optica geometrica
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CAPITULO 3
OPTICA GEOMETRICA
En el primer capítulo hemos visto como una perturbación electromagnética se propaga en el vacío, de acuerdo con la ecuación diferencial de la onda, con una velocidad c ≅ 3 108. m/s;
también sabemos que velocidad de propagación de la onda, longitud de onda y frecuencia
están relacionadas entre sí a través de la ecuación:
c = λ ν (3.1)
la cual permite, obviamente, infinitos valores de λ y ν ; de hecho hay una gran variedad
de ondas electromagnéticas cuyas características satisfacen la ecuación (3.1).
Al conjunto de estas ondas se le llama espectro electromagnético; dado el enorme rango de
variación de la longitud de onda el espectro electromagnético está representado en la Figura
3.1 en escala logarítmica.
Como está señalada en la Figura 3.1 una muy pequeña porción del espectro e.m. corresponde a
la luz visible o sea a las ondas e.m. que pueden ser percibidas por el ojo humano; son aquellas cuyas longitudes de onda están comprendidas en el intervalo 4 000. Å ÷ 7 000. Å ( 1 Å =
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1 angström = 10 10− m) y correspondientemente sus frecuencias son del orden de 1014
Hz..
La Figura 3.2 muestra un diagrama de la luz visible y de los colores percibidos por el ojo
humano asociados a las diferentes longitudes de onda.
En este capítulo y en el próximo nos ocuparemos de los fenómenos conexos a la porción del
espectro e.m. correspondiente a la luz visible es decir desarrollaremos esa parte de la física
normalmente llamada óptica.
Si bien la luz sea una onda e.m. y por lo tanto sea capaz de rodear los obstáculos( 1 ) , en
nuestras observaciones cotidianas podemos ver que, en la mayoría de los casos, la luz se
propaga en forma rectilínea; para tal fin basta observar las sombras bien definidas proyectadas
por los objetos o la trayectoria de la luz que entra en una habitación oscura a través de un hueco en los póstigos de la ventana. La óptica geométrica analiza precisamente los
fenómenos luminosos y los sistemas ópticos para los cuales pueda considerarse válido el
principio de propagación rectilínea de la luz.
( 1 ) La capacidad de la luz para rodear los obstáculos fue observada por primera vez por
Grimaldi, cuyos estudios fueron publicados en 1665, sin embargo la experiencia común es que, normalmente, la luz se propaga en forma rectilínea; los fenómenos en los cuales la desviación de la luz (difracción) se hace evidente, deben tratarse mediante un formalismo ondulatorio y señalan el límite entre la óptica geométrica y la óptica física.
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Para estos fenómenos y estos sistemas ópticos reemplazaremos entonces las ondas luminosas
con los rayos entendiendo como rayos a las direcciones de propagación de los frentes de onda.
La Figura 3.3 muestra los frentes de onda y los correspondientes rayos para los casos de ondas luminosas que se propagan por ondas esféricas a partir de una fuente puntual o por ondas
planas a partir de una fuente puntual localizada en el infinito.
3.1 PRINCIPIO DE FERMAT Como hemos dicho en repetidas ocasiones, la velocidad de propagación de las ondas
electromagnéticas y por lo tanto de la luz es c = 3 108. m/s en el vacío; observaciones
experimentales realizadas a partir de los inicios del siglo XIX (Fizean, Foucault, etc...) y
medidas posteriores han demostrado que en diferentes medios de propagación (agua, vidrio, plástico.....) la luz tiene diferentes velocidades menores que c ; podemos entonces definir un
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número n que llamaremos índice de refracción del medio de propagación de manera que si
v es la velocidad de propagación de la luz en el medio, sea:
n cv = ó n c= / v (3.2)
Así si tenemos diferentes medios en los cuales la luz se propaga con velocidades v v v1 2, .... i podremos asociar a esos medios diferentes índices de refracción de modo que:
n n n n ci i1 1 2 2 3 3v v v v= = = = =.... (3.3)
Consideremos ahora un haz de luz que se propaga en un medio de índice de refracción n con velocidad v = c
n ; después de un tiempo t habrá recorrido una distancia AB S= dada
por:
AB S t= = v. (3.4)
En el mismo tiempo t un haz de luz, en el vacío, recorrería una distancia A B S S0 0 0= >
dada por:
A B S c t0 0 0= = . (3.5)
Teniendo en cuenta la relación (3.2): A B S n t n AB n S0 0 0= = = =. . .v (3.6)
A la distancia n S. = ∆ la denominamos camino óptico.
El concepto de camino óptico es obviamente útil para comparar trayectorias luminosas recorridas en distintos medios que, de otra manera, no serían comparables dado que en cada
medio la luz se propaga con diferente velocidad; en cambio los diferentes tramos de
trayectoria pueden compararse a través de los caminos ópticos asociados, dado que éstos
corresponden a trayectorias todas recorridas en el vacío.
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Así por ejemplo, si un haz de luz recorre tramos de trayectoria de longitudes S S S Si1 2 3, , .... en medios de índices de refracción n n n ni1 2 3, , .... respectivamente
(Figura 3.4).
La longitud total de la trayectoria será:
L S S S S Si ii= + + + + = ∑1 2 3 .... (3.7)
pero el camino aóptico total estará dado por:
∆ = + + + + = ∑n S n S n S n S n Si i i ii1 1 2 2 3 3 .... (3.8)
El camino óptico ∆ corresponde a la longitud de la trayectoria que la luz recorre, en el vacio,
en el mismo tiempo que emplea para recorrer la trayectoria de longitud L en los medios de índices de refracción n n ni1 2, , .... .
