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OLIMPO MATEMATICO-MATEMATICA PURA Ao 1- Folleto N 7

_______________________________________________________________________ El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pg. 1 [email protected]

Empezar con el nmero de suerte, me viene bien.espero que a ustedes tambin les vaya

bien. Van las propuestas y luego las soluciones, y estamos agregando algunos aportes que me

estoy tomando de las redes sociales, alguna pgina que administro y otra de pblico saber, y que

precisamente trata de difundir la matemtica.

Problema 1

En la expresin a y b son nmeros enteros y positivos. Determinar el valor de a+b.

1910

218

1250

baab

ba

ab).(

Fuente: Aparecido en fb pgina de Boletines y Separatas de Antao por Sotil Socialista

Solucin

19121881

baba

ab)( 19121

88

1

baba

ab 170

8

1 babaab

17008

1 ba 1701 ba 169ba 213ba

De donde: a= 13 y b= 2, a+b = 15

Solucin: Por Sotil Socialista en pizarrn verde.

Problema 2

Un granjero descubre que si cuenta sus ovejas de 2 en 2, le sobra 1. Lo mismo pasa cuando las

cuenta de 3 en 3, de 4 en 4 etc... hasta de 10 en 10. Cul es el nmero ms pequeo posible de

ovejas que tiene el granjero?

Propuesto por: Justina Marimba 2001

Solucin

Sea n el nmero de ovejas. De acuerdo a la manera de contar del granjero, n es de la forma

2a+1, 3b+1, 4c+1, ..., 9i+1 y 10j+1. As que tenemos:

n = 2a+1 = 3b+1 = 4c+1 = ... = 9i+1 = 10j+1


______________________________________________________________________ El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pg. 2 [email protected]

n-1 = 2a = 3b = 4c = ... = 9i = 10j

Tenemos entonces que 2, 3, 4, ..., 9, 10 dividen a (n-1). El menor nmero que cumple con estas

expectativas es: 2*2*2*3*3*5*7. No podemos quitar algn factor porque al menos un nmero

del 2 al 10 no dividir a (n-1). Al mismo tiempo tenemos que este nmero tiene los factores re-

queridos. Por lo tanto n = 2*2*2*3*3*5*7+1 = 2521

Problema 3

Cuntas veces aparece el dgito 9 en la lista de los nmeros 1, 2, 3, . . . , 1998 ?

Solucin

Si hacemos una lista de los nmeros 000,

001, ..., 999, uno sobre el otro (escribiendo

tambin los ceros a la izquierda), obtenemos 3

columnas con 1000 dgitos en cada columna.

Notamos que cada uno de los 10 dgitos

0,...,9 aparece en igual proporcin en cada

columna, as que 9 aparece 3000/10 = 300

veces en la lista. Del 1000 al 1999 es el mis-

mo razonamiento para las 3 posiciones de la

derecha, y en 1999 aparece 3 veces. Conclu-

sin: el dgito 9 aparece 300 + (300-3) = 597

veces.

Problema 4

Resolver la ecuacin en R (conjunto de los nmeros reales):

log16x + logx2 = 5/4

Fuente: Archivos Terra

Solucin

Sabiendo: que: logbN = balogNalog , podremos escribir para log16x :

log16x = 42

1622 xlog

logxlog , una vez que log216 = 4, pues 24 = 16.



Substituyendo en la expresin original tenemos: 45

422 xlogxlog

Multiplicando ambos miembros por 4, (para eliminar el denominador 4), queda: 4.logx2 + log2x

= 5. Sabiendo que: balog

ablog1 , entenderemos fcilmente que:

xlogxlog

2

12 ,Substituyendo

nuevamente, 522

4 xlogxlog

Haciendo log2x = y (un cambio transitorio de variable), tendremos: 54 yy

Suponiendo y 0, podremos multiplicar ambos miembros de la igualdad por y, para eliminar el denominador y tendremos entonces:

4 + y2 = 5y, y pasando 5y para el primer miembro: y2 5y + 4 = 0

Resolviendo la ecuacin de segundo grado encontraremos: y = 4 y = 1

Como y = log2x (debido al cambio de variable) por lo tanto: log2x = 4 log2x = 1

De ah por definicin de logaritmo, concluimos inevitablemente que:

x = 24 x = 21 x = 16 x = 2. Luego el conjunto solucin es = {2;16}.

Solucin: Recopilada y traducida por Aldo Gil

Problema 5

El valor de (tg10 + cotg10).sen20 es:

Fuente: Exerccios Resolvidos III - FUVEST 94 - 1 fase Problema 2 (Brasil)

Solucin

Substituyendo la tangente y la cotangente en funcin de seno y coseno, vemos:

2101021010

1010 )cos.sen.(

sencos

cossen

Recordando que sen 2x = 2.senx.cosx y por esto sen 20 = 2.sen10.cos10



Solucin: Brasilera (traducida por Aldo Gil)

Problema 6

Tres hermanos estn reunidos festejando el

cumpleaos de uno de ellos.

Se dan cuenta que sus edades en aos son

tres nmeros primos distintos.

Esto ha ocurrido once veces en el transcurso

de sus vidas.

Ninguno tiene ms de 100 aos.

Cuntos aos cumpla el homenajeado,

cuando esto ocurri por primera vez?

Otras preguntas:

Cuntos aos le lleva el menor al del medio?

Cuntos aos tiene el mayor?

Solucin

Aqu hay truco o el enunciado es incorrecto.

