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Tesis de Posgrado

Operadores tensoriales deOperadores tensoriales deconcomitanciaconcomitancia

Schifini, Claudio Gabriel

1984

Tesis presentada para obtener el grado de Doctor en CienciasMatemáticas de la Universidad de Buenos Aires

Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la BibliotecaCentral Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe seracompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente.

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Cita tipo APA:

Schifini, Claudio Gabriel. (1984). Operadores tensoriales de concomitancia. Facultad deCiencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1828_Schifini.pdf

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Schifini, Claudio Gabriel. "Operadores tensoriales de concomitancia". Tesis de Doctor. Facultadde Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 1984.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1828_Schifini.pdf

Tesis 1828¿j.2

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Tema de Tesis

OPERADORES TENSORIALES DE CONCOMITANCIA

Autor

LIC.CLAUDIO GABRIEL SCHIFINI

Director de Tesis

DR.RICARDO J. NORIEGA

Lugar de Trabajo

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

TESIS PRESENTADA PARA OPTAR AL TITULO DE DOCTOR EN CIENCIAS

MATEMATICAS

4984-

AGRADECIMIENTOS

Al Dr.Ricardo J.Noriega, por su invalorable ayuda intelegtual y espiritual.A mi mujer, por su constante e incondicional soporte.

A mis hijos, por su inconsciente estimulo.

A mis padres y hermanos.

A la Sra.Silvia C.López, quien con gran dedicación y capacidad profesional realizó la mecanografia.Al Sr.Julio A.Corvalán.

Al Departamento de Matemática que me brindó el lugar detrabajo indispensable para la realización de esta tesis.

A los amigos y compañeros que me ayudaron y alentaronen estos años de trabajo.

INDICE

INTRODUCCION

PRELIMINARES

OPERADORES TENSORIALES DE CONCOMITANCIA

OPERADORES ESCALARES DE CONCOMITANCIA: APLICACIONES

TENSORES CONCOMITANTES DE UNA METRICA Y UN COVECTOR

EXPRESIONES DE EULER- LAGRANGE Y ECUACIONES DE CAMPO

5.I - EL TENSOR MOMENTO-ENERGIA Y LAS ECUACIONES DE

EINSTEIN-MAXWELL.

5.II- EL TENSOR MOMENTO-ENERGIAY LA ECUACION DE KLEIN­

GORDON.

APENDICE I: K-JETS

APENDICE II

INTRODUCCION

En el presente trabajo se han perseguido los siguientes dos

objetivos: por un lado, encontrar una formulación adecuada de la

clásica teoria de concomitantes introduciendo la noción de opera­

dor de concomitancia. Por otro lado, lograr nuevos resultados en

esta teoria y usarlos para obtener aplicaciones a la fisica-matemática;más precisamente para, mediante el uso de principios variacionales,

deducir ciertas ecuaciones de campode la fisica teórica.La noción intuitiva de los concomitantes tensoriales es senci­

lla de explicar en los casos elementales. Por ejemplo, si en una

variedad diferenciable Mntenemos un campovectorial X y una 1-forma

w, para cada carta local (x,U) de Mserá:

n _ a n

X = Z al . y w = z bi dx , en Ui=l 8x i:

Podemos considerar entonces la función LU2Uaim dada por:n n

LU(p) = Z al(p) bi(p) , v p E Ui=1

Es facil de verificar que si (%,Ü)es otra carta local en M

con U n Ü # m entonces LU/ con lo cual tenemosU

= LN InÜ U/U nÜ

definido un "escalar" sobre M, es decir una función L:M aim

Decimos que este escalar es concomitante del campo XU.

y de la 1-forma w sii existe una función inmzn mCR(operador esca­por L/U = L

lar de concomitancia) tal que para cada carta local (x,U) de Mes:

L(p) = F(al(p),...,an(P), bl(p),...,bn(p)) , v pesa

En este caso la función F está dada por:n

F(x1,...,xn,yl,..,yn) = _Zlxi yil:y es importante notar que la función F está definida independiente­mente de las cartas Locales de la variedad.

Un ejemplo clásico de concomitante es la conexión de Levi-Civita

de un espacio pseudo-Riemanniano. Si G es una pseudo-métrica sobre

una variedad M, para cada carta local (x,U) de M será:n . .

G = Z gi]. dxl a dxJi,j=1 '

Podemosformar entonces los simbolos de Christoffel Fïsz +ZRcomo:

i :1 is _ij -2 (gjs,k+ gks,j gjk,s)

(flMD

LQl

donde, por definición, gjslk = agjs/axk. Es sabido que las n3 funcio­

nes FÉk asi definidas son componentes de una conexión, la llamada

conexión de Levi-Civita. Es claro que la forma en que FÉk depende u

de los gij y de sus derivadas parciales es la mismacualquiera seala carta local de la variedad, así que nuevamente tenemos la noción

de concomitante. La función F correspondiente es en este caso mucho

más complicada de escribir pero se ve que sus "variables" son los

coeficientes gi y sus derivadas parciales. Esta aparición de lasjderivadas parciales es lo que hace natural trabajar en la teoríade jets para obtener una formalización adecuada.

En la Sección l se recuerdan los conceptos elementales de la

teoria de jets que serán necesarios en las subsiguientes secciones.

En la Sección 2 se definen los operadores tensoriales de conco­

mitancia. La idea básica es que la noción de concomitante se reduce

a la existencia de una cierta función F:JRnmfiRmtal que si se

reemplazan las variables de F por componentes de tensores de un tipo

fijo y sus derivadas parciales, entonces lo que resulta son componen­

tes tensoriales de un tipo fijo (Definición 2.6). A continuación se

definen las identidades de invariancia [15] que resultan ser herramien­

tas fundamentales para 1a determinación de los concomitantes.

En la Sección 3 se aplica la formalización indicada para obtener

teoremas particulares sobre escalares concomitantes. Se obtienen en

esta sección la forma general de: Los escalares concomitantes de un

campovectorial y una l-forma (Teorema3.3), los escalares concomitantes

de un tensor pseudométrico y de un campovectorial (Teorema 3.5), los

escalares concomitantes de un tensor pseudométrico, de un escalar

y de sus primeras derivadas (Teorema3.7), los escalares concomitantes

de un tensor pseudométrico y un tensor antisimétrico no singular (Teo­

rema 3.9), y los escalares concomitantes de un tensor pseudométrico y

una l-forma (Teorema 3.11).

En la Sección 4, una vez asentada la formalización de la teoría,

se recupera la notación clásica y se encuentran los tensores de tipo

(r,s) para r + s=<4 concomitantes de un tensor pseudométrico y una

l-forma (Teoremas 4.2, 4.3, 4.4 y 4.5).

La Sección 5, última sección, está dedicada a la aplicación a la

fisica-matemática de algunos de los resultados anteriores. Unade las

aplicaciones, no incluida aqui ya que pertenece a otro autor [2],consiste, a partir del Teorema4.5, en encontrar todos los Lagrangianos

concomitantes de un tensor métrico, una l-forma y sus derivadas parcia­

les.hasta cualquier orden, compatibles con las unidades fisicas en

cuestión (de longitud, de tiempo, de carga, etc.)[l]. Las aplicaciones

incluidas son dos y en ambas se demuestra que la elección habitual del

tensor momento-energia da lugar a las ecuaciones de Maxwell en la

teoria de Einstein-Maxwell (Teorema 5.2) y a la ecuación de Klein­

Gordon en el correspondiente caso (Teorema 5.3).

Con la intención de que este trabajo sea autocontenido para

una persona con nociones básicas de geometria diferencial, se desa­

rrolla en la Sección 6 (Apéndice I) la teoría de k-jets bosquejadaen la Sección 1.

Por último, se han relegado a la Sección 7 (Apéndice II) el

análisis de ciertos aspectos de la teoría de k-jets en el caso

particular en que el contexto sea el de 1a Sección 2, así como

parte de la demostración del Lema2.2 de esa sección.

1. PRELIMINARES

Sean My P variedades diferenciables de dimensiones m y m+n

respectivamente, y sea nzP + Muna submersión suryectiva (o sea,

una aplicación Ccnsuryectiva tal que su diferencial r*p: Pp e Mn(p)es epimorfismo V p E P).

Una ¿acción Kocmfide n es una aplicación s:U + P, donde U

es un abierto de M, tal que n o s = id. Notaremos con F(U,P) al

conjunto de todas las secciOnes locales C"ode n con dominio U.

Dado k E No, dos secciones locales Cen de n, 51€ F(U1,P) y

52 E r(U2,P), se dice que están (para xo G U1 n U2) h,x0-ne¿ac¿ona­

daá (sl íïío sz) sii, en cartas locales, las derivadas parcialeshasta el orden k de s1 y 52 Coinciden en x

Se define Ph(x) comoel cociente, por esta relación de equi­

valencia, del conjunto de todas las secciones Coo de n con dominio

algún entorno abierto de x, para cada x G M; y Ph como la unión

de todos los Pk(x) para x E M.

Se define la proyección uh: Pk + M de 1a manera natural:

nk(y) = x sii y e Pk(x).

Para s E P(U,P) se define el h-jet de s a la aplicación.k _J (ó):U * Pk dada por: jk(s)(x)= sk'x = clase de equivalencia de s

por la relación EN; definida antes.I

Para k y z G No, con k > L, se define la pnoyecc¿ón canónácade los k-jets sobre los z -jets comola aplicación

nÏ : pk + p1 dada por wÏ(jk(s)(x)) = j‘(s)(x).

Es facil ver que P° z P y por lo tanto se identifican.

Una canta de cooadenadaó adaptada pana P es una terna. m m n

(u, 90,9), donde U es abierto de P y wo:n(U) + R y w:U + R x.R

son difeomorfismos que conmutan el siguiente diagrama:

U ———Ï__5> Rm x Rn

W P1

ww wmn(U) ___Ál___;> R

donde Pl es la proyección sobre el primer factor.

Para cada carta adaptada (U,%3,o), sean:_ k-l

VU — (No) (u)

y (1.1)k .

h = m + n + n z ci ii=l ’

donde cá i indica las combinaciones con repetición de m elementos1

tomados de a i.

Si y G VU, entonces existe Wentorno abierto de wk(Y) en M

y s e F(W,U) / y = jk(s)(nk(y)). Se definen entonces:

sl = ql o s o wgl (V 1 < i < n)

Y

l = D (sl), (v 1st s k, l<.u1< ...< at< in)al...dt al...utdonde al indica la coordenada m+i de la función w (notamos' l mW=(WI'--IWIV1;-a.,@n)).

Definimos entonces:

Ók: VU + Rh por:

<I>k(y)= (mom, Si(wo(X)),...,s: al... k(«90(x))),

Trk (Y) .donde x

La familia de todos los (VU,ok) le dan a Pk una estructura devariedad diferenciable de dimensión h, dado por (1.1), con la cual

k{(VU,ok)} resulta ser un atlas Co para P .

2. OPERADORES TENSORIALES DE CONCOMITANCIA

2.1. Introducción

Sea Muna variedad diferenciable de dimensión m y, para un

númeronatural c y enteros no negativos rl,sl,...,rc,sc, sea:rl r

= UP (T (Mp) X ... x TS

c(M )) , (2.1)96M S1 C

ic

donde T:(Mp) es el producto tensorial de Mp(r veces) y Mp<sveces).Sea:

w:P + M dada por: r.\ = i i 3 . g .g

W(bl, .,SC) p s11 b.t'Tsj(Mp), V l j cSea:

c (r.+ s.)n = Z m 3 3 (2.2)j=l

Para cada carta local (X,U) de Mconsideramos el conjunto

n_l(U). Luego:_ r rSEWlW)°3p€IJ/SEÉFlM) X.n><TCM) e

sl p sC p:3 r.o p e U / s = (81,..,s ) con s.e'r 3<M), v 1 <jsác. Por lo tan­

c 3 sj pto, para 1<j<c, serái ...i h hl r- a a l s­s. = a . 3 . . ...

J (])hl.._hs [ ll] a ... o [ l a (dx )p a ®(dx J)P. r.J ax p ax J

P

Definimos entonces:

tU:7F1(U) e x(U) x zm“ pori ...i i ...il r l r= 1 CtU(S) (x(p), a(l)h ...h , ... , a(c)h ...h )

y l sl l sC

Comoen el caso del fibrado tangente, TM,es fácil ver que las

aplicaciones t determinan sobre P una estructura de variedad dife­U

renciable de dimensión m+n, donde n esta dado por (2.2), con la cual-l

la familia {(tU, N (U))} resulta un atlas C(”de P. Es fácil ver

también que, con esta estructura diferenciable,n resulta una submer­

sión suryectiva. Por lo tanto (Ver Sección l) podemosconsiderar,

para cada k ÉZNO,el espacio de los k-jets, Pk, correspondiente a lavariedad P definida en (2.1).

Si a = {(X,U)} es un atlas Cmde M con x(U) = Rm, se obtiene

a partir de a un atlas Cooa' = “tu, w-1(U))} de P con la propiedad

de que tU(w_l(U)) = ZRmx En. Luego el atlas a nos proporciona unafamilia de cartas adaptadas para P, {(n_l(U), t )} cuyos dominiosU'X

cubren P. De aquí, usando los resultados de la Sección 6, obtenemos,

para cada k entero no negativo, un atlas Cmak={(®k, V )} de—l

Pk , k h . T"k (U)tal que ó (V _1 ) = IR , donde V _l y h(=dim P ) están da­w (U) W (U)

dos por (1.1) y n está dado por (2.2).\

Consideremos ahora un elemento p de Mfijo y una carta local

(X,U) de M alrededor de p tal que x(U) = Rm. Sea k EZNO

Para cada carta (Ï,U) de M con ;(U) =2Rmdefinimos:

w:(;):iRh_m + IRh la aplicación (Cm)dada por:

w:(ï) (bi,bí ,...,b: _..a ) = 3k o (ok)'l<x<p>,bi'bí'---rb: ...a )'l k 1 k

donde l<i<n (n el dado en (2.2)) y 1<al=<...<at< m, Lítík.

Sea A el conjunto de todas las funciones w:(g) para cartaslocales de M(&,U) con &(U) =1Rm

2.2. Lema

A ¿ó báyectávo a GL(m,R) x Rq.

donde GL(mflR)indica el conjunto de matrices inversibles demxm . k+ +

R y q = d1m(M x M) l - 2m —m2 (donde(M x M)k l es el espacio

de los (k+l)-jets correspondiente a la variedad MxMcon la proyección

natural sobre el primer factor).

Dem.:

Sea:

fA -> GL(m,]R)leq

dada por:k N i i if X -()r---IB--

(wp( )) J p 3132 p 31.._3k+1 p

dondes l

B1 = a xj o--j mj jl S axl...a?¿s

á \' <' á á á ,V l 31 32 . js m, V l s k+l

Noes claro, en principio, que f esté bien definida. Sin embar­

go esto es verdadero y su demostración, por lo engorroso de su nota­

ción ha sido relegada al Apéndice II- Sección 7.

Por el contrario, como x o Ï—l es una aplicación inversible,

es claro que BÉ(p) e GL(m,RJy por lo tanto, efectivamente,f(A) c GL(m,IR) x IRq.

Para probar el lema definimos:

g:GL(m,IR) x IRq —> A

de la siguiente manera:i i i q NDado (C.,C. . ,...,C. . ) E GL(mJR) x IR , sea (x,U) unaJ 3132 m Jl---Jk+1

carta de M con &(U) =ZR tal que:

;(p) = X(p)

i iB. = C.

J (p) J

Bl. .(P)=ci. . v 2<1.<k+l31...]t 31...3t

Es claro que una tal carta siempre existe (bastaría,

por ejemplo, componer x con el polinomio de grado1g k+l cuyos

coeficientes son los c; . ).1...3tDefinimos entonces:

i i i k mC. C. . ... C. . ) (x) (2.4)g( 3’ 3132’ ’ Jl-»-3k+l p

Comoantes, y por la misma razón, también relegamos la demostra­

ción de la buena definición de g al Apéndice II- Sección 7.

De la definición de g se desprenden automáticamente las igualda­

gofzid, f°g=id I

de donde g = f_l y por lo tanto f es biyectiva. ///.

2.3. Definiciones

En particular podemos considerar M= Rm, para algún m natural,

p=0 y (x,U) = (id, Rm), la carta usual de ZRm.

Cada elemento de A, definido en 2.1, es una aplicación (diferen­h-m hciable) de ZR en ZR. El lema 2.2 nos permite, por lo tanto, defi­

nir una acción para cada kelüf Sea:

h h-m h-mH : GL(m,]R) x IRq x IR -> JR dada por:

Hk<B,b) = n'(f‘l<B)(b>), (2.5)

V B E GL(mJR) x ZRq, V b EZRh_m; donde f_1 es la aplicación dada

en (2.4) y n':Ph 9 ZRh_mes la proyección sobre las últimas h-m

coordenadas de ZRh.

Diremos que un abierto V de ZRh-mes ¿nvahianie por Hk sii

Hk(GL(m,1R) x JRq x V) C V

2.4. Observaciones

La acción Hk definida por (2.5) será de fundamental importan­

cia en nuestra futura definición de operador tensorial de concomi­

tancia. Por esta razón es necesario el perfecto entendimiento de

su comportamiento. En las siguientes lineas es nuestra meta lograrese cometido.

Cada elemento C e GL(mJR) xZRq es de la forma:

i,..,,c. . ),C = (ct,J1°“3k+1

ci .J 3132

donde, por supuesto, l<i, jím y l<j á ...<j < m para todol.<s.<k+l.

Dado C vimos en 2.2 que existe una carta (ïflRm) tal que:

,u B? . o =c% . v1<s<ku( 31...]s( ) 31...js ’

aïjl mjsdonde B; j = a X / ..ax . Quedan definidos por lo tanto:l...