Volvamos ahora a considerar un haz de luz (ver Figura 3.4) que se propaga desde A hasta B
atravesando varios medios de diferentes índices de refracción; es evidente que es posible
imaginar muchas o más bien infinitas trayectorias que unen los puntos A y B ; el principio
de Fermat nos permite establecer cuál de todas las trayectorias imaginables es la que efectivamente recorre el haz de luz.
El principio de Fermat afirma que:
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La trayectoria real de un haz de luz es la que se asocia al camino óptico máximo, mínimo o estacionario.
Con relación al caso ilustrado en la Figura 3.4 este principio nos dice que de todas las
trayectorias que pueden trazarse entre los puntos A y B la que realmente recorre la
perturbación luminosa es la que cumple con la relación:
D D n Si ii∆ = =∑ 0 (3.9)
3.2 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION Las leyes de reflexión y refracción de la luz tienen indudables fundamentos experimentales,
sin embargo es posible obtenerlas por vía analítica utilizando el principio de Fermat.
Consideremos, por ejemplo, un haz de luz que se propaga desde el punto A hacia el punto B reflejándose sobre un espejo plano.
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Evidentemente podemos imaginar infinitas trayectorias para el haz de luz y es claro que éstas
dependen del punto del espejo en el cual pensemos vaya a reflejarse el haz; de manera que si
determinamos la posición del punto P habremos determinado la trayectoria real. Con relación a la Figura 3.5, si trazamos las perpendiculares al espejo desde los puntos A B, e
indicamos con M N, los pies de esas perpendiculares, podemos identificar la posición del
punto P a través de su distancia x con respecto al punto M .
Si ponemos AM h= 1 , BN h= 2 , MN = l entonces MP x= y PN x= −l de manera
que la longitud de la trayectoria del haz de luz será:
( )L AP PB h x h x= + = + + + −12 2
22 2
l
mientras el camino óptico asociado a la trayectoria será:
( )∆ = = + + + −n L n h x n h x. 12 2
22 2
l
siendo n el índice de refracción del medio en el cual este sumergido el espejo.
Dado que la trayectoria de la luz depende de la posición del punto P o sea del valor de x ,
podemos encontrar la trayectoria real aplicando el principio de Fermat, es decir imponiendo la condición:
( )( )
ddx
nx
h x
n x
h x
∆= −
++
−
+ −=
2
2
2
20
12 2
22 2
l
l
de donde obtenemos:
( )
x
h x
x
h x12 2
22 2+
=−
+ −
l
l
relación que es equivalente a la siguiente:
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MPAP
PNPB
= y entonces: sen senθ θ1 2=
relación ésta que solamente puede cumplirse cuando θ θ1 2= o sea cuando los ángulos de
incidencia y de reflexión son iguales.
Lo anterior implica entonces que la trayectoria real del haz de luz es la que se asocia a la
condición ddx∆= 0 (principio de Fermat) y que esta condición se satisface cuando θ θ1 2=
(ley de reflexión).
De la misma forma podemos obtener la ley de SNELL para la refracción.
Consideremos, por ejemplo, el caso de un haz de luz que se propaga desde el punto A situado en un medio de índice de refracción n1 hacia un punto B situado en un medio de índice de
refracción n2 ; en este caso también podemos imaginar infinitas trayectorias las cuales
difieren por la posición del punto P sobre la interfase en la cual incide la luz (Figura 3.6).
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La longitud de la trayectoria calculada con base en la Figura 3.6 será:
( )L AP PB x h x h= + = + + − +212 2
22l
y correspondientemente el camino óptico:
( )∆ = + + − +n x h n x h12
12
22
22l
Para determinar la trayectoria real introduzcamos la condición impuesta por el principio de
Fermat:
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( )
( )ddx
n x
x h
n x
x h
∆=
−
++
−
− +=
2
2
2
201
212
22
22
l
l
de donde obtenemos:
( )
n x
x hn x
x h1 2
12 2 2
22+
=−
− +
l
l
o sea : n n1 1 2 2sen senθ θ= (Ley se Snell) (3.10)
Otra consecuencia importante del principio de Fermat es el principio de reversibilidad; con
relación a la Figura 3.7, dicho principio establece que si T es la trayectoria que, de acuerdo
con el principio de Fermat, recorre un haz de luz que se propaga desde A hacia B , esa misma trayectoria T es la que recorre la luz que se propaga desde B hacia A .
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3.3 ESPEJOS ESFERICOS Y PLANOS
Un espejo esférico es un sistema óptico constituido por una porción de superficie esférica
recubierta por un material reflectante; el espejo puede ser cóncavo o convexo dependiendo de cual sea la superficie que refleja la luz.
.
Naturalmente los espejos esféricos forman imágenes, por reflexión, de fuentes luminosas;
estas imágenes pueden determinarse teniendo en cuenta que cada rayo que incide sobre el espejo se refleja de acuerdo con la ley ordinaria de la reflexión, es decir de manera que los
ángulos de incidencia y de reflexión sean iguales; sin embargo los espejos esféricos tienen
algunas propiedades que nos permiten localizar las imágenes a través de una simple relación
matemática que obtendremos a través de algunas hipótesis y aproximaciones.
Definamos eje óptico del espejo a la recta que pasa por el centro de curvatura de la superficie
esférica a la cual pertenece el espejo y por el centro geométrico o vértice del casquete esférico que conforma el espejo.
3.3.1 Propiedades focales.
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Si consideramos un conjunto de rayos incidentes paralelos al eje óptico del espejo,
experimentalmente puede observarse que esos rayos cuando se reflejan se cruzan todos,
aproximadamente, en un punto( 1 ) llamado foco del espejo.
