observant el laberint geomètric de la natura

Bernat

e-mail:

[email protected]

Observant el laberint geomètric de la natura

2


3

-Índex- pàg.

1. Introducció 1.1. Introducció general de la recerca -------------------------------------------------- 4

1.2. Introducció de continguts i objectius -------------------------------------------- 7

2.Conceptes 2.1. La geometria com a mitjà per comprendre l’univers ------------------------ 8 2.2. La geometria fractal de la natura -------------------------------------------------- 15

2.3. La dimensió ------------------------------------------------------------------------------- 202.3.1. Dimensió euclidiana -------------------------------------------------------------------- 212.3.2. Dimensió fractal -------------------------------------------------------------------------- 242.3.3. Dos exemples de dimensió fractal: Conjunt de Cantor i Corba de Koch------ 25

3.Observacions

3.1. Números, art, i natura: una relació en sèrie ------------------------------------ 27 3.2. Intel·ligibilitat de les principals formes de la natura ------------------------ 32

3.1.1. L’esfera protegeix ----------------------------------------------------------------------- 333.1.2. L’hexàgon pavimenta ------------------------------------------------------------------ 343.1.3. L’espiral empaqueta -------------------------------------------------------------------- 353.1.4. L’hèlice aferra ----------------------------------------------------------------------------- 373.1.5. L’angle penetra --------------------------------------------------------------------------- 383.1.6. La catenària aguanta ------------------------------------------------------------------- 393.1.7. Els fractals intimen l’espai amb continuïtat ------------------------------------ 403.1.8. Natura i geometria en l’arquitectura de Gaudí --------------------------------- 41

3.3. Caça fotogràfica en plena natura. NATURA i GEOMETRIA ----------------------- 42

4. Conclusions ----------------------------------------------------------------- 54

5. Opinió personal ------------------------------------------------------------ 55

6. Agraïments ------------------------------------------------------------------ 55

7. Bibliografia ------------------------------------------------------------------ 56

8. Glossari ----------------------------------------------------------------------- 59


4

1.1. Introducció general de la recerca

El meu interès per la natura es remunta en una infantesa plena d’aventures, excursions, i descobriments personals, juntament amb una gran afició pels fòssils. El motor inicial d’aquesta afició per buscar fòssils es va despertar en una de les primeres sortides amb bici que realitzava amb la família, a l’edat de cinc anys, quan de cop i volta al travessar un tram sec del riu Manol em va quedar gravada a la ment una preciosa espiral. Seguidament vaig baixar de la bicicleta i vaig recular cap al lloc a on em semblava haver vist aquella curiosa forma. Tot seguit, enmig de centenars de còdols ben arrodonits, se’m va tornar a aparèixer aquella espiral davant dels nassos. Es tractava d’un còdol amb forma d’ou que tenia inscrita una precisa espiral provinent d’un ammonit (cargol fòssil). Encara recordo aquell fet com si es tractes de fa poques setmanes, gràcies a l’emoció que em va produir la descoberta d’aquell objecte tan inusual.

Aquesta troballa va despertar en mi una profunda reflexió sobre l’origen i el perquè de les coses. I d’aquesta manera jo i el meu germà bessó ens veiérem endinsats en una recerca continuada que duraria diversos anys. Moguts per la necessitat de trobar més pistes sobre aquelles estranyes figures que poblaven el món de vida fa milions d’anys; varem recórrer la majoria de jaciments fòssils que hi ha a la nostra comarca i a la Garrotxa (en general, zones de roca calcària).

Per identificar-los buscàvem trets morfològics distintius, com espirals, cercles, corbes, .... en definitiva formes pràcticament inexistents en el món inert. Amb els fòssils també varem arribar entendre fàcilment processos geològics, ja que pràcticament tots els fòssils trobats eren d’origen marí. I també entenguérem fàcilment el llarg camí evolutiu que presenten els éssers vius, intuint d’aquesta manera l’evolucionisme de Darwin.

Figura 1. Inici del recorregut pel laberint geomètric de la natura. Còdol de riu arrodonit amb una espiral d’ammonit.


5

A mesura que el temps anava passant, l’afició pels fòssils va anar perdent protagonisme i es va anar veient eclipsada per la natura en general. Gràcies a l’afany per identificar i conèixer tot tipus d’animals, plantes i roques, es va anar formant una amplia i excepcional visió del món natural. També he de dir que ja des de ben petit realitzava nombroses incursions en el món submarí, a on hi vaig quedar meravellat, des de bon principi, al descobrir un món de formes i pautes totalment diferents al món terrestre.

El dibuix i la pintura també van ser un al·licient indispensable per a la comprensió del món que m’envoltava. Poder plasmar la realitat que s’observava sobre un paper em semblava una cosa genial que no es podia deixar d’aprofitar. En tots els dibuixos que feia s’hi amagava un afany per sintetitzar i comprendre la natura i l’home en general.

Com podeu veure tots aquests coneixements de primera mà, m’han propiciat posteriorment un gran interès per les ciències, les matemàtiques i les arts. I han fet possible la resolució d’un treball tan ampli com aquest.

L’elecció del treball de recerca la vaig tenir ben clara un cop em vaig haver llegit un llistat, que ens va passar el centre, de possibles treballs a escollir. Concretament es trobava en l’apartat dels treballs relacionats amb el dibuix tècnic, amb el títol de NATURA i GEOMETRIA.

Amb aquest títol, la primera idea que se’m va ocórrer va ser la de formar un ampli repertori fotogràfic d’objectes de la natura amb els quals es constatés una relació geomètrica ben definida.

Ara bé, aquesta idea de recerca fotogràfica (que no he perdut de vista), s’ha anat veient ampliada per una major comprensió i lectura d’assaigs científics que m’han aportat nous coneixements i concepcions entre les quals destaca la geometria fractal, que poca cosa en sabia abans d’iniciar el treball.

Tot va començar quan una tarda de desembre del 2005 em vaig posar a cercar llibres que poguessin estar relacionats amb natura i geometria. I mentre fullejava un llibre d’aforismes del genial científic i divulgador Jorge Wagensberg, anomenat “SI LA NATURA ÉS LA RESPOSTA, ¿QUINA ERA LA PREGUNTA?” [19]1 vaig trobar un curiós apartat anomenat Forma i funció.Apartat que tractava de relacionar les principals formes geomètriques del món en què vivim amb la seva pertinent funció que duen a terme. Aquesta troballa va representar el primer pas d’un llarg camí per a la intel·ligibilitat de la natura a partir de la seva geometria.

Aquests aforismes em van portar a descobrir un nou assaig de l’autor, que havia realitzat posteriorment, es tractava del llibre LA REBELIÓN DE LAS

1 El lector trobarà la informació bibliogràfica d’aquestes referències entre corxeres a la bibliografia final del treball.


6

FORMAS. Aquest llibre [20] ha esdevingut com una mena de Bíblia, per dir-ho d’alguna manera, que m’ha permès d’iniciar-me amb més facilitat al món de la literatura científica, citant-me altres obres i escrits de gran valor com ha estat el llibre SOBRE EL CRECIMIENTO I LA FORMA [15] del gran biòleg i matemàtic D’Arcy Thompson (1860-1948), llibre que he estat llegint i treballantels últims dies d’estiu per tal d’ampliar els coneixements sobre el nombre d’or i l’espiral equiangular a la natura.

D’aquesta manera, gràcies a l’assaig de Wagensberg, començo a veure una certa estructura pel treball de recerca molt més concisa que l’idea inicial. Aquest nou plantejament del treball es basa en l’observació de la geometria emprada per la natura, i en la recerca per a la intel·ligibilitat de les principals formes que s’hi troben. I és així que canvio el títol inicial de NATURA i GEOMETRIA pel de OBSERVANT EL LABERINT GEOMÈTRIC DE LA NATURA, títol provinent d’una inspiració sobtada que vaig tenir al cap de pocs dies d’haver llegit la introducció de l’extens llibre LA GEOMETRIA FRACTAL DE LA NATURALEZA [10] del reconegut matemàtic Benoît Mandelbrot.

A part d’aquesta recerca per comprendre la geometria que utilitza la natura i per trobar una teoria general de la forma, el treball s’ha vist reforçat per innombrables observacions directes en plena natura, realitzant una caça fotogràfica molt exhaustiva (més de mil fotografies digitals d’alta resolució), que m’han permès tenir un autèntic puzle de gran varietat i valor disponible a dos clics del ratolí. Fins i tot, una d’aquestes fotografies m’ha resultat premiada al VII Concurs fotogràfic de l’Albera en la modalitat de patrimoni natural.

També afegeixo que absolutament totes les fotografies que il·lustren aquest treball, han estat realitzades i retocades posteriorment per mi, juntament amb la majoria de dibuixos i fotomuntatges (incloent-hi la portada).

Ara sí, espero que aquest treball sigui del vostre gust.


7

1.2. Introducció de continguts i objectius

Des del començament de la creació de la ciència a Grècia, com a cos de doctrina que pretenia explicar l’ésser i el comportament del nostre univers, la cultura occidental s’ha vist atrapada per la Geometria Euclidiana en l’explicació per a tot tipus de fenòmens. El món platònic, el món de les idees, era l’univers, on aquestes formes euclidianes, formes perfectes, estaven com a ideals. Per a Plató l’univers dels humans es caracteritzava per la imperfecció; l’univers real, doncs, era una imatge imperfecta basada en les formes de la geometria d’Euclides.