Definimos entonces un elemento D = (D%,D%. ,...,D% . )3 3132 J1"'3k+1

de XIRqpor:(2) D? .= A? . (0) , v 1<Ssgk+1Jl...js 31...js

Es facil ver de aquí que:

2.6

i r —l iD. = c .

3 (< s) >j. . z z .

D% . = -D% 0.1 D.2 CJ3132 3 J1 J2 2112

. . 5L l . 9. 2 . l JL .

(3) D% . . = ¿{[D%. D.l D.2 + D? D.l. D.2 + D% .1 D.2. CJ v< J13233 333 J1 32 3 J133 J2 3 31 J233 2122

. Q] 2/ .

+ D% D%1 D.2 D.3 CJ }3 J1 J2 J3 112223

k

donde en general, inductivamente, los siguientes D; . se obtienenl... sde la igualdad:

i i a iD. . = A. . (O) =-———v— (A. . )(0)Jl...js 31...js axjs 31...js_1

reemplazando luego por las igualdades (l) Y (2).

Ahora bien, cada elemento bEÉRh_mpuedeser pensado en la forma:

i ...i i ...i i ...ib = (b 1 r2 , b(:)j rzj a,...,bQ%j rg a a )(Z)jl...]s l sl l SLl k

Luego será:

Hk(c,b) = n'(f’l(c)(b)> = w'(w:(ï)(b)) = n'(<3k o (ok>‘1>(o,b)).(2.5)

Teniendo en cuenta el Apéndice II-Sección 7 y las igualdades

(3) resulta que:h ...h h . h “h ---h

k m 1 r" N 1 ‘° r 1 rC b = 2 ... b L )H L ’ ) (b(z)tl..ÍtS ’ b(z)tl...tS 8' ' (Z)t1'°'ts B1""Bk

z 2 2

donde

ghl...hr2 _ Dhl Dhr2 31 38 11...1r— . . c ... c 2 b . 2.

mh ...h h h h h h j ' fi(:)t rzt ={[Dilj D12 ... Dirl + ... + Dil ... Dir1j1Ct1”.CtSRC‘+

1 s23 l 2 r2 l ri l s2

+[Ct Bot ... ct 2-+... + ct ... ct lg Di... Di 2]-b(2). 2. +1 2 s 1 1 r j1“'3s2 2 2

h h j j a i “.1+ D11... Dir2 ctl... ctsz cB b(í). Il.

1 r2 l s 3l"'Js;'

y en general las expresiones de las siguientes componentes se consi­i ...iguen considerando para cada 2 a b(:)j rïjl... s

2 . men el punto 0, de un tensor de tipo (r2,sz) en la carta (id, R ) y

como las coordenadas,

calculando formalmente los cambios de coordenadas a la carta (¿,2Rm)

del tensor y sus derivadas hasta el orden k, y reemplazando luego

por las igualdades (l) y (2).

Es claro entonces que Hkresulta ser una función diferenciable.

Estamos ahora en condiciones de dar nuestra definición de ope­

rador tensorial de concomitancia. Damosprimero una definiciónauxiliar.

2.5. Definición

Sean m,r,s,w,k EZNOy sea V un abierto deZRh-m (h el dado por(1.1)).

h-m m(r+s) . , ,Dada F:V CZR a ZR se define la apilcaQLÓH aAociada

a F a la función:m(r+s)

A(F): GL(mJR) x ZRq x V á ZR dada por:

il...ir w il iv 21. 2 hl...hrA(F). . (B,b) = J B ...B ‘ A. ... A.S F (b) (2.6)31...js h1 hr 31 js 21...zs

donde q está definido en 2.2, B = (B%,B%. ,...,B% . )3 J132 J1"'3k+1

. _ . te GL(m_.IR)x JRq, AJ]?= ((BÏ) l); y J = det(BR).

2.6.Definición

Sea c un númeronatural y sean m,r,s,w,k,rl,sl,...,rc,sC enterosno negativos.

Un h-openadon tanóonáafi de (n1,ó¡;...;&c,óc)-c0ncom¿tanc¿a detipo (r,s) y peso w es una función diferenciable

_ (r+s)sz C ZRh m e ZRm

definida sobre un abierto V deZRh—m(h dado por (1.1)) invariante

por la acción Hk tal que:i ...i i ...i.1 .r o Hk(B,b) = A(F).1 .r (B,b) (2.7)31...js 31...]S

donde Hk está dada por (2.5) y A(F) por (2Q6).

2.7. Definición

h_m m(r+s)Si F:V CSR 9 ZR es un k-operador tensorial de

(r1,sl;...;rc,sc)-concomitancia de tipo (r,s) y peso w, entoncesde (2.7) se sigue que:

i ...i i ...il r o Hk) = X(A(F) l rX(F. . . .31...js 31...] ) (2.8)

s

'para todo X vector tangente a (GL(mJR) x ZRq) C (GL(mJR) xZRq x Rh—m)

Las identidades (2.8) reciben el nombre de ¿dentidadeó de ¿nva­

n¿anc¿a para F.

2.9

2.8. Definición

Estamos ahora en condiciones de definir la noción clásica de

"tensores concomitantes de ciertos tensores".

Aunquelas definiciOnes deben darse en cada caso particular, es

posible dar una definición general de este hecho con ciertas impre­cisiones.

Si L es una densidad tensorial C0°de tipo (r,s) y peso w sobre

una variedad diferenciable Mm-dimensional y T:j€ Drj(M) (campos

tensoriales ¿n de tipo (rj,sj)) para l ágsíc, decimos entonces que:L es concom¿íanie de los tensores TS? y sus derivadas

hasta el orden k sii existe un k-operador tensorial de

(rl,sl;...;r ,sc)-concomitanciade tipo (r,s) y peso wc_ (r+s)

h m'*ZRm tal que:FzV C Il

i) V es un abierto invariante (que depende de los tensores da­r.dos T 3).s.

J

ii) F satisface ciertas propiedades (que dependen de los tensoresr.dados TSJ).j

iii) Para cada carta local (x,U) de M

i ...i i ...i i ...i i ...irL.l .r(p) = F.l .r(a 1 . r2. (p);a l . 2 . (p),--­31...]s Jl...js (z)jl...JS (2)]1...js ,a

2 2

il...ira . 2. V EU

(2)jl...]SQ,a1..dk(p))’ P

donde (2) significa colocar todas las variables parai ...i rl< 1<c, a l r2 indican las coordenadas de T52 en esa

(2)]l...]sl gcarta y la comaindica derivada parcial usual.

2.10

Es claro que las imprecisiones de esta definción radican

en la determinación del abierto invariante V(i)) y en las propie­

dades que debe satisfacer el operador F (ii)). Por el contrario, la

condición iii) es bien precisa y es, en definitiva, la condición

fundamental que debe cumplir el operador F para que L sea concomi­

tante; por lo tanto dicha condición será una constante en todas

las definiciones particulares. Comoejemplo definimos.

2.9.Ejemplo

Sea L una densidad tensorial de tipo (r,s) y peso w, y sean

G E D;(M) un tensor simétrico no-singular y w e D1(M) una l-forma.

Decimos que L es concomitante de G hasta el orden kl y de w

hasta el orden k2, o sea:L= ; )'...h

1 k1 2

sii existe un k-operador tensorial de (0,2;0,1)—concomitanciah_m m(r+s)

(k=máx(kl,k2)) de tipo (r,s) y peso w F:V C ZR * ZR talque:

. mi) V = GL(mJR) x IR ,

i ...iii) F.l .r / es simétrica V be Rm, o sea:31-“35 GL(m,]R) >¿{b}

i .... i i . ... .i.F.1 .r (a,b) = F.l . r(at,b),donde at signifi­JlI-o'js 310.0038

ca transpuesta de a.i ...iaFj1 jr

iii) Sl k=kl __;____s_ = o I V k2<¿t<]<axha a

i ...iaFjl jr

Sl k=k2 l S = 0 I V kl<ít< k

0.3xhlhzal... t

iV) Para cada carta local (x,U) de M

i ...i i ...iL.l .r(p = F.l .r (g (p);w (p); 9­31...]s 31...js l lj,a(p); w. (p)1,a ;...;ij

' egijldl...0(.k(p)'wilal...ak(p))r V p U

donde G = g‘* dxl Q dxj Y W= W Xm en esa carta Y donde lad'J ..­.L

comaindica derivada parcial usual.

3. OPERADORES ESCALARES DE CONCOMITANCIA: APLICACIONES

En la presente Sección mostraremos comolos conceptos desarro­

llados en la Sección 2 pueden ser usados para demostrar algunos nue­

vos resultados de la teoría de los escalares concomitantes. Los argu­

mentos aquï usados se basan fundamentalmente en el exacto conocimien­

to del dominio de definición de cada concomitante. Esto en general

no ocurre con el tratamiento clásico en donde los espacios en los

cuales se trabaja no están definidos con precisión, lo que hace

que ciertos argumentos de la teoría de variedades puedan no enten­

derse con claridad. Por este motivo, y para reforzar nuestro concep­to,hemos incluido también redemostraciones de ciertos resultados

ya conocidos de la teoría.

Trataremos aqui con operadores tensoriales de concomitancia

de tipo (0,0) y peso 0, que es considerar r=s=w=0en la definición

2.6 de la Sección 2. Por su importancia damosentonces la siguiente

definición particular:

3.1. Definición

Unk-operador zócaian de (rl,sl;...;r ,sc)—concomitanciaces una función diferenciable F:V C Rh_m mfiR definida sobre un

abierto invariante V tal que:

kF o H (B,b) = F(b) (3.1)

3.2. Definición

Sea L:M ¿CR un escalar definido sobre una variedad diferencia­

ble m-dimensional M y sean w G D1(M) Y‘fie D1(M) una 1-forma

y un campovectorial respectivamente tales que w(w) es nunca nulo.

Diremos que L es concomitante de w y w , o sea L = L(w.;w ),1

sii existe un 0-0perador escalar de (0,1;1,0)-concomitancia

F:ZR;É + ZR tal que, para cada carta local (x,U) de M:

L®>==Fwiw>mim)n VpEU 6.a

donde w = wi dxi y w = ol . en esa carta.3x1

3.3. Teorema

Si L es un escalar concomitante de una l-forma w y un campo

vectorial w , tales que w(w) es nunca nulo, exiéte entonces una

función f:R?¿o v ZR C0°tal que:

L = f o w(w) (3.3)

Dem:

Por la definición 3.2 existe un 0-operador escalar de (0,1;1,0)­

concomitancia inRíg v ZRverificando (3.2).

Como k=0 es dim(M x M)l= 2m-m2. Tenemos entonces,por (1.1) y

l que:n=2m , h=3m, h-m=2m y quo.

De aquí, la acción H(=H°) definida por (2.5) es, como puede

observarse de 2.4, la aplicación:

2m 2mH:GL(mJR) xZR#0 9-2R#0 dada por:

H(B,a,b) = (B; ai,(B_1)É bj) (3.4)

v B E GL(m,R) , V(a,b) e Rig.

3.3

Se sigue de 2.7 que F debe satisfacer las identidades de inva­

riancia (2.8) correspondientes. Notamos:

(B?! Xiryj)m

las coordenadas de GL(mJR)x Río . Deben satisfacerse entonces lasecuaciones:

(¿7) (Fo H) = o (3.5)aBt. «3,a,b)

V lás, t<m y V (C,a,b) E GL(m,]R) XJRÏÉ)l. Pero:2m i

B OH(__LF_>) = Í (DiF) (H(C,a,b)) (—ïH—) =

aBt (C,a,b) aBtm i

= Z (35-)(H(c,a,b)) (—ïE—) +1:1 axi aBs @:,a,b)t2m l

8 3 H+ IaIb))l=m+l a y(l"m) a (Crarb)

Si notamos:

Fl = _ïE_ Y Fi = iii, V 1<;i<n1ax. sYll

la igualdad anterior puede escribirse en la forma:

8(FoH) i BHl(—-) = F ) +3B: (C,a,b) igl 3B: (C'a'b) (3.6)

2m iZ F. (H(C,a,b)) (—3H—)+ i-m s

i=m+l aBt (C,a,b)

Por otra parte,de “(3.4):

Si l‘;i< m es Hi(D,u,v) = Di uj, luego:i

_3H = at( s) as i (3.7)

3Bt (C,a,b)

y si m+l gigzmes Hl(D,u,V) = (D_J’)Jj‘-mVJ, de donde ,teniendo en

cuenta que 3(B-1)É / 8B: = —(B-1)É (B_l):, resulta que:

a i .. _ _ ._( ——Ég—) = -b3(C 1); (c 1): m (3.8)

aBt (Cralb)

Reemplazando (3.7) y (3.8) en (3.6) resulta que:

m

(34M) = Z Fi(H(C,a,b)) as 6':­313: <C,a,b) 1:1

2m . .

- z Fi_m(H(C,a,b))b3(c_l)É(61):“.i=m+l

En particular podemostomar C=I (matriz identidad), luego

H(I,a,b) = (a,b). Usando (3.5) tenemos que:

Fl(a,b)a. = F.(a,b) bi3 J

2mIV (a,b) EJR V líi, j<m , o sea:

Fx.=F.y.,V1<i, j<m (3.9)

A = Ka,b)EZR;É :3 1<i<m con ai=0]-U‘U'{(a,b)€ 12:18:} l<j<m con b]: 0}.

Luego en ÏRÉÉ- A será por (3.9):

i _ i _ 2m _F — c y , F. c x. en ZR#0 A

F = c y. , F. = c x. en ZR#O (3.10)

EPara cada t IR#0 sea

, , 2m i= ’ =St ilx,y)€ZR#0 . xi y t}

Luego St es una hipersuperficie en Rzm. Sea i:S 9 ZRÉÉla inclu­tsión. Luego será:

d(F/s ) = d(F o i) = 1* (dF) =t.* i i _1 (F‘ dxi + Fi dy ) ­

(por 3.10))

= i (cyl dxi + c xi dyi) =

.* il (cd(xiy )) =

_ -* i _— c 1 (d(xi y )) —

c d((xi yi)° i) =((xiyi)o i = cte)

De donde:

F/ = constante.S t

O sea, existe fflR#0 *GRtal que:

F/S = f(t).t

Luego V(a,b)€EZR:€ tal que ai bl#0 es:

F(a,b) = f<<xi yi)(a,b>) (3.11)

Ahora bien, dado p‘EM, sea (x,U) una carta de M alrededor de

p. Luego w = wi dxl y o = ml ( a i) en esa carta. Como w(v) es8x

nunca nulo resulta wi ml nunca nulo,y por lo tanto de (3.2) y(3.11) resulta que:

L(p) = F(wi(p), wl(p)) = f(wi(p) 91(p)) =

= (f o WMHP)

3.4. Definición

Sea L:M 9'ZR un escalar definido sobre una variedad diferencia­

ble m-dimensional M. Sea G E D°(M) un tensor 2-covariante, simétrico2

y no-singular, y sea w E D1(M)uncampovectorial, tales que

G(w,w) sea nunca nulo.i

Diremos que L es concomitante de G y w , o sea L = L(gij; W ),sii existe un O-operador escalar de (0,2;1,0)—concomitancia

F:GL(m, IR) x 12:0 -> IR tal que:

i) F/GL(mJR)X {b}es simétrico V b EZRZO , o sea:

F(a,b) = F(at,b) (3.12)

V a‘íGL(m, R), V b EZREO,donde at significa transpuesta de a.

ii) Para cada carta local (x,U) de M:

14m =Fküj@)wi@)h Vpeu <&1m

en esa carta.donde G = gij dxl E dxJ y w = w i

3.5. Teorema

Si L es un escalar concomitante de un tensor 2-covariante, simé­

trico y no-singular G y de un campo vectorial w, tales que

G(w,w) es nunca nulo, ex¿óte entonces una función f:ZR#U¿Iï C0°talque:

(3.14)

Dem:

Por la definición 3.4 existe un 0-operador escalar de (0,2;l,0)—

concomitancia F:GL(mflR)x ZR20‘*IRverificando (3.12) y (3.13).

Comok=0 es(como en el teorema 3.3) q=0. Calculando (1.1) y

(2.2) en este caso resulta que:

n = m2+ m, h = m + m2 + m, h-m = m2+ m.

De aqui, la acción H(=H°)definida por (2.5) es la aplicación:

_ m a mH. GL(mJR) X GL(mJR) XZR#O GL(mJR) XZR#O

dada por:

H(B,a,b) = (B: B; a bj) (3.15)

Notamos:i i

las coordenadas de GL(mJR) x GL(mJR) ximïoLuegoF debe satisfacer las identidades de invariancia (2.8).

Estas son:

8 ) (F o H) = 0 (3.16)s (C,a,b)

aBt

v l‘ís, t=<m , V (C,a,b)€ GL(mJR) x GL(m¿R) xzmgo. Si notamos:

Fl] “ BF , y Fi: BF , v 1<1, 3<max. il] aytenemos que:

m .. _ i](—3—g) (F o H) = Z Fl](H(C,a,b)) ( SHS ) +3B (C,a,b) i,j=1 8B (C,a,b)t t

m i

+ Z Fi<H(c,a,b>>(a HS)i=l a Bt (C,a,b)

En particular si C=I (matriz identidad) será por (3.15):m ..

