ondas electromagnéticas. · esto plantea el problema de que ... para el segundo término de la ley...

Ondas electromagnéticas.

Repaso de ecuaciones de la electricidad y el magnetismo.

• Ley de Gauss. • Ley de Gauss (o ley de conservación del flujo magnético).

• Ley de Faraday (sólo f.e.m debida a campos magnéticos variables en el tiempo).

total o C

I l d B µ = ⋅ ∫ r r

• Ley de Ampere.

0 = ⋅ ∫ S

S d B r r

o S

Q S d E ε

= ⋅ ∫ r r

dt d m Φ

− = ε

∫ ∫ ⋅ − = ⋅ S d B dt d l d E

r r r r

Electricidad Magnetismo

Corriente de desplazamiento. Justificación (I).

Maxwell, en el s. XIX, se dio cuenta de que la ley de Ampere no se cumple en algunas situaciones.

Las superficies S 1 y S 2 se apoyan en la curva C, luego ambas deberían ser válidas para aplicar la Ley de Ampere.

Para la superficie S 1 : I I total =

Para la superficie S 2 : 0 = total I

Sin embargo:

Ejemplo:

Condensador total o

C

I l d B µ = ⋅ ∫ r r

Corriente de desplazamiento. Justificación (II).

Esto plantea el problema de que el resultado de aplicar la Ley de Ampere depende de la superficie que escojamos para calcular la corriente que atraviesa la curva C.

A Maxwell se le ocurrió corregir la Ley de Ampere incluyendo un término que tuviera en cuenta que la superficie S 2 la atraviesa un campo eléctrico que varía con el tiempo.

• Para la superficie S 1 :

• Para la superficie S 2 :

total o C

I l d B µ = ⋅ ∫ r r

0 = ⋅ ∫ C

l d B r r

Corriente de desplazamiento. Justificación (II).

Maxwell propuso:

Y a través de la superficie S 2 :

∫ ∫ ⋅ + = ⋅ S d E dt d I l d B o o total o

C

r r r r ε µ µ

Ahora, a través de la superficie S 1 :

total o C

I l d B µ = ⋅ ∫ r r

∫ ∫ ⋅ = ⋅ S d E dt d l d B o o

C

r r r r ε µ

1 S

2 S

I

A E r

I

Corriente de desplazamiento. Justificación (III).

o o A Q E ε ε

σ = =

r

o

Q EA S d E ε

= = ⋅ ∫ r r

Dentro del condensador:

dt dQ Q

dt d l d B o

o o o

C

µ ε

ε µ =

= ⋅ ∫

r r

Y como es la corriente I la que aporta la carga al condensador:

dt dQ I = I l d B o

C

µ = ⋅ ∫ r r 1 S

2 S

I

A E r

I

Queda:

Igual que si hubiéramos usado la superficie S 1 .

Ecuaciones de Maxwell.

A este conjunto de ecuaciones se las llama ecuaciones de Maxwell (en forma integral).

Con la modificación de Maxwell, las ecuaciones del electromagnetismo quedan:

• Ley de Gauss. • Ley de Gauss.

• Ley de Faraday.

∫ ∫ ⋅ + = ⋅ S d E dt d I l d B o o total o

C

r r r r ε µ µ

• Ley de Ampere Maxwell.

0 = ⋅ ∫ S

S d B r r

o S

Q S d E ε

= ⋅ ∫ r r

∫ ∫ ⋅ − = ⋅ S d B dt d l d E

r r r r


Ecuaciones de Maxwell. Particularización para el vacío.

Las ecuaciones de Maxwell predicen que en el vacío, un campo eléctrico que varía en el tiempo produce un campo magnético que varía en el tiempo y viceversa. Esto permite la existencia de ondas electromagnéticas.

En el vacío no hay cargas ni corrientes, así que queda:

∫ ∫ ⋅ = ⋅ S d E dt d l d B o o

C

r r r r ε µ

0 = ⋅ ∫ S

S d B r r

0 = ⋅ ∫ S

S d E r r

∫ ∫ ⋅ − = ⋅ S d B dt d l d E

r r r r

• Ley de Gauss. • Ley de Gauss.

• Ley de Faraday. • Ley de Ampere Maxwell.


Ondas electromagnéticas. Ejemplo. Radiación de un dipolo oscilante.

Las cargas del dipolo en movimiento representan una corriente. El sentido de la corriente en cada instante está indicado por la flecha.

Flechas rojas: campo eléctrico.

Flechas azules: campo magnético.

Sentido de la corriente.

Ondas electromagnéticas. Ortogonalidad de E y B.

En el ejemplo que hemos presentado, el campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares en todo momento y en todos los puntos del espacio.



Puede demostrarse que esto es cierto para todas las ondas electromagnéticas.

Ecuación de ondas.

Vamos a centrarnos a estudiar la propagación de los campos eléctrico y magnético en una dirección.

Por simplificar vamos a considerar que los campos varían en el espacio sólo a lo largo de la dirección de propagación, lo que no es cierto en el caso de la radiación de un dipolo oscilante.

