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OBTENCAO DE COEFICIENTESHIDRODINAMICOS PARA CILINDROS
CIRCULARES LISOS ATRAVES DESIMULACOES NUMERICAS
Pedro Henrique A↵onso Nobrega
Projeto de Graduacao apresentado ao
Curso de Engenharia Mecanica da Escola
Politecnica, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos ne-
cessarios a obtencao do tıtulo de Engenheiro.
Orientador:
Prof. Dr. Nısio de Carvalho Lobo Brum
Rio de Janeiro
Agosto de 2014
A↵onso Nobrega, Pedro Henrique
Obtencao de coeficientes hidrodinamicos para cilindros cir-
culares lisos atraves de simulacoes numericas / Pedro Henrique
A↵onso Nobrega - Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politecnica,
2014.
xvi, 58 p. il; 29,7 cm.
Orientador: Nısio de Carvalho Lobo Brum
Projeto de Graduacao - UFRJ/ Escola Politecnica/ Curso
de Engenharia Mecanica, 2014.
Referencias Bibliograficas: p. 50-52.
1. Cilindro circular 2. Simulacao numerica 3. RANS I.
Brum, Nısio de Carvalho Lobo. II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Escola Politecnica, Curso de Engenharia Mecanica.
III. Tıtulo.
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ
como parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro
Mecanico.
Obtencao de coeficientes hidrodinamicos para cilindros circulares lisos atraves de
simulacoes numericas
Pedro Henrique A↵onso Nobrega
Agosto de 2014
Orientador: Nısio de Carvalho Lobo Brum
Curso: Engenharia Mecanica
Atualmente, as principais ferramentas para a analise de fadiga de estruturas o↵shore sub-
metidas a vibracoes induzidas por vortices sao metodos semi-empıricos. Estes metodos
utilizam como dados de entrada coeficientes hidrodinamicos de cilindros submetidos a
oscilacoes forcadas obtidos experimentalmente. O uso de simulacoes numericas bidimen-
sionais na obtencao destes coeficientes permitiria a reproducao de condicoes mais proximas
das observadas na operacao sem um custo computacional excessivo. Neste trabalho e ava-
liada a viabilidade do uso de simulacoes numericas bidimensionais RANS para a obtencao
de coeficientes hidrodinamicos relativos ao escoamento ao redor de um cilindro circular
liso fixo para um numero de Reynolds de 10000. Nesse sentido, foram analisadas as per-
formances de dois modelos de turbulencia distintos: k � ! SST e k � " realizavel. Para
cada um dos dois modelos, analises de convergencia relativas as discretizacoes espacial e
temporal foram realizadas. Os coeficientes obtidos foram comparados com resultados ex-
perimentais.Uma correcao levando em conta a defazagem das oscilacoes do coeficiente de
sustentacao observada ao longo do eixo de um cilindro de comprimento finito foi aplicada
e o modelo k � " realizavel apresentou resultados satisfatorios, abrindo caminho para a
obtencao de coeficientes hidrodinamicos para cilindros submetidos a oscilacoes forcadas.
Palavras-chave: Cilindro circular, Simulacao numerica, RANS, Vibracoes induzidas por
vortices.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to Escola Politecnica/UFRJ as
a partial fulfillment of the requirements for the degree of Mechanical
Engineer.
Obtaining hydrodynamic coe�cients for smooth circular cylinders through numerical
simulation
Pedro Henrique A↵onso Nobrega
August 2014
Advisor: Nısio de Carvalho Lobo Brum
Course: Mechanical Engineering
Currently, the main tools for fatigue assessment of o↵shore structures under vortex in-
duced vibration are semi-empirical methods. These methods use as input hydrodynamic
coe�cients obtained by forced-oscillation experiments. The use of 2D numerical simula-
tions in obtaining these coe�cients would allow the reproduction of conditions closer to
the ones found during the operation of the structure without an excessive computational
cost. This work analyses the feasability of obtaining hydrodynamic coe�cients through
2D RANS numerical simulations of the flow around a fixed smooth circular cylinder for a
Reynolds number of 10000. Towards this goal, the performance of two turbulence models,
k�! SST and realizable k�", have been evaluated. For each of these models, convergence
analysis have been performed for space and time discretization. The obtained coe�ci-
ents have been compared to experimental results. A correction taking into account the
spanwise phase shift of the lift coe�cient oscillation has been applied and the realizable
k � " has shown satisfactory results, encouraging the use of the same methodology for
forced-oscillating cylinders.
Keywords : Circular cylinder, Numerical simulation, RANS, Vortex-induced vibrations.
vi
A meus pais.
vii
Agradecimentos
A meus pais, a quem dedico este trabalho, por tudo o que fizeram por mim e o apoio
incondicional em todos os momentos.
A Marcelo Caire e a equipe do Instituto SINTEF do Brasil, no qual este trabalho foi
realizado.
Ao Prof. Nısio, pela orientacao e pelo excelente curso sobre CFD.
A todos que contribuiram para o desenvolvimento das ferramentas de codigo livre que per-
mitiram a realizacao deste projeto: OpenFOAM, Paraview, Python, Matplotlib, Numpy,
LaTeX, entre outras.
A Solene Francois, pour le maillon rapide.
ix
Research is what I’m doing when I don’t know what I’m doing.
Wernher von Braun
Sumario
1 Introducao 1
1.1 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Escoamento ao redor de cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Vibracoes induzidas por vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Parametros importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Lock-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Um exemplo de codigo semi-empırico: VIVANA . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Obtencao experimental de coeficientes hidrodinamicos . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Descricao do experimento de Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Resultados obtidos por Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Fundamentos teoricos 16
2.1 Descricao das configuracoes analisadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Equacoes de conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Modelagem da turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 O metodo dos volumes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Acoplamento pressao-velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 O uso de simulacoes bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Experimentos numericos realizados 28
3.1 Domınio utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Propriedades do fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Metodo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 blockMesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 decomposePar, reconstructPar e calculo em paralelo . . . . . . . . . 34
3.2.3 pimpleFoam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4 pydroCoe↵s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xiii
4 Resultados obtidos 38
4.1 Convergencia temporal e espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.1 Convergencia com o modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.2 Convergencia com o modelo k � " realizavel . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Comparacao com os resultados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.1 Avaliacao dos resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Conclusao 48
5.1 A viabilidade do uso de simulacoes 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Metodo adotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Proximas etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Referencias Bibliograficas 50
A Modelos de Turbulencia 53
A.1 Modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.2 Modelo k � " realizavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A.3 Condicoes de contorno turbulentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
xiv
Lista de Figuras
Figura 1.1 Numero de Strouhal em funcao do numero de Reynolds . . . . . . . 4
Figura 1.2 Resultados obtidos por Feng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 1.4 Esquema do aparato experimental usado por Gopalkrishnan . . . . . 10
Figura 1.5 Coeficientes de arrasto medio - Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . . 13
Figura 1.6 Amplitudes dos coeficientes de arrasto - Gopalkrishnan . . . . . . . 13
Figura 1.7 Coeficientes de excitacao na direcao cross-flow - Gopalkrishnan . . . 14
Figura 1.8 Coeficientes de massa adicional - Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . 14
Figura 2.1 Esquemas de algoritmos de acoplamento pressao-velocidade . . . . . 25
Figura 2.2 Comprimento de correlacao adimensional em funcao de Re . . . . . 26
Figura 3.1 Esquema do domınio computacional utilizado . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 3.2 Malha 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 3.3 Detalhe da malha 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 3.4 Esquema das condicoes de contorno utilizadas . . . . . . . . . . . . 30
Figura 3.5 Workflow adotado neste projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 3.6 Estrutura tıpica de um caso em OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 3.7 Exemplo de serie temporal de CD e CL . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 4.1 Campos obtidos com o modelo de turbulencia k � " realizavel . . . . 43
Figura 4.2 Campos obtidos com o modelo de turbulencia k � " realizavel (cont.) 44
Figura 4.3 Perfis de variaveis ao longo do cilindro - k � " realizavel . . . . . . . 45
Figura 4.4 Comparacao entre os modelos k � " realizavel e k � ! SST . . . . . 46
Figura 4.5 Comparacao entre os modelos k � " realizavel e k � ! SST (cont.) . 46
Figura 4.6 Comparacao de perfis de variaveis ao longo do cilindro - fase 90o . . 47
xv
Lista de Tabelas
Tabela 1.1 Influencia do numero de Reynolds no escoamento . . . . . . . . . . 3
Tabela 1.2 Resultados experimentais para um cilindro fixo com Re = 10000. . . 12
Tabela 2.1 Parametros adotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Tabela 2.2 Constantes empregadas no modelo k � " standard . . . . . . . . . . 20
Tabela 3.1 Malhas usadas para analise de convergencia. . . . . . . . . . . . . . 29
Tabela 3.2 Condicoes de contorno na entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Tabela 3.3 Propriedades do fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tabela 4.1 Convergencia espacial com o modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . 39
Tabela 4.2 Convergencia temporal com o modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . 39
Tabela 4.3 Convergencia espacial com o modelo k � " realizavel . . . . . . . . . 40
Tabela 4.4 Convergencia temporal com o modelo k � " realizavel . . . . . . . . 40
Tabela 4.5 Comparacao das simulacoes 2D com os resultados experimentais . . 41
Tabela A.1 Constantes utilizadas no modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . . . . 55
Tabela A.2 Constantes utilizadas no modelo k � " realizavel . . . . . . . . . . . 57
xvi
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Contexto
Estruturas costeiras ou oceanicas sao submetidas a acao de ventos, correntes marinhas e
ondas. No contexto da exploracao o↵shore de petroleo e gas, risers e oleodutos usados
para o transporte de fluidos podem ter sua vida util reduzida consideravelmente sob a
acao de correntes devido ao fenomeno conhecido como vibracoes induzidas por vortices
(VIV).
Vibracoes induzidas por vortices acontecem devido a interacao entre a estrutura e o esco-
amento ao seu redor. A liberacao de vortices na esteira da estrutura induz uma oscilacao
das forcas de sustentacao e arrasto em frequencias que podem excitar certos modos de vi-
bracao da estrutura. Embora aparentemente simples, as vibracoes induzidas por vortices
sao um fenomeno extremamente complexo e um tema de pesquisa muito ativo atual-
mente [1,2], principalmente face a necessidade da industria do petroleo e gas de explorar
regioes cada vez mais profundas e ambientes mais hostis.
Apesar dos avancos recentes no uso de simulacoes computacionais levando em consideracao
a interacao entre fluido e estrutura, estas simulacoes ainda apresentam um alto custo para
propositos de engenharia [2]. Assim, projetos de risers e oleodutos baseiam-se atualmente
em metodos semi-empıricos onde coeficientes hidrodinamicos (de sustentacao e arrasto)
obtidos de forma experimental sao usados em combinacao com modelos estruturais. Dois
dos softwares largamente utilizados pela industria sao SHEAR7, desenvolvido por uma
equipe do MIT, e VIVANA [3], desenvolvido pelo instituto de pesquisa noruegues SINTEF.
No entanto, os coeficientes hidrodinamicos utilizados como dados de entrada para estes
softwares foram obtidos para cilindros de secao circular e superfıcie lisa submetidos a
escoamentos uniformes [4]. As condicoes que originam VIV em situacoes de interesse
1
pratico para a industria o↵shore podem ser bastante diferentes daquelas reproduzidas
experimentalmente. Proximidade entre a estrutura e o fundo submarino, rugosidade da
estrutura, ou diferentes nıveis de intensidade turbulenta do escoamento incidente sao
alguns dos parametros que podem variar, influenciando consideravelmente os coeficientes
hidrodinamicos observados [5].
Desta forma, o objetivo deste trabalho e avaliar a viabilidade do uso de simulacoes compu-
tacionais em 2D para a obtencao dos coeficientes hidrodinamicos necessarios aos codigos
semi-empıricos usados para projetos de engenharia. Tais simulacoes seriam mais simples
e logo menos custosas que simulacoes completas em 3D da estrutura inteira e ao mesmo
tempo, mais simples a colocar em pratica que experimentos fısicos para diferentes si-
tuacoes especıficas. Para isso, serao realizadas simulacoes numericas 2D de escoamentos
ao redor de um cilindro circular liso fixo a um numero de Reynolds de 10000. Dois modelos
de turbulencia do tipo RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) serao utilizados: k � !
