,,(O) + (i:,y,z) ( ~O O )(i: )1/ O YO -21/ Z

= ,,(O) + 1/(i:2 + y2) _ 21/z2 = n(O) + 1/ _ 31/z2

= ,,(O) _ 21/ + 31/ sen2 (j = ,,(O) + 1/ - 31/ cos2 (j, ( 16)

donde n(O) es la parte lIlollopolar, v es el coeficiente de anisotropía clladrupolar; en laúltima expresión bemos introducido el ángulo f) entre i- y el eje z, escribiendo z2cos2 (j = 1 - sen2 f).


Para escribir el momento p en términos de las componentes del vector de dirección ry su ángulo () explícitamente, obtenemos de (15)

[\/Pi + P~ ] = [ (n(O) + 4v - 3vsen2 ()) sen() ]

Pz (n(O) - 2v - 3v sen2 ()) cos ()

Conforme () recorre la esfera, el vector p se mueve en una superficie ovoidal superior,el cual difiere de un elipsoide en términos de orden v2, e intercepta el eje z (() = O) enpz = :J:(n(O) - 2v), y un eje transverso x, yen :J:(n(O) + v). El ovoide es oblato si v > OYprolato si v < O. En efecto, en modelos de óptica en dos dimensiones sólo éste caso deanisotropía es permitida. Nos referiremos a estos resultados en la Seco4 para compararlas predicciones de la óptica geométrica y la maxwelliana.

3.3. MEDIOS MULTIPOLARES

Funciones suaves sobre la esfera se pueden desarrollar en la serie multipolar [14]:

n(r, r) = ¿n(m)(r),m~O

donde cada sumando es un polinomio homógeneo de grado m = 0,1,2, ... en las com-ponentes de r. La parte monopolar n(O)(r) = n(O), la dipolar n(l) y la cuadrupolar n(2)

fueron vistas en las dos subsecciones anteriores. Genéricamente,

il, ...im

donde los coeficientes n~~¿,...,imforman un tensor de rango m que, por las mismas razones

dadas para el cuadrupolo, es simétrico y de traza nula en todas las parejas de índices ypor ello contiene 2m + 1 coeficientes independientes; la última igualdad define el vector

¿(m) .. .n,',' " ri,ri" .. Timl,2, ... , m

cuyas componentes son polinomios homogéneos de grado m - 1 en las componentes de r.Calculamos ahora el vector de anisotropía usando 8n(m)(v)/8v = mN(m)(v) y res-

tringiendo el argumento sobre la esfera. Encontramos

y el vector momento es

p = nr +¿A(m) = ¿ [mN(m)(r) - (m - 1)n(m)(r) r],m2:1 m2:0

donde los sumandos m = O Y m = 1 no dependen de r y están ausentes cuando suscoeficientes son cero.

ÓPTICA GEOMÉTRICA vs. FÍSICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS

4. ANISOTROPÍA MAXWELLIANA

1037

La óptica geométrica también se puede obtener a partir de las ecuaciones de Maxwell [15]tomando el límite de longitudes de onda pequeñas. Examinaremos con atención especiallas consecuencias de la anisotropía del medio.

4.1. VECTORES. ÍNDICES Y ECUACIONES DE MAXWELL

Proponemos campos eléctricos y magnéticos que sean soluciones a las ecuaCIOnes deMaxwell con la forma compleja [2]

E(r, t) = e(r) exp[i("S(r) - wt)],

H(r, t) = h(r) exp[i("S(r) - wt)), (17)

donde S es la función conocida como eikona/; es una función escalar y real de la posición;en mecánica su análogo es la acción; el número de onda es n. = 21r/..\ = w/c1 donde..\ f.'fl

la longitud de onda, w es la frecuencia angular, y e es la velocidad de la luz en el vado.Las superficies S(r) = constante son los frentes de onda geométricos. Los vectores e(r)y h(r) son funciones de la posición y pueden ser complejos. En el caso de ondas planascon vector normal unitario u, la función eikonal es lineal en las componentes del vectorr: "S (r) = (w / vI') U . r, donde vI' es la velocidad de propagación de los frentes de fase enel medio, llamada la velocidad de fase.

