Ondas

2 de enero de 2012

1. Movimiento Ondulatorio

Figura 1: Ondas producidas en la superficie del agua

Uno de los ejemplos mas sencillos para introducir el concepto de una ondason las olas que se producen en un estanque al dejar caer una piedra o agitarun punto de su superficie. Otros ejemplos son las ondas provocadas cuando sepulsa la cuerda de una guitarra,la propagacion del sonido, las ondas ssmicas,las vibraciones de los electrones en los atomos, el movimiento de las mareas.Todos estos ejemplos nos dan una idea de la importancia de los movimientosondulatorios en la Naturaleza.

Las ondas que vamos a estudiar son perturbaciones que se propagan en unmedio fsico como puede ser el agua, el aire, una cuerda, etc. y se denominanondas mecanicas. Otro tipo de ondas, las electromagneticas, se propagan sinnecesidad de ningun medio.

Las ondas transportan energa y cantidad de movimiento a traves del espaciosin que haya transporte de materia. En el ejemplo de las olas que se forman enun estanque, las partculas de agua se mueven hacia abajo y hacia arriba. Perono se desplazan en la direccion horizontal en la que se mueve la onda.

1.1. Tipos de ondas

Dependiendo de como se mueven las partculas del medio y como se propagala onda, estas se pueden clasificar en:

1

Figura 2: Ondas longitudinales y transversales

Ondas Transversales: la onda se propaga en una direccion perpendicularcon el movimiento de las partculas del medio. Un ejemplo de este tipo esla propagacion de una perturbacion en una cuerda tensa.

Ondas Longitudinales: en este caso la onda se propaga en una direccionque es paralela con el movimiento de las partculas del medio. Ejemplo deonda longitudinal es el sonido.

1.2. Velocidad de Propagacion

La velocidad c con la que se propaga una onda va a depender de las propiedadesdel medio en el que se propagan. Y no depende del movimiento de la propiafuente. ( Utilizaremos la notacion c para no confundir esta velocidad con la ve-locidad v con la que se mueven las partculas del medio ).

Ondas en una cuerda.

c =

FT

FT es la tension de la cuerda y es la densidad lineal, es decir =M

L.

Ondas sonoras.

c =

B

Aqu B es el modulo de compresibilidad y es la densidad del medio. Paralas ondas electromagneticas la velocidad de propagacion en el vaco c esla velocidad de la luz.

2

O

O

t = 0

x

x

y

y

c.t x

y = f ( x )

y = f ( x )

(a)

(b)

Figura 3: Propagacion de un pulso (a) Instante inicial t = 0. (b) Instante poste-rior t > 0. Las coordenadas en los dos sistemas de referencia estan relacionadaspor x = c t+ x

2. Ecuacion de Ondas

Tomemos como ejemplo la propagacion de un pulso en una cuerda repre-sentado en la Figura 3. La forma de la cuerda en el instante t = 0 se puederepresentar mediante una funcion y = f(x). Al cabo de cierto tiempo despues,el mismo pulso se habra desplazado por la cuerda una distancia c t. Las coorde-nadas de los sistemas de referencia estan relacionadas por la sencilla ecuacion:

x = x + c t

Y:

y = f(x) = f(x c t)

De forma resumida un pulso que se propague hacia la derecha tendra laforma matematica de f(xct). Si se propagara hacia la izquierda sera entoncesf(x+ c t). Sea cual sea la funcion f(x, t) siempre cumple la siguiente ecuaciondenominada ecuacion de ondas:

2f

t2= c2

2f

x2

Esta es una de las ecuaciones mas importantes de la Fsica y es aplicable atodo tipo de ondas tanto mecanicas como electromagneticas.

3. Ondas Periodicas

Si el extremo de una cuerda se mueve de manera periodica, entonces la ondaque se propaga es una onda periodica. Las ondas periodicas mas sencillas son

3

las ondas armonicas en las cuales el movimiento es un movimiento armonicosimple.

3.1. Ondas Armonicas

La expresion mas sencilla para describir una onda armonica supone que ent = 0 la posicion es y = 0, con lo cual la constante de fase del M.A.S es nula.As pues tendramos una expresion del tipo:

y(x, t) = f(x, t) = A sin(k x t) (1)

donde:

k = 2

se denomina numero de ondas.

= 2T

= k c y se denomina frecuencia angular.

c = T

es la velocidad de propagacion.

Las ondas armonicas son doblemente periodicas, en el espacio y en el tiempo.

Figura 4: Periodiciad en el espacio y el tiempo

4. Energa del movimiento Ondulatorio

Toda partcula afectada por una onda vibra alrededor de su posicion de equi-librio y posee una energa cinetica y otra potencial. Al pasar por la posicion deequilibrio la energa potencial es nula y la cinetica alcanza su valor maximo.

Teniendo en cuenta la ecuacion 1 vamos a obtener la velocidad con la que semueve una partcula:

v =dy

dt= A cos( t k x)

cuyo valor maximo es:

vm = A

As pues la energa cinetica maxima, que sera igual a la energa total, sera:

E = Ec(max) =1

2m v2

m=

1

2m2A2 (2)

4

r1

r2

1I

I < I2 1

Figura 5: Variacion de la intensidad con la distancia

El resultado anterior lo hemos obtenido para una partcula puntual peroahora vamos a extenderlo a una cuerda lineal en la que la masa se encuentradistribuida uniformemente con una densidad . Si seleccionamos la masa com-prendida en una longitud de onda m = . As pues si calculamos ahora lapotencia P , o ritmo de transferencia de energa durante un periodo de oscilacion:

P =E

t=

(1/2)2A2

T=

1

22A2

(

T

)

=1

22A2c

El ritmo de transferencia de energa en una cuerda es proporcional: (a) elcuadrado de la frecuencia angular, (b) el cuadrado de la amplitud de la onda y(c) de la velocidad de propagacion de la onda.