SST e k� " realizavel. Os resultados obtidos serao comparados com dados experimentais
obtidos por GOPALKRISHNAN [4], atualmente usados como dado de entrada para o
software VIVANA [3].
Este trabalho foi desenvolvido como parte da linha de pesquisa sobre VIV em vaos livres
de oleodutos do grupo de Tecnologia Marinha do Instituto SINTEF do Brasil. Espera-
se que com a validacao da metodologia aqui descrita para cilindros fixos, sera possıvel
analisar sua extensao para cilindros submetidos a oscilacoes forcadas.
1.2 Escoamento ao redor de cilindros
Escoamentos ao redor de cilindros de superfıcie lisa podem apresentar caracterısticas di-
versas, de acordo com o numero de Reynolds, descrito pela equacao 1.1, onde U representa
a velocidade do escoamento livre, D o diametro do cilindro e ⌫ a viscosidade cinematica
do fluido.
Re =UD
⌫
(1.1)
O numero de Reynolds corresponde a razao entre as forcas de inercia e as forcas viscosas em
um dado escoamento e governa o comportamento da camada limite que se forma proximo a
parede do cilindro. Em consequencia, este parametro e determinante no desenvolvimento
da esteira e no fenomeno de liberacao de vortices. A tabela 1.1 resume a relacao entre
o numero de Reynolds e as caracterısticas de um escoamento ao redor de um cilindro
circular de parede lisa de acordo com SUMER & FREDSØE [5].
2
Tabela 1.1: Influencia do numero de Reynolds no escoamento ao redor de umcilindro circular de superfıcie lisa (adaptado de [5])
Re < 5 O escoamento segue o contorno do cilindro, sem se-paracao da camada limite
5 < Re < 40 Ocorre separacao da camada limite e um par de vorticessimetricos se forma na esteira do cilindro. O compri-mento desses vortices na direcao da corrente aumentacom o numero de Reynolds.
45 < Re < 200 A esteira se torna instavel e um dos vortices e liberado,levando a uma liberacao periodica de vortices de sinaloposto em cada lado do cilindro (vortex street).
200 < Re < 300 Os vortices na esteira se tornam turbulentos e a regiaode transicao se desloca em direcao ao cilindro. A li-beracao de vortices comeca a apresentar caracterısticastridimensionais.
300 < Re < 3⇥ 105 Regime subcrıtico. A esteira e completamente turbu-lenta mas a camada limite permanece laminar. Osvortices sao liberados em “celulas” ao longo do com-primento do cilindro.
3⇥ 105 < Re < 3.5⇥ 105 Regime crıtico. A camada limite se torna turbulentano ponto de separacao em um dos lados do cilindro.Surge um coeficiente de sustentacao medio devido a estaassimetria do escoamento.
3.5⇥ 105 < Re < 1.5⇥ 106 Regime supercrıtico. A separacao da camada limite eturbulenta em ambos os lados do cilindro. A regiao detransicao se localiza entre os pontos de estagnacao e deseparacao.
1.5⇥ 106 < Re < 4⇥ 106 Transicao superior. A camada limite e completamenteturbulenta em um dos lados do cilindro.
4⇥ 106 < Re Regime transcrıtico. A camada limite e completamenteturbulenta em ambos os lados do cilindro.
3
Outro parametro importante para a analise de escoamentos ao redor de cilindros e o
chamado numero de Strouhal, dado por:
St =fsD
U
(1.2)
onde fs e a frequencia de liberacao de vortices.
Figura 1.1: Numero de Strouhal em funcao do numero de Reynolds [6]
A relacao entre o numero de Strouhal e o numero de Reynolds e conhecida experimen-
talmente para um cilindro circular e apresentada na figura 1.1, retirada de [6]. Deve-se
notar que o numero de Strouhal e proximo de 0.2 para uma grande faixa de numeros de
Reynolds. Sabe-se ainda que o numero de Strouhal depende tambem de outros fatores
como a rugosidade do cilindro, a intensidade turbulenta do escoamento incidente e a razao
de aspecto do cilindro [7]. A razao de aspecto e a razao entre o diametro e o comprimento
do cilindro.
1.3 Vibracoes induzidas por vortices
O fenomeno de liberacao de vortices causa uma oscilacao nas forcas de sustentacao e
arrasto que agem sobre um cilindro imerso em um escoamento uniforme. Se o cilindro
estiver livre para se mover, ele responde as forcas oscilatorias movendo-se na direcao do
escoamento e na direcao simultaneamente perpendicular a esta e ao eixo do cilindro. Estas
direcoes serao denominadas a seguir pelos termos correntes na literatura sobre o assunto:
in-line (IL) e cross-flow (CF), respectivamente. Uma caracterıstica importante dessas
oscilacoes e o fato de a amplitude ser limitada a aproximadamente um diametro, nao
4
tendo assim consequencias catastroficas do ponto de vista operacional. No entanto, esse
tipo de vibracao pode causar uma importante fadiga da estrutura, reduzindo sua vida
util [4].
1.3.1 Parametros importantes
Alguns parametros importantes na analise de vibracoes induzidas por vortices sao:
Frequencia natural da estrutura na agua parada f
0
Frequencia natural que a estrutura apresentaria caso estivesse imersa na agua parada.
Velocidade reduzida Ur
Velocidade adimensional que pode ser definida por:
Ur = U/f
0
D (1.3)
onde U e a velocidade do escoamento incidente sobre o cilindro de diametro D.
Amplitude adimensional A/D
Razao entre a amplitude de oscilacao A e o diametro do cilindro.
Razao de aspecto l/D
Razao entre o comprimento do cilindro l e seu diametro.
Frequencia nao dimensional f0
Frequencia adimensional definida com base na frequencia de oscilacao do cilindro fosc.
f
0
= foscD/U (1.4)
Coeficientes hidrodinamicos
As oscilacoes induzidas por vortices estao intimamente ligadas as forcas de sustentacao e
arrasto sobre uma estrutura. Podem-se definir respectivamente coeficientes de arrasto e
sustentacao por:
CD =2FD
⇢lDU
2
(1.5)
CL =2FL
⇢lDU
2
(1.6)
5
onde ⇢ e a densidade do fluido, l o comprimento do cilindro e FD e FL as forcas de arrasto
e sustentacao respectivamente. Um outro parametro importante e a massa adicional.
Quando um cilindro se move em um reservatorio de fluido estacionario, uma forca age
sobre o cilindro no sentido contrario a sua aceleracao. Essa forca tem modulo igual a
forca necessaria para acelerar a massa de fluido deslocada e corresponde a chamada massa
adicional hidrodinamica Ma. A massa adicional causa um aumento da massa efetiva para
a analise dinamica [6]. Pode ser definido um coeficiente de massa adicional de acordo com
a equacao 1.7 [4].
Ca =4Ma
⇢⇡D
2
(1.7)
1.3.2 Lock-in
Quando a frequencia de liberacao de vortices fs se aproxima da frequencia de um dos
modos de vibracao do corpo, pode ocorrer o fenomeno da ressonancia, ou lock-in, como e
conhecido na literatura sobre VIV. A frequencia fs deixa de seguir a equacao 1.2 e passa
a ser igual a frequencia de oscilacao.
Figura 1.2: Resultados obtidos por FENG [8].
6
A figura 1.2 mostra os resultados obtidos no experimento classico com um cilindro livre
para oscilar na direcao transversal (cross-flow) realizado por FENG [8] em 1968. Este
experimento revelou diversas caracterısticas importantes do fenomeno de vibracoes induzi-
das por vortices, como a ressonancia e a histerese da relacao entre amplitude adimensional
e velocidade reduzida.
1.4 Um exemplo de codigo semi-empırico: VIVANA
Codigos semi-empıricos como VIVANA ou SHEAR7 continuam a ser o metodo mais usado
para a analise de fadiga em risers e oleodutos apesar dos recentes desenvolvimentos em
simulacoes numericas do tipo CFD (Computational Fluid Dynamics). A seguir, a tıtulo
ilustrativo, sera descrito o codigo VIVANA, desenvolvido pela MARINTEK, divisao do
instituto de pesquisa noruegues SINTEF dedicada a tecnologia naval e oceanica. Para
simplificar a descricao, baseada no manual teorico do codigo [3], sera abordado o caso em
que VIVANA considera apenas vibracoes na direcao cross-flow.
1.4.1 Metodologia
As etapas seguidas no caso da analise de vibracoes apenas na direcao cross-flow sao apre-
sentadas a seguir.
Realizar analise estatica
VIVANA usa o codigo de elementos finitos nao-linear e tridimensional RIFLEX, permi-
tindo grandes deslocamentos e calculando a posicao estatica do duto. A estrutura, riser
ou oleoduto, e discretizada em N elementos ao longo de seu eixo e sao levadas em consi-
deracao a interacao com o solo, o arrasto medio gerado pela corrente e o peso aparente
do duto.
Resolver o problema de autovalores usando a massa adicional para a agua
parada
VIVANA resolve em um primeiro momento o problema de autovalores para estrutura em
questao�M
0
� !
2
iK0
��i = 0 (1.8)
M0
e K0
representam as matrizes de massa e rigidez estruturais calculadas para a con-
figuracao estatica com o coeficiente de massa adicional para a agua parada Ca0. !i e �i
representam os i-esimos autovalor e autovetor respectivamente.
7
Identificar possıveis modos CF e IL
Sao identificados os autovetores correspondendo a modos de vibracao cross-flow (CF)
e in-line (IL). Para isso, para cada elemento j, VIVANA decompoe a componente �i,j
do i-esimo autovetor em �i,j,CF e �i,j,IL no sistema de coordenadas local do elemento j,
formado pelos vetores i,j,IL na direcao da componente da corrente normal ao eixo do
duto UN,j e i,j,CF na direcao perpendicular a i,j,IL e ao eixo do duto (figura 1.3). Sao
entao calculadas normas de acordo com as equacoes 1.9 e 1.10. Essas normas sao usadas
para definir se o modo corresponde a um modo CF ou IL. Nessas equacoes, Lj denota o
comprimento do elemento j.
||�i||CF =X
j
h�i,j,CF ,�i,j,CF iLj (1.9)
||�i||IL =X
j
h�i,j,IL,�i,j,ILiLj (1.10)
Figura 1.3: Direcoes IL e CF no sistema de coordenadas local do elemento j.
Identificar possıveis frequencias ativas
VIVANA seleciona como possivelmente ativos os modos cujas frequencias adimensionais
encontram-se entre 0.125 e 0.3. Esses limites podem ser alterados pelo usuario, tendo
sido definidos com base nos experimentos de GOPALKRISHNAN [4]. Eles correspon-
dem a faixa de frequencias adimensionais (ou velocidades reduzidas) em que a forca de
sustentacao excita o movimento.
Obter frequencias de oscilacao
As frequencias obtidas com o coeficiente de massa adicional para a agua parada nao
correspondem as verdadeiras frequencias de oscilacao pois o coeficiente de massa adicional
depende desta ultima, que por sua vez depende do mesmo coeficiente de massa adicional.
Assim, o seguinte procedimento iterativo e utilizado para cada modo ativo com o intuito
de obter as frequencias de oscilacao:
1. Obter o coeficiente de massa adicional para a frequencia dada;
8
2. Atualizar a matriz de massa;
3. Resolver novamente o problema de autovalores descrito pela equacao 1.8 obtendo
um novo valor para a frequencia de oscilacao.
Este procedimento e repetido ate a convergencia para cada modo ativo. Deve-se notar
que VIVANA faz a hipotese de que o coeficiente de massa adicional e independente da
amplitude do movimento.
