optica fisica i problemas resueltos

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Libro optica fisica carreño con ejercicios resueltos de teoria electromagnetica, medios anisotropos, propagacion en fronteras entre medios y demas problemas de optica fisica nivel universitario de segundo tercero, con tensores y demas.

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Page 1: Optica Fisica I Problemas Resueltos
Page 2: Optica Fisica I Problemas Resueltos

OPTICA FISICA I

Problemas resueltos

Fernando Carreno y Miguel Anton

Facultad de Optica y Optometrıa

Universidad Complutense de Madrid

Septiembre 2014

Page 3: Optica Fisica I Problemas Resueltos
Page 4: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Fernando Carreno y Miguel Angel AntonISBN: 978-84-617-1291-9

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PROLOGO

Este libro, destinado a los alumnos de grados tecnicos, esta dividido en tres Temas:

Tema 1. Movimiento ondulatorio.

Tema 2. El campo electromagnetico.

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia.

Esta estructurado como sigue:

• Cada Tema tiene introduccion teorica que se ajusta a los criterios de libros habitualmenteempleados en la ensenanza de la optica como por ejemplo el de E. Hetch “Optica”. Se empleael sistema internacional de unidades.

• Seccion de problemas resueltos con abundantes graficos que ilustran las situaciones experi-mentales consideradas.

• Seccion de problemas propuestos, en los que se indican las soluciones numericas e ilustracionesgraficas de las situaciones experimentales consideradas.

El enunciado de los problemas se efectua de modo que su desarrollo siga procedimientos logicosy que permitan al lector “adivinar” las conexiones entre los diferentes apartados. Por otro ladohay continuas referencias entre los problemas de los diferentes Temas, en el sentido de que se haninterconexionado los mismos para darle unidad conceptual. En cualquier caso, en la resolucion seha procurado desvelar las estrategias de pensamiento que permiten llegar a las soluciones.

Ciertos ejercicios son clasicos y sirven para ejercitar los conceptos elementales involucrados, asıcomo la estimacion de ordenes de magnitud de las variables tıpicas: longitudes de onda, tamanos,trazados opticos, etc. Hemos incorporado una amplia gama de lo que podrıamos denominarejercicios contextuales: en ellos se plantean situaciones realistas que implican la introduccion aproblemas de otras disciplinas. Los ejercicios contextuales requieren un esfuerzo de pensamientoanadido e involucran la aplicacion de conocimientos globales, no solo de la optica sino tambiende otros campos de conocimiento. Asimismo permiten alcanzar objetivos importantes y a nuestroentender desatendidos en los textos tradicionales:

• Introduce estrategias de pensamiento y resolucion de problemas.

• Permiten la conexion con los contenidos de otras asignaturas, favoreciendo la vision deconjunto de los diferentes contenidos de la disciplina. Esto es mas acorde con la formaen que se produce el conocimiento cientıfico.

i

Page 7: Optica Fisica I Problemas Resueltos

ii

• Conecta los aspectos basicos de la asignatura o disciplina con los productos tecnologicosavanzados, instrumentacion optica de muy variados fines y procesos naturales. Se evitarıa asıla compartimentacion de conocimientos habitual que, pensamos, imposibilita una necesariavision de conjunto.

En esta nueva edicion hemos corregido erratas que nos han hecho llegar diferentes personas alas que manifestamos nuestro agradecimiento. Finalmente, agradecemos por anticipado las crıticasy sugerencias que nos hagan llegar los lectores.

Los autores.Madrid, Septiembre 2014.

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Contenidos

1 Movimiento Ondulatorio 1Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Polarizacion de las ondas. Promedios temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Introduccion al analisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 El campo electromagnetico 29Ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Energıa transportada por las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Interaccion de la radiacion con la materia 59Teorıa clasica de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Procesos de esparcimiento y absorcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Reflexion y refraccion en medios isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Medios anisotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bibliografıa 147

iii

Page 9: Optica Fisica I Problemas Resueltos

TEMA 1

Movimiento Ondulatorio

Ecuacion de ondas

Cuando una magnitud fısica, M , es perturbada con respecto a su valor en condiciones de equilibrio,y esa perturbacion se traslada a otras regiones del espacio al cabo de un cierto tiempo, decimosque se ha producido un movimiento ondulatorio.

La ecuacion que describe la propagacion de la perturbacion se denomina ecuacion de ondas.Esta ecuacion se obtiene de principios basicos: ası por ejemplo la ecuacion de ondas en una cuerdase obtiene a partir de la segunda ley de Newton; si consideramos las ondas que se propagan en unfluido, la ecuacion de ondas se obtiene a partir de las ecuaciones de movimiento de tal fluido, etc...

Si la magnitud perturbada es escalar, hablaremos de ondas “escalares”, mientras que si lamagnitud perturbada tiene caracter vectorial hablaremos de ondas “vectoriales”: un ejemplo delprimer tipo serıan las ondas en una cuerda o las variaciones de presion en un fluido, en tanto queun ejemplo del segundo caso serıan los campos electromagneticos.

Consideremos en primer lugar el caso de ondas escalares que se propagan en la direccion X.La ecuacion de ondas es una ecuacion diferencial en derivadas parciales para la magnitud M . Alo largo del presente libro vamos a considerar solamente aquellos casos en los que la ecuacion deondas es lineal : en estos casos tendremos

∂2M

∂x2− 1

v2∂2M

∂t2= 0, (I-1)

donde v es la velocidad de propagacion de las ondas consideradas. En el caso de considerarfenomenos ondulatorios lineales se verifica el denominado “principio” de superposicion.

Puede demostrarse que las soluciones mas generales de la ecuacion (I-1) son de la forma

M(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt), (I-2)

donde f y g son funciones arbitrarias que describen la propagacion de ondas progresivas que viajanen las direcciones +X y −X respectivamente.

1

Page 10: Optica Fisica I Problemas Resueltos

2 Problemas de Optica Fısica I

Como caso de especial interes cabe mencionar las soluciones armonicas del tipo

M(x, t) = M0 cos(kx− ωt+ φ0), (I-3)

donde k = 2πλ es el numero de ondas y ω = 2π

T = 2πν es la frecuencia angular. A la variable M0 sela denomina amplitud de la onda. Asimismo a la magnitud λ se la denomina longitud de onda operiodo espacial, y a T se le denomina periodo temporal. A la inversa del periodo se la denominafrecuencia (ν = 1

T ). En la ecuacion (I-3) a la variable φ0 se la llama fase inicial. El interes delas funciones trigonometricas para expresar movimientos ondulatorios estriba en su sencillez y suspropiedades cıclicas. Justamente el teorema de Fourier, que veremos brevemente mas adelante,permite expresar cualquier perturbacion en terminos de estas funciones elementales.

A la variable Θ = kx − ωt + φ0 se la denomina “fase de la onda”. Sustituyendo la expresion(I-3) en (I-1) vemos que ha de satisfacerse la siguiente relacion

ω = kv, o sea ν =v

λ. (I-4)

Al lugar geometrico de los puntos del espacio que verifica que la fase de la onda es constante sele denomina “frente de ondas”. En el caso de ondas como la indicada en (I-3), el frente de ondas esun plano, de ahı que se diga de estas ondas que son planas. Notese adicionalmente que si en (I-3)la variable M0 no depende de la variable espacial o temporal, diremos que se trata de una ondaplana homogenea, por contraposicion al caso en el que M0 =M0(t, x) (onda inhomogenea).

Cuando la direccion en la que se produce la perturbacion y la direccion en la que se propagason coincidentes hablaremos de ondas longitudinales mientras que cuando ambas direcciones sonperpendiculares entre sı hablaremos de ondas transversales.

En el caso de que la magnitud perturbada tenga caracter vectorial, ~M = (Mx,My,Mz), laecuacion de ondas vendra dada por

∂2Mx

∂x2− 1

v2∂2Mx

∂t2= 0,

∂2My

∂y2− 1

v2∂2My

∂t2= 0, (I-5)

∂2Mz

∂z2− 1

v2∂2Mz

∂t2= 0,

cuando el sistema de coordenadas elegidas es cartesiano y los vectores unitarios son ux, uy y uz. Laecuacion (I-5) puede escribirse de forma compacta en terminos del operador diferencial laplacianocomo

∇2 ~M − 1

v2∂2 ~M

∂t2= ~0. (I-6)

En el caso de ondas tridimensionales las soluciones armonicas tendran la forma

~M (~r, t) = ~M0 cos(~k · ~r − ωt+ φ0), (I-7)

donde ~k = (kx, ky, kz) =2πλ (cos(α)ux + cos(β)uy + cos(γ)uz) es el vector de propagacion, α, β y γ

son los cosenos directores y ~r = (x, y, z) determina las coordenadas del punto de observacion. Eneste caso el frente de ondas en un instante de tiempo dado, t0, es un plano cuya ecuacion esta dadapor

kxx+ kyy + kzz = cte. (I-8)

Page 11: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 3

Finalmente cabe considerar otras soluciones mas generales de la ecuacion (I-5) que son lasdenominadas ondas esfericas cuya expresion viene dada por

~M(~r, t) =~M0

rcos(kr ± ωt+ φ0), (I-9)

donde r = |~r|. En este caso los frentes de ondas son esferas y la amplitud de la perturbaciondisminuye inversamente con la distancia, cosa que no ocurre en las ondas planas.

Polarizacion de las ondas. Promedios temporales

En el caso de las ondas transversales se suele hablar de la nocion de polarizacion. Para ellotengamos en cuenta que si los vectores ~k y ~M0 no son colineales, entonces determinan un plano quese denomina plano de polarizacion. Por simplicidad consideremos dos ondas planas que se propaganen la direccion del eje Y , cuyas amplitudes son M1 y M2, tienen la misma frecuencia y vibran endirecciones perpendiculares entre sı, o sea

Mx(~r, t) = M1 cos(ky − ωt+ φ1),

y (I-10)

Mz(~r, t) = M2 cos(ky − ωt+ φ2),

donde φ1 y φ2 son constantes (independientes del tiempo). La onda resultante sera la suma deambas ondas y tendra la misma frecuencia, si bien el plano de polarizacion de la onda resultantepuede ser fijo o cambiante. En efecto, si considaremos una posicion fija del espacio y = y0 yanalizamos como evoluciona la resultante en funcion del tiempo se tendran los siguientes casos1:

• φ1 = φ2 + 2mπ con m un numero entero: el vector resultante en cada instante de tiempo se

encuentra contenido en una lınea recta que forma un angulo θ = tan−1(M2M1

)

con el eje X. Al

angulo θ se le denomina azimut. En este caso se dice que la onda resultante esta linealmentepolarizada.

• φ1 = φ2+(2m+1)π con m un numero entero: el vector resultante en cada instante de tiempo

se encuentra contenido en una lınea recta que forma un angulo θ = − tan−1(M2M1

)

con el

eje X. Al angulo θ se le denomina azimut. En este caso se dice que la onda resultante estalinealmente polarizada.

• φ1 = φ2+(2m+1)π2 , con m un numero entero yM1 =M2: en este caso el vector resultante encada instante de tiempo describe una circunferencia. Diremos entonces que la onda resultanteesta circularmente polarizada. Si la recorre en sentido horario diremos que es dextrogiray si lo hace en sentido antihorario diremos que es levogira.

• En el resto de los casos diremos que se trata de ondas elıpticamente polarizadas. De nuevoel sentido de recorrido las distinguira entre dextrogira y levogira.

Queda un ultimo caso en el que φ1 y φ2 cambian con el tiempo de manera completamenteazarosa, de modo que el plano de polarizacion cambiara tambien al azar, en cuyo caso diremos quela onda esta despolarizada.

1Para convencerse de ello basta escribir la ecuacion (I-10) en forma parametrica.

Page 12: Optica Fisica I Problemas Resueltos

4 Problemas de Optica Fısica I

Para detectar las ondas cuya frecuencia es elevada, piensese por ejemplo las frecuencias opticasdel orden de ν ≈ 1015 Hz, se usan sensores que no responden instantaneamente a la perturbacion, demanera que realmente proporcionan un promedio o, en otras palabras, integran la senal durante uncierto intervalo de tiempo: ası por ejemplo si se emplea una pelıcula fotografica para registrar unaescena debemos determinar la exposicion adecuada; si empleamos una fotocelula para determinarla cantidad de luz, el tiempo que tarda en cambiar la fotocelula es del orden de 10−9 segundos, quees sensiblemente superior al periodo temporal de la la onda luminosa.

Si llamamos T al tiempo caracterıstico de cambio de una onda, entonces el promedio de la senalU(t) se determina mediante

〈U〉 =1

T

∫ t+T/2

t−T/2U(t) dt, (I-11)

donde U(t) estara asociada a la magnitud perturbada (energıa por ejemplo). Puede ocurrir que elpromedio dependa de T explıcitamente.

Introduccion al analisis de Fourier

Las ondas armonicas puras como la expresada por la ecuacion (I-3) no tienen existencia fısica.En general las perturbaciones ondulatorias tienen una duracion temporal finita y, equivalentemente,estan acotadas espacialmente. Sin embargo podemos analizar los fenomenos ondulatorios con ondasarmonicas y, teniendo en cuenta el principio de superposicion, podremos conocer los fenomenosondulatorios reales si somos capaces de expresar estos en terminos de funciones armonicas. Elteorema de Fourier nos permite realizar este estudio.

En la version “sencilla” el teorema de Fourier se enuncia como sigue: dada una funcion f que

depende de la variable x y cuyo periodo de repeticion es λ0, puede descomponerse esta funcion como

una suma de funciones armonicas de diferentes amplitudes y periodos que son multiplos de λ0. Laecuacion que traduce este enunciado es como sigue:

f(x) =A0

2+

∞∑

j=1

Aj cos

(

j2π

λ0x

)

+∞∑

j=1

Bj sin

(

j2π

λ0x

)

, (I-12)

donde los coeficientes se determinan a partir de la siguiente ecuacion

Aj =2

λ0

∫ λ0

0f(x) cos

(

j2π

λ0x

)

, (j = 0, 1, ...∞) ,

y (I-13)

Bj =2

λ0

∫ λ0

0f(x) sin

(

j2π

λ0x

)

, (j = 1, ...∞) .

Notese que f0 =2πλ0

es lo que se denomina frecuencia fundamental. El termino A0 es un “fondo”constante que da una idea del valor medio de la senal en un periodo. Lo que nos indica la ecuacion(I-13) es sencillamente que la senal f(x) puede descomponerse como suma de senales armonicas queson multiplos enteros de la frecuencia fundamental junto con el fondo. Al conjunto de frecuenciasinvolucradas se le denomina contenido espectral de la senal (este conjunto puede ser finito o infinitonumerable).

La demostracion del teorema de Fourier se puede encontrar en textos de Analisis Matematico,donde se analiza las condiciones de continuidad y convergencia de la serie de Fourier. De particular

Page 13: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 5

interes resulta el elegir adecuadamente el sistema de ejes para computar los coeficientes Aj y Bj,dependiendo de la paridad de la funcion.

Es preciso notar que en la ecuacion (I-13) la variable x puede ser una coordenada espacial ouna variable temporal, dependiendo del tipo de senal que estemos analizando.

Existe otra version del teorema de Fourier que sirve para analizar senales que tienen un comienzoy un final, o sea, estan acotadas. En este caso se habla de la transformada de Fourier de la funcionf(x) que viene dada por

F(ω) =

∫ ∞

−∞f(x)eiωxdx. (I-14)

Puede demostrarse que si se verifica que∫∞−∞ |f(x)| < ∞, entonces la integral expresada en (I-14)

existe.Lo que nos indica la ecuacion (I-14) es que para descomponer f(x) como “suma” de funciones

armonicas deberemos emplear un conjunto infinito no numerable de funciones, o sea

f(x) =1

∫ ∞

−∞F(ω)e−iωxdx. (I-15)

La expresion (I-15) se denomina sıntesis de Fourier de la funcion f(x).

Page 14: Optica Fisica I Problemas Resueltos

6 Problemas de Optica Fısica I

PROBLEMAS RESUELTOS

Ecuacion de ondas

1.1 La ecuacion de una cierta onda es

y(x, t) = 10 sin [2π (2x− 100t)] , (1.1)

donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular:

• La amplitud.

A la vista de la ecuacion (1.1) deducimos que la amplitud de la onda es 10 metros, sibien no se especifica a que tipo de perturbacion esta asociada dicha expresion.

• La longitud de onda.

De la ecuacion (1.1) vemos que el numero de ondas es k = 2π2 = 2πλ (m−1), por lo que

la longitud de onda es λ = 0.5 m.

• La frecuencia.A partir de la ecuacion (1.1) vemos que la frecuencia de la onda es ν = 100 Hz. Por lotanto la frecuencia angular de la onda es ω = 200π rad s−1.

• La velocidad de propagacion de la onda.

Es bien conocido que la expresion (1.1) es la de una onda plana, por lo que la velocidadde fase vendra dada por vf = ω

k = 50 ms−1.

• Dibujar la onda en un instante de tiempo dado mostrando la longitud deonda.En la Figura 1.1 se muestra un tramo de la onda a partir de x = 0 en el instantet = 0 segundos. Asimismo se ha senalado la distancia que equivale al periodo espacial olongitud de onda.

• Considerar que la expresion (1.1) corresponde a las ondas transversalesproducidas en una cuerda uniforme de masa M y longitud L muy grande.Determinar la velocidad instantanea de desplazamiento de un punto de lacuerda.En este caso la magnitud y(x, t) de la ecuacion (1.1) representa el desplazamientotransversal de un punto de la cuerda cuya coordenada es x en funcion del tiempo.De este modo la velocidad con la que se desplaza transversalmente ese punto se puedeestablecer como

vy =∂y(x, t)

∂t= 2000π cos [2π (2x− 100t)] , (ms−1). (1.2)

• Siguiendo con el caso del enunciado anterior determinar la energıa cineticainstantanea de un punto de la cuerda.

Consideremos un instante de tiempo t = t0 antes de que al punto de coordenada x0 lleguela perturbacion, esto es, la cuerda esta sujeta por un extremo y tensa de modo que ningunpunto de la cuerda se mueve. En esta situacion de equilibrio, la energıa potencial deun tramo de cuerda de anchura ∆x ≪ L es igual en todos los tramos de cuerda. Aliniciarse en el extremo movil un movimiento respecto a la situacion de equilibrio, los

Page 15: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 7

0 1 2 3 4

x (m)

y(x

,t=

0)

(m

)

5 6

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

l

Figura 1.1: Representacion en el instante de tiempo t = 0 de un tramo de la onda (perfil espacial) dadapor la expresion (1.1).

diferentes tramos de cuerda se desplazan respecto a su situacion de equilibrio de modoque instantaneamente los tramos de cuerda se desplazaran respecto a su situacion deequilibrio de acuerdo con la expresion (1.1) y, como hemos visto en el apartado anterior,el tramo de anchura ∆x adquirira una velocidad dada por (1.2). De este modo la energıacinetica del tramo de cuerda considerado sera

E∆xc =

1

2m(∆x)

[∂y(x0, t)

∂t

]2

, (1.3)

donde m(∆x) = ∆xML . Si tenemos en cuenta lo anterior la expresion (1.3) puede

reescribirse como

E∆xc =

1

2∆x

M

L4× 106π2 cos2 [2π (2x0 − 100t)] , (J). (1.4)

Notese de paso que mientras que el desplazamiento y la velocidad instantanea de untramo de cuerda cambian con el tiempo con frecuencia angular ω, la energıa cineticacambia con el tiempo con frecuencia 2ω, ya que cos2(β) = 1

2(1+ cos(2β)), y en este casoβ = 2π (2x0 − 100t).

1.2 Dos ondas de la misma amplitud y frecuencia se propagan con igual velocidady en la misma direccion en sentidos contrarios. Determinar el movimientoondulatorio resultante.Comencemos por escribir la expresion de ambas ondas dadas por

y1(x, t) = a1 cos (kx− ωt) ,

(1.5)

y2(x, t) = a1 cos (kx+ ωt) ,

Page 16: Optica Fisica I Problemas Resueltos

8 Problemas de Optica Fısica I

donde a1 tendra las unidades correspondientes a la magnitud y correspondiente. Notese apartir de la ecuacion (1.5) que el modulo de la velocidad de fase, vf , de ambas ondas es elmismo. Ademas recordemos que se verifica la relacion ω = kvf .

Supondremos que la superposicion de ambas ondas sera una onda2 que estara dada por

yT (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2a1 cos(kx) cos(ωt), (1.6)

donde se ha tenido en cuenta la siguiente igualdad trigonometrica

cos(A) + cos(B) = 2 cos

(A−B

2

)

cos

(A+B

2

)

. (1.7)

Vemos que la onda resultante dada por la expresion (1.6) es la de una onda “estacionaria”.Vamos a ver las caracterısticas especıficas de este tipo de movimiento ondulatorio que con-trastan con las llamadas ondas “progresivas”.

En primer lugar, de la inspeccion ocular de la ecuacion (1.6) vemos que hay puntos en loscuales la perturbacion resultante es nula en todo instante de tiempo: en efecto, estos puntosson aquellos cuya coordenada x es tal que se cumple la relacion kx = (2m+1)π2 , donde m esun numero entero. A aquellos puntos en los que se cumple esta relacion se les llama nodos. Esfacil convencerse de que entre dos nodos adyacentes hay un punto en el cual la perturbacionalcanza el maximo valor ±2a1, a ese punto se le suele denominar “vientre”.

Un ejemplo donde son de interes las ondas estacionarias es el de la acustica musical. Con-sideremos una cuerda de guitarra de longitud L = 0.65 m. Sabemos que convenientemente“picada” podemos observar que se establece en la cuerda un movimiento en el cual el “vientre”se encuentra en la mitad de la cuerda: de hecho este efecto nos puede permitir afinar 5 cuerdassi previamente hemos afinado la otra con un diapason de referencia.

1.3 Dos ondas de la misma amplitud y velocidad pero de frecuencias ν1 = 1000 Hz yν2 = ν1 +∆ν = 1010 Hz respectivamente, viajan en la misma direccion a 10 m/s.Escribir las ecuaciones correspondientes a las ondas separadas y a su suma.Hacer un dibujo de la onda resultante.

La expresion de ambas ondas esta dada por

y1(x, t) = a1 cos(k1x− ω1t),

(1.8)

y2(x, t) = a1 cos(k2x+ ω2t),

donde ω1 = 2000π (rad s−1) y ω2 = 2020π (rad s−1). Notese que en la ecuacion (1.8) losnumeros de onda de ambas ondas son diferentes: esto es ası ya que nos dicen que la velocidadde propagacion de ambas ondas es la misma, por lo que si las frecuencias son diferentesnecesariamente los numeros de onda han de ser diferentes.

De la misma manera que en el problema anterior, la suma de ambas ondas sera una ondadada por

yT (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2a1 cos

[(k1 − k2

2

)

x−(ω1 − ω2

2

)

t

]

× cos

[(k1 + k2

2

)

x−(ω1 + ω2

2

)

t

]

, (1.9)

2Esto equivale a asumir que la ecuacion de ondas es lineal.

Page 17: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 9

donde de nuevo se ha tenido en cuenta la relacion (1.7). Es preciso notar que el segundotermino corresponde a una oscilacion rapida mientras que el primero corresponde a unaoscilacion lenta. En la Figura 1.2(a)-(b) se muestra como es el perfil temporal de cadaonda individual y el de la onda resultante en la posicion x = 0. En la Figura 1.2(c) se ha

t (s)

t (s)

t (s)

Tg

y(x

=0

,t)

1y

(x=

0,t

)2

y(x

=0

,t)

T

(a)

(b)

(c)

Figura 1.2: Representacion en la posicion x = 0 de un tramo de la onda (perfil temporal) para y1, (b)para y2 y (c) para la onda resultante dada por la expresion (1.9).

representado en continua la oscilacion rapida de la expresion (1.9) y en discontinua el perfiltemporal de evolucion de la envolvente de la onda resultante. La velocidad con la que sedesplazan los maximos de la envolvente esta dada por

vg =ω1 − ω2

k1 − k2. (1.10)

Si hiciesemos que ω2 ≈ ω1, en la expresion (1.10) se podrıa reemplazar los incrementos porla derivada, esto es, vg = dω

dk . A la magnitud vg se la denomina velocidad de grupo.

• Considerar una fuente de ondas planas progresivas que se mueve convelocidad uniforme vs en la direccion ±X. Si las ondas emitidas por lafuente tienen frecuencia ω, escribir la expresion de las ondas emitidas porla fuente en movimiento desde un sistema de referencia que esta en reposorespecto a la fuente.

Si consideramos que el sistema de referencia en el que la fuente esta en reposo es X ′Y ′Z ′,entonces la expresion de las ondas emitidas por la fuente vendran dadas por

E(x′, t) = E0 cos(ωt± kx′). (1.11)

Para expresar las ondas emitidas por la fuente en un sistema de referencia en reposo(XY Z) respecto a la fuente hemos de tener en cuenta las relaciones que ligan las

Page 18: Optica Fisica I Problemas Resueltos

10 Problemas de Optica Fısica I

coordenadas en ambos sistemas de referencia (transformaciones de Galileo) que son

x = x′ ± vst,

y = y′, (1.12)

z = z′,

t = t′.

De este modo la expresion de las ondas emitidas por la fuente en el sistema de referenciaXY Z esta dada por

E(x, t) = E0 cos [ωt± k(x± vst)] . (1.13)

La expresion (1.13) puede reescribirse como

E(x, t) = E0 cos(ω′t± kx), (1.14)

donde ω′ = ω ± kvs = ω ± ωc vs = ω(1 ± vs

c ). Este resultado expresa el conocido efecto

Doppler en su version no relativista.

El papel de la fuente y del observador son intercambiables naturalmente.

• Consideremos una fuente de radiacion de ondas de frecuencia ν = 1 GHz.Estas ondas inciden sobre un automovil que circula a una velocidad vc. Lasondas reflejadas y parte de la onda emitida por la fuente son combinadaspara dar una onda resultante. Escribir como es esta onda y analizar elresultado.Las ondas emitidas por la fuente vendran dadas por

Ee(x, t) = E0 cos(ωt− kx), (1.15)

y las ondas reflejadas por el automovil vendran dadas por

Er(x, t) ≈ E0 cos(ω′t+ kx), (1.16)

donde ω′ = ω(1 + vc/c). La perturbacion resultante proporciona un batido de ondasque, convenientemente analizadas, esto es, determinando la velocidad de grupo, permitedeterminar la velocidad vc del automovil (este es el principio basico de funcionamientode un radar de velocidad).

Polarizacion de las ondas. Promedios temporales

1.4 Dos ondas polarizadas en planos perpendiculares viajan en la direccion OXa la misma velocidad, c. Hallar el movimiento ondulatorio resultante en lossiguientes casos:

• A1 = 2A2 y de fases iguales,En este caso las expresiones de las ondas estan dadas por

My(x, t) = 2A2 cos(kx− ωt),

(1.17)

Mz(x, t) = A2 cos(kx− ωt),

Page 19: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 11

t5

t4

t4 t4

t5t5

t6

t6

t7

t7

t8t8

t9 t9

t10

t10

t3

t3t3

t2 t2

t2

t1 t1

t1

t6

x

My

Mz

My

(b)

Mz

My

(c)

Mz

(a)

Figura 1.3: Representacion en diferentes instantes de tiempo de la vibracion resultante de la superposicionde dos ondas que vibran perpendicularmente entre sı y se propagan en la misma direccion: (a) dos ondas enfase y amplitudes diferentes, (b) dos ondas desfasadas π/2 y amplitudes iguales y (c) dos ondas desfasadasπ/2 y amplitudes diferentes.

donde A2 tiene las unidades de la magnitud M : notese que la ecuacion (1.17) corres-ponde a dos ondas que vibran a lo largo de los ejes Y y Z respectivamente y que sepropagan a lo largo del eje X. En la Figura 1.3(a) se muestran los valores resultantesde la vibracion en x = 0 para los instantes de tiempo t1 = 0, t2 =

112ω , t3 =

18ω , t4 =

16ω ,

t5 =14ω , t6 =

13ω . Notese que si se traza el vector resultante desde el origen, este siempre

vibra en la misma direccion, de ahı que se afirme que la onda resultante esta linealmente

polarizada. El angulo que forma el vector resultante con el eje Y se le denomina azimut

y en este caso es ξ = 26.570.

• A1 = A2 y desfasadas π/2.

En este ejemplo las expresiones de las ondas vienen dadas por

My(x, t) = A2 cos(kx− ωt+ π/2),

(1.18)

Mz(x, t) = A2 cos(kx− ωt).

Si procedemos como en el caso anterior y representamos en el plano Y Z los valoresinstantaneos de la onda en diferentes instantes de tiempo observamos que en este casola direccion de vibracion de la onda resultante no es fija sino que cambia, como puedeapreciarse en la Figura 1.3(b). Notese que se han anadido otros instantes temporalest7 = 1

2ω , t8 = 23ω , t9 = 3

4ω y t10 = 45ω . En este caso la vibracion resultante se dice que

esta circularmente polarizada. Notese que el sentido de giro de la vibracion resultantetiene lugar en el sentido contrario a las agujas del reloj de ahı que se le denomine giro

levogiro.

Page 20: Optica Fisica I Problemas Resueltos

12 Problemas de Optica Fısica I

• A1 = 2A2 y desfasadas π/2,

Ahora las expresiones de las ondas vienen dadas por

My(x, t) = 2A2 cos(kx− ωt+ π/2),

(1.19)

Mz(x, t) = A2 cos(kx− ωt).

Procediendo como anteriormente llegamos a la conclusion de que la vibracion resultanteesta elıpticamente polarizada y el sentido de giro es levogiro. Esta situacion se harepresentado en la Figura 1.3(c).

En todos los casos anteriormente mencionados vemos que dos ondas que vibran perpendicular-mente entre sı, tienen la misma frecuencia y la misma direccion de propagacion, proporcionanuna onda resultante que en una posicion fija del espacio evoluciona describiendo una lınearecta, una circunferencia o una elipse. En el caso de la optica veremos en el Tema 3 comoondas que inicialmente estan linealmente polarizadas al atravesar un cierto medio materialpueden pasar a estar circular o elıpticamente polarizadas, o bien seguir siendo linealmentepolarizadas.

1.5 Una fuente puntual emite ondas esfericas de λ = 500 nm. Estimar a quedistancia hay que colocarse de la fuente para que sobre un area circular deun centımetro cuadrado las ondas esfericas difieran de una onda plana en λ/10.

Consideremos una fuente puntual S colocada en el origen de coordenadas que emite ondasesfericas de la forma

y(r, t) =y0rcos(kr − ωt). (1.20)

La expresion para una onda plana serıa

y(r, t) = y0 cos(ky − ωt). (1.21)

Estamos interesados en computar la diferencia entre el frente de ondas esferico y uno planoen un area de Ap = 1 cm2 (area de prueba) tal y como se muestra en la Figura 1.4. El radio

del area de prueba sera rp =√

Ap/π =√

10−4

π metros. La diferencia de camino optico en el

borde del area de prueba sera

∆ = r − y, (1.22)

donde r =√

x2 + z2 + y2. Como ∆ < λ10 , de la ecuacion (1.22) obtenemos una desigualdad

tal que si realizamos las operaciones pertinentes, teniendo en cuenta que x2 + z2 = r2p =3.183 × 10−5, llegamos a que se ha de verificar

r2p ≤ λ2

100+yλ

5≈ yλ

5, (1.23)

o lo que es lo mismo, la distancia y ha de ser mayor de 318.3 metros.

El interes de este problema radica en que permite estimar a que distancia de una fuente deondas esfericas nos hemos de colocar para poder considerar que localmente las ondas sonplanas. Veamos esto para el caso de ondas luminosas procedentes del sol y que llegan a lasuperficie terrestre.

Page 21: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 13

Podemos considerar que el radio de la orbita de la tierra es Rt = 1.49×1011 m (supondremospor simplicidad que la orbita es circular). El tamano tıpico de un detector de radiacion es de10−4 m2. De este modo en la region de receptora el frente de ondas esferico emitido por el Soles localmente plano, en el sentido de que en la region de interes el frente de ondas se desvıa de

un plano en la cantidadr2p2Rt

= 3.36× 10−16 (metros) que resulta ser muy inferior a cualquierlongitud de onda del espectro visible. Ası pues podremos considerar que la luz procedentedel sol que incida sobre un sistema optico convencional estara esencialmente colimada.

Z

Y

X

S

y

r

Q

área deprueba

Figura 1.4: Fuente puntual que emite ondas esfericas que se observan en un area de 1 cm2 en torno alpunto Q.

1.6 Determinar el promedio temporal de la siguiente onda

E(r, t) = E0 cos(ωt− kr). (1.24)

La expresion (1.24) corresponde a una onda monocromatica cuyo periodo de cambio caracte-rıstico es T = 2π

ω . El promedio temporal se determina mediante la expresion

〈E(r)〉 =1

T

T∫

0

E(r, t)dt. (1.25)

Realizando la integral indicada en (1.25) se llega a que 〈E(r)〉 = 0, esto es, aunque la magnitudE cambie instantaneamente con el tiempo, el promedio del cambio en un periodo es nulo.

Para entender este resultado acudamos al ejemplo mecanico de las ondas en una cuerda, estoes, que E(r, t) represente el desplazamiento transversal de un tramo de cuerda. Lo que nosindica el resultado (1.25) es que ese tramo de cuerda en promedio no se desplaza, a pesar deque instantaneamente sı lo haga como indica (1.24).

Page 22: Optica Fisica I Problemas Resueltos

14 Problemas de Optica Fısica I

• Determinar asimismo el promedio temporal de |E|2.En este caso hemos de computar la siguiente integral

|E(r)|2⟩

=1

T

T∫

0

E20 cos

2(ωt− kr)dt. (1.26)

Si tenemos en cuenta que cos2(α) = 12 [1 + cos(2α)], se obtiene finalmente que

|E(r)|2⟩

=E2

0

2. (1.27)

Si, por ejemplo, la magnitud E representa la propagacion de una onda armonica en unacuerda, la ecuacion (1.27) nos informa acerca de la energıa cinetica o potencial adquiridaen promedio. En efecto recordemos del problema 1 de este Tema que la energıa cineticainstantanea de un tramo de cuerda es proporcional al cuadrado de la amplitud delmovimiento y cuya frecuencia era el doble que la del desplazamiento. Notese el contrastedel resultado obtenido en (1.27) con el expresado en (1.25).

Introduccion al analisis de Fourier

1.7 Supongamos que en un punto del espacio llega una perturbacion ondulatoriacuya variacion temporal viene dada por

E(t) = E0e−γt cos(ω0t), (1.28)

para t > 0 y nula para t < 0. Suponer que γ ≥ 0.

• Dibujar la variacion temporal de la perturbacion.

Si γ = 0 la expresion (1.28) corresponde a una onda armonica de frecuencia ω0. Sinembargo cuando γ > 0 corresponde a una onda amortiguada. En la Figura 1.5 semuestra la evolucion temporal de la onda amortiguada para dos valores de la constantede amortiguamiento diferentes, donde γ1 < γ2. Como puede apreciarse en el caso demayor amortiguamiento la oscilacion se atenua mas rapidamente.

• Calcular el espectro en frecuencias de esta perturbacion.Para determinar el espectro en frecuencias de la onda amortiguada hemos de realizarla descomposicion en terminos de la integral del Fourier de la onda considerada. Ası latransformada vendra dada por

G(ω) =

∞∫

−∞

E(t)eiωt dt. (1.29)

Para realizar la integral indicada en (1.29) expresaremos la ecuacion (1.28) en la forma

E(t) = E0e−γt 1

2

(eiω0t + e−iω0t

). (1.30)

Page 23: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 15

g1

t t

E(t)

E0

E(t)

E0

g2

Figura 1.5: Forma del perfil temporal de dos ondas amortiguadas con diferentes constantes de atenuacion.

Con lo que finalmente resulta

G(ω) =E0

2

(

− 1

i(ω + ω0)− γ+

1

i(ω − ω0)− γ

)

. (1.31)

Notese que la expresion (1.31) puede ponerse como

G(ω) =E0

2

(

− 1

z1+

1

z2

)

, (1.32)

donde z1 y z2 son numeros complejos. Si analizamos como es el modulo de z1 y el de z2vemos que se tiene |z1| ≪ |z2|, de ahı que el primer termino de la ecuacion (1.31) puededespreciarse frente al segundo, por lo que cabe aproximar el espectro como

G(ω) ≈ E0

2

1

i(ω − ω0)− γ. (1.33)

• Calcular el modulo |E(ω)|2 y encontrar la relacion entre γ y la anchura de|E(ω)|2 a mitad de altura.

A partir de la ecuacion (1.33) obtenemos la densidad espectral de potencia dada por

|G(ω)|2 =E2

0

4

1

(ω − ω0)2 + γ2. (1.34)

Notese que cuanto mayor es el factor de amortiguamiento, mas ancho es el espectro comose aprecia en la Figura 1.6 o, en otras palabras, para sintetizar una onda que se amortiguarapidamente necesitaremos “sumar” mas ondas monocromaticas de frecuencias cada vezmas alejadas de ω0.

A partir de la ecuacion (1.34) vemos que si ω = ω0, entonces |G(ω0)|2 =E2

04γ2 . Para

determinar una anchura espectral caracterıstica se emplea el criterio de calcular la

Page 24: Optica Fisica I Problemas Resueltos

16 Problemas de Optica Fısica I

|G( )w |2

g1

1

0

g2

ww0

Dw

Figura 1.6: Densidad espectral de potencia para los casos considerados en la Figura 1.5. Los datos hansido normalizados a sus respectivos valores maximos.

frecuencia ω1 para la cual |G(ω1)|2 = |G(ω0)/2|2. Con lo que resulta ω1 − ω0 = γ.Y la anchura espectral resulta ser ∆ω = 2γ. En la Figura 1.6 se ha senalado la anchuraespectral (∆ω) de una de las ondas consideradas.

1.8 Determinar la transformada de Fourier de la funcion rectangulo definida por:

f(x, x0, a) =

0 si |(x− x0)/a| > 12 ,

1 si |(x− x0)/a| < 12 ,

12 si |(x− x0)/a| = 1

2 .(1.35)

Esta funcion ası definida esta acotada y la emplearemos con profusion mas adelante. Latransformada vendra dada por

G(k) =

∞∫

−∞

f(x, x0, a)eikx dx, (1.36)

donde k tendra dimensiones de inverso de longitud (de ahı que en este caso se hable defrecuencia espacial y se suele especificar en lıneas por milımetro). Sustituyendo la expresion(1.35) en (1.36) se llega a que

G(k) =

∫ x0+a/2

x0−a/2eikx dx = a eikx0

sin(ka/2)

ka/2. (1.37)

Habitualmente se suele definir la funcion sinc(x) ≡ sin(x)x de modo que el resultado expresado

en (1.37) se escribe de manera mas compacta.

Notese que si x0 = 0 la transformada de Fourier es la funcion sinc, sin embargo al desplazarla funcion rectangulo a un punto x0 6= 0, esto solo afecta a la transformada en un factor defase.

Page 25: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 17

• En ocasiones resulta de interes el estudio de la transformada de Fourier dela funcion rectangulo “apodizada” definida por

fA(x, x0, a) =

0 si∣∣∣(x−x0)

a

∣∣∣ > 1

2 ,

A0 cos(πax)si∣∣∣(x−x0)

a

∣∣∣ < 1

2 ,

12 si

∣∣∣(x−x0)

a

∣∣∣ = 1

2 .

(1.38)

Determinar la transformada de Fourier de fA.

En este caso la transformada viene dada por

G(k) =

∫ x0+a/2

x0−a/2eikx

A0

2

(

eiπax + e−iπ

ax)

dx. (1.39)

Tras realizar la integracion indicada se llega finalmente a que

G(k) =A0a

2eikx0

sinc[(

k +π

a

) a

2

]

+ sinc[(

k − π

a

) a

2

]

. (1.40)

1.9 La extension del teorema de Fourier a funciones de dos variables es inmediataa partir de la definicion (I-14). Determinar la transformada de Fourier de lafuncion bidimensional

f(x, y,R) =

0 si x2 + y2 > R2,1 si x2 + y2 < R2,

(1.41)

Esta funcion ası definida tambien esta acotada y sera empleada con profusion mas adelante.La transformada vendra dada por

G(kx, ky) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

f(x, y,R)ei(kxx+kyy) dxdy. (1.42)

Para realizar la integral indicada en (1.42) es preferible expresarla en coordenadas polares:x = r cos(θ), y = r sin(θ), kx = k cos(φ) y ky = k sin(φ). De este modo se tendra que dxdy =rdrdθ. Analogamente podemos escribir kxx + kyy = kr [cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ)] =

kr cos(θ−φ) [ver Figura 1.7(a) ], donde k =√

k2x + k2y y r =√

x2 + y2. Con esto la ecuacion

(1.42) puede escribirse como

G(kx, ky) =

∫ R

0

∫ 2π

0rdrdθeikr cos(θ−φ). (1.43)

Si imponemos que el resultado de (1.43) tenga simetrıa axial, esto es que no dependa de φ,podemos tomar φ = 0 y de este modo la integral angular queda como

∫ 2π

0eikr cos θdθ = 2πJ0(kr), (1.44)

donde J0(x) denota la funcion de Bessel de primera especie de orden cero. De este modollegamos a que

G(kx, ky) = 2π

∫ R

0J0(kr)rdr. (1.45)

Page 26: Optica Fisica I Problemas Resueltos

18 Problemas de Optica Fısica I

(a)

R

r

q

(b)

k

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

|G(k

)|2

Figura 1.7: (a) Geometrıa para calcular la integral expresada en (1.42) y (b) representacion de unaseccion del disco de Airy.

Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones de Bessel de primera especie se llega aque la integral radial es

G(kx, ky) = 2πR

kJ1(kR), (1.46)

donde J1(x) es la funcion de Bessel de orden uno. De particular interes es el modulo alcuadrado de la trasformada que se conoce como funcion de Airy. En la Figura 1.7(b) semuestra el aspecto de esta funcion.

1.10 Consideremos la onda cuya expresion esta dada por

E(t) =

0 si t < 0,sin(2πτ t)= sin(νt) si t > 0.

(1.47)

Esta onda tiene un comienzo en el instante t = 0 pero no esta acotada. Probarque si permitimos que ω sea una variable compleja existe una representacionintegral de (1.47) en la forma

E(t) = −1

τ

Le−iωt dω

ω2 − ν2, (1.48)

donde L es un contorno de integracion adecuado en el plano complejo.

En primer lugar hay que tener en cuenta el hecho de que, al contrario que una onda mono-cromatica que se extiende desde −∞ hasta ∞, una senal real tiene un origen temporal. Sinembargo para senales que estan acotadas solo en un extremo tal como la dada en (1.47) laforma usual de la transformada de Fourier no es adecuada ya que la integral de la funcionE(t) diverge. En la Figura 1.8(a) se muestra esta senal.

Veamos que la representacion (1.48) reproduce la senal dada en (1.47): para ello consideremos

Page 27: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 19

Señal

t0

(a)(b)

0

2p/t-2p/t

Figura 1.8: (a) Representacion de un tren de ondas limitado en uno de sus extremos. (b) Caminos deintegracion en el plano complejo.

el caso de que t < 0, con lo cual si tomamos ω = a + ib con a y b constantes positivas, laexponencial de la integral e−iωt = ebteiat decrece cuando b crece. Podemos hacer que elcamino de integracion en el semiplano superior se extienda todo lo que queramos, lo cual seindica con las flechas ↑, por lo que la funcion E(t) se anula para t < 0, tal como prescribela ecuacion (1.47). Para instantes de tiempo t > 0, el camino de integracion ha de sortearlas singularidades de ω que son polos de orden uno [ver Fig. 1.8(a) ]. La integracion a lolargo del camino en el semiplano inferior (se indica con las flechas ↓) se puede llevar a cabomediante el metodo de los residuos y el resultado es

E(t) = −1

τ

residuos

Res

(

e−iωt dω

ω2 − ν2

)

= sin

(2π

τt

)

, (1.49)

por lo que se reproduce el resulado prescrito en (1.47).

El interes de este desarrollo radica en su utilidad en el estudio de la propagacion de esta senalen un medio dispersivo, en particular en el estudio de los llamados “precursores”.

Page 28: Optica Fisica I Problemas Resueltos

20 Problemas de Optica Fısica I

PROBLEMAS PROPUESTOS

Ecuacion de ondas

1.1 La ecuacion de una onda transversal esta especificada por la expresion

y(x, t) = 1/3 sin [π(0.25x − 25t)] ,

donde x e y se especifican en centımetros y t en segundos.

(a) Hallar la amplitud, el numero de ondas, la longitud de onda, el perıodo temporal y lavelocidad de propagacion de la onda.

SOL: (a) A = 13 × 10−2 m, k = 25π m−1, λ = 0.08 m, T = 2

25 s, v = 1 ms−1.

1.2 Especificar la expresion de una onda armonica longitudinal que se mueve en la direccion Xnegativa con amplitud 0.0025 m, frecuencia 6 Hz y velocidad de 300 m/s.

SOL: y(x, t) = 0.0025 cos[π(

x25 + 12t

)](m).

1.3 ¿Cuantos periodos espaciales de una radiacion visible de longitud de onda 600 nm se precisanpara cubrir una distancia de 1/10 mm?

SOL: nperiodos = 166.6.

1.4 Escribir una expresion para la onda que se muestra en la Figura 1.9. Determinar su longitudde onda, su velocidad y su frecuencia.

SOL: y(z, t) = 2.5 cos(ωt− kz + φ), λ = 0.5µm, v = 3× 108 m/s, ν = 5, 99988× 1014 Hz, yφ = 0.

1.5 Consideremos una onda transversal que se propaga en la direccion X con velocidad de fase c.

(a) Escribir la ecuacion que describe la perturbacion yi(t, x).

(b) La onda se refleja completamente en la superficie de un cierto medio material (metal).Escribir la ecuacion de la onda reflejada yr(t, x).

(c) Escribir la expresion resultante de la superposicion de la onda incidente y la ondareflejada, yT (t, x), y analizar sus propiedades.

(d) En contacto con la superficie del metal y formando un pequeno angulo α se coloca unapelıcula fotografica que es expuesta durante un cierto tiempo (ver Figura 1.10). Tras serrevelada se examina visualmente la pelıcula: indicar razonadamente cual sera el aspectodel registro fotografico.

SOL: (a) yi(t, x) = A0 cos(ωt − kx), (b) yr(t, x) = A0 cos(ωt + kx), (c) yT (t, x) =2A0 cos(kx) cos(ωt).

Page 29: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 21

-2.50

-1.25

0.00

1.25

2.50

(a)

z (nm)

z (nm)

z (nm)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

(b)

(c)

Figura 1.9: Representacion del estado de vibracion de una onda en funcion de la coordenada z (expresadaen nm) en distantes instantes de tiempo: (a) t = 0 s, (b) t = 0.8333× 10−15 s y (c) t = 1.6667× 10−15 s.

1.6 Consideremos que el perfil de una onda cuya expresion esta dada por ψ(x, t) = 25(x−vt)2+2

(unidades arbitrarias), donde x se expresa en metros y t en segundos sabiendo que la velocidadde propagacion es v = 0.5 m/s. Realizar el esquema grafico del perfil de la onda en los instantest = 0, 2, y 4 s. ¿Cual es la direccion de propagacion de la onda?

SOL: La onda se propaga en la direccion +X.

1.7 Considere la situacion que se describe en la Figura 1.11 cuando se consideran ondas que sepropagan con velocidad de fase c = 3 × 108 m/s fuera de la lamina y que el espesor de lalamina es 0.05 cm. Conteste a las siguientes preguntas:

(a) ¿Cuantas longitudes de onda (np) de λ0 = 500 nm se extienden entre Ai y Af si AiAf =50 cm?

(b) ¿Cuantas longitudes de onda (np′) de λ0 = 500 nm se extienden entre Bi y Bf ( BiBf =50 cm) sabiendo que dentro de la lamina la velocidad de propagacion de las ondas es0.98 veces menor que la velocidad en el trayecto entre Ai y Af?

(c) Computar el retardo (∆t) introducido por la presencia de la lamina.

(d) Expresar las ecuaciones de las ondas que llegan a Af y Bf en el mismo instante detiempo.

SOL: (a)np = 106, (b) np′ = 1.00002 × 106, (c)∆t = 1.02−1c d = 3.4× 10−14 s.

(d)yAiAf(x, t) = A0 cos(ωt− kx),

yBiBf(x, t) ≈ A0 cos(ω(t−∆t)− kx).

1.8 Una cadena de emisoras radiofonicas emite ondas con longitudes de onda entre 30 y 100metros. Determinar la banda de frecuencias de emision de esta cadena.

Page 30: Optica Fisica I Problemas Resueltos

22 Problemas de Optica Fısica I

a

películafotográfica

Figura 1.10: Esquema de la superficie del metal y la pelıcula fotografica (experimento de Wiener).

e

Ai Af

Bi Bf

Figura 1.11: Retardo introducido por un medio material con respecto a otro medio. El espesor e es de0.05 cm.

SOL: La banda de emision es [3, 10] MHz.

1.9 En un punto O del estanque del Retiro se dejan caer regularmente gotas de agua a razon de95 por minuto. Si la velocidad de las ondas que se originan es de 30 cm/s: (a) determinarla distancia entre dos crestas adyacentes y (b) a 45 cm del punto O se encuentra un corchoflotando y que empieza a vibrar con una amplitud de 2 cm cuando llegan las ondas a el.

Page 31: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 23

Determine la ecuacion de movimiento del corcho.

SOL: (a) λ = 0.1898 metros. (b) y(x0, t) = 0.02 cos [2π (1.58t − 0.053x0)] m, donde x0 = 45cm.

Polarizacion de las ondas. Promedios temporales

1.10 Escribir la expresion de dos ondas que tienen la misma frecuencia, se propagan en la mismadireccion (Z por ejemplo) y vibran en direcciones perpendiculares entre sı (X e Y ). Laamplitud de una de las ondas es la mitad que la de la otra.

(a) Si ambas ondas estan en fase, describir el tipo de movimiento ondulatorio resultante ~ET

y discutir su estado de polarizacion.

(b) Descomponer el resultado anterior como superposicion de dos ondas circularmente po-larizadas pero con sentidos de giro opuestos ~EL

T y ~EDT .

SOL: (a) Ex(z, t) = A1 cos(ωt− kz + φ1) y Ey(z, t) =A12 cos(ωt− kz + φ2).

Si φ1 = φ2 ± 2mπ la onda resultante ~ET esta linealmente polarizada y su azimut respectoal eje X es ξ = 26.565o:~ET =

√52 A1 cos(ωt− kz)u0, donde u0 = cos(ξ)ı + sin(ξ).

(b) ~EDT =

√54 A1

12 (u0 cos(ωt− kz) + up sin(ωt− kz)) y

~ELT =

√54 A1

12 (u0 cos(ωt− kz)− up sin(ωt− kz)) donde up = − sin(ξ)ı+ cos(ξ).

1.11 Escriba la expresion de una onda circularmente polarizada de amplitud A1 y levogira ~EL.Escriba la expresion de una onda onda circularmente polarizada de amplitud A2 6= A1 ydextrogira ~ED. Si consideramos que ambas ondas son de la misma frecuencia y se propaganen la direccion del eje Z, obtenga el estado de polarizacion de la onda resultante de lasuperposicion ~ET .

SOL: ~ED = A1 cos(ωt− kz)ı+A1 cos(ωt− kz − π/2),~EL = A2 cos(ωt− kz)ı+A2 cos(ωt− kz + π/2),~ET = (A1 + A2) cos(ωt − kz)ı + (A1 − A2) cos(ωt − kz + π/2). La onda resultante estaelıpticamente polarizada y el sentido de giro es dextrogiro.

1.12 Determinar el promedio temporal de la siguiente onda

E(r, t) = E0 cos

(2π

Tt− kr

)

,

teniendo en cuenta que el periodo de integracion es T1, y que no es necesariamente igual aT . Analizar el resultado y particularizar para T1 = 0.903 × 103T . Determinar asimismo elpromedio temporal de E2(r, t).

SOL: 〈E(r, t)〉 = E0TπT1

sin(πT1T

)y⟨E2(r, t)

⟩=

E202

[1 + sinc

(2πT1T

)].

Page 32: Optica Fisica I Problemas Resueltos

24 Problemas de Optica Fısica I

1.13 Determinar la resultante de la superposicion de dos ondas paralelas dadas por

E1 = E01 cos(ωt+ φ1),

y

E2 = E02 cos(ωt+ φ2),

donde φ1 y φ2 son constantes que no dependen del tiempo.

(a) Representar graficamente cada onda por separado y la resultante para φ1 = 0 y φ2 = π.

(b) Representar graficamente cada onda por separado y la resultante para φ1 = 0 y φ2 = 2π.

(c) Determinar el promedio temporal de (E1 + E2)2 para valores arbitrarios de φ1 y φ2.

Analizar el resultado obtenido para los valores de φ1 y φ2 considerados en los dosapartados anteriores.

SOL: (c)⟨(E1 + E2)

2(r, t)⟩=

E2012 +

E2022 + 2E02E01

2 cos(φ1 − φ2).

Introduccion al analisis de Fourier

1.14 Obtener la representacion en serie de Fourier de la funcion que se representa en la Figura1.12.

1

x

f(x)

T

a

Figura 1.12: Funcion de periodo T y anchura a que se extiende en toda la recta real.

(a) Particularizar para el caso a = 0.01 m y T = 0.1 m. Representar graficamente los valoresde los coeficientes de los primeros 10 armonicos.

Page 33: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 25

(b) Reconstruir graficamente la senal original empleando 2, 5 y 100 terminos del desarrollode la serie. Analizar los resultados obtenidos y compararlos con la forma de la senaloriginal.

SOL: (a) A0 =aT , Aj =

aT sinc(j

ω0a2 ), Bj = 0, con ω0 =

2πT y j = 1, . . .∞.

1.15 Considere la perturbacion ondulatoria que se muestra en la Figura 1.13.

(a) Escribir una expresion para dicha perturbacion.

(b) Obtenga la transformada de Fourier.

(c) Estime la anchura tıpica del espectro de potencia, ∆ν : para ello determine la posiciondel maximo de la transformada y estime para que valores de ν el valor de la transformadase ha reducido a la mitad con respecto al valor maximo.

(d) Analice la condicion ∆t∆ν ≈ 1 que se obtiene del apartado anterior.

(e Particularizar para el caso ∆t = 10−9 s y determinar la anchura espectral del pulso.

SOL: (a) E(t) = E0 cos(ω0t) si |t− ta| < ∆t y E(t) = 0 si |t− ta| > ∆t, donde ω0 =2πT .

(b) E(ω) = FE(t) = −iE0∆te−iωta

sinc

[(ω + ω0)

∆t2

]− sinc

[(ω − ω0)

∆t2

].

(c) ∆ν ∝ 1∆t

(e) ∆ν = 2.2147 × 108 Hz.

t

Dt

-E0

E0

Figura 1.13: Aspecto de la perturbacion ondulatoria de duracion limitada ∆t.

1.16 Determinar la transformada de Fourier de la funcion definida por (abertura elıptica):

f(x, y, a, b) =

0 si (xa )

2 + (yb )2 > 1,

1 si (xa )2 + (yb )

2 < 1,

SOL: G(kx, ky) = 2πabk′ J1(k

′), donde k′ =√

k2xa2 + k2yb

2.

Page 34: Optica Fisica I Problemas Resueltos

26 Problemas de Optica Fısica I

(a)

2L+a

2L+

a

a

a

(b)

X

Y

L+a

L+

a

a

L/2

Figura 1.14: Aberturas de interes. El sistema de ejes se ha indicado entre ambas figuras.

1.17 Si denominamos a G(k) = Ff(x) a la transformada de Fourier de la funcion f(x),determinar la transformada de Fourier de la funcion f(x/b), Ge(k).

SOL: Ge(k) = bG(kb).

1.18 Si denominamos a G(k) = Ff(x) a la transformada de Fourier de la funcion f(x),determinar la transformada de Fourier de la funcion f(x− x0), Gx0(k).

SOL: Gx0(k) = eikx0G(k).

1.19 Determinar la transformada de Fourier de la funcion definida por f(x) = a2 [1 + b cos(γx)].

SOL: Ff(x) = 2πaδ(k) + baπ2 [δ(k + γ) + δ(k − γ)].

1.20 Determinar la transformada de Fourier de cada una de las funciones que se muestran en laFigura 1.14. Considere que en las regiones oscuras el valor de la funcion es nulo y que en lasregiones claras el valor de la funcion es la unidad. Realizar con un paquete matematico unarepresentacion grafica del espectro de potencia de ambas funciones.

Page 35: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio 27

SOL: (a)

G(kx, ky) = a2sinc

(kxa

2

)

sinc

(kya

2

)

+ aL cos

(kxL

2

)

sinc

(kxL

2

)

sinc

(kya

2

)

+aL cos

(kyL

2

)

sinc

(kxa

2

)

sinc

(kyL

2

)

.

(b)

G(kx, ky) = aLsinc

(kxa

2

)

sinc

(kyL

2

)

+

aL cos

1

2[kx (L+ a) + kyL]

sinc

(kxL

2

)

sinc

(kya

2

)

aL

2eikxL/4sinc

(kxL

4

)

sinc

(kya

2

)

.

Page 36: Optica Fisica I Problemas Resueltos

28 Problemas de Optica Fısica I

Page 37: Optica Fisica I Problemas Resueltos

TEMA 2

El campo electromagnetico

Ondas electromagneticas

Los fenomenos electricos, magneticos y luminosos fueron unificados a finales del siglo XIX por JamesClerk Maxwell. El conjunto de ecuaciones de Maxwell, junto con la ley de fuerzas sobre partıculascargadas y la segunda ley de Newton consituye el armazon de lo que se denomica “electrodinamicaclasica”. En su formulacion actual, las leyes de Maxwell en el vacıo pueden establecerse en formaintegral mediante las ecuaciones

C

~E · d~l = − d

d t

∫∫

SC

~B · d~S,∮

C

~B · d~l = µ0

∫∫

SC

(

~j + ǫ0∂ ~E

∂t

)

· d~S, (II-1)

S

~E · d~S =Q

ǫ0,

S

~B · d~S = 0.

En la ecuacion (II-1), ~E y ~B son el campo electrico y la induccion magnetica respectivamente, ~j esla densidad de corriente, Q es la carga total encerrada en la superifice cerrada SC , y µ0 y ǫ0 sonla permeabilidad magnetica y la permitividad dielectrica del vacıo respectivamente. La primeraecuacion es la conocida como ley de Faraday-Henry, la segunda es la ley de Ampere-Maxwell ylas tercera y cuarta ecuaciones constituyen la ley de Gauss para el campo electrico y la induccionmagnetica respectivamente.

La ley de fuerzas que actua sobre una partıcula cargada, de carga q, en el seno de camposelectricos y magneticos viene dada por la ley de Lorentz que reza

~FL = q(

~E + ~vp × ~B)

, (II-2)

donde ~vp es la velocidad de la partıcula.

29

Page 38: Optica Fisica I Problemas Resueltos

30 Problemas de Optica Fısica I

Mediante el uso de los teoremas de Stokes y de Gauss se puede obtener la formulacion diferencialde las ecuaciones de Maxwell que quedan como

∇× ~E = −∂ ~B∂t , ∇× ~B = µ0~j + µ0ǫ0

∂ ~E

∂t,

∇ · ~E = ρǫ0, ∇ · ~B = 0, (II-3)

donde ρ es la densidad de carga o carga por unidad de volumen. En regiones en las que no hayacargas y corrientes (el “vacıo”, por ejemplo) las ecuaciones (II-3) predicen la existencia de camposelectricos y magneticos autosustentados que pueden propagarse en forma de ondas (aun en ausencia

de medio material). En otras palabras, se tendra que

∇2 ~E = µ0ǫ0∂2 ~E

∂t2,

∇2 ~B = µ0ǫ0∂2 ~B

∂t2, (II-4)

de donde resulta que la velocidad de las ondas electromagneticas en el vacıo es v = 1√ǫ0µ0

= c =

3× 108 m/s (velocidad de la luz en el vacıo).De particular interes resultan las soluciones de la ecuacion en forma de ondas planas de la forma

~E = ~E0ei(ωt−~k·~r),

~B = ~B0ei(ωt−~k·~r). (II-5)

Para que las expresiones (II-5) satisfagan las ecuaciones de Maxwell han de cumplirse las siguientesrelaciones

~k · ~E0 = 0,

~k · ~B0 = 0, (II-6)

~k × ~E0 = ω ~B0.

De la ecuacion (II-6) se infiere que los vectores ~k, ~E y ~B son perpendiculares entre sı, esto es, las

ondas electromagneticas planas son transversales. Ademas se deduce que | ~B0| = | ~E0|c . Teniendo

en cuenta este hecho, la ley de fuerzas para partıculas cargadas sobre las que actua una ondaelectromagnetica puede aproximarse por

~FL ≈ q ~E, (II-7)

siempre y cuando las velocidades de las partıculas sean mucho menores que c [ |~vp| ≪ c en laecuacion (II-2) ].

Energıa transportada por las ondas

Las ondas electromagneticas transportan energıa. Si en una region cerrada del espacio, V , en laque hay una coleccion de cargas incide una onda electromagnetica, los campos realizaran trabajosobre las cargas, de manera que parte de la energıa del campo sera cedida a las cargas y el resto setransmitira a otras regiones. El teorema de Poynting nos indica la forma de este balance energetico:si llamamos uB y uE a las densidades de energıa del campo, entonces se ha de verificar que

−∫∫∫

V

~j · ~E dV = +©∫∫

SV

~P · d~S +∂

∂t

∫∫∫

V(uB + uE) dV, (II-8)

Page 39: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 31

donde ~P ≡ ~E× ~Bµ0

es el denominado vector de Poynting que nos indica en que direccion se propagala energıa. Las densidades de energıa se relacionan con las amplitudes de los campos de la formauE = ǫ0 ~E

2 y uB = 1µ0

~B2 respectivamente. El primer termino en la ecuacion (II-8) da cuenta delcalentamiento de las cargas o efecto Joule y tiene signo negativo ya que la energıa es cedida por elcampo a las cargas.

Si la region considerada no hay cargas, la relacion (II-8) establece que la variacion temporal deenergıa almacenada en dicha region es igual al flujo de energıa que abandona dicha region.

Para el caso de una onda armonica, [ver ecuacion (II-5) ], en el rango de frecuencias opticas enlas que ω ≈ 1015 rad s−1, la densidad de energıa instantanea varıa rapidamente de modo que seprefiere emplear la densidad de energıa promediada temporalmente (o densidad de energıa eficaz)que resulta uE = ǫ0

2~E20 y uB = ǫ0

2~E20 , esto es, las densidades de energıa electrica y magnetica

asociadas a una onda son iguales. De la misma manera, el vector de Poynting para una ondaarmonica que se propaga en el vacıo queda como

~P = c2ǫ0 ~E × ~B = c2ǫ0 ~E0 × ~B0 cos2(ωt− ~k · ~r), (II-9)

que es una medida de la energıa instantanea que atraviesa la unidad de area en la unidad de tiempo.Dada la relacion de transversalidad entre los campos y la direccion de propagacion, resulta que elvector de Poynting es paralelo a la direccion de propagacion de los frentes de onda. Este resultadoes cierto en el caso de que las ondas se propagen dentro de medios materiales isotropos: aquellosen los que la interaccion de la radiacion con el medio material no depende de la orientacion delcampo electrico (ver Tema 3).

Actualmente se define la irradiancia de una onda promediada en el tiempo como

I ≡⟨∣∣∣ ~P∣∣∣

=cǫ02

∣∣∣ ~E0

∣∣∣

2. (II-10)

Es bien conocido que dentro de una medio material la luz viaja mas despacio que en el vacıo.Si llamamos vf a la velocidad de las ondas dentro de un medio material dado, entonces en lasrelaciones anteriores hemos de tener en cuenta este hecho:

| ~B0| =| ~E0|vf

, (II-11)

de modo que la irradiancia dentro del medio quedara como

I =⟨∣∣∣ ~P∣∣∣

=ncǫ02

∣∣∣ ~E0

∣∣∣

2, (II-12)

donde n ≡ cvf

es el ındice de refraccion que experimenta la onda dentro del medio.

Page 40: Optica Fisica I Problemas Resueltos

32 Problemas de Optica Fısica I

PROBLEMAS RESUELTOS

Ondas electromagneticas

2.1 Una onda electromagnetica plana en el vacıo esta dada por

Ex = 102 sin[π(3× 106z − 9× 1014t

)], (V/m)

Ey = 0, (2.1)

Ez = 0.

Determinar la longitud de onda, frecuencia, velocidad de fase y el promediotemporal del modulo del vector de Poynting.

A la vista de la ecuacion (2.1) podemos deducir que la onda vibra a lo largo del eje X y quese propaga a lo largo del eje Z, esto es, el vector de propagacion estara dado por ~kp = 2π

λ k,

donde k es un vector unitario en la direccion del eje Z. De esta manera podemos determinarla longitud de onda ya que se verifica la relacion 2π

λ = 3π × 106, resultando λ = 23 × 10−6

m, esto corresponde a una radiacion visible de color “rojo”. Asimismo la frecuencia de laonda, ν, se puede determinar a partir de la expresion 2πν = 9π× 1014, por lo que resulta queν = 9

2 × 1014 Hz. Vemos a partir de los datos anteriores que, efectivamente, la velocidad depropagacion de la onda es c = 3× 108 m/s.

Podemos determinar la direccion en la que oscila el vector induccion magnetica a partir de laconocida relacion

~kp ∧ ~E = ω ~B, (2.2)

de manera que realizando las operaciones indicadas en (2.2) se obtiene

~B =Ex

c. (2.3)

Finalmente podemos determinar el vector de Poynting

~P = ~E ∧~B

µ0, (2.4)

resultando que ~P = 104

cµ0sin2

[π(3× 106z − 9× 1014t

)]k.

Para determinar el promedio temporal del vector de Poynting, procederemos como hicimosen el problema 6 del Tema 1. De esta manera resulta

I ≡⟨∣∣∣ ~P∣∣∣

=104

cµ0

⟨sin2

[π(3× 106z − 9× 1014t

)]⟩, (2.5)

resultando finalmente

I = 13.275 (W/m2). (2.6)

Page 41: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 33

2.2 Un haz de luz se propaga a traves de un medio de ındice de refraccion (n = 1.5).Si la amplitud del campo electrico del haz de luz es de 100 V/m ¿cual es laamplitud del campo de induccion magnetica?

Supongamos por simplicidad que la expresion de la onda puede expresarse como

~E = ~E0 cos(

~k · ~r − ωt)

(V/m), (2.7)

de tal manera que la velocidad de fase de la onda es vf = ω

|~k| < c y recuerdese que n = cvf.

En este caso la relacion entre la frecuencia angular y la velocidad de propagacion esta dadapor ω = kvf . Asimismo la relacion entre el campo electrico y la induccion magnetica1 estadada por una expresion similar a (2.3) excepto por el hecho de que en este caso la velocidad

de propagacion no es igual a c. De lo anterior se deduce que∣∣∣ ~B∣∣∣ =

| ~E|vf

= 5× 10−7 (T).

2.3 Una onda electromagnetica que se propaga en el vacıo (especificada en el S.I.de unidades) esta dada por la expresion

~E =(

−3i+ 3√3j)

× 104

ei[

π3

(√5x+

53y)

×107−8.1246×1015t]

, (V/m). (2.8)

• Encontrar la direccion a lo largo de la cual oscila el campo electrico.Teniendo en cuenta la expresion del campo electrico, la direccion de oscilacion, ~uosc, estadada por

~uosc =(

−ı+√3)

. (2.9)

• El valor del modulo de la amplitud campo electrico.La amplitud del campo electrico esta dada por

~E0 =(

−3ı+ 3√3)

× 104, (V/m). (2.10)

y su modulo resulta∣∣∣ ~E0

∣∣∣ = 6× 104 (V/m).

• La direccion de propagacion, la frecuencia y la longitud de onda.La direccion de propagacion de la onda se obtiene de la fase de la oscilacion y esta dadapor

~kp =

(

√5ı+

5

3

)

π

3× 107 =

λup. (2.11)

Teniendo en cuenta que ~kp =∣∣∣~kp

∣∣∣ up = 2π

λ up, siendo up un vector unitario en la

direccion de ~kp, podemos determinar la longitud de onda que resulta λ = 3√

35 × 10−7

m. Naturalmente no corresponde a una radiacion visible por un observador humano.

Resultando que up =√32 ı+

12 .

Asimismo la frecuencia angular de la onda esta dada por 2πν = 8.1246× 1015, de donderesulta que ν = 1.2931 × 1015 Hz. Notese que la velocidad de fase de esta onda esvf = 3× 108 m/s.

1Supuesto que el medio material no esta magnetizado.

Page 42: Optica Fisica I Problemas Resueltos

34 Problemas de Optica Fısica I

• Determinar el campo magnetico asociado.

En este caso y teniendo en cuenta la relacion (2.2) llegamos a que

~H =~B

µ0=

1

µ0cup ∧ ~E. (2.12)

Realizando las operaciones indicadas en (2.12) se llega finalmente a que

~H = 6cǫ0 × 104

ei[

π3

(√5x+

53y)

×107−8.1246×1015t]

k, (2.13)

• Determinar la direccion de propagacion de la energıa.Para ello basta determinar el vector de Poynting

~P = R ( ~E) ∧R ( ~H), (2.14)

resultando ~P = 36cǫ0 × 108 cos2[π3

(√5x+

√53y)

× 107 − 8.1246 × 1015t]

up.

2.4 Determinar el estado de polarizacion de las siguientes ondas electromagneticas.Para realizar este ejercicio hemos de examinar los resultados a que llegamos en el problema4 del Tema 1.

• ~E = ıE0 cos(kz − ωt)− E0 cos(kz − ωt).

Se trata de dos ondas que vibran a lo largo de los ejes X e Y respectivamente y de igualamplitud y fases por lo que la vibracion resultante esta linealmente polarizada a lo largode un eje que forma −45o con respecto al eje X.

• ~E = ıE0 sin(−kz + ωt) + E0 sin(−kz + ωt− π/4).

En el caso que nos ocupa se trata de dos ondas desfasadas δ = π/4 (o sea ambas ondasestan retrasadas entre sı una distancia espacial λ/8) y amplitudes iguales por lo que lavibracion resultante describe una elipse en el plano XY .

• ~E = ıE0 cos(kz − ωt) + E0 cos(kz − ωt+ π/2).

En este caso el desfase entre ambas ondas es de π/2 y dado que las amplitudes soniguales la onda resultante estara circularmente polarizada.

2.5 Escribir la expresion, en unidades del sistema M.K.S., de una ondaelectromagnetica plana que tiene una longitud de onda de 500 nm y unairradiancia de 53.2 W/m2, que se propaga a lo largo del eje Z. Considereseque la onda esta linealmente polarizada a 450 del eje X.

A partir de la irradiancia podemos determinar el modulo del campo electrico que resulta serE0 = 200.188 V/m. Teniendo en cuenta que la direccion de propagacion es el eje Z el vectorde propagacion sera ~kp =

2π0.5×10−6 k = 4π× 106k (m−1), siendo k un vector unitario a lo largo

del eje Z. De forma que las componentes del campo seran

Ex = E0 cos(45o) cos

(

|~kp|z − ωt)

,

Ey = E0 sin(45o) cos

(

|~kp|z − ωt)

, (2.15)

Ez = 0, (2.16)

donde ω = kc = 12π × 1014 (rad s−1).

En la Figura 2.1 se muestra la evolucion espacial de las componentes del campo electricoconsiderado: notese que ambas componentes estan en fase y que tienen igual amplitud.

Page 43: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 35

X

Y

Z

Ey

Exl

Figura 2.1: Perfil espacial de las componentes del campo electrico considerado. La componente Ex y laEy estan en fase: evolucionan sıncronamente.

2.6 Escribir la expresion, en unidades del sistema M.K.S. de una ondaelectromagnetica plana que tiene una longitud de onda de 632.8 nm y unairradiancia de 100 W/m2, que incide sobre la superficie de separacion de dosmedios con un angulo de 300. El plano de sepacion es el plano XY, el deincidencia es el plano YZ y la onda esta polarizada segun se indica:

Obtendremos en primer lugar el modulo del numero de onda k y la frecuencia angular de laonda, ω:

k =2π

λ=

632.8 × 10−9= 9.93 × 106 (m), (2.17)

ω = kc = 9.93 × 106 × 3× 108 = 29.8 × 1014 (rad/s). (2.18)

Por otra parte, si la irradiancia vale 100 W/m, se puede obtener la amplitud del campoelectrico:

I =1

2cǫ0|E0|2, (2.19)

de donde

|E0| =√

2× 100

3× 108 × 8.8× 10−12= 275.2 (V/m). (2.20)

Deberemos calcular la direccion del vector ~k. En la Figura 2.2 se muestra la situacion generalde un campo que incide desde un medio en otro con un angulo arbitrario: notese que debido aque el campo ~E ha de estar contenido en un plano perpendicular a la direccion de propagacion,~k, el campo incidente podra descomponerse en un sistema cartesiano tal que una parte de esecampo este contenida en el plano de incidencia y la otra sea perpendicular.

~k = [0, k sin(30o),−k cos(30o)] = (0, 4.9,−8.6) × 106 m−1. (2.21)

Ahora consideraremos los dos casos planteados.

Page 44: Optica Fisica I Problemas Resueltos

36 Problemas de Optica Fısica I

Y

Z

X

E||

i

plano deincidencia

qi

Ei

^ k

Figura 2.2: Onda incidente en el plano YZ con θi arbitrario: el campo incidente se ha descompuesto enla componente paralela, E‖, y perpendicular, E⊥, al plano de incidencia (Y Z).

• polarizada segun el eje X.En este caso el campo electrico tiene solo componente a lo largo del eje X, vease Figura2.3(a),

Ex = 275.2 cos[(4.9y − 8.6z) × 106 − 29.8 × 1014t

],

Ey = 0 , (2.22)

Ez = 0.

• polarizada en el plano YZ.En este caso el campo debera vibrar perpendicularmente a la direccion de propagaciony contenido en el plano ZY, esto es, tendra componentes Ey y Ez oscilando en fase. Dela Figura 2.3(b) se obtienen las amplitudes de cada componente:

E0x = 0 ,

E0y = 275.2 cos(30o) , (2.23)

E0z = 275.2 sin(30o) ,

Los campos se podran espresar como

Ex = 0,

Ey = 275.2 cos(30o) cos[(4.9y − 8.6z) × 106 − 29.8 × 1014t

], (2.24)

Ez = 275.2 sin(30o) cos[(4.9y − 8.6z) × 106 − 29.8× 1014t

].

Notese de paso que se verifica que ~k · ~E0 = 0 como prescribe la ecuacion de Maxwell∇ · ~E = 0.

Page 45: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 37

Z

Ex

k

(a)

30o

Y

X X

ZEyz

k

(b)

30o

Y

Figura 2.3: (a) Onda incidente en el plano YZ con θi = 300 y vibrando segun el eje X y (b) ondaincidente en el plano YZ con θi = 300 y vibrando en el plano Y Z.

2.7La variacion temporal del campo de induccion magnetica, ~B, de una ondaelectromagnetica se presenta en la Figura 2.4. La onda se propaga a lo largodel eje X en el vacıo y ~B vibra en la direccion del eje Z.

0 0.2 0.4 0.6

t (x10 s)-14

B(x

10

T)

z

-6

0.8 1 1.2 1.4 1.6-2

-1

0

1

2

Figura 2.4: Evolucion temporal de la componente Bz de la onda considerada.

Page 46: Optica Fisica I Problemas Resueltos

38 Problemas de Optica Fısica I

• Determinar el modulo y direccion de los campos ~E y ~B.

La figura representa la variacion temporal del campo magnetico asociado a la ondaelectromagnetica plana. Como la onda se propaga en la direccion del eje X y ~B vibraen la direccion del eje Z, su expresion sera

Bz = Bz0 cos (kx− ωt) . (2.25)

De la Figura 2.4 se deduce que para t = 0 y x = 0, la amplitud del campo magneticovale Bz0 = 2× 10−6 Tesla. Por otro lado, el periodo temporal de la oscilacion vale T =1×10−14 segundos. Por lo tanto la frecuencia angular es ω = 2π

T = 2π×1014 (rad s−1), yel modulo del vector de propagacion es k = ω

c = 2π3 106 (m−1). Por lo tanto la expresion

de ~B esta dada por

~B =(

0, 0, 2 × 10−6 cos[

2π × 106(x

3− 108t

)])

. (2.26)

El campo electrico asociado a una onda plana debera satisfacer las ecuaciones de Maxwell;en particular

∇× ~B = µ0~j +1

c2∂ ~E

∂t. (2.27)

Como la onda se propaga en el vacıo se tiene que ~j = ~0, con lo que se tiene

∇× ~B = B0zk sin (kx− ωt) . (2.28)

Al introducir este resultado en la ecuacion (2.27) se obtiene

B0zk sin (kx− ωt) =1

c2∂ ~E

∂t. (2.29)

Integrando la expresion anterior respecto al tiempo obtenemos el campo electrico

Ey =

c2B0zk sin (kx− ωt) dt =c2kB0z

ωcos (kx− ωt) , (2.30)

que puede reescibirse de la siguiente manera

~E = (0, 6 × 102 cos[

2π × 106(x

3− 108t

)]

, 0)V/m. (2.31)

• Determinar la irradiancia instantanea y promedio de la onda.Para determinar la irradiancia instantanea hemos de calcular el modulo del vector dePoynting el cual viene dado por

~P =1

µ0~E × ~B = cǫ036× 104 cos2

[

2π × 106(x

3− 108t

)]

ı. (2.32)

Por lo tanto la irradiancia instantanea se obtiene como el modulo del vector calculado en(2.32). Para obtener la irradiancia promedio basta realizar el promedio temporal de lafuncion obtenida anteriormente (vease el problema 6 del Tema 1), por lo que se obtienefinalmente

I = cǫ018× 104 = 477.9 (W/m2). (2.33)

Page 47: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 39

Energıa transportada por las ondas

2.8 La irradiancia producida por el sol en la superficie de la tierra es I = 1.34× 103

W/m2. Calcular el campo electrico y el campo magnetico en la superficie de latierra, asumiendo que el promedio del vector de Poynting es igual al valor dela irradiancia.Como sabemos la irradiancia, IT , se obtiene como el promedio temporal del vector de Poynting,de modo que para una onda plana2 se tiene

IT =cǫ02

∣∣∣ ~E0

∣∣∣

2. (2.34)

De manera que teniendo en cuenta la relacion (2.34) se llega a que∣∣∣ ~E0

∣∣∣ = 1.005×103 (V/m).

Asumiendo que el ındice de refraccion de la atmosfera es practicamente la unidad podemos

estimar la amplitud de la induccion magnetica como∣∣∣ ~B0

∣∣∣ =

| ~E0|c = 3.35 × 10−6 (T).

• Estimar la potencia emitida por el sol.Para ello deberemos de hacer algunas hipotesis que nos permitan hacer la estimacion deuna manera sencilla: por ejemplo hemos de considerar en primer lugar que la emisiondel sol es isotropa, esto es, que la energıa emitida por unidad de tiempo es independientede la direccion. Ademas hemos de suponer por simplicidad que la orbita de la Tierra escircular3: en ese caso podemos considerar que el radio de la orbita es Rt = 1.49 × 1011

m. De esta manera podemos aproximar la potencia emitida por el Sol por

Psol ≈⟨∣∣∣ ~P∣∣∣

S = 1.34 × 1034πR2t = 3.738 × 1026 W. (2.35)

Al hacer la estimacion indicada en (2.35) implıcitamente estamos realizando una hipotesisadicional que consiste en considerar que la irradiancia es la misma, salvo el factor 1/R2

en la superficie terrestre que fuera de la atmosfera, o lo que es lo mismo, que no hayabsorcion de la radiacion en la atmosfera. Es bien conocido que el espectro de emisiondel sol no es monocromatico y que el flujo de radiacion por unidad de longitud de ondano es el mismo fuera de la atmosfera que a nivel del mar, sino que debido a la presencia dediferentes compuestos moleculares en la atmosfera algunas radiaciones seran atenuadasası como esparcidas por la atmosfera, de ahı que la estimacion realizada sea “a la alta”.

• Estimar la irradiancia recibida en la el territorio de Espana. Tenga encuenta que la latitud es de 40o.

Una vez que tenemos una estimacion de la potencia emitida por el sol, podemos estimarla potencia luminosa que se recibe sobre la superficie del paıs sin mas que considerar queaproximadamente la superficie de aquel es de unos Ae ≈ 500, 000 km2. Ası se tendra

IE =Psol

Aecos(40o) = 5.715 × 1014 W. (2.36)

Naturalmente en un dıa nuboso esta magnitud es susceptiblemente menor debido justa-mente a los procesos de esparcimiento que analizaremos en el Tema 3.

