CAPITULO 4

DESPACHO ECONOMICO DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA 4.1. Introducción La operación económica de los Sistemas de Potencia es muy importante para recuperar y obtener beneficios del capital que se invierte. Las tarifas que fijan las instituciones reguladoras y la importancia de conservar el combustible presionan a las compañías generadoras a alcanzar la máxima eficiencia posible, lo que minimiza el costo del kWh a los consumidores y también el costo que representa a la compañía esta energía. La operación económica que involucra la generación de potencia y el suministro, se puede subdividir en dos partes: una, llamada despacho económico, que se relaciona con el costo mínimo de producción de potencia y otra, la de suministro con pérdidas mínimas de la potencia generada a las cargas. Para cualquier condición de carga, el despacho económico determina la salida de potencia de cada central generadora que minimizará el costo de combustible necesario. En este Capítulo, sólo se considerará la aproximación clásica al despacho económico. 4.2. Despacho económico sin considerar las pérdidas de la red

Se trata de una formulación simplificada del problema general que proporciona una visión física de la solución. Es directamente aplicable al reparto de potencias entre generadores de una misma central. 4.2.1. Formulación del problema

Dado un sistema con n nudos y m generadores y dadas todas las potencias demandadas por las cargas

DiS& , con i=1,2,...,n; determinar la potencia activa que debe generar cada generador Pi, cuyo costo de operación es Ci(Pi), con i=1,2,......,m, para minimizar el costo total CT. Es decir:

)P(C........ )P(C)P(C)P(CC mm2211

m

1iiiT +++== ∑

= (4.1)

Sujeto a:

m2

m

1i1iD P.......PPPP +++== ∑

= (4.2)

m,...,2,1i con PPP máx

iimíni =≤≤ (4.3)

Se observa que en la ecuación (4.2) la restricción de igualdad entre la potencia activa demandada por

las cargas PD y la potencia total generada es simplemente el enunciado del principio de conservación de la potencia activa en el caso de un sistema sin pérdidas en las líneas de transmisión. Desempeña el mismo papel que las ecuaciones de los flujos de potencias en la formulación general. 4.2.2. Solución sin considerar límites de generación

La Figura 4.1 muestra la característica de entrada típica del grupo turbina-generador i en función de la potencia de salida Pi, donde Hi corresponde a la entrada de combustible por cada hora de funcionamiento y Ci al costo del combustible necesario, que se puede obtener multiplicando los valores de la curva de Hi, por el costo del combustible. En la curva de costo Ci, es posible definir el denominado “costo incremental” CIi de la unidad generadora i como la derivada de la función de costo respecto de la potencia activa generada, esto es:

60

i

iii dP

)P(dCCI = (4.4)

Figura 4.1.- Característica entrada-salida típica de un grupo turbina-generador

Unidades de H: Se mide habitualmente en Mbtu/h o en kcal/h, donde: 1 Btu (British thermal unit) se define como la cantidad de calor necesario para elevar en 1º F la

temperatura de una lb de agua a la presión atmosférica normal. 1 kcal es la cantidad de calor necesario para elevar en 1º C la temperatura de un kg de agua a la

presión atmosférica normal. El costo incremental (Costo Marginal) CIi representa la pendiente de la curva de costo Ci y se puede

interpretar como el costo adicional por hora que tiene aumentar la salida de la máquina i en un MW. Si las unidades de Ci(Pi) son UM/h (UM=Unidades Monetarias), las unidades de CIi, son UM/h/MW

ó UM/MWh. En este caso especial, el problema se reduce a resolver solamente las ecuaciones (4.1) y (4.2), lo que

se puede plantear de la siguiente forma:

El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir:

0dPPC

..........dPPC

dPPC

dC mm

T2

2

T1

1

TT =

∂∂

++∂∂

+∂∂

= (4.5)

Como el costo de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma

Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

0dPdPdC

..........dPdPdC

dPdPdC

dC mm

m2

2

21

1

1T =+++= (4.6)

Por otro lado, suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante (debido a los

cambios relativamente lentos en la demanda, que puede considerarse constante en períodos de 2 a 10 minutos), su diferencial será:

0dP.......dPdPdP m21D =+++= (4.7)

Entrada Hi(Mbtu/h)

Costo Ci(UM/h)

Salida, Pi (MW) míniP máx

iP

CIi(Pi)

61Multiplicando la expresión (4.7) por un número real λ (multiplicador de Lagrange) y restando el

resultado al de (4.6), se obtiene:

0dPdPdC

..........dPdPdC

dPdPdC

mm

m2

2

21

1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ− (4.8)

La ecuación anterior se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero.