Ordenar os modos obtidos
VIVANA ordena os modos de acordo com um de dois modelos: time-sharing e space-
sharing. No primeiro, considera-se que um modo dominante esta ativo ao longo de todo
o duto a cada instante e que os modos se alternam ao longo do tempo. No outro, cada
modo domina ao longo de uma secao do duto e esta reparticao e constante ao longo do
tempo.
Obter amplitudes e forma da resposta
VIVANA obtem a resposta no domınio da frequencia resolvendo a equacao:
� !
2(MS +MH)x+ i!(CS +CH)x+Kx = X (1.11)
MS e MH representam as matrizes de massa estrutural e hidrodinamica, CS e CH as
matrizes de amortecimento estrutural e hidrodinamico, K a matriz de rigidez, x a resposta
e X a resultante dos carregamentos externos. Deve-se ressaltar que VIVANA calcula as
forcas de sustentacao e arrasto para cada elemento j de acordo com a formulacao:
Fe,CF =1
2⇢DLjCe,CFU
2
N (1.12)
Para isso VIVANA necessita como dado de entrada dos coeficientes Ce,CF em funcao da
amplitude e da frequencia de oscilacao. Os valores de Ce,CF , para oscilacoes apenas na
direcao cross-flow, foram obtidos experimentalmente por GOPALKRISHNAN [4] atraves
de ensaios de oscilacao forcada.
1.5 Obtencao experimental de coeficientes
hidrodinamicos
Basicamente, dois tipos de experimentos sao conduzidos no estudo de VIV em cilindros
rıgidos de baixa razao de aspecto: oscilacoes livres e oscilacoes forcadas. No primeiro,
9
busca-se observar as amplitudes de deslocamento e no segundo as forcas que agem sobre
o cilindro [4]. Nestes ultimos, um cilindro e submetido a um deslocamento harmonico
prescrito a uma dada amplitude e uma dada frequencia e as forcas atuantes sao medidas.
1.5.1 Descricao do experimento de Gopalkrishnan
A figura 1.4 mostra um esquema do aparato experimental usado por GOPALKRISHNAN
[4]. Um suporte para um cilindro de alumınio polido de 2.54 cm de diametro, 60 cm de
comprimento e um peso de 0.24 kg. Placas foram instaladas nas duas extremidades para
manter a bi-dimensionalidade do escoamento. O suporte era transladado a velocidade
constante em um canal de forma que o numero de Reynolds fosse igual a 10000.
Figura 1.4: Esquema do aparato experimental usado por GOPALKRISHNAN [4].
Durante a translacao do suporte, o cilindro foi submetido a um movimento oscilatorio
forcado com frequencia amplitude imposta. Um transdutor de forca possibilitou a medida
das forcas de arrasto e sustentacao.
No caso da forca de sustentacao, o angulo de fase �
0
entre o movimento da estrutura e
a componente oscilante da forca e crucial na determinacao da acao desta ultima [4]. A
posicao de um cilindro oscilando a uma frequencia f
0
e amplitude A e dada por:
y(t) = A sin(2⇡f0
t) (1.13)
GOPALKRISHNAN [4] modela os componente F
0L e F
0D ignorando as oscilacoes da sus-
tentacao na frequencia correspondente ao numero de Strouhal fs, de acordo com as
10
equacoes 1.14 e 1.15.
FL = FL + FL0 sin(2⇡f0t+ �
0
) (1.14)
FD = FD + FD0
sin(2⇡(2f0
)t+ �
0
) (1.15)
O autor justifica tal simplificacao por duas razoes. Na principal regiao de interesse, onde
ocorre o lock-in, a liberacao de vortices ocorre na frequencia de oscilacao f
0
. Alem disso,
como nao ha oscilacao do cilindro na frequencia fs, nao haveria transferencia de energia
entre o cilindro e o escoamento nessa frequencia.
Desenvolvendo-se a equacao 1.14, e possıvel demonstrar [4] que os componentes do co-
eficiente de sustentacao em fase com a velocidade e a aceleracao do corpo sao dados
respectivamente pelas equacoes 1.16 e 1.17.
CL,V 0
= CL0 sin�0
(1.16)
CL,A0
= �CL0 cos�0
(1.17)
onde:
CL0 =2FL0
⇢lDU
2
(1.18)
O coeficiente CL,V 0
, correspondendo ao termo em fase com a velocidade do cilindro, e
chamado coeficiente de excitacao e sera representado pela notacao Ce,CF . A componente
da forca de sustentacao correspondente tendera a excitar o movimento caso Ce,CF seja
positivo e a amortece-lo caso este coeficiente seja negativo. Ja o coeficiente CL,A0
pode
ser relacionado ao coeficiente de massa adicional ja descrito pela equacao 1.7 [4]:
Ca = � 1
2⇡3
CL,A0
(A/D)f 2
0
(1.19)
Ambos os coeficientes Ce,CF e Ca sao utilizados pelos codigos semi-empıricos, como o
VIVANA, descrito na secao precedente.
1.5.2 Resultados obtidos por Gopalkrishnan
GOPALKRISHNAN [4] realizou inicialmente um ensaio com o cilindro fixo e Re = 10000.
Os resultados obtidos em 122 realizacoes estao resumidos na tabela 1.2. Nota-se que
embora os desvios-padroes do numero de Strouhal e do coeficiente de arrasto medio sejam
menores que 1% e 3% dos valores medios respectivamente, essa estatıstica atinge 23%
para a amplitude de oscilacao do coeficiente de sustentacao CL0. Observa-se ainda que
11
a amplitude de oscilacao do coeficiente de arrasto CD0
e muito menor que a mesma
amplitude para o coeficiente de sustentacao.
Tabela 1.2: Resultados obtidos por GOPALKRISHNAN [4] para um cilindro fixocom numero de Reynolds igual a 10000.
St CD CL0 CD0
Media 0.1932 1.1856 0.3842 0.0215Desvio-padrao 0.0014 0.0315 0.0873 0.0076
Em seguida, GOPALKRISHNAN [4] procedeu com uma serie de ensaios com oscilacoes
forcadas do cilindro. O autor selecionou 51 valores de frequencia adimensional entre 0.05
e 0.35 e 6 valores de amplitude adimensional entre 0.15 e 1.20. O autor mediu coeficientes
de arrasto, de excitacao e de massa adicional. O numero de Reynolds tambem foi mantido
a 10000 para todos os casos. Os resultados sao apresentados nas figuras 1.5 a 1.8.
A figura 1.5 apresenta os resultados para o coeficiente de arrasto medio CD . Nota-se uma
amplificacao do arrasto medio para o cilindro em oscilacao, principalmente para valores
de frequencia adimensional entre 0.15 e 0.18.
A figura 1.6 apresenta as amplitudes de oscilacao do coeficiente de arrasto CD0
medidas.
Embora para baixas amplitudes e frequencias essas amplitudes nao passem de 10% dos
valores medios observados na figura 1.5, elas podem ser muito maiores que estes para
amplitudes e frequencias maiores.
Os coeficientes de excitacao na direcao cross-flow obtidos sao mostrados na figura 1.7. O
contorno correspondente a Ce,CF = 0 e mostrado com um traco mais grosso, dividindo as
zonas de excitacao (Ce,CF > 0) e de amortecimento (Ce,CF < 0). Nota-se que a excitacao
ocorre para frequencias adimensionais entre 0.125 e 0.3.
A figura 1.8 apresenta os coeficientes de massa adicional Ca obtidos. O traco mais grosso
representa a transicao entre valores positivos e negativos, que ocorre de forma abrupta.
No entanto, nota-se que a frequencia para qual ocorre esta transicao e praticamente
independente da amplitude de oscilacao.
12
Figura 1.5: Coeficientes de arrasto medio obtidos por GOPALKRISHNAN [4].
Figura 1.6: Amplitudes de oscilacao dos coeficientes de arrasto obtidas porGOPALKRISHNAN [4].
13
Figura 1.7: Coeficientes de excitacao na direcao cross-flow obtidos porGOPALKRISHNAN [4].
Figura 1.8: Coeficientes de massa adicional obtidos por GOPALKRISHNAN [4].
14
1.6 Objetivos
O objetivo deste trabalho e verificar a viabilidade do uso de simulacoes numericas bidi-
mensionais para a reproducao dos experimentos realizados por GOPALKRISHNAN [4],
possibilitando uma nova forma de obtencao dos coeficientes hidrodinamicos usados como
dados de entrada para codigos como VIVANA. Em particular, busca-se a validacao da
metodologia descrita nas proximas secoes para a obtencao de coeficientes hidrodinamicos
para o caso do cilindro fixo. Tal validacao permitira o futuro estudo da viabilidade de se
extender essa metodologia a cilindros submetidos a oscilacoes forcadas.
Este trabalho tem por vocacao servir de base a desenvolvimentos futuros na linha de
pesquisa sobre VIV em vaos livres de oleodutos do Instituto SINTEF do Brasil.
15
Capıtulo 2
Fundamentos teoricos
2.1 Descricao das configuracoes analisadas
Tabela 2.1: Parametros adotados
Velocidade do escoamento livre U 0.01 m/sDiametro do cilindro D 1 mViscosidade cinematica ⌫ 10�6 m2/sNumero de Reynolds Re 10000
Para atingir os objetivos descritos na secao acima, serao realizadas simulacoes numericas
bidimensionais do escoamento ao redor de um cilindro circular liso para um numero de
Reynolds igual a 10000, sendo a velocidade do escoamento livre de 0.01 m/s, o diametro
do cilindro 1 m, a viscosidade cinematica da agua 10-6 m2/s. Esses valores sao resumi-
dos na tabela 2.1. As implicacoes do uso de simulacoes bidimensionais serao tratadas
posteriormente na secao 2.4.
2.1.1 Equacoes de conservacao
O escoamento em questao e considerado isotermico e portanto governado pelas equacoes
de conservacao de massa e quantidade de movimento, que podem ser escritas sob a forma
diferencial [9–12]:@⇢
@t
+r.(⇢u) = 0 (2.1)
@(⇢u)
@t
+r.(⇢uu) = �rp+r.T+ ⇢g (2.2)
u indica a velocidade do escoamento, p a pressao, T o tensor de tensoes atuantes no fluido
e g a resultante das forcas de corpo. Ao longo deste trabalho, o fluido e considerado
16
newtoniano com viscosidade constante. Neste caso, o tensor de tensoes pode ser escrito:
T = 2µ
D� 1
3(r.u) I
�(2.3)
onde D e o tensor de taxas de deformacoes dado pela equacao 2.4:
D =1
2
⇥ru+ (ru)T
⇤(2.4)
Para a velocidade do escoamento livre adotada o numero de Mach e menor que 0.3, de
forma que o escoamento pode ser considerado incompressıvel. Alem disso, serao despre-
zadas as forcas de corpo atuantes. As equacoes 2.1 e 2.2 podem entao ser reescritas [13]:
r.(⇢u) = 0 (2.5)
@(⇢u)
@t
+r.(⇢uu) = �rp+ µr2u (2.6)
Essas equacoes podem ser reescritas usando-se a notacao de Einstein:
@ui
@xi
= 0 (2.7)
⇢
✓@ui
@t
+ uj@ui
@xj
◆= � @p
@xi
+ µ
✓@
2
ui
@x
2
j
◆(2.8)
2.1.2 Modelagem da turbulencia
Para o numero de Reynolds adotado neste trabalho, o escoamento ao redor do cilindro
encontra-se no regime subcrıtico, em que a esteira do cilindro e turbulenta, embora a
camada limite ainda seja laminar no caso do cilindro fixo [5] . Uma das principais carac-
terısticas de escoamentos turbulentos e a grande faixa de escalas de tempo e comprimento
que dificulta enormemente a resolucao numerica das equacoes 2.7 e 2.8 na forma em que
elas se apresentam [11]. DONG & KARNIADAKIS [14] realizaram uma simulacao de
cilindros estacionarios e sob oscilacao forcadas utilizando simulacoes numericas diretas
(DNS), onde todas as escalas da turbulencia sao resolvidas. Tecnicas de processamento
em paralelo permitiram essas simulacoes cujo tempo de CPU foi de 20000 h a 250000 h
em funcao do refinamento da malha. Claramente, o custo computacional e muito acima
do desejado para uma metodologia que se presta a fins de projeto.