2Imaginemos que el detector tiene un area tıpica de 1 cm2, a la vista de los resultados del problema 5 del Tema 1vemos que considerar las ondas como planas es una buena aproximacion.

3Esto nos permitira hacer estimaciones que sean independientes del dıa del ano.

Page 48: Optica Fisica I Problemas Resueltos

40 Problemas de Optica Fısica I

• Estimar la potencia en retina cuando se mira directamente al sol.Considerar que el ojo del observador cuya pupila es de φP = 6 mm.Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrioequivalente de 7.2 mm de radio y un ındice de no = 1.335. Determinarel flujo del vector de Poynting a traves de la superficie de la pupila. Si trasrefractarse en el dioptrio, la radiacion se concentra en un area de radioRr = 1.22 λf ′

noφP, donde f ′ es la focal del dioptrio, estimar la irradiancia de la

onda en la retina.En primer lugar podemos calcular la focal del dioptrio que resulta ser f ′ = nr/(n−1) =28.7 mm, con lo cual podremos determinar el area de la superficie iluminada en la retina,Sr = πR2

r = 1.5 × 10−11 m2. Para esta estimacion del area iluminada hemos empleadouna longitud de onda tıpica λ = 0.5µm. El flujo de radiacion que atraviesa un areaequivalente a la pupila es

ϕP =

~Pinc · d ~SP = 1.34 × 103π

(φP2

)2

= 37.89 × 10−3 (W ). (2.37)

Podemos suponer que el flujo en la retina, φR, sea proporcional al flujo incidente sobrela pupila, esto es,

ϕR =

~PR · d ~Sr = ξϕP , (2.38)

donde ξ es un factor de proporcionalidad que tendra en cuenta las perdidas por reflexionası como la fraccion de energıa difractada. Podemos considerar que ξ ≈ 0.82 como unaprimera aproximacion. A partir de la expresion (2.38) podemos estimar el modulo delvector de Poynting en la superficie iluminada en la retina que sera

Iret =∣∣∣ ~PR

∣∣∣ = ξ

ϕP

Sr= 2.07 × 109 W/m2. (2.39)

Vemos pues que la potencia por unidad de area es muy elevada de ahı que si se mirasedirectamente al sol se producirıan lesiones oculares irreversibles [ver problema 10 de esteTema donde sea analiza el campo electrico interatomico: notese que el campo electricoen la region focalizada serıa del orden de 1.25 × 106 (V/m)].

• Estimar la potencia en retina cuando se antepone un filtro de densidadoptica D = 4.

La densidad optica de un filtro se define como

D ≡ − log10 T, (2.40)

donde T es la fraccion de flujo transmitido respecto al incidente, por lo que al anteponerel filtro se tendra que

∣∣∣∣

~P cfR

∣∣∣∣

= TξϕP

Sr= 2.07× 105 W/m2. (2.41)

Notese que en este caso el campo electrico en la region focalizada es del orden de 12.5×103

(V/m). Observese que a pesar de emplear el filtro la densidad de energıa sigue siendomuy elevada. Es particularmente interesante este aspecto toda vez que durante uneclipse se suele observar el mismo sin las debidas precauciones y las consecuencias que sederivan de ello suelen ser la produccion de lesiones oculares notables. Naturalmente enla region de sombra del eclipse la irradiancia incidente sobre la pupila de un observadoren un dıa sin nubes esta notablemente reducida, pero en el caso de estar en la zona depenumbra esta situacion no es exactamente la misma.

Page 49: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 41

2.9 Un pulso de ultravioleta de 2.00 ns de duracion es emitido por una fuente lasery tiene un diametro de 2.5 mm y una energıa de 6.0 J. Determinar la longitudespacial del pulso y su irradiancia.

La longitud L del pulso sera

L = c∆t = 3× 108 × 2× 10−9 = 0.6 (m). (2.42)

La irradiancia sera

I =energıa

unid. de tiempo × unid. de area= 6.1× 1014 (W/m2). (2.43)

2.10 Un haz laser de 14 kW se focaliza sobre un area de 10−9 m2. Calcular lairradiancia y la amplitud del campo electrico en el foco.

La irradiancia I vendra dada por la potencia por unidad de area, es decir

I =P

A=

14× 103

10−9= 14× 1012 (W/m2). (2.44)

El valor de la amplitud del campo en el foco se obtiene a partir de la expresion de la irradiancia:

I =cǫ02

|E0|2. (2.45)

de donde

|E0| =√

2I

cǫ0= 1.03 × 108 (V/m). (2.46)

Se puede comparar el valor de este campo con una estimacion del campo atomico que existeentre un electron y un proton. Este campo vendra dado por la ley de Coulomb

Ea =1

4πǫ0

qer2B

= 1.4× 1011 (V/m). (2.47)

En la expresion anterior se ha tomado rB el valor del doble del radio de Bohr, esto es 10−10

m.

Por lo tanto, el campo creado por el laser es suficientemente intenso para ionizar la materia.Mediante un laser de YAG Neodimio focalizado en la cara posterior del cristalino se ionizala materia de ciertas cataratas que aparecen en la cara posterior del cristalino. El plasmaelectronico que se genera hace que se absorba la radiacion del laser produciendo un cambiolocal y brusco de la temperatura lo que produce a su vez una onda de choque que elimina lacatarata.

2.11 Escribir la expresion de una onda plana linealmente polarizada que se propagaa lo largo del eje X y vibra a 300 del eje Z y cuya longitud de onda es λ = 2µm.

• Indicar a que region del espectro electromagnetico corresponde estecampo.

La radiacion considerada es monocromatica y pertenece a la region del infrarrojo cercano,por lo tanto no es visible por un observador humano.

Page 50: Optica Fisica I Problemas Resueltos

42 Problemas de Optica Fısica I

• Si la amplitud del campo es de 3 V/m hallar la irradiancia de la onda.

La expresion del campo electrico viene dada por

~E(x, t) = 3ei(ωt−k0x)u (V/m), (2.48)

donde k0 = π × 106m−1 es el modulo del vector de ondas, ω = 3π × 1014 s−1 es lafrecuencia angular y u = [0, sin(30o), cos(30o)] es un vector unitario a lo largo de ladireccion de vibracion. La induccion magnetica asociada esta dada por

~B(x, t) = 10−8ei(ωt−k0x)v (T), (2.49)

donde v = [0,− cos(30o),+sin(30o)] es la direccion en la que vibra el vector induccionmagnetica. De esta manera el vector de Poynting esta dado por

~P(x, t) = cǫ09 cos2(ωt− k0x)ı (W/m2). (2.50)

La irradiancia promedio de la onda de la onda se obtiene promediando en (2.50) resul-tando

I =⟨∣∣∣ ~P(x, t)

∣∣∣

= 1.195 × 10−2 (W/m2). (2.51)

• Determinar el flujo del vector de Poynting a traves de la superficie de uncuadrado de lado 1 cm perpendicular al eje X.

El flujo del vector de Poynting a traves del cuadrado sera

φ(~P) =

∫∫

Area

~P · d ~A (W), (2.52)

donde d ~A = dydzı es el elemento de area normal al cuadrado. Realizando la integralindicada en (2.52) se llega a que φ(~P) = 2.3895 × 10−6 cos2(ωt− k0x) (W).

• Esta onda incide sobre el ojo de un observador cuya pupila es de φP = 6mm. Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrioequivalente de 7.2 mm de radio y un ındice de no = 1.335. Determinar el flujodel vector de Poynting a traves de la superficie de la pupila perpendicularal eje X. Si tras refractarse en el dioptrio, la radiacion se concentra en unarea de radio Rr = 1.22 λf ′

noφP, donde f ′ es la focal del dioptrio, estimar la

irradiancia de la onda en la retina.La onda plana colimada incide sobre el ojo. Si llamamos Ap al area de la pupila del ojo,supuesta esta en el plano del dioptrio, se tendra:

Ap = π

(φP2

)2

= π(3× 10−3

)2= 2.8 × 10−5m2. (2.53)

El flujo de energıa que pasa al ojo, suponiendo despreciables las perdidas por reflexion,sera

Φ =1

2cǫ0|E0|2Ap =

1

23× 108 × 8.8 × 10−12 × 32 × 2.8× 10−5 = 3.3× 10−7W. (2.54)

El ojo converge este haz en la retina no en un punto tal como predice la optica geometricasi no hay aberraciones. Se produce una distribucion de irradiancia que consiste en unaserie de anillos concentricos. El 86 por ciento de la irradiancia se distribuye en un cırculo

Page 51: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 43

de radio dado por la expresion Rr = 1.22 λf ′

noφP. Por lo tanto, si Ar es el area de este

cırculo, la irradiancia en la retina sera

Ir =Φ

Ar. (2.55)

Para calcular el valor de Ar necesitamos conocer la focal del ojo teorico que se propone.Aplicando el invariante de Abbe al dioptrio se tiene

n′

s′− n

s=n′ − n

r, (2.56)

es decir1.335

s′− 1

∞ =0.335

7.2, (2.57)

de donde f ′ ≃ s′ = 28.7 mm. Por lo tanto el area Ar es

Ar = πR2r = 1.5× 10−11m2. (2.58)

Substituyendo los valores en la expresion (2.55) se obtiene una irradiancia en la retinade

Ir = 0.823.3× 10−7

1.5 × 10−11= 1.85 × 104W/m2. (2.59)

2.12 Considere una fuente de ondas electromagneticas esfericas situada en el origenque emite en λ0 = 555 nm.

• Expresar el campo electrico de las ondas emitidas por la fuente.La expresion del campo electrico vendra dada por

~E(~r, t) =E0

rcos(ωt− kr)u, (2.60)

donde r = |~r| y u es un vector unitario que en cada punto del frente de ondas perteneceal plano tangente a las superficies de fase constante (esfera).

• Expresar el vector de Poynting de las ondas emitidas.En este caso la expresion del vector de Poynting esta dada por

~P(~r, t) = cǫ0E2

0

r2cos2(ωt− kr)ur, (2.61)

donde ur =xr ı+

yr +

zr k es un vector unitario que en cada punto es perpendicular a las

superficies de fase constante. El promedio temporal del vector de Poynting vendra dadopor

~P(~r)⟩

=1

2cǫ0

E20

r2ur, (2.62)

• A una distancia D se coloca un detector circular de radio R0. Determinarel flujo del promedio temporal del vector de Poynting a traves del area deldetector.El flujo vendra dado por la expresion

ΦD =

∫∫

A

~P(~r)⟩

· d~S, (2.63)

Page 52: Optica Fisica I Problemas Resueltos

44 Problemas de Optica Fısica I

Z

D

r

a /0 2

Y

R0

X

Figura 2.5: Esquema de la situacion considerada. La fuente puntual esta colocada en la perpendicularque parte del centro del detector.

donde d~S es el elemento infinitesimal de area normal al detector que viene dado pord~S = dxdz (ver Figura 2.5). En este caso el vector unitario ur en cada punto de lasuperficie del detector viene dado por ur = x

r ı +Dr +

zr k. Teniendo en cuenta esto

llegamos a que la expresion (2.63) resulta

ΦD =

∫∫

A

cǫ0E20

2r2D

rdxdz. (2.64)

Para realizar la integral indicada en (2.64) es preferible expresarla en coordenadaspolares: teniendo en cuenta que r2 = D2 + ρ2 se llega a que dxdz = ρdρdφ, de modoque finalmente se llega a que

ΦD = 2πcǫ0E

20D

2

∫√

D2+R20

D

1

r2dr. (2.65)

La integral radial que resta en (2.65) es elemental por lo que el resultado puede expresarsecomo

ΦD =cǫ0E

20

22π [1− cos (α0/2)] , (2.66)

donde tan(α0/2) =R0D . A la vista del resultado expresado en (2.66) vemos que el flujo

total recibido por el detector viene dado por

ΦD = L4π sin2(α0

4

)

= LΩ, (2.67)

donde Ω = 4π sin2(α04 ) es el angulo solido que subtiende el detector desde la fuente y

L =cǫ0E2

02 .

Page 53: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 45

Es particularmente interesante considerar el caso en el queR0 ≪ D de modo que entonces

el angulo solido puede aproximarse a Ω ≈ πR20

D2 = AreaD2 . Esta aproximacion sera empleada

mas adelante.

• Suponga ahora que la fuente se desplaza una cantidad a en la direccion deleje Z de modo que se verifica que a ≪ D. Obtenga la expresion del flujoradiante que incide sobre el detector en estas condiciones.

A partir de la expresion (2.63) el flujo radiante en la nueva situacion vendra dado por

ΦD =

∫∫

A

~P(~r)⟩

· d~S =

∫∫

A

∣∣∣

~P(~r)⟩∣∣∣ dS cos(β), (2.68)

siendo β el angulo indicado en la Figura 2.6.

Z

D

L1a

bY

X

r

R0

Figura 2.6: Esquema de la situacion considerada. La fuente puntual se ha desplazado una distancia arespecto a la situacion considerada en la Figura 2.5.

A la vista del resultado anterior, cabe esperar que el flujo radiante pueda expresarse demanera similar al obtenido en (2.67) donde ahora Ω sera sustituido por el nuevo angulosolido subtendido Ω′. Si consideramos que D >> R0 podremos estimar el nuevo angulo

solido como Ω′ = AreaL21, donde ahora el area de la superficie corresponde a una elipse de

semiejes R0 y R0 cos(β). Teniendo en cuenta ademas que D = L1 cos(β) llegamos a que

el angulo solido en la nueva situacion sera Ω′ = πR0R0 cos(β)L21

= Ωcos3(β). Con lo cual

teniendo en cuenta las ecuaciones (2.67) y (2.68) llegamos a que el flujo radiante vendradado por

ΦD = LΩcos4(β). (2.69)

• Determinar el flujo luminoso si E0 = 2 V/m, R0 = 1 cm yD = 5 metros y lafuente esta enfrentada con el centro del detector.

Page 54: Optica Fisica I Problemas Resueltos

46 Problemas de Optica Fısica I

El flujo luminoso, ΦlD, es la magnitud fotometrica4 asociada al flujo radiante que es la

magnitud radiometrica hasta ahora empleada. Para convertir la magnitud radiometricaa fotometrica basta tener en cuenta que

ΦlD = Kyλ0ΦD, (2.70)

donde K = 680 lumenes/Watio es el factor de conversion comunmente aceptado e yλ0 esel valor de la curva de luminosidad estandard para la longitud de onda de interes (estacurva esta normalizada a la unidad en λ0 = 555 nm). Tras realizar los calculos indicadosen (2.70) llegamos a que el flujo luminoso es Φl

D = 0.000454 lumenes.

• Supongamos ahora que la fuente es extensa y de forma circular (radio Rf).Asimismo suponga que cada punto de la fuente emite de manera isotropay de manera independiente con respecto a la emision de otros puntos.Finalmente considere que el radio de la fuente verifica la condicion Rf ≪ D.Obtenga la expresion del flujo radiante que incide sobre el detector en estascondiciones.

En este caso lo interesante estriba en considerar justamente que los diferentes puntosde la fuente emiten de manera independiente, de forma que la contribucion al flujo porparte de cada punto de la misma es independiente: en otras palabras vamos a haceruna “superposicion” incoherente de las irradiancias procedentes de cada punto. De estamanera, si tenemos en cuenta el resultado expresado en la ecuacion (2.69), la contribucional flujo total de un punto desplazado una cantidad a

dΦExtD = LΩcos4(β)dxsdys, (2.71)

donde xs e ys son coordenadas en el plano de la fuente. Si expresamos la ecuacion (2.71)en coordenadas polares tendremos

dΦExtD = LΩ

[

D√

D2 + ρ2s

]4

ρsdρsdφs. (2.72)

Si sumamos a todos los puntos de la fuente se tendra

ΦExtD = LΩπD2 sin2(β0), (2.73)

donde β0 = arctan(Rf

D

)

.

4Ver G. Wyszecki, Color Science: concepts and methods, quantitative data and formulae, 2nd Edition, (John Wiley& Sons, New York, 1982), Caps. 1 y 2.

Page 55: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 47

2.13 Considere una carga q en el origen de coordenadas que ejecuta un movimientooscilante en la direccion del eje Z de la forma z(t) = A0 cos(ωt). Este movimientoacelerado produce emision de ondas electromagneticas dadas por

~E(r, t) =q

4πǫ0c2rs× s× z′′(t′)k,

~B(r, t) =µ04πcr

z′′(t′)k × s (2.74)

donde t′ = t−r/c es el instante retardado y s es un vector unitario en la direccionde observacion. Esta es la conocida expresion del campo radiado por un dipolooscilante en la “zona de ondas”. Tengase en cuenta que en esta region loscampos radiados cumplen la relacion de transversalidad que hemos analizadopara ondas planas.

• Expresar explıcitamente el campo electrico de las ondas emitidas por lafuente.En primer lugar vamos a considerar la forma del vector unitario en la direccion deobservacion que esta dado por

s =x

rı+

y

r+

z

rk. (2.75)

De la misma manera evaluaremos la aceleracion de la partıcula que vendra dada por

z′′(t′) = −ω2A0 cos (ωt− kr) . (2.76)

Con lo cual nos resta realizar el triple producto vectorial indicado en (2.74) que resulta

~E(r, t) = − A0qω2

4πǫ0c2r

[xz

r2ı+

yz

r2− x2 + y2

r2k

]

cos (ωt− kr) . (2.77)

• Expresar explıcitamente el campo magnetico de las ondas emitidas por lafuente.El campo magnetico de las ondas emitidas esta dado por

~H(r, t) =1

µ0~B. (2.78)

Realizando las operaciones indicadas en (2.78) llegamos a que el campo magnetico seexpresa de la siguiente manera

~H(r, t) = −A0qω2

4πc

[

− y

r2ı+

x

r2]

cos (ωt− kr) . (2.79)

• Expresar explıcitamente el vector de Poynting asociado a las ondasemitidas por la fuente.

Teniendo en cuenta la definicion del vector de Poynting y los resultados anteriores sellega facilmente a que

~P(r, t) = ~E(r, t) × ~H(r, t) =A2

0q2ω4

16π2ǫ0c3x2 + y2

r4

[x

rı+

y

r+

z

rk]

. (2.80)

Notese que de la ecuacion (2.80) se deduce que ~P‖s.

Page 56: Optica Fisica I Problemas Resueltos

48 Problemas de Optica Fısica I

• A una distancia D se coloca un detector circular de radio R0. Determinarel flujo radiante del promedio temporal del vector de Poynting a traves delarea del detector.En este caso el vector unitario en la direccion de observacion es

s =x

rı+

D

r+

z

rk. (2.81)

Teniendo en cuenta que el elemento diferencial de area en la superficie del detector estadado por d~S = dxdz se tendra que el flujo radiante sobre la superficie del detectorvendra dado por

ΦD =

∫∫

A

~P(~r)⟩

· d~S. (2.82)

Igual que en el problema anterior es preferible realizar la integral indicada en (2.82) encoordenadas polares de manera que el resultado final resulta

ΦD =A0q

2ω4

2× 16π2ǫ0c32π

3

[1− cos3(α0)

], (2.83)

donde α0 = arctan(R0D

)es el angulo subtendido por el detector desde el emisor puntual

considerado. Comparese este resultado con el obtenido en (2.67).

2.14 Considere una fuente de ondas electromagneticas esfericas situada en el origen.

• Expresar el campo electrico de las ondas emitidas por la fuente, ~Ei, y elvector de Poynting asociado, ~Pi.

De la misma manera que en el problema 12 de este Tema, el campo electrico vendradado por

~Ei =E0

rcos(ωt− kr)u. (2.84)

De manera que el vector de Poynting se expresara como

~Pi = cǫ0E2

0

r4cos2(ωt− kr)ur, (2.85)

donde ur =xr ı+

yr +

zr k es un vector unitario en la direccion de propagacion.

• A una distancia D se coloca una lente plano-cilındrica cuyo diametro es2r0. Determinar el flujo del promedio temporal del vector de Poynting queincide sobre la lente, Φi.

Dada la geometrıa de la lente expresaremos los campos en coordenadas cilındricas(x, ρ, θ). De este modo el vector unitario en la direccion de propagacion vendra dadopor ur =

xr ı+

ρr ρ donde r =

x2 + ρ2.

El elemento diferencial de superficie sobre el cilindro viene dado por d~S = Rsdθsdxsρs,donde ρs es un vector unitario perpendicular a la superficie del cilindro. De modo queel flujo del promedio temporal del vector de Poynting viene dado por

Φi =

∫∫

A

~Pi

· d~S =cǫ02E2

0

∫∫

Acos(ǫ)

ρ

r3Rsdθsdxs, (2.86)

Page 57: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 49

Z

D

q

r

e

qs

Y

X

Rs

y

x

Figura 2.7: Esquema de la situacion considerada donde se muestra una seccion del cilindro perpendiculara la generatriz del mismo.

donde ǫ es el angulo que forman ρ y ρs (ver Figura 2.7 para detalles sobre la geometrıainvolucrada).

De la Figura 2.7 se deduce que ǫ = π − (θs + θ) de manera que cos(ǫ) = sin(θs) sin(θ)−cos(θs) cos(θ). Asimismo

x = Rs [1− cos(θs)] ,

y = Rs sin(θs),

ρ =√

y2 + (D + x)2, (2.87)

sin(θ) =y

ρ,

cos(θ) =D + x

ρ.

De las igualdades obtenidas en (2.87) y sustituyendo en la ecuacion (2.86) se obtienela expresion del integrando. La integral no es analıtica por lo que ha de recurrirse alanalisis numerico para estimar su valor: si llamamos L a la longitud del cilindro y θoal angulo subtendido por el borde de la lente respecto al centro de la cara cilındrica sellega a obtener formalmente

Φi = cǫ0E20Ω(L, θo), (2.88)

donde Ω(L, θo) es el angulo solido que subtiende la superficie del cilindro que viene dadopor

Ω(L, θo) =

∫ θo

−θo

dθs

[

cos(ǫ) ρRs

∫ −L/2

−L/2

1

r3dxs

]

. (2.89)

Page 58: Optica Fisica I Problemas Resueltos

50 Problemas de Optica Fısica I

• Estimar la diferencia que existe entre el valor de Ω(L, θo) y la aproximacionde este valor por Ωap(L, θo) =

2θ0RsLD2 . Suponer que D varıa entre 1 y 5 metros,

que Rs = 50 mm, L = 50 mm y θo = π/6. Representar ambas magnitudesfrente a la distancia.A partir de los resultados mostrados en la Figura 2.8 se deduce que conforme aumenta

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

W(x

10

)-3

D (m)

Figura 2.8: Representacion grafica de Ω(L, θo) (∗) y de Ωap(L, θo) () en funcion de la distancia entre lalente y la fuente de ondas esfericas.

la distancia la estimacion del angulo solido dada por Ωap(L, θo) se aproxima al resultadonumerico. Este efecto es similar al seguido en el desarrollo de la aproximacion efectuadaen el problema 12 de este Tema5.

2.15 Considere una fuente de ondas electromagneticas esfericas situada en el origenque emite en λ0 = 600 nm.

• Expresar el campo electrico de las ondas emitidas por la fuente. ~Ei, asıcomo el vector de Poyting, ~P.

En este caso, al igual que en los problemas 12 y 14 de este Tema se tendra

~Ei =E0

rcos(ωt− kr)u ,

y (2.90)

~Pi = cǫ0E2

0

r4cos2(ωt− kr)ur,

donde ur = xr ı +

yr +

zr k es un vector unitario en la direccion de propagacion y r =

x2 + y2 + z2, donde (x, y, z) son coordenadas respecto al punto en el que se encuentrala fuente de radiacion.

5La estimacion numerica la hemos realizado de la siguiente manera: integrando analıticamente la ecuacion (2.89)en la variable xs y posteriormente empleando un metodo numerico de cuadratura.

Page 59: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 51

• A una distancia s se coloca una lente convergente de focal f cuyo diametroes 2r0. Determinar el flujo del promedio temporal del vector de Poyntingque incide sobre la lente, Φi, en la situacion en la que |s| > |f |. Suponerque la fuente de radiacion esta colocada en el eje optico de la lente.

En este caso se tiene una situacion muy similar a la mostrada en la Figura 2.5, reempla-zando el detector por la lente. De esta manera si suponemos que el angulo solido quesubtiende la lente desde el emisor puede aproximarse por

Ω ≈ πr20s2

, (2.91)

el flujo que incide sobre la lente vendra dado, por similitud con la ecuacion (2.66), por

Φi ≈ cǫ0E20

2

πr20s2

. (2.92)

• Suponiendo que las perdidas por reflexion en la lente son despreciables,expresar el campo electrico de las ondas que emergen de la lente, ~Ee.

En este caso vamos a tomar como origen de coordenadas el situado en la propia lente.Como sabemos la onda refractada convergera en un punto situado en el eje optico quedista de la lente s′, donde se ha de verificar la relacion de conjugacion

−1

s+

1

s′=

1

f ′, (2.93)

siendo f ′ la focal imagen de la lente y hemos supuesto que el medio es vacıo. De estamanera la onda refractada por la lente vendra dada por

~Ee =E0

√Ω

r′cos(ωt+ kr′)u, (2.94)

donde r′ =√

x2 + z2 + (y − s′)2. Implıcitamente hemos asumido que el eje Y coincidecon el eje optico de la lente.

• Suponga ahora que se desplaza la lente hasta que la fuente esta en su focoobjeto. Obtener la expresion del campo electrico de las ondas que emergende la lente, ~Ef

e . El eje optico coincide con el eje Y .

En este caso el haz de radiacion que emerge de la lente es paralelo al eje optico de lalente, de manera que el campo electrico vendra dado por

~Ee = E0

√Ωcos(ωt− ky)circ(r0)u

′, (2.95)

por simplicidad podemos suponer en lo que sigue que u′ = . En la ecuacion (2.95) lafuncion circ(r0) esta definida como

circ(r0) =

1 si x2 + z2 < r20,0 si x2 + z2 > r20.

(2.96)

• Se coloca un detector circular de radio R0 = r0. Este detector se puedemover en la direccion del eje Z. Determinar el flujo que incide sobre eldetector segun la posicion relativa del detector con respecto al eje opticode la lente, ΦD

D. Representar graficamente el resultado para R0 = 20 mm.

Para determinar el flujo que incide sobre el detector en esta situacion, debemos especificarla separacion relativa entre los centros de la lente y del detector, d. Esta situacion se

Page 60: Optica Fisica I Problemas Resueltos

52 Problemas de Optica Fısica I

R0

R0

A1

A2

(a)

Z

X (b)

d/2

hq

Figura 2.9: (a) Situacion relativa de la lente y el detector y (b) Calculo del area de solapamiento A2.

ilustra en la Figura 2.9(a). De manera que para calcular el flujo necesitamos computar elarea del detector sobre la que incide radiacion: esta area es 4 veces la del sector en blancomostrado en la Figura 2.9(b). Dado que el area del sector es A12 = A1 + A2 = θ

2R20

y que el area del triangulo sombreado es A1 = 12d2 h donde h =

R20 − d2/4. De esta

manera el area de interes resulta A2 = A12 −A1.

Finalmente el flujo que incide sobre el detector vendra dado por

ΦDD =

cǫ02E2

(

4θR20 − d

R20 − d2/4

)

, (2.97)

donde θ = arccos[

d2R0

]

. En la Figura 2.10 se ha representado el factor de area de

solapamiento 4A2. Notese que, como cabe esperar, al alejar el detector del eje optico elflujo captado disminuira notablemente.

El interes de este ejemplo radica en que nos informa no solo acerca de la radiometrıaelemental involucrada, sino que ademas, puede ser de gran utilidad para estudiar esteefecto en la formacion de la imagen6. Asimismo las nociones elementales de radiometrıaque se derivan tienen su interes ya que permiten fundamentar desde un punto de vistafısico, las relaciones entre la iluminacion de un objeto y la imagen que proporciona deel un sistema optico7.

6Naturalmente en la resolucion del problema se han obviado los fenomenos de difraccion por la lente: un analisismas cuidadoso nos permitirıa incorporar estos detalles, sin embargo lo que pretendemos ilustrar en este problema ylos anteriores es la fenomenologıa basica subyacente.

7Asimismo es preciso hacer notar que en este problema y en el anterior, se ha considerado que las lentes son“perfectas”, en el sentido de que no introducen aberraciones en el frente de onda, lo cual constituye obviamente unasimplificacion.

Page 61: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 53

0 5 10 15 20d

4A

1

25 30 35 400

200

400

600

800

1000

1200

1400

Figura 2.10: Representacion grafica del area de solapamiento, 4A2, en funcion de la distancia deseparacion entre los centros de la lente y del detector, d.

Page 62: Optica Fisica I Problemas Resueltos

54 Problemas de Optica Fısica I

PROBLEMAS PROPUESTOS

Ondas electromagneticas

2.1 Considere una onda plana, linealmente polarizada que se propaga en la direccion +X en elvacıo. El plano de vibracion es el Y Z y la direccion de vibracion forma un angulo de 35o conel eje Y . La amplitud del campo es de 0.025 V/m y su frecuencia es de 1.02 GHz.

(a) Escribir la expresion del campo electrico, ~E.

(b) Escribir la expresion del campo magnetico, ~H.

(c) Escribir la expresion del vector de Poynting, ~P , y determinar la irradiancia promedio dela onda, I.

SOL: (a) ~E = (0, 0.025 cos 35o, 0.025 sin 35o) cos(6.4088 × 109t− 21.3628x

).

(b) ~H = cǫ0(0,−0.025 sin 35o, 0.025 cos 35o) cos(6.4088 × 109t− 21.3628x

).

(c) ~P = cǫ00.0252 ı cos2

(6.4088 × 109t− 21.3628x

).

I = 8.3× 10−7. (W/m2)

2.2 El vector campo electrico de una onda electromagnetica esta dado por

~E(x, t) = E0

[

sin(kx− ωt)+ cos(kx− ωt)k]

,

determinar:

(a) La direccion de propagacion, up.

(b) El estado de polarizacion de la onda.

(c) El campo magnetico, ~H.

(d) Calcular ~E · ~E, ~E · ı, ~E · ~H y ~E ∧ ~H. Analizar los resultados obtenidos.

SOL: (a) up = ı: La onda se propaga en la direccion positiva del eje X.(b) La onda esta circularmente polarizada y el sentido de giro es levogiro.

(c) ~H = cǫ0E0

[

− cos(kx− ωt)+ sin(kx− ωt)k]

.

2.3 Una lampara consume 100 W de potencia electrica. El 5% de la energıa consumida setransforma en energıa luminosa que se distribuye de manera isotropa. Determinar:

(a) La amplitud del campo electrico a 6 metros de la fuente, E6.

(b) La amplitud del campo de induccion magnetica a 6 metros de la fuente, B6.

SOL: (a) E6 = 10.22 (V/m).(b) B6 = 3.409 × 10−8 (T).

Energıa transportada por las ondas

Page 63: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 55

2.4 Considere una fuente isotropa de ondas esfericas situada en el punto O (origen de coordenadasen lo que sigue). Considerar que la region de interes carece de cargas y corrientes y que laamplitud del campo electrico emitido a 1 m de la fuente es E0.

(a) Determinar el flujo del vector de Poynting a traves de una esfera de radio R1, Φ1.

(b) Determinar el flujo del vector de Poynting a traves de una esfera de radio R2, Φ2

(R2 > R1).

(c) Empleando el principio de conservacion de la energıa, razonar que el campo electricopara ondas esfericas varıa inversamente con la distancia.

SOL: (a) Φ1 =cǫ0E2

02 4π.(b) Φ2 =

cǫ0E20

2 4π = Φ1.

2.5 Considere una fuente de ondas electromagneticas esfericas situada en el origen.

(a) Expresar el campo electrico de las ondas emitidas por la fuente, ~Ei.

(b) Expresar el vector de Poynting de las ondas emitidas, ~Pi.

(c) A una distancia f se coloca una lente convergente cuyo diametro es 2r0. Determinarel flujo del promedio temporal del vector de Poynting que incide sobre la lente, Φi, sinrealizar aproximaciones relativas al angulo solido.

(d) Suponiendo que las perdidas por reflexion en la lente son despreciables, expresar el campoelectrico de las ondas que emergen de la lente, ~Ee. Considere que el eje optico de la lentecoincide con el eje Y .

SOL: (a) ~Ei(~r, t) =E0r cos(ωt− kr)u.

(b) ~Pi(~r, t) = cǫ0E2

0r2

cos2(ωt− kr)ur.

(c) Φi =cǫ0E2

02 4π sin2(α0

2 ) con α0 = arctan(2r0f

)

.

(d) ~Ee(~r, t) = E0circ(r0)√

4π sin2(α02 ) cos(ωt− ky).

2.6 Un haz laser emite un pulso de longitud de onda λ0 = 291 nm. Cada pulso tiene una duracionaproximada de 1 ns y el haz laser tiene un diametro transversal de 2 mm. Considerar quecada pulso tiene una energıa de 4 J.

(a) Calcular la extension espacial del tren de ondas, L.

(b) Calcular la energıa por unidad de volumen del pulso de luz, Uv.

SOL: (a) L = 0.3 m y (b) Uv = 4.24 × 106 (J/m3).

2.7 Un haz de luz de seccion circular y diametro 5 mm tiene una potencia de 125 mW, estalinealmente polarizado en la direccion del eje Z y se propaga en la direccion del eje X.

(a) Escribir la expresion del campo electrico asociado a la onda, ~E, ası como la expresiondel vector de Poynting, ~P .

(b) El haz incide sobre una pared con un angulo de 20o, determinar cuantitativamente laforma y el tamano de la region iluminada en la pared.

(c) Determinar el flujo del vector de Poynting que incide en el area iluminada en la pared,ΦS .

Page 64: Optica Fisica I Problemas Resueltos

56 Problemas de Optica Fısica I

SOL: (a) ~E = 2189.89 cos(ωt− kx)k (V/m).~P = 1.27324 cos2(ωt− kx)i (W/m2).(b) Se trata de una elipse de semiejes a = 2.5 mm y b = 2.5 cos 20o mm.(c) ΦS = 0.125 W.

2.8 Un haz de luz colimado de longitud de onda λ0 = 500 nm e irradiancia Ii = 1 mW/m2 incidesobre un ojo reducido con las siguientes caracterısticas r = 5 mm y n = 4/3. Se sabe que laretina del observador esta colocada a 25 mm del vertice del dioptrio.

(a) Determinar el flujo de energıa, Φi, que incide en la pupila del observador (φp = 4 mm)que esta colocada en el vertice del dioptrio. Determinar asimismo el flujo luminoso, Φl

sabiendo que y(λ0 = 500) = 0.323.

(b) Determinar si el observador es emetrope o no.

(c) Si tras refractarse en el dioptrio, la radiacion se concentra en el foco del dioptrio en unaregion que subtiende un angulo θ = 1.22λ0

φpdesde el vertice del dioptrio, determinar la

irradiancia en la retina, Ir.

(d) Se desea acoplar una lente a 12 mm del vertice del dioptrio de modo que un haz colimadoque incida sobre este sistema se focalice en la retina, determinar cual ha de ser la potenciaen aire de esta lente, ϕL.

(e) Determinar la irradiancia en la retina en la nueva situacion, Ic, despreciando las perdidaspor reflexion.

SOL: (a) Φi = 1.2566 × 10−8 (W) y Φl = 2.759 × 10−6 lumenes.(b) El observador considerado serıa miope toda vez que el haz converge antes de la retina.(c) Ir = 1.599 × 10−2 (W/m2).(d) ϕL = −15.873 (m−1).(e) Ic = 8.563 × 10−2 (W/m2).

2.9 Una onda electromagnetica plana de amplitud E0 = 10 V/m y de longitud de onda λ0 = 500nm se propaga en el vacıo en la direccion del vector ~k (ver Figura 2.11).

(a) Escribir las expresiones completas del campo electrico, ~E, y magnetico, ~H, en coordenadascartesianas si la onda esta linealmente polarizada perpendicular al plano ZY .

(b) Calcular la irradiancia de la onda, I, y la potencia, ΦD, que incide sobre la superficiecuadrada de 5 mm de lado de un detector situado perpendicularmente a la direccionde propagacion y situdado a una distancia de 1 m del origen de coordenadas (ǫ0 =8.85 × 10−12 F/m).

(c) Calcular la irradiancia de la onda si la distancia del detector al origen de coordenadases de 6 m, I6.

(d) Se gira el detector hasta que se coloca perpendicular al eje Y . Determinar en esta nuevasituacion la potencia que incide sobre el detector, Φg

D.

SOL: (a) ~E = 10 cos[1.2566 × 108(y cos 30o + z sin 30o)− 3.7699 × 1015t

]ı.

~H = 0.02655 cos[1.2566 × 108(y cos 30o + z sin 30o)− 3.7699 × 1015t

] (

sin 30o− cos 30ok)

.

(b) I = 0.13275 (W/m2) y ΦD = 3.32 × 10−6 (W).(c) I6 = 0.13275 (W/m2)(d) Φg

D = 2.87 × 10−6 (W).

Page 65: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 2. El campo electromagnetico 57

X

k

detector

Y30

o

Z

Figura 2.11: Esquema de la situacion considerada. Inicialmente el detector se coloca perpendicular alvector ~k.

2.10 Se coloca un tubo de plasma en una cavidad resonante optica (dos espejos planos de altareflectividad paralelos entre sı una distancia L). Determinar:

(a) La forma de las ondas estacionarias que pueden establecerse en la cavidad.

(b) La condicion para que una cierta frecuencia este establecida (frecuencias normales deresonancia). Expresarla en terminos de la longitud de la cavidad.

(c) Suponer que el tubo de plasma emite luz centrada en ν0 = 5 × 1014 Hz con un anchoespectral ∆ν = 0.9 × 109 Hz indicado en la Figura 2.12. El valor de ∆ν es tal quetodos las frecuencias que esten en el intervalo [ν0 −∆ν, ν0 +∆ν] se veran excitadas porel tubo de plasma y el resonador. ¿Cuantas frecuencias, Nν se excitan si L = 1.2 m?

(d) Determinar el valor de L para el que solo se excite una sola frecuencia, L1.

SOL: (b) Condicion de resonancia: ka = mπ con m numero natural.Equivalentemente νm = m c

2L .

(c) Nν = 7 modos (longitudinales) excitados y (d) L1 = 0.16 (m).

2.11 Considere un cubo uniforme de lado a cuyas paredes son metalicas. El cubo se calientauniformemente a una temperatura T . Como consecuencia del calentamiento los electronesdel metal son acelerados y emiten radiacion en diferentes frecuencias.

(a) Establecer la condicion para que se obtengan ondas estacionarias dentro de la cavidad,teniendo en cuenta que en la superficie del metal el campo electrico ha de anularse.

(b) Establecer la condicion de las frecuencias permitidas, ωper.

(c) Derivar el numero de ondas estacionarias por intervalo de frecuencia y unidad de volumende la cavidad, teniendo en cuenta los diferentes estados de polarizacion, N(ω).

Page 66: Optica Fisica I Problemas Resueltos

58 Problemas de Optica Fısica I

n0

Dn

L

(a) (b)

tubo de plasma

Figura 2.12: (a) Esquema del resonador y el tubo de plasma y (b) Curva de ganancia.

(d) Teniendo en cuenta que cada onda estacionaria tiene una energıa promedio E = kT ,determinar la energıa por unidad de volumen en cada intervalo espectral ρT (ω) (formula

de Rayleigh-Jeans).

(e) Buscar bibliografıa sobre este fenomeno de radiacion del cuerpo negro que explique porquey donde falla el razonamiento anterior.

SOL: (a) y (b) ωper =cπa

n21 + n22 + n23 donde n1, n2 y n3 son numeros naturales positivos.

(c) N(ω) = dN(ω)dV = 1

π2c3ω2 dω, donde se ha tenido en cuenta los dos posibles estados de

polarizacion posibles para cada modo.(d) ρT (ω) =

1π2c3

ω2kT dω.

Page 67: Optica Fisica I Problemas Resueltos

TEMA 3

Interaccion de la radiacion con la materia

Si consideramos una region del espacio en la que no hay cargas ni corrientes, las ecuaciones deMaxwell admiten soluciones en forma de ondas que se propagan con la velocidad de la luz en elvacıo. Ası pues las perturbaciones electromagneticas que se originan en unas regiones pueden llegara afectar a las cargas que hay en otras regiones muy distantes. Las ecuaciones de onda que hemosvisto en el Tema 2 admiten soluciones en forma de ondas planas y hemos obtenido asimismo laenergıa asociada a la propagacion de tales ondas. Sin embargo esto no nos dice cual es el origen delas ondas electromagneticas. La teorıa clasica de la radiacion justamente da cuenta de este hecho.

