obtención de la expresión de rayleigh en función de volatilidad relativa
DESCRIPTION
Se realiza el tratamiento matemático (demostración) para obtener la Expresión de Rayleigh en función de la volatilidad relativa.TRANSCRIPT
[Operaciones de Transferencia de Masa.
Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 408]
I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A
U n i v e r s i d a d d e P a m p l o n a
Yorman Zambrano Silva (1)
Transferencia de Masa II
Programa de Ingeniería Química
Universidad de Pamplona
Colombia
OBTENER LA ECUACIÓN DE RAYLEIGH EN FUNCIÓN DE LA VOLATILIDAD RELATIVA (α).
A partir de la ecuación (9.42):
Obtener la ecuación (9.45):
La ecuación (9.45) es una expresión matemática que relaciona la Ecuación de Rayleigh con la Volatilidad
Relativa.
[Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E.
Treybal. 2 Ed. Pág 407]
( * )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x
(1 ) 11
1 (1 ) 1
F W W
W F F
z x xFLn Ln Ln
W x z z
[Operaciones de Transferencia de Masa.
Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 387.
Primera Ecuación de la Página]
SOLUCIÓN.
Si la ecuación de Rayleigh es: 0 0 (y x)
L x
L x
dL dx
L
Para encontrar una expresión de Rayleigh para la volatilidad relativa se debe hacer cambio de límites:
L F x zf (xf)
L0 W x0 xw
Entonces la ecuación de Rayleigh queda: ( )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x
donde y = y*
Y, si la volatilidad relativa en función de y* es: *
1 ( 1)
xy
x
Se reemplaza *
1 ( 1)
xy
x
en la integral ( * )
F
W
F z
W x
dL dx
L y x
1 ( 1)
F
W
F z
W x
dL dx
L xx x
x
Solución de la Integral paso por paso:
(1 ( 1))
1 ( 1)
F
W
F z
W x
dL dx
L x x x
x
2
1 ( 1)
( 1)
F
W
F z
W x
dL xdx
L x x x
La integral queda entonces:
1. Resta de fracciones del denominador.
2. Se aplica ley de extremos y medios.
2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
F
W
F z
W x
dL xdx
L x x
2
1 ( 1)
( )( 1)
F
W
F z
W x
dL xdx
L x x
1 ( 1)
(1 )( 1)
F
W
F z
W x
dL xdx
L x x
3. Factorización del denominador.
3.1 La expresión 2 ( 1)x x x es igual
2( 1) ( 1)x x
3.2 La expresión 2( 1) ( 1)x x es igual
2( )( 1)x x
3.3 Si 2( ) (1 )x x x x quedaría la integral entonces
4. Realizando fracción homogénea a b a b
c c c
la integral queda entonces:
1 ( 1) 1 ( 1)
(1 )( 1) (1 )( 1) (1 )( 1)
F F F
W W W
z z z
x x x
x xdx dx dx
x x x x x x
1(1 ) ( )
(1 )A x B x
x x
1 (1 ) ( )A x B x
Se simplifica a:
Si 0x 1 (1 (0)) (0)A B
Entonces 1 B Si 1x 1 (1 (1)) (1)A B
Entonces 1 A
1 ( 1)
(1 )( 1) (1 )( 1)
F F
W W
F z z
W x x
dL xdx dx
L x x x x
1 1 1
( 1) (1 ) (1 )
F F
W W
F z z
W x x
dLdx dx
L x x x
5. Se cancelan los términos y se simplifican las integrales que resultaron:
)
(1
1F
W
z
xdx
x x
6. Se resuelve por fracciones parciales la siguiente integral:
1 1 1
(1 ) (
1 )
F F F
W W W
z z z
x x xdx dx dx
x x x x
La integral queda finalmente como dos integrales que se resuelven fácilmente:
1 1 1 1
1 (1 ) (1 )
W W W
F F F
W x x x
F z z z
dLdx dx dx
L x x x
(2)
7. Donde introduciendo todas las integrales:
(1) (3) (4)
Cabe resaltar que la Integral (3) y (4) son integrales iguales y por simplicidad se hace
en un mismo paso.
(1) F
W
dL FLn
L W
(2)
1 1 1
1 1
F
W
zF
xW
zdx Ln
x x
8. Solucionando cada una de las cuatro integrales:
(3) y (4) Son integrales iguales
1 1
1 (1 )
F
W
z
xdx
x
1
(1 )
F
W
z
xdx
x y
Sustitución:
1m x
dm dx
dm dx
1F
W
z
xdx
m
1F
W
z
xdx
m
Cambio de Límites para
quitar el Negativo:
1W
F
x
zdx Ln m
m
Wx
Fz
Reemplazando la variable original donde 1m x :
1
11
W
F
x
zdx Ln x
x
Wx
Fz
11
1 1
W
F
xW
zF
xdx Ln
x z
9. Introduciendo la respuesta de todas las integrales, queda como: 1
(1) (2) (3) (4)1
1 11
1 1 1
W WF
W F F
x xzFLn Ln Ln Ln
W x z z
Propiedad de Logaritmo (a) ( ) .Ln Ln b Ln a b
Se tiene entonces por propiedad de Logaritmo Natural que:
1 (1 )
1 (1 )
W F WF
W F W F
x z xzLn Ln Ln
x z x z
Obteniendo finalmente la expresión de Rayleigh en función de volatilidad relativa:
(1 ) 11
1 (1 ) 1
F W W
W F F
z x xFLn Ln Ln
W x z z