La aproximación es bastante buena si consideramos rayos incidentes paraxiales o sea rayos
divergentes de la fuente luminosa contenidos en un cono de pequeña abertura angular
alrededor del eje óptico o rayos paralelos cercanos al eje óptico del espejo. Puede demostrarse fácilmente (Figura 3.9) que el foco está aproximadamente situado en el punto medio entre el
centro de curvatura y el vértice del espejo.
Con relación a la Figura 3.9 es fácil ver que TPC PCF$ $= porque son ángulos alternos
internos para las paralelas TP y CV , por otro lado TPC CPF$ $= por ley de reflexión, lo
cual implica que el triángulo CPF$ es isósceles porque FCP CPF$ $= , por lo tanto
CF FP= .
( 1 ) Esta observación sería estrictamente cierta para un espejo parabólico debido a las
propiedades geométricas de la parábola; para un espejo esférico los rayos se cruzan en una zona pequeña llamada cáustica que se vuelve con buena aproximación puntual para rayos paraxiales.
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Para rayos paraxiales FP FV≅ y entonces CF FV R≅ = 2 ; por consiguiente la
distancia focal FV f R= = 2 .
Para los espejos convexos los rayos que inciden paralelos al eje óptico son divergentes una
vez hayan sido reflejados por el espejo, pero sus prolongaciones también se cruzan
aproximadamente en un punto focal; en este caso se dice que el foco es virtual dado que en ese punto localizado detrás del espejo no hay una efectiva concentración de energía( 1 ) , sino
que los rayos reflejados por el espejo son percibidos como divergentes del punto focal.
(Figura 3.10).
.
Cuando los rayos luminosos inciden paralelos entre sí mas no paralelos al eje óptico, también
se cruzan en un punto una vez reflejados por un espejo cóncavo o también aparecen divergentes desde un punto cuando son reflejados por un espejo convexo; esos puntos están
situados sobre un plano perpendicular al eje óptico que pasa por el foco real o virtual del
espejo.
Ese plano que es el conjunto de todos los puntos en los cuales convergen los rayos reflejados
generados por rayos incidentes paralelos entre sí (espejo cóncavo) o desde los cuales
aparentemente divergen los rayos reflejados generados por rayos incidentes paralelos entre sí
( 1 ) El foco de un espejo cóncavo es real en el sentido que en ese punto hay una efectiva
concentración de la energía luminosa.
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(espejo convexo) se llama plano focal y es real para espejos cóncavos y virtual para espejos
convexos (Figura 3.11).
3.3.2 Fórmula de Gauss.
Veamos ahora como podemos determinar la posición de la imagen formada por un espejo
(cóncavo o convexo) cuando se conozca la posición del objeto fuente y las características del
espejo, es decir su radio de curvatura.
Con el fin de que la relación analítica que encontremos sea útil, es necesario que pueda
aplicarse cualesquiera que sean las características del espejo e indiferentemente si la imagen es
real o virtual; para garantizar lo anterior deben establecerse unas convenciones de signo que
resumimos así:
- La luz viaja de izquierda a derecha.
- Son positivas las distancias que se miden de izquierda a derecha.
- Son negativas las distancias que se miden de derecha a izquierda. - La distancia p del objeto al espejo se mide desde el objeto hacia el vértice.
- La distancia q de la imagen al espejo se mide desde la imagen hacia el vértice del
espejo; lo que implica que q es positiva para imágenes reales y negativa para imágenes
virtuales. - El radio de curvatura R se mide desde el centro de curvatura hacia el vértice del
espejo, de manera que es positivo o negativo según el espejo sea cóncavo o convexo.
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- La distancia focal f se mide desde el foco hacia el vértice del espejo, lo que implica
que f es positiva o negativa según el foco sea real o virtual.
Tracemos entonces la trayectoria de un haz de luz que incide sobre un espejo.
Con relación a la Figura 3.12 podemos observar que, en el triángulo OPI , el segmento CP
es bisector del ángulo CPI$ lo que implica de acuerdo con el teorema de la bisectríz (geometría euclidiana):
OP IP OC CI: := (3.11)
En la aproximación de rayos paraxiales podemos aceptar que OP OV p≅ = ,
IP IV q= = ; por otra parte es obvio que OC OV CV p R= − = − y,
CI CV IV R q= − = − , así que de la (3.11) obtenemos:
p q p R R q: := − −
de donde: pR pq pq qR− = − .
Reorganizando y dividiendo por p q R. . se llega a:
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1 1 2 1p q R f+ = = (3.12)
Esta ecuación llamada fórmula de Gauss es aplicable a cualquier espejo esférico siempre que
se tengan en cuenta las convenciones de signo; incluso la fórmula puede aplicarse a los espejos planos que, como se sabe, producen imágenes virtuales a la misma distancia detrás
del espejo a la cual está situada la fuente delante del espejo.
Para los espejos planos que pueden considerarse como espejos esféricos de radio R infinito se obtiene, a partir de la (3.12):
1 1 2 0p q R+ = =
de donde q p= −
que coincide con el resultado esperado.
3.3.3 Construcción gráfica de imágenes.
Sin recurrir a la fórmula de Gauss, es posible determinar con bastante precisión la posición de
la imagen producida por un espejo utilizando construcciones gráficas de acuerdo con las
siguientes reglas:
- Todo rayo que incide paralelamente al eje óptico se refleja de manera que pase por el
foco real o que su prolongación pase por el foco virtual.
- Todo rayo incidente que pasa por el centro de curvatura C se refleja sobre si mismo.
- Todo rayo incidente que pase por el foco real o cuya prolongación se dirija hacia el foco
virtual se refleja paralelamente al eje óptico (consecuencia del principio de reversibilidad).
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Las figuras siguientes presentan algunos casos de importancia obtenidos mediante el uso de
las
anteriores reglas.
