opera tiva

2.5 CRAWLER TREAD: UN EJEMPLO DE MEZCLAS

Aunque el problema de PROTRAC, resulto ser un modelo de maximizacin, algunos

problemas del mundo real ocurren dentro de un contexto de minimizacin, pero si, por

ejemplo, el objetivo es el costo, entonces se buscara sin duda la minimizacin. Como

ejemplo, vamos a considerar el siguiente problema de la CRAWLER TREAD (bandas

para tractor oruga).

Se va a mezclar mineral procedente de cuatro minas diferentes para fabricar bandas para

un nuevo producto de la PROTRAC, un tractor oruga de tamao medio, el E-6, diseado

especialmente para competir en el mercado europeo. Los anlisis han demostrado que

para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensin y los requerimientos

mnimos se debe contar con tres elementos bsicos que para abreviar designaremos como

A, B Y C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener por lo menos 5 libras del

elemento bsico A, por lo menos100 libras del elemento B y al menos 30 libras del

elemento C. Estos datos se resumen en la figura 2.10. El mineral de cada una de las cuatro

minas diferentes contiene los tres elementos bsicos, pero en diferentes proporciones. Sus

composiciones, en libras por tonelada, se dan en la figura 2.11 los datos de los precios se

dan en la figura 2.12

DESARROLLO

ELEMENTO

BASICO

MINAS REQUERIMIENTOS

1 2 3 4

A 10 3 8 2 5

B 90 150 75 175 100

C 45 25 20 37 30

COSTO 800 400 600 500

PLANTEAMIENTO

F.O MIN 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4

RESTRICCIONES

10 X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 > = 5

90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 > = 100

45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 > = 30

X1 + X2 + X3 + X4 = 1

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 511.1111

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.259259 0.000000

X2 0.703704 0.000000

X3 0.037037 0.000000

X4 0.000000 91.111115

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 -44.444443

3) 31.666666 0.000000

4) 0.000000 -4.444445

5) 0.000000 -155.555557

NO. ITERATIONS= 0

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 800.000000 223.636307 120.000008

X2 400.000000 66.847809 300.000031

X3 600.000000 85.714294 118.269203

X4 500.000000 INFINITY 91.111107

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 5.000000 2.375000 0.250000

3 100.000000 31.666666 INFINITY

4 30.000000 0.714286 7.000000

5 1.000000 0.250000 0.043478

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL

EJEMPLO 1: ASTRO Y COSMO (UN PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS)

Una compaa de TV produce dos tipos de equipos para televisin, el astro y el cosmos. Hay dos

lneas de produccin, una para cada tipo de televisor, y dos departamentos, ambos intervienen en

la produccin de cada aparato. La capacidad de la lnea de produccin astro es de 70 televisores

diarios y la de la lnea cosmos es de 50. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este

departamento los televisores astro requieren 1 hora de trabajo y los cosmos 2. Actualmente, en el

departamento A se puede asignar un mximo de 120 horas de trabajo por da a la produccin de

ambos tipos de aparatos. En el departamento B se construye el chasis. En este departamento, los

televisores, astro requieren 1 hora de trabajo, igual que los cosmos. En la actualidad se puede

asignar un mximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento B para la produccin de ambos

tipos de televisores. La utilidad por aparato es de 20 y 10 dlares, respectivamente, por cada

aparato astro y cosmos. Estos datos se resumen en la figura 2.13.

Si la compaa puede vender todos los aparatos que se produzcan, Cul debe ser el plan de

produccin diaria de cada aparato? Revise el modelo de PROTRAC, y despus trate de formular

el problema del astro y cosmos como un programa lineal.

DESARROLLO

CAPACIDAD

DIARIA

UTILIZACIN DE TRABAJO POR

APARATO (HRS)

UTILIDAD POR

APARATO

DEPT. A DEPT. B

ASTRO 70 1 1 $20

COSMOS 50 2 1 10

DISPONIBILIDAD

TOTAL

120 90

PLANTEAMIENTO

F.O MAX 20X1 + 10X2

RESTRICCIONES

1X1 + 2X2 < = 120

1X1 + 1X2 < = 90

1X1 + 0X2 < = 70

0X1 + 1X2 < = 50

X1 + X2 = 1




1) 20.00000


X1 1.000000 0.000000

X2 0.000000 10.000000


2) 119.000000 0.000000

3) 89.000000 0.000000

4) 69.000000 0.000000

5) 50.000000 0.000000

6) 0.000000 20.000000

NO. ITERATIONS= 0





X1 20.000000 INFINITY 10.000000

X2 10.000000 10.000000 INFINITY




2 120.000000 INFINITY 119.000000

3 90.000000 INFINITY 89.000000

4 70.000000 INFINITY 69.000000

5 50.000000 INFINITY 50.000000

6 1.000000 69.000000 1.000000

2.9 EJEMPLO 2: BLENDING GRUEL (UN PROBLEMA DE MEZCLAS)

Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener protenas, carbohidratos y grasas en