Las ecuaciones de Maxwell relacionan las divergencias, rotacionales y derivadas res-pecto del tiempo de los vectores de campo eléctrico y magnético, de desplazamient.o einducción: E, H, D YB según la notación establecida. Se complementan con las llamadasrelaciones rnateriales

D =tE, B = I,H . ( 18)

La anisotropía del medio está determinada por las permitividades eléctrica t y magnética1'" En medios isotrópicos, t y l' son independientes de la dirección y sólo contienen lainhomogeneidad del medio. En medios anisotrópicos pueden ser tensores de rango dos quese representan por matrices; se demuestra que la conservación de la energía iruplica queestas matrices son simétricas; en medios de interés óptico, la permeabilidad magnética l'es múltiplo de la matriz unidád y solamente t = (f;,j) es el tensor de tomar en cuenta [2].

Eu IllCdios allisotrópicos, las ondas plana.:;; (17) presentan un vector de onda HarInal

cuya magnitud

p = '\IS, ( 19)

(20)

es la razón de la velocidad de la luz en el vacío a la velocidad VI' de los frentes de onda en elInedia que depende de la dirección en la que se mueven los frentes. LlaIllaIllOS np al "índicede fase" oh tenido de su razón, y adelantanlos que el vector de onda p se corresponde con


su vector homónimo de momento en la óptica geométrica. Ante una discontinuidad en elíndice del medio, y por las mismas razones que en los medios isotrópicos, el valor de lasfases de los campos y de sus derivadas tangenciales a ambos lados de la discontinuidadimplica que se conserva la componente tangencial del vector p.

Las mismas ondas planas (17) tienen su vector de Poynting,

s = -=-E x H = ISI ¡.,41r

(21)

que indica la dirección de propagación de la energía electromagnética; indicamos por ¡. elvector unitario en esa dirección, adelantando que se corresponde con su vector homónirllode dirección del rayo en óptica geométrica. La energía electromagnética tiene una ve-locidad de propagación (llamada velocidad de rayo [2]) en el medio que indicamos porVT1 Y

enr= -,

Vr(22)

es el índice de refracción que previamente llamamos n. (Véase la Fig. 5b.) Al sustituir(17) en las ecuaciones de Ma.xwell sin corrientes ni cargas, las derivadas espaciales ytemporales actuando sobre el exponente resultan en factores iK y -iw; dividimos entreesta cantidad. Al tomar el límite .\ -+ O [2], desaparecen las derivadas de e(r) y h(r), yobtenemos (=;.) las siguientes conclusiones que, junto con las relaciones materiales (18),determinan el modelo ma.xwelliano geométrico:

V'.D=O =;. p 1- d = i e, (23)

V'.B=O =;. p 1- b = I,h, (24)

1 aDie=hxp, (25)V' x H- -- =0 =;.

e at1 aB

ILh = P x e, (26)V' x E + -- = O =;.e at

donde d y b son los vectores de desplazamiento e inducción definidos de la misma maneraque e y h en (17).

4.2. ECUACIÓN DE RAYO DE FRESNEL

Bajo el límite .\ -+ O, el vector de rayo ¡. mantiene claro su significado geométrico (9);el vector de onda p (ahora el momento) parece persistir un tanto falltasIuahncnte co-1110 vector "piloto" del "grano de luz". Es él, sin etnbargo, el que determina el efectode interfases refractantes del medio sobre el rayo, y genéricamente inhomogeneidades,obedeciendo a (10). Esto proviene del hecho que en cada interfase se debe conservar elcampo eléctrico y el magnético (17) para los valores de p. r, tal y como sucede en mediosiso trópicos con su correspondiente esfera de Descartes.

ÓPTICA GEOMÉTRICA USo FÍSICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS 1039

s p(a)

8

H

o

E

E

nr(b)

FIGURA 5. (a) Los vectores electromagnéticos en un medio allisotrápico. La dirección del momen-to óptico p no coincide con la dirección de propagación de la energía S (el vector de Poynting),sino que forma un ángulo o: con ella. (b) Los frentes de onda son perpendiculares a la dirección delmomento óptico p; el vector ni' está a lo largo del vector de Poynting S; el vector de anisotropíaA relaciona los dos; DJ. es la proyección del vector de desplazamiento D sobre el vector de campoeléctrico E.