Como puede deducirse de la Figura 3.13 un espejo cóncavo forma generalmente (excepto para p f< ) imagen real e invertida; el único caso en el cual el espejo cóncavo forma una imagen virtual y derecha ocurre cuando p f< , mientras un espejo convexo siempre produce
una imagen virtual y derecha.
3.3.4 Aumento.
La anterior figura también nos muestra como el tamaño de la imagen es variable de acuerdo
con la posición del objeto fuente; se define entonces como aumento del espejo a la relación A I= − 0 ( 1 ) entre los tamaños de la imagen y del objeto.
( 1 ) El signo negativo tiene en cuenta que cuando p q, son positivas (es decir para
imágenes reales), la imagen resulta invertida con respecto al objeto, mientras cuando
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Con relación a la Figura 3.14 hay varios pares de triángulos semejantes, por ejemplo:
1) Triángulo ABC y triángulo CNM para los cuales:
A I R qp R
= − = −−−0
(3.13)
2) Triángulo ABV y triángulo NVM para los cuales:
A I pq
= − = −0
(3.14)
3.4 SUPERFICIES REFRACTORAS ESFERICAS
Es sabido que prácticamente todos los instrumentos ópticos utilizan lentes y que las lentes
tienen superficies esféricas o planas que pueden fabricarse, por métodos mecánicos, a un costo razonable; es importante entonces analizar que ocurre a un haz de luz que atraviesa una
superficie refractora esférica que normalmente es una de las superficies de las lentes.
p es positiva y q es negativa (es decir para imágenes virtuales) la imagen resulta
derecha.
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Se llama superficie refractora esférica (S.R.E.) a una porción de superficie esférica que
separa dos medios de diferentes índices de refracción.
Si suponemos que la luz viaja de izquierda a derecha las superficies refractoras pueden clasificarse de acuerdo con la concavidad con respecto a la luz incidente en cóncavas y
convexas tal como se muestra en la Figura 3.15.
La Figura también nos muestra que el centro de curvatura de la superficie se encuentra a la
derecha o a la izquierda según la superficie sea convexa o cóncava.. A la recta que pasa por el centro de curvatura de la S.R.E. y por su centro geométrico o vértice
se le llama eje óptico; las propiedades de convergencia de las S.R.E. dependen de su
concavidad con respecto a la luz incidente y de los índices de refracción de los dos medios. Si n n2 1> (de aquí en adelante consideraremos únicamente este caso) las superficies refractoras
convexas son convergentes, en el sentido que los rayos refractados convergen en algún punto
produciendo una imagen real del objeto fuente, mientras las superficies cóncavas son
divergentes, en el sentido que los rayos refractados no se cruzan dando así lugar a una imagen
virtual del objeto fuente( 1 ) .
( 1 ) Las propiedades de convergencia se invierten si n n2 1< como puede
inmediatamente comprobarse mediante la aplicación de la Ley de Snell.
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3.4.1 Propiedades focales.
Las S.R.E. tienen dos focos que pueden ser reales o virtuales según la superficie sea convexa o cóncava (para el caso n n2 1> ).
Para el caso de una superficie convexa, y por lo tanto convergente, los focos pueden definirse
así:
Primer foco: Punto desde el cual divergen los rayos que, refractados por la superficie esférica, se vuelven paralelos al eje óptico.
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o también: punto en el cual debe situarse el objeto fuente para que la imagen producida por la S.R.E. esté localizada en el infinito.
Segundo foco: Punto en el cual convergen los rayos refractados por la S.R.E. cuando inciden
paralelos al eje óptico o también punto en el cual la S.R.E. forma la imagen de un objeto fuente localizado en el infinito.
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Para una superficie cóncava:
Primer foco: punto en el cual convergerían (si no hubiera S.R.E.) los rayos incidentes que
desviados por la S.R.E. se vuelven paralelos al eje óptico.
Como puede deducirse de la figura se trata de un foco virtual dado que en el punto F1 no hay
concentración de energía; en este caso el primer foco se encuentra a la derecha de la S.R.E..
Segundo foco: punto desde el cual aparentemente divergen los rayos refractados que inciden
paralelos al eje óptico.
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F2 también es un foco virtual y está localizado a la izquierda de la superficie.
También se definen, para la S.R.E., los planos focales que son los planos perpendiculares al eje óptico del sistema y que pasan por los focos.
Para las superficies convexas:
Primer plano focal (REAL)
Lugar geométrico de los puntos desde los cuales divergen los rayos que cuando inciden sobre
la superficie esférica se refractan paralelos entre sí
Segundo plano focal (REAL)
Lugar geométrico de los puntos en los cuales convergen los rayos refractados por la S.R.E. cuando inciden paralelos entre sí.
Para las superficies cóncavas:
Primer plano focal (VIRTUAL)
Lugar geométrico de los puntos en los cuales convergerían los rayos incidentes (si no hubiera
S.R.E.) que refractados por la superficie esférica se vuelven paralelos entre sí.
Segundo plano focal (VIRTUAL)
Lugar geométrico de los puntos desde los cuales aparentemente divergen los rayos refractados producidos por rayos incidentes paralelos entre sí.
La siguiente figura ilustra gráficamente las anteriores definiciones.
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3.4.2 Fórmula de Gauss para S.R.E.
Vamos ahora a obtener una relación matemática que nos permita encontrar la posición de la imagen producida por una S.R.E. cuando se conozcan sus características ( )n n R1 2, , y la
posición del objeto fuente. Como hicimos para los espejos esféricos establecemos antes unas
convenciones de signo que nos garanticen la validez de la fórmula cualquiera que sea la
superficie considerada.