.. 133 F °

(—1———gïl> = Z F13(a,b> BH S / +aBt (I,a,b) i,j=l aBt (I,a,b)(3.17)

m i+Z iii­izl aBs /(I,a,b)t

Es fácil verificar que:

ij¿igg— = GÏ as. + 6? aisaBt /(I,a,b) 3 3 (3.18)

Y

iBH = _bt ¿1

sBBt/(I,a,b)

Luego reemplazando (3.18) en (3.17) se obtiene por (3.16) que:

3.9

th(a,b) asj + F3t(a,b> a. = F (a,b)btjS s

Pero (3,12) nos dice que:

th = FJt (3.19)

por lo tanto será:

tj _ tF (a,b)(aSj + ajs) —Fs(a,b)b

Si en particular consideramos a‘ESGL(mJR), donde con SGL(mJR)

indicamos el conjunto de matrices simétricas e inversibles, resulta

que:

tj _ t2F (a,b) asj —Fs(a,b)b

o sea:tj _ i t m

F xsj - 2 FS y , en SGL(mJR) XIR#0 (3.20)O también: .

> Ft]: á FS yt XS], en SGL(mfiR) XZRÉO (3.21)

donde xsj(a) = (a-l)sj. Usando (3.19) y el hecho que restringién­

donos a SGL(mJR) es xij = xji resulta de (3.20) que, en SGL(mflR)ximgoes:

1 t _ tj _2 Fs Y xtz F ij tz

_ it __ F SJ th_ tj __ F Xst le_ tj_ F le th

l= — F y x

2 2 ts

o sea:t _ t

FS y xtz —Eh y xts (3.22)

_ m ‘ J _SeaA- {-(x,y)ESGL(m,R)x JR ::1<r<m con y x —0}.

Luego de (3.22) será:

m

= -—-———= c, en (SGL(mJR)xZR#O)‘AY th Y th

donde c es una constante. ComoSGL(mJR)es una subvariedad de

GL(m;R), por continuidad tendremos que:

F = c y x , en SGL(mflR)X Rmts #0 (3.23)

P E :ara cada t ZR#Osea

:l e m-st Kx,y) SGL(mflR) x ZR#O. xij y y t]

Luego St es una subvariedad de SGL(mJR) xZRÉO' .

Sea i:St 9 SGL(mJR)xiRïola inclusión.Consideremos F y las coordenadas del espacio restringidas a la

subvariedad SGL(m¿R)x ZRÉO.Son válidas entonces las relaciones(3.21) y (3.22). Tenemos entonces que:

n _ n* _

d(F/St) — d(F o l) - 1 (dF) —

- -* ij S _— 1 (F dxij + FS dy4) —

(por (3.21))

_ .* i i sj s _— l ( 2 FS y x dxij + FS dy ) —

(por(3.23))

_ .* í t sj i i j _— 1 ( 2 cy xts x y dxij + cy xij dy ) —

Sj _ j(xts X — ót)

ij

2 13

= —- C(d(( ij Yl YJ) ° 1)) =2 ij°.=((xij y y ) 1 cte)

:lC0=2

= 0

De donde:

F/st= cte = f(t)

para una cierta función f:IR#0 9 ZR.

Luego V (a,b)EÏSGL(m¿R) x ZRÉOtal que aij bl b:J # 0 es:

F(a,b> = f<<xij yi yj)(a,b)> (3.24)

Ahora bien, dado pÉEM,sea (x,U) una carta de M alrededor de p.

Luego G = g.. dxl m dxJ y w = ml al] en esa carta. ComoG(m,w)3x

es nunca nulo resulta que gi ml w3 es nunca nulo. Además esj

gij(q)€ESGL(mJR) V q E U. Por lo tanto de (3.13) y (3.24)tenemos

L(p> = F(g..un,wiwp>> = f(gijQÜ wi(p) qu») = (f ocaw,w>><p>

Q.E.D.

3.6. Definición

Sea L:M ‘*Im.un escalar definido sobre una variedad diferencia­O

ble m-dimensional M. Sea G €5D2(M)un tensor 2-covariante, simétrico

3.12

y no-singular y sea on +ZRun escalar, tales que G(grad m, grad m)

es nunca nulo.

Diremos que L es concomitante de G y w y sus primeras deriva­

), sii existe un l-operador escalar3

de (0,2;0,0)—concomitancia F:GL(mJR) xZR xZRmx2R

das, o sea L = L(gij;gij,2;©;®,im

#0m

3

}es simétrica V(b,c,d) EZR x Hp x ZR#0

->IR tal que:

i) F/GL(m,IR> x {(b,c,d>

O sea:

F(a,b,c,d) = F(at,b,c,d) (3.25)

donde at significa transpuesta de a.

ii) Para cada carta local (x,U) de M:

L(p) = F(gij(p), <b(p),g (D), qbi(9)), V pEU (3.26)ijrl “

donde G = gij dxl E dxJ en esa carta y donde la coma indicaderivada parcial usual.

3.7. Teorema [9]

Si L es un escalar concomitante de un tensor 2-covariante, simé­

trico y no-singular G y de un escalar .o y sus primeras derivadas,

tales que G(grad o , grad o) es nunca nulo, exióte entonces una

función f:ZR xZR#O +ZR Cmtal que:

L = f(o, G(grad Q, grad ó)) (3.27)

Dem.:

Por 3.6 existe un l-operador escalar de (0,2;0,0)— concomitancia

3

F:GL(m,]R) XJR XIRmxmgo + IR verificando (3.25) y (3.26). Eneste caso es k=l y por lo tanto es fácil ver que:

2m m + l)

q = —‘L———_—'2

Y (3.28)

h-m = m2 + 1 + m3 + m

De aqui, la acción H(=Hl) definida por (2.5) es la aplicación:

3 3

H:GL(m,IR) x IRq x GL(m,]R) xIR xIRm x320 + GL(m,IR) XIR lemlego

dada por:

_ r 2 r 2 r lH(B,a,b,c,d) — (Bi Bj ar2,b,Bis Bj arl+ Bi BjS ar2+

r l t j+ Bi Bj Bs crlt, Bi dj) (3.29)

donde B = (B;,B;l)<EGL(mJR) x IRq y q está dado por (3.28). Notamos:

i i(Bj, Bj2,xij,x,xijl,xi)

3

las coordenadas de GL(me x ZRqx GL(mJR) XZR ximm XZREO. Lasidentidades de invariancia correspondientes para este operador son:

(3 (F o ___03Bs (C,a,b,c,d>t

(3.30)Y

(a (F o ___0aBÏr (c,a,b,c,d)

Consideramos la siguiente notación:

.. " i BFF13: IFv=a_F,FlJZ=_3_E__,F=__.. x.

axij ax 3x132 a l

La condición (3.25) nos dice que:

Fij = Fji (3.31)

Luego es fácil ver que en particular tomando C=(I,0) y usando

(3.29) y (3.31) las ecuaciones (3.30) se convierten en:

it ijtF (a,b,c,d)(asi + ais) + F (a,b,c,d) cijs +

jti tij t =+ F (a,b,c,d)cjsi + F (a,b,c,d)cSij + F (a,b,c,d) ds= 0' (3.32)

y thr(a,b,c,d) (a . + a. ) = o (3.33)S] js

En particular si a E SGL(mJR)(matrices simétricas e inversibles)

resúlta de (3.33)que:

thr(a,b,c,d) asj = 0m3 m

y como a es inversible, en SGL(mJR)x R.x R. xim#0 es:

thrs o (3.34)

de donde reemplazando en (3.32) resulta:

de donde:

F = —l F x x ' (3.35)2

donde XSi(a) = (a-l)si. Comopor (3.31) el primer término de estaigualdad es simétrico en i y t también lo debe ser el segundo, luego:

t si _ i Xst (3.36)

3 Y

Sea A = {(a,b,c,d) E SGL(m,JR)XR lem xIRZO: 3 l<r<m conasr d = 0} .r

Luego de (3.36), tenemos que fuera de A:

st six x x xs s

donde c es una constante. ComoSGL(mJR)es una subvariedad de GL(mJR),

por continuidad resulta que:

Fi = c xS xSi (3.37)m3 m .

en .todo SGL(mflR) XZR xZR XZR#O. s 7 Y i x“

Para cada tE IR3¿oy cada u G JR sea: . . ‘ j

:1 = =St,u {x Xi xj t A x u}

3

Luego St u es una subvariedad de SGL(mJR) XZR xZRm XZRZOcon1

inclusión i.3 m

Consideremos F restringida a la subvariedad SGL(mJR)xZR ximm xZR#USon válidas entonces las relaciones (3.34), (3.35) y (3.37). Resulta

entonces que:'k

) = d(F o i) = i (dF) =

* ..= i (F13 dxi. + F' dx + Fljldx.. +

J 1 32

+ Fi dxi) =(por(3.34))

* .. .- i (F13 dxij + Fl dxi + F' dx) —

* .. .= i (F13 dxij + Fldxi) + F' d(x o i)

(X°i=cte)

3.16

* ij i _= i (F dXij + F dXi) —

(por(3.35))

= 1*(— í Fj x xSi dx.. + Fl dx.) =s 13 1

(por (3.37))

_ .* _ í zj si zi =— 1 ( 2 c x2 x XS x dxij + c x2 x dxi)

_ l .* _ 23 si li =—g c 1 ( xl xs x x dxij + 2 xl x dxi)

*= í c i (d(x13 x x.)) =2 13= l c(d((xl] Xl Xj) o 1)) =2 ij ._

((x Xin)ol —cte)

= í c.0 = 02

donde hemos usado que dxl] = —x13xJr dxjr y la simetría x13 = xJlen SGL(m,ZR). Luego es:

F = cte = f(u,t)/St,u

para una cierta función fim xZR#O+ZR.

Luego para todo (a,d) E SGL(m;F) XZRQOtal que al] di dj#0 es:

F(a,b,c,d) = f(x(b) , (x13 xi xj)(a,d)) (3.38)

Dado pEEM, sea (x,U) una carta de M alrededor de p. Luego

G = gij dxl E dxj en esa carta. La condición de que G(grad ©,grad a) esnunca nulo se traduce, en términos de coordenadas, en la condición

que gl] ó ó . es nunca nulo. Además es gi,i ,J jPor lo tanto de (3.26) y (3.38) se concluye que:

(q) e SGL(m,IR) V qe U.

.(p)),lL(p) = F(gij(.p).,d>(p),gij,,¿(p), tb

= f(©(p), G(grad ®,grad ®)(p))

3.8. Definición

Sea L:M -+ZRun escalar definido sobre una variedad diferencia­0

ble m-dimensional M. Sean G y F G D2(M) dos tensores 2-covariantesy no-singulares con G simétrico y F antisimétrico.

Diremos que L es concomitante de G y F, o sea L = L(g

sii existe un O-operador escalar de (0,2;0,2)—concomitancia

T:GL(me x GL(mJR) 9 ZRtal que:

i) es simétrico V b G GL(ng)T/GL(mJR)x b}

Y

T/ es antisimétrico V a E GL(mJR){a} x GL(m,]R)

o sea:

T(a,b) = T(at,b)

Y

T(a,b) = -T(a,bt)

donde la t significa transpuesta.

ii) Para cada carta local (x,U) de M:

L(p) = T(g. (p), Fij(p)), V péïUl]

donde G = gij dxl Q dxJ y F = Fij dxl Q dxJ en esa carta.

3.9. Teorema [11] y [14]

Si L es un escalar sobre una variedad 4-dimensional M

..;F..13 13

),

(3.39)

(3.40)

concomitante de dos tensores 2-covariantes y no-singulares G simétrico

y Faantisimétrico,exáóie entonces una función f:]R%¿OXZR «+28 C

(3.41)tal que: L=

._ jz = ri sj . _donde o —det(Fij g ) y w Frs ij , Siendo Fij y gi]las coordenadas de F y G y (91])

Dem.:

Por 3.8 existe un 0-operador escalar de (0,2;0,2)—concomitancia

(3.39) Y (3.40). Como k = 06 ZR verificandoT:GL(4,R) x GL(4JR)

y m=4 entonces:

q=0 , n=42 + 42 y h- 4 = 42 + 42

Luego la acción H(=H°) es la aplicación:

H: GL(4JR) x GL(4JR) x GL(4JR) a GL(4JR) x GL(4JR)

dada por

— (Bl 33 a.., Bl Bj b..)r s l] r s 1]H(B,a,b) ­

Si notamos:

J

las coordenadas de GL(4JR) x GL(4;R) (dominio de T) y con:

.. ,..T1] BT I T-l] = 8T

axij Byij

entonces las identidades de invariancia correspondientes para T

nos dicen que:

ir ri 'ir 'ri , _T (a,b) ajr + T (a,b) arj + T (a,b) bjr + T (a,b) orj—c

Si en particular a E SGL(4,R) (matrices simétricas inversibles)

y b E AGL(4flR)(matrices antisimétricas inversibles) resulta que:

3.19. . I' 'ri —

(Tlr(a,b) + Trl(a,b)) arj + (-T lr(a,b)+ T (a,b)) brj‘o (3.42)

Pero la condición (3.39) nos dice que:

. . .. . .Tlr = Trl , T lr = -T r1 (3.43)

Reemplazando (3.43) en (3.42) tenemos entonces que en

SGL(4JR) x AGL(4JR) es:

ri 'ri _T xrj + T yrj — 0

de donde:

si _ _ js KriT — x yrj T. (3.44)

donde (como siempre) xjs(a) = (a_l) J'S'Consideremos ahora sobre la subvariedad SGL(4JR) x AGL(4JR) los

siguientes escalares:.s det(yi.)

é: det(yij x3 ) _____;L.det(x )

rs (3.45)_ hi kj

X'Para cada a EZR#O y B EZR sea:

Sa B = Ka,b) E SGL(4¿R) x AGL(4JR) : ¿(a,b) = a y w(a,b)=8 }

Luego Sa B es una subvariedad de SGL(4JR) x AGL(4JR). Sea i laI

inclusión. Luego:

y por lo tanto:

d(© o i) = O, d(w o i) = O (3.46)

Es fácil ver de (3.45) que:tr tr

d<b= y dytr —x dxtr (3.47)is 't hl tk rs

d‘”= X x] Yst inj ' X X ylk X th dxst

Es fácil ver que por ser T un O-operador escalar de (0,2;0,2)—

concomitancia, T'rs resulta ser un 0-operador tensorial de (0,2;0,2)—

concomitancia de tipo (2,0) y peso 0. Por lo tanto, por ser la varie­

dad 4-dimensional , el Corolario 2.1 de [5] nos asegura que

V (a,b) G SGL(4,PJ X AGL(4JR):

'13 _ ij ir jsT (a,b) —Cl(a,b) b + C2(a,b) a a brs

y por lo tanto:'ij = ij ir js

T Cl y + C2 X x yrs (3.48)

Consideremos T restringido a la subvariedad SGL(4JR) x AGL(4JR),

se verifican entonces (3.44), (3.46),(3.47) y (3.48)y por lo tanto:

d(T ) d(T o i) = 1*(dT) =,e .. ,..= i*(le dxij + T 13 dyi.) =

(por(3.44))

/Sa

* t' 'is 'i‘= 1 (-x J yts T dxij + T J dyij)_ .* 'ij ts— 1 (T (—x ytj dxis + dyij))

(por(3.48)).* i' ir 'Z ts _

= l [(Cl y J + c2 x xJ yrl)(-x ytj dxis+ dyij)] ­

= 1* [ (— ij xts dx + yij dy ) +C1 Y Ytj is ij_ ir jz ts ir jz =

+ C2( x x yrlx ytj dxis + x x yr ¿dyij)]

(por(3.47))

= +C2 )== (Cl o i) d(m o i) + «32 o i) d(w o i) =

(por(3.46))

3.21

De aqui:

T/S = cte = f(a,8)alspara una cierta función f:ZR#0 x ZR +ZR.Luego para todo (a,b) e SGL(4¿R) x AGL(4JR) es:

T(a,b) = f(qx(a,b),dJ(a,b)) (3-49)

donde o y w están dadas por (3.45).

Por último, para concluir el teorema, consideremos p E My

(x,U) una carta de M alrededor de p. Luego es G = gij dxl Q dxJiF = F.. dx 3 e13 Q dx en esa carta con gij(q) E SGL(4JR) y Fij(q)

AGL(4¿R) V q GU, por lo tanto de (3.40) y (3.49) se concluye que:

L(p) = T(g..(p), F..(.p)) = f(q>(9‘i.j(P),Fij(p)),w(gij(p), Fil] l] (pmJ'

que es (3.41).

3.10.Definición

Sea L:M L>21Run escalar definido sobre una variedad diferencia­

ble m-dimensional M. Sea G&J%(M)un tensor 2-covariante simétrico

y no-singular y sea Ú€I31(M)una l-forma tales que G(u,w) esnunca nulo, donde w es el único campo vectorial (wE Dl(M))

tal que G(w,.) =1p.

Diremos que L es concomitante de G y w , o sea L = L(g wi),ij;sii existe un 0-operador escalar de (0,2; 0,1) -concomitancia

F‘:GL(m,]R) x R20 —> JR tal que:

i) F/GL(mIRJX{b}essimétrico V bEïRïo, o sea:

F(a,b) = F(at,b) (3.50)

3.22

ii) Para cada carta Local (x,U) de M:

L(p) = F(gij(p), Ibi(p)) ,v peu (3.51)

donde G = gij dxl E dxJ y w = wi dxl en esa carta.

3.11.Teorema

Si L es un escalar concomitante de un tensor 2-covariante, si­

métrico y no-singular G y de una l-forma w, tal que G(w,v) es nunca

nulo, siendo v el único campovectorial tal que G(w,.)= w , exióte

entonces una función f:ZR#O + IR Cmtal que:

F = f o G(w,w) (3.52)

Dem.:

Por 3.10 existe un O-operador escalar de (0,2;0,l)-concomitan­

cia F: GL(m,R) x 12:0 +IR verificando (3.50) y (3.51). Comok=0resulta en este caso:

2 2q=0, n=m + m, h-m = m + m.