Uma alternativa e a aplicacao de medias as equacoes 2.7 e 2.8. Como no caso em questao
o escoamento depende do tempo, sera utilizada a media de conjunto, correspondente a
17
media entre um numero grande de realizacoes de uma variavel estocastica:
�(x, t) = limN!1
=1
N
NX
n=1
�n(x, t) (2.9)
Decompoe-se entao a velocidade do escoamento em uma componente media e uma flu-
tuacao:
�(x, t) = �(x, t) + �
0(x, t) (2.10)
Aplicando-se a decomposicao descrita pela equacao 2.10 as equacoes 2.7 e 2.8, obtem-
se a forma chamada Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS), a forma ponderada das
equacoes de Navier-Stokes [9–11]:@ui
@xi
= 0 (2.11)
⇢
✓@ui
@t
+ uj@ui
@xj
◆= � @p
@xi
+ µ
@
2
ui
@x
2
j
+@
@xj
��⇢u
0iu
0j
�(2.12)
As medias �⇢u
0iu
0j sao as chamadas tensoes de Reynolds e correspondem ao fluxo de
quantidade de movimento induzido pelas flutuacoes turbulentas da velocidade. Pode-se
escrever um tensor de tensoes turbulentas:
Tt = �⇢
0
B@u
02
x u
0xu
0y u
0xu
0z
u
0xu
0y u
02
y u
0yu
0z
u
0xu
0z u
0yu
0z u
02
z
1
CA (2.13)
As tensoes de Reynolds necessitam de equacoes adicionais ou algum tipo de modelagem
para que as equacoes 2.11 e 2.12 possam ser resolvidas [10, 11].
Boussisnesq propos a hipotese de que as tensoes turbulentas podem ser modeladas da
mesma forma que as tensoes viscosas a partir de propriedades do escoamento medio [9,10]:
� ⇢u
0iu
0j = 2µtSij �
2
3�ij⇢k (2.14)
onde �ij e o delta de Kronecker, µt = ⇢⌫t a viscosidade dinamica turbulenta, k a energia
cinetica turbulenta, dada por:
k =1
2(u
02
i ) (2.15)
e Sij a taxa de deformacao media dada por:
Sij =1
2
✓@ui
@xj
+@uj
@xi
◆(2.16)
18
Deve-se atentar para o fato de que, diferentemente da viscosidade cinematica ⌫ do fluido,
⌫t e uma propriedade que depende tambem do proprio escoamento [10]. Assim, tanto a
viscosidade cinematica quanto a energia cinetica turbulentas ⌫t e k precisam ser modela-
das.
Tecnicas de analise dimensional permitem definir [9, 10]:
⌫t = Cµ
pkL (2.17)
onde Cµ = 0.09 e L e um comprimento caracterıstico da turbulencia.
Os modelos de turbulencia mais utilizados para solucao numerica das equacoes ponderadas
de Reynolds incluem equacoes de transporte de propriedades turbulentas. Alguns dos
modelos mais utilizados serao brevemente descritos a seguir. Maiores detalhes sobre os
modelos de turbulencia utilizados neste trabalho serao fornecidos no apendice A.
Spalart-Allmaras
O modelo Spalart-Allmaras [15] foi originalmente desenvolvido para escoamentos aero-
dinamicos e usa uma variavel ⌫ com dimensoes de viscosidade definida por:
⌫t = ⌫fv1, fv1 =�
3
�
3 + c
3
v1
, � ⌘ ⌫
⌫
(2.18)
onde cv1 e uma constante do modelo. Esta variavel obedece a seguinte equacao de trans-
porte:D⌫
Dt
= P �D +3
2
�r. [(⌫ + ⌫)r⌫] + cb2(r⌫)2
(2.19)
P e D sao termos de producao e destruicao de ⌫, respectivamente. Em uma parede solida,
a condicao de contorno e ⌫ = 0.
Modelos k � "
Os modelos k � " modelam a viscosidade cinematica turbulenta utilizando a energia
cinetica turbulenta e sua dissipacao ". No caso do modelo k � " standard, a viscosidade
turbulenta e dada por:
⌫t = Cµk
2
"
(2.20)
19
onde Cµ e uma constante do modelo. Atraves da manipulacao das equacoes de Navier-
Stokes (2.7 e 2.8), podem ser obtidas equacoes de transporte para k e ":
Dk
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�k
◆rk
�+ Pk � " (2.21)
D"
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�"
◆�"r"
�+ C"1
"
k
Pk � C"2"
2
k
(2.22)
onde as constantes C"1, C"2, �k e �" usadas no modelo tem seus valores descritos na tabela
2.2 e ⌫t e determinado pela equacao 2.20. �k e �" correspondem aos numeros de Prandtl
turbulentos para k e " respectivamente.
Tabela 2.2: Constantes empregadas no modelo k � " standard [10].
Cµ C"1 C"2 �k �"
0.09 1.44 1.92 1.0 1.3
Duas variantes do modelo k� " standard sao os modelos k-" realizavel e RNG k� ", que
propoem diferentes metodos de calculo de viscosidade cinematica turbulenta, difusividades
de k e " e termos de producao e destruicao de " [10].
Modelos k � !
O modelo k � ! propoe equacoes de transporte para a energia cinetica turbulenta k e !,
a taxa de dissipacao especıfica:
! =k
⌫t
(2.23)
O modelo proposto por WILCOX [16] tem a seguinte forma:
Dk
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�k
◆rk
�+ Pk �Dk (2.24)
D!
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�!
◆r!
�+ P! �D! (2.25)
onde Pk e P! sao termos de producao, Dk e D! termos de dissipacao e �k e �! os numeros
de Prandtl turbulentos para k e ! respectivamente. A viscosidade turbulenta e modelada
pela equacao 2.26, onde ↵
⇤ e um termo de amortecimento que leva em conta efeitos
20
viscosos em regioes de baixo numero de Reynolds.
⌫t = ↵
⇤ k
!
(2.26)
O modelo k � ! representa melhor que o modelo k � " camadas limite submetidas a
gradientes adversos de pressao moderados e regioes de baixo numero de Reynolds. No
entanto este modelo e sensıvel a condicoes de contorno do escoamento livre para ! [17].
Para resolver este problema e permitir a modelagem de escoamentos onde o gradiente
de pressao adverso e forte e ocorre separacao da camada limite, MENTER [18] propos a
variante Shear Stress Transport (SST). No modelo k � ! SST, as equacoes de transporte
assumem a forma do modelo k � ! em regioes proximas a parede e do modelo k � " em
regioes de escoamento livre.
Neste trabalho foram usados os modelos k � ! SST e k � " realizavel. Estes modelos sao
descritos em detalhes no apendice A.
2.2 O metodo dos volumes finitos
O metodo dos volumes finitos e utilizado para se obterem equacoes algebricas a partir
das equacoes diferenciais parciais que governam o transporte de quantidades como massa,
quantidade de movimento ou escalares de uma forma geral. Estas equacoes algebricas
sao obtidas pela discretizacao do domınio em um numero finito de volumes de controle
para os quais sao aplicadas as equacoes de conservacao das quantidades que se deseja
calcular. Para um escalar generico �, pode-se escrever a equacao de conservacao na forma
integral [11]:
@
@t
Z
V
⇢�dV +
Z
S
⇢�u.ndS =
Z
S
�(r�).ndS +
Z
V
q�dV (2.27)
O primeiro termo do lado esquerdo da equacao 2.27 corresponde ao acumulo do escalar �
no volume de controle V . O segundo termo do lado esquerdo representa o fluxo convectivo
de � atraves de S, as fronteiras de V . Do lado direito da equacao, o primeiro termo
corresponde ao fluxo difusivo de �, com � denotando a difusividade. O ultimo termo
corresponde a geracao ou destruicao de � por um termo fonte q�.
Em geral, o domınio tridimensional e discretizado em poliedros, normalmente hexaedros
ou tetraedros. Assim, as integrais de superfıcie dos fluxos convectivos e difusivos podem
ser escritas de acordo como a soma dos produtos entre os fluxos medios fk e a area Sk de
21
cada uma das faces. Os fluxos medios podem por sua vez ser aproximados pelos valores
no centro da face: Z
S
fdS =X
k
fkSk ⇡X
k
fkSk (2.28)
Pode-se demonstrar que esta e uma aproximacao de segunda ordem se o valor do fluxo no
centro da face fk for conhecido [11]. Caso o contrario, fk deve ser obtido por interpolacao.
No caso do termo convectivo que aparece no lado direito da equacao (2.27), tem-se pela
equacao (2.28): Z
S
⇢�u.ndS ⇡X
k
(⇢u.n)kSk�k =X
k
Fk�k (2.29)
O termo Fk e o fluxo massico atraves da face k. O ındice k representa o valor de uma
quantidade na face k. Da mesma forma que o termo convectivo, o termo difusivo pode
ser aproximado atraves da equacao (2.28):
Z
S
�r�.ndS ⇡X
k
�k(r�)k.nkSk (2.30)
A integral de volume correspondente ao termo fonte pode analogamente pode ser aproxi-
mada pelo produto entre o valor do termo fonte no centro do volume de controle, (q�)P , e
seu volume �VP . Esta aproximacao tambem e de segunda ordem se o termo fonte variar
linearmente ou for constante dentro do volume de controle [11].
Z
V
q�dV = q��V ⇡ (q�)P�VP (2.31)
No caso em que se deseja uma solucao transiente para a equacao 2.27, o intervalo de
tempo total tambem deve ser discretizado em intervalos de tempo finitos �t. O termo de
acumulo pode entao ser discretizado, obtendo-se [19]:
@
@t
Z
V
⇢�dV ⇡ (⇢�)n+1
P � (⇢�)nP�t
(2.32)
onde (⇢�)P denota o valor de ⇢� no centro do volume de controle e os ındices n e n + 1
instantes de tempo consecutivos.
Enfim, obtem-se uma equacao de balanco algebrica para � em um dado volume de controle:
(⇢�)n+1
P � (⇢�)nP�t
= �X
k
Fk�k +X
k
�k(r�)k.nkSk + (q�)P�VP (2.33)
22
Dois tipos de arranjos de discretizacao podem ser realizados: colocalizado ou desencon-
trado (staggered) [11,12]. No primeiro dos dois casos, todas as variaveis sao armazenadas
na mesma malha, por exemplo no centro dos volumes de controle. No arranjo desen-
contrado, as variaveis sao armazenadas em malhas diferentes. Em geral, neste caso, o
campo de velocidades e armazenado nas faces do volume de controle. Uma descricao mais
detalhada dos dois metodos, incluindo uma discussao sobre vantagens e desvantagens de
cada um deles, pode ser encontrada em [11,12].
Tendo em vista a equacao 2.33, algumas questoes devem ser colocadas:
• Como obter valores de (r�)k ou �k nas faces a partir de valores de �P nos centros
dos volumes de controle? Que metodos de interpolacao utilizar?
• Se o termo fonte (q�)P for nao-linear, como lineariza-lo?
• Para que instantes de tempo devem ser computados os termos do lado direito da
equacao, n (formulacao explıcita) ou n + 1 (formulacao implıcita)? Em outras
palavras, como deve ser feita a discretizacao temporal?
Uma discussao detalhada sobre possıveis respostas a essas questoes foge ao escopo deste
trabalho e o leitor interessado deve se referir a [11, 12, 19]. E interessante ressaltar que
os metodos adotados sao determinantes na qualidade da solucao obtida e as escolhas
realizadas neste trabalho serao descritas posteriormente.