- La luz viaja de izquierda derecha.
- Son positivas las distancias que se miden de izquierda a derecha y negativas aquellas
que se miden de derecha a izquierda. - La distancia p del objeto a la S.R.E. se mide desde el objeto hacia el vértice.
- La distancia q entre la S.R.E. y la imagen se mide desde el vértice hacia la imagen.
- La primera distancia focal f1 se mide desde el primer foco F1 hacia el vértice; por lo
tanto f1 0> si el foco F1 es real, f1 0< si el foco F1 es virtual.
- La segunda distancia focal f2 se mide desde el vértice hacia el segundo foco F2 ; por lo
tanto f2 es positiva o negativa según sea real o virtual el segundo foco.
- El radio de curvatura R se mide desde el centro de curvatura C hacia el vértice; por lo tanto R es positivo o negativo según la superficie sea convexa o cóncava.
Construyamos entonces la imagen I de un objeto puntual localizado sobre el eje óptico
mediante la simple aplicación de la ley de Snell a un rayo cualquiera (pero paraxial) que incide sobre la S.R.E.
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Con relación a la Figura 3.22 aplicamos el teorema de los senos a los triángulos OPC y
CPI y obtenemos:
( )p R R+
−=
sen senπ θ α1 ;
q R R−=
sen senθ γ2
de donde:
sen .senθ α1 =+p RR
; sen .senθ γ2 =−q RR
Es evidente que de acuerdo con la ley de Snell: n n1 1 2 2sen senθ θ= , lo que implica:
n p RR
n q RR1 2
+=
−.sen .senα γ (3.15)
En la aproximación de rayos paraxiales los ángulos α γ, son pequeños de manera que
senα α≅ tan y sen γ γ≅ tan ; igualmente K , que es el pie de la perpendicular trazada
desde P hacia el eje óptico, coincide aproximadamente con V , de manera que OK OV p≅ = ; KI VI q≅ = .
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Teniendo en cuenta estas aproximaciones podemos remplazar en la (3.15)
senα α≅ ≅tan hp
, sen γ γ≅ ≅tan hq
y obtenemos:
n p RR
hp
n q RR
hq1 2. . . .+
=−
de donde se obtiene fácilmente:
np
nq
n nR
1 2 2 1+ =−
(3.16)
que es la llamada fórmula de Gauss para superficies refractoras esféricas.
A través de la (3.16) podemos facilmente obtener la localización de los focos teniendo en cuenta que si p f= 1 entonces q = ∞ y viceversa si q f= 2 entonces p = ∞ , lo cual
implica:
f n Rn n1
1
2 1=
−.
(3.17)
f n Rn n2
2
2 1=
−.
(3.18)
de donde: ff
nn
12
12
= (3.19)
es decir que las distancias focales son proporcionales a los índices de refracción de los dos
medios separados por la S.R.E.. 3.4.3 Construcción gráfica de imágenes.
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Sin recurrir a la fórmula de Gauss puede determinarse, con buena aproximación, la posición
de la imagen producida por una S.R.E. realizando construcciones gráficas de acuerdo con las
siguientes reglas:
a) Un rayo que para por el centro de curvatura no se desvía. b) Un rayo que pase por (o se dirija hacia) el primer foco F1 (según éste sea real o
virtual), se refracta paralelamente al eje óptico.
c) Un rayo que incide paralelamente al eje óptico se refracta pasando por el segundo foco si éste es real, o de manera que su prolongación pase por el segundo foco F2 si éste es
virtual.
La Figura siguiente muestra algunos casos de interés.
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Como puede verse en la Figura 3.19 una S.R.E. convexa (cuando n n2 1> ) produce siempre
imagen real e invertida excepto cuando p f< 1 , caso en el cual se produce una imagen virtual
y derecha; una S.R.E. cóncava (para n n2 1> ) siempre produce imágenes virtuales y
derechas.
3.4.4 Aumento de una S.R.E.
Habiendo definido el aumento a través de la relación A I= − 0 podemos encontrar el
aumento de una S.R.E. haciendo referencia a la Figura 3.24.
Hay varios pares de triángulos semejantes:
a) La semejanza de los triángulos ABC y CDE nos da :
A I q Rp R
= − = −−+0
(3.20)
b) La semejanza de los triángulos ABF1 y F CV1 :
110
110
A I fp f
= − = −−0
1
1 (3.21)
c) La semejanza de los triángulos LVF2 y F DE2 :
A I q ff
= − = −−
02
2 (3.22)
3.5 LENTES DELGADAS Una lente es un sistema óptico limitado por dos superficies refractoras que tienen un eje en
común; por lo general las dos superficies son porciones de esfera o de plano y encierran un
medio cuyo índice de refracción es diferente con respecto a los índices de refracción que están
a ambos lados de la lente.
Cuando el espesor, medido en la dirección del eje de la lente, es lo suficientemente pequeño
para que pueda suponerse que la desviación de un rayo luminoso tenga lugar únicamente en el
plano que pasa por el centro de la lente, ésta se denomina lente delgada. Las lentes delgadas se clasifican según la forma y según las propiedades de convergencia así:
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Es importante anotar que las propiedades de convergencia de una lente dependen de los
medios situados a los lados de ésta y que cuando estos medios no se especifican se entiende
que la lente está sumergida en aire.
Para estudiar los efectos de una lente delgada sobre los rayos luminosos, así como hicimos en el análisis de los anteriores sistemas ópticos, utilizaremos la aproximación de rayos paraxiales
y supondremos que la lente sea lo suficientemente delgada para que las distancias con respecto
a la lente puedan medirse con respecto a un plano perpendicular al eje óptico del sistema y que
pase por el centro de la lente.