D’aquesta manera, si observem la natura amb abstracció veiem immediatament moltes formes que es poden arribar a relacionar i classificar segons les principals formes geomètriques que ens han ensenyat a l’escola ( circumferències, triangles, quadrats, pentàgons, hexàgons, etc.), en general figures regulars de la geometria euclidiana. D’aquesta manera també ens adonem que pràcticament tots els éssers vius presenten eixos i plans de simetria.

Ara bé, hi ha tot un altre conjunt d’elements i fenòmens que no s’ajusten a la geometria de les formes regulars, però que actualment estan tractades per una novadora disciplina geomètrica: la geometria fractal. A tall d’exemple de figures fractals tenim la línia del litoral en una costa rocallosa, el desplegament lluminós d’un llamp, l’estructura dels capil·lars d’un pulmó o el brancatge de moltes espècies vegetals. Actualment, fins i tot a nivell de la cultura aplicada al territori, es comença a aplicar a algunes distribucions urbanístiques en plans experimentals o innovadors.

Així doncs, mentre que la geometria euclidiana, la que ens han ensenyat i amb la qual treballem, descriu objectes simples (quadrats, triangles, polígons...) amb propietats senzilles, la geometria fractal descriu objectes més complexos que la geometria euclidiana no té en compte o els descriu només superficialment. D’aquesta manera podríem formular la primera hipòtesi: moltes formes de la natura són tan irregulars i fragmentades que presenten un grau superior de complexitat; només poden ser descrites per una nova geometria, la geometria fractal.

Un cop estudiada aquesta nova geometria passem a les observacions directes en la natura. A primera vista, si ens fixem com construeix el món natural veiem una multitud de proporcions i pautes que estan íntimament lligades amb el nombre d’or, la secció àuria, i la successió de Fibonacci. Aquesta qüestió donaria per tot un treball de recerca, de tal forma que només en fem un breu estudi i reflexió, del qual podem anunciar la segona hipòtesi: darrera la natura s’amaga tota una bellesa estèticament perfecte a la vista humana, lanatura exhibeix ritme i harmonia.


8

Finalment entrem a la qüestió final del treball: a la natura, un gran nombre d’objectes sembla compartir un petit nombre de formes geomètriques.

Què tenen en comú un estel com el Sol, un planeta, un ou de peix, una taronja i una bombolla? Tots aquests objectes, inerts o vius, comparteixen la mateixa forma: són esferes. Per què hi ha tantes esferes, cercles i circumferències? Ajuda en alguna cosa el fet de ser esfèric? Les esferes es veuen amb més freqüència que altres formes. Quines són les formes més probables a la natura? Serveix per a alguna cosa ser circular, espiral, hexagonal o fractal? Els objectes que tenen la mateixa forma, comparteixen res més a banda de la pròpia forma? Potser comparteixen la funció, és a dir, aquella propietat que ajuda que l’objecte en qüestió, ja sigui inert o viu, perseveri a la natura.


9

2.1. La geometria com a mitjà per comprendre l’univers

“L’univers és un gran llibre que es troba contínuament obert davant nostre; però no es pot desxifrar si abans no en comprenem el llenguatge ni coneixem els caràcters amb què és escrit. És escrit en llenguatge matemàtic, i els seus caràcters són triangles, cercles i altres figures geomètriques. Sense aquests mitjans és humanament impossible comprendre’n ni una sola paraula; sense ells, només s’aconseguirà divagar vanament per un obscur laberint.” Galileo Galilei2

Parlar de la historia de la geometria és parlar de l’evolució de l’home en el temps. Des dels inicis de la prehistòria l’home ha desenvolupat un llarg camí d’abstracció per tal de conèixer i poder entendre l’estructura geomètrica del món en el qual vivim.

El MÓN ANTIC: Mesopotàmia, Egipte i Grècia

Els primers intents de geomatització del món els trobem en l’art esquemàtic neolític, posterior al realisme del paleolític, en què veiem un procés d’abstracció proper a la geometria; però no podem parlar de geometria com a ciència fins a la Grècia clàssica dels segles VI a II a.C. És durant aquest període que es produeix la seva gran eclosió i s’assenten les bases de la geometria clàssica.

Tant a Mesopotàmia com a Egipte són coneguts alguns principis bàsics de geometria aplicats a l’astronomia, la construcció i l’agrimensura. Heròdot, historiador grec del segle V a.C., ens diu que “Sesostris, faraó egipci, va dividir la terra entre tots els egipcis a fi de donar a cadascun un quadrangle de la mateixa mida...”; però per això havien de conèixer la construcció d’un angle recte. Efectivament, utilitzaven la construcció d’un triangle de costats iguals a 3, 4 i 5 unitats per traçar angles de 90° (aplicant el teorema de Pitàgores comprovem que 3² + 4² = 5² = 25), sistema també conegut a l’Índia però fent servir els nombres 5, 12 i 13 (5² + 12² = 13² = 169).

Ja en el segle VI a.C. Tales de Milet se’n va a Egipte per aprendre geometria i sorprèn els seus mestres amb la capacitat de generalitzar problemes de triangles, de proporcions (teorema de Tales) i relacions geomètriques, i fa una primera definició sobre l’angle recte inscrit en mitja circumferència (arc capaç de 90°).

Però és Pitàgores, alumne de Tales, qui transforma la geometria en una ciència pura, abstraient-la de la seva utilització. Per a Pitàgores i els pitagòrics, la geometria és una fórmula per arribar a l’harmonia de l’univers; així es

2 Aquest paràgraf resulta potser el més repetit de la seva filosofia, ho escriu d’una manera ben clara a Il Saggiatore (1623) cap.6. Galileu formula la idea que està al darrera de la nova física: la realitat o la naturalesa és geomètrica. [26]


10

converteix en una filosofia i en una ciència. Pitàgores treballa sobre el triangle (teorema de Pitàgores) i els “cossos còsmics” o poliedres regulars3.

Més tard, altres savis grecs obtenen el volum de la piràmide i del con; també plantegen els tres “problemes clàssics” del món hel·lenístic: la quadratura del cercle, la duplicació del cub i la divisió de l’angle en tres parts iguals.

Però és Euclides (segle III a. C.), fundador de l’escola matemàtica d’Alexandria, qui ordena, sistematitza i descriu tots els coneixements matemàtics de la seva època mitjançant la seva obra Elements [25]. Es tracta d’un compendi de tretze llibres distribuïts de la manera següent: el llibre primer tracta sobre triangles, paral·leles i paral·lelograms; el segon, sobre aplicacions del teorema de Pitàgores; el tercer i el quart tracten del cercle i dels polígons; el cinquè, parla de proporcions; el sisè, de la semblança de figures; del setè al desè, sobre la teoria dels números; i els tres darrers, sobre la teoria dels sòlids.

També escriu Òptica on analitza el sistema visual entès com a piràmide que té de vèrtex l’ull i de base l’objecte. Els estudis euclidians estan considerats com una de les més grans aportacions de la humanitat en tots els temps, i no és fins al segle XIX que es començarà a qüestionar l’anomenada geometria euclidiana.

Ja hem esmentat que la matemàtica i la geometria tenen en el món grec una concepció abstracta, científica i filosòfica. És Arquimedes (segle II a.C.) qui aplica aquestes ciències a la realitat, introdueix la mecànica, l’estàtica (centre de gravetat), coneix les lleis de la palanca i treballa sobre l’espiral, la paràbola i l’esfera.

Per últim, cal esmentar Apol·loni (segle II a.C.), que introdueix la matemàtica analítica, l’actual concepció de les còniques com a seccions planes de cons (el.lipse, paràbola i hipèrbola), els eixos coordenats i anticipa alguns conceptes de geometria projectiva (la visió com a secció plana del con visual).

3

Figura 2. Els cinc sòlids perfectes de Pitàgores i Plató

[11]Segons Plató:

a) El foc, l’element més lleuger, és el tetraedre, format per quatre triangles equilàters, el sòlid regular més senzill.

b) L’aire, el segon element es compon de vuit triangles units entre sí: l’octaedre.

c) L’aigua neix de la unió de vint triangles equilàters. L’icosàedre.

d) La Terra l’element més pesat el forma la unió de sis quadrats, un cub.

e) La cinquena composició és el dodecaedre, un sòlid regular format por 12 pentàgons, que simbolitzen els colors.


11

L’ÈPOCA ROMANA. L’EDAT MITJANA

Les èpoques romana i medieval es poden considerar improductives per a la geometria. Els romans, concretament, destacaven en la construcció de ciutats, fortificacions i obres públiques en general i, per tant, van produir arquitectes, juristes i militars, però no intel·lectuals especialitzats en el pensament abstracte. Tan sols podem considerar que van fer alguna aportació en el camp de la trigonometria. Amb tot, van deixar notables construccions d’arc i volta, així com mosaics remarcables, sovint amb motius geomètrics modulars.

L’època medieval representa l’oblit i, fins i tot, la negació dels coneixements del món antic, actitud que podem simbolitzar amb la destrucció de la biblioteca d’Alexandria per l’emperador Teodosi per tal de purificar el cristianisme del seu passat pagà.

Un gran buit s’obre en la historia de la geometria durant els segles foscos de l’Edat Mitjana en el món occidental, més preocupat per la representació espiritual i simbòlica que pel món natural. Tan sols podem destacar algun tractat d’arquitectura gòtica. Malgrat això, la geometria, juntament amb l’aritmètica, l’astronomia i la música formaven el quadruvi, la divisió escolàstica del coneixement.