las siguientes cantidades mnimas: protenas, 3 onzas, carbohidratos, 5 onzas, grasas, 4 onzas. Se

va mezclar cuatro tipos de combinaciones de cereal en diversas proporciones para producir una

lata de alimento para perro que satisfaga los requerimientos al costo mnimo. Los contenidos y

precios de 16 onzas d cada combinacin se da en la figura 2.14

Revise el modelo de mezclas de la CRAWLER TREAD y formule este problema de mezcla de

combinaciones como programa lineal. (Sugerencia: designe con x, la proporcin de la

combinacin i que habr en una lata de 16 onzas de alimento para perros, i = 1, 2, 3, 4)

DESARROLLO

ALIMENTO CONTENIDOS Y PRECIOS POR 16 OZ DE CEREAL PRECIO

CONTENIDO DE

PROTENAS

(OZ)

CONTENIDO DE

CARBOHIDRATOS

(OZ)

CONTENIDO DE

GRASAS (OZ)

1 3 7 5 $4

2 5 4 6 6

3 2 2 6 3

4 3 8 2 2

CANTIDAD

MINIMA

3 5 4

PLANTEAMIENTO

F.O MIN 4X1 + 6X2 + 3X3 + 2X4

RESTRICCIONES

3X1 + 5X2 + 2X3 + 3X4 > = 3

7X1 + 4X2 + 2X3 + 8X4 > = 5

5X1 + 6X2 + 6X3 + 2X4 > = 4

X1 + X2 + X3 + X4 = 1




1) 3.000000


X1 0.000000 0.500000

X2 0.166667 0.000000

X3 0.333333 0.000000

X4 0.500000 0.000000


2) 0.000000 -1.000000

3) 0.333333 0.000000

4) 0.000000 -0.500000

5) 0.000000 2.000000

NO. ITERATIONS= 1





X1 4.000000 INFINITY 0.500000

X2 6.000000 1.999999 3.000000

X3 3.000000 1.000000 3.000000

X4 2.000000 2.000000 INFINITY




2 3.000000 1.000000 0.500000

3 5.000000 0.333333 INFINITY

4 4.000000 0.250000 2.000000

5 1.000000 0.142857 0.038462

2.10 EJEMPLO 3: PROGRAMACION DE LA VIGILANCIA (UN PROBLEMA DE

PROGRAMACION)

Un gerente personal debe elaborar un programa de vigilancia de modo que satisfagan los

requerimientos de personal que se muestran en la figura 2.15

Los guardias trabajan turnos de 8 horas. Todos los das hay seis turnos. En la figura 2.16

se dan los horarios de entrada y de salida de cada turno. El gerente de personal quiere

determinar cuntos guardias debern trabajar en cada turno con el objeto de minimizar el

nmero total de guardias que satisfaga los requerimientos de personal.

DESARROLLO

TURNO HORA DE

ENTRADA Y

HORA DE

SALIDA

MEDIANOCHE

4 AM

4

AM

8

AM

8AM

MEDIODA

MEDIODA

4 PM

4

PM

8

PM

8 PM

MEDIANOCHE

1 MEDIANOCHE 8 AM

X1 X1

2 4 AM MEDIODIA

X2 X2

3 8 AM 4 PM

X3 X3

4 MEDIODIA 8PM

X4 X4

5 4 PM MEDIANOCHE

X5 X5

6 8 PM 4 AM

X6 X6

N MINIMO DE

OFICIALES

REQUERIDOS

5 7 15 7 12 9

PLANTEAMIENTO

F.O MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

RESTRICCIONES

X1 + X6 > = 5

X1 + X2 > = 7

X2 + X3 > = 15

X3 + X4 > = 7

X4 + X5 > = 12

X5 + X6 > = 9




1) 32.00000


X1 0.000000 0.000000

X2 8.000000 0.000000

X3 7.000000 0.000000

X4 0.000000 0.000000

X5 12.000000 0.000000

X6 5.000000 0.000000


2) 0.000000 -1.000000

3) 1.000000 0.000000

4) 0.000000 -1.000000

5) 0.000000 0.000000

6) 0.000000 -1.000000

7) 8.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 7





X1 1.000000 INFINITY 0.000000

X2 1.000000 0.000000 0.000000

X3 1.000000 0.000000 0.000000

X4 1.000000 INFINITY 0.000000

X5 1.000000 0.000000 1.000000

X6 1.000000 0.000000 1.000000




2 5.000000 INFINITY 5.000000

3 7.000000 1.000000 INFINITY

4 15.000000 INFINITY 1.000000

5 7.000000 1.000000 7.000000

6 12.000000 INFINITY 8.000000

7 9.000000 8.000000 INFINITY

2.11 EJEMPLO 4: UN MODELO DE TRANSPORTE

Una compaa tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un mximo

de 100 unidades y la segunda un mximo de 200 unidades del mismo producto. El potencial de