Esto es, cuando:

λ====m

m

2

2

1

1

dPdC

..........dPdC

dPdC

(4.9)

Por lo tanto, el costo mínimo de operación se tendrá cuando todas las unidades generadoras

funcionan con el mismo costo incremental y se cumple el balance de potencia dado por la ecuación (4.2). El sistema de m+1 ecuaciones permite calcular las m potencias a generar y el costo incremental λ del sistema. Ejemplo 4.1: Las curvas de costo de funcionamiento de dos generadores son: 2

1111 P01,0P45900)P(C ++= UM/H y 2

2222 P003,0P43500.2)P(C ++= UM/h. La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. Determine la potencia que debe entregar cada máquina, el costo incremental y el costo total por hora. Resolución: En este caso sencillo se puede obtener la solución en forma analítica (forma directa). En efecto, se debe cumplir que: λ=CI1=CI2 y que la suma de las potencias entregadas por los generadores sea de 700 MW; es decir, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

700PPP006,043CI

P02,045CI

21

22

11

=++==λ+==λ

(4.10)

Cuya solución es:

P1=84,6 MW; P2=615,4 MW; CI1=CI2=λ= 46,69 UM/MWh

La Figura 4.2 muestra gráficamente que el generador 2 (que tiene un costo incremental menor) toma la mayor parte de la potencia demandada.

Figura 4.2.- Solución gráfica para el Ejemplo 4.1

El costo total de operación (mínimo) del sistema se determina usando la expresión (4.1); es decir:

M/hU 92,876.34P003,0P43500.2P01,0P45900CCC 222

21121T =+++++=+=

CI1(P1)

CI2(P2)

45

43

Costos Incrementales

(UM/MWh

84,6 615,4 P (MW)

46,69

62

1 2

A

MVA

PG1= 84,64 MW PG2=615,37 MW 700 MWAGC ON AGC ON

Costo Total/hora: 34877,14 €/hr Costo Total: 1574,61 €Costo Marginal= 46,69 €/MWh

CI1= 46,69 €/MWh CI2= 46,69 €/MWh

Figura 4.3.- Solución del Ejemplo 4.1 mediante el simulador POWERWORLD En general, el problema se puede resolver mediante un proceso iterativo, denominado Método de

Iteración en λ, cuyo procedimiento es el siguiente:

Paso 1: Elegir un valor inicial de λ

Paso 2: Hallar las correspondientes potencias de los generadores, P1, P2, ....,Pm

Paso 3: Si ∑=

⟨−m

1iDi 0 PP , aumentar el valor de λ y volver al paso 2.

Si ∑=

⟩−m

1iDi 0 PP , reducir λ y volver al paso 2.

Si ε≤−∑=

m

1iDi PP , proceso terminado.

El valor de ε es un valor positivo que corresponde a la tolerancia aceptable para la solución.

4.2.3 Solución considerando los límites en las potencias generadas

En el acápite anterior, se ha supuesto que las potencias generadas estaban dentro de sus límites prácticos; o lo que es lo mismo, que se respetan las restricciones expresadas por la ecuación (4.3). Considérese ahora un sistema ejemplo con tres generadores, con las curvas de costos incrementales mostradas en la Figura 4.4, donde se señalan los límites máximos y mínimos de funcionamiento. Supóngase que para una potencia demandada PD el sistema funciona en la condición de igualdad de costos incrementales con un valor λ=λ1 para todas las máquinas. A partir de esa situación, a medida que aumenta la demanda, aumenta el valor de λ común, hasta que se alcanza la potencia máxima en alguna de las unidades de generación. En el ejemplo se aprecia cómo se alcanza primero el límite de la unidad 3, para λ=λ2. Un incremento adicional en la potencia demandada tendrá que ser satisfecho por un incremento en la generación de las unidades 1 y 2, funcionando con la condición de igualdad de costos incrementales; esta situación corresponde por ejemplo al valor λ3 de la figura. Este razonamiento, aunque sin una demostración matemática rigurosa, conduce a la siguiente solución expresada en palabras: si en el proceso de búsqueda de la solución uno o varios generadores alcanzan alguno de sus límites, sus correspondientes potencias quedan fijadas en los límites alcanzados; los generadores restantes deben funcionar con igual costo incremental. El costo incremental del sistema es igual al costo incremental común de estos últimos generadores.