En este modelo, p es ortogonal a d y b, mientras r es ortogonal a e y h, como estáindicado en las Figs. 5a y 5b. Tiene gran ntilidad conocer el ángulo n entre ellos, enparticular las siguientes igualdades:

Vp n,. e.d Id"1 p.rcosa = - = - = -- =-- =--

Vr np• lelldl Idl np

n~ lell' Idl . (27)

La,;;cinco prinleras expresiones son pUfmnelltc geolllétricas, basadas en el arg\unentoque las distancias recorridas por un frente de onda guardan esa proporci6n, los Índicesde refracción la proporción inversa; el producto escalar de e y d entre sus luagllitudes,o la razón de la proyección d" sobre e de d; y el producto escalar de p con el vectornnitario r, consistente con la relación geométrica propuesta en la Ec. (7). Las últimas dosexpresiones se obtienen a partir de las ecuaciones de Maxwell; en efecto: substituyendoh de (26) en (25) y multiplicando escalannente por (25) obtenemos l,d2 = p2e . d, dedonde se sigue la penúltima igualdad de (27); la última deriva de ésa y las anteriores.Anotamos también que de la última igualdad se deriva una relación de reciprocidad entrelos Índices de refracción asociados al momento y a la direcci6n:

I[elnl'n,. = l' ¡,;r .


En adelante, trabajaremos exclusivamente con el índice de refracción del rayo, nroque indicaremos simplemente por n, sabiendo que se trata de la misma cantidad a la quese refieren las primeras dos secciones de este artículo.

A continuación mostraremos cómo de las igualdades (27) se obtendrá el Índice derefracción anisotrópico n(¡') en términos de los parámetros físicos del medio, las permi-tividades Ei, i = x, y, Z, y /1. En efecto, del quinto y del último término de (27) sigue laigualdad vectorial dlln2 = el/1; además, la proyección de d en la dirección de e puedeescribirse usando el vector ortogonal unitario ¡. como dl = (1 - ¡. ¡. . ) d. Referido a ejesdonde el tensor de permitividad eléctrica es diagonal, E = (Ei), podemos eliminar lascomponentes de e y escribir

di =¡tEi ¡. . d .2 ri,

11, - Jl£i

Ahora, con objeto de eliminar las componentes de d de nuestra expresión final, multipli-camos cada ecuación por ri y sumamos sobre i para obtener ¡. . d en ambos lados de laecuación; dividimos por esta cantidad y obtenemos la ecttación de rayo de Fresnel (VerEc. 14.2 en Ref. 2),

lJ,cx r.2 + ¡LEy r.2 + ¡tEz .22 rz=-l.

11,2 - JLéx x n2 - ¡LEy Y n - ¡tEz

Llamando

y recordando que 1 = r; + r~+ r;, recolectamos las componentes de r para escribir unasegunda forma de la ecuación de rayo de Fresnel,

Esta es una ecuación de segundo grado en n2, como puede verse multiplicando (28)sus denominadores. Su forma es (n2j2 + Bn2 + e = o, con

(28)

por

(29)

donde trE = Ex + Ey + Ez es la traza de E, y E-1 = diag (E;;l, E;;I,E;;I). Las últimasexpresiones para B y e son independientes de la orientación de los ejes del espaciorespecto a los ejes principales del Inedia. En éstos ténninos, la teoría geométrica deMaxwell predice dos Índices de refracción [16]:

(30)

ÓPTICA GEOMÉTRICA USo FÍSICA EN MEDIOS ANISOTIlÓPICOS

4.3. ANISOTIlOPÍA PEQUEÑA

1041

Con objeto de comparar los Índices de refracción maxwellianos con los del modelo geo-métrico cuadrupolar (13), conviene considerar que la anisotropÍa es pequeña, es decir,proponer

E = diag("o + '1""0 + 'Iy,"o + '1,) = "oi + i¡, IIJiI« "o.

Como Tr E = 3"0' Tr i¡ = OYn(r) > O, si despreciamos términos en '12, la Ec.reduce a

n,,(r) = n(O) + n~)(r) + 0('12),

n(O) = J,'''o,n~)(r) = 4,::0) (r. i¡r 'f )(r. i¡r)2 - 4r' rjr) ,

(30) se

donde rj = diag('1y'lz,I/z'l.,'1x'ly). Notemos que el grado de homogeneidad de n~)(r) en'/ (dentro y fuera de la raíz cuadrada) es uno.