LA GEOMETRIA EN EL MÓN ISLÀMIC

Paral·lelament, el coneixement de l’antiguitat clàssica conjuntat amb el saber dels matemàtics indis, es trasllada al món àrab i, en especial, a l’Àsia central (Bagdad, Samarcanda, Ispashad...).

Al-Khwarizmi, Biruni, Abu al-Wafa o Alhazen (s. XI i X) són exemples del desenvolupament de la matemàtica i la geometria aplicades a l’àlgebra, la geografia, l’astronomia i l’òptica. Aquests autors introdueixen el concepte de nombre i símbol actuals, realitzen estudis sobre seccions còniques, miralls esfèrics, etc.

A l’Islam, les formes geomètriques esdevenen el motiu fonamental de les representacions artístiques. En elles, el cercle és l’element geomètric generador de formes; a partir d’aquest sorgeixen formes poligonals estrellades, buides i plenes, que creen una gran varietat de dissenys.

Fins a la introducció pels àrabs d’uns guarismes diferenciats pels nombres, les civilitzacions anteriors havien utilitzat les lletres per a la representació numèrica. Aquesta inexistència de numeració va fer que els estudis matemàtics fossin realment geomètrics. Les demostracions dels principis “matemàtics” eren realitzades mitjançant la geometria.


12

EL RENAIXEMENT I LA CONSOLIDACIÓ DE LA CIÈNCIA

No és fins el Renaixement que Europa redescobreix els clàssics. El retorn als valors materials i a la necessitat de representar el món amb rigor científic, a la vegada que porten a artistes i arquitectes a l’estudi de la geometria mètrica i projectiva.

Les dues grans figures del Renaixement són Leonardo da Vinci i Dürer (s. XV-XVI). Leonardo va fer grans aportacions a l’aplicació de la perspectiva, va estudiar la construcció de polígons, de l’el·lipse, de poliedres irregulars, i va dibuixar magnífiques perspectives cavalleres intuïtives en els estudis de màquines, etc. I per altra banda, Dürer va excel·lir amb els seus estudis sobre perspectiva, construcció de polígons regulars, construcció de l’el·lipse i aplicacions de la secció àuria.

Tot seguit a finals del segle XVI, Galileu, amb l’ajuda de Copèrnic (l’heliocentrisme), estableix les bases de la nova ciència com un intent de comprendre el món tal com és: l’experimentació i l’observació de la realitat com a criteri de validació de la teoria científica. Galileu, també inicia l’estudi de les lleis físiques tot desmentint una vella concepció de la trajectòria que fa un projectil (Galileu observa com els projectils presenten un moviment oblic, el qual és un arc parabòlic).

També, cal dir que Galileu és potser un dels primers en observar que el món platònic, de les idees i les figures regulars, no s’ajusta amb la geometria de l’univers. Les seves observacions de la superfície lunar (realitzades amb el telescopi, construït per ell mateix) desmenteixen aquesta concepció de les esferes perfectes.

Per acabar, cal destacar la figura del teòleg, astrònom i matemàtic Johannes Kepler. Kepler era un home apassionat que realitzà nombrosos esforços per tal d’intentar descobrir l’ordre universal, tal com ens mostren les seves idees inicials (figura 3), que es veieren substituïdes posteriorment amb el descobriment de la geometria de les òrbites dels planetes al voltant del sol (òrbites el·líptiques), que tan bé explica en les seves tres lleis.

Figura 3. Disseny de Kepler que vol explicar el moviment dels planetes amb poliedres inscrits en esferes concèntriques.


13

ELS SEGLES XVII, XVIII i XIX. LA GEOMETRIA PROJECTIVA

En aquest període la geometria es centre en el concepte de projecció, i és portada al marge de la matemàtica, desviant-se del camí que tingué en els seus inicis per tal de comprendre el món, juntament amb la filosofia natural4 i l’astronomia.

El francès Gérard Desargues (s. XVII) perfecciona el concepte de projecció desenvolupant la idea que un cilindre és un con amb el vèrtexs en l’infinit. Desargues, junt amb Decartes i Fermat, són els iniciadors de la nova geometria no euclidiana: la geometria analítica, diferencial, descriptiva i projectiva.

Amb Newton i Euler es produeix un gran canvi amb el descobriment del mètode de les coordenades i el concepte de quadrant, amb la sistematització de les equacions, l’estudi de tangències, els problemes de curvatures, etc.

Sent Gaspar Monge (1746-1818) qui recull totes les aportacions matemàtiques i geomètriques del segle XVIII, en la seva obra Geometria descriptiva on desenvolupa tot un sistema de representació de cossos en l’espai basat en la projecció cilíndrica dels sòlids sobre plans de projecció, dotant a la geometria projectiva d’una entitat pròpia.

La Revolució Industrial, amb l’impuls que va donar a la construcció mecànica, va ser un camp adobat pel desenvolupament d’aquests sistemes de representació i per a la introducció de la normalització, que avui dia utilitzem en el dibuix tècnic.

Ara bé, aquestes geometries, juntament amb l’euclidiana, són portades a nivells d’abstracció molt elevats facilitant el disseny de peces mecàniques ben definides però que alhora deixen molt de desitjar a nivell de representar el què anomenem formes orgàniques o amorfes, en general, formes que ens dóna la natura. La geometria clàssica és massa idealista i es veu incapaç de modelar formes més irregulars i complexes.

Encara als nostres dies, la cultura i la forma de fer de l’home segueixen intentant canviar el que ens dóna la natura per altres ideals. L’ús de la geometria Euclidiana per a modelar la natura, és en molts casos inadequat perquè la natura no s’ajusta a ser explicada amb aquesta geometria. La ciència, posava en dubte a la pròpia natura en lloc de la geometria utilitzada. No es creia possible un error en la geometria, sinó que era la natura la que no era adequada, la que no tenia un esquema definit.

Així doncs, moltes formes de la natura, malgrat la impressió de desordre que causen, en molts casos hi ha un ordre intrínsec quasi geomètric que els atorga

4 Allò que avui coneixem com a ‘física’ fou durant molt de temps anomenat — d’Aristòtil a Newton — ‘filosofia natural’.


14

racionalitat. Aquesta forma amb racionalitat es podria definir com el que entenem avui per fractal. Objectes descrits per una geometria no euclidiana que presentem a continuació: la geometria fractal [3], [10], [14], [30].


15

2. La geometria fractal de la natura

HISTÒRIA DELS FRACTALS

De manera natural, a començaments del segle XX, va sorgir la necessitat d’explicar l’estructura geomètrica de conjunts de punts de la recta, que posseïen propietats geomètriques, aritmètiques i analítiques, que el convertien en micromóns molt peculiars. En aquest afany per la investigació van aparèixer greus problemes en els procediments de mesura, així com en l’estructura geomètrica. Aquests fenòmens, van ser considerats en un principi com a monstres geomètrics, com a joguines sense importància. Amb aquests monstres geomètrics, van aparèixer el que avui coneixem com a fractals. Les seves paradoxes i sorprenents propietats van suposar un gran espant en les matemàtiques ja que s’atacava al sentit comú.

A mesura que es van anar trobant procediments eficaços per a distingir-los i estudiar-los des de diferents punts de vista, els matemàtics van percebre la seva bellesa interna, l’harmonia, la diversitat. Més tard, s’adonaren de les seves semblances en els processos i les formes de la natura i altres objectes presents en ells.

El primer exemple dels fractals, va ser al 1919 quan els topògrafs que realitzaven el mapa de Gran Bretanya, entre ells Haussdorff, van descobrir un problema en la mesura de la costa: la longitud de la franja de la costa canviava de longitud segons l’escala utilitzada. Actualment sabem que si s’observa des d’un satèl·lit, la costa mesura 5000 unitats; mesurant-la de més a prop, les unitats augmenten fins a 8000, però si es mesura a escala real, la mesura augmenta el doble de l’original. Si ens hi fixem, la costa de Gran Bretanya als mapes del món no té tots els ports ni badies. Un mapa només de Bretanya, hi té més detalls, però no tots. Per tant, com més a prop es miri la costa, més mesura el seu perímetre. A partir d’aquest problema van sorgir les mesures de conjunts i la dimensió de Haussdorff.

Abans d’arribar a Benôit Mandelbrot5, hi va haver dos matemàtics, Gaston Julia i Pierre Fatou que van ajudar a expandir les idees iniciades per Poincaré sobre els fractals, que encara no es deien així, durant els anys 1818-1819.

Mandelbrot, cap als anys ’70, va definir aquests nous conjunts com a fractals, paraula derivada de l’adjectiu llatí fractus. Fractus prové del verb llatí frangere,que significa trencar, crear fragments irregulars.

5 A Benôit Mandelbrot se’l coneix com el “pare dels fractals”. Mandelbrot va desenvolupar una nova geometria de la natura, que permet descriure moltes formes irregulars i complexes que ens envolten. Els estudis de Mandelbrot sobre les formes fractals han donat lloc a una nova disciplina científica: la geometria fractal de la natura, que protagonitza avui dia múltiples investigacions en tots els camps de la ciència. [10]


16

Amb l’aparició dels ordinadors, Mandelbrot va desenvolupar una sèrie d’experiments amb certs conjunts que avui coneixem amb el nom genèric de fractals. Va modificar la fórmula del conjunt de Julia per tal de poder ser aplicada a la computadora:

Figura 4. Conjunt de Mandelbrot elaborat amb un filtre KPT del Photoshop anomenat FraxPlorer

Z^2 + C Z(n)^2 + C Fórmula Julia Fórmula Mandelbrot

(on C és una constant complexa amb part real i part imaginària)

Sent, Mandelbrot, empleat de l’IBM, aplicà la seva fórmula a un programa d’ordinador i la feu funcionar en un dels ordinadors de l’empresa. A vegades, obtenia formes espectaculars i vistoses. Els dibuixos els obtenia quan assignava un color a cada punt segons les vegades que trigava la iteració a arribar a un nombre determinat.