63

Figura 4.4.- Curvas de costos incrementales con límites de potencia generada.

El procedimiento iterativo para hallar λ será, en este caso, el siguiente: Elegir un valor inicial de λ tal

que todos los generadores operen con el mismo costo incremental y dentro de sus límites. Si la elección de λ no es coherente con satisfacer la demanda, ajustarlo igual que en los casos en los que no se consideran límites. Si en este proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades. Ejemplo 4.2: Considere un rango de valores posibles para PD de 100 a 800 MW para las unidades de generación del Ejemplo 4.1, sujetas a los límites: 50 MW ≤ P1 ≤ 200 MW; 50 MW ≤ P2 ≤ 600 MW. Represente P1 y P2 en función de la potencia demandada para el despacho económico. En la Figura 4.5 se representan las curvas de costos incrementales de los generadores. En la Tabla 4.1 se aprecia que para valores de λ hasta 46, P1=50 MW (límite inferior), mientras que el generador 2 con P2=PD-50 MW suministra el resto de la carga. Cuando λ1=λ2=46, la máquina 2 suministra 500 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 550 MW.

Para valores de λ comprendidos entre 46 y 46,6 (46≤ λ ≤ 46,6), ninguna de las unidades alcanza sus

límites y se puede hallar P1 y P2 haciendo uso de las fórmulas de Costo Incremental del Ejemplo 4.1. Para λ1=λ2=46,6; la máquina 2 suministra su potencia máxima, 600 MW y la máquina 1 entrega 80 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 680 MW.

Para valores de λ mayores que 46,6; P2=600 MW (su límite superior) y P1=PD-600 MW. Si λ1=49;

ambas máquinas entregan su potencia máxima (200 MW y 600 MW respectivamente), con lo que se alcanza a servir la carga total de 800 MW. Los resultados se muestran gráficamente en la Figura 4.6.

Tabla 4.1.- Solución para el Despacho Económico del Ejemplo 4.2

PD (MW) P1 (MW) P2 (MW) CI (UM/MWh) CT (UM/h) 100 50 50 43,30 dC2/dP2 7.832,5 200 50 150 43,90 dC2/dP2 12.192,5 300 50 250 44,50 dC2/dP2 16.612,5 400 50 350 45,10 dC2/dP2 21.092,5 500 50 450 45,70 dC2/dP2 25.632,5 550 50 500 46,00 λ1=λ2 27.925,0 600 61,54 538,46 46,23 λ1=λ2 30.230,8 680 80 600 46,60 λ1=λ2 33.944,0 700 100 600 47,00 dC1/dP1 34.880,0 800 200 600 49,00 dC1/dP1 39.680,0

CI1(P1) CI2(P2) Costos Incrementales

P (MW)

CI3(P3)

(UM/MWh)

λ1

λ2

mín1P mín

2P mín3P máx

1P máx2P máx

3P

λ3

64

424344454647484950

0 100 200 300 400 500 600

CI (UM/MWh)

50

43,3

46,6

CI1

CI2

80P ; P (MW)1 2

Figura 4.5.- Costos incrementales de los generadores

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500 600 700 800680

P1; P2 (MW)

5080

550

P1

P2

P = P + P (MW)D 1 2

Figura 4.6.- Reparto de carga entre los generadores

1 2

A

MVA

PG1= 50,00 MW PG2=350,01 MW 400 MWAGC ON AGC ON

Costo Total/hora: 21092,73 €/hr Costo Total: 670,87 €Costo Marginal= 45,10

CI1= 46,00 €/MWh CI2= 45,10 €/MWh

Figura 4.7.- Solución del Ejemplo 4.2 mediante el Simulador POWERWORLD, para la carga de 400 MW

654.3. Despacho económico considerando las pérdidas en la red

Si todos los generadores están situados en una misma central o están próximos geográficamente, es razonable despreciar las pérdidas en las líneas para calcular el despacho económico. En cambio, si las centrales están separadas geográficamente, se deben considerar las pérdidas en las líneas de transmisión, con lo que el reparto económico determinado en el apartado anterior cambia.

