Operacionescon Fracciones

Curso Propedéutico VirtualFacultad de Ciencias Económicas

Índice

Introducción Propiedades Fundamentales Operaciones Básicas

Procedimiento Simplificación de Fracciones

Valor Verdadero de las Fracciones Racionalización de Fracciones

Procedimiento

Introducción Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos

expresiones algebraicas.

Así, se tiene una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre la expresión b (divisor). El dividendo a se llama numerador de la fracción algebraica, y el divisor denominador. El numerador y el denominador son los términos de la fracción.

2

x+yx

Propiedades Fundamentales El principio fundamental de las fracciones tanto para Aritmética

como para algebra indica:“Si el numerador y denominador de una fracción se multiplica o

divide por la misma cantidad, la fracción no se altera”.

a ayx xy

Propiedades Fundamentales

En una fracción hay que considerar tres signos, el signo del numerador, el signo del denominador y el signo de la fracción“si se cambia el signo del numerador y el signo del denominador

de una fracción, la misma no se altera”.

-a a

- -x -x

Operaciones Básicas

Se sigue lo siguiente para las sumas y restas: Se simplifican las fracciones. Se reducen las fracciones considerando mcm si son de

distinto denominador. Se efectúa las multiplicaciones. Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y

se divide por el denominador común. Se reducen los términos semejantes en el numerador. Se simplifica la fracción (si es posible).

Operaciones Básicas

Se sigue la siguiente regla para realizar las multiplicaciones y divisiones: Se descomponen en factores, los términos de las

fracciones. Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los

numeradores y denominadores. Se multiplican entre si las expresiones que queden en los

numeradores después de simplificar.

Ejemplo

Realice la operaciones sobre la siguiente fracción:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 a +b b(a+b)+(a+b)(a-b)- (a +b )+ - =

a(a-b) ab ab(a-b)(a+b) ab(a-b)(a+b)

ab+b +a -b - a -b ab-bab(a-b)(a+b) ab(a-b)(a+b)

b(a-b) 1ab(a-b)(a+b) b(a+b)

2 2

2 3 3

1 1 a +b+ -

a - ab ab a b- ab

Simplificación de Fracciones“La reducción de fracciones algebraicas es cambiar su forma sin

cambiar su valor.”“La simplificación de fracciones algebraicas es convertirla en

una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre si y llegar a una fracción irreducible a su mas simple expresión o a

su mínima expresión.”

Para tal efecto se descompone el numerador y el denominador en sus factores primos y se eliminan los factores comunes.

Ejemplo

Realice la simplificación sobre la fracción:2x -5x+62ax- 6a(x- 2)(x- 3)

2a(x- 3)

x- 22a

Ejemplo

Realice la simplificación sobre la fracción:12

x-1-x- 216

x+6+x- 2

2

2

2

2 2

(x-1)(x- 2)-12 x - 3x+2-12x- 2 x- 2

(x+6)(x- 2)+16 x +4x-12+16x- 2 x- 2

x - 3x-10 (x-5)(x+2)x +4x+4 (x+2)

x-5x+2

Valor Verdadero

“En una fracción cuando uno de sus términos o ambos se hacen cero o infinito se obtiene las formas indeterminadas.”

(El símbolo de representa infinito, se utiliza para representar valores que crecen indefinidamente hacia el infinito, siendo estos

valores mayores que cualquier número por grande que sea) En una expresión algebraica cuando el valor de la expresión

adquiere forma indeterminada, se llama valor verdadero de dicha expresión, el valor de otra expresión que sea equivalente a la dada para todos los demás valores de las variables.

Valor Verdadero

Para calcular su verdadero valor o levantar la indeterminación, se siguen los siguientes pasos: Se descompone en factores el numerador y el

denominador buscando el factor x-a. Se simplifica en ambos miembros de la fracción ese factor. Se reemplaza nuevamente x=a. Si el resultado vuelve a

tomar la forma indeterminada se reitera el procedimiento; en caso contrario, el resultado obtenido constituye el verdadero valor.

Ejemplo

Determinar el valor verdadero de la fracción:

(4x- 3)(2x+3) 2x+3=

(4x- 3)(3x-1) 3x-1

3 6+122 +3184 4= =

9- 43 53 -144

2

2

8x +6x- 9 3 para x=

12x -13x+3 4

Racionalización de Fracciones

“La racionalización es una operación que tiene por objeto transformar un denominador irracional en otra fracción

equivalente cuyo denominador sea racional.”

Esto significa que cuando se racionaliza el denominador de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador.

El factor racionalizarte de una expresión irracional, es otra fracción irracional que multiplicada por el numerador y denominador de una fracción, la convierte en una expresión racional.

Racionalización de Fracciones

Se presentan dos casos de racionalización: Cuando el denominador presenta radicales de cualquier índice

con radicando monomios. El factor racionalizarte del denominador es un radical del mismo índice.

Cuando el denominador irracional es un binomio, o expresión transformable a binomio cuyos radicales tiene por índice dos o uno de los factores es el factor racionalizarte del otro, a estos factores se les denomina expresiones conjugadas (se llaman así a dos expresiones que están formadas, una por la suma y otra por la resta de términos iguales).

Ejemplo

Racionalice el denominado de la fracción:

3 2 3

a

a - a+1 1

1

13

3

33 2

a

a

a

aa

1

13

a

aa

133

13

3

a

aa

Multiplicamos por un mismo valor el numerador

y el denominador