3.5.1 Propiedades focales.
Para las lentes convergentes se denomina primer foco F1 el punto desde el cual divergen los
rayos incidentes que cuando pasan por la lente se refractan paralelos al eje óptico.
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Por otra parte se define segundo foco F2 el punto en el cual convergen los rayos refractados
que inciden, sobre la lente, paralelos al eje óptico.
Si por los dos focos trazamos planos perpendiculares al eje óptico de la lente se obtienen los
planos focales que gozan de las siguientes propiedades:
Primer plano focal: lugar geométrico de los puntos desde los cuales divergen los rayos
incidentes que se refractan paralelos entre sí.
Segundo plano focal: lugar geométrico de los puntos en los cuales convergen los rayos refractados cuando inciden, sobre la lente, paralelos entre sí.
Para las lentes divergentes se denomina primer foco F1 el punto hacia el cual aparentemente
convergen los rayos incidentes que se refractan paralelos al eje óptico.
113
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Por otra parte se define segundo foco F2 el punto desde el cual aparentemente divergen los
rayos refractados que inciden paralelos al eje óptico.
Si por los dos focos trazamos planos perpendiculares al eje óptico de la lente, se obtienen los
planos focales que gozan de las siguientes propiedades:
Primer plano focal: lugar geométrico de los puntos hacia los cuales convergerían (en
ausencia de la lente) los rayos incidentes que se refractan paralelos entre sí.
Segundo plano focal: lugar geométrico de los puntos desde los cuales aparentemente divergen los rayos refractados que inciden paralelos entre sí.
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Como puede deducirse de las definiciones y de las Figuras 3.27, 3.28, 3.29, 3.30, los focos y
los planos focales son reales para lentes convergentes y virtuales para lentes divergentes.
3.5.2 Fórmula de Gauss para lentes delgadas.
Utilizando la aproximación de rayos paraxiales y las convenciones de signo que ya hemos
establecido para las S.R.E. vamos ahora a obtener una relación matemática mediante la cual es posible calcular la posición de la imagen producida por una lente delgada cuando se conozca
la posición de objeto fuente y las características del sistema óptico. Para lograr el objetivo
determinaremos la posición de la imagen producida por la primera S.R.E. y utilizaremos esa
imagen como objeto fuente para la segunda S.R.E. Con relación a la Figura 3.31 , en la cual se ha exagerado el espesor de la lente, calculamos a través de la fórmula (3.16) la posición de
la imagen I' producida por la primera S.R.E. así:
np
nq
n nR
1 2 2 1
1+ =
−'
(3.23)
115
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De acuerdo con lo que hemos dicho la imagen I' funciona ahora como objeto fuente de la segunda superficie de la cual dista V I p2 ' '= . Dado que, en este caso, esta distancia se
recorre de derecha a izquierda, I' es una fuente virtual para la segunda superficie y por lo tanto p' es negativa, de manera, que para la segunda S.R.E. podemos escribir:
− + =−n
pnq
n nR
2 3 3 2
2' (3.24)
Con relación a la Figura 3.31, es evidente que q x p' '= + , pero si la lente es delgada x ≅ 0
y por lo tanto podemos decir que V C V1 2≡ ≡ y q p' '≅ . Combinando las ecuaciones
(3.23), (3.24) se obtiene:
np
nq
n nR
n nR
1 3 2 1
1
3 2
2+ =
−+
− (3.25)
Esta última ecuación es la que generalmente se denomina fórmula de Gauss para lentes
delgadas en su forma más general. Si la lente está sumergida en aire n n1 3 1≅ ≅ y está hecha con un material de índice de
refracción n la relación (3.25) se simplifica así:1
( )1 1 1 1 1
1 2p qn
R R+ = − −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ (3.26)
Es fácil ver que en este caso( 1 ) las dos distancias focales f1 y f2 son iguales, de manera
que puede hablarse de la distancia focal f de la lente, la cual está dada por cualquiera de las dos condiciones p f= y q = ∞ ó p = ∞ y q f= , en ambos casos se obtiene, según la
(3.26):
( )1 1 1 1
1 2fn
R R= − −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ (3.27)
( 1 ) y en todos los casos en los cuales la lente está rodeada por un solo medio.
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Esta última relación se denomina fórmula del constructor de lentes porque evidentemente
permite construir una lente con una distancia focal predeterminada escogiendo el material con
un oportuno índice de refracción n y moldeándolo mediante superficies esféricas con los
radios de curvatura necesarios. A la magnitud P f= 1 se le denomina poder de la lente; esta magnitud es obviamente
positiva para las lentes convergentes (que tienen distancia focal positiva dado que los focos
son reales) y negativa para las lentes divergentes (dado que éstas tienen focos virtuales y por lo tanto distancia focal negativa); su unidad de medida es la dioptría equivalente naturalmente
a m−1 ; por ejemplo una lente cuyo poder sea P = +2 dioptrías es una lente convergente cuya
distancia focal es 0.5 metros.
Combinando las ecuaciones (3.26) y (3.27) se obtiene:
1 1 1p q f+ = (3.28)
ecuación formalmente idéntica a la (3.12) para los espejos esféricos.
3.5.3 Construcción gráfica de imágenes.
Sin recurrir a la fórmula de Gauss es posible determinar, con buena aproximación, la posición
de la imagen producida por una lente delgada teniendo en cuenta que los rayos que pasan por
(o se dirigen hacia) el primer foco se desvían paralelos al eje óptico, los que inciden paralelos al eje óptico se refractan de manera que pasan por (o divergen como si se generaran en) el
segundo foco y que los rayos que pasan por el centro de la lente no sufren desviación.