En un caso sencillo supóngase que todas las unidades de generación del sistema son idénticas. Entonces, al considerar pérdidas en las líneas, es de esperar que sea más barato suministrar más potencia desde los generadores más próximos a las cargas. La forma más generalizada de abordar el problema del despacho económico considerando pérdidas en las líneas parte del supuesto de que se tiene una expresión para esas pérdidas Pp, en función de las potencias de salida de los generadores, de la forma:

)P......,,P,P(PP m21pp = (4.11)

4.3.1. Formulación del problema

Se trata de encontrar las potencias Pi para minimizar el costo total CT:

)P(C........ )P(C)P(C)P(CC mm2211

m

1iiiT +++== ∑

= (4.12)

Sujeto a:

0P)P,......,P,P(PP.......PPP)P(PP Dm21pm2

m

1i1Dipi =−−+++=−−∑

=

(4.13)

m,...,2,1i con PPP máx

iimíni =≤≤ (4.14)

La restricción en forma de igualdad es simplemente una manifestación del principio de conservación

de la potencia (activa).

Del mismo modo que en el caso de red sin pérdidas, considérese primero la situación en la que no existen límites de generación. El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir:

0dPPC

..........dPPC

dPPC

dC mm

T2

2

T1

1

TT =

∂∂

++∂∂

+∂∂

= (4.16)

4.3.2. Solución sin considerar límites de generación

Como el costo de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

0dPdPdC

..........dPdPdC

dPdPdC

dC mm

m2

2

21

1

1T =+++= (4.17)

Por otro lado, el diferencial del balance de potencias activas suponiendo que la potencia demandada

por las cargas PD es constante será:

66

0dPPP

......,dPPP

dPPP

)dP....dPdP(P)P(PPd mm

p2

2

p1

1

pm21

m

1iDipi =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

∂

∂+

∂

∂−+++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−∑=

(4.18)

Multiplicando la expresión (4.18) por un número real λ (multiplicador de Lagrange) y restando el

resultado al de (4.17), se obtiene:

0dPPP

dPdC

..........dPPP

dPdC

dPPP

dPdC

mm

p

m

m2

2

p

2

21

1

p

1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂+ (4.19)

La ecuación (4.19) se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero. Esto

es, cuando:

m1,2,.....,i 0PP

dPdC

i

p

i

i ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂+ (4.20)

O bien cuando:

m1,2,.....,i dPdC

1

1

i

i

iPpP =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=λ

∂∂ (4.21)

El coeficiente ∂Pp/∂Pi corresponde a las pérdidas incrementales de transmisión de la máquina i.

Designando al Factor de penalización Li para el i-ésimo generador como:

m1,2,.....,i 1

1L

iPpPi =

−=

∂∂ (4.22)

Se tiene que como dCi/dPi representa el costo incremental del i-ésimo generador, el sistema operará a costo mínimo, cuando el producto del costo incremental de cada unidad generadora por su Factor de Penalización Li sea el mismo para todas ellas. Por lo tanto, la solución del problema queda determinada por las m+1 ecuaciones siguientes, que permiten calcular las potencias a generar y el costo incremental del sistema:

0P)P(PP

1,2,.....mi CILm

1iDipi

ii

=−−

==λ

∑=

(4.23)

Se observa que ya no es condición de óptimo que cada generador funcione con el mismo costo

incremental. Los CI están ahora ponderados por los factores de penalización Li. Un factor de penalización elevado hace a la correspondiente unidad generadora menos atractiva. Es de esperar que las centrales alejadas de los centros de consumo tengan factores de penalización mayores que las más próximas a dichas cargas. 4.3.3. Solución considerando los límites de generación

Si se consideran los límites de generación, se tiene una solución análoga a la del caso sin pérdidas; es decir, hacer funcionar a todos los generadores que estén dentro de sus límites de tal forma que se cumpla que

67LiCIi=λ. Si en este proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades.