Luego la acción H(=H) es la aplicación:

H: GL(m, R) x GL(m,R) ¡{12:0 -> GL(m,IR) XJRZO dada por:

iij, Br bi).H(B,a,b) = (1311CB; a

Si notamos:

las coordenadas de GL(mJR) x ZREO(dominio de F) y con:

F13=L 1 iaxij ayi

resulta de las identidades de invariancia de F que:

3.23

Fts(a,b) als + Frt(a,b) ar2 + Ft(a,b)bz = o

Si en particular aflESGL(mJR)será;

(Fts(a,b> + FSt(a,b)) a“ + Ft(a,b)b¿ = o

Pero (3.50) nos dice que:

F13 = F31 (3.53)

de donde , en SGL(mJR) x ZRÉO:

ts t _2F xls + F y2 — 0

y por lo tanto:

Fts = - í Ft yz x25 (3.54)2

Como (3.53) nos asegura que el primer término de (3.54) es simé

trico en t y s también lo debe ser el segundo. Luego:

Ft y2 xRS = Fsy2 xlt (3.55)

irSea A = {(aIb) e SGL(mJR) ximïoza 1sár=<m con x yi = o }.

Resulta entonces de (3.55) que fuera de A es:

Ft FS

Yi xlt Y XSLS

donde c es una constante. ComoSGL(mJR)es una subvariedad de GL(mJR),

por continuidad resulta que:

Fi = c yj xij (3.56)

en todo SGL(mflR) XZRÉO.Para cad E :

a t IRfo sea

st = {(a,b) e SGL(mJR)x 2mm:(xij yi yj)(a,b) = t}

m . .es una subvariedad de SGL(mJR)xIR . Sea 1 su 1nclu­Luego S #0tsión.

mConsideremos F restringido a la subvariedad SGL(mflR)x ZR#O.Se

verifican entonces (3.54) y (3.56), tenemos entonces que:

d(F/ ) = d(F o i) = 1*(dF) =S

_ .* ij i =— 1 (F dxij + F dyi)

(por(3.54))

= 1*(- É Fi yr Xr3 dxij + Fl dyi) =(por(3.56))

- '*(- í c xis xrj dx + xis d ) =’ l 2 Ys Yr ij c Ys Yi

* . . .

= (E-c) i (—ysyr xls xr] dxij + 2 ys xls dyi) =

íllA IS))* .

C) i (d(yryS x2

= (í c) d((yrysxrs) o i)) =. ­2 (( y xrs) 0“i = cte)l yr s

= (— c) 0 = 0

Por lo tanto: 2

F/S = cte = f(t)tpara una cierta f:ZR#O * ZR

Luego V(a,b) E SGL(mJR) x :RSOtal que al] bi bj # 0 (alj= (a_l)1.j

es:

F(a,b) = f((xij yi yj)(a,b)) (3.57)

Como siempre, dado pGEMsea (x,U) una carta de M alrededor de

p. Luego G.= gij dxl Q dxJ y w = wi dxl en esa carta. La condición

G(w,w) nunca nulo implica,en coordenadas, la condición gljwi wj

nunca nulo y como además es gij(q) E SGL(mflR)V qGEU se concluye de(3.51) y (3.57) que:

L(p) = F(gij(p),wi(p)) = f(gij(p) wi(p) wj(p)) =

= (f o G(«p,«p))(p)

Q.E.D.

3.12. Observación

En los teoremas 3.3, 3.5, 3.7, 3.9 y 3.11 hemos probado la

existencia de ciertas funciones f que caracterizan los concomitantes

alli dados. Hemosasegurado también que esas funciones son de tipo

C“Ï Sin embargo no queda claro de nuestras demostraciones que este

último hecho sea cierto. Demostraremosentonces aqui un resultado

general que abarca todos nuestros casos.

Sean glem ->]R C°° y h: JRm-* JRn C°°de rango n(n<m). Sea f: IRn ->]R

tal que g = f o h. Entonceó f resulta Cm.

Dem.:

Comoh tiene rango n podemos suponer, sin pérdida de generali­

dad, que localmente: ah1 ahn8x1 axn

det A # 0 siendo A = . .

añ ann n

3x1 axn

N m mSea entonces h:2R * IR dada por:

N 1 1h(X ,...,xm) = (hl(x ,...,xm),...,hn(x1,...,xm),

n+1 m,x ,...,x‘)o sea,

3.26

’b

h = (hl,...,hn, nn+l,...,wm)

donde nizlmm +ZRes la proyección a la i-ésima coordenada.m m

Luego h es C y:

m Í m

D(h) = (---í-—-) = det (D(h)) # o.I

’b

Concluimos entonces que, localmente,h es un difeomorfismo. Re­

sulta entonces que:

y por lo tanto:

g — f o (nl x ... x w ) o h

l'\¡

Ahora bien, como g y h_ son C“ resulta que:

f ° (Fl X...Xfln) es Cm.

Por último sea In mzimn+2Rmla inclusión naturalI

l n l nIn,m(x ,...,x ) = (x ,...,x ,0,...,O)

por lo tanto Inlm es C y:

f = (f o(1rl X ... X nn)) o In,m

de donde resulta lo afirmado. -///­

4.- TENSORES CONCOMITANTES DE UNA METRICA Y UN COVECTOR

En la Sección precedente hemos explicado porqué los conceptos

desarrollados en la Sección 2 son necesarios en la teoría de los

escalares concomitantes. En el caso de los tensores concomitantes

aquella explicación sigue siendo válida, pero hay dos razones de peso

que hacen que elijamos, a partir de ahora, el tratamiento clásico.

La primera es que, en general, los resultados sobre tensores concomi­

tantes se obtienen recurrentemente, o sea se basan en resultados

previos sobre tensores concomitantes de menor orden y por lo tanto

sobre escalares concomitantes (para determinar la forma general delos tensores concomitantes de ciertos tensores dados es necesario

determinar primero la forma general de los escalares concomitantes

de esos tensores). La segunda es que, como siempre ocurre, una vez

que una cierta teoría se ha desarrollado y entendido pueden, y deben,

tomarse ciertas libertades de notación y argumentación.

4.1. Introducción

Sean gij las componentes de un tensor métrico y wi las componen­tes de un covector en una variedad m-dimensional M. Es ya conocida

[4lla forma general de los tensores de tipo (r,s) concomitantes de

g y wi en los casos 0<r + s <2. Los casos r+s=3 y r+s=4 tambiéniJ'han sido determinados en [4] pero bajo ciertas condiciones restricti­vas de simetría en sus Indices.

En esta Sección determinaremos en general (sin restricciones de

ningún tipo) todos los tensores de tipo (r,s) concomitantes de gij y1p .l para r+s = 3 y r+s :4. Observemosantes que los escalares

están determinados por el Teorema 3.11 y los tensores de orden 1 y 2

por los siguientes dos teoremas:

4.2

4.2. Teorema [4]

Si Li = Li(grs;wr)

exióten entonceó funciones a y B tales que:

m - rLi = a(p) wi + 62 [B(p) /g w eri] (4-1)

rsdonde wr = g w g = det(grs),s . es la densidad tensorial de Levi­s’ r1Civita.y donde p es un escalar dado por:

w (4.2)-///­

4.3. Teorema [4]

Si Lij = Lij(grs;wr)

exáóten enionceb funciones ai(1<<isé6)tales que:

_ _ ¡m

m — r+ 63 [a3(p) /g w arij] +

m —

+ 62 [u4(p)/g wj wr eri + a5(p) /g eij] +

m

donde si i es la densidad tensorial de Levi-Civita y o Vienel... rdada por (4.2).///.

4.4. Teorema

Si Lijh = Lijh(grs;wr)

@x¿¿ten entonceó funciones ai(1=<i=<18) tales que:

_ m

+ a4(p) wh gij] +m - r

+ a4 [a5(p) /g w erijh] +

+ am [ G [a6(p> wiwr e + a7(p> ijr erih +(.0 rjhr

+ a8(o) wh w Erij + a9(p) eijhl] +

m _

r r+ al3(o) wi wh w erj + al4(p) wj wh w eri +

r r+ o‘15”) gij w Erh + “16(9) 91h w erj +

+ () r 11+o‘17 p gjh w eri

+5m[cx()g w] (44)1 18 p 11 1 ‘

donde si i es la densidad tensorial de Levi-Civita y p Vienel... rdada por (4.2).

Dem.

Notamos:rs aLi'h r aLi'hL..=__3_, L_,=___3__13h a 13hgrs alpr

La identidad de invariancia correspondiente para Lijh nos diceque:

bt tb b b bb= _ _ + ..ijh + Lijh) gat Lijh wa + si Lajh + ¿j Llah 5h LlJa(L

as . btcontrayendo con g y usando la Simetrïa de Lijh en b y t tenemosque:

bt _ b t b at b at b at2 Lijh — Lijh w + Si g L . + 6. g L + 6 g L..

Comoel primer miembro de esta igualdad es simétrico en b y t

también lo debe ser el segundo, de donde:

4.4

b t b at .b at b at =‘ Lijh w + 61 g Lajh + °j g Liah + 6n g Lija

(4.5)_ t b t ab t ab t ab‘ ‘Lijh w + 51 g Lajh + CSjg Liah + 6h g ijh

contrayendo b=i y contrayendo luego con gts en (4.5) resulta que:i t i

_ = _ +(m 1) szh + Ljsh + ths Lijh I"s Lijh w gts

(4.6)ai ai

+ gjs g Liah + ghs g Lija

Pero:t i _ l ¡t _

Lijh w gts ’ (Lijh w ) gts szhi ,t _ a i

donde (Lijh w ) — gw (Lijh w )tde donde reemplazando en (4.6):

_ = i _ i ,t(m 2) szh + Ljsh + ths Lijh I"s <Lijh w ) gts +

ai ai+ gjs g Liah + ghs g Lija

Llamemos:

_ i _ i ,t aiejhs —Lijh 1ps (Lijh w ) gts + gjs g L1ah +

ai+ ghs g Lija (4'7)

Podemosescribir entonces:

(m—2)szh + Ljsh + ths = ejhs (4.8)

Análogamente, si contraemos b=j y b=h en (4.5) obtenemos:

(m—2)Lish + Lsih + Lihs = Cihs (4'9)

Y

(m—2)Lijs + szi + Lisj — pijs (4.10)

donde:

Cihs = Líjh ws ' (Lijh wj)'t gts + 91s gaj Lajh +

+ ghs gaj Lija (4.11)

y .

“ijs= LÏjh ws ’ (Lijh wh)'t gts + gis gah Lajh +

+ gjs gah Liah (4.12)

Es claro que en las expresiones de e dadas porjhs’cihs Y uijs'(4.7), (4.11) y (4.12) respectivamente, sólo aparecen tensores conco­

mitantes de grs y mr 1-covariantes y 2-covariantes cuya forma generales ya conocida por los teoremas 4.2 y 4.3. Por lo tanto si pudiese­

mos despejar Lijh en func1ón de ejhs , cihs y uijs habremos obteni­do la forma general de los tensores 3-covariantes concomitantes de

grs Y wr.

Ahora bien, podemosescribir:

szh = Ssjh + Asjh (4.13)

donde Ssjh y Asjh son tensores 3-covar1antes concomitantes de grty wr satisfaciendo:

= 4.ssjh Sshj ( 14)

Asjh = "Ashj°

Es claro entonces que para determinar Lijh bastará determinar

todos los tensores Sijh y Aijh satisfaciendo (4.14). Es claro también

que Sijh y Aijh satisfacen ecuaciones análogas a (4.8), (4.9) Y(4.10). En particular por (4.14) tenemos que:

(m-2) Sth + Sjsh + Shjs = ejhs(S) (l)

_ = 2(m l) Ssjh + Sjsh Cshj(S) ()

(m-l) Sth + Shjs = usjh(S) (3)

donde (S) significa reemplazar Lijh por Sijh en (4.8), (4.9) y(4.10). Haciendo (3) + (2) - (l) obtenemos:

_ 1 _

lo que determina Sth totalmente.

Para determinar Asjh procedemos en forma análoga. Teniendoen cuenta (4.14) podemosreescribir (4.8), (4.9) y (4.10) obtenien­

do para A. las ecuaciones:jhs

(m-2) Asjh + Ajsh + Ahjs = eth(A) (4)

(m-3) Asjh + Ajsh = 55h]. (A) (5)

(m-3) Asjh + AhjS = usjh(A) (6)

Haciendo (4) - (5) - (6) obtenemos:

(4-m) Asjh = eth(A) - cshj(A) - usjh(A)

y por lo tanto para m#4:

_ 1Ath — [-eth(A) + cshj(A) + usjh(A)] (4.16)

(m-4)

Sea entonces m=4 y definamos:

n = ____________ (4.17)G

acbu . . . . .donde s es la denSidad tensorial de Lev1-C1Vita. Es claro

que Ñ es un vector (tensor l-contravariante) concomitante dea

grs y wr y por lo tanto usando el hecho que nb - n gab es

un covector también concomitante de grs y wr y que Imbestá biendeterminado por el teorema 4.2 resulta que na es un vector cuya

forma general es conocida.

Resulta de (4.17) que:

— a _ acbu/g n €asjh _ e Acbu 8asjh (4'18)

Es fácil ver, teniendo en cuenta que m=4, que:

acbu _ _ _e Acbu Easjh - Asjh Ashj Ajsh + Ajhs

‘ Ahjs + Ahsj

de donde, por (4.14):

aaCbu s = 2 [A + A + A ] (4 19)cbu asjh sjh jhs hsj '

Reemplazando (4.19) en (4.18) obtenemos:

_ — a2[Asjh + Ajhs + Ahsj] —/g n easjh (4.20)

Por otra parte reemplazando Lijh por Aijh en (4.8) y tenlendoen cuenta que m=4resulta que:

2 Ath + Ajsh + Ahjs = ejhs(A) (4.21)

Multiplicando (4.21) por 2, sumándole (4.20) y teniendo en

cuenta (4.14),obtenemos en el caso m=4

= l [e_ (A) + JE na ]. (4.22)Asjh 6 th 8asjh

Teniendo en cuenta entonces (4.7), (4.11), (4.12),(4.l3),

(4.15),(4.16),(4.l7),(4.22) y los teoremas 4.2 y 4.3 se concluyelo afirmado en (4.4).

Q.E.D.

4.5. Teorema

Un ¿Áótema de geneaadoneó para el espacio de los tensores

4-covar1antes concomitantes de grs y wr (Lijkh = Lijkh(grs;wr)),con coeficientes funciones a = a(p) donde p está dada por (4.2),

Viene dado por:

i) Si m=l

G1 = {911 WI wl}

ii) Si m>5

G2 ={wi Wj wk Wh 7 g[ij wk Wh] 7 g[ij gkh1}

iii) Si m=5- — s= U

G3 G2 {/9 w esjkhi}

iv) Si m=4

_ — . - sG4 ‘ G3UVg ejkhi ' /g w 8s [ijk I“’h1}

V) Si m=3

_ — s . - s .G5 ‘ G2UVg w es[jk wi wh]'/g w Esljk gihl’

7 /g e[jkh wil}

Vi) Si m=2

— O — a _ s O

G6 ‘ Gz‘u{¿g e[jk wi wh]'/g €jk ghi'/g w as[j wk wi whÍ’

—' S

“9 w eslj gki whl}

donde si i es la densidad tensorial de Levi-Civita y donde los1... rcorchetes significan considerar el conjunto formadopor todas las

posibles simetrizaciones de los subïndices encerrados por ellos

(por ejemplo:

€i[j 9th “el-j ghk’eij gkh'eihgkj 'Sih gjk' eik gjh' 81k ghj} =

={€ij ghk'€ih gkj’eik gjh} )

Dem.:

sea Lijkh = Lijkh (gr57wr)

Notamos:aL.. aL..

LF? = ———¿159 , LF. = ———ílEÉljkh a ijkh gwgrs r

. rs _ srUsando la Simetría Lijkh —Lijkh

cia correspondiente para Lijkh resulta que:

de la identidad de invarian­

bt _ _ b t b at b at2Lijkh ‘ Lijkh w + 51 g Lajkh + CSj g Liakh +

b at b at+ 6k g Lijah + 6h g Lijka

Usando nuevamente la simetría de Lïgkh en b y t:

b t b at b at b at b at- . . + . . =Lijkh w + si g Lajkh + 6j g Liakh + 6k g Lljak 6h g Lljka

t b t ab t ab t ab_ + . . +

Lijkh w + ¿i g Lajkh + ¿j g Liakh 6k g Lljak

t ab (4.23)+ CShg Lijka

Contrayendo b=i y contrayendo luego con gts en (4.23) resultaque

(m’z) szkh + Ljskh + ijsh + thks = ejkhs (4'24)

donde:

. . tl l ’ .e. = L.. w — (L.. w ) a1jkhS ljkh s ljkh gts + gjs g Liakh

ai ai ‘+ gks g Lijah + ghs g Lijka (4‘25)

Y ti , _ ¿_ 1­Lpt

Análogamente, contrayendo b=j, b=k y b=h en (4.5) se obtiene:

(m’z) Liskh + Lsikh + Liksh + Lihks = Cikhs . (4'26)

(m-2) Lijsh + szih + Lisjh + Lijhs = uijhs (4.27)—2 L.. + . . + _ .

(m ) ljks LSJkI Liskj + Lijsk " Trijks (4 28)donde:

___ _ It ajCikhs Lijkh I"s (Lijkh w ) gts + 91s g Lajkh +

aj aj+ gks g Lijah + ghs g Lijka (4‘29)

uijhs = LÏjkh ws _ (Lijkh wk)'t gts + 91s gak Lajkh +

+ gjs gak Liakh + ghs gak Lijka (4.30)

Wijks = LÏjkh ws _ (Lijkh wh),t gts + gis gah Lajkh +

+ gjs gah Liakh + gks gah Lijah (4.31)

Es claro que en las expresiones de ejkhs , cikhs , pijhs y

wijks dadas por (4.25) y (4.29) a (4.31) sólo aparecen tensores

concomitantes de grs y wr 2 y 3-covariantes cuya forma generales ya conocida por los teoremas 4.3 y 4.4. Por lo tanto si pudiése­

mos despejar Lijkh en función de 6,c,u y1rhabremos obtenido laforma general de los tensores 3-covariantes concomitantes de grs y wr.