Teorıa clasica de la radiacion

Las distribuciones de cargas, ρ(~r, t), y corrientes, ~j(~r, t), son los terminos fuente que aparecenen las ecuaciones de Maxwell para dar cuenta del origen de la radiacion electromagnetica. Ası, paraunas distribuciones dadas, el problema consiste en resolver las ecuaciones de Maxwell que incorporenestas distribuciones. De particular relevancia es el caso en el que las variaciones temporales deestas distribuciones son armonicas. Justamente el teorema de Fourier establece que cualquierperturbacion puede sintetizarse en terminos de funciones armonicas.

El movimiento acelerado de las cargas es en ultima instancia el origen de las ondas electromagne-ticas: se puede acudir al formalismo del electromagnetismo y formular este problema en terminos delos potenciales escalar y vectorial, o bien, puede obtenerse este resultado mediante el procedimientoideado por J. J. Thomson para determinar el campo electrico de una carga electica que ha sidoacelerada durante un breve lapso de tiempo1. Mediante este ultimo procedimiento, y empleandola ley de Gauss para el campo electrico, puede demostrarse que ademas de la componente radialdel campo, conocida por el lector que haya seguido un curso de “Fısica General”, y que varıa conel inverso del cuadrado de la distancia, aparece una nueva componente tangencial que varıa con elinverso de la distancia. Esta ultima componente es la asociada a los campos radiados por la carga

1Para ver mas detalles de este procedimiento sugerimos que se consulte el trabajo debido a J. R. Tessman y J. R.Finnel “Electric field of an accelerating charge”, Am. J. Phys. 35 523-527 (1967).

59

Page 68: Optica Fisica I Problemas Resueltos

60 Problemas de Optica Fısica I

acelerada, y dada su forma de variar con la distancia es la que explica el largo alcance de las ondasradiadas.

Por otro lado precisamos de un modelo de materia, clasico, que nos permita describir comointeracciona la radiacion con los elementos consitutivos de un medio material. Adoptaremos el asıllamado “modelo de atomo de Lorentz” que, aunque se ha revelado limitado, da cuenta de unagran variedad de fenomenos. En este modelo la materia esta consituida por atomos y asociacionesde atomos. Cada uno de estos atomos a su vez esta consituido por asociaciones de cargas positivasy negativas que de alguna manera se enlazan establemente. Por simplicidad consideraremos que lacarga negativa esta distribuida uniformemente en torno al nucleo. De esta manera, cuando sobre unatomo incide una onda electromagnetica de una frecuencia dada, la distribucion de carga negativase deformara: decimos que el campo externo induce un momento dipolar. Este momento dipolares oscilante tambien y con la misma frecuencia que el campo externo, siempre y cuando los camposaplicados sean de pequena amplitud comparados con los campos electricos inter-atomicos e intra-atomicos. Si este es el caso, diremos que estamos en el marco de la optica lineal. En razon de sunaturaleza los mecanismos de polarizacion de la materia pueden agruparse en tres grandes grupos:polarizacion electronica, asociada a las deformaciones de las nubes electronicas, polarizacion ionica,asociada a los movimientos relativos entre los iones que constituyen las moleculas, y polarizacionorientacional, que esta relacionada con las rotaciones, libres o forzadas, de las moleculas. En lo quesigue nos vamos a centrar en el mecanimos de polarizacion electronica.

Bajo la accion de un campo externo de frecuencia ω, la nube de carga electronica se deformara.Si cesase este campo externo debemos de esperar que la nube electronica recupere el estado inicialal cabo de un cierto tiempo: esta situacion la podemos modelar mediante el empleo de una fuerzarestauradora lineal de constante k0, de manera que la ecuacion de movimiento del electron lapodemos escribir como

med2~r

d t2+ k0~r =

∑~Fext, (III-1)

donde la suma se extiende a todas las fuerzas externas. En el caso que nos ocupa, trataremos conla ley de fuerzas de Lorentz (ver Tema 2). Si las velocidades de los electrones son menores que c,entonces la ecuacion (III-1) puede reescribirse como

d2~r

d t2+ ω2

0~r ≈ q

me

~E =q

me

~E0 cos(ωt), (III-2)

donde ~E es el campo electrico de la fuerza que actua sobre el atomo y ω0 =√

k0/me es la “frecuencianatural” de oscilacion del atomo. En la ecuacion (III-2) ~r representa el desplazamiento de la cargarespecto a la situacion de equilibrio y cumple que ~r ‖ ~E0.

La solucion de la ecuacion de movimiento (III-2) se establece sin la menor dificultad y nos indicaque la carga esta acelerada bajo la accion del campo incidente:

~r =q

me

1

ω20 − ω2

~E0 cos(ωt) = qr0 ~E0 cos(ωt). (III-3)

Esta aceleracion de la carga negativa tiene como efecto la reemision de ondas electromagneticas. Sila distancia entre el lugar donde se observa el campo radiado, R0, y el punto en el que se encuentra

Page 69: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 61

el atomo (el origen) cumple2 que λ≪ R0, el campo radiado viene dado por la expresion

~E(~R0, t) ≈ 1

4πǫ0

s× [s× ~p ′′(t′)]c2R0

,

(III-4)

~B(R0, t) ≈ µ04π

[~p ′′(t′)× s

cR0

]

,

donde ~p = q~r = qr0 cos(ωt) ~E0 es el momento dipolar inducido y s es un vector unitario en ladireccion de observacion. En la ecuacion (III-4), las derivadas una vez realizadas se evaluan enel instante retardado t′ = t − R0/c, que da cuenta de la velocidad finita de propagacion de laperturbacion. Notese que los campos electrico y de induccion magnetica dados en (III-4) cumplenla relacion de transversalidad de las ondas planas. Adicionalmente es facil convencerse de que si elcampo excitador es de frecuencia ω, los campos radiados por un atomo son de la misma frecuenciay se propagan a la velocidad de la luz en el vacıo.

La potencia media radiada por un atomo, Pm, se puede determinar computando el flujo delvector de Poynting a traves de una superficie esferica resultando ser

Pm =q2r20ω

4

12πǫ0c3. (III-5)

Al modelo que hemos presentado le falta incorporar un hecho importante: dado que el atomoemite radiacion, si cesa el campo excitador cabe esperar que el movimiento acabe amortiguandoseya que no hay fuerza exterior que mantenga el movimiento. Este efecto del amortiguamientolo podemos modelar como una fuerza de friccion, ~Fr, que sera esencialmente proporcional a lavelocidad en la forma

~Fr ≈ − q2ω20

6πǫ0c3d~r

dt= −Γ

d~r

dt. (III-6)

Esta nueva fuerza ha de incorporarse a la ecuacion de movimiento (III-1) con lo que quedacompletado el esquema del modelo clasico del atomo. En particular la ecuacion (III-3) quedarıaahora como

~r =q

me

1

ω20 − ω2 + iγω

~E0 cos(ωt), (III-7)

donde γ = Γ/me. A partir de (III-7) se puede obtener una expresion para el momento dipolarcomo

~p = q~r = α(ω) ~E0, (III-8)

donde α(ω) es la polarizabilidad atomica.Podemos resumir el esquema de la interaccion de la radiacion con la materia en un pictograma

como el que se representa en la Figura III-1: las ondas electromagneticas estan descritas en terminosde las ecuaciones de Maxwell, la materia esta modelada mediante atomos que estan sujetos arestricciones (fuerzas recuperadoras lineales). La interaccion aparece como una suerte de acoploentre la materia y el campo (interaccion electro-mecanica).

Procesos de esparcimiento y absorcion

2A esta condicion se la denomina radiacion en la zona de ondas.

Page 70: Optica Fisica I Problemas Resueltos

62 Problemas de Optica Fısica I

ECUACIONESDE MAXWELL

radiacióndipolar

COLECCION DEDIPOLOS

SOMETIDOS A

RESTRICCIONES ( )w0

MEDIORADIACION RADIACION

Figura III-1: Esquema interpretativo de la electrodinamica clasica.

En los sistemas materiales las distancias entre atomos van a depender del estado de agregacion:en un solido o en un lıquido las distancias entre partıculas vecinas son relativamente establesen comparacion con el caso de un gas, en el que la agitacion termica tiende a desordenar acada instante la configuracion. Hemos visto que un atomo aislado cuando es excitado por unaonda electromagnetica produce ondas de la misma frecuencia pero ¿que ocurre cuando tenemosuna coleccion de atomos suficientemente elevada, digamos 1022 atomos/cm3? La respuesta a estapregunta va a depender de dos cosas: por un lado de la frecuencia de la onda incidente y, por otro,de la distancia entre atomos en comparacion con la longitud de onda de la radiacion incidente.Si los atomos estan separados una distancia mayor que la longitud de onda, cada uno de ellos secomportara como un centro que esparce la radiacion de acuerdo con (III-4), de tal manera que enun punto dado de observacion las ondas reirradiadas por cada centro se superponen sin correlacionde sus fases, por lo que no tiene lugar ningun fenomeno “interferencial” que cancele la radiacionen alguna direccion: de ahı el nombre “esparcimiento”. Por otro lado de la ecuacion (III-4) seinfiere que un atomo aislado emite radiacion dipolar en todas direcciones excepto en la direccionde vibracion del campo excitador, supuesto este linealmente polarizado.

Tenemos ejemplos cotidianos de este esparcimiento que se pueden observar al contemplar elhumo de un cigarrillo lateralmente: en particular si dirigimos la voluta de humo hacia un haz laserveremos cual es el “camino” del mismo. En los solidos que contienen impurezas este efecto delesparcimiento tambien puede observarse con facilidad.

Sin embargo el esparcimiento no parece explicar la transparencia de algunos medios materiales:consideremos una experiencia elemental como iluminar con un haz de luz visible de seccion circularun vidrio de ventana: veremos que solo existe luz en la direccion del rayo refractado y no en todasdirecciones, como parece inducirse de lo visto anteriormente. Esto es ası ya que en un solido, comoel vidrio, la distancia entre atomos, que es del orden de unos pocos angstroms, es mucho menor quela longitud de onda. Ciertamente, cada atomo del vidrio reemite la radiacion de ondas en todaslas direcciones y el campo electrico total sera la suma coherente de los campos radiados por todoslos atomos. Aquı radica la diferencia fundamental entre el proceso de esparcimiento incoherenteanteriormente mencionado y este otro, en el que las interferencias de las ondas radiadas juega un

Page 71: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 63

l/2

E

átomos

onda incidente

ondas reirradiadasen fase con la ondaincidente

ondas reirradiadasen oposición de fase

B

k

Figura III-2: Esparcimiento coherente de la radiacion por los osciladores atomicos inducidos por el campoexcitador en un elemento de volumen del medio.

papel primordial. En efecto, las fases de las ondas, debido a la cercanıa de los emisores atomicos,mantienen relaciones de fase estables que dan lugar a los fenomenos de reflexion, refraccion yabsorcion. Para convencerse de ello, consideremos un solido o un medio gaseoso subdividido enelementos de volumen en forma de cubos de lado λ/2 como se indica en la Figura III-2: la radiacionesparcida por dos atomos adyacentes en la direccion de propagacion de la onda estara en fase, sinembargo en la direccion perpendicular a la de avance de la onda, las fases de las ondas radiadas pordos atomos vecinos esta en oposicion de fase. Si los elementos de volumen contienen exactamenteel mismo numero de atomos, la cancelacion de la onda sera total a 90o. Notese adicionalmenteque ademas de la proximidad entre los osciladores atomicos, se necesita una uniformidad en ladistribucion, ası como la ausencia de fluctuaciones para que haya cancelacion.

A partir de lo anterior podemos vislumbrar el origen de la onda refractada como resultado dela superposicion de la onda incidente y las ondas radiadas por todos los osciladores atomicos. Sitenemos en cuenta como es el campo radiado por un oscilador individual, empleando las ecuaciones(III-4) y (III-7), veremos que la onda radiada tiene la misma frecuencia del campo excitador, sepropaga con una velocidad igual a c pero que no esta en fase con aquel. Al superponer las ondasradiadas por todos los atomos, aparece un desfase neto que se aproxima a π/2. De esta manerael campo resultante sera la superposicion del campo incidente y del campo radiado por todos losatomos, con lo cual la onda resultante se retrasa una cierta cantidad respecto de la onda incidentey, equivalentemente, la velocidad de la onda resultante es menor que c, a pesar de que las ondasradiadas por cada atomo individualmente se propague con velocidad c: este es justamente el origenmicroscopico del ındice de refraccion. Para medios poco densos y siguiendo a Feynman3, podemosobtener una expresion para el ındice de refraccion, n(ω), que experimenta una onda de frecuencia

3Vease R. P. Feynman, Fısica, (Addison-Wesley, Wilmington, 1987), Vol I.

Page 72: Optica Fisica I Problemas Resueltos

64 Problemas de Optica Fısica I

ω dentro de un medio material que viene dado por la expresion

n(ω) = 1 +ω2p

2

1

ω20 − ω2 + iγω

, ≡ nr(ω)− iκ(ω), (III-9)

donde ωp =√

Nq2

meǫ0c2es la frecuencia de plasma y N es el numero de atomos por unidad de volumen.

Ası pues la onda refractada es el resultado de una superposicion coherente de multiples ondas quesolo interfieren constructivamente en una direccion, que coincide con las predicciones de la opticageometrica, a saber, ni sin θi = nt sin θt.

Analogamente al caso de la onda refractada, la onda reflejada se obtendra como la superposicionde las ondas radiadas por los atomos del medio material “hacia atras”. Un analisis similar al quehemos indicado para mostrar el origen de la onda refractada, mostrarıa que la onda reflejada es elresultado de una superposicion coherente de multiples ondas que solo interfieren constructivamenteen una direccion, que coincide con las predicciones de la optica geometrica, a saber, θi = θr.

El fenomeno de la absorcion se produce cuando la onda que incide sobre el medio material tieneuna frecuencia que es cercana a la frecuencia natural de los osciladores atomicos: en este caso sedice que estos entran en “resonancia”. Puede demostrarse que en este caso las ondas reirradiadaspor todos los atomos estan en oposicion de fase con la onda incidente, de modo que el campototal dentro del medio se reduce enormemente: la radiacion es absorbida y la energıa cedida porel campo se transforma en otras formas de energıa. Este efecto se manifiesta en el hecho de quela parte imaginaria del ındice de refraccion toma valores apreciables para frecuencias en el entornode ω0; en otros terminos, la onda que se establece dentro del medio material, ~Ein, para frecuenciascercanas a ω0 es una onda que se amortigua exponencialmente

~Ein ≈ ~E0e−k0κ(ω)yei(ωt−k0nr(ω)y). (III-10)

A partir de (III-10) se concluye que la irradiancia en el interior disminuye exponencialmente (leyde Lambert-Beer).

La region de frecuencias en el entorno de ω0 se denomina habitualmente zona de dispersion

anomala, en tanto que a las regiones alejadas de la frecuencia de resonancia se las denomina zonasde dispersion normal. En la region de dispersion normal se pueden obtener una expresion massencilla para la parte real del ındice de refraccion de la forma

nr(λ) ≈ A+B

λ2, (III-11)

conocida como relacion de Cauchy, donde A y B son constantes, o bien relaciones mas generalesque incorporan las longitudes de onda de la resonancia debida a Sellmeier

nr(λ) ≈ A′ +B′

λ2 − λ20. (III-12)

Si el material tiene varias frecuencias de resonancia, ω0j, la relacion (III-9) incorporara nuevosterminos y queda de la forma

n(ω) = 1 +ω2p

2

j

1

ω20j − ω2 + iγjω

. (III-13)

Es notable que el modelo clasico empleado predice con un razonable acuerdo lo que teorıas mascompletas como la cuantica proporcionan en lo que atane al ındice de refraccion que experimentauna onda.

Page 73: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 65

Reflexion y refraccion en medios isotropos

Las ondas reflejada y transmitida por un medio material aparecen como consecuencia de lainteraccion de la onda incidente con los elementos microscopicos que constituyen el medio. Siconsideramos un punto dado de un medio dielectrico, el campo electrico total ~ET (~r, t) es la sumadel campo incidente, ~Ei(~r, t), y del campo radiado por todos los dipolos inducidos en el medio,~Ed(~r, t). Lo anterior no es mas que la verbalizacion del principio de superposicion. Si consideramosel valor del campo en un punto de coordenadas ~r, el campo total es

~ET (~r, t) = ~Ei(~r, t) +∑

todos los atomos

~Ed(~r′, ~r, t), (III-14)

donde ~Ed(~r′, ~r, t) es el campo radiado por un atomo colocado en ~r′ en el punto ~r. En la expresion(III-14) la suma se puede reemplazar por una integral extendida a todo el volumen del medio,si consideramos que la distancia entre atomos es mucho menor que la longitud de onda de laradiacion incidente. El problema formal formulado en (III-14) se conoce con el nombre de Teorema

de extincion, formulado originalmente por Ewald y Oseen4.

Z

Y

X

Ei

2

Ei

^

r’

r

Figura III-3: Esquema del planteamiento del teorema de extincion. La onda incidente en principio puedetener una componente paralela al plano de incidencia (plano ZY ), ~Ei

‖, y una componente perpendicular

al plano de incidencia (paralela al eje X), ~Ei⊥. Para y < 0 la onda experimenta un ındice ni y para y > 0

la onda experimenta un ındice nt.

4Para mas detalles pueden consultarse M. Born & E. Wolf, Principles of Optics, (Pergamon Press, Oxford, 1980).Asimismo son interesantes los clarificadores trabajos de H. Fearn, D. F. V. James and P. Milonni, “Microscopicapproach to reflection, transmission, and the Ewald-Oseen extinction theorem”, Am. J. Phys. 64 986-995 (1995), G.C. Realli, “Reflection from dielectric materials”, Am. J. Phys. 50 1133-1136 (1982) y G. C. Realli, “Exact solutionsof equations of molecular optics for refraction and reflection of an electromagnetic wave on a semi-infinite dielectric”,J. Opt. Soc. 72 1421-1424 (1982).

Page 74: Optica Fisica I Problemas Resueltos

66 Problemas de Optica Fısica I

Si consideramos que la onda incidente es plana y de frecuencia ω, muy alejada de las frecuenciasde resonancia de los atomos, entonces la solucion del problema planteado (ver Figura III-3) pro-porciona una relacion entre la polarizabilidad electronica, α(ω), y el ındice de refraccion, n(ω), queexperimenta la onda dentro del medio material

n2(ω)− 1

n2(ω) + 2=

Nα(ω)

3. (III-15)

La relacion (III-15) se conoce con el nombre de relacion de Lorentz-Lorenz, y para medios pocodensos se reduce a la expresion (III-9).

Asimismo el citado Teorema predice el hecho de que el campo producido por todos los atomosproduce dos ondas: una onda identica a la onda incidente pero desfasada en π respecto a ella, porlo tanto cancela a la onda incidente, y otra onda que hemos convenido en llamar la onda refractadaque cumple la ley de Snell de la refraccion, y cuya velocidad de fase es inferior a la velocidad delas ondas en el vacıo. Este formalismo nos permite establecer las relaciones entre las amplitudes delas ondas transmitidas y reflejadas respecto a la onda incidente: estas relaciones se conocen con elnombre de relaciones de Fresnel5, que vienen dadas por

r‖ =nt cos(θi)− ni cos(θt)

ni cos(θt) + nt cos(θi),

r⊥ =ni cos(θi)− nt cos(θt)

ni cos(θi) + nt cos(θt),

(III-16)

t‖ =2ni cos(θi)

ni cos(θt) + nt cos(θi),

t⊥ =2ni cos(θi)

ni cos(θi) + nt cos(θt).

Las expresiones (III-15) dan cuenta desde el punto de vista electromagnetico de hechos conocidoscomo la reflexion total, en la que se obtiene que |r‖| = |r⊥| = 1, y un nuevo fenomeno que es eldenominado angulo de polarizacion: para un determinado angulo de incidencia θp, se tiene quer‖ = 0. El analisis microscopico revela el origen de este comportamiento peculiar: para este angulode incidencia los radiadores atomicos se ponen a oscilar dentro del medio material en una direccionque coincide con aquella en la que deberıa de aparecer el rayo reflejado: dado que los atomos noemiten radiacion en la direccion de oscilacion, no habra onda reflejada en este caso6.

Otro aspecto relevante del analisis anterior tiene que ver con las relaciones energeticas involu-cradas, esto es, las fracciones de energıa reflejadas y transmitidas cuando una onda incide desde unmedio material a otro medio. Para ello tengamos en cuenta que el flujo de energıa que incide sobreun elemento de area que separa los dos medios vendra dado por

Φi =

∫∫

d~S · ~Pi, (III-17)

donde ~Pi es el vector de Poynting de la onda incidente y d~S es un elemento diferencial del areaconsiderada. Parte de la radiacion sera reflejada y parte sera transmitida, por lo que teniendo en

5En los tratamientos usuales de los textos de optica fısica la obtencion de estas expresiones hace uso de lascondiciones de contorno de los campos electromagneticos: esta descripcion oculta el proceso de interaccion de laradiacion con la materia a traves de las llamadas relaciones constitutivas y las condiciones de frontera que han deverificar los campos electromagneticos.

6Para mas detalles vease E. Hetch, Optica, (Addison Wesley, Madrid, 2000).

Page 75: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 67

cuenta el principio de conservacion de la energıa podremos igualar la expresion (III-17) a los flujosde energıa reflejada mas el de la onda transmitida

∫∫

d~S · ~Pi =

∫∫

d~S · ~Pr +

∫∫

d~S · ~Pt, (III-18)

donde ~Pr y ~Pt son los vectores de Poynting de las ondas reflejada y transmitida respectivamente.De la expresion (III-18) llegamos a que

R‖ + T‖ = 1,

y (III-19)

R⊥ + T⊥ = 1,

donde R y T hacen mencion a la reflectancia y la transmitancia respectivamente. Estos coeficientespueden reescribirse de la siguiente manera:

R‖ = |r‖|2 y R⊥ = |r⊥|2,y (III-20)

T‖ =nt cos θtni cos θi

|t‖|2 y T⊥ =nt cos θtni cos θi

|t⊥|2.

Medios anisotropos

Los medios materiales dielectricos anisotropos exhiben propiedades novedosas con respecto a losmedios isotropos: en particular el comportamiento depende de como sea la orientacion del campoelectrico excitador. Esto es ası en la medida en la que la forma, orientacion y localizacion espacialde los atomos tiene especial relevancia al considerar la interaccion con el campo electrico. Si se sigueadoptando el modelo de atomo de Lorentz, podemos buscar el fundamento microscopico de estecomportamiento en el hecho de que, bajo la accion del campo excitador, las fuerzas restauradorasque ligan a los electrones a los nucleos dependen de la orientacion del campo externo7: estasituacion se representa en la Figura III-4a. Esto se traduce necesariamente en el hecho de quela polarizabilidad atomica dependera de la direccion de aplicacion del campo externo: en estesentido el momento dipolar inducido no sera, en general, paralelo al campo externo.

Cuando las tres constantes recuperadoras son diferentes se dice que el medio es biaxico, mientrasque cuando dos de ellas son iguales y la otra es diferente decimos que el medio es uniaxico8. En estelibro nos dedicaremos unicamente a los medios uniaxicos. Al eje optico y a una de las direccionesperpendiculares al mismo se les denomina en ciertas ocasiones lıneas neutras.

Una consecuencia inmediata de lo anterior es que el ındice de refraccion que experimente unaonda va a depender de orientacion del eje optico con respecto al campo externo. En la Figura III-4bse ha representado una lamina de un material anisotropo sobre la que incide una onda plana quevibra formando un angulo θ con respecto al eje Z. La componente Ex experimenta un ındice derefraccion que es diferente a la que experimente la componente Ez. El modelo de material diluido

7Vease por ejemplo F. Carreno and M. Anton, “The index of refraction in linear anisotropic media”, Eur. J. Phys.20 443-451 (1999).

8Desde el punto de vista de la teorıa macroscopica de los medios dielectricos anisotropos, los ejes opticos estanrelacionados con las propiedades de simetrıa del medio material

Page 76: Optica Fisica I Problemas Resueltos

68 Problemas de Optica Fısica I

X

Y

kx

ky

kz

Z(a) (b)

X

Ez

Ex

ET

Y

Q

Z

e

q

Figura III-4: (a) Modelo de Lorentz para un medio anisotropo: si el campo incidente vibra segun el ejeX , la constante recuperadora que liga al electron, kx, es diferente de la que liga al electron si el campoincidente vibra en otra direccion. Se han senalado las tres constantes recuperadoras principales. (b)Lamina de material anisotropo sobre la que incide una onda plana linealmente polarizada.

propuesto en (III-9) se puede extender a este caso teniendo en cuenta el hecho de que las frecuenciasde resonancia seran diferentes, esto es, en este caso se tendra

nx(ω) = 1 +Nq2

2meǫ0c21

ω20x − ω2 + iγxω

,

y (III-21)

nz(ω) = 1 +Nq2

2meǫ0c21

ω20z − ω2 + iγzω

,

donde explıcitamente se ha considerado que las perdidas por radiacion dependen tambien de ladireccion, es decir, γz 6= γx.

A la vista de la ecuacion (III-21), vemos que el comportamiento del material al incidir laonda sobre la lamina va a depender de la frecuencia del campo incidente. Imaginemos que laonda incidente tiene una frecuencia ω2 tal y como se muestra en la Figura III-5: en este caso lacomponente Ex de la onda incidente se amortiguara y, eventualmente, sera absorbida en el medio;sin embargo la componente Ez se transmitira sin atenuacion apreciable. En este caso vemos quela lamina se comporta como un polarizador dicroico9, que “polariza” radiaciones en el entorno deω0x. Al eje Z se le denomina “eje de transmision” del polarizador. A partir de lo anterior se puedededucir la conocida como ley de Malus que establece que la irradiancia que emerge del polarizadores proporcional al coseno al cuadrado del angulo que forma la direccion de vibracion del campoincidente con el eje de transmision del polarizador.

En el caso de que la onda incidente tenga una frecuencia ω1 tal y como se muestra en la FiguraIII-5, ninguna de las componentes del campo incidente se atenuaran pero en cambio una de ellas

9Para informacion mas avanzada puede consultarse el trabajo debido a E. H. Land and C. D. West, “Dichroismand dichroic polarizers”, en Colloid Chemistry, Vol. VI, 160-190 (1946).

Page 77: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 69

nr

nrz

nrx

ww1 w2

Figura III-5: Partes reales de los ındices de refraccion principales de la lamina mostrada en la FiguraIII-4b.

se retrasara respecto a la otra: decimos entonces que para esa frecuencia el material se comportacomo una lamina retardadora que introduce un desfase dado por

δ =2π

λ(nz − nx)e. (III-22)

Al termino (nz − nx) se le denomina birrefringencia de la muestra. En este caso decimos que lalamina altera el estado de polarizacion de la onda incidente10:

(a) Si δ = 2πM , dondeM es un numero entero, la radiacion emergente esta linealmente polarizadaesencialmente en la misma direccion que el haz incidente.

(b) Si δ = (2M + 1)π, donde M es un numero entero, la radiacion emergente esta linealmentepolarizada pero el plano de polarizacion ha rotado un angulo aproximadamente igual a 2θ.

(c) Si δ = (2M + 1)π2 , donde M es un numero entero, la radiacion emergente esta elıpticamenteesencialmente, y en circunstancias especiales puede degenerar en radiacion circularmentepolarizada (cuando θ ≈ π

4 ).

Los materiales anisotropos se suelen emplear en diferentes dispositivos opticos tales como prismas(de Rochon, Wollaston, compensadores), aprovechando el fenomeno conocido como doble refraccion

y con distintos propositos.

Medios conductores

10Para mas informacion el lector puede consultar el trabajo debido a D. A. Holmes, “Exact theory of retardationplates”, J. Opt. Soc. Am. 54,1115-1120 (1964).

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70 Problemas de Optica Fısica I

La comprension cabal de la interaccion de la radiacion con los medios conductores tiene queefectuarse empleando la teorıa cuantica aplicada a la materia (teorıa semiclasica). No obstante,el modelo electronico de Lorentz-Drude da una vision razonablemente aproximada de algunosfenomenos. En este modelo se considera que en el conductor hay una coleccion de electrones quese denominan “libres”, en el sentido de que tienen cierta libertad de circular por el material [ estoequivale a hacer ω0 = 0 en la ecuacion (III-1) ]; en otras palabras: no hay fuerzas restauradoras,pero en cambio a la fuerza de rozamiento debida a las perdidas por radiacion hay que anadir elefecto de las colisiones. Estas colisiones tienen lugar entre los electrones y las vibraciones de la redcristalina. De esta manera la ecuacion (III-1) puede escribirse como

d2~r

d t2+ γc

d~r

dt=

q

me

~E. (III-23)

Si el campo externo es nulo, los electrones se mueven al azar, sin embargo al aplicar el campo, a estemovimiento azaroso se le superpone un movimiento de deriva originado por el campo excitador:esta deriva es responsable de la conductividad. Si ademas de los electrones libres, el metal tieneelectrones internos ligados, la contribucion total al ındice de refraccion puede ponerse en la forma

n2(ω) = 1 +Nq2

mǫ0c2

j

1

ω20j − ω2 + iγjω

− Nq2

mǫ0c21

ω2 + iγcω. (III-24)

Si despreciamos la contribucion de los electrones ligados, entonces (III-24) se reduce a

n2(ω) = 1−ω2p

ω2 + iγcω, (III-25)

donde si ademas consideramos que el amortiguamiento es despreciable tendremos que

n2(ω) ≈ 1−ω2p

ω2. (III-26)

En particular si ω < ωp, entonces resulta que el ındice de refraccion es imaginario puro, esto es, lasondas no se transmitiran en el medio, de ahı la alta reflectancia de estos materiales.

Page 79: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 71

PROBLEMAS RESUELTOS

Teorıa clasica de la radiacion

3.1 En la interaccion de una onda electromagnetica con la materia se sueledespreciar la fuerza ejercida por el campo magnetico. Razonar los motivospor los que esta aproximacion puede ser adecuada. Considere un atomo en elque el momento dipolar es p = 10−30 C/m, sobre el que incide una onda planade frecuencia ν = 3× 1014 Hz.El campo electromagnetico asociado a un haz de luz interacciona con los electrones a travesde la fuerza de Lorentz

~F = −e ~E − e~vp × ~B. (3.1)

Pero la amplitud de la induccion magnetica es, en modulo, c veces mas pequena que laamplitud del campo electrico

| ~B| =| ~E|c. (3.2)

Por ello, para velocidades del electron tales que |~vp| << c, el segundo termino de la fuerza deLorentz es despreciable.

En el caso del atomo considerado se tiene que al incidir la onda sobre el inducira oscilacionesdel electron en la direccion del campo electrico. Estas oscilaciones seran armonicas y dela misma frecuencia que el campo incidente, de manera que la posicion de la partıcula, ~rp,cambiara con el tiempo de la forma

~rp = r0 cos(2πνt)u, (3.3)

donde u es un vector unitario en la direccion de vibracion del campo externo. Por lo tanto lavelociad de la partıcula vendra dada por

~vp = −2πνr0 sin(2πνt)u. (3.4)

Teniendo en cuenta el valor del momento dipolar del atomo suministrado, podemos estimar elvalor de r0 que aparece en (3.4) y finalmente el valor maximo de la velocidad de la partıculaque es del orden de

|~vmaxp | = 2πν

p

e= 1.6 × 104 m/s, (3.5)

que es una velocidad muy inferior a la de la luz en el vacıo.

3.2 Calcular el campo radiado a grandes distancias por un electron que oscila conuna frecuencia ω0 = 4× 1014rad/s de acuerdo a la ecuacion

z(t) = 5× 10−11 cos(ω0t). (3.6)

Calcular asimismo el vector de Poynting y demostrar que la potencia radiadaviene dada por

P =2

3

e2

4πǫ0c3

(d v

d t

)2

. (3.7)

La carga del electron es e = 1.6× 10−19 (C) y ǫ0 = 8.85 × 10−12 (F/m).

Page 80: Optica Fisica I Problemas Resueltos

72 Problemas de Optica Fısica I

Estamos interesados en calcular los campos en una region muy lejana del sistema de cargasde tal manera que λ << R,

~E(~R, t) ≈ 1

4πǫ0

s× [s× ~p ′′(t′)]c2R

, (3.8)

~B(R, t) ≈ µ04π

[~p ′′(t′)× s

cR

]

, (3.9)

donde t′ = t−R/c, es el instante retardado. Observese que en esta region los campos satisfacenque

~E = c ~B × s, (3.10)

es decir cumplen la relacion de transversalidad de las ondas planas. Aunque son ondasesfericas, su radio es muy grande y localmente se pueden asemejar a ondas planas (verproblema 5 del Tema 1).

Deberemos calcular ~p ′′(t′) para el caso del movimiento armonico que se pide. El modulo dela aceleracion del momento dipolar vale:

p ′′(t′) = −p0ω20 cos(ω0t) , (3.11)

donde p0 = −ez0 = −1.6× 10−19 × 5× 10−11 = −8× 10−30 (C.m).

El campo radiado por el dipolo vale

~E(R, t) =p0ω

20 sin(θ)

4πǫ0c2Rcos (ω0t− kR) uθ , (3.12)

donde ~uθ es un vector unitario en la direccion azimutal. Observese que se obtiene una ondaesferica que oscila a la frecuencia del dipolo y que se propaga a la velocidad c. Sustituyendolos valores de las constantes se obtiene

~E(R, t) = 1.28× 10−7 sin(θ)

Rcos(4× 1014t− 1.3× 106R

)uθ . (3.13)

El vector de Poynting se obtiene inmediatamente:

~P = cǫ0 ~E · ~E uk, (3.14)

donde uk es un vector unitario en la direccion del vector de propagacion de la onda. Sustitu-yendo el valor del campo calculado mas arriba se llega a

~P = 4.34 × 10−17 sin2(θ)

R2cos2

(4× 1014t− 1.3 × 106R

)uk . (3.15)

Teniendo en cuenta que el promedio temporal de la funcion cos2 es 1/2, el promedio temporaldel vector de Poynting resulta

~P = 2.17 × 10−17 sin2(θ)

R2uk . (3.16)

Para calcular la potencia total radiada al exterior por el dipolo deberemos calcular el flujodel vector de Poynting a traves de una esfera con centro el dipolo y de radio R, esto es,

P = ©∫∫

A

~P · d~S =

∫ 2π

0dϕ

∫ π

0

e2 sin2(θ)(dvdt

)2

16π2ǫ0c3R2R2 sin(θ)dθ , (3.17)

Page 81: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 73

X

Y

p

..

Z

j

q

B

E x B

s

E

Figura 3.1: Esquema para el calculo del flujo del vector de Poynting ~P a traves de una superficie esferica.

donde el elemento de area se ha puesto en coordenadas polares y se ha usado el hecho de que~P y d~S son paralelos. En la Figura 3.1 se muestra la geometrıa del problema. La integral escasi inmediata y el resultado final es

P =e2

6πǫ0c3

(dv

dt

)2

. (3.18)

Si se sustituyen los valores de las constantes y se realiza el promedio temporal, la potenciapromedio radiada al exterior es

〈P 〉 = 1.8× 10−11 (W). (3.19)

3.3 Sobre el dipolo anterior actua una onda electromagnetica polarizada defrecuencia ω y una amplitud E0 = 40 V/m. Por el problema anteriorsabemos que un dipolo acelelerado emite energıa, por lo que su movimientoes amortiguado. Supongase que tal amortiguamiento se puede modelarintroduciendo una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (Fr =γdz/dt), donde γ = 108s−1.

• Formular la ecuacion de movimiento del electron bajo la accion del campoexterno alternante, y obtener la solucion estacionaria del movimiento delelectron.El dipolo esta sometido a tres fuerzas: la fuerza recuperadora, la fuerza de rozamientoy la fuerza del campo externo. La aceleracion se podra escribir como

d2z

dt2= −γ dz

dt− ω2

0z −eE0

meeiωt, (3.20)

donde me es la masa del electron.

Page 82: Optica Fisica I Problemas Resueltos

74 Problemas de Optica Fısica I

La solucion particular estacionaria de esta ecuacion la podemos postular de la forma

z(t) = Aeiωt. (3.21)

Sustituyendo esta expresion en la ecuacion de movimiento se llega sin dificultad a que

z(t) = −eE0

m

1

ω20 − ω2 + iγω

eiωt . (3.22)

• Calcular el campo radiado en la zona de ondas ası como el vector dePoynting.

A partir de la expresion (3.22) podemos calcular la aceleracion del dipolo y obtener elcampo radiado. En efecto, este viene dado por

~E(~R0, t) ≈ 1

4πǫ0

s× [s× ~p ′′(t′)]c2R0

. (3.23)

(3.24)

En nuestro caso, despues de derivar dos veces la expresion de z(t) se llega a

w0 w ( )rad s-1

0

p

a p/2

Figura 3.2: Desfase α del movimiento del dipolo respecto al campo incidente en funcion de la frecuenciaω del campo excitador.

~E(R, t) = −eE0

m

ω2 sin(θ)

4πǫ0c2R(ω20 − ω2 + iγω

)e(iωt−kR)uθ . (3.25)

Si el numero complejo del denominador lo reescribimos en forma modulo-argumental, sellega a

~E(R, t) = −eE0

m

ω2 sin(θ)

4πǫ0c2R

e(iωt−kR−α)

√(ω20 − ω2

)2+ γ2ω2

uθ , (3.26)

Page 83: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 75

donde

α = arctan

(γω

ω20 − ω2

)

. (3.27)

Como puede verse, el campo radiado por el dipolo oscila a la misma frecuencia del campoexterno que incide sobre el pero defasado una cantidad dada por α que depende, comose puede ver en (3.26) y en (3.27), del valor del coeficiente de amortiguamiento y de larelacion entre la frecuencia natural del dipolo y la frecuencia del campo incidente. En laFigura 3.2 se muestra como cambia el desfase α con relacion a la frecuencia del campoincidente: notese que cuando ω = ω0 el desfase es π/2. Por otra parte, la amplitud delcampo radiado presenta la forma de un tıpica curva de resonancia, esto es, la amplitudse hace maxima en un entorno de frecuencias proximas a ω0. Esto quiere decir, quesi la frecuencia del campo incidente coincide con la frecuencia natural del oscilador, laamplitud del campo radiado se hace maxima.

En la Figura 3.3 se ha representado el valor del modulo de la amplitud de la oscilacion,|A|, en funcion de la frecuencia de excitacion del campo externo, ~Ef . Notese que el

valor maximo de la amplitud se obtiene en una frecuencia ωmax =√

ω20 − γ2, y que esta

ligeramente desplazada respecto a ω0.

0.0

w0

A(u

.a)

w (rad s )-1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 3.3: Modulo normalizado de la amplitud del movimiento efectuado por el dipolo en funcion de lafrecuencia ω del campo excitador.

Una vez conocida la expresion del campo electrico, el vector de Poynting se puede evaluarde la misma manera que en el problema anterior.

Observese ahora como la irradiancia del dipolo depende de una forma algo mas complica-da respecto de la expresion obtenida en el problema anterior: depende de la relacion entrela frecuencia del campo externo y la frecuencia natural del dipolo. Aquella frecuenciascercanas a la frecuencia de resonancia seran fuertemente esparcidas (esparcimiento re-

sonante).

Page 84: Optica Fisica I Problemas Resueltos

76 Problemas de Optica Fısica I

3.4 Desde el plano que contiene el punto O emergen ondas planas de frecuenciaωb = 3.17 × 1015rad s−1 que se propagan a lo largo del eje X y vibran a lo largodel eje Z.

• Escribir la expresion del campo electrico en el punto Q situado a 15 m delpunto O (ver Figura 3.4a) en ausencia de lamina L.

Consideremos que la fase inicial del campo en O es nula, de esta manera si llamamos E0

a la amplitud del campo electrico, la expresion del campo electrico en Q esta dada porla expresion

Esl(x = xq, t) = E0ei(ωbt−k0xq), (3.28)

donde k0 =ωb

c = 1.0567 × 107 m−1 y xq = 15 m.

Z

O

L

(a)

QX

(b)

dl

n=1

n>1

Figura 3.4: (a) Radiacion incidente, lamina (L) y punto de observacion (Q). (b) Ondas que llegan alpunto Q en presencia y en ausencia de lamina.

• Se interpone una lamina isotropa de espesor 15 nm e ındice n(ωb) = 1.37.Escribir la expresion del campo electrico en el punto Q para el mismoinstante de tiempo que en el caso anterior en el que no habıa lamina(ignorar los efectos de las reflexiones multiples).