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Con estas simples reglas podemos visualizar la imagen de cualquier objeto-fuente y determinar si dicha imagen es real o virtual mediante construcciones gráficas, algunas de las
cuales se presentan en la Figura 3.32.
Tal como se muestra en la Figura 3.32 una lente convergente forma una imagen real e invertida siempre que p f> , pero forma una imagen virtual y derecha cuando p f< (éste
es el caso que se presenta cuando se utiliza una lente convergente como lupa).
Por otra parte una lente divergente produce siempre imágenes virtuales y derechas cualquiera que sea la posición del objeto-fuente.
3.5.4 Aumento de una lente - Fórmula de Newton.
Si definimos, como en los casos anteriores, el aumento de una lente a través de la relación
118
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A I= −
0
donde el signo negativo da cuenta de la inversión de la imagen real con respecto al objeto-fuente, es posible calcular el aumento estableciendo relaciones de proporcionalidad entre lados
homólogos en varias parejas de triángulos semejantes que pueden determinarse analizando la
Figura 3.33.
a) A partir de los triángulos semejantes ABF1 y F CH1 se obtiene:
A I fx
= − = −0 1
(3.29)
b) Si consideramos los triángulos semejantes GCF2 y F DE2 se obtiene:
A I xf
= − = −0
2 (3.30)
c) A través de los triángulos semejantes ABC y CHE obtenemos:
A I qp
= − = −0
(3.31)
119
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Las tres relaciones que hemos encontrado para el aumento son obviamente equivalentes; sin
embargo combinando las ecuaciones (3.29), (3.30) se obtiene:
x x f1 2
2. = (3.32)
esta relación denominada fórmula de Newton es particularmente interesante porque permite
localizar la imagen producida por la lente (en este caso su distancia con respecto al segundo
foco) conociendo la distancia focal de la lente y la distancia del objeto-fuente al primer foco; esto nos permite decir que la fórmula de Newton es equivalente a la fórmula (3.26) de Gauss.
3.6 PRISMAS
El prisma es un sistema óptico formado por dos superficies planas que se cortan formando un ángulo α y que separan medios de diferentes índices de refracción.
El prisma es, después de los lentes, el sistema de más amplia utilización en los aparatos
ópticos dado que puede funcionar como dispersor o reflector.
3.6.1 Dispersión de la luz.
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En la sección 3.1 observamos que la velocidad de la luz en los diversos medios de
propagación tiene diferentes valores siempre inferiores a c ≅ 3 108. m/s, que es la velocidad
de la luz en el vacío. Teniendo en cuenta este hecho experimental definimos el índice de
refracción n asociado a cada medio de propagación de manera que:
n c=
v (3.33)
Siendo v la velocidad de la luz en el medio de propagación considerado. Sin embargo si se analiza con más precisión la propagación de la luz en los diferentes medios se llega a la
conclusión que mientras la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas las
frecuencias que componen el espectro de la luz visible, la velocidad en una sustancia material
es distinta para las diferentes frecuencias.
De acuerdo con la relación (3.33), lo anterior implica que el índice de refracción de una
sustancia depende de la frecuencia de la radiación incidente.
( )n n= ν (3.34)
siendo menor para las frecuencias más bajas y mayor para las frecuencias más altas.
Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de
la luz visible) sobre un prisma, de conformidad con la ley de Snell, las diferentes frecuencias
componentes sufrirán diferentes desviaciones, siendo la luz violeta la más desviada y la luz
roja la menos desviada, de manera que, a la salida del mismo, la luz se abre en forma de abanico de colores o, como se dice, forma un espectro de dispersión en el cual es posible
identificar las diferentes frecuencias (es decir los diferentes colores) presentes en el haz
incidente.
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3.6.2 Desviación producida por un prisma. Consideremos un rayo de luz que incide bajo un ángulo ϕ 1 sobre la cara de un prisma; sea n
el índice de refracción del prisma, α su ángulo en el vértice y supongamos que el prisma esté
sumergido en el aire.
Se define como desviación del prisma al ángulo entre la dirección del rayo incidente y la
dirección del rayo emergente por la segunda cara.
Las observaciones experimentales muestran que variando el ángulo de incidencia ϕ 1 varía la
desviación producida por el prisma y que hay un valor de ϕ 1 para el cual ocurre la mínima
desviación entre los rayos incidente y emergente; con relación a la Figura 3.36, en la cual el
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prisma tiene forma de triángulo isósceles, la desviación mínima ocurre cuando el rayo al interior del prisma es paralelo a la base o sea cuando ϕ ϕ1 4= y ϕ ϕ2 3= .
Cuando se logra esta situación se dice que el prisma está en condiciones de desviación mínima.
Esta situación es muy ventajosa porque puede utilizarse el sistema para determinar, con gran
precisión, el índice de refracción de cualquier material con el cual se construya o se rellene el prisma; veamos como esto sea posible.