Una altra persona important en la història dels fractals, va ser Lorenz. Aquest va estudiar els problemes meteorològics. S’adonà que si les condicions inicials variaven lleugerament, el resultat final podia ser molt diferent. És el que va designar amb l’efecte papallona. El seu estudi formulava la següent hipòtesi: “Pot el batec de les ales d’una papallona al Brasil desencadenar un huracà a Texas?”. El que va observar Lorenz, és que no podem preveure el temps que farà amb molta anticipació, perquè un detall molt petit que no detectem pot influir en el resultat final. En canvi podem preveure amb més o menys exactitud el que passarà d’aquí pocs dies, perquè amb unes condicions inicials exactes, el resultat a curt termini, no varia gaire del previst.

Com podem observar, els fractals són un concepte matemàtic molt recent en la història matemàtica. Cal tenir en compte el fet, que abans de donar-ne una definició i cercar-ne uns estudis, ja es tenia constància de la seva presència en certs fenòmens estranys que ens envoltaven a la natura, però que no es podien estudiar amb les eines existents.


17

QUÈ SÓN ELS FRACTALS?

Mandelbrot definí els fractals de la següent manera: “forma molt irregular o extremament interrompuda i fragmentada, sigui quina sigui l’escala d’observació, que conté elements distintius, les escales dels quals són molt variades i que abracen una extensa gamma”.

Els fractals consten de 3 propietats destacades en la seva estructura: l’autosemblança, el caos i la dimensió fractal.

Per entendre què és l’autosemblança, no hi ha res millor que fixar-nos en un senzill exemple com és el cas de les nines russes, cada nina avarca en el seu interior una altra d’idèntica però d’escala reduïda. Les matemàtiques autosemblants o, en aquest cas, els fractals, són autosemblants perquè al llarg del seu procés trobem una estructura repetida que l’únic que ha fet és reduir segons la seva raó de semblança (valor de l’escala utilitzada per tal de reduir o augmentar la figura)

Un aspecte, una mica més complicat d’entendre, és la dimensiófractal. Aquests processos matemàtics, tenen com a dimensió un nombre fraccionari, que s’allunya de les bases de la geometria euclidiana.

Pel que fa al caos, cal tenir present la impossibilitat de preveure amb seguretat el que succeirà en un termini de temps. Com exemple d’aquesta característica, podria ser el moviment del fum, en què mai no saps la trajectòria que prendrà.

Ara bé, hi ha bàsicament, set tipus de fractals:

1. Algoritme d’escapament A partir de la repetició d’una fórmula d’una equació no lineal, es calculen una sèrie de valors per cada punt fins a trobar una condició. Per representar aquests fractals, necessitem ordinadors ja que necessiten milions d’operacions.

Figura 5. Exemple: .Conjunt de Mandelbrot i la closca d’un cranc aranya trobat al Cap de Creus.

Se n’hauria de fer un estudi per verificar-ne la seva inquietant similitud.

.


18

2. Sistemes de funcions iterades Es tracta de generar repeticions d’unes mateixes transformacions sobre un conjunt per tal de cercar una autosemblança entre el conjunt inicial i el final.

Figura 6. Exemple: fulla de falguera ......( Asplenium onopteris) de l’Albera.

Moltes formes de la natura es poden aproximar per models generats amb els fractals SFI (Sistema de funcions iterades)

.3. L-Systems Consisteix en la re-escriptura d’un codi que genera una

estructura senzilla, substituint una part d’aquesta per una altra més complexa a partir d’unes determinades regles. A cada pas o iteració, l’estructura augmenta la seva complexitat. Els L-system ( permeten modelar el desenvolupament i l’evolució dels conjunts fractals. Aquest concepte va ser concebut al 1968 per Aristid Lindenmayer, un biòleg que pretenia estudiar un model matemàtic de creixement biològic.

..

Figura 7. Exemple: Ramificacions d’una planta de lleteresa amb forma d’arbre binari pla, dos branques per nus. (Exemplar trobat al jardí de casa).

4. Òrbites caòtiques És una representació bidimensional basada en la descripció d’una trajectòria tridimensional que tant s’acosta com s’allunya d’uns punts d’atracció.

.

Figura 8. Exemple: Atractor de Lorenz

Molts fenòmens meteorològics es poden arribar a relacionar amb aquests tipus de fractals.


19

5. Model d’agregació Sistema en la que una gran quantitat de partícules s’agrupen per generar un cos amb estructura irregular.

Figura 9. Exemple: Núvols de migdia als Pirineus.

Els núvols, els esculls coral·lins, els líquens,... es poden aproximar amb aquests models.

.6. Aleatoris Fractals amb una estructura que depèn en gran part de

l’atzar, per la qual cosa són únics i irrepetibles.

Figura 10. Exemple: Orificis aleatoris d’una roca del Cap de Creus.

. .7. Cel·lulars Sistemes que funcionen amb senzilles regles que

coloren zones a partir del color de les pròximes. Les imatges poden ser molt irregulars, tot i que al principi sembli que tendeixin a ser senzilles i simètriques.

Els fractals, normalment són considerats com a simples objectes matemàtics. Des dels seus inicis han estat estudiats, principalment, pel món de les matemàtiques. Els fractals, però, poden ser observats en camps menys abstractes com són el modelatge d’una muntanya, l’espiral d’un cargol, un arbre, un núvol...

Com podem observar, els objectes naturals es poden descriure amb precisió i rigor científic amb els mètodes de la geometria fractal. Per tant, podem considerar els fractals com un llenguatge que ens ajuda a entendre la realitat del món.

La geometria fractal descriu millor la complexitat de la realitat més enllà de la geometria euclidiana i és important perquè ens mostra un nou camp de les Matemàtiques, directament aplicable a l’estudi de la natura (animal, vegetal o mineral)


20

2.3. La dimensióParlar d’un concepte com la dimensió és força complicat. La paraula dimensió és molt comuna en el nostre llenguatge quotidià, però en el món de les matemàtiques és molt més complicat trobar-li un significat adequat. Tècnicament, la dimensió es defineix com: el nombre que mesura la grandària d’un conjunt en un espai topològic i que és invariable per homeomorfisme.

De totes maneres, hi ha una manera molt més fàcil d’assimilar el concepte de dimensió si ens fixem en la llibertat de moviments. Així doncs, existeix un clar exemple que manifesta aquesta llibertat:

Per definir les diferents dimensions, ens podem basar en la trajectòria que fan un tren, un vaixell i una avió.

El tren, vindria a ser la dimensió 1, tenint en compte que en la seva trajectòria tant sols té llibertat per moure’s en una sola direcció (endavant - endarrere). El vaixell, donaria lloc a la dimensió 2, ja que pot desplaçar-se en dues direccions (endavant – endarrere, dreta – esquerra). A la vegada, l’avió s’assimilaria a la dimensió 3, ja que en una trajectòria pot desplaçar-se en tres direccions (endavant – endarrere, dreta – esquerra, dalt – baix).


21

2.3.1. Dimensió Euclidiana

La dimensió euclidiana, es remunta en l’època dels grecs. Ha estat sempre la més estudiada, però arriba un moment en que la geometria euclidiana es queda enrere per estudiar certs aspectes matemàtics de l’actualitat.

Per exemple, per dibuixar un arbre, un nen petit normalment utilitza la dimensió euclidiana, dibuixant figures del seu abast com serien un rectangle (tronc) i un cercle (fulles). La geometria euclidiana es queda molt enrere per poder estudiar i admirar certs detalls que la nova geometria fractal presenta. Tot i que aquesta, se’n deriva d’ella.

Així doncs, presentem a continuació les bases de la dimensió euclidiana: Si partim d’un segment de longitud 1, i el dividim en segments de longitud L, obtenim N(L) parts, de manera que:

N(L)·L^D=1(on D= 1, per tal de ser dimensió 1)

qualsevol que sigui L: a) b)

EXEMPLE:

a) Si tenim un segment inicial de longitud 1, i el dividim en 2 parts (N(L)), de 1/2 (L), obtenim que:

b) Si tenim un segment inicial de longitud 1, i el dividim en 4 parts (N(L)), de 1/4 (L), obtenim que:

Així, demostrem que la definició de dimensió queda constatada en elements de dimensió 1.

12ln2ln1

21·2 D

D

14ln4ln1

41·4 D

D


22

Si l’objecte inicial és un quadrat de superfície 1, i el comparem amb unitats quadrades, que tinguin de longitud (L), el nombre d’unitats que és necessari per recobrir-lo N(L), compleix:

N(L)·L^D=1(on D=2, per tal de ser dimensió 2)


EXEMPLE:

a) Si dividim un quadrat de superfície 1 en 4 unitats quadrades (N(L)), de longitud 1/2 (L), obtenim que:

b) Si dividim un quadrat de superfície 1 en 16 unitats quadrades (N(L)), de longitud 1/4 (L), obtenim que:

Amb aquests dos exemples, hem demostrat que la definició de dimensió també és acceptada en objectes de dimensió 2.