Al interponer la lamina el campo electrico se vera alterado: la radiacion incidente sobre lalamina producira una onda reflejada y una transmitida. Estamos interesados en estimarla onda transmitida y hemos de tener en cuenta el hecho de que la onda dentro de lalamina viaja a una velocidad inferior a la de la luz en el vacıo, esto es, llegara retrasadarespecto a la onda dada por (3.28) en una cantidad

∆t =dl(n− 1)

c, (3.29)

donde dl = 15 nm, por lo que el retardo vale ∆t = 1.85 × 10−17 segundos. De esta

Page 85: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 77

manera el campo electrico en Q en presencia de la lamina esta dado por

Ecl(x = xq, t) = t1t2E0ei(ωb(t−∆t)−k0xq)

= 0.9756E0ei(ωbt−k0xq−0.0586), (3.30)

donde t1 y t2 son los coeficientes de transmitancia en amplitud en condiciones deincidencia normal.

• A la vista de los resultados del apartado anterior indicar cual es el efectode la lamina sobre la onda.

A la vista de la expresion (3.30) vemos que el efecto de la lamina es el de atenuar laamplitud de la onda en el punto Q y ademas introducir un retardo11. Esta situacion seilustra en la Figura 3.4b.

Procesos de esparcimiento y absorcion

3.5 Explicar porque el cristalino es transparente a las radiaciones del visible. Sedice que en el proceso incipiente de formacion de una catarata se reduce laagudeza visual. Explicar este hecho suponiendo que el tamano de las regionesde opacificacion ası como la distancia entre ellas es mayor que las longitudesde onda del visible (vease Figura 3.5).

El cristalino esta formado por una agregacion de sustancias diferentes: agua, proteinas,..que estan dispuestas espacialmente de una manera regular. La interaccion de la radiacionvisible con el cristalino va a inducir oscilaciones en los electrones de estas partıculas. Estascargas aceleradas radian ondas electromagneticas que se esparcen en todas direcciones: debidoal empaquetamiento regular de las partıculas este proceso de esparcimiento sera de caractercoherente por lo que las ondas radiadas solo producen interferencia constructiva en la direccionen la que se forma la imagen que predice la optica geometrica. De esta manera la imagen deun objeto estara contrastada, esto es, se apreciaran nıtidamente en la retina los bordes de laimagen del objeto. Naturalmente este proceso de esparcimiento depende de la longitud deonda: es conocido que si la frecuencia de la onda incidente es proxima a las frecuencias deresonancia de un material la onda es absorbida por el medio, ası pues diremos que el cristalinoes transparente para aquellas radiaciones cuyas frecuencias estan alejadas de las frecuenciasde resonancia de los materiales que lo componen.

En el proceso de formacion de una catarata se forman en las capas del cristalino acumulacionesde proteinas en forma de lagos12: estas acumulaciones rompen la estructura regular espacialoriginal, por lo que estas regiones actuaran como centros dispersores que radiaran las ondasen casi todas las direcciones pero en este caso este proceso de esparcimiento por estos centros

11Puede alegarse que al tratarse de una lamina delgada se pueden producir interferencias multiples. Este efectopuede ser importante, para lo cual podemos computar el campo electrico teniendo en cuenta que en este caso el campoelectrico en Q esta dado por Ecl(x = xq, t) = E0

tt ′

1−r2e−iδ ei(ωbt−k0xq), donde δ = k02ndl = 0.4343. Tras realizar los

computos indicados en la expresion anterior se llega a que Ecl(x = xq, t) = 0.9976E0ei(ωbt−k0xq−0.0105). Vemos que

este resultado contrasta con el obtenido en (3.30).

12La Figura 3.6 ha sido tomada de D. Miller & G. Benedek, Intraocular light scattering, (Charles C Thomas,Springfield, 1973).

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78 Problemas de Optica Fısica I

Figura 3.5: En la parte izquierda se muestra una micrografıa electronica de un cristalino y en la parteizquierda se muestra una catarata incipiente.

es tal que no se cancelan las ondas en las regiones en las que geometricamente no deberıahaber luz: esto producira una reduccion del contraste en la imagen, cuyos bordes seranmenos nıtidos y producira la consecuente reduccion de la agudeza visual. Este procesode esparcimiento es de caracter incoherente y producira, una redistribucion espacial de laluz en la retina tal que las longitudes de onda mas cortas se dispersaran mas que las delongitud de onda larga. En la Figura 3.6 se muestra este efecto. Una manera de reducirel impacto de estos lagos es el de anteponer un filtro delante del ojo del observador queelimine las radiaciones azules: en este caso los centros seguiran dispersando pero la agudezavisual del sujeto mejorara notablemente. Recuerdese en este punto que la potencia esparcidapor un dipolo es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia del campo excitador.Naturalmente cuando el numero de centros dispersores aumenta, se produciran multiplesprocesos de esparcimiento incoherente que reducira aun mas el contraste, llegando a ser tanreducido su valor que puede decirse que la imagen optica ha desaparecido.

En ausencia de centros dispersores el aspecto que mostrarıa la imagen mostrada en la Figura3.6, constarıa esencialmente de una region oscurecida, escalada con los aumentos laterales,que corresponde con la region oscura del objeto, y la region iluminada que corresponde a laregion transparente del objeto13.

3.6 Se rellena un prisma hueco de angulo α = 60o con un lıquido transparente. Elprisma se ilumina con un haz colimado de luz blanca de manera que la radiacionrefractada se recoge con una lente y se coloca una pantalla en su plano focal.Se anade un colorante poco a poco al lıquido que rellena el prisma. Sabiendoque el colorante tiene una frecuencia de resonancia en λ0 = 530 nm. Indicarrazonadamente que se observara en el plano focal de la lente L2 antes de echarel colorante y despues de anadirlo.

13No vamos a entrar en detalles aquı concernientes a la difraccion por la pupila del sistema.

Page 87: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 79

objeto

imagen

cristalino

centrosdispersores

Figura 3.6: Influencia de los centros dispersores localizados en el cristalino en la formacion de la imagen.

Que el lıquido con el que se rellena el prisma sea transparente para las radiaciones visiblesnos indica que no absorbera apreciablemente en este rango espectral, o de otra manera, su/sfrecuencia/s de resonancia estan alejadas del rango visible. Hemos de recordar que cadaonda de una cierta longitud de onda experimentara un ındice de refraccion diferente, n(λ),por lo que a la salida del prisma las distintas radiaciones se habran refractado de maneradiferente. Por lo general en el visible se tiene una region de dispersion normal para estelıquido por lo que dadas dos radiaciones de longitudes de onda λ1 y λ2 tales que λ1 < λ2se tendra que n(λ1) > n(λ2), de esta manera en el plano focal de la lente se observaran lasradiaciones dispersadas por el prisma en diferentes posiciones. Supongamos por ejemplo quese ha colocado el prisma de manera que λf = 550 nm llega al foco de la lente L2, en ese casolas radiaciones cuyas longitudes de onda sean mayores que λf estaran en la parte superiordel plano focal respecto al eje optico y el resto estaran en la parte inferior del plano focal(vease Figura 3.7). Al anadir el colorante cuya resonancia esta en λ0 = 530 nm ocurrira queesta radiacion y algunas en un entorno suyo se absorberan por lo que en el plano focal de L2

se observara un espectro similar al anterior pero faltando aquellas radiaciones que han sidoabsorbidas. La contribucion al ındice de refraccion por parte del colorante viene dada por laexpresion siguiente14

n(ω) = 1 +Nq2

2meǫ0

1

ω20 − ω2 + iγω

= nr(λ)− ini(λ). (3.31)

Recordemos que la parte imaginaria del ındice es la que da cuenta de la absorcion por elmedio material: de esta manera si suponemos que I0(λ) es la intensidad incidente para unacierta longitud de onda, la intensidad emergente para esa radiacion puede expresarse como

Isal(λ) ∝ I0(λ)e− 4πni(λ)F

λ , (3.32)

14Lo cual es cierto para bajas concentraciones de la sustancia adicionada.

Page 88: Optica Fisica I Problemas Resueltos

80 Problemas de Optica Fısica I

L2

F’

L1F

S

Figura 3.7: Esquema de la radiacion dispersada por el prisma y observada en el plano focal de L2.

siendo F el espesor de la muestra. Ası aquellas radiaciones proximas a λ0 experimentaranuna fuerte absorcion, mientras que aquellas que esten alejadas de λ0 se refractaran con unaabsorcion despreciable y seran observadas en el plano focal de la lente L2. Notese de pasoque al aumentar la concentracion del colorante, aumentara proporcionalmente la densidad departıculas absorbentes y mas intensa sera la absorcion.

Si se realizase este experimento en un laboratorio, la inspeccion visual no serıa en principiofacil de interpretar ya que tras la refraccion por el prisma, los haces de radiacion de diferenteslongitudes de onda solapan parcialmente entre sı, cosa que no ocurre cuando se emplea unprisma no absortivo en el que las regiones de resonancia estan alejadas del visible: es bienconocido que en este caso el prisma permite separar espacialmente las diferentes componentesespectrales del haz incidente. En el caso de que queramos visualizar la absorcion al adicionarun colorante, es preferible el empleo de una red de difraccion que obvia este problema delsolapamiento espacial.

3.7 Se ilumina el sistema que se muestra en la Figura 3.8 con una fuente de luzblanca. El recipiente RP esta lleno de humo y el polarizador lineal P1 tiene sueje de transmision paralelo al eje X.

• Indicar que procesos intervienen para que el observador que mira segun eleje Z vea luz.

La onda que emerge de la lente LC la podemos considerar como una onda plana que sepropaga en la direccion del eje optico de la lente (~kp =

2πλ ). Podemos considerar que esta

onda esta despolarizada, por lo que al incidir sobre el polarizador lineal emergera de esteun haz linealmente polarizado en la direccion del eje de transmision de P1. El recipienteRP esta formado por pequenas partıculas de humo, de manera que al interaccionar laonda con las partıculas de humo acelerara los electrones, que re-radiaran ondas en todasdirecciones excepto en la direccion de oscilacion (que es la direccion del eje X). El campo

Page 89: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 81

cámara de humo

RP

OB

P2

S

Z

Y

X

LC P1

Figura 3.8: La radiacion emergente de la lente incide sobre el recipiente que contiene el humo. Elobservador mira lateralmente.

radiado a larga distancia por una de estas partıculas vendra dado por

~Ed =1

4πǫ0c2Rs ∧

[

s ∧ ~p ′′(t′)]

, (3.33)

donde s es un vector unitario en la direccion de observacion, y R es la distancia entrela partıcula emisora y la posicion de observacion. Naturalmente el campo electrico quellegue al observador sera el radiado por todas las partıculas del gas. Podemos considerarque al tratarse de un gas, el movimiento de cada partıcula es independiente y que semueven aleatoriamente unas respecto de otras. De esta manera al evaluar la irradianciatotal podremos despreciar los efectos de interferencias entre las ondas re-radiadas porlas diferentes partıculas, esto es, se trata de una suma “incoherente” de irradiancias.Asimismo no consideraremos los efectos del campo radiado por una partıcula sobreotras adyacentes (esparcimiento multiple).

• Indicar como ha de orientar el polarizador P2 para anular la luz.En el caso que nos ocupa, llegaran ondas radiadas que vibran en la direccion del eje Xal lugar donde se encuentra el observador: esto es facil de comprobar a partir de (3.33)suponiendo que s‖Z. Por lo tanto si queremos que el observador no detecte radiacioncuando mira en la direccion del eje Z ha de colocar el eje de transmision de P2 paraleloal eje optico de la lente (eje Y ). En esta situacion tras el polarizador P2 no habraradiacion. El experimento propuesto en este problema puede realizarse con facilidad enun laboratorio.

• Se retira el polarizador P2 y se gira 900 el polarizador P1 respecto a susituacion original. Indicar si se observara luz lateralmente.

Al estar orientado el polarizador P1 en la direccion del eje Z, los osciladores atomicosvibran en la direccion del campo externo. Es bien sabido que un atomo no emite radiaciondipolar electrica en la zona de ondas cuando se observa en la direccion de oscilacion deldipolo atomico inducido, de manera que en este caso el observador no vera radiacion

Page 90: Optica Fisica I Problemas Resueltos

82 Problemas de Optica Fısica I

al mirar en la direccion del eje Z: notese la influencia de la direccion de oscilacion delatomo y de la direccion de observacion.

3.8 Sea un prisma hueco de paredes muy delgadas (espesor despreciable) que serellena con fucsina en disolucion alcoholica. En la Figura 3.9 se muestra lacurva de dispersion de este medio.

w

n(w)

Ve AzAmNR Vio

Figura 3.9: Curva de dispersion de la fucsina, mostrando la parte real del ındice de refraccion en funcionde la frecuencia del campo externo. En disconinua se ha senalado la frecuencia de resonancia.

• Si se incide con luz blanca y colimada sobre el prisma, escribir como serala distribucion angular de la radiacion transmitida.

Es bien sabido que un prisma de un cierto material desvıa los rayos un angulo quedepende del ındice de refraccion del material del prisma ası como del angulo de incidencia.Al tratarse de una haz de luz colimado todas las componentes espectrales del hazincidente llegan en las mismas condiciones de incidencia al prisma.

En la Figura 3.9 se muestra la parte real del ındice de refraccion de la fucsina enfuncion de la frecuencia angular del campo externo. Se observa en dicha figura quea la frecuencia que se especifica en el eje de abcisas la parte real del ındice de refraccionpresenta un comportamiento diferente respecto a otras regiones del espectro: disminuyeal aumentar la frecuencia, lo cual nos indica que a esa frecuencia se produce absorcion:esto corresponde a una longitud de onda de λ0 = 529.5 nm (se trata de una region dedispersion anomala). Es de suponer que la banda de absorcion atomica sea estrecha, demanera que las longitudes de onda cercanas a λ0 van a ser absorbidas por el material.

Teniendo en cuenta lo anterior las diferentes componentes espectrales se desviaran unangulo diferente a la salida excepto aquellas que son absorbidas por la fucsina (seobservara una banda negra en torno al verde centrada en λ0). Teniendo en cuenta queel ındice para las longitudes de onda mas cortas es mayor, las componentes espectralesproximas al “azul” se desviaran mas que las componentes espectrales del “rojo”.

Page 91: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 83

• Determinar la extension espectral de la region de dispersion anomala siγ = 109 s−1.

Para determinar la region de dispersion anomala hemos de computar los puntos deinflexion de la parte real del ındice de refraccion ω±. Para estos puntos se verifica

que dnr(ω)dω = 0. Tras realizar el computo se llega a que los puntos estan dados por

ω± =√

ω20 ± γω0. Por lo tanto la extension espectral de esta region esta dada por

ω+ −ω− = 9.99× 108 (rad s−1), que en longitudes de onda equivale a ∆λ ≈ 1.5× 10−13

metros.

3.9 En un prisma delgado fabricado de vidrio Crown de baja densidad (cuyafrecuencia de resonancia esta en la region UV del espectro), indicar que colorsufrira mayor desviacion cuando se ilumina el prisma con un haz colimado deluz blanca. Suponer que la expresion del ındice en funcion de la frecuencia estadada por

n(ω) = 1 +Nq2e2meǫ0

1

ω20 − ω2 + iγω

. (3.34)

El ındice de refraccion esta dado15 por la expresion (3.34). Los colores extremos del espectrovisible son el violeta y rojo, cuyas frecuencias son 7.5×1014 Hz y 4.3×1014 Hz respectivamente.Luego la diferencia ω2

0 −ω2rojo > ω2

0 −ω2azul, de manera que nrojo < nazul. Recordemos que la

desviacion producida por un prisma delgado viene dada por

δ(ω) ≈ α [n(ω)− 1] , (3.35)

donde α es el angulo del prisma. De lo anterior se deduce que la desviacion para el rojo, δrojo,es menor que para el azul, δazul.

Reflexion y refraccion en medios isotropos

3.10 Una onda electromagnetica plana y monocromatica de frecuencia ν = 4.5× 1014

Hz se propaga en el vacıo en la direccion del eje X. El modulo de la amplituddel campo electrico es E0 = 92 V/cm y la onda vibra en el plano XZ.

• Escribir la expresion del campo electrico y calcular la longitud de onda.Con los datos suministrados, la expresion del campo electrico viene dada por

~E =[0, 0, 92 cos(k0x− 2π × 4.5 × 1015 t)

], (V/cm), (3.36)

donde k0 es el modulo del vector de propagacion.

Dado que se propaga en el vacıo se tiene que ν = c/λ, de donde se obtiene que λ0 = 666.7nm.

15Por simplicidad supondremos que esta expresion, aproximadamente correcta en el caso de medios con bajadensidad, es valida en el caso de un medio denso como es el caso de un vidrio optico.

Page 92: Optica Fisica I Problemas Resueltos

84 Problemas de Optica Fısica I

• Esta onda incide sobre una interfase plana paralela al plano Y Z. El ındicede refraccion del medio para esa longitud de onda es n = 1.62. Determinarla expresion del campo electrico dentro del medio material.

Teniendo en cuenta que la onda incide normalmente y la ecuacion (3.36), la componenteZ del campo electrico transmitido se puede escribir como

Etz = 92tn cos(kx− 2π × 4.5× 1015 t), (V/cm), (3.37)

donde k = 1.62 k0 y tn es el valor del coeficiente de transmitancia en amplitud que enincidencia normal resulta tn = 0.763. De esta manera el campo de la onda transmitidase escribe

~Et =[0, 0, 70.229 cos(1.62 k0x− 2π × 4.5 × 1015 t)

], (V/cm). (3.38)

Notese que la frecuencia del campo dado por la ecuacion (3.38) coincide con la frecuenciadel campo incidente.

• Escribir la expresion del campo electrico reflejado.

Procedemos igual que en el apartado anterior salvo que aquı hemos de tener en cuentael coeficiente de reflexion en incidencia normal que en este caso es rn = −0.237. De estamanera el campo de la onda reflejada viene dado por

~Er =[0, 0,−21.804 cos(−k0x− 2π × 4.5× 1015 t)

], (V/cm), (3.39)

Notese que el campo dado por la ecuacion (3.39) se propaga en la misma direccion peroen sentido contrario que el campo incidente, que la frecuencia de la onda reflejada es lamisma que la de la onda incidente y que la onda reflejada esta desfasada en π respectoa la onda incidente.

3.11 Un haz de luz natural incide sobre una superficie de agua tranquila (na =4/3) bajo un angulo tal que la luz reflejada en la direccion del rayo 1 estacompletamente polarizada en un plano. Un bloque de vidrio de ındice nv = 3/2esta sumergido en el agua como se indica en la Figura 3.10. La luz reflejadaque emerge en la direccion del rayo 2 esta totalmente polarizada en un plano.

• Determinar el angulo que forma el bloque con la superficie de agua (α).

Al ser el haz incidente una radiacion cuyo estado de polarizacion es natural para queel haz reflejado 1 este totalmente polarizado en un plano, el angulo de incidencia ha deser el de polarizacion o angulo de Brewster, para el cual sabemos que θ1i + θ1t = π/2,donde el superındice 1 se refiere a la interfase aire-agua. Usando esta expresion y laley de Snell, podemos obtener el angulo de incidencia de la relacion tan(θ1i ) = na

1 , dedonde θ1i = 53.13o. Por un razonamiento similar, para que el haz 2 este totalmentepolarizado en un plano, el angulo de incidencia en la interfase agua-vidrio ha de serel de polarizacion θ2i , donde el superındice 2 hace referencia a la interfase agua-vidrio.Sabemos que la relacion en este caso es tan(θ2i ) =

nv

na, de manera que θ2i = 48.37o. Del

triangulo rayado en la figura se deduce sencillamente que α = θ1i + θ2i − π/2 = 11.50o.

Page 93: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 85

(1)

na

nv

(2)

a

Figura 3.10: Esquema de la lamina sumergida en agua y haces de luz considerados. El angulo α esdesconocido.

• Determinar la irradiancia del haz reflejado en la direccion del rayo 1.

Para hallar la irradiancia del haz reflejado 1 hemos de hacer uso de la formula de Fresnelpara la componente perpendicular. El coeficiente de reflexion resulta r⊥ = −0.27. Deesta manera, si llamamos I0 a la irradiancia del haz incidente, la irradiancia del haz 1resulta ser I1 = r2⊥

I02 = 0.039I0.

3.12 Consideremos una fuente puntual de radiacion visible despolarizada que emiteen λ = 500 nm. Esta fuente se coloca en el foco objeto de una lente convergentede focal f ′ = 100 mm. Tras la lente colocamos un polarizador lineal ideal cuyoeje de trasmision lo podemos girar a voluntad en el plano perpendicular al ejeoptico de la lente. Asimismo se dispone de una lamina de un material isotropoen el que la radiacion considerada experimenta un ındice de n = 1.333 (ver Fig.3.11).

• Indicar razonadamente como hay que colocar el polarizador y la laminapara no observar radiacion reflejada procedente de la lamina. Hacer unesquema grafico para demostrarlo.

Al tratarse de una fuente puntual colocada en el foco objeto de la lente, el haz deradiacion que emerge de la lente podemos considerar que se propaga en una direccionparalela al eje optico de la lente (el vector de propagacion de la onda sera ~k = 2π

λ uo,siendo uo un vector unitario en la direccion del eje optico). Segun se indica en la Figura3.11 el plano de incidencia coincide con el plano del dibujo. Para no observar radiacionreflejada en la lamina hemos de proceder de la siguiente manera:

(a) Colocaremos el eje de transmision del polarizador de manera que este contenido enel plano de incidencia.

Page 94: Optica Fisica I Problemas Resueltos

86 Problemas de Optica Fısica I

OB

S

LC P La

q

Figura 3.11: Esquema de la situacion descrita: S fuente puntual, LC lente, P polarizador, La lamina.

(b) En estas condiciones giraremos la lamina hasta conseguir que el angulo de incidenciacoincida con el angulo de polarizacion o angulo de Brewster. En estas condicionesno se observara radiacion reflejada. El angulo de incidencia ha de ser θ = θp =tan−1(1.333)= 53.1232o.

• En la situacion anterior, se desplaza la fuente 2 mm hacia abajo conrespecto al eje optico. Describir razonadamente si se observara radiacionreflejada, y en ese caso estimar la intensidad de la onda reflejada sabiendoque tras el polarizador la irradiancia es de 2mW/cm2.

Mediante un trazado de rayos elemental nos damos cuenta que se tendra tambien unhaz colimado pero ahora su direccion de propagacion ha cambiado un poco, ya que lafuente esta en el plano focal objeto pero no en el foco. El nuevo vector de propagacionvendra dado por

~kn =2π

λ(cos(ǫ) uo + sin(ǫ) u⊥) , (3.40)

donde tan(ǫ) = 2100 y u⊥ es un vector unitario perpendicular al eje optico y contenido

en el plano de incidencia. En este caso el haz de radiacion que emerge de la lenteincide sobre la lamina con un angulo dado por θi = θp − ǫ = 51.977o. Se observarauna fraccion de radiacion reflejada ya que no se incide exactamente en condiciones deangulo de polarizacion como en el caso anterior. Podemos estimar la radiacion reflejadacalculando el coeficiente de reflexion r‖(θi) = 8.85 × 10−3, de manera que la irradiancia

de la onda reflejada sera de 1.566 × 10−4 mW/cm2.

3.13 Sobre una lente delgada incide un haz colimado linealmente polarizado deradiacion monocromatica. El ındice de refraccion de la lente es n = 1.54. Sise considera incidencia normal, calcular la irradiancia de la luz transmitidarespecto de la incidente.

Page 95: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 87

Llamemos I0 a la irradiancia del haz incidente, de manera que teniendo en cuenta loscoeficientes de Fresnel, la irradiancia del haz emergente sera

Isal = I0T1T2, (3.41)

donde T1 y T2 son las transmitancias al pasar de aire-lente y lente-aire respectivamente. Lastransmitancias pueden ponerse en funcion de los coeficientes de transmitancia en amplitudcomo

T1 =n

1t21 =

n

1

(2

1 + n

)2

= 0.9548,

(3.42)

T2 =1

nt22 =

1

n

(2n

1 + n

)2

= 0.9548.

Por lo que finalmente resulta Isal = 0.9116 I0.

3.14 Las imagenes reflejadas por las superficies anterior y posterior de la cornea ydel cristalino de denominan imagenes de Purkinje. Si el ındice de la conea valenc = 1.336 y el del humor acuoso es na = 1.376, calcular la irradiancia de las dosprimeras imagenes de Purkinje y la relacion entre ellas.

Supondremos que incide luz natural. Su vector electrico formara en cada instante un anguloα con el plano de incidencia. Este angulo esta cambiando aleatoriamente. El campo electricose puede poner como

~Ei = [|E0| cos(α) s + |E0| sin(α) p] eiωt, (3.43)

donde p y s son vectores unitarios paralelo y perpendicular al plano de incidencia respectiva-mente.

El campo reflejado en la primera cara de la cornea se obtendra sin mas que multiplicar cada

componente por su correspondiente coeficiente de reflexion

~Er(α) = [rs|E0| cos(α) s + rp|E0| sin(α) p] eiωt. (3.44)

La irradiancia esta dada por

I(α) =1

2cǫ0[(rs)

2|E0|2 cos2(α) + (rp)2|E0|2 sin2(α)

]. (3.45)

Si promediamos esta expresion a todas las orientaciones posibles y teniendo en cuenta que〈cos2(α)〉 = 〈sin2(α)〉 = 1/2 se llega a

I =1

2cǫ0|E0|2

(

r2s + r2p2

)

. (3.46)

Para la primera imagen calculamos los coeficientes de reflexion

rs = −nt − nint + ni

= −0.144,

rp =nt − nint + ni

= 0.144. (3.47)

Page 96: Optica Fisica I Problemas Resueltos

88 Problemas de Optica Fısica I

Por lo tanto, la irradiancia de la primera imagen de Purkinje vale

I1 =1

2cǫ0|E0|2

(

r2s + r2p2

)

= 0.02I0. (3.48)

La segunda imagen se produce por la reflexion en la segunda cara de la cornea. En estecaso se produce una tranmision en la primera cara, una reflexion en la segunda y una nuevatransmision en la primera cara. Los coeficientes de reflexion y transmision son, respectiva-mente,

t(1)s = t(1)p =2ni

ni + nt=

2× 1

1 + 1.336= 0.856 ,

r(2)s = −r(2)p = −nt − nint + ni

=1.376 − 1.336

1.376 − 1.336= −0.015. (3.49)

La transmision en la primera cara del haz reflejado da los siguientes coeficientes

t′(1)s = t′(1)p =2ni

ni + nt=

2× 1.336

1 + 1.336= 1.144. (3.50)

Las amplitudes del campo transmitido se pueden expresar en terminos de los campos incidentescomo sigue:

E(t)s = t′(1)s r(2)s t(1)s Ei

s,

E(t)p = t′(1)p r(2)p t(1)p Ei

s. (3.51)

La irradiancia transmitida sera

I2 =1

2cǫ0|E0|2

1

2

[(

t′(1)s r(2)s t(1)s

)2+(

t′(1)p r(2)p t(1)p

)2]

= 2.15 × 10−4 I0. (3.52)

La relacion entre las irradiancias de las dos imagenes es

I1I2

= 93.02 , (3.53)

es decir, la primera imagen de Purkinje es mas brillante que la segunda en un factor 93.

3.15 Sea un haz de luz linealmente polarizado que incide sobre una superficie deseparacion vidrio/aire (incidiendo desde el vidrio). El angulo de incidencia esde 45o y el vector electrico esta orientado con un azimut de 30o con respecto alplano de incidencia. El ındice de refraccion del vidrio es de n = 1.6.

• Escriba la expresion del campo incidente el reflejado y el transmitido.En la Figura 3.12 se muestra un posible esquema donde se ha elegido el eje X haciafuera del plano del papel. Si elegimos como plano de incidencia el plano Y Z el vectorde propagacion de la onda incidente se puede poner

~ki =2π

λ0n(0, sin(45o),− cos(45o)). (3.54)

El vector de propagacion de la onda reflejada viene dado, teniendo en cuenta que θr =θi = 45o

~kr =2π

λ0n(0, sin(45o), cos(45o)). (3.55)

Page 97: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 89

Al aplicar la ley de Snell (1.6 sin(45o) = 1 sin(θt)) se tiene que sin(θt) > 1 lo cual nosindica que se produce el fenomeno denominado reflexion total. Teniendo en cuenta estopodemos escribir cos(θt) =

1− sin2(θt) =√

1− (1.6 sin(45o))2 = i√0.28 = 0.529 i. El

vector de propagacion de la onda transmitida viene dado, teniendo en cuenta lo anterior

~kt =2π

λ0(0, sin(θt),− cos(θt)). (3.56)

Teniendo en cuenta todo lo anterior, el campo electrico incidente se puede escribir,descomponiendolo en su componente paralela y perpendicular al plano de incidencia, dela siguiente manera (teniendo en cuenta la ecuacion (3.54))

Ein‖ = E0 cos(30

o)ei(~ki·~r−ωt) =

E0

√3

2ei(

2πλ

√2

2(y−z)−ωt), (3.57)

Ein⊥ = E0 sin(30

o)ei(~ki·~r−ωt) =

E01

2ei(

2πλ

√2

2(y−z)−ωt). (3.58)

Teniendo en cuenta la ecuacion (3.55) la onda reflejada sera

Ere‖ = E0 cos(30

o)r‖ei(~kr ·~r−ωt) =

E0

√3

2r‖e

i( 2πλ

√22(y+z)−ωt), (3.59)

Ere⊥ = E0 sin(30

o)r⊥ei(~kr ·~r−ωt) =

E01

2r⊥e

i( 2πλ

√2

2(y+z)−ωt), (3.60)

donde r‖ y r⊥ son los coeficientes de reflexion de la componente paralela y perpendicularque vamos a calcular a continuacion:

r‖ =nt cos(θi)− ni cos(θt)

nt cos(θi) + ni cos(θt)=

0.707 − 1.6 × 0.529 i

0.707 + 1.6 × 0.529 i, (3.61)

r⊥ =ni cos(θi)− nt cos(θt)

ni cos(θi) + nt cos(θt)=

1.6× 0.707 − 0.529 i

1.6× 0.707 − 0.529 i. (3.62)

Se puede observar que a partir de las ecuaciones (3.61) y (3.62) que el estado de fasede la onda reflejada se ha alterado como consecuencia de la reflexion total que haexperimentado: r‖ = e−i2×0.875 y r⊥ = e−i2×0.437.

Finalmente teniendo en cuenta la ecuacion (3.56) la onda transmitida se puede escribirde la siguiente manera

Etr‖ = E0 cos(30

o)t‖ei(~kt·~r−ωt) =

E0

√3

2t‖e

−k0×0.529zei(k0×0.707y−ωt), (3.63)

Etr⊥ = E0 sin(30

o)t⊥ei(~kt·~r−ωt) =

E01

2t⊥e

−k0×0.529zei(k0×0.707y−ωt). (3.64)

Se ha de hacer notar que en las ecuaciones (3.63) y (3.64) tanto la componente paralelacomo la perpendicular presentan un coeficiente de amortiguamiento exponencial, de ahıque a este tipo de ondas se las denomine evanescentes.

Page 98: Optica Fisica I Problemas Resueltos

90 Problemas de Optica Fısica I

n =1a

n =1.6v

qt

qrqi

ki

Z

Y

X

kt

kr

Figura 3.12: Esquema grafico de la onda incidente, la reflejada y la transmitida.

• Hallar el estado de polarizacion del haz reflejado.

Hemos visto en el apartado anterior que la onda reflejada sufre una alteracion de suestado de fase como consecuencia de la reflexion total que experimenta, de maneraque la diferencia de fase entre la componente paralela y la perpendicular de la ondareflejada es δ = 2(0.875 − 0.437) = 0.876 radianes, de manera que el campo reflejadoesta elıpticamente polarizado.

• Si se coloca un detector a 0.1µm del vidrio ¿se detectara radiacion?Justificar la respuesta.

De las ecuaciones (3.63) y (3.64) se deduce que los campos transmitidos se amortiguanexponencialmente. La profundidad de penetracion de la onda se puede estimar comola distancia z0 a la cual el campo ha disminuido su amplitud en un factor e, o sea,z0 =

λ02π×0.529 . Vemos que la profundidad de penetracion es una fraccion de λ0 de manera

que si colocamos un detector a 0.1µm de la superficie de separacion la onda evanescentesera detectada (siempre y cuando el detector tenga la sensibilidad adecuada).

Podemos ver esto si computamos el vector de Poyting para z < 0: vamos a hacerlo parala componente perpendicular al plano de incidencia, para la cual la induccion magneticaesta dada por Btr

⊥ = − 1vE

tr⊥ k = −1

cEtr⊥ k. Por lo cual el vector de Poynting resulta

~Ptr⊥ =

cǫ02e−2k0×0.529z . (3.65)

A partir de la ecuacion (3.65) vemos que no habra flujo de energıa en la direccion deleje Z.

• ¿Que desfase existe entre la componente paralela del haz reflejado y lacomponente paralela del haz incidente?

Hemos visto anteriormente que el haz reflejado experimenta un cambio de fase en la

Page 99: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 91

reflexion total, de manera que la componente paralela reflejada experimenta un cambiode fase 2× 0, 875 radianes respecto a la componente paralela incidente.

3.16 Un haz colimado de radiacion natural de irradiancia I0 incide sobre el sistemade dos laminas de la Figura 3.13 en condiciones de angulo de Brewster.Determinar las expresiones de las componentes del campo emergente de lasegunda lamina ası como el grado de polarizacion de la radiacion emergente

V =I⊥−I‖I⊥+I‖

.

Nos indican que el haz de radiacion natural incide sobre la lamina primera en condicionesde angulo de Brewster. Sabemos entonces que se verifica que θi + θt = π/2, de maneraque teniendo en cuenta la ley de Snell y la condicion anterior llegamos a que se satisface larelacion tan(θi) =

nt

ni. A partir de los datos que se suministran podemos determinar el angulo

de incidencia que resulta ser de θi ≈ 32o, en tanto que θt = 58o. De manera que el vector depropagacion de la onda incidente, ver Figura 3.13, viene dado por

~ki =2π

λ(0, sin(32o),− cos(32o)). (3.66)

qi

qi

qr

qt

qt

qi

n=1.6

Figura 3.13: Esquema del haz de radiacion despolarizada incidente sobre el sistema de doble laminatransparente.

La onda incidente despolarizada tiene una componente paralela al plano de incidencia y otracomponente perpendicular dadas respectivamente por

E‖ = E0 cos [γ(t)] ei(ωt−~ki·~r), (3.67)

E⊥ = E0 sin [γ(t)] ei(ωt−~ki·~r), (3.68)

Page 100: Optica Fisica I Problemas Resueltos

92 Problemas de Optica Fısica I

donde γ(t) es un factor que varıa aleatoriamente en el tiempo. De esta manera la irradianciaincidente vendrıa dada por

I0 = cǫ0(〈|E‖|2〉+ 〈|E⊥|2〉

)=

1

4cǫ0(E2

0 + E20

), (3.69)

donde se ha tenido en cuenta que el promedio temporal 〈cos2 [γ(t)]〉 = 〈sin2 [γ(t)]〉 = 12 y

que 〈cos2(ωt)〉 = 12 . Teniendo en cuenta que las caras de las laminas son paralelas entre sı

podemos afirmar que el haz emergente se propaga en la misma direccion que el haz incidente,de manera que la expresion del campo emergente de la segunda lamina viene dado, teniendoen cuenta los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras de las laminas, porlas expresiones

Esal‖ = E0

(

t(a)‖

)2 (

t(b)‖

)2cos [γ(t)] ei(ωt−

~ki·~r), (3.70)

Esal⊥ = E0

(

t(a)⊥

)2 (

t(b)⊥

)2sin [γ(t)] ei(ωt−

~ki·~r). (3.71)

Teniendo en cuenta las expresiones (3.70) y (3.71) junto con la (3.69) llegamos a que

Isal‖ =1

4cǫ0

(

t(a)‖

)4 (

t(b)‖

)4, (3.72)

Isal⊥ =1

4cǫ0

(

t(a)⊥

)4 (

t(b)⊥

)4. (3.73)

De manera que resulta un grado de polarizacion

V2 =I⊥ − I‖I⊥ + I‖

= −0.4023. (3.74)

La expresion (3.74) nos indica que en el haz emergente de la segunda lamina predomina lacomponente polarizada paralela al plano de incidencia sobre la componente perpendicular16.

Podemos calcular, aunque no se pida, el grado de polarizacion del haz emergente de la primeralamina que resulta ser

V1 =I⊥ − I‖I⊥ + I‖

= −0.21. (3.75)

De este resultado se concluye que si colocamos un numero adecuado de laminas identicaspodemos obtener un haz emergente con el grado de polarizacion deseado17.

3.17 Un haz de luz linealmente polarizado incide normalmente sobre la cara AB deun prisma inmerso en aire como se muestra en la Figura 3.14. En A el anguloes de A = 120o.

16Este hecho se debe a que la componente reflejada paralela al plano de incidencia se anula, lo cual se aprovechacomo mecanismo de polarizacion de un haz despolarizado. Este tipo de polarizadores de pila ha sido empleadofrecuentemente antes de tener disponibles las laminas de polaroide comercial. Aun en la actualidad se siguen usandoen diferentes dispositivos laser.

17Es preciso notar que en el calculo desarrollado no hemos tenido en cuenta el efecto de las reflexiones multiplesque acontecen en cada lamina y entre laminas adyacentes.

Page 101: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 93

BI2

I3I1

A

C

Figura 3.14: Haces incidente y reflejado por el prisma.

• Se desea que el haz emergente por la cara AC este circularmente polariza-do. ¿Cual debe ser el azimut del campo incidente y el ındice de refraccionn del prisma? Hallese la intensidad emergente en relacion a la intensidadincidente en la cara AB.

Si deseamos que la radiacion emergente por la cara AC este circularmente polarizada,ha de alterarse el estado de fase del campo incidente:

- En I1 hay transmision del campo en condiciones de incidencia normal, luego no sealtera el estado de fase. Los coeficientes de transmision para la componente paralelay perpendicular son iguales.

- En I2 hay reflexion del campo: de la figura se infiere que el angulo de incidencia eneste punto es de 30o.

- En I3 hay transmision del campo en condiciones de incidencia normal, luego no sealtera el estado de fase. Los coeficientes de transmision para la componente paralelay perpendicular son iguales.

Si en I2 no hay reflexion total, el desfase a lo sumo sera de 0 o π, por lo que a la salida dela cara AC se tendrıa luz linealmente polarizada. En cambio si hubiese reflexion total,el desfase entre la componente paralela y perpendicular δ = 2(α − β) puede permitirla obtencion de luz lineal, circular o elıpticamente polarizada. Si deseamos obtener ala salida luz circularmente polarizada, se precisa que δ = π/2. Ademas las amplitudesde la componente paralela y perpendicular han de ser iguales, por lo que el azimut delcampo a la entrada ha de ser π/4.

Recordemos que se verifica la siguiente relacion

tan(α− β) =tan(α)− tan(β)

1 + tan(α) tan(β). (3.76)

Y recordemos tambien que α y β vienen determinados por las relaciones (ver problema

Page 102: Optica Fisica I Problemas Resueltos

94 Problemas de Optica Fısica I

3.15)

tan(α) =

sin2(φ)−N2

N2 cos(φ),

tan(β) =

sin2(φ)−N2

cos(φ), (3.77)

donde φ = 30o es el angulo de incidencia en I2 y N = 1/n (n es desconocido en estecaso). Teniendo en cuenta las relaciones (3.76) y (3.77) podemos escribir

1 +

sin2(φ)−N2

N2 cos(φ)

sin2(φ) −N2

cos(φ)=

sin2(φ)−N2

N2 cos(φ)−√

sin2(φ)−N2

cos(φ). (3.78)

Sustituyendo cos(φ) =√3/2 y sin(φ) = 1/2 y simplificando llegamos a la siguiente

ecuacion

−N2

4+

1

4=

1/4−N2(1−N2

)√3

2. (3.79)

De donde se obtiene que N2 = 1/6 y finalmente el ındice buscado es n =√6.

Las componentes del campo a la salida se pueden escribir como

E‖ = E0 cos(π/4)tI1n r

I2‖ t

I3n cos(ωt),

E⊥ = E0 sin(π/4)tI1n r

I2⊥ t

I3n cos(ωt). (3.80)

Donde tI1n = 0.5797, tI2n = 1.4202. Al haber reflexion total en I2 se verifica que |r‖| =|r⊥| = 1 y el desfase entra ambas componentes es π/2. Teniendo en cuenta los resultadosanteriores se obtiene finalmente que Isalida/Ientrada = 0.6778.

