Operaciones con fracciones:

Definiciones preliminares

1.1 fracciones homogéneas: dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador.

1.2 Fracciones heterogéneas: dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferente denominador

Ejemplos:

a¿ 23b¿ 35c¿ 43d ¿e¿ 9

5

En las fracciones anteriores, a y c y también b y d son homogéneas, pero a y b o c y d son heterogéneas.

Suma de fracciones:

1.1 si las fracciones son homogéneas, se escribe la suma de los numeradores, sobre el denominador de las fracciones sumadas que es el mismo.

ab+ cb=a+cb

Esto se puede extender a cualquier número finito de fracciones.

La pregunta ahora, ¿es como sumar fracciones heterogéneas?Antes de contestar a esto, hablemos del concepto de fracciones equivalentes.

Dada una fracción, al multiplicar su numerador o denominador por una misma cantidad, la fracción que resulta, es equivalente a la primera. Por ejemplo:

12multiplicando el numerador y eld enominador por 4obtenemos :

48

Y cuatro octavos, al simplificar, es equivalente a un medio. Si hubiésemos multiplicado por cualquier otro número, también habríamos obtenido una fracción equivalente a un medio.

PARA SUMAR DOS FRACCIONES HETEROGENEAS, VAMOS A TRANSFORMARLAS PRIMERO EN HOMOGENEAS.

Esto se logra, transformando cada una en otra fracción equivalente, de manera que las dos fracciones resultantes sean homogéneas:

EJEMPLO:

QUEREMOS SUMAR

59+ 712

Las fracciones son heterogéneas, una técnica muy eficaz, es buscar el MCM de los denominadores, en este caso 36, y multiplicar en cada fracción al numerador y al denominador por lo que haga falta para que el denominador sea 36 o el MCM

Para la primera fracción, debemos multiplicar por 4 y para la segunda por 3 así:

59es equivalente a

5 (4 )9 (4 )

=2036

Y en la segunda fracción

712es equivalentea

7 (3)12 (3 )

=2136

Así que sumar las fracciones iniciales 59+ 712

Es lo mismo que sumar sus equivalentes

2036

+ 2136

= 4136

Es claro que pudo haberse multiplicado por cualquier otro número que hubiera provocado una igualación de los denominadores, por ejemplo, al multiplicar la primera fracción por 8 y la segunda por 6, habríamos logrado fracciones homogéneas y equivalentes también, así:

5 (8 )9 (8 )

=4072y tambien ,

7 (6 )12 (6 )

=4272y sumando ,

4072

+ 4272

=8272

=simplificandoes 4136

Que es el mismo resultado anterior.

Se recomienda, para evitar trabajar con números más grandes de lo necesario, hallar el MCM de los denominadores, y homogenizar las fracciones multiplicando cada una por lo necesario en su numerador y denominador, de manera que las fracciones equivalentes, permitan efectuar la suma con facilidad.

En ocasiones, se explica un método mecánico para sumar fracciones, que puede resultar útil en el caso de dos fracciones. El método es el siguiente:

ab+ cd=ad+bc

bd

Un ejemplo del a aplicación del método es el siguiente:

45+ 37=4 (7 )+5 (3 )5 (7 )

=28+1535

=4335

Si miramos con atención, en el paso previo al resultado final tenemos:

28+1535

lo cual puede separarse asi :2835

+1535

y vemos que es exactamente igual a haber convertido las fracciones iniciales en homogéneas y equivalentes, que era lo que veníamos haciendo antes:

Observe que:

2835

=45y ademas ,

1535

=37

De suerte que, este procedimiento, lo que hace es hacer la transformación de las fracciones en equivalentes y homogéneas y efectuar la suma al mismo tiempo. Una observación más que habría que hacer es que 35 es el MCM de 5 y 7 que eran los denominadores de las fracciones que se sumaron. Sin embargo, como se verá más adelante, este procedimiento no siempre logra homogenizar las fracciones con el MCM de los denominadores como nuevo denominador para las fracciones equivalentes.

Veamos con esta suma:

415

+ 625

=4 (25 )+15 (6 )15 (25 )

=100+90375

=190375

simplificando ,3875

Naturalmente, aunque la suma es correcta, los cálculos fueron mayores en tanto que 375 no es el MCM de 15 y 25, el MCM es 75, y hubiésemos podido homogenizar las fracciones, multiplicando a la primera por 5 a su numerador y denominador, y la segunda por 3 a su numerador y denominador, obteniendo respectivamente las fracciones:

2075y1875cuya sumaes

2075

+ 1875

=20+1875

=3875el resultadoobtenidoantes

En general, para sumar fracciones, se procede homogenizando las fracciones a sumar, a pesar de la mecánica variada delos métodos, todos ellos en esencia hacen el proceso de homogenizar así no se perciba de manera inmediata.

