Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matematica Sociedad Matematica

de Educacion (ONEM 2010) Peruana

Tercera Fase - Nivel 3

7 de octubre de 2010

- La prueba tiene una duracion maxima de 2 horas.

- No esta permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.

- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizartus calculos.

- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con laprueba. En caso de empate se tomara en cuenta la hora de entrega.

- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.

ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NUMERO ENTERO POSITIVO.

1. Si el polinomio x2+7x+12 es un divisor del polinomio x4+ax2+b, donde a y b son constantesreales. Calcula el valor de b− 2a.

2. En un salon de clases hay 20 alumnos. La profesora escogio un dıa del presente ano (2010)que no era dıa de cumpleanos de ninguno de sus alumnos, y en ese dıa pidio a cada alumnoque calcule la suma del ano en que nacio con su edad. Despues la profesora calculo la sumade los 20 numeros que le dieron los alumnos y obtuvo 40183. ¿De los 20 alumnos, cuantosaun no habıan cumplido anos hasta ese momento?

3. Si cotx · cscx = 2/3, halla (2 senx)4 + (2 cosx)4.

4. Sea ABC un triangulo acutangulo en donde la altura BH, relativa al lado AC, mide 4. Si secumple que ∠A = 2∠C y que AC = 11, halla el valor del area del triangulo rectangulo BHC.

5. Tenemos varias piezas de la forma:

¿Cual es la menor cantidad de piezas que se necesita para formar un cuadrado?

Aclaracion. Cada pieza esta formada por 5 cuadraditos. Las piezas se pueden girar.

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6. Cada una de las casillas de un tablero de 5× 5 debe ser pintada de un color, de tal forma quecada rectangulo de 1× 4, 4× 1 o de 2× 2 no tenga dos casillas del mismo color. ¿Cual es lamınima cantidad de colores que se necesita?

7. Sea A un conjunto formado por enteros positivos. El menor elemento de A es 21 y el mayorelemento de A es m. Si la suma de todos los elementos de A es un cuadrado perfecto. Deter-mina el menor valor posible de m.

8. En la siguiente figura se muestra un hexagono regular ABCDEF de area 60, en el que se hanmarcado los seis puntos medios de sus lados.

F E

D

CB

A

Halla el area del dodecagono sombreado.

9. Si θ es un angulo que satisface |sen 3θ| = |sen θ|, determina cuantos valores distintos toma laexpresion cos θ.

10. Considera una sucesion infinita a1, a2, a3, . . . , de enteros positivos. Supon que las siguientesdos condiciones son ciertas para todo entero positivo n:

an es multiplo de n.

|an − an+1| ≤ 4.

Determina el mayor valor que puede tomar a1.

GRACIAS POR TU PARTICIPACION

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