• En las mismas condiciones para el haz incidente y el ındice obtenidos enel apartado anterior, se apoya ahora la cara BC sobre un medio de ındicent. ¿Cual debe ser el valor de nt para que el haz emergente por la cara ACeste linealmente polarizado con el campo electrico perpendicular al planode incidencia? Hallese en este caso la relacion de intensidades.

Si se desea que el haz a la salida de la cara AC este linealmente polarizado vibrando enel plano perpendicular al plano de incidencia, en el punto I2 ha de incidir con el angulode Brewster (φB), y recordemos que se verifica la relacion tanφB = nt/n. De modo quent =

√6 tan [π/6] =

√2. Las componentes del campo a la salida se pueden escribir como

E‖ = 0,

E⊥ = E0 sin(π/4)tI1n r

I2⊥ t

I3n cos(ωt) . (3.81)

Donde tI1n = 0.5797, tI2n = 1.4202, y en el punto I2 se tiene que r⊥ = 0.5. Teniendo encuenta los resultados anteriores se obtiene finalmente que Isalida/Ientrada = 0.1695.

3.18 Considere una lente biconvexa de radios de curvatura R1 y R2 que es iluminadapor una onda plana de frecuencia ω para la cual el ındice de refraccion es n(ω).Si el espesor central de la lente es d0, obtener una expresion del campo electricoen el plano PU que es tangente a la segunda superficie de la lente (ver Figura3.15a).

Por simplicidad vamos a ignorar en este problema la naturaleza vectorial de la radiacion

Page 103: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 95

Z

Y

(a) (b)

PU

d0

d01

D1(x,z)

P

P(x,z)

R1

z

R -x -z1

2 2 2

Figura 3.15: (a) Esquema de la lente biconvexa. (b) Geometrıa para el calculo de las diferencias de faseen la primera parte de la lente.

electromagnetica, esto es emplearemos la ası denominada “aproximacion escalar”. Conside-remos una onda plana que se propaga en la direccion del eje Y que viene dada por

E(y, t) = E0ei(k0y−ωt). (3.82)

La onda expresada en (3.82) incide sobre la lente de la Figura 3.15. Si tomamos como origende coordenadas el punto de interseccion del eje optico con la primera cara de la lente, debemosde encontrar la expresion del campo tras la lente, en el plano PU . Sabemos que en un mediomaterial una onda viaja con una velocidad vf < c, de manera que aparecera un retardo conrespecto a la situacion en la que la onda viajase en el vacıo. El caso que nos ocupa es talque este retardo temporal va a depender de la zona del frente de onda que consideremos: asıpara la zona que es coincidente con el eje optico el retardo es proporcional al espesor central,mientras que para un punto P que dista del centro de la lente una altura z, el retardo va aser diferente, toda vez que el espesor de esa region depende de la altura. Si suponemos quela lente tiene simetrıa de revolucion, lo dicho para el punto P vale para todos los puntos deun cırculo que distan la misma distancia del centro de la lente. Lo que nos esta indicandoel razonamiento anterior es que el desfase que va a introducir la lente va a depender de lascoordenadas (x, z) de los puntos de la lente de la siguiente manera

φ(x, z) = k0n(ω)∆(x, z) + k0 [d0 −∆(x, z)] , (3.83)

donde ∆(x, z) es la distancia que recorre la onda dentro de la lente tomada en la direccionparalela al eje optico de la misma18; asimismo k0 es el numero de ondas en el vacıo. En laexpresion (3.83) el primer termino da cuenta del camino optico recorrido dentro de la lente,mientras que el segundo termino da cuenta del camino optico recorrido en aire. En algunostextos, se suele denominar a ∆(x, z) “funcion espesor”.

18Esto equivale a asumir, en terminos de la optica geometrica, que los rayos no se “doblan”.

Page 104: Optica Fisica I Problemas Resueltos

96 Problemas de Optica Fısica I

Teniendo en cuenta lo anterior, el campo en el plano PU vendra dado por

Esal(y, t) =4n(ω)

[1 + n(ω)]2E0e

ik0d0 ei(k0[n(ω)−1]∆(x,z)−ωt). (3.84)

Nos resta obtener una expresion aproximada de la funcion espesor. Para ello procederemosde la siguiente manera: adoptaremos el criterio de signos habitualmente empleado en opticageometrica y dividimos el espacio de la lente en dos partes. La primera de ellas la hemosrepresentado en la Figura 3.15b, de manera que podremos evaluar la contribucion a la funcionespesor para esta parte de la lente. Es facil convencerse de una simple inspeccion visual que

∆1(x, z) = d01 −(

R1 −√

R21 − x2 − z2

)

. (3.85)

Si consideramos por otro lado que los valores de x y z en la expresion (3.85) son mucho maspequenos que el valor de R1, entonces desarrollando en serie de Taylor podemos ver19 queuna buena aproximacion a la ecuacion (3.85) viene dada por

∆1(x, z) ≈ d01 −1

2

x2 + z2

R1. (3.86)

Si procedemos de una manera equivalente con la otra parte de la lente veremos que

∆2(x, z) ≈ d02 +1

2

x2 + z2

R2. (3.87)

Finalmente a partir de (3.86) y (3.87) llegamos a que

∆(x, z) ≈ d0 −1

2(x2 + z2)

(1

R1− 1

R2

)

, (3.88)

con lo cual la expresion (3.84) se reduce a

Esal(y, t) =4n(ω)

[1 + n(ω)]2E0e

ik0d0 ei(

−k0x2+z2

2f−ωt

)

, (3.89)

donde la magnitud f esta dada por

1

f≡ [n(ω)− 1]

(1

R1− 1

R2

)

, (3.90)

que es la conocida expresion de la focal de una lente delgada.

La ecuacion (3.89) da cuenta del efecto de una lente sobre una onda electromagnetica incidente.En el termino de la focal se incorpora de una manera natural la dispersion que esta asociadaa que el retardo es funcion de la longitud de onda, responsable ultimo de las llamadasaberraciones cromaticas.

Asimismo la ecuacion (3.89) es uno de los puntos de partida de las tecnicas de analisis deformacion de la imagen20.

19Esta aproximacion es lo que se conoce como aproximacion parabolica que veremos que reproduce desde el puntode vista de la optica electromagnetica, los resultados conocidos de la optica geometrica.

20Para mas detalles el lector interesado puede consultar la obra de J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics,(McGraw Hill, New York, 1968).

Page 105: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 97

• Se sustituye la lente delgada por un prisma de angulo α. Utilizando latecnica desarrollada en el apartado anterior determinar la expresion delcampo electrico que emerge del prisma en el plano PU suponiendo estedelgado (ver Figura 3.16a).

La expresion de la onda plana que incide sobre el prisma esta dada por la ecuacion (3.82).

(a) (b)Z

Y

PU

X

b

a

z

l1

l2

a

Z0 Z1

Y =Y0 1

X0 X1

S

y0

rp

P

Figura 3.16: (a) Esquema del prisma iluminado con una onda plana. (b) Geometrıa para la determinaciondel efecto del prisma sobre una onda esferica.

Para evaluar el efecto del prisma procederemos como anteriormente y supondremos, enprimera aproximacion, que el efecto del prisma consiste solamente en retrasar el frentede onda en una magnitud que es proporcional al camino optico recorrido en cada parte:dentro del prisma y fuera del prisma hasta el plano PU de la Figura 3.16a. De estamanera el camino optico recorrido dentro del prisma para la parte del frente de ondasque incide a una altura z respecto a la base del prisma, vendra dado por nl1, mientrasque fuera del prisma hasta el plano PU lo llamaremos l2. Si tenemos en cuenta que

l1a− z

=b

a, (3.91)

entonces el camino optico total, ∆, vendra dado por

∆ = n(ω)l1 + l2. (3.92)

Por lo tanto la transmitancia en campo electrico del prisma vendra dada por

T (z) = t1t2eik∆ = t1t2e

ikaeik[n(ω)−1] tan(α)e−ik[n(ω)−1] tan(α) z. (3.93)

La expresion (3.93) se puede reescribir como

T (z) = t1t2eiφ0e−ik[n(ω)−1] tan(α) z, (3.94)

donde hemos subsumido los terminos de fase constantes en φ0.

Page 106: Optica Fisica I Problemas Resueltos

98 Problemas de Optica Fısica I

• Se ilumina el prisma por una fuente puntual de ondas esfericas tal y comose muestra en la Figura 3.16b. Determinar cual es el efecto del prismateniendo en cuenta los resultados precedentes teniendo en cuenta que y0es mucho mayor que las dimensiones laterales del prisma.

En primer lugar vamos a expresar el campo electrico de la onda esferica en el planoX1Z1. Para ello baste tener en cuenta que

EP =E0

rPeikrP , (3.95)

donde rP =√

x21 + y20 + z21 . Si tenemos en cuenta que |x1| ≪ y0 y que |z1| ≪ y0, entoncespodemos obtener una expresion mas elemental para rP (aproximacion parabolica) de laforma rP ≈ y0 +

12y0

(x21 + z21). De esta manera la expresion (3.95) puede reescribirse dela forma

EP ≈ E0

y0eiky0e

ik 12y0

(x21+z21). (3.96)

Para conocer el efecto del prisma hemos de multiplicar la transmitancia del prisma, dadapor la ecuacion (3.95), por la expresion (3.96) con lo cual el campo tras el prisma vendradado por

EtP ≈ t1t2e

iφ0E0

y0eiky0e

ik 12y0

(x21+z21)e−ik[n(ω)−1] tan(α) z1 . (3.97)

La expresion (3.97) se puede sintetizar de la forma

EtP ≈ E ′

0eik

(

x21+z212y0

− [n(ω)−1] tan(α) z1

)

. (3.98)

Nos falta ahora interpretar el resultado obtenido en (3.98): para ello volvamos a lasituacion original planteada en la Figura 3.16b y consideremos una nueva situacion en laque la fuente puntual se ha desplazado una cantidad z0 respecto al origen de coordenadas.En este caso el campo electrico en un punto P del plano X1Z1 vendra dado por

E′P =

E0

r′Peikr

′P , (3.99)

donde r′P =√

x21 + y20 + (z1 − z0)2. Si desarrollamos en serie como antes veremos que elcampo electrico en esta nueva situacion puede reescribirse como

E′P = E′

0eik[

12y0

(x21+z21−2z0z1)

]

. (3.100)

Ahora estamos en condiciones de interpretar el resultado obtenido en (3.98) ya que sicomparamos la fase de la citada ecuacion con la fase de la ecuacion (3.100) vemos queha de verificarse que z0 = y0(n(ω) − 1) tan(α). Si ademas el prisma es delgado se llegafinalmente a que z0 ≈ y0(n(ω) − 1)α, resultado que coincide con las predicciones de laoptica geometrica. En otras palabras, que el efecto del prisma consiste en producir unarefraccion de los rayos que hace que la onda parezca provenir de un punto separadolateralmente z0. Una vez mas el efecto dispersivo esta incluido en la dependencia con lafrecuencia del ındice de refraccion.

Page 107: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 99

Medios anisotropos

3.19 Un haz de luz polarizado elıpticamente viene dado por

~E(z, t) = ıE0 cos(kz − ωt) + E0 cos(kz − ωt+ π/4), (3.101)

y pasa a traves de un polarizador lineal cuyo eje de transmision esta inclinado45o con el plano XY . Encontrar una expresion para el haz emergente y describirsu estado de polarizacion y determinar su irradiancia.

Para obtener la amplitud de campo electrico transmitido por el polarizador hemos de proyectarambas componentes del campo incidente en la direccion del eje de transmision del polarizadorresultando

~Esal(z, t) = [E0 cos(45o) cos(kz − ωt) + E0 sin(45

o) cos(kz − ωt+ π/4)] uo, (3.102)

donde uo es un vector unitario en la direccion del eje de transmision del polarizador. Vemosque se tratara de una onda linealmente polarizada que vibra a 45o del eje X. Dado que setrata de dos ondas de la misma frecuencia y desfasadas π/4 entre sı podemos reescribir laexpresion (3.102) como

~Esal(z, t) = ET cos(kz − ωt+ φ) uo, (3.103)

donde ET =√

(E0 cos(45o))2 + (E0 sin(45o))2 + 2E20 cos(45

o) sin(45o) cos(π/4) y φ es la fase

de la vibracion resultante que resulta tan(φ) =√2/2

1+√2/2

, o sea, φ = 22.5o. Para determinar su

irradiancia hemos de proceder de la siguiente manera

Isal = cǫ0

⟨∣∣∣ ~Esal(z, t)

∣∣∣

2⟩

=cǫ02E2

T =cǫ02E2

0

2

41.707. (3.104)

3.20 Describa lo que le ocurre a un haz de luz no polarizada que incide sobre unmaterial anisotropo con el eje optico orientado segun se muestra en la Figura3.17. Comente si se produce o no doble refraccion, si se introduce retardo entrelas componentes de la luz y discuta la polarizacion de las ondas refractadas.¿Que orientaciones usarıa para construir una lamina de cuarto de onda?

Vamos a analizar con detenimiento como la onda incidente es alterada al interaccionar conlos diferentes medios. La onda incidente podemos expresarla de la forma

~Einc(y, t) =(

E0x cos(φ)ı + E0z sin(φ)k)

ei(ωt−k0y), (3.105)

donde φ es una fase aleatoria que cambia con el tiempo.

En el caso b1 vemos que la onda incidente excitara dipolos paralelos y perpendiculares al ejeoptico, por lo que la componente del campo paralela al eje Z y la componente paralela aleje X experimentaran diferentes ındices de refraccion, aunque no habra doble refraccion21.Aunque se produce retardo entre las componentes, dado que el haz de radiacion incidente estadespolarizado, a la salida seguiremos teniendo un haz despolarizado. Lo mismo puede decirse

21Entendemos que hay doble refraccion cuando se produzcan dos haces refractados que se propaguen dentro delmedio en direcciones diferentes.

Page 108: Optica Fisica I Problemas Resueltos

100 Problemas de Optica Fısica I

(b1) (b2)

(b4)(b3)

e.o.

e.o.

e.o.

e.o.

Y

Z

Figura 3.17: Radiacion despolarizada incidiendo sobre diferentes materiales anisotropos. “e.o.” indicala direccion del eje optico.

del caso b3. En el caso b2 el eje optico es perpendicular a las caras, por lo que en este caso lascomponentes del campo incidente experimentaran el mismo ındice y no se producira retardoni doble refraccion. No obstante el haz emergente en este caso sigue despolarizado. Mencionaparte merece el caso b4: en este caso la componente X del campo incidente excitara a losdipolos que experimentaran el ındice no (ordinario), mientras que la componente Z excitaradipolos paralelos al eje optico y perpendiculares al eje optico, por lo que en este caso habradoble refraccion: esta situacion se ilustra en la Figura 3.18.

Para construir una lamina de cuarto de onda podrıamos emplear la configuracion b1 y b3.

3.21 Considerese el siguiente campo electrico que se propaga en el vacıo ~E =3cos(1.04791 × 107z − wt − π/4)ı + 7/2 cos(1.04791 × 107z − wt − π/4), donde ı y son vectores unitarios en las direcciones X e Y respectivamente.

• Determinar su estado de polarizacion. Este campo incide normalmentesobre una lamina retardadora cuyo eje ordinario es paralelo al eje X ycuyo eje extraordinario es paralelo al eje Y, como se indica en la Figura3.19.

En el sistema de referencia de la Figura 3.19, el campo electrico solo tiene componentessegun los ejes X e Y. Este campo se propaga segun el eje Z. Llamemos k al vector unitariosegun el eje Z.

De acuerdo con la expresion del campo que se suministra, el vector de propagacion, ~k,se puede expresar de la siguiente manera

~k =2π

λk = 1.04791 × 107k. (3.106)

Para determinar el estado de polarizacion de la onda incidente, hallamos el desfase, δ,

Page 109: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 101

Z

Y

0 2l

0

2l

-2l

Z

Y

0 2l

0

2l

-2l

(a) (b)

Figura 3.18: Radiacion despolarizada incidiendo un material anisotropo con el eje optico formando uncierto angulo con respecto a la cara de tallado. (a) Campo radiado por un dipolo inducido en la direccionX por la componente E0x produce, junto con los campos radiados por los demas dipolos, la onda ordinariacuya direccion de propagacion no cambia. (b) Campo radiado por un dipolo excitado por la componenteE0z que produce, junto con los campos radiados por los demas dipolos, la onda extraordinaria.

Xn = 1.567o

Yn = 1.557e

Z

Ey

Ex

d = 30 mm

Figura 3.19: Esquema de la lamina sobre la que incide el campo electrico propagandose en la direcciondel eje Z.

que resulta ser δ = δy − δx = 0. Por lo tanto se trata de luz linealmente polarizada cuyo

azimut esta dado por θ = tan−1(7/23

)

= 49.39o respecto al eje X.

Page 110: Optica Fisica I Problemas Resueltos

102 Problemas de Optica Fısica I

• Hallar el campo electrico y el estado de polarizacion del campo que emergede la lamina.

Cada componente del campo incidente sobre la lamina se retarda de acuerdo a los ındicesde refraccion de las correspondientes direcciones.

El estado de fase de la componente X del campo a la salida es

δx = −π4+

λ(no − 1) d. (3.107)

El estado de fase de la componente Y del campo a la salida es

δy = −π4+

λ(ne − 1) d. (3.108)

Por lo tanto el desfase a la salida es δ = δy − δx = 2πλ (ne − no) d = −3.14157, o sea,

δ ≈ −π.La amplitud de la componente X del campo a la salida es

Asalidax = 3toAt

oB = 3

2

1 + no

2no1 + no

= 2.857, (3.109)

donde toA y toB son los coeficientes de transmision en amplitud para la componente sobreel eje ordinario en las interfases aire-lamina y lamina-aire respectivamente.

La amplitud de la componente Y del campo a la salida es

Asaliday =

7

2teAt

eB =

7

2

2

1 + ne

2ne1 + ne

= 3.329, (3.110)

donde teA y teB son los coeficientes de transmision en amplitud para la componente sobreel eje extraordinario en las interfases aire-lamina y lamina-aire respectivamente.

De lo anterior se infiere que el campo a la salida esta linealmente polarizado cuyo azimut

esta dado por22 θs = arctan(−Asalida

y

Asalidax

)

= −49.36.

La expresion del campo a la salida esta dada

~E = 2.857 cos[1.04791 107(z + no d)− wt− π/4

]ı +

3.329 cos[1.04791 107(z + ne d)− wt− π/4

]. (3.111)

• Hallar el campo electrico a la salida y el estado de polarizacion delmismo teniendo en cuenta las multiples reflexiones que se producen enlas interfases de la laminaEl resultado obtenido en la ecuacion (3.111) solo tiene en cuenta las ondas transmitidasen las interfases aire-lamina y lamina-aire. En este caso estamos interesados en computarel campo electrico a la salida teniendo en cuenta las sucesivas reflexiones en el interiorde la lamina birrefringente. En este caso se tendra

Esalx = 3

1− r2o1− r2oe

−iδoeiωt, (3.112)

Esaly = 3

1− r2e1− r2ee

−iδeeiωt, (3.113)

22Notese el signo menos en el azimut debido al desfase de −π. Naturalmente, la lamina anisotropa considerada secomporta para esta longitud de onda casi como un rotor: estrictamente esto no es ası como acabamos de ver ya queθ y θs son ligeramente diferentes en valor absoluto.

Page 111: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 103

donde δo =2πλ 2nod cos(0

o) y δe =2πλ 2ned cos(0

o). Tras realizar los calculos indicados sellega a la expresion final

~E = 2.8992 cos[1.04791 107z − wt− 0.0466

]ı +

2.8998 cos[1.04791 107z − wt− 0.0465

], (3.114)

con lo que el desfase entre ambas componentes a la salida es δ = −0.001 ≈ 0 rad.Comparese el resultado obtenido en este apartado con el obtenido en el apartado anterior.

3.22 Un haz de luz no polarizada de irradiancia Ii pasa a travas de una secuenciade dos polarizadores lineales perfectos. ¿Cual debe ser su orientacion relativasi el haz saliente debe tener una irradiancia de (a) Ii/2, (b)Ii/4.

Si ignoramos la radiacion reflejada por los polarizadores, podemos suponer que detras delprimer polarizador la radiacion transmitida tiene una irradiancia igual a Ii

2 y esta polarizadalinealmente en la direccion del eje de transmision del primer polarizador. Si llamamos α alangulo relativo entre los ejes de transmision de ambos polarizadores, entonces la irradianciadel haz emergente del segundo polarizador esta dada por

IP2 =Ii2cos2(α). (3.115)

Ası si deseamos obtener a la salida del segundo polarizador una irradiancia igual a Ii2 se han

de colocar ambos polarizadores con sus ejes de transmision paralelos α = 0o. En cambio paraque la irradiancia a la salida sea Ii

4 el angulo ha de ser α = 45o, de acuerdo con la expresion(3.115).

3.23 Se tiene un cubo de arista a = 1 cm, cuyos ındices de refraccion son nx = 1.6584,ny = 1.4864, nz = 1.6584 para una longitud de onda de λ = 589 nm. Analizar elefecto de este material sobre el estado de polarizacion de un haz incidente dela citada longitud de onda.

• Incide un haz linealmente polarizado que se propaga segun el eje Z y vibrasegun el eje X.

En este caso el campo incidente puede escribirse como

Eincx = E0 cos(ωt− kz), (3.116)

y el campo a la salida sera

Esalx = tnx

1 tnx

2 E0 cos(ωt− kz + δx), (3.117)

donde tnx

1 y tnx

2 son los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras encondiciones de incidencia normal (que se calculan usando nx) y δx = 2π

λ nxa. Por lotanto a la salida el campo electrico esta orientado igual que a la entrada, esto es, se tieneun campo linealmente polarizado.

• Incide un haz linealmente polarizado que se propaga segun el eje Z y vibraa 45o del eje X.

En este caso el campo incidente puede escribirse como

Eincx = E0 cos(45

o) cos(ωt− kz), (3.118)

Eincy = E0 sin(45

o) cos(ωt− kz), (3.119)

Page 112: Optica Fisica I Problemas Resueltos

104 Problemas de Optica Fısica I

y el campo a la salida sera

Eincx = tnx

1 tnx

2 E0 cos(45o) cos(ωt− kz + δx), (3.120)

Eincy = t

ny

1 tny

2 E0 sin(45o) cos(ωt− kz + δy), (3.121)

donde tnx

1 y tnx

2 son los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras encondiciones de incidencia normal para la componente Ex (que se calculan usando nx),tny

1 y tny

2 son los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras en condicionesde incidencia normal para la componente Ey (que se calculan usando ny), δx = 2π

λ nxay δy = 2π

λ nya. De manera que ambas componentes estan desfasadas a la salida en lacantidad δ = 2π

λ a(nx − ny). Sustituyendo los valores suministrados se obtiene que elcampo a la salida esta elıpticamente polarizado ya que δ = 2π(2920 + 0.2037).

3.24 Un haz de luz monocromatica de longitud de onda λ linealmente polarizada enla direccion Y incide sobre una lamina retardadora. La lamina se gira de talmanera que su eje rapido de ındice ne forma un angulo de 30o con el eje Y . Elespesor de la lamina es d y el ındice del eje lento no ¿Cuales son las amplitudesde las componentes del campo emergente en terminos de la amplitud E0 delcampo incidente? Estudiar el estado de polarizacion del haz emergente y laintensidad transmitida en funcion del retardo.

La expresion del campo electrico de la onda estara dada por

Ey = E0ei(kz−ωt), (3.122)

siendo z la direccion de propagacion de la onda. Este campo puede descomponerse en susproyeciones sobre el eje rapido y lento de la lamina retardadora de la siguiente manera

Ee = E0 cos(30o)ei(kz−ωt), (3.123)

Eo = E0 sin(30o)ei(kz−ωt), (3.124)

de manera que a la salida de la lamina se tendra

Ee =2

1 + ne

2ne1 + ne

E0 cos(30o)ei(kz−ωt+δe), (3.125)

Eo =2

1 + no

2no1 + no

E0 sin(30o)ei(kz−ωt+δo), (3.126)

donde δe = 2πλ dne y δo = 2π

λ dno. Ası pues a partir de las expresiones (3.125) y (3.126)vemos que ambas componentes estaran desfasadas en una cantidad δ = δe − δo = 2π

λ d(ne −no). Dependiendo del valor del desfase la radiacion emergente tendra diferentes estados depolarizacion:

(a) Ası por ejemplo si δ = 2mπ, donde m es un numero entero, se tendra radiacionlinealmente polarizada a un angulo ligeramente diferente de 30o, ya que las amplitudesde las ondas (3.125) y (3.126) son diferentes.

(b) Si δ = (2m + 1)π, donde m es un numero entero, se tendra radiacion linealmentepolarizada a un angulo ligeramente diferente de −30o, ya que las amplitudes de lasondas en (3.125) y (3.126) son diferentes: en este caso se dice que la lamina rota el planode polarizacion de la radiacion incidente.

(c) Para cualquier otro valor de δ la radiacion emergente estara elıpticamente polarizada.

Page 113: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 105

La irradiancia de la onda emergente sera

Isal =cǫo2

(|Ee|2 + |Eo|2

)=

cǫoE20

2

[(2

1 + ne

2ne1 + ne

cos(30o)

)2

+

(2

1 + no

2no1 + no

sin(30o)

)2]

. (3.127)

Notese que al haber tenido en cuenta los coeficientes de transmitancia en amplitud para lasondas (3.125) y (3.126), la irradiancia a la salida es menor que la incidente.

3.25 Se dispone de dos polarizadores P1 y P2 dispuestos tal y como se indica enla Figura 3.20a. Este sistema se ilumina con luz blanca. Entre los dospolarizadores se introduce una cinta de celofan a 45o del eje X. En la pantallase observa una banda de luz amarilla (λ = 550 nm) coincidente con la posicionde la tira de celofan tal y como se indica en la Figura 3.20b. Explicar elfenomeno considerando el celofan como una lamina retardadora. Si se mueveel polarizador P2 para colocar su eje de transmision paralelo al de P1 ¿que seobservara en la pantalla?

Si el polarizador P1 se ilumina con luz blanca, del primer polarizador emergera luz linealmente

X

Y

Z

Pantalla deobservación

PolarizadorP2

PolarizadorP1

ejes detransmisión

luzamarillaregión de

oscuridad(b)(a)

región deoscuridad

Figura 3.20: (a) Disposicion de los elementos polarizadores y la lamina de celofan. (b) Aspecto de lapantalla de observacion cuando los polarizadores estan cruzados.

polarizada vibrando en la direccion vertical. Al incidir este haz de luz sobre el segundopolarizador P2 la radiacion emergente de este, de acuerdo con la ley de Malus, sera

IP2 =I02cos2(θ) =

I02cos2(90o) = 0. (3.128)

Suponemos que los polarizadores son perfectos para todas las longitudes de onda del haz deluz incidente y no consideramos las perdidas por reflexion ni las reflexiones multiples.

Al introducir la lamina de celofan a 45o se observa en la pantalla una zona iluminada quese corresponde con la posicion que ocupa la lamina de celofan. Este hecho se debe a que

Page 114: Optica Fisica I Problemas Resueltos

106 Problemas de Optica Fısica I

la lamina actua como una lamina retardadora, de manera que para cada longitud de ondadel haz emergente de P1 introduce un desfase diferente entre la componente paralela al ejeordinario y el extraordinario del campo incidente; de manera que en general a la salida setendran radiaciones elıpticamente polarizadas. Si el desfase introducido fuese cualquiera, otrasradiaciones proximas saldrıan tambien elıpticamente polarizadas y serıan visibles. Como solose ve luz amarilla de λ = 550 nm, este comportamiento se podrıa explicar suponiendo que elcelofan actua como una lamina λ/2 para el amarillo. De esta forma, el plano de polarizacionde la luz incidente amarilla rotara un angulo de 45o respecto de uno los ejes de la lamina.El haz de color amarillo emergente de la lamina de celo, y solo el, incidira sobre el segundopolarizador vibrando de manera paralela a su eje de transmision por lo que se transmitiraıntegramente (despreciamos la radiacion reflejada por P2).

Si ahora se gira P2 el eje este es paralelo al de P1, por lo que la radiacion amarilla nopasara. Sin embargo el resto de las radiaciones del haz incidente, que emergen del celofanelıpticamente polarizadas, se transmiten parcialmente por P2. No obstante sobre la pantallano se vera una distribucion de luz blanca, ya que al absorber P2 la radiacion amarilla, lascomponentes azul y roja de la radiacion incidente predominaran y se vera una banda de luzazul (en la misma zona en la que antes se observaba la radiacion amarilla) rodeada de unfondo blanco.

3.26 Determinar la composicion de la radiacion que atraviesa sucesivamente unalamina de media onda, una lamina de cuarto de onda y un polarizador lineal.Se sabe que al girar el polarizador 60o respecto a la posicion en la que se tiene unmaximo de irradiancia transmitida, la intensidad detectada tras el polarizadorse reduce a 1/3 de la irradiancia maxima. Al suprimir las laminas retardadorasno se observa variacion de la intensidad detectada al girar el polarizador.

Vamos a utilizar la informacion suministrada: sabemos que al suprimir las laminas retarda-doras no se detecta variacion de irradiancia tras el polarizador. Este hecho nos sugiere quela radiacion incidente puede estar completamente despolarizada (luz natural). De ser luznatural al colocar las laminas, estas no alteran el estado de polarizacion de la luz natural, porlo que no se observarıan variaciones de la irradiancia tal y como se indica en el enunciado,por lo que concluimos que no puede tratarse de luz natural.

Podrıamos pensar que se trata de luz circular, ya que al suprimir las laminas, y girar elpolarizador no se observarıa variacion de la irradiancia. Veamos si esto es posible: al colocarlas laminas el efecto de ambas es trasformar la luz circular en luz lineal vibrando a un ciertoangulo θ0. Cuando el polarizador lineal se oriente al angulo θ0 se obtendra un maximo dela irradiancia que llamaremos Imax. Asimismo sabemos que a 60o de θ0 la intensidad sereduce a 1/3 de la irradiancia maxima por lo que tendrıa que verificarse que I(θ = 60o) =Imax cos

2(60o) = 1/4Imax, o sea que 1/3 = 1/4 lo cual es absurdo, de lo que concluimos queno se trata de luz circular.

Finalmente podrıamos pensar que se trata de una mezcla de luz circular, de irradiancia Ic, yluz natural, de irradiancia IN . Veamos si esto es posible: al atravesar el sistema la irradianciadebida a la luz natural se reduce a IN/2 y la irradiancia debida a la luz circular vendrıa dadapor Ic(θ) = Ic cos

2(θ), siendo θ el angulo formado por el eje de transmision del polarizadorrespecto a θ0. En este caso se deberıa verificar que

1

3Imax =

IN2

+ Ic cos2(60o). (3.129)

Ademas la mezcla de ambos tipos de luz ha de ser tal que IN + Ic = 1 en tanto por ciento.

Page 115: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 107

De la ecuacion (3.129) se obtiene que IN = Ic/4. Operando finalmente se llega a que el 80%de la radiacion incidente es luz circular y el 20% es luz natural23.

3.27 Se dispone de una lamina de un material anisotropo uniaxico como se describeen la Fig. 3.21 con el eje optico paralelo al eje X. Sobre ella incide unaradiacion monocromatica (λ = 590 nm) linealmente polarizada vibrando a 45o

del plano de incidencia (que en este caso coincide con el del dibujo). Sabemosque nz = 1.543 y nx = 1.519 son los ındices de refraccion que experimentan lasondas que vibran paralelas al eje Z y al eje X respectivamente y que el ejeoptico es el eje X.

• Escribir la expresion del campo electrico incidente.Podemos descomponer el campo electrico de la onda incidente en la componente paralelaal plano de incidencia y en la componente perpendicular, dadas respectivamente por

~Einc‖ (~r, t) = E0 cos(45

o)ei(ωt−~k1·~r)u‖,

(3.130)

~Einc⊥ (~r, t) = E0 sin(45

o)ei(ωt−~k1·~r)ı.

En la expresion (3.130) ~k1 denota el vector de propagacion de la onda incidente dadopor

~k1 =2π

λ

(

cos(30o )− sin(30o)k)

, (3.131)

~r es el vector de posicion fuera de la lamina y a la izquierda de ella, y u‖ es un vector

unitario en la direccion de vibracion del campo electrico ~E1 dado por u‖ = sin(30o ) +

cos(30o)k.

• Escribir la expresion del campo electrico dentro de la lamina.

La onda que vibra paralela al plano de incidencia experimenta el ındice nz en tanto quela onda que vibra perpendicular al plano de incidencia experimenta el ındice nx por loque las ondas dentro del medio vendran dadas por

~Ein‖ (~r, t) = t

(1)‖ E0 cos(45

o)ei(ωt−~ktz ·~r)u′‖,

(3.132)

~Ein⊥ (~r, t) = t

(1)⊥ E0 sin(45

o)ei(ωt−~ktx·~r)ı,

donde ~ktz y ~ktx son los vectores de propagacion de ambas ondas dados por

~ktz =2πnzλ

(

cos(θz )− sin(θz)k)

,

(3.133)

~ktx =2πnxλ

(

cos θx − sin θxk)

.

Naturalmente se verifica que sin(30o) = nz sin(θz) y sin(30o) = nx sin(θx).

23En la resolucion del problema no hemos considerado la reflexion de los haces de luz en los diferentes elementosconsiderados, ya que no se suministran datos sobre sus caracterısticas opticas.

Page 116: Optica Fisica I Problemas Resueltos

108 Problemas de Optica Fısica I

Z

e=50 mm

Y

X

30o

u2

Einc

Figura 3.21: Radiacion incidiendo sobre la lamina birrefringente.

• Determinar la expresion del campo electrico fuera de la lamina.Teniendo en cuenta el resultado anterior podemos escribir

~Esal‖ (~r, t) = t

(1)‖ t

(2)‖ E0 cos(45

o)ei(ωt−~k1·~r+δ‖)u‖,

(3.134)

~Esal⊥ (~r, t) = t

(1)⊥ t

(2)⊥ E0 sin(45

o)ei(ωt−~k1·~r+δ⊥)ı,

donde δ‖ = 2πλ nzdz y δ⊥ = 2π

λ nxdx son las fases de cada una de las ondas. Asimismodz y dx son los espesores efectivos que recorren las ondas dentro del medio, que puedenestimarse teniendo en cuenta la ley de Snell de la refraccion

dz =d

cos(θz)=

50 × 10−6

1− (sin(30o)/nz)2= 52.85µm,

(3.135)

dx =d

cos(θx)=

50× 10−6

1− (sin(30o)/nx)2= 52.95µm.

Ademas se tiene que t(1)‖ t

(2)‖ = 0.9708 y t

(1)⊥ t

(2)⊥ = 0.9389

• Indicar el estado de polarizacion de la radiacion emergente.

Como hemos visto entre las ondas emergentes hay un retardo relativo dado por δ =δ⊥− δ‖ = 2π(−1.8924) rad, por lo que la onda emergente esta elıpticamente polarizada.

3.28 Entre dos polarizadores cruzados se colocan varias capas de celo orientadasparalelamente entre sı y con sus ejes opticos a 45o de los ejes de transmisionde los polarizadores. Un haz de luz blanca incide sobre el primer polarizador.Se ha medido la irradiancia de la luz emergente del segundo polarizador enfuncion de la longitud de onda y se ha representado en la Figura 3.22.

Page 117: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 109

• Interpretar la presencia de los mınimos de irradiancia del espectro medidoy representado en la Figura 3.22.

400

0

0.5

1.0

tra

nsm

ita

ncia

450 500 550 600 650 700

l (nm)

Figura 3.22: Transmitancia, en el eje de ordenadas, de las capas de celos entre dos polarizadores cruzados.

En la Figura (3.23) se representa un esquema del dispositivo. El eje de transmisiondel primer polarizador se tomara en la direccion OY . Por ello, el eje de transmisiondel segundo polarizador estara situado en la direccion OX. Sobre el primer polarizadorincide luz blanca. Despues de su paso por P1 el campo a la salida se podra escribir como

~E1 = 0ux + E0 cos(ωt− kz)uy. (3.136)

Los ejes de la lamina estan rotados un angulo θ respecto de los ejes originales elegidos.En nuestro caso el angulo se particularizara para θ = 45o.

Para mayor comodidad referiremos el campo incidente en la lamina a un nuevo sistemade ejes determinado por los ejes ordinario y extraordinario de la lamina retardadora.En este caso no hay mas que proyectar el campo resultante tras el polarizador en lasdirecciones ordinaria y extraordinaria. Se obtiene un campo dado por

~Ein = ueE0 cos(θ) cos(ωt− kz) + uoE0 sin(θ) cos(ωt− kz). (3.137)

Ahora se puede ver claramente la accion de la lamina. En efecto, el campo que vibra enla direccion del eje ordinario se retrasa un tiempo dado por ∆to = (no − 1)d/c mientrasque el campo que vibra en la direccion del eje extraordinario tendra un retraso (respectoa la situacion en que no hubiera lamina) que vale ∆te = (ne−1)d/c . El retraso temporalrelativo entre ambas componentes sera

∆t =(no − ne)d

c. (3.138)

Page 118: Optica Fisica I Problemas Resueltos

110 Problemas de Optica Fısica I

A la salida de la lamina, de espesor d, la diferencia de fase entre ambas componentessera

δ = ω|∆t| = ω|(no − ne)|dc

. (3.139)

La expresion del campo a la salida de la lamina sera

~Eout = ueE0 cos(θ) cos(ωt− kz + δ) + uoE0 sin(θ) cos(ωt− kz). (3.140)

Este campo es el que incidira en el segundo polarizador. Detras del mismo, solo lacomponente del campo incidente en la direccion del eje OX. Como puede verse en laFigura 3.23, los vectores ue y uo respecto de los ejes primarios ux y uy seran

ue = −ux sin(θ) + uy cos(θ), (3.141)

uo = ux cos(θ) + uy sin(θ). (3.142)

Por lo tanto, sustituyendo estas expresiones en el campo ~Eout (3.140) y reteniendo solola componente x se llega a que el campo emergente del segundo polarizador es (se hasupuesto que no hay perdidas por reflexion en ninguno de los elementos):

~Efinal = E0 sin(θ) cos(θ) [− cos(ωt− kz + δ) + cos(ωt− kz)] ux. (3.143)

La irradiancia a la salida sera proporcional al promedio temporal del vector de Poynting.Si, para simplificar las expresiones, se toma z = 0 a la salida del segundo polarizador,

Ifinal = cǫ0〈[−E0 sin(θ) cos(θ) cos(ωt+ δ) + E0 sin(θ) cos(θ) cos(ωt)]2〉. (3.144)

Teniendo en cuenta que 〈sin2(ωt)〉 = 〈cos2(ωt)〉 = 1/2, y que 〈sin(ωt) cos(ωt)〉 = 0 sellega, despues de unas cuantas operaciones a la siguiente expresion:

Ifinal =cǫ08E2

0 sin2(2θ) [1− cos(δ)] . (3.145)

lámina birrefringente

campo elípticamentepolarizado

eje detransmisión

eje detransmisión

Y

Z

Y Y

XX X

ne

no

q

P2

P1

d

Figura 3.23: Esquema del dispositivo experimental.

Page 119: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 111

En nuestro caso θ = 45o por lo que la intensidad transmitida sera

Ifinal =cǫ08E2

0 [1− cos(δ)] =I04[1− cos(δ)] . (3.146)

Observese que la intensidad transmitida depende del valor del defase introducido por lalamina a las diferentes longitudes de onda presentes en la radiacion incidente.

La irradiancia sera mınima cuando

1− cos(δ) = 0, (3.147)

es decir, siδ = 2mπ. (3.148)

En este caso la lamina retardadora introduce un retardo de un numero entero de longitu-des de onda. El campo a la salida se encontrara en el mismo estado de polarizacion que ala entrada, esto es, linealmente polarizado en la direccion del eje OY . Por ello, no pasaraa traves del segundo polarizador. El hecho de que los mınimos no sean estrictamentenulos se debe a que el grado de extincion de los polarizadores depende de la longitudde onda, entre otras razones (la extincion no es completa). En este caso se dice que lalamina actua como lamina de onda completa para las longitudes de onda que verifiquenla condicion (3.148).