2.3 Acoplamento pressao-velocidade
O desenvolvimento apresentado na secao 2.2 considerou como conhecido o campo de
velocidades u. No entanto, quando se busca resolver as equacoes de conservacao de
quantidade de movimento, o campo de velocidades nao e conhecido a priori, de forma que
o termo convectivo r.(⇢uu) e nao-linear. Alem disso, ha um termo adicional dependente
do campo de pressao, que em geral tambem e desconhecido. Uma equacao de Poisson para
a pressao pode ser derivada a partir das equacoes de conservacao de momento (equacao
2.6) e massa (equacao 2.5) [19]. A equacao discretizada para o campo de velocidades pode
ser escrita sob a forma [19]:
aP
�un+1
P � unP
�= H(u)�rp (2.34)
onde H(u) indica um operador linear contendo discretizacoes dos termos convectivo, di-
fusivo e fonte e aP e o coeficiente correspondente ao volume de controle P .
23
Tomando a divergencia da equacao 2.34 e utilizando a conservacao de massa (equacao
2.5), tem-se a equacao de Poisson para a pressao [19, 20]:
r✓
1
aP
rp
◆= r
H(u)
aP
�(2.35)
As equacoes para velocidades 2.34 e pressao 2.35 podem ser resolvidas simultaneamente,
mas essa abordagem apresenta um custo computacional muito elevado [19]. Uma alterna-
tiva e resolver separadamente essas equacoes. Os metodos mais usados nesse sentido sao
os algoritmos SIMPLE [21] e PISO [20]. O primeiro, SIMPLE (Semi-Implicit Method for
Pressure Linked Equations), desenvolvido por PATANKAR & SPALDING [21], e comu-
memente utilizado para analsies no regime estacionario. Ja o segundo, PISO (Pressure-
Implicit with Splitting of Operators), foi desenvolvido por ISSA [20] e e mais adaptado a
solucao de escoamentos transientes.
O algoritmo SIMPLE pode ser descrito pela sequencia de operacoes a seguir [11,12,21]:
1. Usar estimativas a priori dos campos de pressao e velocidade p⇤ e u⇤ para solucionar
a equacao 2.34, obtendo-se um campo de velocidade estimado u⇤⇤.
2. Resolver uma equacao derivada da equacao 2.35, sendo obtida uma correcao para o
campo de pressao p
0.
3. Com p
0, corrigir o campo de pressao: p⇤⇤ = p
⇤ + p
0.
4. Corrigir o campo de velocidade a priori de forma que o novo campo u⇤⇤⇤ = u⇤⇤+u0
satisfaca a equacao da continuidade.
5. Usar os campos p⇤⇤ e u⇤⇤⇤ como estimativas iniciais em uma nova iteracao ate que
a convergencia seja obtida.
O algoritmo PISO e similar a uma iteracao do algoritmo SIMPLE, mas nint correcoes de
pressao sao resolvidas para cada passo de tempo, equivalente a uma iteracao do SIMPLE.
Essa correcao de momento adicional e conhecida como inner loop, ou iteracao interior. O
pacote OpenFOAM, utilizado neste trabalho, permite ainda o uso do algoritmo PIMPLE
[22], uma versao combinada dos algoritmos PISO e SIMPLE onde para cada passo de
tempo, um numero nout de iteracoes exteriores, ou outer loops, e executado. O algoritmo
PIMPLE possibilita desta forma o uso de passos de tempo superiores aos demandados
pelo PISO [22]. A figura 2.1 mostra esquemas dos tres algoritmos de acoplamento pressao-
velocidade tais quais implementados no OpenFOAM.
24
Resolver as equacoes de momento
Resolver o campo de pressao corrigido
Relaxar o campo de pressao
Corrigir o campo de velocidades
Resolver as equacoes do modelo de turbulencia
(a) SIMPLE
Resolver as equacoes de momento
Resolver o campo de pressao corrigido
Corrigir o campo de velocidades
Resolver as equacoes do modelo de turbulencia
nint
(b) PISO
Resolver as equacoes de momento
Resolver o campo de pressao corrigido
Relaxar o campo de pressao
Corrigir o campo de velocidades
Resolver as equacoes do modelo de turbulencia
nout nint
(c) PIMPLE
Figura 2.1: Esquemas de algoritmos de acoplamento pressao-velocidade
2.4 O uso de simulacoes bidimensionais
Deve-se atentar para o fato de que o uso de simulacoes bidimensionais representa uma
aproximacao da realidade. A turbulencia e um fenomeno intrisecamente tridimensional
[10] e por isso uma representacao em duas dimensoes implica em um erro de modelagem
para o caso de um numero de Reynolds igual a 10000. No entanto, a realizacao de uma
simulacao em tres dimensoes acarretaria em um custo computacional elevado que se busca
evitar no contexto deste trabalho. Assim, propoe-se aqui a avaliar a viabilidade de tal
aproximacao.
De acordo com NORBERG [23], em escoamentos turbulentos a liberacao de vortices nao
ocorre necessariamente em fase ao longo do eixo do cilindro. Sendo RLL(s) coeficiente de
correlacao entre as forcas de sustentacao em duas secoes do cilindro separadas por uma
distancia s, a razao �L entre os desvios-padrao de oscilacao de coeficientes de sustentacao
de um cilindro finito de dimensao l e de uma secao bidimensional e dada por [23]:
�L =1
l
2
Z l
0
(l � s)RLL(s)ds
�1/2
(2.36)
25
Nota-se que �L assume sempre um valor menor que 1. Em outras palavras, o desvio-padrao
do coeficiente de sustentacao em um cilindro finito e sempre menor ou igual aquele em
uma secao bidimensional do cilindro.
Assumindo-se um decaimento exponencial para RLL(s), tem-se que [23]:
�L =
p2
a
⇥e
�a + a� 1⇤1/2
(2.37)
onde a e a razao entre o comprimento l e o comprimento de correlacao ⇤, definido por:
⇤ =
Z 1
0
RLL(s)ds (2.38)
Figura 2.2: Comprimento de correlacao adimensional em funcao do numero deReynolds [23]
A figura 2.2 mostra diversos valores obtidos experimentalmente para os comprimentos de
correlacao em funcao do numero de Reynolds. Nota-se que para Re = 10000, ⇤ ⇡ 5D.
Para o cilindro utilizado por GOPALKRISHNAN [4], o comprimento l e igual a 60 cm e
seu diametro 2.54 cm. Assim, o comprimento de correlacao seria igual a 5 ⇥ 2.54cm =
12.7cm. A razao entre o comprimento do cilindro e o comprimento de correlacao a e
aproximadamente igual a 4.7. Aplicando-se a equacao 2.37, tem-se �L = 0.58. Logo,
o valor do desvio-padrao do coeficiente de sustentacao obtido por GOPALKRISHNAN
deve ser aproximadamente igual a 58% do valor do mesmo desvio-padrao em uma secao
26
bidimensional do cilindro. Para uma oscilacao senoidal, a relacao entre o desvio-padrao e
a amplitude e dada por:
CL0 =p2CL0 (2.39)
Logo, o desvio-padrao do coeficiente de sustentacao de uma secao bidimensional pode ser
obtido a partir da amplitude de oscilacao do coeficiente de sustentacao para o cilindro
finito utilizado por GOPALKRISHNAN:
(CL0)2D =
1
0.58p2(CL0)finito = 1.22(CL0)finito (2.40)
A relacao (2.40) sera usada para obter os valores de (CL0)2D a serem comparados com os
resultados das simulacoes deste trabalho.
27
Capıtulo 3
Experimentos numericos realizados
3.1 Domınio utilizado
3.1.1 Malhas
30D 2D
x
yy
Zona refinada
Figura 3.1: Esquema do domınio computacional utilizado
O uso do metodo dos volumes finitos requer a discretizacao do domınio em elementos, em
geral tetraedricos ou hexaedricos no caso tridimensional e triangulares ou quadrilateros
no caso bidimensional. Neste trabalho, optou-se pelo uso de uma malha estruturada
com elementos quadrilateros. Devido a geometria do problema, o uso de um domınio
circular simplifica a elaboracao da malha. A figura 3.1 mostra um esquema do domınio
circular utilizado. O cilindro circular de diametro D = 1 m encontra-se no centro de
uma circunferencia de diametro 30D, a fim de minimizar efeitos devidos as condicoes
de contorno aplicadas. Em uma zona de diametro 2D ao redor do cilindro, a malha foi
refinada a fim de capturar de forma mais acurada o escoamento nas proximidades da
parede.
28
Tabela 3.1: Malhas usadas para analise de convergencia.
Malha 1 Malha 2 Malha 3
Ncirc 240 288 384Nref 90 108 144Next 80 96 128
Ntotal 40800 58752 104448
Figura 3.2: Malha 3.
Figura 3.3: Detalhe da malha 3.
O domınio foi dividido em Ncirc elementos ao longo de sua circunferencia, Nref ao longo da
direcao radial na zona refinada e Next ao longo da direcao radial na zona exterior. Desta
forma, o numero total de elementos da malha e dado por Ntotal = Ncirc(Nref + Next).
O tamanho das divisoes ao longo da direcao radial foi aumentado com uma taxa de
crescimento constante k de forma que a razao entre o tamanho do primeiro e do ultimo
29
fosse rref = 0.090 na zona refinada e rext = 0.012 na zona externa. A taxa de crescimento
pode ser calculada pela relacao k
N�1 = r
�1. A tabela 3.1 resume as caracterısticas das
malhas utilizadas neste trabalho. Na figura 3.2 e mostrada a malha 3 e na figura 3.3,
observa-se refinamento proximo a parede do cilindro.
3.1.2 Condicoes de contorno
A figura 3.4 apresenta as condicoes de contorno definidas no domınio. Em azul, a regiao
de entrada, onde um perfil de velocidade constante e aplicado. Os parametros desta
condicao inlet sao descritos na tabela 3.2. Em vermelho encontra-se a regiao onde foi
aplicada uma condicao de saıda (outflow) com pressao constante igual a 0 Pa. Caso haja
retorno do escoamento (de fora para dentro do domınio) na regiao de saıda, sao aplicadas
as condicoes de intensidade turbulenta e razao de viscosidade descritas na tabela 3.2. Por
fim, na regiao verde, foi aplicada uma condicao de parede sem escorregamento, ou no-slip.
Essa condicao impoe velocidade nula para o escoamento. Para as variaveis turbulentas,
foram usados tratamentos para a condicao de contorno na parede que serao descritos na
secao A.3.
EntradaSaıdaParede
x
yy
Figura 3.4: Esquema das condicoes de contorno utilizadas
Tabela 3.2: Condicoes de contorno na entrada
Velocidade do escoamento na direcao x Ux 0.01 m/sVelocidade do escoamento na direcao y Uy 0 m/sIntensidade turbulenta I 1.0%Razao de viscosidade ⌫t/⌫ 1.0
30
3.1.3 Propriedades do fluido
Tabela 3.3: Propriedades do fluido
Massa especıfica ⇢ 1000 kg/m3
Viscosidade cinematica ⌫ 10�6 m2/s
O fluido considerado tem propriedades equivalentes a da agua, resumidas na tabela 3.3.
3.2 Metodo computacional
Neste trabalho foi utilizada a versao 2.2.x do pacote computacional OpenFOAM. OpenFOAM
consiste em uma serie de bibliotecas desenvolvidas em C++, dedicadas a resolucao de pro-
blemas em mecanica do contınuo [22] e disponibilizadas sob uma licenca de tipo codigo
aberto (open source). A forca do OpenFOAM reside na possibilidade de os usuarios
poderem desenvolver novos componentes adaptados a solucao de problemas especıficos.
Alem disso, o acesso ao codigo permite um maior controle e uma melhor compreensao dos
metodos utilizados. Enfim, no caso em que calculos em paralelo sao realizados, como no
caso deste trabalho, nao ha limitacao do numero de processadores utilizados. As bases do
OpenFOAM foram desenvolvidas inicialmente por Hrvoje Jasak durante seu doutorado
entre 1993 e 1996 [19].
blockMesh
decomposePar
pimpleFoam
reconstructPar
paraFoam
forceCoe↵spydroCoe↵s
Figura 3.5: Workflow adotado neste projeto
O workflow adotado neste projeto e descrito na figura 3.5. Inicialmente, uma malha
estruturada multi-blocos e construıda atraves da aplicacao blockMesh do OpenFOAM.