Para determinar el valor de λ en la iteración “k+1”; es decir, λk+1 se puede escribir:

kk1k λΔ+λ=λ + (4.24) Donde el valor del incremento de λ en la iteración k, Δλk se puede determinar como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−

λ−λ=λΔ ∑

∑∑ =

=

−

=

− m

1i

kipDm

1i

1ki

m

1i

ki

1kkk PPP

PP (4.25)

Ejemplo 4.3: Considere las características de costo de los generadores del Ejemplo 4.1; es decir,

21111 P01,0P45900)P(C ++= UM/h y 2

2222 P003,0P43500.2)P(C ++= UM/h. La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. La expresión simplificada de las pérdidas es de la forma:

MW. )P00009,0P00003,0(P 22

21p += Determine, utilizando el método de iteración en λ, la potencia que debe

entregar cada máquina, las pérdidas en el sistema, el costo incremental y el costo total por hora. Resolución: Las ecuaciones a considerar son:

( )

( )

0700PPP

)P00009,0P00003,0(P

P006,0430,00018P1

1CIL

P02,0450,00006P1

1CIL

p21

22

21p

22

22

11

11

=−−+

+=

+−

==λ

+−

==λ

(4.26)

Para utilizar el método de iteración en λ, conviene escribir las ecuaciones de la siguiente forma:

0700PPP

)P00009,0P00003,0(P00018,0006,043P

00006,002,045P

p21

22

21p

2

1

=−−+

+=

λ+−λ

=

λ+−λ

=

(4.27)

Para comenzar el proceso iterativo se puede considerar como valor de partida λ1, el determinado en el

Ejemplo 4.1, es decir; λ=46,69. La Tabla 4.2 muestra el desarrollo del proceso y los resultados obtenidos, donde se aprecia que en la iteración 10 (k=10) se obtiene una solución con ΔP=0,0000 y donde:

λ=50,3777 UM/MWh; P1=233,5840 MW; P2=489,6291 MW; CT=36.230,16 UM/h

68Tabla 4.2.- Método de iteración en λ aplicado al Ejemplo 4.3

K Δλ λ (UM/MWh) P1 (MW) P2 (MW) Pp (MW) ΔP=P1+P2-Pp-PD

(MW) CT=C1+C2

(UM/h)

0 0,0000 0 0 0 0 0 0 1 53,1196 46,6900 74,1183 256,1753 6,0711 375,7776 18.002,672 -40,2037 99,8096 2.108,9877 2.370,4513 639,1484 -3.140,2906 261.569,263 -11,3849 59,6059 619,5148 992,6379 100,1937 -811,9591 80.755,574 2,2001 48,2210 140,6968 355,6598 11,9783 215,6217 25.602,175 -0,0401 50,4211 235,4405 492,2513 23,4710 -4,2207 36.442,886 -0,0030 50,3809 233,7216 489,8234 23,2322 -0,3128 36.245,927 -0,0002 50,3779 233,5919 489,6402 23,2142 -0,0179 36.231,068 0,0000 50,3777 233,5845 489,6297 23,2132 -0,0010 36.230,219 0,0000 50,3777 233,5841 489,6291 23,2131 -0,0001 36.230,16

10 0,0000 50,3777 233,5840 489,6291 23,2131 0,0000 36.230,16

Al comparar estos resultados con los del Ejemplo 4.1, se aprecia que:

* Los costos incremental y total son ahora mayores, por que se han considerado las pérdidas.

* La potencia entregada por la máquina 1 aumentó y la entregada por la máquina 2 disminuyó, a pesar de que el costo incremental de esta última es menor. Ello se debe a que su Factor de Penalización es mayor.

Iteración en la potencia de los generadores: Una manera diferente de resolver este problema es la

siguiente:

1. Elegir valores de Pi tales que 0PPm

1iDi =−∑

=; es decir, en este paso, no se consideran las pérdidas.

2. Con los valores de Pi, calcular Li y Pp 3. Resolver el sistema de ecuaciones (4.28), para determinar λ y nuevos valores para Pi:

0P)P(PP

1,2,.....mi CILm

1iDipi

ii

=−−

==λ

∑=

(4.28)

4. Comparar los nuevos valores de Pi con los anteriores. Si hay una diferencia importante, volver al paso

2. En caso contrario, terminar el proceso

Otros Métodos de búsqueda de la solución son: Gradiente de Primer Orden y Gradiente de Segundo Orden. Ejemplo 4.4: Para el sistema de tres barras de la Figura 4.8, los datos en pu, base común (100 MVA), se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2. Considerando que las características de costo de los generadores son:

22222 P02,0P12100)P(C ++= UM/h y 2

3333 P01,0P10500)P(C ++= UM/h, determine, la potencia que debe entregar cada máquina, las pérdidas en el sistema, el costo incremental (marginal) y el costo total por hora. Los límites de potencia para cada máquina son: 50 ≤ P3 ≤ 200 y 100 ≤ P2 ≤ 400 MW.

