Ondas transversales en cuerdas

Como se muestra en la figura, si tomamos dos cuerdas del mismo material, pero de grosor

diferente, y las sometemos a la misma tensión para producir un pulso en cada una de ellas, las velocidades de propagación guardan una cierta proporcionalidad. También si se varía la tensión en una sola de las cuerdas, se encuentra que la velocidad de propagación de las

ondas varía.

Para determinar los factores de los cuales depende la velocidad de propagación de las

ondas en una cuerda, supongamos que la cuerda en la figura es sometida a una tensión 𝐹𝑇 y que se produce en su extremo una fuerza en dirección vertical, 𝐹𝑦, con el fin de hacerla

oscilar.

Para una sección de cuerda muy corta, de masa m, en el instante t = 0 la velocidad en la dirección vertical es igual a cero. Llamemos 𝑣𝑦 a la velocidad en la dirección del mismo

tramo en un instante posterior t.

𝐹 = 𝑚𝑎

𝑎 =𝛥𝑣

𝛥𝑡

𝐹𝑦 = 𝑚𝛥𝑣𝑦

𝛥𝑡

Dado que, 𝛥𝑡 = 𝑡 − 0 = 𝑡 y que 𝛥𝑣𝑦 = 𝑣𝑦 − 0 = 𝑣𝑦, entonces:

𝐹𝑦 . 𝑡 = 𝑚𝑣𝑦 Ecuación 1

Supongamos que las partículas de la cuerda, una vez empiezan su movimiento lo hacen

con velocidad 𝑣𝑦 constante, por tanto la distancia que recorren en el tiempo t es

𝑥 = 𝑣𝑦 . 𝑡.

Esto es una buena aproximación para tramos muy cortos de cuerda.

Si la velocidad con la cual se propaga la onda es v, en el mismo tiempo en que el extremo

de la cuerda recorre una distancia 𝑣𝑦 . 𝑡 , la onda recorre una distancia 𝑣𝑦 . 𝑡, la onda recorre

en dirección horizontal una distancia igual a 𝑣. 𝑡, en la figura se puede observar dos triángulos semejantes cuyo interior se ha sombreado, de manera que,

𝐹𝑦

𝐹𝑇=

𝑣𝑦 .𝑡

𝑣.𝑡 De donde

𝑣. 𝐹𝑦 . 𝑡 = 𝐹𝑇 . 𝑣𝑦 . 𝑡

Si remplazamos en esta expresión, la que ya habíamos obtenido (ecuación 1), 𝐹𝑦 . 𝑡 =

𝑚. 𝑣𝑦

Tenemos

𝑣. 𝑚. 𝑣𝑦 = 𝐹𝑇 . 𝑣𝑦 . 𝑡

De donde

𝑣. 𝑚 = 𝐹𝑇 . 𝑡

En el intervalo entre t = 0 y t, el pulso se propaga una distancia l con velocidad v, así que

𝑙 = 𝑣. 𝑡, es decir, 𝑡 =𝑙

𝑣 luego

𝑣. 𝑚 = 𝐹𝑇 .𝑙

𝑣, pasando v a multiplicar

𝑣2𝑚 = 𝐹𝑇 𝑙

𝑣2 =𝐹𝑇 𝑙

𝑚

Lo cual se puede expresar como

𝑣2 =

𝐹𝑇.𝑙

𝑙𝑚

𝑙

Por tanto 𝑣 = √𝐹𝑇

𝑚𝑙⁄

= √𝐹𝑇

𝜇

La velocidad de propagación de una onda en una cuerda depende de la tensión 𝐹𝑇 y de la

densidad de la masa por unidad de longitud (𝑚𝑙⁄ ) o densidad lineal 𝜇.

Ejemplo

1. Una cuerda de 99 cm de longitud y 22 g de masa, se somete a una tensión de 5 N

(ver figura). Si se producen 30 vibraciones en 10 segundos, calcula: a. La frecuencia de la onda generada. b. El periodo de vibración.

c. La velocidad de propagación de la onda. d. La longitud de la onda.

e. ¿Qué cambio experimenta la velocidad de propagación de la onda si la frecuencia aumenta?

f. ¿Qué pasa con la longitud de onda si la frecuencia aumenta?

2. Una cuerda tiene 6 m de longitud y una masa total de 60 g. Se encuentra tensionada con una fuerza de 25N. si un extremo de la cuerda vibra con una

frecuencia de 10hz, calcular: a. la velocidad de la onda que se propaga en la cuerda. b. La longitud de la onda.

FENÓMENOS ONDULATORIOS

Las ondas en su camino de propagación pueden experimentar una serie de cambios, tanto en su velocidad, como en su dirección e intensidad. Éstas se pueden ver afectadas en su comportamiento característico cuando en su trayectoria encuentra obstáculos, también de

medio o se encuentran con otras ondas de la misma naturaleza.

Reflexión de ondas: al arrojar un objeto a la superficie de un estanque, se generan frentes de onda circulares. Al chocar contra las paredes del estanque, las ondas generadas experimentan un cambio de dirección. A este fenómeno de las ondas se llama reflexió n

ver

La reflexión consiste en el cambio de dirección que experimenta una onda cuando choca con un obstáculo. La onda que se dirige hacia el obstáculo se llama onda incidente ,

mientras que la onda que se aleja del obstáculo después de haber chocado con éste se conoce como onda reflejada. El ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado.