Para efectos prácticos, el método:

ab+ cd=ad+bc

bd

Es sumamente ineficiente cuando sumamos varias fracciones a la vez. Imagine que intenta sumar 4 fracciones. Se da cuenta de inmediato que debe sumar tomando de a dos fracciones, y el resultado sumarlo con la siguiente, empleando para cada suma el método anterior.

Ejemplo:

25+ 34+ 73+ 116

=( 25 + 34 )+( 73 + 11

6 ) laagrupacion puedehacerse encualquier orden .Resolviendo el par de sumas, haríamos:

2 (4 )+5 (3 )5 (4 )

+7 (6 )+3 (11)3 (6 )

=8+1520

+ 42+3318

=2320

+ 7518

¿¿

Ahora, para sumar otra vez debemos emplear el método

23 (18 )+20 (75 )20 (18 )

=414+1500360

=1914360

simplificando31960

Suponga que en lugar de sumar 4 fracciones intenta sumar 10. Naturalmente el método se hace muy ineficaz aunque pueda obtenerse el resultado después de algo de trabajo paciente.

Existe un método un más eficaz para sumar fracciones, y es el método usual y que predomina en matemáticas, incluso en la suma de fracciones algebraicas. Por esto, recomiendo aprender este método por encima de los otros.

Describo el método a continuación, y ofrezco después algunos ejemplos.

Si queremos sumar varias fracciones, hallamos el MCM de sus denominadores, y tomamos ese MCM como el denominador de una fracción que será el resultado de la suma. En el numerador de la fracción, se ubica la suma de los resultados de dividir el MCM entre cada denominador, y multiplicarlo pos su respectivo numerador. Puede sonar algo confuso, pero en la práctica se entiende mejor.

NOTA: conviene repasar un poco el tema de hallar el MCM de dos o más números.

Ejemplo: intentemos la misma suma anterior

25+ 34+ 73+ 116elMCM DE (5 ,4 ,3 ,6 )=60

Ahora, ubicamos 60 como el denominador de la fracción resultado de la suma, y en el numerador, la suma de unos valores que se obtienen dividiendo el MCM en este caso 60 entre cada denominador, y multiplicando el resultado por cada numerador respectivamente.

12 (2 )+15 (3 )+20 (7 )+10 (11 )60

solo faltacalcular las operaciones resultantes

Los números en rojo, son la división de 60 entre los denominadores así:

12=60/5 15=60/3 20=60/3 10=60/6

Resolviendo las operaciones del numerador, el resultado de la suma seria:

24+45+140+11060

=31960quees denuevo el resultadoanterior

Un ejemplo más.

38+ 56+ 75=15 (3 )+20 (5 )+24 (7 )

120=313120

De nuevo, 120 = MCM (8, 6, 5)

La resta, o diferencia es una caso que suele incluirse en la operación adición, muchos matemáticos consideran que la resta realmente no existe, y aun la división tampoco, al igual que la resta queda definida en la adición, la división puede reducirse a una multiplicación.

Así, al intentar llevar a cabo la operación:

53−45bastara reescribirla como si se trataradeunaadiciónasi :

53+(−45 )=5 (5 )+3 (−4 )

3 (5 )=25−12

15=1315

Observe que el signo menos, quedo afectando al 4, y no a otro número. Y es simplemente porque en una fracción negativa, el signo menos puede ubicarse donde se desee (en el numerador, el denominador o antes de la fracción) para ilustrarlo, podemos hacer la misma operación ubicando el signo menos en el denominador.

53+( 4−5 )=5 (−5 )+3 (4 )

3 (−5)=−25+12

−15=

(−13)−15

=1315utilizando laley de los signos

En general, el método visto y recomendado para sumar fracciones aplica también en estos casos. Suponga que se le pide calcular el resultado de:

54−32+ 83−75+4

Se puede reescribir la expresión como:

54+(−32 )+ 83+(−75 )+ 41

Y operando como indicamos antes con el método recomendado, el MCM (4, 2, 3, 5, 1) = 60

15 (5 )−30 (3 )+20 (8 )−12 (7 )+60 (4 )60

=75−90+160−84+24060

=30160

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Lo curioso, es que al contrario de lo ocurrido con los números enteros, donde sumar es más sencillo que multiplicar, con números fraccionarios, es más sencillo multiplicar. Veamos cómo se procede:

( ab )( cd )= acbdPara multiplicar fracciones, se multiplican numeradores entre sí, y el producto es el numerador del resultado. De igual manera, multiplicamos denominadores entre sí, y el producto es el denominador del resultado.

Un ejemplo:

( 49 )( 73 )= (4 ) (7 )(9 ) (3 )

=2827

Y el método vale para cualquier número de fracciones en general.

( 45 )( 37 )(58 )( 23 )= (4 ) (3 ) (5 ) (2 )(5 ) (7 ) (8 ) (3 )

=17

Finalmente, dividir también es un juego de niños.