Per últim, si l’objecte que tenim és tridimensional, com és el cas d’un cub de volum 1, i el mesurem en relació amb unitats que siguin cubs d’aresta L, llavors, es compleix que:

N(L)·L^D=1(on D=3, per tal de ser dimensió 3)


22ln4ln1

21·4 D

D

24ln16ln1

41·16 D

D


23

EXEMPLE:

a) Si tenim un cub de volum 1, i el dividim en 8 unitats cúbiques (N(L)) de longitud 1/2 (L), obtenim que:

b) Si tenim un cub de volum 1, i el dividim en 27 unitats cúbiques (N(L)) de longitud 1/4 (L), obtenim que:

Amb aquests dos exemples, reafirmem la definició de dimensió constatada, en aquest cas per objectes de dimensió 3.

32ln8ln1

21·8 D

D

33ln27ln1

31·27 D

D


24

2.3.2. Dimensió fractal

La complexitat del món dels fractals ha obligat a introduir nous conceptes per tal de precisar-ne el seu estudi. Els fractals, estan constituïts per elements cada vegada més petits, més ínfims, que troben el seu límit en l’infinit. Quan s’intenta mesurar una línia fractal amb una unitat o un instrument de mesura, sempre hi ha una porció que s’escapa de la sensibilitat de l’eina.

Com ja sabem, els fractals són processos infinits, per tant, no ha de semblar estrany que per un segment acotat d’una corba fractal, la seva longitud augmenti indefinidament.

El concepte de dimensió fractal, s’ha ideat, precisament, per tal de trobar una mesura per aquests conjunts. En el cas de les línies fractals, la seva dimensió, ens indicarà de quina forma o en quina mesura una línia fractal és capaç d’emplenar una porció de pla. Per tal d’arribar a trobar aquesta dimensió, abans va aparèixer la dimensió Haussdorf, per tal de concretar els aspectes de la nova dimensió fractal.

Relacionant, la dimensió fractal amb l’euclidiana, sabem que una corba fractal ha de tenir una dimensió més petita que dos, ja que no arriba a emplenar el pla. D’altra banda, però, sabem que la longitud d’una corba fractal és superior a la del segment de recta que el genera, i per tant, en general, la dimensió fractal ha de ser un nombre comprès entre 1 i 2.

La dimensió fractal (D), és una generalització de la dimensió euclidiana (DE). La dimensió d’un objecte geomètric és D si:

N(L)·L^D=1

on N(L) és el nombre d’objectes elementals, o d’unitats, de tamany L que recobreixen o completen l’objecte inicial. Per tal de calcular la dimensió, deduïm que:

D= ln (N(L)) / ln (1/L)

Se sol definir, que un objecte és fractal, només quan la seva dimensió fractal és més gran que la seva dimensió euclidiana:

D>DE


25

2.3.3. Dos exemples de dimensió fractal

Conjunt de Cantor

Figura 11. Conjunt de Cantor

En el conjunt de Cantor podem apreciar com partim d’un segment i el dividim en 3 parts iguals, agafant-ne només les dues dels extrems. Tenint en compte aquestes condicions, diem, que en aquest cas, les unitats necessàries (N(L)) són 2, i la longitud (L), del nou objecte és 1/3 de l’anterior. Així, obtenim que la dimensió d’aquest conjunt és:

La dimensió del conjunt de Cantor és 0.630929753. És lògic que la dimensió del conjunt de Cantor estigui entre 0 i 1, tenint en compte que en el procés infinit, apreciarem un conjunt de punts existents, per tant la dimensió no pot ser 0, ha de ser més gran. D’altra banda, tot i la presència d’aquest núvol de punts, hi ha punts buits que no permeten que aquest conjunt sigui una corba, per tant que aconsegueixi dimensió 1. Es per això que la dimensió de Cantor es troba entre 0 i 1.

63092975.03ln2ln

1ln

)(ln

L

LND


26

Corba de Koch

Figura 12. Corba de Koch

La corba de Koch és un dels fractals més coneguts. Si ens fixem en la seva estructura, podem observar que tornem a partir d’un segment el qual dividim en 3 parts. En el cas de la corba de Koch, agafem 4 unitats (N(L)) amb longitud 1/3 (L) del anterior. És interessant la forma d’aquest fractal, ja que si ens fixem, elimina el segment interior de longitud 1/3, i dels extrems en fa brotar 2 de nous amb la mateixa longitud formant un triangle equilàter sense base amb les arestes inclinades cap l’exterior, i així infinitament. D’acord amb aquestes dades, la dimensió fractal d’aquesta corba és:

La dimensió de la corba de Koch és 1.231852907. L’explicació del perquè la dimensió de la corba de Koch es troba en 1 i 2 és la següent: d’una banda, la corba de Koch, és més que un segment o línia, ja que parteix d’aquesta i en va incrementant la longitud. No és d’estranyar, doncs, que la seva dimensió hagi de ser més gran que 1 (dimensió de la corba). Però per altra banda, aquest fractal, no acaba d’omplir tot l’espai (dimensió 2), per tant, la seva dimensió ha de ser més petita que dos. És per això que la dimensió de la corba de Koch es troba entre 1 i 2.

261859507.13ln4ln

1ln

)(ln

L

LND

Observant el laberintgeomètric de la natura

27

3.1. Números, art, i natura: una relació en sèrie

Sota els complicats càlculs i operacions de les matemàtiques s’amaga un món de formes i pautes. Podem comprovar això en algunes seqüències de nombres. Una de les seqüències més famoses últimament, gràcies El Códice da Vinci,és la sèrie que va presentar Fibonacci6, a l’introduir l’àlgebra a Itàlia després d’haver estudiat en el nord d’Àfrica amb un matemàtic àrab. En el seu llibre Liber abaci (1202) va presentar els nombres indoaràbics que es començaven a conèixer a Europa per la traducció al llatí d’Al-Kwarizimi i amb els quals Fibonacci afirmava, encertadament, que qualsevol nombre podia escriure’s. En aquest llibre Fibonacci va introduir la seqüència que duu el seu nom, la successió de Fibonacci.

Curiosament, la sèrie es va originar al resoldre un problema biològic: Quantes parelles de conills es poden produir a partir d’una sola parella, si cada parella produeix una nova parella cada mes i si només els conills de més d’un mes d’edat poden reproduir-se?

Figura 13. Problema dels conills

Analitzem el problema: al principi hi ha una parella de conills, al mes següent segueix havent-hi la mateixa parella, però al segon mes hi ha dues parelles. Una d’aquestes parelles pot reproduir-se, però l’altra no, de tal forma que al tercer mes hi ha tres parelles. Dues d’elles es reprodueixen i als quatre mesos hi ha cinc parelles de conills. Comprovem com va la seqüència de parelles: 1,1,2,3,5. A l'analitzar la sèrie ens adonem que no cal continuar el càlcul raonat perquè la successió té una pauta numèrica recursiva: cada terme o xifra de la mateixa és el resultat de sumar els dos termes anteriors. D’aquesta manera sorgeix la seqüència 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... anomenada successió de Fibonacci.

De manera similar ho fa el matemàtic francès I. A. Lucas a l’introduir, a finals del segle passat, la seqüència 2,1,3,4,7,11, 18... i altres de similars que han rebut el seu nom.

Els nombres de Fibonacci i de Lucas són exemples perfectes de successions recurrents o conjunts recursius: aquells que, a partir de dos elements i gràcies a una regla recursiva, creen un conjunt infinit de nombres. Aquest tipus de

6 Fibonacci és l’àlies amb el qual es va conèixer al ric comerciant Leonardo de Pisa (1170-1240). Va viatjar pel nord d'Àfrica i Àsia i va portar a Europa alguns dels coneixements de la cultura àrab i hindú, entre altres, l’avantatge del sistema de numeració aràbic (el qual usem) enfront del romà.


28

programes són inductius i característics del pensament lògic. Douglas Hofstadter considera el parell inicial (1, 1 per a la sèrie de Fibonacci i 2,1 per a la de Lucas) com el genotip del com sorgeix el fenotip, que és tota la seqüència, una enginyosa analogia del procés mitjançant el qual un conjunt de gens (genotip) origina una característica física o conductual dels éssers vius (fenotip). Però la metàfora en aquest cas va més enllà de la simple analogia.

A part de múltiples i curioses propietats intrínseques, les sèries de Fibonacci i de Lucas tenen una notable relació amb formes de la natura.

Una correspondència ben notable és el fet que els nombres de la successió de Fibonacci i l’espiral d’or tenen lloc freqüentment en la natura. Així, com per exemple, certes flors tenen un nombre de pètals que solen ser termes d’aquesta successió; d’aquesta manera el lliri té 3 pètals, alguns ranuncles 5 o bé 8, les margarides i gira-sols solen comptar amb 13, 21, 34, 55 o bé 89 pètals.

Figura 14. Margarida blanca de 21 pètals ( Parc Natural de l’Albera)

La part de la botànica que estudia la disposició de les fulles al llarg dels talls de les plantes s’anomena Fil·lotaxi. En la majoria dels casos és tal que permet a les fulles una captació uniforme de la llum i l’aire, seguint, normalment, una trajectòria ascendent i en forma d’hèlice.

Figura 15. Dibuix esquemàtic que visualitza la distribució de les fulles en forma d’hèlice de les branques d’om, pollancre, salze i ametller respectivament.