• Estime para que longitudes de onda actua como una lamina λ/2

Los maximos de irradiancia se obtendran cuando el campo emergente de la lamina salgapolarizado en la direccion del segundo polarizador. Para ello, la direccion de vibracion delcampo emergente en la lamina habra tenido que girar 90o. Esto ocurira para aquellaslongitudes de onda para las que la lamina actua como una λ/2, dado que el campoincidente formaba 45o con los ejes de la lamina. A este hecho se puede llegar sin masque exigir que la intensidad transmitida dada por la expresion (3.146) se haga maxima.Ello ocurre para aquellas longitudes de onda a las cuales se tiene que

δ = (2m+ 1)π. (3.149)

Si sustituimos el valor de δ en funcion del espesor de la lamina y de la birrefringencia,se llega a que

|(n0 − ne)|d = (2m+ 1)λ

2. (3.150)

• Suponiendo que la birrefringencia del material es independiente de lalongitud de onda y que el espesor es d = 3.3 mm ¿Podrıa estimar labirrefringencia a partir de los resultados experimentales?

Para un espesor fijo de la lamina y un valor de la diferencia de ındices constante, losmaximos o los mınimos de la irradiancia transmitida ocurriran para diferentes valores deλ, esto es, diferentes valores de m. Entre dos valores consecutivos de mınima irradianciase tendra:

|(n0 − ne)|d = mλ1, (3.151)

y|(n0 − ne)|d = (m− 1)λ2. (3.152)

Restando ambas expresiones se llega a que

m =λ2

λ2 − λ1=

520

520− 475= 11.55 ≈ 12. (3.153)

Page 120: Optica Fisica I Problemas Resueltos

112 Problemas de Optica Fısica I

Sustituyendo en la ecuacion (3.151) los valores de m y del espesor d = 3.3 mm se llegaa que

|(n0 − ne)| = 0.0017. (3.154)

3.29 Un haz de luz blanca polarizada linealmente incide perpendicularmente sobreuna placa de cuarzo de espesor 0.865 mm, tallada paralelamente al eje optico.El azimut del campo electrico es de 45o. Los ındices principales de refracciondel cuarzo son no = 1.5533 y ne = 1.5442 (no consideramos la variacion de ne yno con la longitud de onda).

• ¿Que longitudes de onda comprendidas entre 600 y 700 nm emergen de lalamina polarizadas linealmente?

Las componentes del campo a la entrada de la lamina se pueden escribir

Eno = E0 cos(π/4) cos(ωt),

Ene = E0 sin(π/4) cos(ωt). (3.155)

El campo Eno es la proyeccion del campo incidente sobre la direccion de la lamina enla que esta presenta un ındice no. El campo Ene es la proyeccion del campo incidentesobre la direccion de la lamina en la que esta presenta un ındice ne. Dado que ambosındices son diferentes, a la salida de la lamina las componentes de los campos se puedenescribir como

Eno = E0 cos(π/4) cos(ωt+ knod),

Ene = E0 sin(π/4) cos(ωt+ kned), (3.156)

siendo d el espesor de la lamina y k el numero de ondas. En la expresion (3.156) no seha tenido en cuenta los factores de transmitancia por simplicidad.

La ecuacion (3.156) se puede reescribir como

Eno = E0 cos(π/4) cos(ωt),

Ene = E0 sin(π/4) cos [ωt+ k(ne − no)d] , (3.157)

de manera que entre ambas componentes hay un desfase a la salida dado por δ =2πλ d|ne − no|.Las radiaciones que emergeran de la lamina linealmente polarizadas seran aquellas enlas que se verifique que el desfase δ se un multiplo entero de π (δ = mπ), o sea,

λ =2× 7.8715 × 10−6

m. (3.158)

Sustituyendo en la ecuacion (3.158) vemos que los valores de m que proporcionanlongitudes de onda en el intervalo especificado son un numero finito (ver Tabla 3.1).

• ¿Que longitudes de onda emergen polarizadas circularmente?Para que emergan circularmente polarizadas ha de verificarse que el desfase entre las doscomponentes del campo a la salida de la lamina [ver ecuacion (3.157) ] sea un multiploimpar de π/2, con lo cual se tiene

λ =4× 7.8715 × 10−6

2m+ 1. (3.159)

Page 121: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 113

m λ (nm)

23 684.424 655.925 629.726 605.5

Tabla 3.1: Valores del numero entero m y longitudes de onda que emergen linealmente polarizadas.

m λ (nm)

22 699.723 669.924 642.525 617.3

Tabla 3.2: Valores del numero entero m y longitudes de onda que emergen circularmente polarizadas.

Tambien se precisa en este caso que las amplitudes de ambas componentes sean iguales:al ser el azimut de π/4 esta condicion se verifica si consideramos que los coeficientesde transmitancia en amplitud para la direccion del eje ordinario y extraordinario sonpracticamente coincidentes entre sı24. Sustituyendo en la ecuacion (3.159) vemos quelos valores de m que proporcionan longitudes de onda en el intervalo especificado son unnumero finito (ver Tabla 3.2).

• Si el haz emergente de la lamina pasa a traves de un analizador cuyo eje detransmision es perpendicular al plano de vibracion de la radiacion incidente¿Que longitudes de onda faltan en el haz transmitido por este analizador?

Las radiaciones que emergen linealmente porlarizadas de la lamina tienen un desfaseproporcional a π. En el caso de que δ = (2m + 1)π la lamina se comporta como unalamina de media onda para esas radiaciones, por lo que pasan sin atemuarse por elanalizador. En el caso de que δ = 2mπ la lamina no introduce un desfase efectivo por loque el campo a la salida de la lamina vibra en la misma direccion que el campo incidentey por lo tanto se extinguen (λ1 = 655.9 nm y λ2 = 605.5 nm, entre otras).

Las radiaciones que emergen circularmente polarizadas de la lamina pasan atenuando-se por el polarizador. El resto de las radiaciones emergen de la lamina polarizadaselıpticamente y se atenuan al pasar por el analizador.

24Si se realiza el computo de los coeficientes de transmitancia en amplitud para la componente ordinaria yextraordinaria se observa que difieren en la cuarta cifra decimal.

Page 122: Optica Fisica I Problemas Resueltos

114 Problemas de Optica Fısica I

3.30 Se quiere obtener experimentalmente el espesor de una lamina plano-paralelade un material birrefringente cuyos ındices de refraccion son ne = 1.56 y n0 =1.48. Para ello se monta un polariscopio consistente en una fuente de luz blancaque produce un haz colimado, un polarizador P1 con sus eje de transmision enla direccion vertical y un polarizador P2 con su eje de transmision en la mismadireccion que P1. Detras de este polarizador se situa una red de difraccion de600 lıneas/mm. La lamina se coloca entre los dos polarizadores con sus ejesneutros a 45o respecto al eje del primer polarizador (ver Figura 3.24). En unapantalla situada a 2 m se observa una distribucion de irradiancia de color azulen el centro y dos espectros identicos coloreados situados a ambos lados delcentro. En los dos espectros se observan dos bandas negras situadas a 75.7 cmy 67.1 cm del centro respectivamente. Razonar sobre la veracidad o falsedadde las siguientes afirmaciones:

(a) La luz se ve azul en el centro porque el primer polarizador absorbe parte dela luz amarilla procedente de la lamina.

(b) El primer polarizador no absorbe, sino que es la lamina la que absorbe.

(c) El segundo polarizador absorbe toda la radiacion amarilla y solo queda lacomponente azul.

(d) Es la red de difraccion la responsable de este fenomeno ya que no se absorbeningun color como lo prueban los espectros coloreados que aparecen en lapantalla.

(e) ¿De los resultados del experimento se puede inferir que la lamina actua comouna lamina de media onda para 500 nm?

(f) Calcule el espesor de la lamina.

lámina birrefringente

Yred

Z

Y

X

ne

no

P2

P1

d

Figura 3.24: Esquema del dispositivo experimental y pantalla de observacion. En la pantalla se hanindicado las lıneas “desaparecidas” en los ordenes de difraccion ±1.

Page 123: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 115

En la Figura 3.24 se representa un esquema del dispositivo. El eje de transmision del primerpolarizador se tomara en la direccion OY . Por ello, el eje de transmision del segundopolarizador estara situado tambien en la direccion OY . Sobre el primer polarizador incideluz blanca. Despues de su paso por P1 el campo a la salida estara linealmente polarizado yestaran presentes todas las longitudes de onda.

Se supone que la lamina es transparente a todas las radiaciones, por lo que el efecto de lalamina sobre el haz policromatico linealmente polarizado sera introducir un desfase entre lacomponente del campo incidente paralelas a cada uno de los ejes neutros de la lamina. Estedesfase sera diferente para cada una de las componentes monocromaticas que componen el hazde luz incidente. La radiacion emergente de la lamina incidira en el segundo polarizador25.Como el segundo polarizador tiene su eje de transmision en la direccion del eje OY , aquellascomponentes monocromaticas que por efecto de la lamina esten lineamente polarizadas per-pendicularmente a la direccion OY , seran absorbidas por el segundo polarizador y no pasaran.Observese que para que esto suceda, dada la orientacion de la lamina retardadora a 45o, elplano de polarizacion de estas radiaciones habra debido girar 90o, esto es, la lamina actuarıacomo una lamina λ/2 para estas radiaciones. Ası pues, estas radiaciones estarıa ausentes alincidir el haz emergente del segundo polarizador sobre la red de difraccion. Por su parte,la red de difraccion descompondra espectralmente la radiacion incidente. Por efecto de ladifraccion, cada componente presente en el haz que incide sobre la red se desviara, en unorden de difraccion dado, un angulo diferente, dado por la ecuacion de la red:

d sin(θ) = kλ, (3.160)

donde d es el paso de la red y k el orden de difraccion.

En nuestro problema, se analizan el orden cero y el orden 1. En el orden cero aparecenconfundidos todos los colores presentes en el haz incidente sobre la red, ya que el angulode difraccion en orden cero es el mismo para todas las radiaciones. El hecho de que tengaun tono azulado indicarıa que algunas componentes amarillo-verdosas estan ausentes. Enefecto, en orden 1 se pone de manifiesto esta ausencia con la presencia de dos lıneas negras

en el espectro proyectado sobre la pantalla. Estas lıneas corresponderan a radiaciones cuyaslongitudes de onda se pueden calcular inmediatamente aplicando la ecuacion (3.160), dadoque los angulos de difraccion se obtienen de los datos suministrados:

tan(θ1) =67.1

200, (3.161)

de donde θ1 = 18.54o y

tan(θ2) =75.7

200, (3.162)

de donde θ2 = 20.73o. Como la red tiene 600 l/mm, aplicando la ecuacion de la red se obtiene

1

600sin(18.54o) = λ1 = 530.1 nm, (3.163)

y1

600sin(20.73o) = λ2 = 589.9 nm. (3.164)

25Un polarizador, en efecto, polariza como se dice vulgarmente, lo cual significa que una de las componentes delcampo incidente sobre el (aquella que vibra perpendicularmente al eje de transmision del polarizador) es absorbidapor este.

Page 124: Optica Fisica I Problemas Resueltos

116 Problemas de Optica Fısica I

Estas son las longitudes de onda que no pasan el segundo polarizador porque inciden vibrandoperpendicularmente a el. Son absorbidas por el polarizador. Para estas longitudes de onda,y solo para estas, la lamina actua como una lamina λ/2. Por lo tanto, la lamina no es una

lamina λ/2 para 500 nm.

Calcularemos ahora el espesor de la lamina. Como sabemos con certeza para que longitu-des de onda la lamina retardadora actua como una lamina λ/2, conocemos que para esasradiaciones el defase introducido es un multiplo impar de π, esto es

δ = k|ne − no|e = (2m+ 1)π, (3.165)

donde m puede ser cualquier numero entero, no precisamente 0 o 1. Para este valor (m = 0)obtendrıamos la lamina mas delgada pero, a priori, no sabemos el valor de m. Sin embargosabemos que si para la radiacion λ1 el valor de m es m = m1, entonces para λ2 el valor dem2 = m1 − 1. Por ello26 , utilizando la ecuacion (3.165) se obtiene:

|ne − no|e =(2m1 + 1)

2λ1, (3.166)

|ne − no|e =(2m1 − 1)

2λ2. (3.167)

De estas dos ecuaciones se obtiene el valor de m

m1 =λ2 + λ1

2(λ2 − λ1)≈ 9. (3.168)

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones (3.166) o (3.167) se obtiene el espesore = 0.06µm.

3.31 Una lamina de cuarzo de caras plano paralelas, tallada paralelamente a su ejeoptico se situa entre dos polarizadores con sus ejes de transmision P1 y P2

paralelos y formando un angulo de 45o con uno de los ejes de la lamina. Sehace incidir sobre este sistema un haz paralelo de luz blanca.

(a) Calcular las expresiones de la amplitud y de la intensidad de la onda trans-mitida en funcion de la diferencia de fase φ = 2π(ny − nx)e/λ0 donde e es elespesor de la lamina (e = 2 mm), λ0 = 545 nm,ny = 1.553 y nx = 1.544.

(b) Se apilan N = 8 sistemas como el anterior con las laminas de cuarzo deespesores sucesivos e, 2e, 4e, 2N−1e. Todos los polarizadores son paralelosentre ellos. Ignorando la absorcion de las laminas, determinar la intensidadde la onda transmitida en funcion de φ. Demostrar que este sistema puedeser utilizado como un filtro.

Considerese el sistema de la Figura 3.25. El haz de luz blanca incide sobre el primerpolarizador por lo que a su izquierda tendremos luz linealmente polarizada vibrando a 45o deleje vertical. Sea E0 la amplitud del campo emergente del primer polarizador que se propagasegun el eje Z y cuya frecuencia es ω. El campo que incide sobre la lamina lo podemosdescomponer en una componente vertical Ey y otra horizontal Ex dadas por

Ey = E0 cos(45o) ei(ωt−kz),

Ex = E0 sin(45o) ei(ωt−kz), (3.169)

26En la resolucion del problema hay que hacer notar que hacemos la aproximacion de considerar que el ındice derefraccion para ambas longitudes de onda no va a cambiar apreciablemente.

Page 125: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 117

EEy

Y

X Z

ny

Ex

nx

P2

P1

Figura 3.25: Esquema de la situacion descrita: P1 polarizador, P2 polarizador con su eje paralelo alprimero y formando ambos un angulo de 45o respecto a las lıneas neutras de la lamina.

donde ambas componentes se encuentran en fase. El retardo de la componente Ex con respectoa la propagacion en el vacıo al atravesar la lamina de espesor e es ∆tx = e(nx−1)/c, en tantoque el retardo que adquiere la componente Ey es ∆ty = e(ny − 1)/c, por lo tanto a la salidade la lamina el campo electrico emergente vendra dado por

Esaly =

2

1 + ny

2ny1 + ny

E0 cos(45o) ei(ω(t+∆tx)−kz),

Esalx =

2

1 + nx

2nx1 + nx

E0 sin(45o) ei(ω(t+∆ty )−kz), (3.170)

Si, por simplicidad, consideramos que la tansmitancia es la unidad, podemos eliminar loscoeficientes de Fresnel, por lo que el campo transmitido puede reescribirse como

Esaly ≈ E0

√2

2ei(ωt−kz),

Esalx ≈ E0

√2

2ei(ωt−kz+φ), (3.171)

donde φ = ω(∆ty −∆tx) =2πλ0(ny − nx)e. Hay que hacer notar que el estado de polarizacion

de la onda emergente en general ha cambiado ya que ambas componentes, que estaban enfase a la entrada [ecuacion (3.169) ], estan desfasadas en una cantidad φ a la salida. Noteseademas que este cambio depende de la longitud de onda del campo incidente.

Vamos a analizar con mayor detenimiento el cambio del estado de polarizacion:

(a) Si δ = 2Mπ la radiacion emergente esta linealmente polarizada y su azimut no hacambiado tal y como hemos indicado anteriormente (podrıamos hablar de una laminade onda completa).

(b) Si δ = (2M + 1)π la radiacion emergente esta linealmente polarizada y su azimut ahoraes θsalida ≈ −45o. A efectos practicos la lamina cambia el plano de vibracion del campo

Page 126: Optica Fisica I Problemas Resueltos

118 Problemas de Optica Fısica I

electrico, de ahı que se diga que la lamina actua como un rotor para aquellas longitudesde onda que verifican la citada condicion (o tambien lamina de media onda).

(c) Si δ = (2M + 1)π2 , la radiacion emergente estara circularmente polarizada.

El campo emergente de la lamina incide sobre el segundo polarizador. Este solo dejara pasar lacomponente del campo que vibra paralelamente al eje de transmision del segundo polarizador.Por lo tanto, deberemos proyectar cada una de las componentes del campo dado por (3.171)sobre la direccion del eje de transmision del segundo polarizador. Si uP es un vector unitarioen la direccion del eje de transmision del polarizador, el campo transmitido se podra ponercomo

~ET =

(

E0

√2

2cos(45o) + E0

√2

2sin(45o) eiφ

)

ei(ωt−kz) uP , (3.172)

es decir~ET =

E0

2

(

1 + eiφ)

ei(ωt−kz) uP . (3.173)

La irradiancia del haz transmitido vendra dada por

I1 =1

2cǫ0|ET |2 =

I02(1 + cos(φ)) . (3.174)

Por otra parte, podemos definir la transmitancia en amplitud del dispositivo como

t1 =ET

E0=

1

2

(

1 + eiφ)

, (3.175)

Si en lugar del dispositivo considerado, la lamina birrefringente tuviera un espesor 2e, lastransmitancia vendrıa dada por la una expresion similar pero el defase serıa el doble, es decir,

t2 =1

2

(

1 + ei2φ)

. (3.176)

Si tenemos una lamina de espesor 2(N−1)e, la transmitancia sera

t2 =1

2

(

1 + ei2(N−1)φ

)

. (3.177)

Si se apilan N sistemas de espesores sucesivos e, 2e, 4e .... 2N−1e, la transmitancia deldispositivo sera el producto de las transmitancias. Para ver la ley de recurrencia vamos aanalizar los casos N = 1, N = 2 y N = 3.

Para N = 1 se tiene

t =1

2

(

1 + eiφ)

. (3.178)

Para N = 2 se tiene

t = t1t2 =1

22

(

1 + eiφ + ei2φ + ei3φ)

. (3.179)

Para N = 3 se tiene

t = t1t2t3 =1

23

(

1 + eiφ)(

1 + ei2φ)(

1 + ei4φ)

, (3.180)

es decir

t = t1t2t3 =1

23

(

1 + eiφ + ei3φ + ei4φ + ei5φ + ei6φ + ei7φ)

. (3.181)

Page 127: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 119

Es facil obtener la ley de recurrencia para N

t = t1t2t3...tn =1

2N

(

1 + eiφ + ei3φ + ....+ ei(2N−1)φ

)

. (3.182)

Los terminos entre parentesis representan la suma de una progresion geometrica de razon eiφ

y su valor resulta

t =1

2N1− ei2

1− eiφ. (3.183)

La irradiancia transmitida por el conjunto de N sistemas sera

IN =1

2cǫ0|t|2|E0|2 =

I022N

sin2(2Nφ/2

)

sin2 φ/2. (3.184)

La transmitancia del dispositivo esta representada en la Figura 3.26 para un conjunto deradiaciones diferentes: notese que a pesar de que cada una de las laminas es transparente, elconjunto de ellas y el sistema de polarizadores permite obtener una alta selectividad espectral,esto es, podemos seleccionar algunas longitudes de onda para las cuales la transmitancia esmaxima. En el detalle de la figura se aprecia como varıa la transmitancia en torno a una delas lıneas espectrales transmitidas en condicion de maximo.

520 540

l (nm)

T8

550 560 570

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

530

545l (nm)

5460.1

0.5

T8

1.0

Figura 3.26: Transmitancia del filtro para N = 8. En el recuadro interior se ha realizado una ampliacionpara visualizar mejor la anchura de cada lınea.

Teniendo en cuenta lo anterior la transmitancia para λ0 cuando se apilan 8 laminas es T8 =4.21 × 10−5.

Page 128: Optica Fisica I Problemas Resueltos

120 Problemas de Optica Fısica I

3.32 Considere un medio material semi-infinito como el que se muestra en la Figura3.27 de tal modo que para y < 0 se considera que es el vacıo y que para y > 0 estacompuesto por un medio material anisotropo uniaxico cuyo eje optico formaun angulo β con el eje Z. Sobre este medio material incide normalmente unaonda plana cuya frecuencia ω esta alejada de las resonancias electronicas delmaterial. Teniendo en cuenta que el campo electrico total en un punto delmedio material es la superposicion de la onda incidente y las ondas radiadaspor todos los atomos del medio material, o sea

~E′(~r, t) = ~Einc(~r, t) +1

4πǫ0

Σ∫∫∫

σ

∇×

∇×[

~P (~r ′, t−R/c)/R]

dV ′, (3.185)

y

~B′(~r, t) = ~Binc(~r, t) +µ04π

Σ∫∫∫

σ

∇×·~P (~r ′, t+R/c)

RdV ′, (3.186)

donde σ es una superficie esferica centrada en el punto ~r de radio ǫ y Σrepresenta la frontera del medio material, determinar la expresion de las ondasrefractada y reflejada, ası como las expresiones de los vectores de Poyntingasociados.

En las condiciones especificadas, la onda incidente puede expresarse como

~Einc =(Einc

0x ux + Einc0z uz

)ei(k0y−ωt), (3.187)

donde ux y uz son vectores unitarios en las direcciones de los ejes X y Z respectivamente, y k0es el numero de ondas de la onda incidente. La onda incidente inducira dipolos oscilantes demanera que en el sistema de referencia XaYaZa, la ecuacion de movimiento de los electronesvendra dada por

Fxa = −ux xa + γx·xa +q E′

xae−iωt,

Fya = −ux ya + γx·ya +q E′

yae−iωt, (3.188)

Fza = −uz za + γz·za +q E′

zae−iωt,

donde ~E′a = (E′

xa, E′

ya , E′za) es el campo electrico que actua sobre un dipolo: este campo esta

dado en terminos del campo incidente y de los campos re-radiados por el resto de atomos delmedio.

En la ecuacion (3.188) hemos despreciado la parte magnetica de la fuerza de Lorentz ya queasumimos que las velocidades que adquieren las cargas moviles, esencialmente los electrones,son mucho menores que c. Por generalidad hemos incluido en (3.188) dos constantes derozamiento diferentes, lo cual requiere un comentario adicional: es bien conocido27 que unaestimacion clasica de la constante de rozamiento se obtiene computando el trabajo realizadopor esta fuerza, ~Ff . Esta fuerza se introduce clasicamente para tener en cuenta la potenciaradiante emitida por un dipolo. Si se considera que el dipolo oscila en una cierta direccion,digamos ~O, entonces la fuerza de friccion esta dada por

~Ff =e2

6πǫ0c3··v O. (3.189)

27Vease por ejemplo la elegante deduccion debida a J. D. Jackson, Classical electrodynamics (Wiley, New York,1999).

Page 129: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 121

ZZa

Y

Ya

X=Xa

Einc

z

Einc

x

r’

r

R

b

Figura 3.27: Esquema de la onda plana que incide normalmente sobre un medio anisotropo semi-infinito.El eje optico del material forma un angulo β con el eje Z. Se ha senalado asimismo el sistema propio deejes XaYaZa.

Si el movimiento del dipolo es casi periodico en el tiempo, o sea, ~r(t) = r0 cos(ω0t)O, entoncesla ecuacion (3.189) puede aproximarse por

~Ff ≈ − e2ω20

6πǫ0mec3vO = −γv O. (3.190)

En el caso que nos ocupa de un medio anisotropo, la deduccion de la fuerza de friccion sehace de una manera similar y el resultado, en el caso de medios uniaxicos, reproduce el hechode que hay dos constantes de amortiguamiento diferentes.

La solucion estacionaria de la ecuacion (3.188) esta dada por

xa(t) =qE′

xa

4πǫ0me

1

ω21 − ω2 + iγxω

e−iωt,

ya(t) =qE′

ya

4πǫ0me

1

ω21 − ω2 + iγxω

e−iωt, (3.191)

za(t) =qE′

za

4πǫ0me

1

ω22 − ω2 + iγzω

e−iωt,

donde ω21 = ux/me y ω2

2 = uz/me.

Teniendo en cuenta la ecuacion (3.191), el momento dipolar de un atomo puede expresarsecomo

~p = α⊥E′xauxa + α⊥E

′ya uya + α‖E

′za uza , (3.192)

donde α⊥ y α‖ son las polarizabilidades principales del atomo que pueden deducirse de laecuacion (3.191).

Page 130: Optica Fisica I Problemas Resueltos

122 Problemas de Optica Fısica I

Consideremos la componente X del campo incidente de la Figura 3.27: este campo induciraen cada atomo un dipolo en la direccion del eje X, por lo tanto el campo radiado por estosatomos se superpondra con la componente X de la onda incidente para producir la extincionde la onda incidente, la onda refractada y la onda reflejada: este es justamente el resultadoque se demostraremos mas adelante y que se infiere28 de la ecuacion (3.185). Llamaremosa esta onda onda ordinaria por motivos que veremos. Analogamente la componente Z delcampo incidente, de acuerdo con la ecuacion (3.188) inducira un momento dipolar que tendrados componentes pya y pza. Es obvio a partir de la ecuacion (3.191) que las frecuencias deresonancia de ambas componentes, pya y pza, del momento dipolar son diferentes, de modo quelos campos re-radiados por ambas componentes no estaran en fase entre sı: la superposicion dela onda incidente junto con las ondas re-radiadas producira de nuevo una onda que cancelala onda incidente, la onda refractada y la onda reflejada. Llamaremos a esta onda onda

extraordinaria debido a su “extrano” comportamiento. Este es el fundamento microscopicode la doble refraccion en cristales.

Para determinar la forma de las ondas reflejada y transmitida vamos a considerar que elmedio material, que ocupa el semiespacio y > 0, esta formado por una distribucion continuade atomos, esto es, que el medio es denso y que el numero de atomos por unidad de volumen esN . Asimismo podemos considerar que, aunque los atomos son entidades discretas, la distanciamedia entre ellos es menor que la longitud de onda de la radiacion incidente, de modo que laexpresion (3.185) es correcta, de lo contrario habrıa que reemplazar la integral de volumen poruna triple suma extendida a todos los atomos. En otros terminos la ecuacion (3.185) expresael hecho de que el campo electrico en el punto ~r no es otra cosa que la superposicion delcampo incidente y del campo radiado por todos los atomos localizados en ~r ′. En la ecuacion(3.185) el vector ~P es la densidad de polarizacion que en este caso puede escribirse como

~P (~r, ω) = ξ⊥E′xa(~r, ω)uxa + ξ⊥E

′ya(~r, ω)uya + ξ‖E

′za(~r, ω)uza , (3.193)

en el sistema de referencia XaYaZa de la Figura 3.27, donde ξ⊥ = Nα⊥ y ξ‖ = Nα‖. Laecuacion (3.193) puede reescribirse en forma matricial como

~P (~r, ω) =

ξ⊥ 0 00 ξ⊥ 00 0 ξ‖

E′xa(~r, ω)

E′ya(~r, ω)

E′za(~r, ω)

,

o de manera compacta como ~P (~r, ω) =∧ξxayaza

~E′a(~r, ω).

Para operar comodamente, vamos a referir la densidad de polarizacion al sistema de referencia

XY Z mediante la matriz de transformacion,∧M , que corresponde a una rotacion de angulo

β alrededor del eje X. Esta matriz esta dada por

∧M=

1 0 00 cos(β) sin(β)0 − sin(β) cos(β)

.

De esta manera la ecuacion (3.193) puede reescribirse como ~P (~r, ω) =∧ξxyz

~E′(~r, ω), donde∧ξxyz

=∧M

−1 ∧ξxayaza ∧

M . La expresion de∧ξxyz

en el sistema de referencia XY Z se obtiene

28Para mas detalles puede consultarse M. Born and E. Wolf, op. cit., Seccion 2.4 y Apendice V.

Page 131: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 123

despues de realizar las pertinentes operaciones resultando

∧ξxyz

=

ξ⊥ 0 00 ξ⊥ cos2(β) + ξ‖ sin

2(β) (ξ⊥ − ξ‖) cos(β) sin(β)0 (ξ⊥ − ξ‖) cos(β) sin(β) ξ‖ cos

2(β) + ξ⊥ sin2(β)

=

ξ⊥ 0 00 ξ22 ξ230 ξ23 ξ33

,

de manera que la densidad de polarizacion queda

Px(~r, ω) = ξ⊥E′x(~r, ω),

Py(~r, ω) = ξ22E′y + ξ23E

′z(~r, ω), (3.194)

Pz(~r, ω) = ξ23E′y + ξ33E

′z(~r, ω).

Buscaremos soluciones para ~P de la forma

~P (~r, ω) = ~P0ei(~kT ·~r−ωt), (3.195)

de tal manera que cuando son introducidas en la ecuacion (3.185), esta sea autoconsistente,de modo que permita la determinacion de ~P0 y ~kT = (kTx, kTy, kTz). Es preciso notar que lasolucion propuesta en (3.195) es de la misma frecuencia que el campo incidente.

Para proceder a resolver el problema planteado emplearemos la siguiente relacion29:

Σ∫∫∫

σ

∇×∇× ~Q(~r ′)G(R)dV ′ = ∇×∇×Σ∫∫∫

σ

~Q(~r ′)G(R)dV ′ − 8π

3~Q(~r ′), (3.196)

donde G(R) representa una onda esferica que se propaga en el vacıo. Teniendo en cuenta loanterior, la ecuacion (3.185) puede reescribirse para el campo electrico como

~E′(~r) = ~Einc(~r)−2

3ǫ0~P0e

i~kT ·~r

+1

4πǫ0∇×

∇× ~P0

Σ∫∫∫

σ

ei~kT ·~r ′ eik0R

RdV ′

, (3.197)

donde obviamente la dependencia temporal ha sido eliminada.

Para continuar hemos de evaluar la siguiente integral

I =

Σ∫∫∫

σ

ei~kT ·~r ′ eik0R

RdV ′, (3.198)

para lo cual procederemos de la siguiente manera: emplearemos la siguiente representacionde una onda esferica en terminos de ondas planas

eik0R

R=

1

2π2

∫∫∫

dVkei~k·(~r−~r ′)

k2 − k20 − iǫ, (3.199)

29Ver Born & Wolf, op. cit.

Page 132: Optica Fisica I Problemas Resueltos

124 Problemas de Optica Fısica I

donde dVk = dkxdkydkz es el elemento diferencial de volumen en el espacio de momentos, ytras finalizar el calculo tomaremos el lımite ǫ→ 0. De esta manera la integral de la ecuacion(3.198) queda como

I =1

2π2

∫∫∫ Σ∫∫∫

σ

dx′dy′dz′dkxdkydkzei(kxx+kyy+kzz)

ei(kTx−kx)x′+(kTy−ky)y′+(kTz−kz)z′

k2 − k20 − iǫ, (3.200)

o bien

I =1

2π2

∫∫∫

dkxdkydkz

a1︷ ︸︸ ︷∞∫

−∞

dx′ei(kTx−kx)x′

a2︷ ︸︸ ︷∞∫

−∞

dz′ei(kTz−kz)z′

a3︷ ︸︸ ︷∞∫

0

dy′ei(kTy−ky)y′ ei~k·~r

k2 − k20 − iǫ. (3.201)

Las integrales a1 y a2 pueden escribirse en terminos de las distribuciones δ de Dirac30:

a1 = 2πδ(kTx − kx),

a2 = 2πδ(kTz − kz). (3.202)

La ecuacion (3.202) expresa el hecho de que las ondas re-radiadas por los atomos interfierenconstructivamente solamente en una cierta direccion. La integral a3 puede calcularse de lamanera siguiente

a3 =

∞∫

0

dy′ei(kTy−ky)y′ ≈ − 1

i(kTy − ky). (3.203)

Es preciso notar que al llevar a cabo la integracion en (3.203), la contribucion de los atomossituados en el infinito se considera despreciable31.

De esta manera la ecuacion (3.201) puede ponerse como

I =1

2π2

∫∫∫

dkxdkydkz2πδ(kTx − kx)2πδ(kTz − kz)−1

i(kTy − ky)

ei~k·~r

k2 − k20 − iǫ

=−2

iei(kTxx+kTzz)

∞∫

−∞

dky1

kTy − ky

eikyy

k2Tx + k2Tz + k2y − k20 − iǫ. (3.204)

30Para mas detalles vease por ejemplo el libro de L. Schwartz, Metodos matematicos para las ciencias fısicas,(Madrid, Selecciones Cientıficas, 1969).

31Vease R. P. Feynman, op. cit.

Page 133: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 125

Ya estamos en condiciones de evaluar la expresion (3.197): dentro del medio material, estoes para y > 0, la integral I se puede determinar empleando las tecnicas de integracion en elplano complejo32 resultando finalmente que

I = Aei~l·~r +Bei

~kT ·~r, (3.205)

donde ~l esta definido como ~l = (kTx, q, kTz), q =√

k20 − (k2Tx + k2Tz), A = 2π~l·(~l·−~kT ·) y

B = 4πk2T−k20

.

Si definimos el vector ~C ≡ 14πǫ0

∇× (∇× ~P0 I) entonces vemos que

~C =1

4πǫ0

(

~Clei~l·~r + ~CT ei

~kT ·~r)

. (3.206)

Esta ecuacion nos proporciona los campos radiados por todos los dipolos del medio paray > 0. Finalmente llegamos al resultado de que

(

~E′(~r) +2

3ǫ0~P0 −

1

4πǫ0~CT)

ei~kT ·~r = ~Einc(~r) +

1

4πǫ0~Clei

~l·~r. (3.207)

La consistencia de la ecuacion (3.207) requiere que ambos miembros de la ecuacion se anulensimultaneamente. Los resultados que se infieren de este requerimiento son muy interesantes:

(a) La consistencia del lado derecho de la ecuacion (3.207) requiere necesariamente que secumpla la condicion ~l = ~k0, por lo que entonces ha de ser que q = k0.

(b) Para las componentes Y y Z del campo electrico dado en la parte izquierda de la ecuacion(3.207) dentro del medio ha de verificarse que

E′0z +

2

3

(ξ23E

′0y + ξ33E

′0z

)− 1

4πǫ0CTz = 0, (3.208)

y

E′0y +

2

3

(ξ22E

′0y + ξ23E

′0z

)= 0. (3.209)

Por otra parte la onda dentro del medio tiene un numero de ondas tal que cumple larelacion kT = kTy = nβk0, donde nβ es el ındice de refraccion que experimenta la onda.De modo que las ecuaciones (3.208) y (3.209) pueden reescribirse como

[

2

3−

n2βn2β − 1

]

ξ23E′0y +

[

1 +

(

2

3−

n2βn2β − 1

)

ξ33

]

E′0z = 0, (3.210)

y[

1 +2

3ξ22

]

E′0y +

[2

3ξ22

]

E′0z = 0. (3.211)

Para que existan soluciones no nulas para el campo electrico el determinante que podemosformar a partir de las ecuaciones (3.210) y (3.211) ha de ser nulo, lo cual conduce, trasunos calculos tediosos, a que se ha de verificar la relacion

n2β − 1

n2β + 2=

29

(ξ22ξ33 − ξ223

)+ ξ33

3

1 + 23ξ22

. (3.212)

32Puede consultarse por ejemplo el texto debido a N. Levinson y R. M. Redheffer, Curso de variable compleja,(Reverte, Barcelona, 1990).

Page 134: Optica Fisica I Problemas Resueltos

126 Problemas de Optica Fısica I

La ecuacion (3.212) es una relacion entre el ındice de refraccion que experimenta la ondadentro del medio y los parametros microscopicos que caracterizan el material, ξ‖ y ξ⊥,junto con el angulo que forma el eje optico con el eje Z. La peculiaridad de la ecuacion(3.212) estriba justamente en que aparezca en la expresion del ındice de refraccion elangulo β: si el material fuese isotropo esta dependencia no aparece. Por otro lado laexpresion (3.212) esta puesta en la forma de la ecuacion de Lorentz-Lorenz: similar a laexpresion (III-15) para medios isotropos. En efecto si β = 0 entonces la ecuacion (3.212)se reduce a

n2e − 1

n2e + 2=

ξ‖3, (3.213)

mientras que si β = π/2 entonces la relacion (3.212) se reduce a

n2o − 1

n2o + 2=

ξ⊥3. (3.214)

En este sentido a no y ne les denominaremos ındices de refraccion de la onda ordinaria

y extraordinaria respectivamente.

(c) Para la componente X dado en la parte izquierda de la ecuacion (3.207) obtenemos lasiguiente relacion

E′0x +

2

3ǫ0ξ⊥E

′0x −

1

4πǫ0CTx = 0. (3.215)

Siguiendo un procedimiento analogo al anterior, llegamos a obtener una relacion entreel ındice de refraccion que experimenta la componente X de la onda y los parametrosmicroscopicos dada por

n2o − 1

n2o + 2=

ξ⊥3, (3.216)

que de nuevo esta escrita en la forma de Lorentz-Lorenz.

Es preciso notar que de todo lo anterior se infiere que si la frecuencia del campo incidenteesta alejada de las resonancias electronicas, esto es, ω1 ≪ ω y ω3 ≪ ω, el medio materialsera esencialmente transparente, por lo que no exhibira atenuacion apreciable la ondadentro del medio al propagarse.

(d) Lo que expresa la parte derecha de la ecuacion ecuacion (3.207) es que parte de las ondasradiadas por los atomos se invierte en cancelar la onda incidente, de ahı que se habledel teorema de extincion. A partir de la parte derecha de la citada ecuacion podemosdeterminar las amplitudes de los campos locales que vienen dadas por

E′0x = 2(no − 1)

1

ξ⊥Einc

0x , (3.217)

E′0y = −

23ξ23

1 + 23ξ22

2(nβ − 1)(n2β + 2)

3(n2β − 1)Einc

0z , (3.218)

E′0z =

2(nβ − 1)(n2β + 2)

3(n2β − 1)Einc

0z . (3.219)

Las ecuaciones (3.217)-(3.219) nos van a permitir determinar las amplitudes de las ondasrefractadas. Para ello necesitamos determinar el campo macroscopico, que difiere del campo

Page 135: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 127

local previamente determinado. Recordemos que los atomos o moleculas que estan cerca deuno de ellos estan polarizados como consecuencia de los campos presentes, de manera queel campo electrico que actua sobre un atomo es la suma del campo macroscopico, ( ~EM ),y del campo interno, ( ~Ei). El campo interno puede estimarse33 computando la diferenciaentre el campo debido a los atomos proximos menos el campo debido a aquellos que estansuficientemente alejados; estos ultimos pueden considerarse como el campo debido a uncontinuo con una polarizacon ~P . Por lo tanto el campo interno esta dado por

~Ei =1

3ǫ0~P + ~Eprox. (3.220)

El computo de ~Eprox requiere un conocimiento detallado de las distancias inter-atomicas

o inter-moleculares. Como una primera aproximacion vamos a considerar que ~Eprox ≈ ~0.Teniendo en cuenta las consideraciones previamente enunciadas llegamos a que se satisface lasiguiente ecuacion

E ′x = EM

x +1

3ǫ0Px,

E ′y = EM

y +1

3ǫ0Py, (3.221)

E ′z = EM

z +1

3ǫ0Pz.

Si tenemos en cuenta que Px = ǫ0ξ⊥E ′x, el campo macroscopico para la onda ordinaria vendra

dado por

EMx =

2

no + 1Einc

0x ei(k0noy−ωt), (3.222)

mientras que para la onda extraordinaria se obtiene

EMy = −2

9

ξ23(n2β + 2)

(nβ + 1)(1 + 2

3ξ22)Einc

0z ei(k0nβy−ωt), (3.223)

EMz =

2

nβ + 1Einc

0z ei(k0nβy−ωt). (3.224)

Lo novedoso de la onda extraordinaria estriba en el hecho de que aunque la onda incidentetiene componente Z, dentro del medio se establece una onda que tiene componente en ladireccion del eje Y .

Nos falta para completar este esquema, determinar la induccion magnetica que viene dadapor (3.186). De hecho siguiendo un procedimiento similar al anteriormente llevado a cabo sellega a que la ecuacion (3.186) puede reescribirse como

~B′(~r, t) = ~Binc(~r, t) +µ04π

∇×Σ∫∫∫

σ

·~P (~r ′, t+R/c)

RdV ′ =

~Binc(~r, t)−ik0

4πǫ0ce−iωt∇×

Σ∫∫∫

σ

~P0ei~kT ·~r ′ eik0R

RdV ′. (3.225)

33Vease por ejemplo el texto debido a J. D. Jackson, opt. cit.