El mejor resultado posible es para 10 veces,

con las edades del ms pequeo iguales a: 7,

11, 13, 17, 23, 31, 37, 41, 53, 67 con dife-

rencias de 6 entre el del medio y el menor y 24

entre el mayor y el del medio.

5, 7, 11, 17, 23, 31, 37, 47, 53, 61 con dife-

rencias de 6 entre el del medio y el menor y 30

entre el mayor y el del medio.

Si consideramos, incorrectamente, que 1 es un

nmero primo, a ambas soluciones le podra-

mos aadir el 1. Pero 1 no es primo.

Pero no, tiene truco ... Cuando el pequeo

cumpli 2 (nico primo par) aos, los otros

an tenan 7 y 31, o bien 7 y 37. Esa fue la

primera vez que sus edades eran todas pri-

mas. Las siguientes veces tiene que ser cuan-

do cumpla el ltimo en hacerlo de los dos ma-

yores y antes de que lo haga el pequeo.

Entonces, el cumpleaos que celebran no

puede ser el del menor, pero creo que podra

ser cualquiera de los otros dos. A no ser que el

enunciado se refiere al homenajeado en aquel

momento, cuando las tres edades fueron pri-

mas la primera vez, y no al homenajeado en el

cumpleaos actual. En ese caso, la primera

respuesta sera 2.

En cualquier caso, el mayor tiene 97 y el me-

nor le lleva -6 ":^) al del medio una parte

del ao, mientras en el resto le lleva - 5 ...

Solucin: Ignacio Larrosa Caestro



Problema 7

Realiza las operaciones necesarias para llegar al resultado de la derecha

42515

4115 nnn

Propuesto por: Antonela

Solucin

Tomaremos el lado izquierdo:

154115 nn =

4115415 n.n =

41155 n. =

4125 n

Solucin: Jos Ramn Brox

Problema 8

Resolver la ecuacin: (x2-3x+1)2-3(x2-3x+1)+1 = x.

Propuesto por Jimmy Chui Universidad de Toronto 1996

Solucin

Desarrollando y simplificando tenemos: x4-6x3+8x2+2x-1=0.(I).

Factorizamos el lado izquierdo de la forma:

(x2+ax+1)(x2+bx-1)=x4+(a+b)x3+abx2+(b-a)x-(II)

Igualando (I) y (II): a+b=-6

ab=8

b-a=2.

La primera y la tercera ecuacin resueltas nos dan los valores a=-4 y b=-2, valores que verifican

la segunda ecuacin ab=8. Luego la ecuacin queda formada as:

(x2-4x+1)(x2-2x-1)=0.

Resolviendo tenemos: x= 32 y x = 21 Otra solucin es aadiendo x2-3x+1 a ambos lados, y efectuando. (Queda para el lector)

Resuelto por: Jimmy Chui, traducido y adaptado por Aldo Gil



Problema 9

Encontrar todos los pares (a, b) tales que a y b sean nmeros enteros y a2 + ab + b2 es un mlti-

plo de 75.

Fuente: International Hungarian Mathematics Competition, Solutions for exercises "A" in Oc-

tober, 2000 A.300

Solucin

Considerar las siguientes identidades:

(x-2y)(2x-y)=2(x2+xy+y2)-7.xy;

(x-18y)(18x-y)=18(x2+xy+y2)-73.xy;

(x-1353y)(1353x-y)=1353(x2+xy+y2)-109.75.xy.

Se deduce que a2+ab+b2 es solo divisible por 75 si se cumple cualquiera de estas ecuaciones:

- a y b son ambos divisibles por 73;

- a=72p, b=72q, donde p 2q (mod 7) q 2p (mod 7);

- a=7p, b=7q, donde p 18q (mod 73) q 18p (mod 73);

- a 1353b (mod 75) b 1353a (mod 75).

Solucin: Los proponentes y traduccin de Aldo Gil C.

Problema 10

Aqu tienen el siguiente "problema", sacado de un libro de Ingreso a la UTN.

Fui a buscar trabajo y en un acto de soberbia al que cre que iba a ser mi jefe le dije que preten-

da ganar $120.000 por ao.

En seguida me di cuenta de que el seor no tena ni la ms mnima intencin de emplearme por-

que me contest: "Vea joven, un ao tiene 365 das pero Ud. duerme 8 horas por da, en total

122 das. Luego quedan 243 das laborables. Ud. descansa 8 horas por das, en total otros 122

das, luego quedan 121. Ud. no trabaja en los 52 domingos del ao, por lo que quedan 69 das.

Como los sbados trabaja medio da, por 52 sbados no trabajar 26 das, luego quedan 43. To-



dos los das tiene una hora libre para almorzar, lo que hacen 15 das en el ao, por lo tanto que-

dan 28 das. Este ao le corresponden 2 semanas de licencia, el 1 de mayo, el 25 de mayo, el 9 de

Julio y el 25 de diciembre, en total 18 das, quedan as solamente 10 das. No le parece una

exageracin pedir $120.000 por 10 das de trabajo?". Tena razn el jefe? Por qu?

Propuesto por: Problema del empleado by Oscar Canedo Donaire -Snark-Enero 1998

Solucin

Muy listo el jefe pero no tiene razn ya que, por ejemplo, cuando descuenta el domingo lo des-

cuenta 100% y previamente ya haba descontado 16 horas (8 de dormir y 8 de descanso) de cada

domingo.

Solucin: Alex Arbul

Ah!!!!, que satisfaccin, terminar el nmero 7 y seguir vivo, incluso con mi gato negro refunfu-

ando por entre mis piernas y luego de haber pasado bajo una escalera, vamos, vamos seamos

racionales..

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