ventas del primer almacn es de 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Las utilidades que

se obtienen por las ventas en los tres almacenes son: 12 en el primero, 14 en el segundo y 15 en

el tercero. En la figura 2.20 se da el costo de la manufactura en la planta i y del transporte al

almacn j. la compaa desea determinar cuntas unidades debe transportar de cada planta a cada

almacn para maximizar la utilidad.

DESARROLLO

PLANTA ALMACEN OFERTA

(UNIDADES) 1 2 3

1 8 10 12 100

2 7 9 11 200

DEMANDA 150 200 350

PRECIO VENTA 12 14 15

PLANTEMIENTO

F.O MAX 4X11 + 4X12 + 3X13 + 5X21 + 5X22 + 4X23

RESTRICCIONES

X11 + X12 + X13 < = 100

X21 + X22 + X23 < = 200

X11 + X21 < = 150

X12 + X22 < = 200

X13 + X23 < = 350

COEFICIENTES

C1 12 8 = 4 C4 12 7 = 5

C2 14 10 = 4 C5 14 9 = 5

C3 15 12 = 3 C6 15 11 = 4




1) 1400.000


X11 100.000000 0.000000

X12 0.000000 0.000000

X13 0.000000 1.000000

X21 0.000000 0.000000

X22 200.000000 0.000000

X23 0.000000 1.000000


2) 0.000000 4.000000

3) 0.000000 5.000000

4) 50.000000 0.000000

5) 0.000000 0.000000

6) 350.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 3





X11 4.000000 INFINITY 0.000000

X12 4.000000 0.000000 INFINITY

X13 3.000000 1.000000 INFINITY

X21 5.000000 0.000000 INFINITY

X22 5.000000 INFINITY 0.000000

X23 4.000000 1.000000 INFINITY




2 100.000000 50.000000 100.000000

3 200.000000 0.000000 200.000000

4 150.000000 INFINITY 50.000000

5 200.000000 INFINITY 0.000000

6 350.000000 INFINITY 350.000000

2.12 EJEMPLO 5: CORPORACIN WINSTON SALEM DEVELOPMENT

(PLANEACIN FINANCIERO)

Esta es una interesante aplicacin de la programacin lineal a la planeacin financiera. La

corporacin Winston Salem Development (CWSD) est tratando de integrar su plan de

inversiones para los dos prximos aos. Actualmente, la CWSD tiene disponibles dos millones

de dlares para invertir. La CWSD espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las

inversiones previas. En la figura 2.21 se presentan los datos. Hay dos proyectos de desarrollo en

los que la compaa esta planeando participar.

1. en la figura 2.22 se muestra el flujo de caja que se tendra si la CWSD participara a un nivel

del 100% en el proyecto de Foster City Development (los nmeros negativos son inversiones y

los positivos son ingresos). As, para participar en el Foster City a nivel de 100% la CWSD tendra

que desembolsar de inmediato $1000000. A los 6 meses erogara otros $700000, etc.

2. un segundo proyecto consiste en hacerse cargo de la operacin de un antiguo proyecto de

vivienda media, con la condicin de que deben hacerse ciertas reparaciones iniciales. En la figura

2.23 se muestra el flujo de caja del proyecto, a nivel del 100% de participacin.

Debido a la poltica de la compaa, a la CWSD no se le permite pedir prestado dinero. Sin

embargo, al comienzo de cada periodo de 6 meses todos los fondos excedentes (esto es, los que

no sean colocados en Foster City o en proyecto de vivienda media) se invierten con un inters del

7% para este periodo de 6 meses. La CWSD puede participar en cualquiera de los proyectos a

nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirn

en forma proporcional. Por ejemplo, si la CWSD opta por participar en la Forest City, a nivel de

30%, el flujo de caja asociado con esta decisin seria 0.3 veces los datos de la figura 2.22. el

problema que actualmente encara la CWSD es decir que parte de los $2000000 en efectivo debe

invertirse en cada proyecto y cunto debe colocarse simplemente por el redito del 7% semestral.

La meta del administrador consiste en maximizar el efectivo que habr al final de los 24 meses.

Formule este problema como modelo de programacin lineal.