Ahora bien, podemosescribir:

szkh = Ssjkh + Tsjkh + Qsjkh + Asjkh (4'32)

donde S,T,Q y A son tensores 4-covariantes concomitantes de grs y

Wrsatisfaciendo:

Ssjkh = Sjskh = Ssjhk

Tsjkh = Tjskh = ‘ Tsjhk (4'33)

Qsjkh = ‘stkh = Qsjhk

Asjkh = ’Ajskh = 'Asjhk

Es claro entonces que para determinar L bastará determinarsjkhtodos los tensores S,T,Q y A satisfaciendo (4.33). Es claro también

que S,T,Q y A satisfacen ecuaciones análogas a (4.24) y (4.26) a (4.28).

4.12

Cambiando indices y haciendo (4.24) + (4.26) - (4.27) — (4.28)

se obtiene:

2[Ljskh ’ szhk] =‘ %khs + Cskhj ‘ “sjhk ' TTsjkh

de donde, usando (4.33) tenemos que:

_ 1 _Tsjkh ‘ Z [ejkhs(T) + CskhjCT) ' “sjhk(T) “sjkh(T)] (4'34)

Qsjkh = z [-ejkhs(Q) - Cskhj(Q) + psjhk(Q) + wsjkh(Q)](4.35)

donde (T) y (Q) significan reemplazar en (4.25) y (4.29) a (4.31) L

por T y Q respectivamente. Por lo tanto (4.34) y (4.35) determinan

T y Q totalmente.

Para determinar S reemplazamos L por S en (4.24) y tenemos

en cuenta (4.33) para obtener:

(m-l) ssjkh + skjsh + Shjks = ejkhs(S) (4.36)

y cambiando índices:

(m‘l) shjks + Skjhs + ssjkh = ejksh(s)

(m-l) S +kjsh + Ssjkh Shjsk = ejshk(s)

Sumandoestas tres últimas ecuaciones y teniendo en cuenta

(4.33) obtenemos:

(m+l) [Ssjkh + Shij + Skjsh] = ejkhs(s) + ejksh(s)

+ ejshk(S) (4.37)

de donde multiplicando (4.36) por (m+l) y restándole (4.37) resul­

ta para todo m#2:

_ 1Ssjkh ’ ‘—__"”__ [m ejkhs(s)

(m+l)(m—2)ejksh(s) - ejshk(S)] (4.38)

Para determinar A reemplazamos L por A en (4.24) y teniendo

en cuenta (4.33) obtenemos:

(m-3) Asjkh + Akjsh + Ahjks = ijhS(A) (4.39)

y cambiando indices:

(m‘3) Akjsh + Asjkh + Ahjsk = ejshk(A)

(m’3) Ahjks + Akjhs + Asjkh = ejksh(A)'

Sumandoestas tres últimas ecuaciones y usando (4.33) resulta:

(m-l) Asjkh + (m-3) Akjsh + (m-3) Ahjks =

= ejkhS(A) + ejshk(A) + ejksh(A) r (4.40)

de donde multiplicando (4.39) por (m-3) y restándole (4.40) resul­

ta para todo m#2 37 m#5 :

l=——_———> — —6‘. AAsjkh [(m 4) ejkhS(A) ejshk(A) Jkshx )]

(m-2)(m-5)(4.41)

Supongamos ahora m=5 y definamos:acbud

a _ a An — cbud (4.42)

G

4.14

donde eaCbud es la densidad tensorial de Levi-Civita. Por la misma. arazón dada en el teorema anterlor es claro que n es un vector cuya

forma general es conocida por el teorema 4.2.

Es fácil ver, teniendo en cuenta que m=5, que:

acbud _8 Acbud easjkh ’ Asjkh Asjhk Askjh + Askhj

' Ashkj + Ashjk ' Ajskh + Ajshk +

+ Ajksh ‘ Ajkhs + Ajhks ‘ Ajhsk +

+ Aksjh ’ Akshj ' Akjsh + Akjhs +

+ Akhsj ' Akhjs ’ Ahsjk + Ahskj +

+ Ahjsk ' Ahjks + Ahkjs ' Ahksj

de donde teniendo en cuenta (4.33) y (4.42) resulta que:

4[ + + Ajhks] 4[Askhj + Ashjk + Akhsj]=

=/a na

Asjkh Ajksh

sasjkh. (4.43)

De (4.39) y (4.27) y el hecho que m=5 resultan:

2 Asjkh + Akjsh + Ahjks = ejkhs(A) (4.44)y

2 ASkhj + Ahksj + Ashkj = uskjh(A) (4.45)

Pero por (4.33):

. + . + _ = . _ _ _ _ASth AJkSh AJhkS 3 Asth [2 Asgkh + Akjsh + Ahij]

y

Askhj + Ashjk + Akhsj = 3 Askhj “[2 Askhj + Ahksj + Ashkj]

de donde por (4.44) y (4.45) resulta:

= _ . A 4.46Asjkh + Ahksj + Ajhks 3 Asjkh ejkhs( ) ( )

= . — . (4.47)Askhj + Ashjk + Akhsj 3 Askh] “sk3h(A)

Reemplazando (4.46) y (4.47) en (4.43) resulta:

l — a= __ +Asjkh + Askhj 12 [/9 " easjkh + 4 ejkhs (A)

+ 4M (A)] .skjh

Por último, cambiandoíndices en (4.45) y restándole esta últi­

ma ecuación obtenemos, en el caso m=5:

(Á)? +_ l l — a .

Akjsh ’ 2 [“kjhs(A) 12[/g T‘ easjkh + 4 ejkhs

+ 41% (A)]]- (4.48)kjh

Supongamos ahora m=2.

Es facil ver, teniendo en cuenta (4.33) que para m 2

Asjkh = Ó 9 Esj Ekh (4.49)

donde Q es un escalar concomitante de grs y wr y por lo tanto Ó=a(p)

por el teorema 3.11. Para verificar (4.49) basta considerar o = Alzlz/gen cada sistema de coordenadas y probar que mes un escalar conco­

mitante de grs y wr.Por último nos queda por determinar S cuando m=2.

Cambiandoíndices en (4.24) y (4.27) y restándolas se obtiene:

szkh ‘ Lkhsj = ejksh ' “khsj (4'50)

Podemosescribir:

+ (4.51)ssjkh = Vsjkh Wsjkh

donde V y Wson tensores 4-covariantes concomitantes de grs Y wrsatisfaciendo:

= = = 4.52Vsjkh Vjskh Vsjhk thsj ( )

= = . = _ 4.53Wsjkh stkh Wsjhk thsj ( )

Es claro entonces que para determinar S en el caso m=2basta­

rá con determinar V y Wsatisfaciendo (4.52) y (4.53).

Por(4.50) y (4.53) resulta que para m=2:

w = í [e (W) - u (w)] (4.54)sjkh 2 jksh khsj

lo que determina W.

Para determinar V consideremos para pEEMel subespacio Hp

de TZ(Mp) formado por los elementos:

s j k hCsjkh(dx )p E (dx )p 2 (dx )p Q (dx )p (4.55)

cuyas componentes Csjkh satisfacen (4.52). Es fácil ver queexisten únicamente 6 componentes independientes, a saber: C1111,

C1112' C1122'C1212'C1222 Y C2222' Por 1° tanto’

dim H í 6 (4.56)P

Consideremosentonces X(l),...,X(6) los siguientes tensores4-covariantes concomitantes de grs y wr:

X(1)sjkh = gsj gkh

X(2)sjkh = gsj I”k wh + gkh Il’s I"j

= 4v57X(3)sjkh ws q’j 1"k wh ( )

X(4)sjkh = gsk gjh + gjk gsh_ — t

X(5)sjkh ’ /g w [Ets wj wk ll’h + Etj Il’s L"k I"h +

X = /5 wt [e w g + E W g +(6)sjkh ts j kh tj s kh

8tk Il’hgsj+ €th ll’k gsj]

Claramente X(i)(P) E H V 1€ i< 6. Probaremos ahora queP6

R(i) (‘r'>)}i__1es linealmente independiente . Sean Ai GSR (l=<i=<6)_‘ 6tales que Z Ai X(i)(p) = 0. Por lo tanto será:

6 i=1A. . = 4.58

igl l X(l)sjkh(p) O ( )

Para p dado consideremos un sistema de coordenadas tal que:

q,2(P)_=0, gi]. (P) = i óij (4.59)

y por lo tanto:2 l

w (P)= 0 , w (P) = i wl(P) (4.60)

Teniendo en cuenta (4.57) y (4.58) para los índices sjkh =

1111, 1112, 1122, 1222, 2222 y 1212 y usando (4.59) y (4.60) se

obtienen las siguientes 6 ecuaciones:

4.18

k 2 4i 2414P>> A2 + wl(PH x3 + 2x4 = 0

i wl(Pn4 x54-(wl@))zx6==0

+x1 i wl<Pn2 x2= 0

i (wl(P))2 x6 —o

Al + = o

A4 = 0

Es fácil ver de aqui que A1: A2 = ... = x6 = 0 y por lo tantolos X(i)(P) son linealmente independientes,de donde teniendo encuenta (4.56) resulta:

dim H = 6P

y por lo tanto ‘R(i)(P)}6 es una base de Hp y entonces:

6

Vsjkh = Ï C"iX(i)sjkhi=ldonde, es fácil verlo, los wi son escalares concomitantes de grs y

(4.61)

wr ya conocidos por el teorema 3.11.Teniendo en cuenta entonces (4.25), (4.29 /32), (4.34/5),

(4.38), (4.41/2), (4.48/9), (4.51), (4.54), (4.61) y los teoremas3.11 y 4.2/4 se obtiene lo afirmado.

Q.E.D.

5. EXPRESIONES DE EULER-LAGRANGE Y ECUACIONES DE CAMPO

Es bien conocido que muchas de las ecuaciones de campo de la

fisica teórica puedendeducirse de la aplicación de un principio

variacional a un Lagrangiano adecuadamente elegido. Más precisa­

mente si pA y Aa son las componentes de dos objetos geométricos y

si L es una función de las pAy sus derivadas hasta el orden My

de A“ y sus derivadas hasta el orden Q, es decir:

L = L(DA;DA. ;...;p -Aa; Aa. ;...; A . . ) (5.1)Q,11 ,11...1M ,11

. . . . . . . .. aentonces la aplicaCión de un pr1nc1plo variaCional a L,fi]ando A ,

da comoresultado las ecuaciones de Euler-Lagrange:

EA(L) = 0 (5.2)

donde:

r+1 a .7 ( 8L ) (5.3)M

EA(L) = - —— + Z (-1)80A = ax 1...3x 39A. .,11...1r

y donde hemos empleado la convención de Einstein para la suma

(cada iz va sumado de l a m).Si en lugar de suponer que las.Aaestán prefijadas suponemos

A . . . . . . .que lo están las p y les aplicamos el mismoprinCipio variac1onal,

entonces obtenemos otro grupo de ecuaciones:

Ea(L) = 0 (5.4)

donde Ea(L) viene dado por una expresión análoga a (5.3) cambiandopA por lay M por Q.

Por un resultado de Lovelock [6] estas expresiones son operadorestensoriales de concomitancia.

5.2

5.1. EL TENSOR MOMENTO-ENERGIAl ¿5g ECUACIONES gg_EINSTEIN-MAXWELL

En la teoria de la relatividad general, la interacción del

campogravitacional (caracterizado por un tensor simétrico y

no-singular gij) y el campoelectromagnético sin fuentes (caracte­

rizado por un tensor antisimétrico Fij) se supone gobernado porlas ecuaciones de campode Einstein-Maxwell:

R13 - í glJR = - í (Flk F3k - í gl] FrS F ) (5.5)rs2 2 4

Fij/j = o (5.6)

'F‘ 'F‘ = {5.7Y ‘ij/k + ‘ki/j + ij/i ° ‘ ). . j _ ij

donde F1k= gls gkt Fst, F k —g Fik, R la curvatura escalar,

R1] —RÏhk gtl gh] y donde la barra vertical indica deriVada covarian-L,te.

Es conocido que estas ecuaciones pueden ser obtenidas mediante

la aplicación de un principio variacional a partir de una elección

adecuada de una densidad Lagrangiana L, introduciendo un campo vec­

torial wi y un campotensorial Fij definido por:

F.. = . . - . . 5.8l] w113 w311 ( )

En efecto, sea

Ll = JE R + í JE F13 F.. (5.9)4 13

donde Fij esta dado por (5.8). Luego L1 es una densidad Lagrangia­na del tipo:

En particular, por (5.2)y (5.4), las ecuaciones de Euler­

Lagrange correspondientes son:

Eij(L) - o (5.11)

Y n

El(L) = o (5.12)

donde, por (5.3) y su análogo:

ij aL a aL 32 3LE (L) = - ——-—+ -—H ( ) - ( ) (5.13)

agij ax agij h ax ax agijlhk

Y

Ei(L) = — 3E— + 3 j —ïí—— ) (5.14)ami ax awi j

En particular para el Lagrangiano L1 dado por (5.9) es conocidoque (5.11) se reduce a (5.5), (5.12) a (5.6), mientras que (5.7)

es una consecuencia inmediata de la definición (5.8).

Ahora bien, la densidad Lagrangiana Ll dada por (5.9) es deltipo:

— mL =/g R + L (5.15)

dondem m

L = L(g ij;wi;wi j) (5.16)

Lovelock [7] ha encontrado todas las densidades Lagrangianas

del tipo (5.15) tales que (5.12) se reduce a (5.6) y ha mostrado

que ellas tienen esencialmente el mismotensor momento-energia

que el del Lagrangiano L1 dado por (5.9) (o sea, también (5.11) sereduce a (5.5)).

' Las densidades Lagrangianas IJdel tipo (5.15) (donde Ï es del

tipo (5.16)) se dice que satisfacen el "Principio de minimoacopla­

miento gravitacional" (MGC).Si suponemos además que L es "gauge‘

invariant" (invariante por medidas) es conocido [3 ] que Ï((5.l6))

es del tipo:N ’b= - 5.17

El mismo Lovelock [8] ha probado también una especie de

recíproca de lo anterior "Si L es una densidad Lagrangiana del

tipo (5.15) (con Ï del tipo (5.17)) tal que (5.11) se reduce a

(5.5) entonces también (5.12) se reduce a (5.6)".

Daremos aqui una demostración más sencilla de este último

resultado basándonos en el hecho que por el teorema 3.9 de la Sec­

ción 3 conocemosla forma general de los escalares del tipo (5.17).

Sea L una densidad Lagrangiana gauge invariant verificando el

principio de minimo acoplamiento gravitacional (MGC).Luego L es

del tipo (5.15) con Ï una densidad Lagrangiana del tipo (5.17).

Sea V el abierto del espacio 2m2—dimensionaldado por gij y Fij

definido por la condición det Fij# 0.ComoL es una densidad Lagrangiana del tipo (5.17) resulta que

Ï//E es un escalar del mismotipo, y por el teorema 3.9 sabemos que,u u . . . - fi ms1 nos restringimos a1 abierto V, eXiste una func1on f C tal que:

—Ï— = f(<1>,w)/g

y por lo tantoq, __L = /g f(o,w) (5.18)

donde

= J'kQ det(Fij g ) (5.19)

Y. _ ij

Por lo tanto de (5.15) con (5.17) y (5.18) resulta que:

L = G R + G f(d>nb) (5.21)

Comoqueremos determinar L de forma tal que (5.11) se reduzca

a (5.5) una tal L debe verificar la ecuación:

.. _ .. .. . . lElJ(L) = Jg (R13 —í gl] R + í Flk FJk - —

2

ij rs2 g F Frs) (5.22)

Pero,como es conocido:

E13(/6 R) = /6(R13 - 3 913 R)2

ij _ ij /—entonces, por (5.21) y el hecho que E (L) —E ( g R) +

+ Eij(/5 f(@,w)), (5.22) se reduce a:

rsEij(/a f(o,w)) = Ja < í Fik ij —í gij Frs F ) (5.23)2 8

Puede verse de (5.19) y (5.20) que JE f(@,w) no depende de las

primeras y segundas derivadas de gi., por lo tanto de (5.13) y (5.23)J

resulta que:

(/5 f(o,w)) = /5 (- l Flk ij + í glJ Frs Frs) (5.24)3g.. 2 8l]

Ahora bien:

a — 3/6 — am(/g f(m,w)) = f(m,W) +/g le(m,w) ———+3 .. a .. a ..

gl] gl] 913 (5.25)

+ /E D2f(m,w) BWagij

donde le y D2f indican las derivadas parciales de f respecto

de sus variables. Del hecho que ag/ agij = g giJ resulta:

_í¿& = í /g gl] (5.26)agij

Por otra parte de (5.19) podemos observar que m= det(Frs)/g

de donde:

30 = _Ó gl] (5.27)agij

Para calcular a / a observemos de (5 20) ue w = grh gSkF Ftb gij ' q hk rsy por lo tanto:

rh sk—íï—— = —íg———gsk F “F + —ïg—— grh F F = (cambiando

a hk rs hk rs _gij agij agij Índlces)

rh rh_ ag sk ag sk =_ g Fhk Frs + g Fkh Fsr

agij agij (F .= —F..)1] 31

rh . . . .ag sk _ í r1 h] r3 hl sk =2 a g Fhk Frs 2( 2 (g g + g g )g FhkFrs)

= - grl ghJ gSk Fhk Frs —gr] ghlgSk Fhk Frs= (cambiandoíndices)

= -2 ghl gr] gks Fhk Frs = —2F15 Fïs (5.28)

Reemplazandoentonces (5.26), (5.27) y (5.28) en (5.25) resulta

que

a (/6 f(@,w)) = í /5 gij f<©,w) —/6 le(©,w)o glj ­agij 2

_ /g sz (©,w) 2 F15 Fjs (5.29)De (5.24) y (5.29) resulta que:

l rs ij(f(m,w)) —2le(é,w)©- z F Frs) g +

+ (1-4 D2f(@,w)) Fis Fjs = o (5.30)

Ahora bien, comoestamos restringidos al abierto V, para cada

punto fijo de la variedad 4-dimensional espacio-tiempo sabemos que

existe un sistema de coordenadas tal que, en el punto:

-l OL 0 0

) = ‘a ‘1 0 0 (5.31)0 0 -l B

0 0 ‘B 1|

Vamosa probar, usando este sistema de coordenadas especial,

que los tensores gl] y Fls FJs son linealmente independientes en V.