Em seguida, o domınio e decomposto em vista da resolucao em paralelo do caso com
a aplicacao decomposePar, que utiliza um algoritmo Scotch [24]. Usando como input
31
definicoes de condicoes iniciais e de contorno, modelo de turbulencia, parametros de si-
mulacao e metodos numericos, pimpleFoam calcula os campos de pressao, velocidade e
propriedades turbulentas pelo metodo dos volumes finitos descrito na secao 2.2. PIMPLE
e um algoritmo de acoplamento pressao-velocidade que consiste em uma combinacao dos
algoritmos PISO e SIMPLE [22]. A aplicacao forceCoe↵s do OpenFOAM permite calcular
os coeficientes de arrasto e sustentacao dado o campo de pressao em cada instante. A serie
temporal gerada por forceCoe↵s e tratada atraves do modulo pydroCoe↵s, desenvolvido
em Python pelo autor deste projeto especialmente para este fim. Por fim, os campos de
pressao e velocidade do escoamento sao tratados com o programa de visualizacao Paraview
atraves da aplicacao paraFoam. Este workflow sera detalhado nas secoes seguintes.
Com o OpenFOAM, um caso e composto de diretorios contendo arquivos que fornecem
os dados de entrada e parametros necessarios a execucao das diferentes aplicacoes. A
estrutura tıpica de um caso e mostrada na figura 3.6. Segue uma discricao breve dos
diferentes diretorios:
• Diretorio constant - contem a descricao completa da malha utilizada no caso e
arquivos contendo informacoes sobre propriedades fısicas adotadas e modelos de
turbulencia.
– polyMesh - sub-diretorio contendo a descricao da malha
– transportProperties - arquivo contendo informacoes sobre as propriedades do
fluido (densidade, viscosidade, ...)
– turbulenceProperties - arquivo indicando se o escoamento deve ser tratado
como laminar ou turbulento e o tipo de modelo de turbulencia adotado: RAS
(Reynolds-Averaged Simulation), LES (Large Eddy Simulation) ou DNS
– RASProperties - arquivo contendo o modelo de turbulencia adotado e suas
propriedades (caso sejam usadas constantes diferentes das pre-definidas)
• Diretorio system - contem arquivos com informacoes sobre a solucao do caso:
– controlDict - arquivo onde parametros de controle da solucao sao definidos
(instantes inicial e final, passo de tempo, geracao de arquivos resultados)
– fvSchemes - arquivo onde os esquemas de discretizacao usados sao definidos
– fvSolution - arquivo onde solvers de equacoes lineares, tolerancias e parametros
de outros algoritmos sao definidos
– decomposeParDict - arquivo contendo instrucoes para a decomposicao do domınio
em sub-domınios
32
Figura 3.6: Estrutura tıpica de um caso em OpenFOAM [22]
Alem desses dois diretorios, podem haver diretorios para dados instantes de tempo. Nestes
diretorios sao definidos os campos de variaveis (velocidade, pressao, viscosidade, variaveis
do modelo de turbulencia). Tipicamente, um diretorio 0 e criado pelo usuario para definir
as condicoes iniciais e condicoes de contorno.
A seguir, serao descritas brevemente as aplicacoes usadas neste trabalho e os parametros
definidos para o caso.
3.2.1 blockMesh
A rotina blockMesh e usada para criar a malha multi-blocos estruturada desejada, descrita
na secao 3.1.1. A rotina tem como entrada um dicionario blockMeshDict. Neste dicionario,
em primeiro lugar sao definidos vertices da malha por suas coordenadas XYZ. Em seguida,
sao definidos blocos (hexaedricos no caso deste trabalho) pelos ındices de seus 8 vertices,
o numero de elementos em que serao divididos ao longo de cada uma das direcoes X,Y e Z
e a relacao de tamanho entre o primeiro e o ultimo elemento em cada direcao. Se a aresta
entre dois pontos de um bloco for um elemento geometrico diferente de uma reta (um arco,
por exemplo), este elemento deve ser definido. Por fim, sao definidos patches regrupando
diferentes faces. Estes grupos sao usados para a definicao de condicoes de contorno. Como
uma solucao 2D e desejada, a direcao Z foi dividida em apenas um elemento e as faces
no plano XY foram definidas como empty [22]. A aplicacao checkMesh pode ser usada
para que sejam obtidas caracterısticas geometricas da malha e para que seja checada a
sua qualidade.
33
3.2.2 decomposePar, reconstructPar e calculo em paralelo
A rotina decomposePar e usada para decompor o domınio em sub-domınios em vista de um
calculo em paralelo. Neste trabalho, foi usado o algoritmo Scotch para a decomposicao em
4 sub-domınios. Este algoritmo busca minimizar as fronteiras entre os sub-domınios [22]
e foi escolhido por sua simplicidade, nenhum parametro de entrada alem do numero de
particoes sendo necessario.
OpenFOAM usa para o calculo em paralelo a biblioteca de codigo aberto Open MPI,
largamente adotado para a computacao cientıfica de alta performance [22]. Caso sejam
usados apenas nucleos locais (em uma maquina com mais de um nucleo), o procedimento
para o calculo em paralelo e bastante simples, bastando executar a aplicacao desejada
com o comando:
$ mpirun �np 4 pimpleFoam �p a r a l l e l
Quando o calculo e executado paralelamente, os resultados para cada sub-domınio sao ar-
mazenados separadamente. A aplicacao reconstructPar permite recombinar os resultados
permitindo o pos-tratamento.
3.2.3 pimpleFoam
pimpleFoam e um solver que utiliza o algoritmo PIMPLE descrito na secao 2.3 para re-
solver as equacoes de momento, pressao e as equacoes do modelo de turbulencia, caso
existam. Este algoritmo foi escolhido por permitir maiores passos de tempo que os nor-
malmente utilizados com o algoritmo PIMPLE [22]. Para cada passo de tempo, foram
definidas duas iteracoes interiores e duas iteracoes exteriores. Fatores de relaxamento de
0.2 para a pressao e 0.8 para as outras variaveis foram utilizados. Esses parametros sao
definidos no arquivo fvSolution. Nenhuma correcao de nao-ortogonalidade da malha foi
utilizada devido ao fato de a malha ser ortogonal (todas as intersecoes de arestas ocorrem
a um angulo de 90o).
Solucao de sistemas lineares
Em cada iteracao, o algoritmo PIMPLE devera resolver sistemas de equacoes lineares
algebricas para obter os campos de pressao, velocidade e quantidades turbulentas (k, "
ou !). O metodo de solucao dessas equacoes e definido no arquivo fvSolution. Neste
trabalho, um metodo GAMG (generalised geometric-algebraic multi-grid) para a equacao
da pressao. Para as equacoes de velocidade, k, " e !, foi usado um metodo PBiCG
34
(preconditioned bi-conjugate gradient). Em ambos os metodos, tolerancias absoluta e
relativa de 10�8 e 0.001 foram respectivamente utilizadas. Nas ultimas iteracoes interiores
ou exteriores de cada passo de tempo, a convergencia ate a tolerancia absoluta de 10�8
foi forcada.
Esquemas de interpolacao
As equacoes algebricas resolvidas pelo pimpleFoam sao obtidas atraves do metodo dos
volumes finitos. Um esquema Gauss linear foi utilizado para a discretizacao dos gradi-
entes de pressao e momento. O termo convectivo da equacao de momento r.(⇢uu) foi
discretizado utilizando-se um metodo de Gauss linearUpwind de segunda ordem e os ter-
mos convectivos referentes as variaveis turbulentas, um metodo Gauss upwind de primeira
ordem. Os termos difusivos foram discretizados com o metodo Gauss linear. As derivadas
temporais foram discretizadas atraves do metodo backward de segunda ordem.
Na sintaxe utilizada pelo OpenFOAM, Gauss refere-se ao uso do Teorema de Gauss para
transformar uma integral de volume em uma integral de superfıcie. Esse procedimento
requer um metodo de interpolacao para a obtencao de quantidades nas faces a partir de
seus valores no centro do volume de controle, neste caso linear, upwind ou linearUpwind
[22].
3.2.4 pydroCoe↵s
O modulo pydroCoe↵s foi desenvolvido em Python com o objetivo de automatizar o
pos-tratamento de series temporais de coeficientes hidrodinamicos. O modulo permite o
calculo de estatısticas como media e desvio-padrao e a frequencia de oscilacao do coefi-
ciente. Alem disso, e possıvel comparar graficamente ou analisar a convergencia de um
conjunto de series de dados nos formatos FLUENT e OpenFOAM. O uso de conceitos de
orientacao objeto permitiu o desenvolvimento de um codigo enxuto e modulavel que pode
vir a receber novas funcionalidades no futuro.
Obtencao de estatısticas dos coeficientes hidrodinamicos
A figura 3.7 mostra o formato tıpico de uma serie temporal de coeficientes de arrasto CD e
sustentacao CL. Nota-se a existencia de um intervalo transiente antes do estabelecimento
completo do fenomeno de liberacao de vortices, que se da a partir de t = 16000s. Este
intervalo transiente e desconsiderado no calculo das estatısticas dos coeficientes hidro-
35
Figura 3.7: Exemplo de serie temporal de CD e CL (obtida com a malha 2, passode tempo �t = 0.2s e o modelo k � " realizavel).
dinamicos desejados. pydroCoe↵s calcula entao as seguintes quantidades:
CD =1
Tf � Tcut
Z Tf
Tcut
CD(t)dt (3.1)
CL0 =
s1
Tf � Tcut
Z Tf
Tcut
�CL(t)� CL
�2
dt (3.2)
onde Tcut e o tempo a partir do qual considera-se que o fenomeno de liberacao de vortices
esta plenamente estabelecido. A frequencia de oscilacao e obtida a partir de um perıodo
de oscilacao, medido na ultima oscilacao da serie. Embora o calculo da media dos perıodos
de multiplos ciclos seja um metodo mais preciso, a implementacao da primeira alternativa
e consideravelmente mais simples e por isso foi escolhida. O numero de Strouhal e entao
calculado com a velocidade do escoamento e o diametro do cilindro pela equacao 1.2.
Analise de convergencia
Um metodo para estimativa de erros devido a discretizacao em mecanica dos fluidos
computacional para uma dada quantidade � proposto pela ASME foi implementado no
modulo pydroCoe↵s. Este metodo e descrito a seguir [25]:
36
1. Define-se um tamanho de elemento caracterıstico para uma malha 2D:
h =
"1
N
NX
i=1
(�Ai)
#1/2
(3.3)
ondeN e o numero total de elementos da malha e Ai a superfıcie do i-esimo elemento.
2. Selecionam-se tres malhas com h
1
< h
2
< h
3
, sendo recomendado que a razao h
3
/h
1
seja superior a 1.3.
3. Com r
21
= h
2
/h
1
e r
32
= h
3
/h
2
, calcula-se a ordem aparente p do metodo:
p =1
ln(r21
)
����ln�����
3
� �
2
�
2
� �
1
����+ q(p)
���� (3.4)
q(p) = ln
✓r
p21
� s
r
p32
� s
◆s = sgn
✓�
3
� �
2
�
2
� �
1
◆(3.5)
Nota-se que a equacao 3.4 pode ser resolvida atraves de iteracoes de ponto fixo [25].
4. Calcula-se o valor extrapolado �
ext21
:
�
ext21
=r
p21
�
1
� �
2
r
p21
� 1(3.6)
5. Calculam-se os erros relativos aproximado e
a21
e extrapolado e
ext21
e o ındice de con-
vergencia da malha refinada GCI
ref21
:
e
a21
=
�����
1
� �
2
�
1
���� e
ext21
=
�����
ext21
� �
1
�
ext21
���� (3.7)
GCI
ref21
=1.25ea
21
r
p21
� 1(3.8)
O ındice GCI
ref21
corresponde a incerteza numerica na solucao refinada para �. Deve-se
ressaltar que este ındice nao inclui erros de modelagem.