29

Si agafem la fulla d’una branca i comptem el nombre de fulles consecutives (suposem que són 'n') fins trobar una altra fulla amb la mateixa orientació, aquest nombre és, per regla general, un terme de la successió de Fibonacci. A més a més, si mentre comptem aquestes fulles anem girant la branca (en el sentit contrari a las agulles del rellotge, per exemple) el nombre de voltes 'm' que haurem de realitzà per arribar a la següent fulla amb la mateixa orientació resulta ser també un terme de la successió. Doncs bé, s’anomena "característica" o "divergència" de la branca la fracció m/n, i que, com es mostra en la figura 8, en la branca d’om és 1/2, en la de pollancre 2/5, en la del salze 3/8 i en la d’ametller 8/13. Si representem per Fn el terme que ocupa el lloc 'n' en la successió de Fibonacci (considerem, per exemple: F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13), en la majoria dels casos la característica ve donada per una fracció del tipus Fn/Fn+2. Així, en el cas de la branca de salze seria F4/F6.

També cal dir que no només en les formes dels éssers vius s’han trobat sèries de Fibonacci: els astrònoms s’han adonat que els eclipsis tenen pautes de repetició cada 6, 41, 47, 88,135, 223 i 358 anys, seqüència que correspon a una sèrie de Lucas

Robert Simpson de la Universitat de Glasgow (1753) va ser el primer a adonar-se’n que a mesura que els nombres de la sèrie augmentaven en magnitud, la relació entre dos termes subseqüents, és a dir, la divisió del nombre següent entre l’anterior, s’aproximava a (phi), la secció àuria o el nombre d’or dels antics ( 34:21=1,619; 89:55= 1,6181; ...). El nombre d’or es tracta d’un nombre irracional, el valor exacte del qual és igual a:

Aquest nombre és una constant de proporció que determina la raó entre les dues longituds d’un segment dividit en mitjana i extrema raó. La relació entre els dos segments és la secció àuria, que es troba freqüentment en la geometria i la natura.

En el cos humà el nombre d’or apareix en moltes mesures: la relació entre les falanges dels dits és el nombre d’or, la relació entre la longitud del cap i la seva amplada també compleix aquesta relació.

Així, el costat d’un decàgon regular és igual a la longitud del segment més llarg del seu radi dividit en la secció àuria i el costat d’un pentàgon regular té la proporció d’or respecte a la diagonal.

Figura 16. Estrella de mar (esquerra) i esquelet calcari d’un eriçó de mar (dreta)

Els equinoderms són animals invertebrats que es caracteritzen per un cos de simetria pentaradiada, i són exclusius del món marí.


30

El rectangle d’or és el rectangle que té les proporcions més agradables a la percepció, i se sol usar per definir la grandària de llibres, caixes, a més de tenir interessants propietats.

Per exemple si agafem un rectangle auri ABCD i li traiem el quadrat AEFD que té com a costat el costat menor AD del rectangle, resulta que el rectangle EBCF és auri. Si després a aquest li traiem el quadrat EBGH, el rectangle resultant HGCF també ho és. Si tracem els arcs circulars es forma una espiral d’or que va ser analitzada geomètricament per Descartes com la corba de vectors radials que es traça d’un punt fix (el centre de l’espiral) sota un angle constant de 137.5°, figura 17.

Figura 17. Espiral d’or construïda a partir d’una successió de rectangles auris.

L’espiral logarítmica vinculada als rectangles auris regeix el creixement harmònic de moltes formes vegetals (flors i fruits) i animals (closques de mol·luscs), aquelles en les quals la forma es manté invariable. L’exemple més visualment representatiu és la closca del nautilus.

Figura 18. Closca del nautilus tallada per la meitat, formant una espiral logarítmica quasi com l’espiral d’or

(Museu Cosmocaixa de Barcelona)


31

Tota l’estètica pitagòrica es basa en el nombre d’or. Va tenir una gran influència sobre Leonardo da Vinci i Dürer en les seves obstinacions per a quantificar i trobar bases matemàtiques de dissenys plàstics i arquitectònics. El conegut Dalí també l’utilitza en els seus quadres, com per exemple Leda atòmica, que en el seu esbós de 1947 s’observa la meticulosa anàlisi geomètrica basada en el pentagrama místic pitagòric. Un altre artista, admirat per molts científics, és l’holandès Maurits Cornelius Escher el qual treballa amb els sòlids perfectes i també en moltes de les seves obres hi podem observar autèntiques filigranes fractals [1], [6], [7], [12].

La proporció àuria va ser emprada també per l'eminent arquitecte d’origen suís Le Corbusier (1887-1965) en la seva teoria del modulor (figura 19), la unitat arquitectònica per a obtenir dimensions harmòniques i que va establir com una proporció daurada de l’alçària humana.

Figura 19. Sistema de Proporcions Modulor,de Le Corbusier.

La raó àuria ha estat usada en construccions més recents com en escales, edificis i d’altres, com per exemple en la mida estàndard de carnets i targetes de crèdit que s’aproximen a rectangles d’or. Potser l’edifici més emblemàtic és la seu de l’ONU a Nova York, un gran prisma amb una de les seves cares en forma de rectangle d’or. La raó àuria també ha estat emprada en música, en la música barroca en trobem nombrosos exemples.

Tot i que estan molt ben establertes les raons per les quals ocorre la sèrie numèrica, la proporció àuria en l’art i la fil·lotaxi, segueix sent un misteri la raó de la seva inquietant coincidència. Hi ha gent que creu que la raó àuria té propietats estètiques particulars. D’altres argumenten que qualsevol proporció compresa entre 1,4 i 1,8 en té.

Per acabar afegiré que, segons Matila C. Ghyka7 la secció àuria és el "símbol abreujat de la forma viva, de la pulsió, del creixement".

7 Ghyka aporta la seva contribució a la percepció dels conceptes afectius de Número, Ritme, Proporció i Harmonia escrivint nombrosos llibres sobre el nombre d’or [8]. Ghyka també va ser un amic del pintor figuerenc Salvador Dalí, i d’aquí neix la concepció pitagòrica de l’artista.


32

3.2. Intel·ligibilitat de les principals formes de la natura

Aquest apartat del treball s’ha vist clarament influenciat per les idees de Jorge Wagensberg8 sobre la constitució de la realitat. Idees exposades inicialment en el llibre d’aforismes ‘SI LA NATURA ÉS LA RESPOSTA, ¿QUINA ERA LA PREGUNTA?’[19] (en l’apartat Forma i funció) i posteriorment tractades en un fabulós assaig interdisciplinari que recull en el llibre ‘LA REBELIÓN DE LAS FORMAS’ [20].

Wagenberg crea tot un esquema conceptual de la realitat a partir del què ell anomena les tres grans seleccions: la selecció fonamental (de la matèria inerta), la selecció natural (de la matèria viva) i la selecció cultural (de la matèria culta). D’aquesta manera, a la segona part del llibre, Wagensberg exemplifica per què al món inert, viu i culte predominen certes formes.

Com veurem a continuació, tot sembla indicar que darrera cada forma geomètrica si amagui una determinada funció. És a dir, determinades formes geomètriques proporcionen certes qualitats físiques als objectes que les conformen.

D’aquesta manera es comprèn que a la natura, un gran nombre d’objectes comparteixi un petit nombre de formes geomètriques.

8 Jorge Wagensberg és un actiu investigador i pensador de la ciència que ha escollit diversos canals per difondre i estimular el debat de les idees. A més, dirigeix la col·lecció de llibres científics Metatemas de TUSQUESTS EDITORS i, des de 1991, el Museu de la Ciència de la Fundació “La Caixa”. Nascut a Barcelona el 1948, és doctor en Física i professor de Teoria dels Processos Irreversibles a la Universitat de Barcelona.


33

3.1. L’esfera protegeix

El món està ben farcit de circumferències, cercles, esferes, esferes d’esferes... La circumferència és el perímetre més curt que tanca una superfície plana i l’esfera és la figura tridimensional que resulta al tancar amb la superfície mínima un determinat volum. L’esfera emergeix amb facilitat, per selecció fonamental, en el món inert amb poques restriccions. Per exemple quan no hi ha restriccions en l’espai , és a dir, quan no hi ha direccions privilegiades, quan totes les direccions són igualment probables.

Figura 20. Congregacióde cercles en un plat amb una capa superficial d’oli.

En aquest casos es diu que existeix isotropia, pot ser una isotropia en l’espai (figura 20) i també en el temps, per exemple les direccions que pren el rodament d’un còdol arrossegat per una corrent (mar o altre flux) si ho valorem al llarg d’un període extens en el temps; en aquest cas, trobarem que les probabilitats de gir en una determinada direcció cada vegada seran més aleatoris i evidentment el resultat el podem veure en la forma que ha esdevingut el còdol, quan més temps més rodó, en el límit la perfecció, tal vegada el punt.

Figura 21. Gotes d’aigua sobre una fulla després de ploure. Aquí podem veure com l’aigua es divideix en gotes esfèriques( Parc Natural de l’Albera)

Així doncs l’esfera és la forma més simètrica i especialment estable en ambients isòtrops, homogenis. Però la simetria circular també es produeix amb insistència en el món viu: les fruites, les llavors, els ous, els bolets... Ara bé, la funció d’aquestes esferes no és la d’estabilitat, és la de retardar l’intercanvi d’energies i materials, i també la d’establir protecció a l’ésser viu que forma tal esfera, com seria el cas del porquet de St. Antoni (petit miriàpode, molt comú).


34

3.2.2. L’hexàgon pavimenta

Una de les figures planes més senzilla i sorprenent de construir, amb regla i compàs, és la figura d’un hexàgon regular: una circumferència, sis arcs iguals provinents de la marca del compàs amb l’obertura radial i ja tenim sis segments que formen la figura hexagonal regular. Com hem dit abans la simetria esfèrica i circular emergeix amb molta facilitat. Això és així perquè la probabilitat és alta en ambients isòtrops i uniformes. Ara bé, si comprimim una solució sabonosa entre vidres, el pla format tendirà a emplenar-se de cercles, i en augmentar la pressió descobrirem com aquests cercles es van convertint en hexàgons (figura 22). És a dir, obtenim un pla perfectament pavimentat per aquesta nova figura: l’hexàgon.