4.1. Intensidad Movimiento Ondulatorio

En un punto cualquiera del medio la intensidad del movimiento ondulatoriose mide por la energa que atraviesa por segundo una superficie unidad colocadaen dicho punto en direccion perpendicular a la direccion de propagacion.

La intensidad I se medira por tanto en julios/s.m2 es decir vatios/m2. Siconocemos la potencia con la que emite el foco, la denominamos P , la intensidaden un punto situado a la distancia r del foco sera:

I =P

4 r2

4 r2 es la superficie de la esfera que pasa por dicho punto. Para dosdistancias r1 y r2 las intensidades respectivas correspondientes a un foco guardanla relacion:

I1I2

=r22

r21

La intensidad de una onda esferica disminuye con el cuadrado de la distanciaal foco emisor.Como a su vez la energa ligada al movimiento ondulatorio de-pende del cuadrado de la amplitud segun la ecuacion 2, la intensidad cumplira lacondicion:

5

I1I2

=A2

1

A22

y comparando con la anterior nos queda:

A1A2

=r2r1

Lo que quiere decir que las amplitudes disminuyen en razon inversa con ladistancia al centro de oscilacion.

5. El Sonido

Las ondas sonoras son ondas mecanicas longitudinales cuya frecuencia esta com-prendida entre unos 20 Hz y 20,000 Hz. La propagacion de una onda sonoraconsiste en sucesivas compresiones y dilataciones del medio en el que se propagaque puede ser un solido, un lquido o un gas.

Medida de la Intensidad de un Sonido

La intensidad de un sonido, que se mide en decibelio(dB), se define medi-ante la expresion:

= 10 log

(

I

I0

)

donde I es la intensidad fsica del sonido e I0 es un nivel de referencia quetomaremos como el umbral de audicion:

I0 = 1012W/m2

Fuente I/I0 dBSusurro 103 30 dBConversacion 104 40 dBMusica Elevada, Trafico denso 107 70 dBEscape de Moto 109 90 dBConcierto Rock 1012 120 dBDespegue Avion( a 30m) 1013 130 dB

Cuadro 1: Intensidad fsica y nivel sonoro de algunos sonidos comunes

En el cuadro 1 se muestran algunos valores tpicos de la intensidad de al-gunos sonidos en distancias cortas.

Para hacernos una idea de lo que significan los dB, un sonido que sea diezveces mas intenso que otro tendra 10 dB mas. Por ejemplo la intensidad de unaconversacion es 10 veces superior al susurro. Si un sonido fuera 100 veces mas

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intenso entonces en la escala decibelica tendramos 20 dB mas. Y si fuera 1000veces mas intenso entonces tendramos 30 dB mas. El escape de una moto es unmillon de veces mas intenso que un simple susurro.

Ejercicios Resueltos

1. La funcion de una onda armonica que se mueve en una cuerdaes y(x, t) = 0, 03 sin(2, 2 x 3, 5 t) m. (a) En que sentido sepropaga y cual es la velocidad de la onda ?. (b) Determinar lalongitud de onda, la frecuencia y el periodo de la onda. (c) Cuales el desplazamiento maximo de cualquier segmento de la onda?. (d) Calcular la velocidad maxima de un segmento de la cuerda.

(a) Para determinar el sentido de propagacion de la onda vamos a expresara y(x, t) como una funcion de (x ct) o como funcion de (x+ ct).

y(x, t) = A sin(k x t) = A sin[k (x ct)]

As pues la onda viaja en el sentido positivo del eje X. En cuanto a lavelocidad de propagacion:

c =

T=

k=

3, 5

2, 2= 1, 59 m/s

(b) La longitud de onda, el periodo y la frecuencia:

=2

k=

2

2, 2= 2, 86 m

T =2

=

2

3, 5= 1, 80 s

f =1

T= 0, 557 Hz

(c) El desplazamiento maximo es la amplitud A = 0, 03 m.

(d) La velocidad de un punto cualquiera de la cuerda:

v =y

t= A cos(k x t) = 0, 105 cos(2, 2 x 3, 5 t) m/s

La velocidad maxima tiene lugar cuando la funcion coseno tiene el valor+ 1.:

vm = 0, 105 m/s

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2. El ladrido de un perro es de 1 mW de potencia. (a) Si esta po-tencia se distribuye uniformemente en todas direcciones, cuales el nivel de intensidad sonora a una distancia de 5 m. (b) Cual sera el nivel de intensidad de dos perros ladrando al mis-mo tiempo si cada uno desarrolla 1 mW de potencia ?.

El nivel de intensidad sonora se deduce de la intensidad fsica y esta de laexpresion I = P/(4r2). Para dos perros la intensidad sera la suma de lasintensidades.

La intensidad I1 a una distancia 5 m:

I1 =P14r2

=103W

4(5 m)2= 3, 18 106W/m2

Ahora determinados el nivel de intensidad del sonido:

1 = 10 log

(

I1I0

)

= 10 log

(

3, 18 106

1012

)

= 65, 0 dB

(b) La intensidad de los dos perros juntos sera I2 = 2 mW.

2 = 10 log

(

I2I0

)

= 68, 0 dB

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