O procedimento descrito acima foi aplicado aos valores medios do coeficiente de arrasto,
aos desvio-padrao do coeficiente de sustentacao e aos numeros de Strouhal obtido. Alem
disso, o mesmo procedimento foi aplicado a discretizacao temporal neste trabalho, o passo
de tempo sendo usado no lugar do comprimento caracterıstico do elemento de malha.
37
Capıtulo 4
Resultados obtidos
4.1 Convergencia temporal e espacial
Estudos de convergencia dos coeficientes hidrodinamicos obtidos com a diminuicao do
passo de tempo e com o aumento do numero de elementos na malha foram realizados para
os modelos de turbulencia k� ! SST e k� " realizavel. Os resultados sao apresentados a
seguir.
4.1.1 Convergencia com o modelo k � ! SST
A tabela 4.1 mostra o coeficiente de arrasto medio CD, o desvio-padrao do coeficiente
de sustentacao (CL0)2D e o numero de Strouhal St obtidos para as tres diferentes malhas
consideradas. Foi realizado um estudo de convergencia utilizando-se o metodo descrito
na secao 3.2.4. Nota-se um erro relativo aproximado de menos de 2% entre os casos
SST22 e SST23, onde o numero de elementos da malha foi aumentado de 78%. Assim, do
ponto de vista da convergencia, o resultado obtido com a malha 2 e satisfatorio e por isso
esta mesma malha foi utilizada no estudo da convergencia temporal. Os valores extra-
polados apresentados na tabela abaixo serao utilizados na comparacao com os resultados
experimentais, sendo a incerteza relativa a discretizacao GCI
ref menor que 0.2%
38
Tabela 4.1: Convergencia espacial com o modelo k � ! SST (�t = 0.2 s)
Caso Malha Elementos �t CD (CL0)2D St
SST12 1 40800 0.2 s 1.378 1.056 0.2302
SST22 2 58752 0.2 s 1.634 1.176 0.2432
SST23 3 104448 0.2 s 1.663 1.200 0.2459
Valor extrapolado �
ext 1.664 1.201 0.2461
Erro relativo aproximado e
a 1.74% 1.98% 1.09%
Erro relativo extrapolado e
ext 0.05% 0.13% 0.08%
Indice de convergencia GCI
ref 0.06% 0.17% 0.10%
Tabela 4.2: Convergencia temporal com o modelo k � ! SST (malha 2)
Caso Malha Elementos �t CD (CL0)2D St
SST28 2 58752 0.8 s 1.652 1.192 0.2841
SST24 2 58752 0.4 s 1.639 1.184 0.2430
SST22 2 58752 0.2 s 1.634 1.176 0.2432
Valor extrapolado �
ext 1.629 1.02 0.2432
Erro relativo aproximado e
a 0.33% 1.98% 0.08%
Erro relativo extrapolado e
ext 0.27% 14.65% 0.00%
Indice de convergencia GCI
ref 0.34% 15.97% 0.00%
A tabela 4.4 mostra por sua vez os resultados do teste de convergencia temporal. O
ındice GCI
ref para o desvio-padrao do coeficiente de sustentacao (CL0)2D de quase 16%
indica que esta quantidade ainda nao e independente do valor do passo de tempo adotado.
Apesar disso, o passo de tempo de 0.2 s foi utilizado na comparacao com os resultados
experimentais pois, como sera visto adiante, tal erro nao alteraria as conclusoes deste
trabalho.
39
4.1.2 Convergencia com o modelo k � " realizavel
Tabela 4.3: Convergencia espacial com o modelo k � " realizavel (�t = 0.2 s)
Caso Malha Elementos �t CD (CL0)2D St
REAL12 1 40800 0.2 s 1.333 0.869 0.2335
REAL22 2 58752 0.2 s 1.264 0.746 0.2310
REAL32 3 104448 0.2 s 1.242 0.697 0.2301
Valor extrapolado �
ext 1.239 0.6868 0.2300
Erro relativo aproximado e
a 1.74% 7.06% 0.37%
Erro relativo extrapolado e
ext 0.24% 1.47% 0.06%
Indice de convergencia GCI
ref 0.30% 1.80% 0.07%
Tabela 4.4: Convergencia temporal com o modelo k � " realizavel (malha 2)
Caso Malha Elementos �t CD (CL0)2D St
REAL28 2 58752 0.8 s 1.236 0.686 0.2301
REAL24 2 58752 0.4 s 1.262 0.745 0.2304
REAL22 2 58752 0.2 s 1.264 0.746 0.2310
Valor extrapolado �
ext 1.264 0.746 0.2315
Erro relativo aproximado e
a 0.17% 0.08% 0.24%
Erro relativo extrapolado e
ext 0.02% 0.00% 0.22%
Indice de convergencia GCI
ref 0.02% 0.00% 0.28%
Um estudo de convergencia usando o metodo descrito na secao 3.2.4 tambem foi feito
usando o modelo k � " realizavel. Os resultados obtidos sao apresentados na tabela
4.3. Nota-se mais uma vez uma boa convergencia dos resultados obtidos com o refino
da malha. Apenas o desvio-padrao do coeficiente de sustentacao (CL0)2D apresentou um
GCI
ref superior a 1%. Os valores extrapolados foram utilizados na comparacao com os
resultados experimentais.
4.2 Comparacao com os resultados experimentais
Os valores extrapolados obtidos na secao precedente foram utilizados para a comparacao
com os resultados experimentais obtidos por GOPALKRKISHNAN em 1993 [4]. A tabela
40
4.5 resume os valores obtidos com os dois modelos de turbulencia. O valor de (CL0)2D
para o experimento de GOPALKRISHNAN foi obtido atraves da relacao (2.40) descrita
na secao 2.4. CL0 denota a amplitude de oscilacao do coeficiente de sustentacao.
Tabela 4.5: Comparacao das simulacoes 2D com os resultados experimentais
CD (CL0)2D CL0 St
Simulacoes 2Dk � ! SST 1.664 1.201 1.698 0.2461
k � " realizavel 1.239 0.6868 0.9713 0.2300
Gopalkrishnan [4]valores medios 1.1856 0.4684 0.3842 0.1932
desvio-padrao 0.0315 0.1064 0.0873 0.0014
Nota-se que os coeficientes hidrodinamicos obtidos com o modelo k� " realizavel se apro-
ximam mais dos resultados experimentais, ainda que sistematicamente acima destes. No
entanto, discrepancias grandes sao observadas no coeficiente de sustentacao. A correcao
descrita na secao 2.4 permite de amproximar os valores obtidos numericamente e experi-
mentalmente, indicando que uma parte consideravel das diferencas observadas devem-se
a hipotese de bidimensionalidade do escoamento. O estudo de convergencia realizado na
secao precedente nao permite atribuir toda a diferenca a discretizacao e aos esquemas
numericos. Resta como provavel causa a modelagem da turbulencia com uma abordagem
RANS, que nao permite levar em conta todas as escalas da turbulencia e portanto difi-
cultar a descricao de fenomenos que influenciam diretamente as forcas hidrodinamicas,
como por exemplo a separacao da camada limite.
4.2.1 Avaliacao dos resultados obtidos
A fim de compreender melhor as diferencas nos resultados obtidos com os modelos k � !
SST e k � " realizavel, e necessario olhar para as outras variaveis de escoamento. Nas
figuras 4.1 e 4.2, sao mostrados respectivamente os campos de pressao, velocidade, com-
ponente z da vorticidade e viscosidade cinematica, energia cinetica e taxa de dissipacao
turbulentas obtidos com o modelo k � " realizavel. Cada linha representa um angulo de
fase diferente em relacao a oscilacao do coeficiente de sustentacao: 0o, 90o, 180o e 270o
(de cima para baixo).
Em 90o e 270o, o coeficiente de sustentacao tem seus valores maximos e mınimos respec-
tivamente, sendo nulo em 0o e 180o. Pode-se observar na figura 4.1 que a oscilacao do
coeficiente de sustentacao e causada por uma oscilacao do campo de pressao ao redor do
41
cilindro. Quando a fase e 90o, nota-se uma aceleracao do fluido e uma queda da pressao
na parte superior do cilindro. O contrario ocorre quando a fase e 270o. Os campos de
vorticidade na coluna da direita da figura 4.1 demonstram claramente o fenomeno de
liberacao de vortices descrito na secao 1.2.
Na figura 4.2, sao mostrados os campos das variaveis turbulentas. Observa-se que a
camada limite permanece laminar ate a separacao, com valores altos de viscosidade ci-
nematica e energia cinetica turbulentas na esteira do cilindro. Tambem e visto que os
valores mais altos da taxa de dissipacao ocorrem nas proximidades dos picos de ener-
gia cinetica turbulenta. Alem disso, esses campos turbulentos tambem estao sujeitos a
oscilacoes devido ao fenomeno de liberacao de vortices.
Na figura 4.3, sao apresentados os valores de algumas variaveis do escoamento na parede
do cilindro para diferentes fases. O angulo de 0o corresponde ao ponto de estagnacao
e aumenta no sentido horario (90o corresponde a parte superior do cilindro e 270o a
inferior). Nota-se claramente a oscilacao do campo de pressao e das outras variaveis, os
picos encontrando-se ora na parte superior, ora na parte inferior do cilindro. Observa-se
ainda que os valores de k e ⌫t aparentam ser linearmente dependentes. Deve-se ressaltar
que os valores de ⌫t e k junto a parede sao bastante inferiores aqueles observados na esteira
na figura 4.2.
Nas figuras 4.4 e 4.5, sao comparados os campos obtidos com os dois modelos de tur-
bulencia para um angulo de fase de 90o. As velocidades e as depressoes obtidas com o
modelo k � ! SST sao significativamente maiores que as obtidas com o modelo k � "
realizavel. As depressoes mais intensas explicam o fato de os coeficientes hidrodinamicos
obtidos com o primeiro modelo serem sensivelmente superiores aos obtidos com o segundo.
Essa discrepancia pode tambem ser a causa da maior frequencia de oscilacao obtida com
o modelo SST. Naa figura 4.6, sao mostrados os perfis de variaveis ao longo da parede
do cilindro. Nota-se que de fato as depressoes ao redor do cilidnro sao mais acentuadas
com o modelo k�! SST. A vorticidade tambem apresenta multiplos picos na traseira do
cilindro com o modelo k�! SST, o que aparenta apresentar uma certa dependencia linear
com a viscosidade turbulenta. Estas quantidades apresentam discrepancias em relacao ao
modelo k � " realizavel no ponto onde a viscosidade turbulenta e maxima. Por fim, a
energia cinetica turbulenta junto a parede prevista com o modelo k � " e muito superior
aquela prevista com o modelo k � ! SST.
42
Figura 4.1: Fases 0o, 90o, 180o e 270o (de cima para baixo) dos campos de pressao,velocidade e componente z da vorticidade (da esquerda para direita) obtidos com omodelo de turbulencia k � " realizavel.
43
Figura 4.2: Fases 0o, 90o, 180o e 270o (de cima para baixo) dos campos de vis-cosidade cinematica turbulenta, energia cinetica turbulenta e taxa de dissipacaoturbulenta (da esquerda para direita) obtidos com o modelo de turbulencia k � "realizavel.
44
(a) Pressao (b) Viscosidade turbulenta
(c) Vorticidade - Z (d) Energia cinetica turbulenta
Figura 4.3: Perfis de variaveis na parede do cilindro para diferentes fases obtidoscom o modelo k � " realizavel.
45
Figura 4.4: Campos de pressao (esquerda) e velocidade (direita) para um angulo defase de 90o obtidos com os modelos k�" realizavel (em cima) e k�! SST (embaixo).
Figura 4.5: Campos de viscosidade turbulenta (esquerda) e energia cinetica turbu-lenta (direita) para um angulo de fase de 90o obtidos com os modelos k�" realizavel
(em cima) e k � ! SST (embaixo).
46
(a) Pressao (b) Viscosidade turbulenta
(c) Vorticidade - Z (d) Energia cinetica turbulenta
Figura 4.6: Comparacao de perfis de variaveis na parede do cilindro obtidos comos dois modelos de turbulencia para um angulo de fase de 90o.