Supongamos que:

A gl] + “F15 F3s = o.

Luego, en el punto considerado

i' ih Sk 'tA g J +1Jg g gJ Fhk Fts = o

considerando el sistema de coordenadas donde vale (5.31) y tomandor

i=j=J-primero ,e rfi=4 despues tenemos que:

A+ p a2 = oy

Á- 1162 = 0

de donde u(a2 + 82) = o.2

Pero-comoestamos restringidos al abierto V2

resulta a + B # 0, por lo tanto será A = u: O, lo que prueba la in­

dependencia lineal de los tensores. Resulta entonces de (5.30) que:

D2 f(o,w) = í (5.32)4

f(o,w) - 2 le(o,w). o - (5 33)AIP

e Il o

De (5.32) resulta que existe h dependiendo solo de Ó tal que:

f(<1>,w) =-:—w +h(4>) (5.34)

de donde reemplazando (5.34) en (5.33) obtenemos que h satisface

la siguiente ecuación diferencial:

h(®) - 2}f(®).© = 0

entonces resulta, para una cierta constante C, que:

hw) = c Ñ

de donde por (5.34):

1 _f(<i>,'sb)=—w + CM (5.35)

4

Reemplazandopor último (5.35) en (5.21) resulta que:

L=/6 (R+—]-'-1p+(1/3) (5.36)4

o también:

L=L1+ c/E/E (5.37)

Ahora bien, la igualdad (5.36)(ó (5.37)) es válida en V.

Pero V es un abierto denso y por lo tanto por continuidad

(ambos miembros de la igualdad son Coo) resulta que (5.36) (y (5.37))

es válidad en todo el espacio.

Hemosdemostrado entonces el siguiente teorema:

5.1. Teorema

Si L es una densidad Lagrangiana en el eSpacio— tiempo concomi­

tante del tensor métrico y de un covector y sus primeras derivadas

y si L es gauge invariant, satisface el principio de mínimoaco­

plamiento gravitacional (MGC)y verifica (5.22), entonceó L es dela forma:

L=/5(R+-J¿q;+C/¿')4

donde C es una constante, y donde o ytpestán dadas por (5.19) y

(5.20) respectivamente. ///.

Estudiaremos ahora las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.14) co­

rrespondientes a una densidad Lagrangiana L de la forma (5.36).

Para ello observemos que de (5.19):

/F' = /3 /3 (5.38)

donde F = det(Fij). Afirmamos que:

fi = ¡i ¿ijrs F.. F (5.39)8 1] rs l

En efecto: Si F# O para cada punto fijo del espacio-tiempo

existe un sistema de coordenadas tal que, en el punto, se verifica

(5.31). Por lo tanto es facil ver, usando ese sistema de coordena­

das, que en el punto:

y que:

F = 0L B (5.41)

Juntando (5.40) y (5.41) se concluye (5.39) en el caso F# 0.

Ahora bien si F=0 se sabe también que dado un punto existe un siste­

ma de coordenadas tal que, en el punto:

-1 0 0 0

0 -l y +y;. + =

(913 lJ) o _Y _l o

O ïy 0 1

de donde es facil ver que, en el punto:

ijrs _ ,e Fij Frs —0 (5.42)

y por lo tanto (comoF=0) también se verifica (5.39).

De (5.39) concluimos que localmente:

- _ l ijrs , - _ _ i ijrs/F — —e Fij Frs o /F _ s Fij Frs (5.43)

8 8

Pero:

eijSt/_ = o (5.44)J

ijst = í ijst _ _e wi/j Fst 2 e (wi/j L¿’j/i) Fst (5.8)

= í sijSt F.. F (5.45)2 l] st

Y 1ijst = _ ijste q’i Fst/j 3 (e wi Fst/j +

istj itjs _+ E q’i th/s + e 1pi Fjs/t)

_ l ijst = 6— 3 e wi (Est/j + th/s + Fjs/t) 0 (5.4 )

esto último por (5.7) que es consecuencia inmediata de (5.8).

Por lo tanto juntando (5.44), (5.45) y (5.46) resulta que:

ijrs = ijrse Fij Frs 2(€ wi Frs)/j

eljrs Fij Frs es una divergencia, de donde por (5.43) lo­calmente /F es una divergencia y por lo tanto, comoya es conocido:

O sea

Bio/í) = o (5.47)

Luego resulta que si L es una densidad Lagrangiana de la forma

(5.36) entonces por (5.38) y (5.47):

Ei<L> = Ei (/g' (R + ¿4m + c ¿EH/73a, = Ei(Ll) (5.48)4

donde Ll es la densidad Lagrangiana definida en (5.9). Concluimosentonces el siguiente Teorema:

5.2. Teorema

Si L es una densidad Lagrangiana en el espacio-tiempo,conco­

mitante del tensor métrico y de un covector y sus primeras

derivadas y si L es qauge invariant, satisface el principio de mi­

nimo acoplamiento gravitacional (MGC)y verifica (5.22), entonceó

L verifica también que:i . ii

E (L) = F "/j

Es decir, la elección usual del tensor momento-energiaimplicalas ecuaciones de Maxwell.

5.II. EE TENSOR MOMENTO-ENERGIA X LA ECUACION QE KLEIN-GORDON

O

Es sabido [16] que, en la fisica teórica, la ecuación que des­

cribe el campoescalar de particulas sin cargas de masa K y spin

cero, y que es la contraparte relativista de la ecuación deSchrgdinger, es la ecuación de Klein-Gordon:

ijg = Kgb (5.49)Ó/ij

donde Ó es un campo escalar y K una constante.

Es conocido que esta ecuación puede obtenerse mediante la

aplicación de un principio variacional a partir de una elección

adecuada de una densidad Lagrangiana. En efecto, sea

_1— ij 22L2— E/g (g ¿[i olj+K 4)) (5.50)

5.12

luego L2 es una densidad Lagrangiana del tipo:

= . . 5.51L L(@¿®,i,gij) < >

Los operadores de Euler-Lagrange asociados a un L de este tipo

son:

E(L) = _ ¿La + __ï¿.(_ÉlL4 (5.52)lsu 8x aali

Y

Eij(L) = ——íE— (5.53)

y las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son:

E(L) = o y E13(L) = o (5.54)

Es conocido, y fácil de ver, que para el Lagrangiano L2dado por (5.50) resulta:

= - ij _ 2E(L2) /g(g o/ij K o) (5.55)

Y

ij _ í - _ i ij rs ir js _E (L2) — 2 /g ( 2 g g mlr ¿Is + g g oir mis

_ .1. glJ K2 4,2) (5.56)2

por lo tanto la elección de L2 y la aplicación del principiovariacional nos determina la ecuación de Klein-Gordon, y el segundo

miembrode (5.56) puede eonsiderarse comoel correspondiente tensor

Momento-Energia.

Ahora bien, Noriega UD}ha encontrado todas las densidades

Lagrangianas L del tipo (5.51) tales que:

_ - ij 2E L - .. - K (5­( ) /9(9 43/1]

determinando que ellas son de la forma:

L = í /5(glj Ó i Q . + K Ó ) + í JE a =2 I

— L + í Ja a (5.58)2 2

con a constante.

Es facil ver que éstos Lagrangianos verifican que:

E13(L) = E13(L2) —l /3 gl] a (5.59)4

Demostraremos aquí una especie de recíproca. Vamosa encontrar

todos los Lagrangianos L de la forma (5.51) que verifiquen (5.59).

Sea L un Lagrangiano de la forma (5.51). Por el t90rema 3-7

existe una función C0°f tal que L es de la forma:

L =/6 f(w,w) (5-60)

donde

Comoqueremos encontrar los L que verifiquen (5.59) se debe

verificar entonces la ecuación:

Eijwí mw») = É/Eh É gij grs Ó,r (b,s + gir gjs dar 42s ­

_ l gij K2 ¿2) _ í Ja gij a (5.61)2 4

Ahora bien, por (5.53) será:

Eijwa mmm = - É/Ty gij fump) 4€ D2 Www) —:Jg"—=ij

U1L.p

G gijf(<t>,w)46 D2f(cb,w)(—ag“ 933+ gSl grjwlru:

¡9’ 913f(<1>,w) +/g_ D2f(q>,w) grl cfJ mir mIS

donde sz indica la derivada parcial de f respecto de su segundavariable. Reemplazando en (5.61) obtenemos que:

1 ij ri sj _"'5g + g g Ó’rÓIS­

l ij rs l ir jS l 1] 2 2 l]=-— + — -— K -— a4 q g m’r Is 2 g olr mis 4 g d> 4 g

de donde será:

" 2 1913(¿f(4>,w)- ¿111- ¿K2 qa - —a) +2 4 4 4

ir Js L _ =+ g Ólr GIS (2 D2f(®,W)) 0

Ahora bien, si (m l,...,© m) = O entonces resulta que

glj(í f(<b,w) —¿w - l K2 m2 - í a) = o (5.62)2 4 4 4

Si en cambio consideramos el abierto V del espacio m2+m+l

dimensional dado por gij y Qi definido por la condición (o 1,..,® m)7¿0I I I

vamos a probar que los tensores gl] y glr gls ó rw s son linealmen­I I

te independientes en V. En efecto:

Dado un punto de la variedad sabemos que existe un sistema

de coordenadas tal que en. el punto:

5.15

"1. 0 d. o

gij " '11 Y ¿,1 = :.. o

o 1

con d#0. Por lo tanto será:

gl] ­

Resulta entonces, usando este sistema de coordenadas, en el

punto:d¿ si i=j=1

ir '1 l 2g 938 m r o S= gl 3 d =’ ’ 0 si i#1 ó j#l

Por lo tanto si

ij ir js _Ag + ug g oir els 0 =

s Xgl] + Ugil gjl dz = o

Tomandoi=j=2 primero e i=j=l despúes resulta A: u: 0 y

porlo tanto gij y gir gjs Ó Ó,r ,sen V. En particular es válido (5.62), de donde:

son linealmente independientes

f(w,w)= í (w + K2 oz + a) (5.63)2

(y claramente D2f(®,W) = É)

Reemplazando entonces en (5.60) será:

L=-l-/E(1p+K24>2+a)=L +¿{Ea (5.6.4)2

que es exactamente de la forma (5.58) y por lo tanto verifican

(5.57). Hemosdemostrado entonces el siguiente teorema:

5.3. Teorema

Si L es una densidad Lagrangiana concomitante del tensor

métrico gi y de un escalar Qy sus primeras derivadas,o seaj

L = L(gij;©;©;i), y L satisface (5.59), enionceó L es de la forma:

t" H í/5(gij<1>iq>.+K24>2)+¿/Ea=2 Í ’J 2

= L + l /E a.

siendo L2 el Lagrangiano dado por (5.50).AdemásL verifica que:

EL =/- ij ..-K2() g(g 4/13 ob)

Es decir, la elección de un tensor Momento-Energia comoel

segundo miembro de (5.59) determina la ecuación de Klein-Gordon.

5.4. Corolario

El ún¿co Lagrangiano del tipo (5.51) que mediante la aplicación

de un principio variacional determina la elección de un tensor

Momento-Energía como el segundo miembro de (5.56) es el Lagrangiano:

-1 - ijL2—;/g(g oliolj+K w)

6; APENDICE I , K-JETS

6.1. Introducción

Sean My P variedades diferenciables de dimensiones m y m+n

respectivamente, y sea sz + Muna submersión suryectiva (o sea, una

aplicación C0°suryectiva tal que su diferencial n*p:Pp+ Mw(p)esepimorfismo V p E P),

Por ser rg n = m (= dim Im(w*)) se puede aplicar forma local

normal y, por lo tanto, en coordenadas es:, +.1r(a1,...,amn)=(alp-.oíam)r

o sea,1r es la proyección a las primeras m coordenadas (en coordenadas)

Para cada x E M, n-1(X) es una subvariedad sumergida de P (no

vacia, por ser n suryectiva) de dimensión n llamada ¿Lbna en x.

Una ¿acción Zoca¿ de n es una apiicación s:U + P, donde

U es un abierto de M, tal que n o s = id.

Dado Wabierto de M, notaremos con F(w,P) al conjunto de todasn m . olas seCCiones locales C de W con dominio W, o sea:

F(W,P) = A{s:W + P/s es sección C0°de n}

6.2. Proposición

n ¿ó abierta.

Dem.:

Sea W abierto de P. Veamos que w(W) es abierto en M. Sea

q = 1T(p) e MW),

. . existen (x,U) carta de M alrededor de q = 1flp) e (y,V) carta

de P alrededor de p con V C W tales que w(V) C U y1 m+nx o n o y_ (al,...,a ) = (a1,...,am)

-1Luego, x o n o y : y(V) -+ x(U) es una aplicación abierta,

por lo tanto como n(V) = x-l((x o w o y-1)(y(V))) resulta que

w(V) es abierto en U y por lo tanto abierto en M. De esto último

y del hecho que q = n(p) G n(V) C n(W), hemos encontrado un

abierto w(V) de Mcontenido en n(W) alrededor de q. De aqui resul­

ta lo afirmado. ///.

6.3. Definición

Sea k E N .o

Dos secciones locales C.° de n, s E r(U1,P) y s E r(U2,P) sel 2

dirá que están ®ara xO e U1 n U2) h,xo— neiacionadaá, y se lo

notará ¿1,qd ¿2 , sii:k,xo

A) 51(XO) = 52(xo)

LL) existen cartas (x,U) de Malrededor de x e (y,V) de P alrede­o

dor de sl(xo)(= 52(xo)) tales que:

8 xa x a xa Jxo om

V 1€ i< m+n, V a- (d1,..,am) /Ia| = z dj< kj=l

6.4.

6.3

Observaciones

La notación usada en ii) de 6.3. significa:a|i

a' X o s1 _ wa"°“ylo s] =a x — al m 0¿m

a x o 3(x1)...8(x ) XO

_ 1 —1 ­—D10...oD o D20...oD2 0...0 Dmo...oDm (y o sl o x )(x(xo))

C11 (12 (Im

La igualdad en ii) de 6.3 se debe verificar en el punto xo­l

luego para que tenga sentido yi o sj o x_l , j=l,2, deberia

ser U C Uln U2 y sj(U)<:V, j=l,2. Comosólo importa elpunto xo bastará Conrestringir la carta (x,U) de la siguienteforma:

—1 -1

(X/Unsïlwm 351w) ' U n 51 (V)ms2 W“N

Es claro que k X define una relación de equivalencia sobreI on a c n

las seCC1ones locales C de n definidas en un entorno de xo.

En otras palabras: sl É”;’ s2 sii, en coordenadas, las deriva­I odas parciales hasta el orden k de sl y 52 coinciden en xo.

La condición ii) de 6.3 gg depende de las cartas locales elegidas.

Definición

Para cada k E No y cada x G M definimos:

Ph(x) ='{s EIXW,P): Wes entorno abierto de x en M}/r\,k,x

19'a= u Pk(x)XEM

6.6. Progosiciónk

Pk(x1)rWP (x2) = a V xl#x2 ; x1,x2 e M.

Dem.:

Supongamos que existe y E Pk(x1) Ñ Pk(x2) 96.5

= existen siGEF(Ui,P), i=1,2, tales que:.._.k'x _ _._:k,X2Sl 1 ‘ s2

Sea V un entorno abierto de x1 en M tal que x2 Q V(M es T1)

Sea U = U1 0 V y sea s = sl/U

luego: claramente es sk'xl = Eïk'xl = Eïk'xz

e s e E k'xz a s e Pk(x ) e x e U =2 2 26.5

= XZEV ,Absurdo. ///.

6.7. Definición

Definimos la proyección wthk * Mde la manera natural:

wk(Y) = x sii y G Pk(X)

‘ 6.8. Observaciones

l. La proyección nk está bien definida gracias a 6.6.

2. Pk(x) = (nk)-1(X) v x e M

'6.9. Definición

Para cada s E F(U,P) y cada k E No se define el h-jet des a la aplicación:

6.5

Íh(ó): U + Pk dada por:

jk(S) (x) = E‘k'X

6.10.‘Observaciones

k kl. w o jk(s) = id por lo tanto jk(s) es una sección local de wU!

2. Luego veremos que Pk tiene una estructura de variedad diferen­

ciable con la cual jk(s) resultará ser C.° (o sea, jk(s)€ T(U,Pk»

3. Pk = {jk(s)(x) : s €F(W,P) con Wabierto de M}

6.11. Definición

Para k y L E No con k 2 z se define la pnogección canánicade los k-jets sobre los L-jets comola aplicación:

L- P + P dada por:

kz (jk(s)(x)) = j‘(s>(x)Tl'

Su buena definición es Clara gracias a 3- de 6.10 y 6.6.

‘6.12. ProEosición

P° = P

Dem.:

Sea f:P° + P dada por:

f(j°(s)(X)) = s(x)

Claramente f está bien definida

Veamosque f es una biyección.