69

Tabla Nº 1: Datos de las líneas

Línea Z (pu) Y’/2 (pu) 1-2 0,08+j0,12 j0,05 1-3 0,04+j0,06 j0,06 2-3 0,08+j0,18 j0,05

Tabla Nº 2: Datos de las barras

Barra Nº Tipo V (pu) PG QG PC QC 1 PQ - 0 0 2,0 0,252 PV 1,04 0,2 - 0,4 0,1

23

1SC1

G3 G2

SC2

PG2

Figura 4.8 3 SL 1,06 - - 0,0 0,0

1

23

A

Amps

A

Amps

A

Amps

190,5 MW 7,6 Mvar

61,5 MW 11,7 Mvar

200,0 MW 25,0 Mvar

V2= 1,04 puAngV2= -2,39 DegV3= 1,06 pu

AngV3= 0,00 Deg

V1= 0,99 puAngV1= -4,98 Deg

-25,4 MW -5,1 Mvar

25,9 MW -4,8 Mvar

-45,2 MW -14,6 Mvar

46,9 MW 6,9 Mvar

-154,8 MW -10,4 Mvar

164,6 MW 12,5 Mvar

Costo/Hr= 3681,7 €/hr Costo Total= 129517,4 €

Costo Marginal= 13,81 €/MWh

40,0 MW10,0 Mvar

AGC ONAGC ONCI2= 14,5 €/MWh

CI3= 13,81 €/MWh

Pcarga=240,0 MWPperd=12,0 MW

FdePen3= 1,00 FdePen2= 0,95

Figura 4.9.- Solución del Ejemplo 4.4 mediante simulador POWERWORLD 4.3.4. Cálculo de las pérdidas en la red

El método expuesto para optimizar la repartición de carga entre los generadores de un sistema, requiere desarrollar una expresión que permita determinar las pérdidas totales de transmisión en función de la potencia generada por ellos. Se aborda esta cuestión indicando uno de los métodos más importantes, aproximado pero sencillo. Según este método, para unas condiciones dadas de funcionamiento del sistema (o “caso base”) las pérdidas de transmisión son función cuadrática de las potencias de los generadores, lo que se puede escribir según las ecuaciones (4.29) o (4.30):

70

∑∑==

=m

1jjiij

m

1ip PPBP (4.29)

[ ] [ ] [ ][ ] P BP

P:

PP

B..BB:..::

B..BBB..BB

P..PPP t

m

2

1

mm2m1m

m22221

m11211

m21p =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= (4.30)

Donde los términos Bij son los llamados Coeficientes B o Coeficientes de pérdidas y [B] es la

matriz de coeficientes de pérdida. Los coeficientes Bij no son verdaderamente constantes sino que varían según el estado de carga del sistema y se obtienen a partir de los resultados de un Cálculo de Flujos de Potencia (caso base). Una vez determinados los coeficientes se tendrá una expresión para las pérdidas del sistema en función de las potencias generadas que, en rigor, sólo es válida para las condiciones correspondientes a esos valores concretos de las potencias de los generadores Pi. En la práctica, estos coeficientes pueden considerarse constantes, siempre que las condiciones del sistema no difieran drásticamente de las del caso base, respecto del cual han sido calculados. En un sistema real, dada la variación en la potencia demandada a lo largo de un día, la diferencia entre las condiciones de funcionamiento del sistema llegan a ser tan grandes que se hace necesario utilizar más de un conjunto de coeficientes B durante el ciclo de carga diario.

A partir de una fórmula de pérdidas explícita, el cálculo de ∂Pp/∂Pi es simple, suponiendo que Bij=Bji

∑=

=∂

∂ m

1jjij

i

p PB2PP

(4.31)

Existen varios métodos para la obtención de los coeficientes B. Para entender la formulación, se

presenta, a manera de ejemplo, el caso de un sistema simple (Figura 4.10) formado por dos generadores, un sistema de transmisión y una carga.