Ox

Oy

Oz



Ecuación de ondas. Deducción (I).

∫ ∫ ⋅ − = ⋅ S d B dt d l d E

r r r r Aplicando la Ley de Faraday:

( ) ( ) y x E y x E l d E ∆ − ∆ = ⋅ ∫ 1 2

r r

Para el primer término:

El camino de integración es el de la figura.

Ox

Oy

Oz

1 x 2 x E r

A F

C D

y x x E l d E ∆ ∆

∂ ∂

≈ ⋅ ∫ r r

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ A

F

F

D

D

C

C

A

l d E l d E l d E l d E l d E r r r r r r r r r r

0 0

Ecuación de ondas. Deducción (II).

Para el segundo término de la Ley de Faraday:

∫ ∫ ∆ ∆ ∂ ∂

− = ⋅ − = ⋅ − y x t B e dS e B

dt d S d B

dt d

z z r r r r

Ox

Oy

Oz

B r

A F

C D

1 x 2 x

Nota: ∆x∆y es el área del rectángulo ACDF

Luego la ley de Faraday queda:

t B

x E

∂ ∂

− = ∂ ∂

Ecuación de ondas. Deducción (III).

Usando la Ley de AmpereMaxwell: ∫ ∫ ⋅ = ⋅ S d E dt d l d B o o

C

r r r r ε µ

Para el primer término:

( ) ( ) z x B z x B l d B C

∆ − ∆ = ⋅ ∫ 2 1

r r

Ox

Oy

Oz

B r

A F

C D

1 x 2 x z x x B l d B

C

∆ ∆ ∂ ∂ − = ⋅ ∫

r r

El camino de integración es el de la figura.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ A

F

F

D

D

C

C

A C

l d B l d B l d B l d B l d B r r r r r r r r r r 0 0

Ecuación de ondas. Deducción (IV).

Para el segundo término de la Ley de AmpereMaxwell:

∫ ∫ ∆ ∆ ∂ ∂

= ⋅ = ⋅ z x t E e dS e E

dt d S d E

dt d

o o y y o o o o ε µ ε µ ε µ r r r r

t E

x B

o o ∂ ∂

− = ∂ ∂ ε µ

Nota: ∆x∆y es el área del rectángulo ACDF

Luego la ley de Ampere Maxwell queda:

Ox

Oy

Oz 1 x 2 x

A F

C D E r

Ecuación de ondas. Deducción (V).

Tenemos dos ecuaciones:

t B

x E

∂ ∂

− = ∂ ∂

t E

x B

o o ∂ ∂

− = ∂ ∂ ε µ (I) (II)

=

∂ ∂

∂ ∂

x E 2

2

x E

∂ ∂

2 t E

x B

t t B

x o o ∂ ∂

=

∂ ∂

∂ ∂

=

∂ ∂

∂ ∂

− = ε µ

Haciendo:

Queda: 2

2

2

2

t E

x E

o o ∂ ∂

= ∂ ∂ ε µ

Por un procedimiento análogo se llega a:

2

2

2

2

t B

x B

o o ∂ ∂

= ∂ ∂ ε µ

Ecuación de ondas. Velocidad de propagación.

Se llaman ecuaciones de ondas, porque sus soluciones son ondas que se propaga con velocidad v.

2

2

2 2

2 1 t f

c x f

∂ ∂

= ∂ ∂ Las ecuaciones del tipo:

Como hemos encontrado: 2

2

2

2

t E

x E

o o ∂ ∂

= ∂ ∂ ε µ

Conclusión: Las ecuaciones de Maxwell en el vacío predicen la existencia de ondas electromagnéticas cuya velocidad es:

km/s 000 , 300 10 4 10 85 . 8

1 1 7 12

= × × ×

= = − − π µ ε o o

c

Ecuación de ondas. Solución general.

2

2

2 2

2 1 t f

c x f

∂ ∂

= ∂ ∂

La solución general de la ecuación:

Es: O bien:

Frecuencia angular (rad/s).

Frecuencia natural (Hz) Período

Número de ondas (m 1 ). Longitud de onda (m) k ω

π ω 2

= f

k π λ 2

=

ω π 2

= T

( ) ( ) kx t A t x f − = ω cos , Ondas que se propagan en el sentido positivo del eje Ox.

( ) ( ) kx t A t x f + = ω cos , Ondas que se propagan en el sentido negativo del eje Ox.

Ecuación de ondas. Solución general. Ejemplo.

Ejemplo: ( ) ( ) x t A t f π π 2 2 cos − = Dirección de propagación.

Ecuación de ondas. Longitud de onda.

La longitud de onda es la distancia entre dos crestas (máximos) o dos valles (mínimos) consecutivos de la onda.

( ) ( ) x t A t f π π 2 2 cos − = λ

Ecuación de ondas. Relación de dispersión.