Page 136: Optica Fisica I Problemas Resueltos

128 Problemas de Optica Fısica I

Evidentemente la integral que aparece en la ecuacion (3.225) es la que previamente hemosdeterminado, de manera que el campo de induccion magnetica radiado por los atomos delmedio esta dado por

~K = − ik04πǫ0c

∇×[

~P0 I]

, (3.226)

o bien

~K = ~Klei~l·~r + ~KT e

i~kT ·~r. (3.227)

En el caso que nos ocupa ahora, la autoconsistencia en la ecuacion (3.225) requiere que

( ~B ′ − ~KT )ei~kT ·~r = ~Binc + ~Kle

i~l·~r. (3.228)

El lado derecho de la ecuacion (3.228) expresa el hecho de la cancelacion del campo deinduccion magnetica incidente. Por lo tanto el campo local magnetico vendra dado por

H ′x =

Bx

µ0=

1

cµ0

2nβnβ + 1

Einc0z e

i(k0nβy−ωt), (3.229)

H ′z =

Bz

µ0= − 1

cµ0

2nono + 1

Einc0x e

i(k0noy−ωt), (3.230)

donde hemos considerado que el medio es no magnetico, o en otras palabras que ~M = ~0, porlo tanto el campo local magnetico coincide con el campo magnetico macroscopico.

Vamos a determinar las direcciones de propagacion de la energıa dentro del medio material,para lo cual tenemos que determinar los correspondientes vectores de Poynting dados por~P = R

(

~E)

×R(

~H)

. De este modo para la onda ordinaria se tendra

~Po = cǫ04no

(no + 1)2|Einc

0x |2 cos2 (k0noy − ωt) , (3.231)

mientras que para la onda extraordinaria resulta

~Pe = cǫ04nβ

(nβ + 1)2|Einc

0z |2(

− 2

9

ξ23(n2β + 2)

(nβ + 1)(1 + 2

3ξ22) k

)

cos2 (k0nβy − ωt) . (3.232)

Cabe destacar de lo anterior que aunque en ambos casos los frentes de ondas son planos y sepropagan en la direccion del eje Y , sin embargo la direccion de propagacion de la energıa enel caso de la onda extraordinaria no coincide con la direccion de propagacion de los frentes deonda, cosa que sı le ocurre a la onda ordinaria. De ahı que la onda ordinaria sea transversal,mientras que la onda extraordinaria no lo sea o, lo que es lo mismo, ~kT 6⊥ ~Ee, donde ~Ee =(0, EM

y , EMz ).

Estos resultados cabıa esperarlos teniendo en cuenta la discusion inicial de este problema.Cabe notar adicionalmente que del resultado del teorema de extincion se infieren tambien loscoeficientes de Fresnel que dan cuenta de las relaciones en amplitud de los campos refractadosrespecto al campo incidente. Asimismo a partir de las ecuaciones (3.231) y (3.231) se infierenelementalmente la transmitancia para la onda ordinaria, To, y extraordinaria, Te, que resultan

To =4no

(1 + no)2, (3.233)

Te =4nβ

(1 + nβ)2. (3.234)

Page 137: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 129

Mientras que en un medio isotropo en condiciones de incidencia normal la transmitanciapara la componente paralela y perpendicular al plano de incidencia son iguales, en un medioanisotropo esto no ocurre, salvo en el caso de que β = π/2.

A continuacion vamos a derivar las expresiones para los campos reflejados. Para ello bastatener en cuenta que estos campos se propagan en el semiespacio y < 0, por lo que ahora setendra

~E′(~r, t) = ~Einc(~r, t) +1

4πǫ0∇×∇×

Σ∫∫∫

σ

[

~P (~r ′, t−R/c)/R]

dV ′, (3.235)

donde ahora conocemos el valor de ~P dentro del medio material (para y > 0). La ultimaparte de la ecuacion (3.235) nos proporciona las ondas reflejadas

~ER = ~ER0 e

i~kR·~r =1

4πǫ0∇×∇×

[

~P0

−I

]

. (3.236)

Notese que ahora el valor de la integral−I difiere del previamente calculado en (3.205), puesto

que el valor de la ecuacion (3.204) ha de calcularse para y < 0. Si empleamos las tecnicas deintegracion en el plano complejo, se llega finalmente a que

−I =

q(kTy + q)ei(kTxx−qy+kTzz), (3.237)

por lo que ~kR = (0,−k0, 0), donde se han tenido en cuenta los resultados anteriormenteobtenidos. Las amplitudes de las ondas se obtienen realizando las operaciones indicadas en(3.236) y finalmente se llega a que

ERx =

no − 1

no + 1Einc

0x ei(−k0y−ωt), (3.238)

ERz =

nβ − 1

nβ + 1Einc

0z ei(−k0y−ωt). (3.239)

El campo magnetico se evalua siguiendo un procedimiento similar y se obtiene finalmente

HRx = −cǫ0

nβ − 1

nβ + 1Einc

0z ei(−k0y−ωt), (3.240)

HRz = cǫ0

no − 1

no + 1Einc

0x ei(−k0y−ωt). (3.241)

De manera que los vectores de Poynting de las ondas reflejadas se obtienen inmediatamente

~Po = − cǫ0(no − 1)2

(no + 1)2|Einc

0x |2 cos2 (k0y + ωt) , (3.242)

~Pe = − cǫ0(nβ − 1)2

(nβ + 1)2|Einc

0z |2 cos2 (k0y + ωt) . (3.243)

De nuevo se recuperan los resultados relativos a los coeficientes de Fresnel y las reflectanciaspara ambas componentes del campo incidente.

Del analisis anterior obtenemos los mismos resultados que en el caso de que empleemosla teorıa macroscopica34. Es bien conocido por otro lado que empleando el principio de

34En la que se emplea el denominado vector desplazamiento, ~D, en el que se subsume el contenido microscopico dela interaccion en el vector polarizacion.

Page 138: Optica Fisica I Problemas Resueltos

130 Problemas de Optica Fısica I

Huygens modificado con la idea de la interferencia de las ondas esfericas secundarias, sepuede calcular la posicion en el espacio de una perturbacion en un instante de tiempo sise conoce la perturbacion en un instante anterior. La teorıa de la luz debida a Huygenspermite explicar la doble refraccion considerando que las ondas secundarias son elipsoidalesen un medio anisotropo, aunque este modelo no considera en ningun momento que las fuentesreales de radiacion son las entidades atomicas.

Medios conductores

3.33 Una onda plana linealmente polarizada de longitud de onda λ = 633 nm ycuya intensidad es de 1mW/cm2 incide normalmente sobre una lamina cuyoespesor es de 1 cm. La lamina es de un material isotropo absorbente tal quela onda experimenta un ındice de refraccion de n = 1.6− 0.000025 i. Determinarla intensidad de la onda a la salida.La onda a la entrada vendra dada por

Einc = E0ei(ωt− 2π

λx), (3.244)

donde hemos elegido el eje X en la direccion de propagacion, y λ es la longitud de onda enel vacıo de la onda. Dentro del medio el campo vendra dado por

Ede = t(1)E0ei(ωt− 2π

λnx), (3.245)

siendo n el ındice de refraccion que experimenta la onda dentro del medio. Finalmente laonda a la salida podra computarse como

Esal = t(1)t(2)E0e− 2π

λnid0ei(ωt−

2πλnrx), (3.246)

donde nr y ni son la parte real e imaginaria del ındice de refraccion respectivamente y d0 esel espesor del material35. De esta manera la irradiancia a la salida sera

Isal =cǫ02E2

0

∣∣∣t(1)t(2)

∣∣∣

2e−

4πλnid0 = Iinc

∣∣∣t(1)t(2)

∣∣∣

2e−

4πλnid0 . (3.247)

Realizando los calculos resulta finalmente Isal = 6.27×10−3 mW/cm2. Vemos que la irradianciaa la salida se ha reducido considerablemente.

3.34 Se recubre un vidrio BK7 (nv = 1.5) con una capa delgada de metal cuyoındice de refraccion viene dado por n = 3.6− 1.25i. Dibujar la transmitancia delvidrio recubierto en funcion del espesor de la capa de metal. Sabiendo que lalongitud de onda de la radiacion incidente es λ0 = 500 nm estimar el espesorque debe tener la capa de metal para que se transmita una milesima parte dela irradiancia incidente.

Consideremos la onda incidente de la forma

Eincx (z, t) = E0e

i(ωt− 2πλ0

k·~r), (3.248)

35En la resolucion ignoramos las multiples reflexiones que se producen en la lamina.

Page 139: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 131

de manera que la onda dentro del medio vendra dada por

Emedx (z, t) = t(1)E0e

i(ωt− 2πnλ0

k·~r)

= t(1)E0e− 2π

λ01.25z

e(ωt− 2π3.6

λ0z), (3.249)

donde t(1) es el coeficiente de transmitancia en amplitud de la interfase aire-metal. Sillamamos t(2) al coeficiente de transmitancia en amplitud de la interfase metal-BK7 el campoelectrico dentro del vidrio BK7 sera

Emedx (z, t) = t(1)t(2)E0e

− 2πλ0

1.25ze(ωt− 2π1.5

λ0z). (3.250)

De manera que la irradiancia de la onda dentro del vidrio BK7 vendra dada por

Imed(z) ∝∣∣∣∣

4n

(1 + n)(n+ nv)

∣∣∣∣

2

E20e

− 4πλ0

1.25z, (3.251)

y la transmitancia36 sera

T =Imed

Iinc=

∣∣∣∣

4n

(1 + n)(n+ nv)

∣∣∣∣

2

e− 4π

λ01.25z

. (3.252)

Si dibujamos la curva correspondiente a la transmitancia dada por (3.252) en funcion delespesor de la capa vemos que se trata de una exponencial decreciente. En la Figura 3.28 semuestra esta curva. Si la intensidad se reduce a una milesima de la incidente, se tendra que

0 1 2

z (m) x 10-7

T

30

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 3.28: Transmitancia de una capa de metal en funcion del espesor z depositada sobre el vidrioBK7.

11000 =

∣∣∣

4n(1+n)(n+nv)

∣∣∣ e

− 4πλ0

1.25z0 , de donde se tiene que z0 = 0.204µm.

36En la resolucion del problema ignoramos los efectos de las reflexiones multiples en la capa delgada de metal.

Page 140: Optica Fisica I Problemas Resueltos

132 Problemas de Optica Fısica I

3.35 Se quiere comunicar la tierra con la luna utilizando senales electromagneticas.Si la densidad electronica de la ionosfera es N = 105 cm−3, calcular la frecuenciamaxima que se puede utilizar. ¿Se transmitira la onda de la frecuenciacalculada mas arriba a traves de una fina capa de metal de 1 mm de espesor sila densidad electronica de este es de N = 1022 m−3.El ındice de refraccion de un material dielectrico con una sola resonancia se puede poner como

n2(ω) = 1 +Ne2

meǫ0

1

ω20 − ω2 + iγω

. (3.253)

En el caso de un metal o de un medio conductor, en general, podremos suponer en primeraaproximacion que los electrones pueden moverse sobre largas distancias sin colisionar y ademasno se encuentran ligados: son electrones cuasilibres. Por ello podremos suponer en la expresionanterior que ω0 = 0; de esta manera la expresion (3.253) se puede poner como

n2(ω) = 1 +Ne2

meǫ0

1

−(ω)2= 1−

ω2p

ω2. (3.254)

donde

ωp =

Ne2

meǫ0, (3.255)

se conoce con el nombre de frecuencia de plasma. De (3.255) se sigue que si ω > ωp el ındicede refraccion es positivo y la onda podra propagarse en el medio conductor. En caso contrario,esto es, si ω < ωp, el ındice de refraccion es imaginario puro y no se podra propagar la onda.

En el caso de la ionosfera, deberemos calcular en primer lugar la frecuencia de plasma. Eneste caso, N = 1011m−3, con lo que

ωp =

1011(1.6 × 10−19)2

8.8 × 10−12 × 9.1 × 10−31= 1.7× 107 rad/s. (3.256)

Este valor representa la frecuencia mınima que se puede propagar a traves de la ionosfera.

En el caso de un metal, al ser mucho mas denso, la frecuencia de plasma sera tambien muchomas elevada. En efecto, para N = 1022m−3, la frecuencia de plasma vale

ωp =

1022(×1.6 × 10−19)2

8.8× 10−12 × 9.1× 10−31= 5.6 × 1012rad/s . (3.257)

Ası pues, la frecuencia calculada anteriormente es mucho menor que la correspondiente a λ0,por lo que esta ultima no se propagara. Observese que la frecuencia calculada pertenece a laregion del infrarrojo lo que explica la fuerte reflectancia de los metales en el infrarrojo y enel visible.

Page 141: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 133

PROBLEMAS PROPUESTOS

Teorıa clasica de la radiacion

3.1 Escribir la expresion de una onda plana que se propaga en la direccion del eje X y vibra enla direccion del eje Z, cuya frecuencia es 1015 Hz y de amplitud 0.3 V/m.

(a) Determinar el campo magnetico, ~H.

(b) Determinar la irradiancia, I.

(c) Este haz incide sobre un atomo que esta colocado en el origen de coordenadas. Suponerque el electron mas externo es afectado por el campo incidente. Determinar en laregion de ondas como es el campo radiado por el atomo en aproximacion dipolar enlas direcciones X, Y y Z, en un punto que dista R del origen de coordenadas.

(d) Suponga ahora que el campo incidente sobre el atomo esta circularmente polarizado.Determinar el estado de polarizacion del campo electrico radiado por el atomo en ladireccion del eje Z.

(e) Suponga que la frecuencia del campo incidente es de 4.5× 1015 rad/s, que el atomo tieneuna frecuencia de resonancia para λ0 = 200 nm y que la amplitud del campo incidentees de 103 V/m. Determine la potencia media emitida por el atomo, Pm, cuando sobreel incide este campo. Suponga que puede estimar la vida media del atomo mediante la

expresion γ = e2ω2o

6πǫ0mec3.

SOL: (a) ~H = −cǫ0E0 cos(ωt− kx).(b) I = 1.19 × 10−4 Wm−2.

(c) Ex = ω2p04πǫ0c2R

cos(ωt− kR)k. Ey = ω2p04πǫ0c2R

cos(ωt− kR)k y Ez = 0.

(d) Ez =ω2p0y

4πǫ0c2Rcos(ωt− kR)k.

(e) Pm = 4.85 × 10−21 W.

3.2 Una onda electromagnetica plana esta especificada (en el sistema MKS) por la siguienteexpresion

Ex = 102 cos[π(3× 106z − 9× 1014t)

], (V/m) ,

Ey = 0,

Ez = 0.

(a) Determinar la longitud de onda, frecuencia y velocidad de fase.

(b) Calcular el vector de Poynting y la irradiancia de la onda.

(c) Dibujar en un sistema de ejes, la variacion espacial del campo electrico en un instantefijo indicando los puntos donde la amplitud del campo se hace nula. Calcular la posicionde estos puntos respecto del origen.

Indicar las unidades de todas las magnitudes calculadas.

SOL: (a) λ = 0.666µm, ν = 4.5× 1014 Hz, vf = 3× 108 m/s.

(b) ~P = cǫ02 1002k (Wm−2). I = 13.275 Wm−2.

Page 142: Optica Fisica I Problemas Resueltos

134 Problemas de Optica Fısica I

3.3 Un haz de luz se propaga a traves de un medio de ındice n = 1.5. Si la amplitud del hazdentro del medio es de 100 V/m. ¿cual es la irradiancia I de la onda? (ǫ0 = 8.85 × 10−12

F/m).

SOL: I = 19.91 Wm−2.

3.4 Un medio material denso y homogeneo esta constituido por osciladores atomicos cuya frecuenciade resonancia es ω0. Una onda electromagnetica armonica de frecuencia ω ≪ ω0 incideperpendicularmente sobre este medio material. Indique cual de las siguientes afirmaciones esverdadera:

(a) El medio es transparente para la radiacion incidente y la onda esparcida por el mediomaterial en la direccion de incidencia oscila en fase con la onda incidente.

(b) El medio es opaco para la radiacion incidente y la onda esparcida por el medio materialen la direccion de incidencia oscila en fase con la onda incidente.

(c) El medio es transparente para la radiacion incidente y la onda esparcida por el mediomaterial en la direccion de incidencia no oscila en fase con la onda incidente.

(d) El medio es opaco para la radiacion incidente y la onda esparcida por el medio materialen la direccion de incidencia oscila en oposicion de fase con la onda incidente.

(e) El medio es transparente para la radiacion incidente y la onda esparcida por el mediomaterial en la direccion de incidencia oscila en oposicion de fase con la onda incidente.

SOL: La solucion correcta es la (c).

3.5 La expresion de una onda electromagnetica plana linealmente polarizada que se propaga enel vacıo a lo largo del eje X y cuyo campo vibra a 35o del eje Z, esta dada por la expresion:

(a) ~E = E0 cos(35o) cos(kz − ωt)k + E0 sin(35

o) cos(kz − ωt) .

(b) ~E = E0 cos(35o) cos(kx− ωt)k + E0 sin(35

o) cos(kx− ωt) .

(c) ~E = E0 sin(35o) cos(kx− ωt)k + E0 cos(35

o) cos(kx− ωt) .

(d) ~E = E0 cos(35o) cos(kx− ωt) +E0 sin(35

o) cos(kx− ωt)k .

(e) ~E = E0 cos(35o) cos(kz − ωt)k + E0 sin(35

o) cos(kz − ωt) .

(f) ~E = E0 sin(35o) cos(kz − ωt)k +E0 cos(35

o) cos(kz − ωt) .

SOL: La solucion correcta es la (b).

3.6 Considere la siguiente expresion que representa una onda electromagnetica.

~E = E0 cos(kz − ωt)ı−E0 cos(kz − ωt) (V/m).

Indicar cual es su estado de polarizacion:

(a) La onda esta circularmente polarizada.

(b) La onda esta linealmente polarizada a −45o del eje X.

(c) La onda esta elıpticamente polarizada.

(d) La onda corresponde a luz natural.

(e) La onda esta linealmente polarizada a +45o del eje X.

(f) La onda esta despolarizada.

Page 143: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 135

SOL: La solucion correcta es la (b).

3.7 Se dispone de una celdilla cerrada de 10 cm3 de volumen que se rellena de vapor de sodio. Lapresion de la celdilla es de 101.3 Pascales y la temperatura es de 70o C. Suponga que cada unode los atomos lo puede considerar como un atomo de Lorentz en el que el momento dipolar esp0 = 8×10−30 C/m que emite radiacion centrada en 589 nm. Si la celdilla emite en promedio1 W de potencia radiante, determinar la potencia media emitida por cada atomo, P 1

m, asıcomo el numero de atomos que emiten simultaneamente, Na. Obtener la fraccion de atomosque emiten con respecto al total de atomos en la celdilla, Fe. Considere en todo momentoque el gas puede tratarse como ideal y enumere las aproximaciones realizadas.

SOL: P 1m = 1.4899 × 10−12 W. Na = 6.71 × 1011 y Fe = 3.13 × 10−6.

Procesos de esparcimiento y absorcion

3.8 Un gas constituido por atomos distribuidos de forma desordenada y con una densidad talque la distancia media entre atomos es de ed1 ≈ 0.1 mm se ilumina con una onda planamonocromatica linealmente polarizada. La longitud de onda de la radiacion es λ = 500 nm,se propaga en la direccion positiva del eje Y y su direccion de polarizacion es paralela al ejeZ (ver Figura 3.29). La radiacion que emerge del gas se observa en los puntos A, B, C y Dsituados en los planos focales de dos lentes de focales f ′1 y f

′2 cuyos ejes opticos estan situados

paralela y perpendicularmente a la direccion del haz incidente. Determine a cuales de estospuntos llega luz procedente del gas. Responda a la misma pregunta si la distancia mediaentre atomos es de ed2 ≈ 0.01µm. Justificar las respuestas elegidas.

GAS

RP

Z

Z

Z

Y

Y

Y

X

Ei

F’2

A

B

F’1CD

Figura 3.29: Esquema del dispositivo considerado para observar el esparcimiento lateral.

Page 144: Optica Fisica I Problemas Resueltos

136 Problemas de Optica Fısica I

SOL: (a) Caso ed1: A, B y D. (b) Caso ed2: A.

3.9 Se sabe que en el proceso de desarrollo de una catarata la agudeza visual del sujeto disminuyecomo consecuencia del esparcimiento de la radiacion. En la Figura 3.30 se muestran losespectros de transmitancia de varios filtros en funcion de la longitud de onda. Indicar en lapropia figura cual de los filtros elegirıa con objeto de reducir el efecto del esparcimiento.

T(%) (B)

400 800

10

T(%) (A)

l (nm) l (nm) l (nm)

l (nm)l (nm)

400 800

10

T(%) (C)

400 800

10

T(%) (E)

400 800

10

T(%) (D)

400 800

10

Figura 3.30: Transmitancia espectral de los filtros considerados.

SOL: La solucion correcta es (B).

3.10 Una lente oftalmica de material organico ha sido dopada en su proceso de fabricacion conunas moleculas de colorante que presentan una resonancia en el visible. El ındice de refracciondel material resultante se muestra en la Figura 3.31 y el espesor medio de la lente es de 2mm.

(a) ¿De que color aparecera la luz transmitida por la lente?

(b) Si esta lente la utiliza una persona que presenta una catarata incipiente, ¿podrıa mejorarel contraste de las imagnes que se forman en su retina? Razonar la respuesta teniendoen cuenta que la irradiancia emitida por un dipolo viene dada por

|〈~P〉| ∝ ω4

(ω2 − ω20)

2 + γ2ω2.

SOL: (a) De tonalidad amarillo-rojizo. (b) Mejora el contraste con el filtro.

3.11 En un prisma delgado fabricado con vidrio Crown, cuya frecuencia de resonancia esta enla region UVC del espectro, indicar que color sufrira mayor desviacion cuando se ilumina elprisma con un haz colimado de luz blanca. Suponer que la expresion del ındice de refraccionen funcion de la frecuencia esta dada por

n(ω) = 1 +Nq2

2meǫ0

1

ω20 − ω2 + iγω

.

Page 145: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 137

Para la fabricacion de vidrios de alto ındice (tipo flint), se introduce en el material oxidos deplomo. La adicion de estos oxidos introduce una nueva frecuencia de resonancia que esta enla region UVA, esto es, cerca del visible. Teniendo en cuenta lo anterior, indique cual de losdos vidrios suministra una mayor proteccion al ultravioleta.

SOL: (a) Mayor desviacion para radiaciones azules. (b) El vidrio flint.

3.12 La rodopsina es una sustancia que se encuentra en el segmento interno de un fotorreceptor.Se ha determinado que el ındice de refraccion para una concentracion de 3.5 × 10−3 moles/lde esta sustancia, viene dado por

n(ω) ≈ n0 +Nq2fs2n0meǫ0

1

ω20 − ω2 + iγω

,

donde n0 = 1.400, fs = 0.5, ω0 corresponde a una longitud de onda de 500 nm y γ =3.76 × 10−8 s.

(a) Determinar los valores de las longitudes de onda en los que se alcanza un maximo, λM ,y un mınimo, λm de la parte real del ındice de refraccion.

(b) Determinar la variacion de ındice de refraccion entre las longitudes de onda anteriormentecalculadas.

(c) Dibujar en una grafica la parte real e imaginaria del ındice de refraccion. Relacionela curva de absorcion con las propiedades de sensibilidad espectral de un observadorhumano.

SOL: (a) λM = 559 nm y λm = 456 nm. (b) ∆n = 8.4 × 10−4.

3.13 Dos cremas protectoras de la radiacion solar tienen los espectros de transmision que semuestran en la Figura 3.32. Indicar cual de ellas permite un bronceado mas intenso en lasmismas condiciones de exposicion a la luz solar.

w x 10 rad/s15

n

nI

nR

1.4

4.383.93 4.83

Figura 3.31: Indice de refraccion del material empleado para fabricar la lente.

Page 146: Optica Fisica I Problemas Resueltos

138 Problemas de Optica Fısica I

0.2

1.0

0.5

0.0

0.3 0.4

l m( m)T

0.5 0.6 0.7

0.2

1.0

0.5

0.0

0.3 0.4

l m( m)

T

0.5 0.6 0.7

(A)

(B)

Figura 3.32: Espectros de transmitancia de dos cremas bronceadoras.

SOL: La crema (A).

3.14 Es bien conocido que en el atardecer, el sol presenta una tonalidad rojiza. Indique cual delas siguientes afirmaciones es correcta:

(a) Las componentes del espectro visible de corta longitud de onda de la radiacion emitidapor el sol son fuertemente absorbidas por la atmosfera.

(b) La atmosfera es basicamente transparente a las radiaciones de corta longitud de ondadel espectro visible emitidas por el sol.

(c) Las componentes del espectro visible de larga longitud de onda son esparcidas debilmentepor la atmosfera.

(d) Las componentes del espectro visible correspondientes a la region de los azules sonesparcidas, pero las correspondientes a la region de los verdes y los rojos no son esparcidas.

SOL: La correcta es la (c).

Reflexion y refraccion en medios isotropos

3.15 El campo electrico de una onda plana armonica viene dado por la expresion

Ez = 10 cos[

π × 1015(

t− x

0.65 c

)]

(V/m).

(a) Determinar la direccion de propagacion de la onda.

Page 147: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 139

(b) La frecuencia y la longitud de onda.

(c) La velocidad de fase de la onda.

(d) La irradiancia promedio de la misma.

SOL: ~kp =π

3×0.65 × 108(1, 0, 0) (m−1).

ν = 12 × 1015 Hz y λ = 390 nm.

La velocidad de fase de la onda es vf = 1.95 × 108 m/s.La irradiancia promedio es I = cǫ0n

2 E20 = 0.204 (W/m2).

3.16 Una lente oftalmica esta hecha con un vidrio tal que para λ = 530 nm se tiene que n(λ) = 1.52.Determinar la fraccion de energıa que transmite la lente, T .

SOL: T = 0.917

3.17 Un haz plano de radiacion monocromatica despolarizada incide desde el aire sobre una laminaplano-paralela de vidrio de ındice 1.6. Razonar si la radiacion reflejada en la segunda cara dela lamina esta linealmente polarizada o no cuando el angulo de incidencia en la primera caraes de 57.99o.

SOL: En efecto: esto es ası dado que el angulo de incidencia es el angulo de polarizacion enla primera interfase. Teniendo en cuenta que en esas condiciones se verifica que θi+ θt =

π2 ,

se concluye que la afirmacion es correcta.

3.18 Considere un ojo reducido de las siguientes caracterısticas rc = 5.7 mm y n′ = 1.334. Seacopla a este ojo una lente de contacto tal que nl = 1.67. Indicar cual es la transmitancia, T ,al acoplar la lente de contacto al ojo cuando incide normalmente un haz de luz linealmentepolarizado en el plano de incidencia. Indique las hipotesis realizadas.

SOL: T = 0.9253 .

3.19 Considere un ojo reducido de las siguientes caracterısticas rc = 5.4 mm y n′ = 1.332. Sobreel incide una onda plana linealmente polarizada en el plano de incidencia cuya irradiancia es0.5 mW /cm2. Determine la irradiancia reflejada, Ir.

SOL: Ir ≈ 10µW/cm2.

3.20 Una onda plana linealmente polarizada incide sobre la superficie de separacion de dos mediosmateriales tales que r⊥ =

√0.13 y r‖ = 0.2. Determinar el azimut de la onda incidente, α,

para que la onda reflejada este linealmente polarizada a 45o del plano de incidencia.

SOL: α = 29.02o.

3.21 Considere unos prismaticos 60× 12 que se han disenado de forma que el objetivo y el ocularson lentes biconcava cuyos ındice es nob = 1.53 y noc = 1.42 para λ = 550 nm. Entre amboselementos se colocan dos prismas de porro tales que np = 1.65. Teniendo en cuenta incidencianormal sobre los elementos considerados y que en el interior de los prismas se produce reflexiontotal, estimar la transmitancia (T ) de este sistema optico.

SOL: T = 0.671.

3.22 Una onda plana linealmente polarizada (λ0 = 500 nm) en el plano de incidencia incide sobreun semicilindro de vidrio de radio R = 1 metro tal que n(λ0) = 1.45, que se apoya sobre elsuelo. Determinar la distancia, x, desde el centro del cilindro hasta una franja oscura paralelaa la generatriz del cilindro que se observa en el suelo. Indicar los motivos por los que apareceesta franja oscura.

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140 Problemas de Optica Fısica I

SOL: x = 2.32 metros.

3.23 La irradiancia maxima que puede recibir la cornea para no producir danos oculares esI = 0.003 Wcm−2. Si sobre un ojo incide un haz colimado procedente de un puntero lasercuyo haz tiene una extension radial de 2 mm, determinar cual ha de ser la potencia maxima,Pmax, de ese laser para que no resulte peligroso. Si tras refractarse en el ojo el haz anteriorse concentra en un area del orden de 10−11 m2, determinar la irradiancia en la retina, Iret,considerando un modelo de ojo reducido con nojo = 1.37 y tener en cuenta las perdidas porreflexion.

SOL: Pmax = 3.8 × 10−4 W. Iret = 37.09 × 106 W m−2.

3.24 Un haz laser colimado de potencia P = 10 mW y longitud de onda λ0 = 632.8 nm, iluminaun sistema formado por dos lentes delgadas convergentes que estan hechas del mismo materialpara el que n(λ0) = 1.58. Ambas lentes constituyen un sistema afocal. La primera lente tieneuna focal de f ′1 = 200 mm y la segunda f ′2 = 10 mm. El haz laser ilumina toda la seccionde la lente de entrada que tiene un diametro de 20 mm. Teniendo en cuenta las perdidas porreflexion en las lentes, determinar la irradiancia del haz transmitido, It.

SOL: It = 1.035 × 104 W m−2.

3.25 Sobre una lamina plano-paralela de un material que tiene una densidad optica D = 3 (dondeD = − log T ) incide un haz de luz cuya irradiancia es 1 mWm−2. Determinar la irradianciadel haz transmitido, It.

SOL: It = 1× 10−6 W m−2.

3.26 Un haz de luz circularmente polarizado que se propaga en la direccion del eje Z incideperpendicularmente desde el aire sobre un conjunto de tres laminas superpuestas de ındicesn1 = 1.3, n2 = 1.7 y n3 = 1.4. Determine las amplitudes de las componentes del campoelectrico emergente, Ex y Ey.

SOL: Ex = 0.9643E0 cos(ωt− kz) y Ey = 0.9643E0 cos(ωt− kz + π/2).

3.27 Un observador mira a traves de un polarizador lineal la luz del sol reflejada por el aguade una piscina (n ≈ 1.33) bajo un angulo θp con la normal a la superficie del agua, quecoincide con el angulo de polarizacion. El polarizador lo situa de tal manera que el haz incidesobre el perpendicularmente. Calcular el angulo θ que debe formar el eje de transmision delpolarizador con la vertical para que la irradiancia transmitida se reduzca a un 50% de lairradiancia reflejada en el agua.

SOL: θ = 45o.

3.28 Una onda electromagnetica plana de frecuencia ν = 1014 Hz y amplitud E0 = 5 V/m, quevibra en la direccion del eje Y , incide perpendicularmente sobre una lamina de caras plano-paralelas y de ındice de refraccion n = 1.62 (ver Figura 3.33). Escribir la expresion del campoelectrico en los puntos A y B en el mismo instante de tiempo, teniendo en cuenta las perdidaspor reflexion y considerando que el espesor de la lamina es de 1 mm. No tenga en cuenta losefectos de difraccion por los bordes de la lamina.

SOL: ~EB = 5cos(2π × 1014t) (V/m) y ~EA = 4.712 cos(2π × 1014t+ 1.33π) (V/m).

Page 149: Optica Fisica I Problemas Resueltos

Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 141

Y

X

d

B

A

Figura 3.33: Esquema de la onda incidente sobre la lamina y puntos de observacion A y B.

Medios anisotropos

3.29 Se ha determinado con el auxilio de un osciloscopio el tiempo entre dos mınimos consecutivosde intensidad al hacer girar el eje de un motor que lleva acoplado un polarizador linealresultando ser 40 ± 2 milisegundos. Delante del detector de radiacion se ha colocado unpolarizador lineal. Determinar la frecuencia angular a la que gira el eje, Ω, ası como el errorque se comete, ∆Ω.

SOL: Ω = 79 rad s−1 y ∆Ω = 4 rad s−1.

3.30 Un haz de luz despolarizado cuya irradiancia es de 1 mW/cm2 incide sobre un polarizadorcuyo eje de transmision esta a +30o de la vertical. Tras el se coloca un segundo polarizadorcuyo eje de transmision esta a +45o de la vertical. Considerando que los polarizadores son“perfectos”, en el sentido de que despreciamos la radiacion reflejada, determine la irradianciaque emerge de este sistema, Ie.

SOL: Ie ≈ 0.47 mW/cm2.

3.31 Una onda plana linealmente polarizada que se propaga en la direccion del eje Z, de amplitud12 V/m y longitud de onda λ0 = 547 nm, incide perpendicularmente sobre una laminaretardadora λ/8. Los ejes neutros de la lamina estan orientados en las direcciones X e Yde un sistema de ejes cartesiano. Escribir la expresion de una onda incidente que emergeralinealmente polarizada tras atravesar la lamina.

SOL: Ex = 12 cos(ωt− kz), Ey = Ez = 0.

3.32 El celo es un material birrefringente con dos lıneas neutras perpendiculares entre sı. Los

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142 Problemas de Optica Fısica I

ındices de refraccion principales son no = 1.544 y ne = 1.553. La lamina de celo tiene unespesor de 1 mm. Esta lamina se coloca entre dos polarizadores cuyos ejes de transmision sonparalelos entre sı, de modo que el eje ordinario de la lamina esta a 45o del eje de transmision delprimer polarizador. El sistema es iluminado con luz blanca, y tras el segundo polarizador secoloca una red de difraccion. En una pantalla se observan que desaparecen algunas longitudesde onda entre 600 y 700 nm. Determine cuales son y a que se debe su desaparicion.

SOL: λ1 ≈ 667 nm y λ2 ≈ 620 nm.

3.33 En el plano focal objeto de una lente se coloca una fuente puntual de radiacion monocromatica(λ = 470 nm). La irradiancia del haz que emerge de la lente es de 1 mWm−2. Tras la lente secoloca un polarizador lineal ideal cuyo eje de transmision esta en la direccion vertical, y detrasde este se coloca otro polarizador similar cuyo eje de transmision esta colocado inicialmenteen la direccion horizontal (los polarizadores se dice que estan cruzados). Un observador miraen la direccion del eje optico. Si consideramos que la pupila del observador es de φo = 4 mmy que este observador esta completamente adaptado y que puede detectar un flujo luminosomınimo de Φum ≈ 10−14 lumenes que incide sobre su pupila, determinar cual es el mınimoangulo, αmin, que puede girarse el eje de transmision del segundo polarizador para que elobservador perciba radiacion procedente del sistema. Tenga en cuenta que V (470) = 0.09098.

SOL: αmin = 89.99o.

3.34 Se ilumina con un haz colimado monocromatico un sistema formado por dos polarizadorescuyos ejes de transmision son perpendiculares entre sı. Tras los polarizadores se coloca unapantalla sobre la que se realizan observaciones. Entre ambos polarizadores se coloca unmaterial A en una posicion fija y en la pantalla se observa que no aparece luz. ¿Se puedeconcluir que el material A es isotropo? ¿Que operaciones habrıa que realizar para confirmaro desmentir que el material es isotropo?

SOL: (a) No. (b) Habrıa que girar el material y analizar si aparece o no radiacion enla pantalla: si no aparece radiacion en la pantalla en ninguna posicion de giro podrıamosconcluir que efectivamente se trata de un material isotropo.

3.35 La luz natural procedente de un diodo LED (emisor cuasi-monocromatico) se hace pasar pordos polarizadores cuyos ejes de transmision son paralelos entre sı. Entre ambos polarizadoresse inserta una lamina de un cierto espesor y se observa que en una pantalla colocada tras elsegundo polarizador no aparece radiacion. ¿Se puede concluir que la lamina es de un materialanisotropo? En caso afirmativo ¿de que tipo de lamina se trata?

SOL: (a) Sı. (b) Se tratarıa de una lamina de media onda cuyas lıneas neutras estan a 45o

del eje de transmision de los polarizadores.

3.36 Se tiene una lamina plano-paralela de un material anisotropo uniaxico con sus caras paralelasal eje optico. Los ındices de refraccion en las direcciones de las lıneas neutras, que suponemosque son las direcciones OX y OY se muestran en la Figura 3.34.

(a) Si sobre el material incide una radiacion despolarizada de frecuencia ω1 que se propagaen la direccion del eje Z ¿que espesor mınimo debe de tener el material para que el hazemergente de la lamina este linealmente polarizado?NOTA: una onda se considerara extinguida cuando al pasar por el material, su irradiancia

se reduce a 1/1000 de la irradiancia incidente.

(b) ¿Para que banda de longitudes de onda actuarıa como un polarizador? Para el espesorque se ha determinado en el apartado anterior ¿se polarizarıan por igual todas lasfrecuencias?

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Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 143

(c) Si se ilumina con un haz colimado de luz blanca, indique de que color serıa vista lalamina por transmision.

w1=4.38 x 10 rad/s15

w1w2

w1w2

w2=3.67 x 10 rad/s15

w x 10 rad/s15

w x 10 rad/s15

w x 10 rad/s15w1

nIxnrx

nry

1.486

1.658

2.3 x 10-4

4.833.93

Figura 3.34: Curvas de dependencia de los ındices de refraccion en funcion de la frecuencia para la laminaconsiderada.

SOL: (a) e ≈ 1 mm.(b) La banda de absorcion es [390 , 479] nm.(c) La radiacion transmitida tendra un aspecto amarillo-rojizo.

3.37 Considere dos laminas de cuarto de onda y de media onda cuyas lıneas neutras son paralelasy fijas. Entre ambas se coloca un polarizador lineal que gira a una velocidad angular Ω. Sisobre este sistema incide un haz de luz linealmente polarizado a 45o con respecto a las lıneasneutras de las laminas y de irradiancia I0, determine el estado de polarizacion y la irradianciaemergente, Ie, despreciando las perdidas por reflexion en los diferentes elementos.

SOL: Polarizacion lineal y el plano de polarizacion gira con velocidad angular Ω. Ie = I0/2.

3.38 Un campo linealmente polarizado de amplitud E0 = 5 V/m que se propaga en la direccion deleje Y , incide sobre una lamina de media onda tal y como se indica en la Figura 3.35. Obtenerla expresion del campo que emerge tras la lamina y dibujar en el grafico la orientacion delcampo en los distintos puntos indicados, tomando como origen del eje Y la propia laminapara t = 0 segundos.

SOL: Esalx = 4.24 cos(ωt− kz) (V/m).

Esalz = −2.45 cos(ωt− kz) (V/m).

Medios conductores

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144 Problemas de Optica Fısica I

Z

X

Y

q

Einc

Líneas neutras

y= /4kp

y= /2kp

y= /kp

y=3 /2kp

y=0

Figura 3.35: Situacion considerada: el campo incidente vibra a 30o del eje X . Los ındices de refraccionde la lamina son nx = 1.334 y nz = 1.337.

3.39 Se tienen dos laminas de espesor 1 mm de dos materiales tales que n1 = 4.7−4i y n2 = 1.6−7ipara λ = 500 nm. Si ambas laminas se iluminan con una onda plana de la longitud de ondacitada en condiciones de incidencia normal, determinar cual de ellas transmite mas radiacion.

SOL: La lamina con ındice n1.

3.40 Para una radiacion de 500 nm, el ındice de refraccion que presenta el germanio es n =3.45−1.39i. Determinar la reflectancia bajo incidencia normal, R, de una lamina de germanioy el desfase de la onda reflejada respecto a la incidente, α, para la componente paralela alplano de incidencia.

SOL: R = 0.365. α = −12.23o.

3.41 Se ha depositado una capa de 28 nm de un metal sobre el casco de un astronauta. La partereal y la imaginaria del ındice de refraccion de dicho metal se muestran en la Figura 3.36.

(a) Justifique numericamente que la radiacion visible llega al ojo del astronauta pero no asıla radiacion infrarroja.

(b) ¿Pasarıa la radiacion visible en el caso de que la capa de metal fuera de 1 mm de espesor?

SOL: (a) Para λ = 500 nm, la transmitancia es T ≈ 0.75.Para λ = 900 nm, la transmitancia es T ≈ 0.101.(b) No, ya que para λ = 500 nm, la transmitancia es T ≈ 0.

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Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia 145

l x 10 m-9

nI

nR

1.0

2.0

4.0

6.0

400 500 600 700 800 900 1000

Figura 3.36: Parte real, nR (en continua), e imaginaria, nI (en discontinua), del ındice de refraccion deun metal en funcion de la longitud de onda.

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146 Problemas de Optica Fısica I

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