1 3 2

I1

4

G2aG1

Carga

b

c

I2

I +1 I2

Figura 4.10.- Sistema simple con dos generadores y una carga

Sean a, b y c las líneas de transmisión con resistencias Ra, Rb y Rc por las que circulan las corrientes cuyos módulos son 2121 II e I , I &&&& + , respectivamente. La potencia activa total perdida en el sistema de

transmisión Pp se puede escribir como:

c2

21b2

2a2

1p RII3RI3RI3P &&&& +++= (4.32)

Si se supone que 11 I e I && están en fase, entonces:

2121 IIII &&&& +=+ (4.33)

71 Escribiendo los módulos de las corrientes simplemente como: I1, I2 e I3, respectivamente, se tiene que las pérdidas se pueden escribir como:

)RR(I3RII6)RR(I3P cb22c21ca

21p ++++= (4.34)

Si P1 y P2 son las potencias trifásicas de salida de las máquinas, con factores de potencia fp1 y fp2 y V1 y V2 son los módulos de los voltajes entre líneas en las barras de los generadores, las corrientes I1 e I2 son:

22

22

11

11

fp V 3P

I fp V 3

PI == (4.35)

Por lo que las pérdidas quedan expresadas como:

22

22

cb22

2121

c212

12

1

ca21p )fp(V

RRP

)fp)(fp(VVR

PP2)fp(V

RRPP

+++

+= (4.36)

Que se puede escribir como:

2222122111

21p BPBPP2BPP ++= (4.37)

Donde:

22

22

cb22

2121

c12

21

21

ca11

)fp(VRR

B

)fp)(fp(VVR

B

)fp(VRR

B

+=

=

+=

(4.38)

Si los voltajes se expresan en kV, las resistencias en Ω/fase, las unidades de los coeficientes B son

1/MW y la potencia perdida Pp queda expresada en MW. Por supuesto que es posible hacer el cálculo en por unidad. Para el sistema en el cual han sido deducidos y con la suposición de que 21 I e I && están en fase, estos coeficientes entregan las pérdidas en forma exacta, por medio de la ecuación (4.37), solamente para los valores particulares de P1 y P2 que resultan de las tensiones y factores de potencia utilizados en las ecuaciones (4.38). Los coeficientes B son constantes al variar P1 y P2, sólo mientras las tensiones en las barras de los generadores mantengan un valor constante y los factores de potencia sean también constantes.

Problemas propuestos 4.1.- La entrada de combustible de una unidad generadora en Mbtu/h en función de la potencia de salida en MW se puede expresar a través de la expresión: H=120+5,8P+0,032P2 MBtu/h. El costo del combustible es de 2 UM/Mbtu. Determine: a. La ecuación del costo de operación en función de la potencia de salida. b. El costo promedio de combustible por MWh cuando P=200 MW. c. La ecuación del costo incremental en función de la potencia de salida. d. El costo aproximado de combustible adicional por hora para elevar la potencia de salida de la unidad de

200 a 201 MW.

724.2.- Los costos incrementales de combustible en UM/MWh para 4 unidades de una central son:

444333

222111

P0068,010CI P008,08CIP0096,06CI P012,09CI

+==λ+==λ+==λ+==λ

Si las cuatro unidades operan para cubrir una carga total de 800 MW, encuentre el costo incremental λ y la salida de cada una de las 4 unidades para que exista despacho económico. 4.3.- Repita el Problema 4.2, considerando que las potencias mínimas y máximas de salida de las unidades son: 50 y 200; 100 y 400; 80 y 250; 110 y 300 MW, respectivamente. 4.4.- Un sistema de potencia está alimentado por tres centrales que están operando en despacho económico. En estas condiciones, los costos incrementales de las plantas 1, 2 y 3 son respectivamente: 10; 9 y 11 UM/MWh. a. ¿Qué planta tiene el Factor de Penalización más alto y cuál el más bajo? b. ¿Cuál es el Factor de Penalización de la planta 1 si el costo por hora para incrementar la carga total

suministrada en 1 MW es de 12 UM/h? 4.5.- Un sistema de potencia tiene dos plantas generadoras. Los coeficientes B dados en por unidad sobre una base de 100 MVA y los costos incrementales dados en $/MWh son respectivamente:

2221113- P0096,06CI P012,06,6CI 10*

80,03-0,03-5

+==λ+==λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

a. Determine el Factor de Penalización de cada planta cuando la planta 1 suministra 200 MW y la planta 2

entrega 300 MW. b. ¿Es éste el despacho más económico? c. ¿Qué salida de planta se debe incrementar y cuál reducir? Explique. 4.6.- Resuelva el problema 4.5 utilizando el Método de Iteración en λ, para alimentar la carga de 500 MW. Considere 10 UM/MWh como valor inicial para λ del sistema.