( ) kx t A k x f

− − = ∂ ∂ ω cos 2

2

2

Sustituyendo en la ecuación de ondas: ( ) ( ) kx t A t x f − = ω cos ,

( ) kx t A c t

f c

− − = ∂ ∂ ω ω cos 1 2

2 2

2

2

Luego ha de cumplirse: O bien:

Ambas fórmulas reciben el nombre de relación de dispersión. La relación de dispersión establece una dependencia entre la longitud de onda, el período y la velocidad de propagación.

c k ω

= c

T λ =

Ecuación de ondas. Relación entre E y B.

En nuestro ejemplo, tenemos: ( ) ( ) t kx E t E o ω − = cos

Para hallar el campo magnético, hacemos:

( ) t kx k E t B

x E

o ω − − = ∂ ∂

− = ∂ ∂ seno ( ) ( ) ∫ − = dt t kx k E t x B o ω seno ,

( ) ( ) t kx k E t x B o ω ω

− = cos ,

Conclusión: El campo eléctrico y el magnético oscilan en fase y sus amplitudes están relacionadas por:

c E B o

o = Ox

Oy

Oz

E r

B r

Dirección de propagación.

Ecuación de ondas. Energía transportada por una onda electromagnética.

Como: ( ) ( ) t kx E t E o ω − = cos ( ) ( ) t kx B t x B o ω − = cos ,

Ox

Oy

Oz

E r

B r


En un instante dado, la densidad de energía en un punto vale:

( ) [ ] 2 2 1 t E u o E ε = ( ) [ ] 2

2 1 t B u o

m µ = ( ) m E u u t u + =

Normalmente resulta más útil saber los valores medios, que usando los valores eficaces del campo eléctrico y el magnético son:

2

4 1

o o E E u ε = 2

4 1

o o

m B u µ

=

Ecuación de ondas. Intensidad de una onda electromagnética.

Ox

Oy

Oz

E r

B r


Luego la densidad media de energía electromagnética en un punto alcanzado por la onda es:

2

2 2 2 2

4 1

4 1

4 1

4 1

c E E B E u o

o o o o

o o o µ

ε µ

ε + = + =

Se llama intensidad I de la onda a la cantidad de energía por unidad de superficie y tiempo que pasa por un determinado punto alcanzado por la onda.

2

2 1

o o cE c u I ε = =

(Vatios/m 2 )

2

2 1

o o E u ε =

Ecuación de ondas. Vector de Poynting.

Si tenemos en cuenta el carácter vectorial de los campos, en nuestro ejemplo:

Ox

Oy

Oz

E r

B r


( ) ( ) t kx e B t B z o ω − = cos r r ( ) ( ) t kx e E t E y o ω − = cos r r

Resulta que el vector:

• Apunta siempre en la dirección hacia la que se propaga la onda.

• El valor medio de su módulo es la intensidad de la onda.

Que recibe el nombre de vector de Poynting:

B E G o

r r r × =

µ 1

Estas propiedades se cumplen también para cualquier otra onda electromagnética.

Ondas planas. Definición.

El ejemplo que hemos estado utilizando es una onda plana.

Una onda plana es aquella en la que, en un instante dado, el campo eléctrico y el magnético son constantes en cada plano perpendicular a la dirección de propagación.

• La ecuación general de una onda plana es:

Los planos perpendiculares a la dirección de propagación reciben el nombre de frentes de ondas.

( ) r k t E E o r r r r

⋅ − = ω cos z y x e z e y e x r r r r r + + = ( ) r k t B B o r r r r

⋅ − = ω cos

Recibe el nombre de vector de onda. Su módulo es el número de ondas k y apunta en la dirección de propagación. k

r

E y B deben ser perpendiculares y cumplir ExB // k.

Ondas planas. Ejemplo.



Frentes de ondas.

k r

Ondas planas. Ejemplo en ondas en líquidos.

Frentes de ondas.

Espectro electromagnético.

Todas las ondas electromagnéticas tienen la misma naturaleza, la única diferencia esencial entre ellas radica en su frecuencia (o longitud de onda).

Sin embargo, dependiendo de su longitud de onda, varían:

• Los efectos que producen sobre la materia.

• La forma en la que interaccionan con la materia.

• Los fenómenos físicos que la producen.

Se llama espectro electromagnético a la clasificación de las ondas electromagnéticas según su longitud de onda, de acuerdo con sus efectos y fenómenos que las producen.


Corrientes libres

Fenómenos nucleares

Transiciones electrónicas de capas internas, aceleración sobre cargas moviéndose a velocidades relativistas.

Transiciones electrónicas de capas superficiales.

Excitaciones rotacionales y vibracionales de moléculas.


• La razón última de las diferencias entre unas ondas y otras se debe a que las ondas electromagnéticas son producidas por la materia e interaccionan con ella como partículas (fotones).

• La energía E de los fotones está relacionada con su frecuencia f en la forma:

hf E =

Constante de P lanck (6.63x10 34 J.s)

Para producir radiación electromagnética de una frecuencia f hace falta un proceso microscópico que involucre una energía E.

h

ondas electromagnéticas. · esto plantea el problema de que ... para el segundo término de la ley...

Documents