Figura 22. Solució sabonosa entre vidres en procés de compressió. (Museu Cosmocaixa de Barcelona)

En el món inert podem observar aquesta propietat de pavimentació de l’hexàgon en algunes superfícies de colades volcàniques de basalt, l’esquarterament d’un sòl fangós al final d’estiu, i molts minerals com és el cas de l’aigua en els flocs de neu.

Figura 23. Cel·les hexagonals d’un eixam d’abelles. ( Exposició “Els altres arquitectes”. Fontana d’Or, Girona)

També en la naturalesa viva la funció de pavimentar utilitzant hexàgons la trobem molt emprada: els ulls dels artròpodes, les cel·les de l’eixam de les abelles, les closques de les tortugues, les escames d’alguns peixos, etc.


35

3.2.3. L’espiral empaqueta

Cap corba ha fascinat tant a l’ésser humà, des dels temps més remots, com l’espiral. La seva presència en els objectes vius, tant animals com vegetals, va cridar l’atenció dels nostres avantpassats des dels inicis de la humanitat. No existeix cap cultura que no l’hagi utilitzat com element simbòlic, màgic o simplement ornamental. L’espiral ha acompanyat a l’ésser humà al llarg del temps i arreu...

L’espiral és una circumferència que fuig pel pla que la conté. No és una corba geomètrica estàtica com la circumferència, les còniques. És la millor manera de créixer sense ocupar gaire espai. És molt freqüent en els animals quan apareix la contradicció que es necessita una cosa massiva, voluminosa, grossa o llarga, i que alhora no afecti la mobilitat (banyes, cues, llengües, trompes, closques...) i en les plantes quan ha de créixer alguna cosa que desprès s’ha de desplegar.

L’espiral logarítmica o equiangular

L’espiral logarítmica és sens dubta l’espiral que més es manifesta en la natura. El regne animal ens proporciona uns exemples preciosos en les closques dels cargols i els mol·luscs. Darrera de totes aquestes formes hi ha un fenomen natural: un procés d’enrotllament vinculat al procés de creixement. De fet la closca d’un cargol no és ni més ni menys que un con enrotllat sobre ell mateix.

Figura 24. Espiral d’un petit cargol mort, observada amb uns binoculars de deu augments.

Aquesta espiral s’assembla a l’espiral d’Arquímedes però no deixa de ser una espiral equiangular amb un angle de 90°.

Aquesta corba ha captivat, per la seva bellesa i propietats, l’atenció de matemàtics, artistes i naturalistes. Se l’anomena també espiral equiangular (l’angle de tall del radi vector amb la corba és constant) o espiral geomètrica (el radi vector creix en progressió geomètrica i l’angle polar decreix en progressió aritmètica). J. Bernoulli, fascinat pels seus encants, l’anomenà spira mirabilis, demanant que fora gravada en la seva tomba.


36

Figura 25. Plantago media. .(muntanya del Bassegoda). .Si observem el seu creixement descobrim que forma una espiral equiangular amb un angle de divergència de 145° [13]

L’espiral logarítmica vinculada amb els rectangles auris regeix el creixement harmònic de moltes formes vegetals (flors i fruits) i animals (closques de mol·luscs), aquelles en les quals la forma es manté invariable. L’exemple més visualment representatiu com hem vist abans és la closca del nautilus (figura 18)

Les galàxies, les borrasques i huracans ens mostren espectaculars exemples d’espirals logarítmiques. Al cap i a la fi en qualsevol fenomen natural a on hi hagi una combinació d’expansió o contracció i rotació apareixerà per força aquesta espiral.

En el món vegetal els exemples són encara més marcats ja que entre les plantes apareixen una infinitat d’espirals i no precisament d’una en una. La distribució de las pipes en qualsevol gira-sol, les escames de qualsevol pinya, una simple margarita... ens ofereixen una autèntica desfilada d’espirals entrellaçades.

En qualsevol pinya (en llatí con per la seva forma aparent, i d’aquí el nom que reben els pins, coníferes), si l’observem des de sobre, descobrirem que els pinyons es distribueixen formant un bon número d’espirals (figura 26). I no precisament de forma aleatòria.

No és cap casualitat. Els pinyons s’han de distribuir de manera òptima, és a dir, aprofitant l’espai al màxim; i aquesta optimització de l’espai s’aconsegueix mitjançant una distribució en espiral.

Figura 26. Espirals entrellaçades d’una pinya de pí blanc. . .

( Vores embassament de Boadella)


37

3.1.4. L’hèlice aferra

L’hèlice és una forma geomètrica, que es pot definir com la trajectòria d’un punt que descriu un moviment circular en el pla i que es desplaça en la direcció perpendicular al primer. En la natura aquesta forma no és gens estranya. En el món inert hi trobem nombrosos fenòmens meteorològics que formen hèlices, com ara: els remolins, els tornados, trombes marines, huracans...L’hèlice aquí està íntimament relacionada a un altre concepte físic: la fricció.

En el món vegetal, en canvi, l’hèlice ofereix una bona manera d’empaquetar un material al voltant d’un altre material i dóna les condicions òptimes perquè les forces de fricció o de viscositat facin que un material s’agafi a un altre. A la física hi ha una llei que calcula la força de fricció d’una corda enrotllada entorn un cilindre, la llei d’Euler. I que diu que aquesta força creix exponencialment amb el número d’espires de l’hèlice.

També hi han llavors que cauen formant una hèlice que els permet desplaçar-se. D’aquesta manera poden explorar un major espai trobant llocs favorables per créixer.

Les plantes utilitzen també l’hèlice per agafar-se físicament entre sí. La funció d’agafar ha proporcionat l’aparició de moltes hèlices en el món de les plantes enfiladisses, lianes...

Figura 27. Hèlice d’una planta enfiladissa en un canyissar del Parc Natural dels Aiguamolls de l’Empordà. En aquest cas, la planta utilitza l’hèlice per tal d’elevar-se i tenir accés a la llum.

En el món animal l’hèlice guarda una gran relació amb l’espiral. Ja que moltes extremitats, com cues i trompes, es guarden en forma d’espiral. Però, quan s’utilitzen per agafar quelcom adopten la forma d’hèlice. L’hèlice també agafa en el sentit de proporcionar resistència a la tracció.


38

3.2.5. L’angle penetra

L’angle, com el vèrtex d’un con, concentra materials (efecte embut) o forces (efecte punta). Com més afilada és una punta o un tall, més pressió exerceix una força determinada en aquesta punta (pressió és igual a força dividit per superfície ). La selecció natural afavoreix la idea amb generositat, ja que no hiha millor solució per menjar i que no se’t mengin que objectes punxeguts, com les urpes, les banyes, els ullals, les espines, les pues...

Figura 28. Dent d’un tauró fòssil. (Col·lecció personal)

La punta d’un con, la punta d’un triangle, la punta d’un angle, la punta de qualsevol cosa és un punt a on convergeixen línees, superfícies i volums. Per tant, qualsevol cosa que es distribueixi sobre línees, superfícies o volums es concentra a mesura que s’acosta a la punta. Així doncs, l’angle, el con, la punta concentren. I si el que es concentren són forces, llavors podem anunciar que l’angle penetra. D’aquesta manera es comprèn la presència massiva de tantes puntes a la natura.

Figura 29. Punxes d’esbarzer. Les punxes són el resultat de les fulles que per selecció natural han esdevingut puntes. (Pirineu navarrès)


39

3.2.6. La catenària aguanta

Per admirar la forma d’aquesta corba n’hi ha prou amb fixar una cadena, una corda o un cable per dos punts en un camp de gravetat constant. El cable, o similar, adoptarà la forma segons la qual només aguanta el seu propi pes i cap altra tensió suplementària. És una corba que totes les forces que actuen sobre un punt (el seu pes i les tensions donades degudes als dos punts contigus anterior i posterior) s’anul·len entre si. És la situació de màxim descans, de mínima rigidesa.En un principi es va confondre aquesta corba amb una paràbola, Galileu. Però actualment aquesta corba es descriu a través de la funció exponencial, mitjançant la funció coneguda com a cosinus hiperbòlic: .

Les selves boscoses són plenes de catenàries, és a dir, és la corba que dibuixen les lianes filiformes en penjar de dos punts. Semblantment a la selva urbana de fa uns anys, en aixecar la vista vèiem tot un enteranyinat de les catenàries que formaven els cents de quilometres de fils elèctrics. Però una de les més interessants actualment són, sens dubte, les catenàries invertides que Gaudí va emprar en molts dels seus arcs. Un conjunt de catenàries invertides més emblemàtiques de tot el planeta són les que es poden observar en el temple de la Sagrada Família de Barcelona.

Com Gaudí, l’arquitectura de la natura també utilitza les catenàries invertides per suportar forces de manera més eficient. Un exemple prou clar, el trobem en les closques de les tortugues terrestres.

Si l’esfera protegeix, l’hexàgon pavimenta, l’espiral empaqueta, l’hèlice s’aferra, l’angle penetra, la catenària, prioritàriament suporta estructures, és a dir la catenària aguanta.

Figura 30. Liana filiforme formant una catenària quasi perfecte enmig d’una fageda frondosa del pirineu navarrès.