DESARROLLO

INGRESOS PROCEDENTES DE INVERSIONES PREVIAS

6 MESES 12 MESES 18 MESES

INGRESO $500000 $400000 $380000

FLUJO DE EFECTIVO DEL PROYECTO DE VIVIENDA PARA GENTES DE MEDIANOS

INGRESOS

INICIAL 6 MESES 12 MESES 18 MESES 24 MESES

INGRESO $800000 $500000 $-200000 $-700000 $2000000

PLANTEAMIENTO

F.O MAX 600000F + 2000000M + 1.07S4

RESTRICCIONES

1000000F + 800000M + S1 < = 2000000

700000F 500000M 1.07S1 + S2 < = 500000

-1800000F + 200000M 1.07S2 + S3 < = 400000

-400000F + 700000M 1.07S3 + S4 < = 380000

FLUJO DE EFECTIVO DE FOSTER CITY

INICIAL 6 MESES 12 MESES 18 MESES 24 MESES

INGRESO $-1000000 $-700000 $1800000 $400000 $600000




1) 5811886.


F 1.320755 0.000000

M 0.849057 0.000000

S4 3104037.750000 0.000000

S1 0.000000 0.669203

S2 0.000000 0.141972

S3 2607547.250000 0.000000


2) 0.000000 2.131909

3) 0.000000 1.367015

4) 0.000000 1.144900

5) 0.000000 1.070000

NO. ITERATIONS= 4





F 600000.000000 INFINITY 188112.984375

M 2000000.000000 150490.390625 400765.687500

S4 1.070000 0.290026 0.096394

S1 0.000000 0.669203 INFINITY

S2 0.000000 0.141972 INFINITY

S3 0.000000 0.713063 0.297529




2 2000000.000000 INFINITY 1285714.375000

3 500000.000000 900000.000000 1185772.000000

4 400000.000000 INFINITY 2607547.250000

5 380000.000000 INFINITY 3104037.750000

2.13 EJEMPLO 6: COMPAA LONGER BOATS YACHT: DESCRIPCION DEL

ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO CON RESTRICCIONES

La compaa longer boats yacht produce tres balandras de regatas de alto rendimiento. En tres

botes se llaman aguijn, rayo y rompiente. La figura 2.24 da los datos pertinentes sobre beneficios

y costos para el siguiente periodo de planeacin.

Como puede verse en estos datos, el costo fijo de estas actividades es considerable. Segn se

explic en la seccin 2.7, un costo fijo es un costo global que se paga sin importar la cantidad

que se vaya a producir. De esta manera, el mismo costo fijo de $3000000 para los rayos se pagara

as sea una produccin de 0, 1 o 40 botes. El alto costo fijo incluye los gastos por modificacin

de diseos, reconstruccin de moldes y pruebas de viajes en lagunas.

El anlisis del punto de equilibrio fue presentado en el captulo 1. La figura 2.25 muestra el

anlisis del punto de equilibrio en la produccin del aguijn. Vemos que si la longer boats fuese

a producir solo aguijones, tendra que producir por lo menos 1000 botes para llegar al punto de

equilibrio.

Sin embargo, el problema de la longer boats es ms complicado. En principio para el prximo

periodo de planeacin la administracion ha contratado ya la produccin de 700 aguijones. Otro

cliente ha solicitado 400 rompientes, solicitud que el administrador le gustara atender. Los

estudios del mercado de la longer boats ha convencido al administrador de que por lo menos 300

rayos deben ser producido: adems, la administracion est interesada en vender lo suficiente para

alcanzar el punto de equilibrio, pero ahora hay tres productos, as como compromisos previos e

indicaciones que se deben tomarse en cuenta. Partiendo de los principios bsicos, el administrador

observa que, en el punto de equilibrio.

DESARROLLO

BALANDRA PRECIO DE VENTA

POR UNIDAD

COSTO VARIABLE

POR UNIDAD

COSTO FIJO

AGUIJON $10000 $5000 $5000000

RAYO 7500 3600 3000000

ROMPIENTE 15000 8000 10000000

PLANTEAMIENTO

F.O MIN 5000S + 3600R + 8000B

RESTRICCIONES

5000S + 3900R + 7000B = 18000000

S > = 700

B > = 400

R < = 300




1) 0.1831000E+08


S 2806.000000 0.000000

R 300.000000 0.000000

B 400.000000 0.000000


2) 0.000000 -1.000000

3) 2106.000000 0.000000

4) 0.000000 -1000.000000

5) 0.000000 300.000000

NO. ITERATIONS= 1





S 5000.000000 714.285706 384.615387

R 3600.000000 300.000000 INFINITY

B 8000.000000 INFINITY 1000.000000




2 18000000.000000 INFINITY 10530000.000000

3 700.000000 2106.000000 INFINITY

4 400.000000 1504.285767 400.000000

5 300.000000 2700.000000 300.000000

opera tiva

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