(1) f es inyectiva:

En efecto, sean sie F(Ui,P) y xiE Ui, i =1,2 tales que

f(j°(sl)(xl)) = f(j°(sz)(x2)) e

a s1(x1) = s2(x2) É l x1 = n o sl(xl) = n o 52(x2)= X2 =á

(2) f es suryectiva:

En efecto, sea p G P.

Por ser n submersión, usando forma local normal, resulta

que existen cartas (x,U) de Malrededor de n(p) e (YIV) de

P alrededor de p con n(V) C U tales que:

r - + +<*>x o w o y l(al,...,am n) = (a1,..,am), v (a1,..,am n) e y(V)

Notemosy(p) = (bl,...,bm,...,bm+n).

Sea isz 4 Rm+n dada porm m+1

li(Cl,--:Cm) = (Cl,...,c ,b m+n),..,b

Por ser y(V) abierto de Rm+nexiste e > 0 y Ve entorno abier­m+n . .

to alrededor de y(p) dado por VE = n (y3(p) - a, y3(p) + e )j=ltal que VECy(V).

m _ 1 'Sea V = y (V8) y sea Ü = n(V). Luego por ser w abierta

(6.2) Ü es un abierto de Malrededor de n(p) contenido en U (pues

W(V) C U).

& J ­

m . .

= (X O 1T O 37-1) (V8) = H (yJ (p)_e l Y] (p) + e) ___(*)j =1m . .

= II (bJ- e,b3+ 'e)j=l

Luego,

x'{(bm+1’..’bm+n)}cII e'bj + e) X {(bm+1,“'bm+n)}Cj=1

C VE

y por lo tanto podemosdefinir'b

s:U + P por:

s = y_l o i o x/Ü

Luego s es C.o , y además

n o s = w o y-1 o i o x = x_1 o (x o w o y_1) o i o x =id

= id(por (*))

'bde donde s G r(U,P), Con Ü un entorno abierto de n(p)en M, Y

s(n(p)) = y-lo i o x o n{p) = y_lo i o(x o w o y-l)o y(p) =_ _ 1

= y lo i o (x o n o y 1) (b ,..,bm+n)— 1Y 1 Ojqoo'bm) = p

Sea entonces j°(S)(n(p))E P°

Claramente f(j°(S)(n(p))) = S(n(P)) = P

de donde f es suryectiva ./.

Luego de (1) y (2) f es biyectiva .///.

6.13 Observaciones

A P°le damosla única estructura diferenciable con la cual f

resulta un difeomorfismo. Identificaremos entonces los elemen­

tos de P°con los de P y, por lo tanto, P°Con P.

La demostración de la suryectividad de f nos brinda varias

conclusiones de importancia. La primera es que dado p E P

existe una sección local C.os de w definida en algún entorno

de w(p) tal que S(n(p)) = p. La segunda es que Pk(x)#Ó

V x E Mpues por ser n suryectiva vale la conclusión anterior

para x E My cualquier punto de n_l(X).

Proposición

Las aplicaciones n, wky nÏ definidas en 6.1, 6.7 y 6.11 respec­tivamente cumplenlas siguientes relaciones:

a) 11° = TT

b) wk = id V ke Nk k oP

c) TTL o TT]:= Trk V k,1, GNC/L <ki L k kd) wh o WL= wh V L,h,k e No / h< LS k

e) w o w: - H< V k E No922.:

Para a) y e) debe tenerse en cuenta la observación 6.13-2

y por lo tanto a) y e) significan en realidad n°= w o f y

fi o f o wï==nk respectivamenteLa demostración se sigue teniendo en cuenta 6.1, 6.7, 6.11

y 6.12. ///.

6.15. Definición

Una canta de coondenadaó adapiada pana P es una terna (U,wo,@),

donde U es un abierto de P y wo:n(U)+ Rmy 9:U +4Rmx Rn son difeo­morfismos que conmutan el siguiente diagrama:

U———"—>Rm X Rn

n pl (pl o w = vo o n)

donde pl es la proyección sobre el primer factor.

6.16. Observaciones

1. Por 6.2 n(U) es un abierto de M.

2. 90(n(U)) = Rm y w(U) = Rmx Rn, pues son difeomorfismos.

3. (wo,n(U)) y (w,U) son cartas locales de My P respectivamentetales que (“USC Tr(U)):

-l l m+n l m m+n m ngo o n o g (a ,..,a ) = (a ,...,a ), V (a',...,a )E R x R

O sea, son cartas que dan la forma local normal para w con

la propiedad de cubrir los RLrespectivos

6.17. Proposición

Si p E P ex¿óte entonces una carta adaptada para RiU,wo,w)/alrededor de p (p e U).

Dem. :

de w(p) e (y,V) de P alrededor de p con

(*)

dado

n(p)

de M

que

mwx(W)

Por la forma local normal existen cartas (x,W) de Malrededor

n(V) C W tales que:

- +x o n o y 1(a1,..,am+n) = (a1,...,am), V(a3,...,am n) e y(V)

Por ser y(V) abierto existe e >0 y V€ entorno abierto de y(p)m+n . .

por z: = H (yl(p) - e, yl(p) + e) C Y(V).i=1

Sea U = y_l(V€), luego U es entorno abierto de p en P con

’b

Sea W= n(U) C W (pues U.C V), luego W es entorno abierto de

en M.

m m “"V mSean x = x/% e y = y/U , luego (x,W) e (y,U) son cartas

alrededor de n(p) y de P alrededor de p respectiVamente tales

n(U)C W, para las cuales sigue valiendo (*).

Si notamos U8m . .

H (yl(p)— e, yl(p) + e) resulta por (*) que«1=1

= Ue

Sean entonces:

f: U€ + Rm dada porl 1 m m

f(zl,..,zm) = _E_:LÁL_Q¿L_r'--' Z ‘ Y (P)e-izl'ylÜÉ’)‘ s-{zm- ym(p)|

g: VE + Rm x Rn dada por1 1 m+n m+n+ - —9(zl,..,zm n) -—Z—L(2’—,.,_, Z Y (P)

‘ +€_Izl_ yl(p)l e_Izm n_ ym+n(p)l

Luego f y g resultan difeomorfismos (por ejemplo:

f-lsz + UEviene dada por f_l(al,..,am)=

1 m= ¿1- + ,_._,¿LIE-+ )1 + ¡al 1 + la! 2

Además si p1:Rm x Rn + Rmes la proyección sobre el primerfactor, resulta:

f o pl/ = p1 o g (**)VE

Sea entonces:

= nm) —> Rm2?= f xvo O

v=goy=U —>Rmen

Claramente wo y o resultan difeomorfismos y por lo tanto

(wo, n(U)) y (m,U) son cartas de M alrededor de n(p) y de P alre­dedor de p respectivamente tales que

‘spo(w(U)) = Rm y MU) = Rm x Rn

Se afirma entonces que (U,mo,g) es una carta adaptada paraP alrededor de p.

En efecto, por 6.15 bastará con ver la conmutatividad del diagra­

ma, pero:-1 m N-l -1 'l

o o n o o = f o X o n o y O g = f O P 0 g =o HH 1 (**)= ‘

(*)

P1 g g Pl

o sea: vo o n = pl o w -/// ­

6.18. Observaciones

Si V es un abierto de P, existe entonces U abierto de P tal

que: i) U C V

ii) U es dominio de una carta adaptada para PAU,wo,w).Por lo tanto se concluye que las cartas adaptadas para P dan

una base de la topología de P. (En efecto basta observar que

las cartas que dan la forma local normal para w son base de

la topología de P y que dadas esas cartas una carta adaptada

para P se consigue achicando la carta correspondiente a P

(Ver 6.17)).

Si (U,wo,v) es una carta adaptada para P notaremos:g =

1 mo (wo,..,wo)

_ 1 m 1 n9 - (891..., W,“ local“)

Con esta notación en mente resulta de 6.15 que:

v: (7r(p))=°st(p) , V1<a<m,Vp€UIndicaremos:

“a; =t°° , v1<a<mLuego será:

ta==aw = W: O n , V l < a í m

.y por lo tanto:1 m90071": 'o¡’t)

Y1 mv = loaft ¡W1,..,‘Pn)

o más brevemente:OLW o n: to

Comoestamos en el contexto de una carta adaptada podemos iden­

tificar, si no existe peligro de confusión, las coordenadas de0L . . .

wocon las t , o sea 1nd1caremos Slmplemente:0LW t n vez de = ao (e vo o fl t )

Sea (U,wo,v) una carta adaptada para P.Si s G P(W C n(U),U) resulta:

tB o s = W: , V 1 < B < m en W

Y IIa B

a z o s = sïal. 6: , V 1 < B < m, V x E W,a “o x B V a_ ( )_ 0L1""°‘m

En efecto:

tB o s = w o ¿_2rg,= v8_ . dl— 1d

y por lo tanto:

B

‘alal Bwo s ala] wo 1 l= :6.6a l o‘1 m o‘m [al a5

a wo x 3(mo) ...3(Wo)

Se concluye entonces que:

Dadas 51€ F(U1,P), 32€ F(U2,P) y x06 Ulrï U2 resulta que

slásq s2 AZ y ¿610 ¿L existe (U,wo,w) carta adaptada para P,xoalrededor de sl(xo) tal que:

i i .a) w o sl(xo) = w o 52(xo) , V 1 í 1 í n

6.14

la] i IaI ib)W =WL3 89‘

o XO 3 ‘pO XO

V1<i<n,V0t= (ali-oram)/lalík

En otras palabras; para ver si dos secciones son equivalentes

bastará verificar la igualdad de sus derivadas hasta el

orden k de las últimas n coordenadas en alguna carta adapta­

da (las primeras m coordenadas siempre son iguales).

6.19. Comentario

Sea k >1. Queremosdarle a Pk una estructura de variedad

diferenciable.

Sea (U,wo,w) una carta adaptada para P,

Sea vu = (w:)‘1(U) C Pkk

(en realidad deberiamos poner V = (no)-1(f_l(U)), donde f es laU

aplicación definida en 6.12 pero tenemos en cuenta 6.13).

Se afirma lo siguiente:

Dado y G Pk;

y e VUáxiq AÓKo¿i existe Wentorno abierto de wk(y)en D4.k

y S e I‘(W,U) tal que y = J (s) («ku/H.

En efecto:

Comoy e Pk a y e Pk(fik(y)) :EIV entorno6. 10

abierto de nk(Y)en B1 y 3 e r(V,P) tal que y=jk(g)(nk(Y)).

Por otra parte como y e VUa n:(y) e U.

6.15

Pero n:(y) = n:(jk(2)(nk(y))) = j°(s)(nk(y)) =

¿(nk(y))

m kLuego s(n (y)) e U

,Seaw=VñÉ‘l (U)

Luego Wes un entorno abierto de nk(y) en M.

Además:_ m m­

E<w>c u (pues E<v n E l(U))c s(s l(Um’b

Sea s = s,’W

Luego s G F(W,U) y claramente

’\¡y = jk<s)(nk<y>) = jk<s)(nk(y)). /.

Se observa además que como s G F(W,U) =

á W C w(U) (pues s(W) C U y n o s = id)

C ) Recïprocamente

. w:(y) = w:(jk(s)(wk(y))) = j°(S)(wk(y)) = s(rk(y))€ U.

Luego y e (W:)-1(U) = VU - ///­

k U

Sea h = m + n + n Z cm ii=1 '

donde con ch i indicamos las combinaciones con repetición de m ele­I

mentos tomados de a i.

Queremosdefinir

Sea AU ='{s e F(W,U): Wes abierto de M}.Por lo observado antes resulta:

t .k y= ' - e c ­VU 13 (s)(x). s AU A x c Dom s}

Sea y G VU S existe Wentorno abierto de wk(y) en M

y s e r(w,U) tal que y = jk(s) (nk(y)) , Se definen: .

ó¿=solosow;1:<po(W)CRm->R, Vl<i<n

su - Da(S ): WO(W)C R + R, V l \ 1 x n,.V 1 \.a \ m

Y en general:i .

Sa ... at = Du (Da Du sl)...) =7 t t-l’“ 1

= Da a (sl) : «po(W)C Rm —>R,l... t

V1<1<n, V 1<al<...<at<m ' Vlgtgk

Si 1€ al,..,at< m es un conjunto arbitrario de indices asumire­mos que:

i isl = s.al....ut {ul,..,at}

donde {a1,..,at} significará tomar los indices a1,..,at en formacreciente.

Definimos entonces:

®h(q) = (w (x) si(w (X)) si( (X)) si ( (X)))o ' o ' a wo "" a a mo ’

donde x = wk(Y).

Por 6.18- 2 y 3 mg(x) = Bmo s(x) y como sl(Wo(x)) =i . kw (S(X)), entonces las prlmeras m+ncoordenadas de Q resultan

ser w(s(x)), por lo tanto:

<I>k(y)= ok<jk<suxn = (“s(xn, s: (WO(X)),..,S: akw (X)))1...

Por otra parte, por definición:

atwlo Qis (w (X)) =

OL (1 O (1 0LIn. t1 t 3W01._,8wo X

con lo cual podemosescribir:i k i

i . a®k(y) = ®](Jk(s)(x)) = (¿(s(x)), É_ï_g_ï ,..., __EÏ__EL€?_ )

a w sw l..av ko oo x x

y por lo tanto por 6.18- 3 la definición de Qkno depende de la

sección s elegida. Luego ok está bien definida.

Veamosentonces que es posible darle una estructura de varie­

dad diferenciable a Pk de tal forma que la familia {(Qk,VU)} corres­pondiente a cartas adaptadas para P sea un atlas Cm.

6.20.Proposición

Pia tiene una ¿étnuciuna de van¿edad dááenenc¿abie, con la

cual ¡{(Qk,VU)} es un atlas Cm, V k E No.

Dem.­

Sea k > l

k1.- P = U Vu

En efecto:= k -1 _ k -1 = k -l _ k

U Vu U(wo) (U) — (no) (U U) (no) (P) - P6.18-1

k h . .2.- o : VU4 R es blyectlva

En efecto:

6.18

Calculemos (ók)-l: Rh r'VUl m 1 n. i i hSea (aInauÉJ'w, ba, .g'ba..'a )

"a b l k

Sea f: Rm+ Rm+n C0°

f =(flvqu'fmü-l'.“'fm+n) = (fa'fl)tal que:

i) fa = proyección a la ü-ésima Coordenada , V 1<n<m

ii) fl (a) = bl‘m _,V m+1< i< m+n

iii) DGt (fi)(a) = b:_m a _,v m+l<i <m+n , v 1<r<kr ...l r0.a

Es fácil ver que una tal f Coosiempre existe.

Recordemos que tenemos una carta adaptada (U,wo,w) para P.Sea entonces:

S = 9-1 O f o Wo :w(U) + U

Luego s es Cm y además:

_ -1 _ -1 _ ­nos-now ofotpO —«p00plofo«po—1d6.15 L.N_ i)

Luego s€EP(w(U),U). ‘

Definimos entonces:

h -1 i ¿ _ .k -1(<I>) (a,b,b(Jl ,..,ba1.“%) —J (S)(«po (a))

k -1 . . .(a) - (Ó ) está blen deflnlda:

En efecto:'\;. m + . 0° .. . ..Sl sz + Rmn es otra funC1ón C verlflcando 1),11), e 111) y

'b _. l ’\Js = w o f o wo , entonces:

s(«p;1(a)) = w’lman = so‘lua) = so*1(É(a>) =3(«p;1<a))

Y

3 w o s _= D (w o s o w ) (a) =

aval . awgr m-1(a) 0‘1 r o

= D (spl o «p_1 o f o 490.0081) (a):a1 '“r 6.18-2

+.= a a (fm l><a> =l... r

w . r i m+= D (fm l)(a) = _ï__í__9_í_0Llu'OLr a a -l

awol...asaor «po (a)

Luego,por 6.18-3, s zh, 3» jk(s)(w;l(a)) = jk(3)(«p;l(a)) ./.kup (a)

O

(b) — ek o (Qk)—l = id h y (ok)_l o ok = id :R VU

k k -lEsto es trivial a partir de las definiciones de Q y (Q ) . .//.

Luego Qkes biyectiva -//­

3.- @k(VUñ Va) es un abierto de RhEn efecto:

Veamos que <1>k(VUñ VB) = W(U ñ 8) x Rh_m_n

c) Sea (a,b,bl,...,bl ) E ®k(V ñ V“) 9a al ..uk U U

= (a,b,bl,..,b: )e¿‘((n‘;>‘l (unï‘m =a l"'ak 6.19’b

a existe Wentorno abierto en My s E F(W;Uñ U) tal que

<I>k(jk(s)(x)> = (a,b,b:,..-,b: > , para algún x e w =lo. .ka

6.20

’b ’\¡

=’ (a,b) = w(s(x)) E «p(Uñ U), pues s(x)€ U ñ U. a6.19 . . m _ _= (a,b,bl,...,bl )€so(Uñu)x Rhmn -/­a a ,..,al k

i i N h-m-n h =3) Sea (a,b,ba,...,ba )e m(U o U) x R C R_ 1...ak

'11 ’\¡

= (a,b)G w(U ñ U) =Eíp G U ñ U tal que (a,b) = w(p) 3

=>a=pluo<pn =wow(pn =aepou(unün

Sea szm + Rm+n lea aplicación definida en 2.-l'b 'b

Sea w = w («(UrWU))o f (v(U o U))-l

Luego W es un abierto de Rm, f(W)C w(UñÜ) y aeÏW. Luego wo (W)es un abierto de M.