𝜃𝑖 = 𝜃𝑟

Refracción de ondas: cuando una onda cambia de medio, la dirección y la velocidad de propagación de éstas también cambian. Este fenómeno se denomina refracción.

Al pasar de una región más profunda a una región menos profunda, la velocidad de las ondas disminuye y por tanto se observa una disminución en la longitud de onda. A su vez,

la dirección de propagación de las ondas cambia, sin embargo, la frecuencia permanece invariable, pues el número de vibraciones que se transmite de un medio a otro por unidad

de tiempo no cambia.

Interferencia: Se denomina interferencia a la superposición o suma de dos o más ondas.

Dependiendo fundamentalmente de las longitudes de onda, amplitudes y de la distancia relativa entre las mismas, se distinguen dos tipos de interferencias:

Constructiva: se produce cuando las ondas chocan o se superponen en fases, obteniendo

una onda resultante de mayor amplitud que las ondas iniciales.

Destructiva: es la superposición de ondas en antifase, obteniendo una onda resultante de menor amplitud que las ondas iniciales.

Polarización: cuando los planos de vibración de una onda se restringen a uno solo, se dice que la onda se ha polarizado. Si tenemos una soga, dependiendo de cómo movamos

el extremo de una soga, podemos producir ondas polarizadas o no-polarizadas. Si nuestra mano se mueve en una dirección única (por ejemplo horizontal) las ondas producidas serán polarizadas (en la misma dirección que el movimiento de la mano).

En cambio si nuestra mano se mueve en círculos, las ondas no serán polarizadas: a cada

segmento de soga en cada instante le puede tocar estar desplazada en cualquier dirección desde su posición de equilibrio (la línea verde).

Una onda no-polarizada se puede polarizar

Para polarizar una onda no-polarizada, basta con hacerla pasar por una ranura, que, como

no permite perturbaciones en más de una dirección, transforma la onda en polarizada. Mira el esquema:

La ranura recibe el nombre de polarizador. Muchos polarizadores de uso tecnológico son en realidad mallas de cientos y miles de ranuras muy pequeñas y casi invisibles.

Una onda polarizada en una dirección puede polarizarse en otra dirección.

Para cambiarle la dirección de polarización a una onda ya polarizada, basta con hacerla pasar

por un polarizador orientado en la nueva dirección que se busca. Esquema:

Difracción: Se denomina difracción de una onda a la propiedad que tienen las ondas de

rodear los obstáculos en determinadas condiciones. Cuando una onda llega a un obstáculo (abertura o punto material) de dimensiones similares a su longitud de onda, ésta se convierte en un nuevo foco emisor de la onda.

Esto quiere decir, que cuando una onda llega a un obstáculo de dimensión similar a la

longitud de onda, dicho obstáculo se convierte en un nuevo foco emisor de la onda. Cuanto más parecida es la longitud de onda al obstáculo mayor es el fenómeno de

difracción.

Principio de Huygens: cada punto de frente de onda puede considerarse como una fuente puntual generadora de ondas en la dirección de propagación de estas. Este fenómeno se conoce como principio de Huygens.

ONDAS SONORAS

El sonido es una onda mecánica longitudinal porque las partículas del medio vibran en la dirección de propagación de las ondas.

La frecuencia de las ondas sonoras está comprendida en el intervalo de 20 a 20000 vibraciones por segundo. Las ondas de frecuencia inferior a 20vib/s se llaman infrasónicas

y las superiores a 20000vib/s se llaman ultrasónicas y no son captadas por el oído humano.

Las ondas sonoras se producen al vibrar la materia. Por ejemplo al golpear una campana,

al pulsar una cuerda de una guitarra, etc. Para transmitirse el sonido, el sonido necesita de un medio elástico que vibre ya sea sólido, líquido o gaseoso. En el vacío las ondas

sonoras no se propagan por ser ondas mecánicas.

Los sonidos que el oído puede percibir, dependen de la vibración de la presión que el aire

experimenta al transmitirlos. Es así que la máxima variación de presión que nuestro oído

puede tolerar es de 28 𝑁 𝑚2⁄ .

Velocidad del sonido

Cuando observamos de lejos que una persona golpea un objeto y escuchamos el sonido

que se produce, podemos comprobar que el sonido emitido gasta cierto tiempo para llegar hasta nosotros. La velocidad con que viaja el sonido depende de la elasticidad del medio y de su densidad. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos en investigaciones

hechas acerca de la velocidad del sonido en diversos medios.

MEDIO TEMPERATURA ºC VELOCIDAD m/s

Aire 0 331.7

Aire 15 340

Oxigeno 0 317

Agua 15 1450

Acero 20 5130

Caucho 0 54

Aluminio 0 5100

Experimentalmente se ha observado que la velocidad de propagación del sonido en el aire

varía 0,6m/s por cada grado centígrado de temperatura; por lo tanto se puede calcular la velocidad del sonido en el aire en función de la temperatura (t) utilizando la expresión:

𝑣 = 𝑣𝑖 + 0,6𝑚

𝑠.0𝑐. 𝑡emp

Donde 𝑣𝑖 = 331,7𝑚/𝑠

La velocidad de propagación del sonido también se puede calcular conociendo la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, mediante la expresión:

𝑣 =𝑥

𝑡

También se puede utilizar la expresión.

𝑣 = 𝜆. 𝑓 o 𝑣 =𝜆

𝑇