Particularicemos uuestro tratamiento analizando un medio cuadrupolar uniaxia/, cuyoresultado a partir del tratamiento hamiltoniano ya conocemos de la Ec. (16). Cuando'Ir = 'Iy = '1Y '1, = -2'1, el discriminante B2 - 4C en (29) se vuelve el cuadrado perfectode 3/11/(1 - 1';). Los cuadrados de los Índices de refracción [c! Ec. (30)1 son entonces

n~= J.L("0 + 11) ,

n:.(r) = n~ - 31"1(1 - 1';) .El primer Índice de refracción, "+, es insensible a la anisotropÍa del medio (pues nodepende de r); el rayo que lo sigue se llama el rayo ordinario y el Índice de refracciónque obedece es

"o = "+ = )/'("0 + '1) .Por otra parte, el rayo extraordinario obedece a "e = I!-(r), que debemos comparar con(16). Para 1', = cosO Y 1/« "o,

31111 2"e = ,,_(O) ::e "+ - -- seu O,211+

y esto lleva a identificar los parámetros de (16) cou los parámetros físicos según lassiguientes equivalencias:

Como ejemplo numérico apuntamos que, para la longitud de onda A = 404.7 nm yJi = 1, los valores de los Índices de refracción y parámetros de anisotropía para el cuarzoson "o = 1.55716 Y Ile = 1.56671 [17J. Entonces ,,(O) = 1.56353 Y v = 0.00318. Laaproximación que desarrolla ne en potencias de v/no :::::::2 x 10-3, pennite despreciartérminos de orden 0(10-6).


5. CONCLUSIONES

El modelo de la óptica geométrica de medios anisotrópicos propuesto por nosotros y otrosautores, parte de la generalización -por demás sencilla- de permitir que el índice derefracción dependa de la dirección de los rayos. Genera un esquema matemáticamenteconsistente y atractivo. Permite apreciar también el problema que presenta la longitudde arco cuando se usa como parámetro de evolución en modelos donde el sistema original(la óptica isotrópica) no se presta para formular el principio de Fermat; la formulaciónhamiltoniana sortea esta dificultad mejor que la lagrangiana. Las Refs. 3 y 4 en efectoutilizaron parámetros de evolución distintos (el tiempo y el eje óptico) para llegar a losmismos resultados.

Sin embargo, es imperativo preguntarse si el esquema matemático propuesto describecorrectamente a la naturaleza, que obedece a las ecuaciones vectoriales de Maxwell. Ensu régimen lineal, éstas explican el fenónemo de la birrefringencia por la interacción delos campos eléctricos y magnéticos con el medio a través de la anisotropía del tensordieléctrico. En el límite geométrico de longitudes de onda pequeñas, este tensor sólopermite cuadrupolaridad a primer orden en las direcciones de los rayos.

La utilidad de un modelo matemático estriba en la sencillez que su manejo permi-te y en la claridad con que pueden enunciarse sus fundamentos. Sabemos que la ópticageométrica ordinaria (en medios isotrópicos) no predice que bajo refracción en una discon-tinuidad del índice exista a fortiori también un rayo reflejado. Similarmente, el modeloque manejamos aquí no predice que los rayos en un medio anisotrópico se dividan endos, cada uno obedeciendo un índice de refracción distinto. Tampoco tiene nada quedecir sobre los vectores ortogonales de campo eléctrico y magnético que acompañan latrayectoria de luz, porque éstos no han sido incluidos entre los axiomas contenidos en (9)y (10). A cambio de ello, predice correctamente el ángulo de refracción y el papel quejuega el momento óptico dentro de su contexto hamiltoniano.

Los materiales anisotrópicos se usan cada vez más para el Inanejo eficiente de infonna-ción por medios ópticos. Es útil contar con una teoría gCOlnétrica que reproduzca ciertosaspectos relevantes del fenómeno y se preste para producir, por ejemplo, los algoritmosnecesarios para el diseño óptico basado en técnicas de desarrollo en serie de aberraciones.Para esto es importante conocer el rango de validez del modelo.

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ÓPTICA GEOMÉTRICA VS. FíSICA EN MEDIOS ANISOTRÓPICOS 1043

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