Analizando la Figura 3.36 es fácil ver que SPQ$ = −ϕ ϕ1 2 y SQP$ = −ϕ ϕ4 3 , de manera
que el ángulo de desviación δ , adyacente externo al triángulo SPQ , resulta ser:
δ ϕ ϕ ϕ ϕ= + − −1 4 2 3 (3.35)
Por otra parte la suma de los ángulos internos del cuadrilátero APRQ debe ser igual a 2π ,
es decir:
( )PAQ AQR QRP RPA$ $ $ $+ + + = + + − − + =α π π ϕ ϕ π π2 2
22 3
de donde:
α ϕ ϕ= +2 3 (3.36)
y reemplazando en la (3.35):
δ ϕ ϕ α= + −1 4 (3.37)
Dado que queremos encontrar el valor de ϕ 1 para el cual δ δ= min podemos diferenciar la
ecuación (3.37) de manera que: d d dδ ϕ ϕ= + =1 4 0 de donde d dϕ ϕ1 4= − (3.38)
123
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Por otra parte diferenciando la (3.36) y teniendo en cuenta que α es fijo:
d dϕ ϕ2 3 0+ = de donde d dϕ ϕ2 3= − (3.39)
La ley de Snell aplicada en el punto P se escribe (si el prisma está sumergido en aire):
sen senϕ ϕ1 2= n
que diferenciada nos dará:
cos . .cos .ϕ ϕ ϕ ϕ1 1 2 2d n d= (3.40)
La misma ley de Snell aplicada en Q :
n.sen senϕ ϕ2 4=
y diferenciando: n d dcos . cos .ϕ ϕ ϕ ϕ3 3 4 4= (3.41)
Dividiendo la (3.40) por la (3.41) y teniendo en cuenta las relaciones (3.38), (3.39):
coscos
coscos
ϕϕ
ϕϕ
1
4
2
3=
o sea:
11
11
21
24
22
23
−−
=−−
sensen
sensen
ϕϕ
ϕϕ
(3.42)
De acuerdo con la ley de Snell sen sen22
21
2ϕ ϕ=
n y sen sen2
3
24
2ϕ ϕ=
n, por lo
tanto la ecuación (3.42) puede reescribirse así:
124
124
11
21
24
2 21
2 24
−−
=−−
sensen
sensen
ϕϕ
ϕϕ
nn
(3.43)
El valor de ϕ 1 que satisface esta última ecuación es evidentemente el que conduce a la situación δ δ= min deseada; para n ≠ 1 la ecuación (3.43) solamente puede satisfacerse si
ϕ ϕ1 4= y por consiguiente ϕ ϕ2 3= , de manera que el prisma se encuentra en
condiciones de desviación mínima cuando el ángulo de incidencia ϕ 1 en la primera cara es
igual al ángulo de refracción en la segunda cara, o sea cuando el rayo al interior del prisma es
paralelo a la base.
Esta situación está ilustrada en la Figura 3.37.
Cuando el prisma está en condiciones de desviación mínima las ecuaciones (3.36), (3.37) se
simplifican así: α ϕ= 2 2 y δ δ ϕ α= = −min 2 1
de donde obtenemos:
125
125
ϕ α2 2= (3.44)
ϕ δ α1 2=
+min (3.45)
Recordando la aplicación de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma:
n =sensen
ϕϕ
1
2
Se obtiene:
n
min
=
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
sen
sen
δ α
α2
2 (3.46)
ecuación que permite el cálculo del índice de refracción de la sustancia de la que está hecho el
prisma a través de la medición precisa del ángulo al vértice y del ángulo de desviación mínima.
3.6.3 Reflexión total - Prismas reflectores. Consideremos dos medios de índices de refracción n n1 2, (con n n2 1> ), y supongamos
que una fuente de luz esté localizada en el medio de mayor índice de refracción; nos
proponemos analizar qué ocurre cuando la luz incide sobre la interfase entre los dos medios. De acuerdo con la ley de Snell, n n1 1 2 2sen senθ θ= y dada la condición n n2 1> , el
ángulo de refracción θ 1 resulta siempre mayor que el ángulo de incidencia θ 2 ; esto implica
que existe un valor θ 2 lim para el ángulo de incidencia para el cual resulta θ π1 2= o sea
para el cual el rayo refractado es paralelo a la interfase.
126
126
Es fácil ver que para ángulos de incidencia mayores de θ 2 lim , la ley de Snell daría para el
senθ 1 valores mayores de 1 , lo cual naturalmente es imposible.
¿Qué ocurre entonces con los rayos que inciden bajo ángulos θ θ2 2> lim ?
Experimentalmente se observa que estos rayos se reflejan completamente en el medio de índice de refracción n2 , o sea que la interfase (para esos rayos) se convierte en un espejo
perfecto, en el sentido que la luz no puede transmitirse al medio de índice de refracción n1 .
Es obvio que el valor del ángulo límite para la reflexión interna total (así se llama este fenómeno!) puede calcularse fácilmente con la condición que si θ θ2 2= lim entonces
θ π1 2= ; esta condición reemplazada en la ley de Snell para la interfase considerada nos da:
θ 21 1
2lim
nn
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−sen (3.47)
Por ejemplo si la fuente luminosa está localizada en el vidrio ( )n2 1 5= . , solamente saldrán
al aire ( )n1 1≅ aquellos rayos que inciden sobre la superficie de separación con ángulos
inferiores a:
127
127
θ 21 1
1 541 81lim = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= °−sen
..
Los rayos que inciden con ángulos superiores a 41 81. ° se reflejarán en el vidrio.
El fenómeno de reflexión interna total tiene interesantes aplicaciones para los prismas que se utilizan para reflejar la luz en muchos aparatos ópticos (binoculares, cámaras fotográficas,
etc....). Esta utilización de los prismas reflectores (ilustrada en dos casos simples en la Figura
3.39) es ventajosa con respecto a la utilización de los espejos porque un prisma utilizado en
condiciones de reflexión total refleja el 100% de la luz incidente, lo que no puede lograrse con ninguna superficie metálica; además las propiedades reflectantes son permanentes
mientras la reflexión de los espejos se altera con el tiempo por deslustrado de la superficie
reflectora.
La Figura 3.39 muestra dos casos típicos de prismas reflectores en los cuales la luz ingresa al
prisma sin sufrir desviación debido a la incidencia normal y luego se refleja totalmente una o
dos veces porque incide sobre la interfase con un ángulo de 45°mayor del ángulo límite para la reflexión total cuyo valor es 41 81. ° si el prisma estuviera hecho de vidrio.