-1oSea s = o f o wo la sección dada en 2.- y sea É =

Claramente 3 E P(w;l(W),UfïÜ), pues f(W)C w(UfïÜ). Como

w;1(a) E w;l(W), pues a E W, resulta:

jk(3)<w;1<a>>= jk(s)(w;l(a)).Luego:

k k)_l(a,b,b: “..,b:l... k> = j (3)(w;1<a)> =

= ®k(jk(3)(w;1(a)))

(Q=mm:Pero como:

nï<jk(2)<w;1(a)))==j°<3><wg (a))== E<wgl(a))6.12

-1 -1 N N=w (f(a)) = w (a,b) E Un U, pues f(a) = (a,b)E w(Uf7U). Re­

sulta entonces que:_ _ _ _ N

jk<3) wol<an e (nï)1XUF‘8) = mg) lun n Mi) lun =

= VUÍWVE

iLuego(a,b,bi,...,bCi. Ole-oak

)eok(VUera) ./.

Comov es un difeomorfismo, se concluye lo afirmado.//.

_ “k k —1. k m mk m4. Q o (Q ) .© (VUrïVU) e Q (VUñ VÜ) es C .

i i ke n NSea (a,b,ba,..,ball-.’ak) Q (VU VU).

'bSi s es la sección dada en 3- resulta:

“k k —1 1 1 _ “k .k m -1 _(Ó o (q)) )(alblbal"lbal...ak) "' CD (S)(‘po ’5.19

mi m k mi m

=<3<3w01<a>>>,3_m°_5/_1 W Osa >0. _.

3 S’o “o (a) a: 1..aïok/wol(a)

Bastará entonces observar que las funciones "coordenadas" de­m _ . .

ok o (Qk) l son C‘comofunción de las variables a,b,b:,..,bl al...ockEn efecto:

NNv(s(w;l(a)))= (3 o w_l)(f(a)) = (3 o w-l)(a,b).

Por otra parte:mi mW O S mi N -l mi N -1—-rc-—-— = s (tp (w (a))) = D (s )o(sp Osa )(a) =a gg /W 1(a) a o o a o o

= Da (Si o g o 381) o (Go o wgl) (a) =

_ mi -1 ’ ’ m-l m “1 _—Da(«pom lo f ¡d woowo)o(woo«p )(a)—l o

m+n m m. .= 1 -1 j B m-l N ‘32-1 ¿l Djw o «p )o f(a). D5(f )(a). Dawo 0 «Po)OW’o 0 90])(a)

' . a; si 1< j< mPero f(a) = (a,b) y DB(fJ)(a) =

bgqn si m+1< j <m+n

Luego:

mi m m _ _ _W 0 S = z 13(31 o cp l)(a,b).D (s08 o Co“1)o(3 o «p l>(a) +ma l B a o o o o

amo /sa (a) B=l

m m+n . ._+ Z D.('Ï'ploso_l)(a,b).b%m.

3:1 j=m+1 3

B m-l N -1. Dawo o «po ) o («po o wo )(a)

En general será:

' NBríïlo s . _ _ _

____—_____—— = (D ...D (31 o w lo f o w o 3 lnou? o w l)(a)a mal amar / —l(a) ar al o o o osao...«po «po.

m+nm . . _

= Da . . Da < z Z Dj(31 o w'1)ó f. D8(f3).Da(wg o wol)) or 2 ¿43:1 - ,“V’

m -1o («po o s00 )(a) (*)

Observemosque al derivar (*) respecto de a2,...,ar aparecerántérminos de la forma:

’b ‘ _

i) Di ... Di (ml o w 1)(f(a>)1 2

ii) D ...D (f3)(a)B1 82

... B m-l N -1111) Dal...Da2(«po o wo )o (wo o mo )(a)

multiplicados y sumadosentre si.

Claramente los del tipo i) y iii) son Coocomo función de lasiOL

variables a,b,b: ,...,b a . Para los términos del tipo ii)lbasta observar que para 2292 (el caso 2:1 ya fue analizado):

. 0 si l<j<mD8 B (f3)(a> =l"' 2 j-m si m+l<j <m+n

81... 82

que es claramente Cm.Resulta entonces lo afirmado.//.­

6.23

En conclusión, de l,2,3,y 4, resulta que existe sobre Pk una

estructura de variedad diferenciable, única, tal que la familia

{(Qk,VU)},correspondiente a cartas adaptadas para P, es un atlasCm. Lo que no nos asegura lo anterior es que, con esta estructura,

kP sea una variedad T2 y N2. Veamos esto:

5. Pk es N2

Por ser P una variedad N2 y 6.18-1 podemos conseguir una fami­

lia numerable {(Ui,woi,wi)}i€N de cartas adaptadas para P corres­pondiente a un atlas numerable {(Ui,wi)}iCZN de P. Por lo tanto

(de 1.-) 1a familia {(VU ,QÏ)}1E N es un atlas numerable de Pk. Lue­igo Pk es N2.-//—

6. Pk es T‘2

kSean yl,y2 E P tales que y1# yz.

k ka) Sup. no(yl) # no(y2)

Sean (U1,wol,wl) y (U2,woz,vz) cartas adaptadas para Pk . .

tales que no(yi) E Ui, i=1,2 y UlfïU2= ©(esto Siempre

se puede conseguir pues P es T2 y 6.18-1).

Luego VU= (w:)_l (Ui) son entornos abiertos de yi, i=1,2iñ = _ _

tales que VU1 VU2 m /k _ k

b) Sup. no(yl) —no(y2)­

Existe entonces (U,wo,w)carta adaptada para P alrededork _ kde _ÏTO(Y2)g e

h k kSean Wl y W2 entornos abiertos de Ó (yl) y Q (yz)

en ZRhtales que Wlf'ïW2= o (siempre es posible conseguir

esto pues Rh es T2 y ®k(yl) # ©k(y2) pues les biyectiva).

Luego (Qk)_l(Wi), i=1,2, son entornos abiertos de yien VU,

luego abiertos en Pk tales que:

<q>k>‘1(wl) n<©k)‘1<w2) = (cpk)'1(wlnw2) = Ó _/_

Luego de a) y b) Pk es T2-//­

Basta observar por último que si k=0, por 6.13-1, P°tiene

una estructura diferenciable con la cual {(@°,VU)}es un atlas

Cm. Observemos que en este caso es ®° 1 o y VU: U —///—

6.21. Notación

Sea (ok,VU) una carta de Pk correspondiente a una carta adap­

tada para P,(U,wo,w).Queremos darle nombres a las funciones coordenadas de ®k.

Teniendo en cuenta 6.18-2 notaremos:

l m“po: (t I-art)0L OL

o sea: wo = t , V l < a S mmW= (t', .,t , X ,..,Xn)

o sea: am = ta , V 1 <c1 < m

wl = Xl , V l í 1 < n

Ol. .

Recordemos que las t de wo no son las mlsmas que las de W,. . . "¡0L El .

Sl por un momento 1nd1camos t = vo se cumple la relac1ónoc m0Lt = t O TT.

Por analogía notamos:

k a i i i<1>= (t ,X ,xa ,..,xa . )

donde:t°‘(jk(s)<x)) = «p (x) = t°‘<x) = t°‘(s(x)>r v l<oc<m

Xi(jk(s)(X)) = siwo<xn = xi<s<x)> , v 1< i<n

Xi(jk(5)(x)) = si(w (x)) = si(tl(x),..,tm(x)), v 1< 1€ n,oc 0L O OL

Vl<a<my en general

' . . ' 1

xl <3k(s>(x>) = sl a (wo(x)) = s: a (t (X),...,tm(x)),dilo-¡(Ir (11.. r la... r

V 1€ i< n, V l <al,...,dr=<m

Recalcamos que aunque estamos usando la misma notación para. . k ,. .

Clertas func1ones coordenadas de wo,w y Q , estas no son 1guales(pues claramente parten de distintos conjuntos), pero indicando

los puntos correctamente (los únicos posibles) entonces esas fun­. OL i .Clones (t y x ) toman los mlsmos valores.

6.22.0bservaciones

1.- Si s‘EF(W,P), entonceá jk(s) E F(W,Pk). En efecto:

Por 6.10-1 sabemos que jk(s) es una sección de nk. Bastará

entonces ver que jk(s):W 9 Pk es Cm.

Sea x E W a s(x)<EP.

Sea (U,wo,w) una carta adaptada para P alrededor de s(x).Sea:

W = s_l(U)’\.u

Luego W es un entorno abierto de x en M tal que WC: W y

s<%) c U.

Luego, V z E % reSulta:

v:(jk(8)(z)) = j°(s>(z> = s<z)e Uy por lo tanto:

.k NJ (s)(W)C VU

Luego las cartas (wo,%) de M alrededor de x y (Ók,VU) de Pk

alrededor de jk(s)(x) son tales que jk(S)(%)C V y ademáS:U,

©k0 jk(s) o «gl (€‘,...,tm) =m m= (tl,..,t , sl(tl,..,t ), s:(t1,..,tm),...,sl (t1,...,tm)>al...ak

es claramente Cm.-//­

2.- Si siGEF(Wi,P), i=l,2, son tales que sl]:x s2 V x6 Wlñ Wz,I

entonceó jk(sl) = jk(sz). La demostración es trivial—//­

7. APENDICE II

El propósito de este apéndice es analizar en detalle ciertosaspectos de la teoria de los k-jets (vista en el Apéndice I) en

el caso particular que nuestro contexto sea el detallado en 2.1 dela Sección 2.

Sin pérdida de generalidad y para no aumentar la ya complicada

notación supondremos que en 2.1 c=l y notaremos entonces r1=r y sl=s.En este caso (2.1) y (2.2) se convierten en:

p = u T:(Mp> = T:(M) , n=m(r+s) (7.1)pGM

Comoen 2.1 consideramos pGEMy (x,U) una carta local de M al­

rededor de p tal que x(U) = Rm. Sea (x,U) otra carta local de M

con x(U) = Rm.

Nuestra intención es describir la aplicación w:(%). Para elloN - .es necesario conocer el comportamiento de la aplicación ok o (Qk l;’)

Recordemos (ver 6.19) que las cartas (wk,VU)de Pk se conseguían

partiendo de cartas adaptadas,(U,wo,w),para P. En nuestro contextoactual,dado por (7.1),las cartas (x,U) y (x,U) nos determinan dos

_cartas (mk,VU) y (3k,VU) de Pk a partir de las cartas adaptadas

(n_l(U),tU,x) y (n_l(U),tU,x) correspondientes. Recordemostambiénlque en 6.20 para definir (ok)_ nos valïamos de una cierta función

auxiliar f¿ Para no confundir dicha función conla definida en elLema 2.2 aqui la llamaremos 6.

Cada elemento de Rh es de la forma:i ...i

(a,b) = (a1,...,am,b.l r ri ...i

. , b.1 . ,.31...js 31...]Sai ...il r

n-lb. . )31...jr al...dk

Luego para (a,b) EZRhdefinïamos:

e: JRm -> 1Rm+n C°°

i ...ie = (91,...,®m,® l F ) tal que:

jloooas‘

. i . . . .l)@ = proyecc16n a la leé81ma coordenada, V l <1=<mi ...i i ...i

ii) 9.1 .r (a) = .1 .rJl...Js Jl...JSi ...i i ...i

iii) D a (9.1 .r) = b.l .r a , v 1< r< kal... r 31...]S 31...]s l...ar

Resulta entonces, reemplazando en 6.20-4 todo lo necesario

que:

3k o (ok)‘l(a,b) = ((ÉUo t51)(a,b),i ...i - ­

(1) D ((É ).1 .r o t‘lo e o x o ï'l) o (i o x_l)(a),...,a U Jl...Js U ­

i ...i _D ((Ï ) l r o t l o e o x O g l) -1)al...ak U 31...]s U

(a))'bo (x o x

Ahora bien, es conocido (y fácil de ver)que:'\.I _l ,b Nh .h

(2) tU o tU (a,b) = ((X 0 X_l)(a)' bkíz:.k:)

mhl...hr h _ h _ j _donde, b = A.1(x l(a))... Air(x l(a)).Bk1(x l(a))...r 1k1...ks 11

11...1ks - jl...js y donde Ag: aïl/ axJ y BÉ=axl/aïj

Por otra parte por 6.20-4:h ...h

m 1 r -1 m-1 m -1 _Dm(tU)kl.“ks o tU o e o xao x ) o (x o x )(a)—

h .. h ._ m 1 ' r —1 1 m-l N -l

(3) — DJ._((tU)kl_Hks o tU )(a,b). Dq(x o x ) o (x o x )(a)+h ...h

N 1 r -l J i N-l m —lÉ DJ(.(tU)kl . ..kSO tU )(a,b) . bl. Da(x o x )o(x o x )(a)­

i ...idonde con J indicamos todas las coordenadas posibles (jl...j

r>

deZRn.

Ahora bien:

N h ...h h h _ j _(t ) 1 r o t-l(c,d) = (A.lo x-l)(c)...(A.ro x l)(c)(B lo x lXC)...U k ...k U l 1 k1 s l r l

j _ i ...i.(BkSo x l)(c)d.l .rs 31"°Js

Luego será:

m h ...h h h

Di((tU) Ï_._kr o t51)(a,b) = {[Aili<x‘1<a)>...Air<x‘1<a>)+...s l rh h

(A4) + Ail(x_l(a)) Airi(x_l(a))]l r

j1 -1 js -1 hl —1 Mhr -1 jl —1B (x (a)) B (X (a)) + A. (x (a))...A. (x (a))[B .(x (an...k1 ks 1, lr k1;

js -1 jl -1 js -1 j -1 il”'ir..Bks(x (a)) + +Bk (x (a))...Bij(X (a))] Ai(x (a))} bjl.“js

il.y dado J = (. .r) será:

J1’ Jsh ...h h jN 1 r 1 —l r -l 1 -l(5 D ((t) Ot )(a,b) -A- (X (a))” A (X (a))B (X (a))..

¡ J U k1...ks U 11 r kl

js -l.B (x (a))

kS

Además

(6) Da(xi o 2‘1>(<ï o x'1)(a)) = B: (x'1<a))

Por último, reemplazando (4), (5) y (6) en (3) y teniendo en

cuenta que A; B; = 6: resulta que:

m h u.h _ _ _Qx(üh)kl k? o Hf'o e o xc>ï 1)c>(>Ïox l)&n =1.“ S

hl hr hl hr i jl js= HA i ... i + ... + Ai ... Ai i] B Bk ... Bk +

r 1 r a 1 s

h j j j j ¿1...1’r 1 s l s r+-A. ... A. [ ...B + ... + B ...B 1} —1 b. . +lr Bkla ks k1 ksa (x (a)) 31...]S

h h j j . i “.i' l s l l r+ m....er .u B} . ..1 lr Bk1 Bks a (X—1(a)) 31...jsi

mhl...hrk al primer término deEs claro que si notamos con bb1x no.

esta igualdad y pensamos a los bá1”';r como las componentes de un' stensor de tipo (r,s), dicha igualdad resulta ser el cambiodecoordenadas del "tensor" de la carta (x,U) a la carta (Ï,U).

Es claro de aqui que realizando un trabajo similar, aunque

mucho más engorroso, con las restantes coordenadas de Éko (4>k)_l

éstas serán elementos de la forma:

ghl...hrk ...ks al...a

il...irdonde su expresión vendrá dada considerando b. j como lasl... Scomponentes de un tensor de tipo (r,s) y calculando formalmente

.el cambio de coordenadas de la carta (x,U) a la carta (Ï,U) de las

derivadas de orden t.

Por lo tanto concluïmos que:

Nh . ..h ._ m _ ..3k o(q>k)1<a,b)=(<x o x 1)(a), b 1 r, b 1 rk ...k k ...k B1 s 1 sNhl...hr

..., b (7.2))k1...kssl...sk

Y entonces:i . ..i i . ..i i ...i

w262)(bjí...j:rbjï...j:0,""’bjí...j:dl...ock(7.3)

= (x(p),É:l. :r, Éïl...:r5,...,B:1...:rB B)l... 1...5, . 1...51...k

Y Hk(c,b) = (ghl...hr ghl...hr ,..- 1,\),hl...hr ) (7.4)k1...ks’ k1...ksB ' k1...kssl... sk’\J

Es fácil ver a partir de (7.3) que si (;,U) y (Ï,U) son dosm kxcartas con Ï(U) = ;(U) =2Rmtales que w:(Ï) =w :( ) entonces:

k(x“112280): fw )),

kP

donde f es la aplicación definida en el Lema2.2, por lo tanto f’\.r

está bien definida. Recïprocamente si (Ï,U) y (;,U) son dos cartas’\¡’b

con Ï(U) = Ï(U) =2Rmtales que ;(p) = ;(p) = x(p) Y

. i i .l 3x 3x N1B, = . = . = B.

J(p) ( 3;] )p (3%] )p J(p)

entonces:m '\¡

w];(x) = 4:11:62)

y por lo tanto la aplicación g definida en el Lema2.2 (g=f_l) tambiénresulta bien definida.

Por último remarcamos que efectivamente el hecho de haber consi­

derado c=1 no hace perder generalidad, ya que si c#l habria quel ...lrepetir el mismorazonamientoanterior considerandob(l)j rlj ,...,il...ir 1 S1

b( . c. como las componentes de c tensores de tipo (r ,s )'C)Jl.. J 2 2' s c(l < 2 < c) y calculando formalmente los cambios de coordenadas de

una carta (x,U) a otra (;,U) de dichos tensores y sus derivadashasta el orden k.

10

ll

Aldersley, S.J.

Dobarro, F.

Horndeski,G.W.

Horndeski,G.W.y Lovelock,D.

Kerrighan, B.

Lovelock, D.

Lovelock, D.

Lovelock, D.

Noriega,R.J.

Noriega,R.J.

Noriega, R.J.

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Noriega,R.J.Schifini,C.G.

Noriega,R.J.Schifini,C.G.

Noriega,R.J.Schifini,C.G.

Rund, H.

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