47
Capıtulo 5
Conclusao
5.1 A viabilidade do uso de simulacoes 2D
Este trabalho buscou a validacao da metodologia aqui apresentada para a reproducao de
coeficientes hidrodinamicos para um cilindro circular liso fixo submetido a um escoamento
livre, em vista de seu uso para a obtencao de dados de entrada para um modelo semi-
empırico para a analise de fadiga em risers e oleodutos.
Dois modelos de turbulencia foram avaliados e o uso do modelo k�" realizavel levou a ob-
tencao de coeficientes mais proximos dos resultados experimentais de GOPALKRISHNAN,
[4], tidos como referencia neste trabalho.
O experimento numerico apresentou uma tendencia a superestimar os valores de coeficien-
tes de arrasto e sustentacao e numero de Strouhal. Embora as diferencas entre resutados
numericos e experimentais sejam significativas, o erro cometido e considerado satisfatorio
diante de diferentes fontes de incerteza e erros de modelagem envolvidos na analise de
fadiga de uma estrutura como um oleoduto, dentre os quais pode-se citar:
• rugosidade do duto, que pode inclusive mudar ao longo da operacao com o apareci-
mento de incrustacoes marinhas;
• escoamento nao uniforme proximo ao solo, principalmente devido a camada limite
no fundo submarino e a irregularidade deste;
• nıveis de turbulencia variaveis no escoamento livre;
• propriedades mecanicas do material do duto;
• condicoes de contorno na secao do duto analizada;
• interacao do duto com o solo;
48
• modificacao do proprio relevo submarino devido ao transporte de sedimentos.
Alem disso, o custo computacional razoavel obtido compensa uma discrepancia maior nos
resultados. Por fim, a sobrestimacao dos coeficientes de arrasto e sustentacao, sendo o caso
mais conservativo para a analise de fadiga, e aceitavel do ponto de vista de engenharia.
A sobrestimacao do numero de Strouhal pode, no entanto, trazer problemas quando si-
mulacoes de cilindros submetidos a oscilacoes forcadas serao realizadas. Com o fato de na
regiao do lock-in a frequencia de liberacao de vortices se igualar a frequencia de oscilacao
do cilindro, acredita-se que esta dificuldade do metodo em prever o numero de Strouhal
para um cilindro fixo nao influencie na previsao dos coeficientes de arrasto e sustentacao
para um cilindro oscilante. Por outro lado, pode-se ter dificuldade em reproduzir a faixa
de frequencias na qual o lock-in ocorre.
5.2 Metodo adotado
Tendo em vista as consideracoes acima, julga-se adequado para os fins desejados o seguinte
metodo:
1. Realizar simulacoes numericas 2D RANS com o metodo computacional descrito na
secao 3.2, o modelo k � " realizavel, a malha 3 descrita na secao 3.1.1 e passo de
tempo 0.2 s, de forma a garantir um erro de convergencia inferior a 2%.
2. Aplicar a correcao descrita na secao 2.4 para que a partir do coeficiente de sus-
tentacao para uma secao bidimensional seja obtido um coeficiente de sustentacao
equivalente para um cilindro com a razao de aspecto L/D desejada.
5.3 Proximas etapas
Este trabalho tem como prosseguimento natural a aplicacao do metodo descrito na secao
precedente a cilindros submetidos a oscilacoes forcadas. Se essa extensao ocorrer de forma
bem sucedida, poderao ser obtidos mapas para os coeficientes hidrodinamicos em funcao
da amplitude e da frequencia de vibracao, tais quais os apresentados nas figuras 1.5-1.8.
No entanto, essa extensao demandara cuidados especiais com a modelagem da turbulencia,
uma vez que devido ao movimento do cilindro a separacao da camada limite sera ainda
mais intensa. No futuro, espera-se ser possıvel a comparacao das analises de fadiga efe-
tuadas com os coeficientes numericos e experimentais, visando a uma quantificacao das
diferencas observadas no objetivo final do processo: o projeto da estrutura.
49
Uma vez o uso de simulacoes bidimensionais para obtencao de coeficientes hidrodinamicos
para cilindros circulares lisos para um numero de Reynolds de 10000, podem ser buscados
resultados mais abrangentes: podem ser explorados numeros de Reynolds mais elevados
(105, 106 e 107), diferentes nıveis de turbulencia no escoamento livre, diferentes graus
de rugosidade do cilindro ou ainda a proximidade de uma parede plana, gerando uma
camada limite na qual o cilindro estaria imerso. Seria entao possıvel obter coeficientes
hidrodinamicos para condicoes de operacao mais precisas ou ainda, realizar uma analise
de sensibilidade para quantificar os erros de modelagem gerados pelas hipoteses feitas
habitualmente na fase de projeto.
50
Referencias Bibliograficas
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52
Apendice A
Modelos de Turbulencia
A.1 Modelo k � ! SST
Nesta secao e descrito em detalhes o modelo k � ! SST utilizado neste trabalho tal qual
implementado no OpenFOAM.
Equacoes de transporte
As equacoes do modelo k � ! SST tem a forma mesma forma das equacoes 2.24 e 2.25.
Nesta ultima, e adicionado um termo de difusao cruzada Y!:
Dk
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�k
◆rk
�+ Pk �Dk (A.1)
D!
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�!
◆r!
�+ P! �D! + Y! (A.2)
Os numeros de Prandtl turbulentos �k e �! sao dados por:
1
�k
=1
�k2
+ F
1
✓1
�k1
� 1
�k2
◆1
�!
=1
�!2
+ F
1
✓1
�!1
� 1
�!2
◆(A.3)
onde F
1
e uma funcao de interpolacao dada por:
F
1
= tanh(�4
1
) (A.4)
�1
= min
"max
pk
�
⇤!y
,
500⌫
y
2
!
!,
4k
�!2CD
+
k!y2
, 10
#(A.5)
com y sendo a distancia a partir da parede mais proxima e Y+
! a parte positiva do termo
de difusao cruzada. Nota-se que F
1
tende a 1 proximo a parede (y ! 0) e a 0 em regioes
53
distantes dela (y ! +1). �k1 = 1.176, �k2 = 1.0, �!1 = 2.0 e �!2 = 1.168 sao constantes
do modelo. CD
+
k! e dada por:
CDk! =2rk.r!
�!2!(A.6)
CD
+
k! = max�CDk!, 10
�10
�(A.7)
Modelagem da viscosidade turbulenta
A viscosidade turbulenta e modelada por:
⌫t =a
1
k
max [(a1
!, b
1
SF
2
)](A.8)
onde a1
= 0.31 e b1
= 1.0 sao constantes do modelo e S =p
SijSij e a magnitude da taxa
de deformacao, Sij descrito na equacao 2.16. F
2
e uma funcao de interpolacao descrita
pela equacao A.9.
F
2
= tanh(�2
2
) (A.9)
�2
= max
2pk
�
⇤!y
,
500⌫
y
2
!
!(A.10)
e � obtido atraves da interpolacao das constantes �1
= 0.075 e �
2
= 0.0828:
� = F
1
�
1
+ (1� F
1
)�2
(A.11)
Modelagem dos termos de producao
A producao de energia cinetica turbulenta e modelada por:
Pk = min�⌫tS
2
, c
1
�
⇤k!
�(A.12)
com c
1
= 10.0 e a producao de ! por:
P! = ↵S
2 (A.13)
onde ↵ e obtido atraves da interpolacao das constantes ↵1
= 0.5532 e ↵
2
= 0.44:
↵ = F
1
↵
1
+ (1� F
1
)↵2
(A.14)
54
Modelagem dos termos de destruicao
Os termos de destruicao das equacoes de k e ! sao dados pelas equacoes A.15 e A.16,
respectivamente.
Dk = �
⇤k! (A.15)
D! = �!
2 (A.16)
Termo de difusao cruzada
Enfim, o termo de difusao cruzada adicionado a equacao A.2 e dado por:
Y! = (1� F
1
)CDk! (A.17)
Constantes utilizados no modelo
As constantes utilizadas no modelo sao resumidas na tabela A.1:
Tabela A.1: Constantes utilizadas no modelo k � ! SST
�k1 1.176 a
1
0.31 ↵
1
0.5532�k2 1.0 b
1
1.0 ↵
2
0.4403�!1 2.0 c
1
10.0 �
1
0.075�!2 1.168 �
⇤ 0.09 �
2
0.0828
A.2 Modelo k � " realizavel
Nesta secao e descrito em detalhes o modelo k � " realizavel utilizado neste trabalho tal
qual implementado no OpenFOAM.
Equacoes de transporte
As equacoes de transporte das quantidades k e " sao dadas por:
Dk
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�k
◆rk
�+ Pk �Dk (A.18)
D"
Dt
= r.
✓⌫ +
⌫t
�"
◆r"
�+ P" �D" (A.19)
Os numeros de Prandtl turbulentos �k = 1.0 e �" = 1.2 sao constantes do modelo.
55
Modelagem da viscosidade turbulenta
A viscosidade turbulenta e modelada por:
⌫t = Cµk
2
"
(A.20)
Uma particularidade do modelo k � " realizavel em relacao ao modelo k � " standard e
que Cµ deixa de ser constante e passa a ser dado pela equacao A.21.
Cµ =1
A
0
+ As(k/")Us
(A.21)
onde A
0
= 4.0 e As e dado por:
As =p6 cos(�s) �s =
1
3cos�1
p6W W =
SijSjkSki
S
3
(A.22)
com S =p
SijSij sendo a magnitude da taxa de deformacao media e Sij descrito na
equacao 2.16.
Us e dado por:
Us =pSijSij � ⌦ij⌦ij (A.23)
⌦ij e a taxa de rotacao media obtida pela equacao A.24:
⌦ij =1
2
✓@ui
@xj
� @uj
@xi
◆(A.24)
Modelagem dos termos de producao
A producao de energia cinetica turbulenta e modelada por:
Pk = ⌫tS2 (A.25)
e a producao de " por:
P! = C
1
S" (A.26)
onde C
1
e obtido por:
C
1
= max
✓0.43,
⌘
⌘ + 5
◆⌘ = S
k
"
(A.27)
56
Modelagem dos termos de destruicao
Os termos de destruicao das equacoes de k e " sao dados pelas equacoes A.28 e A.29,
respectivamente.
Dk = " (A.28)
D" = C
2
"
2
k +p⌫"
(A.29)
Constantes utilizados no modelo
As constantes utilizadas no modelo sao resumidas na tabela A.2:
Tabela A.2: Constantes utilizadas no modelo k � " realizavel
�k 1.0 C
2
1.9�" 1.2 A
0
4.0
A.3 Condicoes de contorno turbulentas
Condicoes de entrada
As condicoes de entrada turbulentas sao calculadas a partir dos valores de intensidade
turbulenta I e razao de viscosidade ⌫t/⌫ descritas na tabela 3.2 pelas formulas derivadas
das equacoes 2.15, 2.20 e 2.23, respectivamente:
k =3
2(uI)2 (A.30)
✏ = Cµk
2
⌫t
(A.31)
! =k
⌫t
(A.32)
Condicoes de parede
As condicoes de parede utilizadas neste trabalho estao descritas a seguir [22]. Elas
baseiam-se em funcoes de parede implementadas no OpenFOAM. A equacao A.33 corres-
ponde a uma condicao de gradiente nulo na parede para a energia cinetica turbulenta. Nas
equacoes abaixo, kP o valor de k na celula adjacente a parede e yP a distancia do centro
57
desta celula a parede. e uma constante encontrada na lei da parede para a velocidade [9]
e vale 0.41 na implementacao OpenFOAM.
@k
@n
= 0 (A.33)
Pk = (⌫t + ⌫)@u
@y
k
1/2P C
1/4µ
yP
(A.34)
✏ = C
3/4µ
k
3/2P
yP
(A.35)
! =q
!
2
vis + !
2
log !vis =6.0⌫
�
1
y
2
P
!log =k
3/2P
C
1/4µ yP
(A.36)
58