40

3.2.7. Els fractals intimen l’espai amb continuïtat

Un fractal, com hem dit abans, és una forma amb parts que, degudament ampliades, s’assemblen al tot. I passa el mateix amb les parts respecte de les seves pròpies parts. I així una vegada, i una altra, i una altra... És potser la manera més simple de crear complexitat: iterant un patró un determinat nombre de vegades a escenaris cada vegada més petits. Són fractals els llampecs, les falgueres, els arbres, minerals com les pirolusites...

Figura 31. Llamp fotografiat des del terrat de casa en una tempesta d’estiu.

Les plantes solen ser fractals per fora i els animals solen ser-ho per dins: sistema nerviós, sistema circulatori, sistema respiratori... Els fractals són una bona manera d’accedir a un gran nombre de punts de l’espai amb una certa continuïtat.

Figura 32. Bròquil a la cuina de casa. Aquest bròquil ha estat fotografiat sencer i fragmentat en parts. D’aquesta manera podem observar com les petites parts del bròquil són gairebé idèntiques al bròquil enter.

En els arbres passa una cosa semblant al que passa en el bròquil, si agafem una branca té la forma de l’arbre, cada branca es ramifica i aquestes ramificacions tenen la forma de l’arbre sencer. És molt més exacte estudiar l’arbre com un objecte de dimensió fraccionària, que no pas utilitzant les figures de la geometria euclidiana, com un cilindre amb una esfera a dalt, o si és un avet com un con.

Per acabar, cal dir que els fractals són un dels llocs on les matemàtiques, la ciència i l’art van junts. Ens demostren visualment la relació entre les estructures matemàtiques abstractes i la realitat de l’univers i la natura. I ens permeten de veure la complexitat del caos interaccionant amb l’ordre.


41

3.3.2 Natura i geometria en l’arquitectura de Gaudí

Uns dels puntals més importants sobre els que es basa l’art de Gaudí és la seva inspiració directa en la natura, l’ús de les seves formes i estructures. La natura i les seves formes contenen una capacitat de generació geomètrica i unes possibilitats plàstiques excepcionals. La geometria és l’essència de l’arquitectura. Gaudí va treballar amb la geometria de les superfícies reglades, induït per l’anàlisi que des de la infància havia fet de les formes naturals, i pel domini que tenia de la geometria de l’espai, la qual cosa el duia a experimentar amb les tres dimensiones. La geometria de Gaudí està destinada a facilitar els processos constructius, i a treure el màxim profit de les fórmules tradicionals i a assegurar l’estabilitat dels edificis. Aquesta geometria neix dels descobriments personals que va fer després d’una recerca continuada. La naturalesa proporciona a Gaudí el model a partir del qual dissenya les estructures i les originals formes que caracteritzen la seva obra. Les hipèrboles, les paràboles, les espirals, les el·lipses, els hexàgons, els fractals o las catenàries que es troben en les formes de les branques i de les fulles dels arbres, en les closques i les extremitats dels animals són observades per l’arquitecte i evocades en els seus arcs, en les seves columnes i en les seves façanes.

Figura 33. Columnes que representen el brancatge fractal dels arbres. ( Interior de l’obra magna de l’arquitecte, la Sagrada Família)

L’originalitat de Gaudí recau, doncs, en les poques ocasions que un arquitecte s’ha parat a observar com construeix la natura. Només cal observar els seus dissenys per adonar-se compte de l’estreta relació amb objectes de la natura. De la geometria euclidiana, la més emprada en l’arquitectura, caracteritzada per mòduls quadrats, circulars i, en ocasions, triangulars, reflexa de l’estudi i de la matemàtica, Gaudí deriva la seva mirada envers la forma de construir del món natural, molt més sòlid tectònicament i dotada de més ritme i varietat.


42

3.3 Caça fotogràfica en plena natura NATURA I GEOMETRIA

Figura 23. Observant el laberint geomètric de la natura. Autoretrat, amb entramat fractal dels nervis d’una fulla de morera de fons

Al llarg d’aquest treball de recerca he mantingut una mirada contínua vers les formes que m’envolten; amb prioritat per les formes geomètriques de la natura. Cada forma de la natura és, per a mi, una figura de museu. La qual és observada minuciosament i amb gran admiració geomètrica. Seguidament en busco la perspectiva que en desxifri la seva principal estructura matemàtica. I finalment la fotografio. D’aquesta manera he aconseguit un extens repertori fotogràfic de les geometries que exhibeixen els cossos de la natura.

A continuació presento una selecció d’imatges, editades9 prèviament, que he fotografiat al llarg d’aquest treball. És un apartat que potser hauria de trobar-se a l’annex com a document fotogràfic, però jo he cregut més oportú que el lector abans d’arribar a les conclusions finals pugui gaudir descobrint, ell mateix, la geometria que s’amaga darrera els objectes de la natura. Cada imatge té la seva pròpia història, però per qüestions d’espai m’he limitat a fer una simple classificació morfològica.

9 Les fotografies s’han editat amb el programa de retoc fotogràfic Adobe Photoshop CS2 amb l’ajuda, en alguns fotomuntatges, del programa de dibuix tècnic AutoCAD 2005 seguidament del programa de disseny gràfic Adobe Illustrator CS2.


43

Inflorescències


44


45


46


47

Simetries, homotècies i acabem amb fractals


48


49


50


51


52


53


54

4. Conclusions

Com deia Galileu, l’univers està escrit en llenguatge matemàtic de tal forma que si no se’n coneixen els seus caràcters tan sols s’aconseguirà divagar per un obscur laberint.

A l’inici del treball, podríem dir que ens hem endinsat per un llarg laberint pràcticament desconegut fins aleshores. Però a mesura que hem anat descobrint la seva geometria emprada, la geometria fractal i les seves recursivitats o pautes numèriques (nombre d’or i successió de Fibonacci), ens hem adonat que no és tan complicat poder comprendre i modelar el món en el qual vivim a partir de la geometria.

Hem conegut la geometria fractal de la natura i la seva dimensió; coneixements suficients per a poder verificar la primera hipòtesi: moltes formes de la natura són tan irregulars i fragmentades que presenten un grau superior de complexitat; només poden ser descrites per una nova geometria, la geometria fractal.

En segon lloc hem realitzat una aproximació sobre les múltiples relacions que hi ha amb el nombre d’or i la natura. Constatant d’aquesta manera que les arts, les matemàtiques i la natura estan estretament unides per una estètica universal que gira al voltant del nombre d’or. La natura exhibeix ritme i harmonia.

I per finalitzar les observacions sobre la natura i la seva geometria, hem intentat cercar i aproximar-nos a una teoria general de la forma, per tal d’entendre l’emergència massiva de certes formes geomètriques a la natura. I d’aquesta manera hem trobat una intel·ligibilitat particular per a cada una de les principals formes. És a dir, cada una d’aquestes formes (l’esfera, l’hexàgon, l’espiral, l’hèlice, l’angle, la catenària i els fractals) duen a terme una o varies funcions depenent de si es tracta d’un objecte inert ( selecció fonamental) o un ésser viu (selecció natural).

Ara bé, també hem de dir que per entendre la complexitat del món no n’hi ha prou observant la seva geometria, aquí és quan necessitem l’ajuda de les distintes ciències per arribar a comprendre la natura en major exactitud.

Aquest treball no ha deixat de ser una tímida mirada vers la natura, elevada per les espatlles dels gegants que ens precedeixen.


55

5. Opinió personal

Certament, he de dir que m’he sentit molt motivat alhora de realitzant aquest treball de recerca. Ja sigui per l’afició a la fotografia digital, que aquests últims anys he desenvolupat, o pel descobriment d’una literatura científica molt interessant i actual.

M’he sentit ràpidament integrat amb el món dels fractals i posteriorment amb el nombre d’or. També he de dir que a vegades m’he sentit completament soterrat d’informació provinent d’Internet. Tot i que no he pogut aprofundir amb cap d’aquests dos conceptes, he pogut assimilar i sintetitzar les seves principals relacions que tenen amb la natura. I estic segur que aquests coneixements bàsics sobre els fractals i el nombre d’or em seran de gran utilitat en un futur, on probablement els meus estudis universitaris es veuran enfocats en el món de l’arquitectura.

Pel que fa al resultat final del treball, trobo que els diferents apartats que presento no acaben d’estar relacionats del tot. Tot i que des de bon principi intuïa que aquests distints temes havien d’estar relacionats per força he anat veient que és més difícil del què em pensava. Per tant dic amb tota seguretat que aquest treball és inacabat o més ben dit que la seva investigació continua en peu, com bé indico en gerundi en el títol ‘Observant el laberint geomètric de la natura’, observació que encara seguirà realitzant-se, per interès propi. I és això la part bona dels treballs de recerca, que t’obren camí cap a nous coneixements que probablement mai t’haurien despertat un especial interès.

6. Agraïments

Voldria agrair especialment:

- Al meu tutor de recerca, ja que m’ha animat constantment a portar la feina ben feta, i ha estat sempre disposat a resoldre qualsevol tipus de problema que es pogués originar alhora d’editar el treball.

- Al professor de matemàtiques Josep Maria Lluch per comptar amb ell per a qualsevol dubte que s’originés sobre els tema dels fractals i el nombre d’or; i per la informació i documents relacionats amb el nombre d’or i els fractals que m’ha proporcionat perquè pugui continuar recercant sempre que ho vulgui.

- Al professor d’història de l’art de la Universitat Rovira i Virgili, Antonio Salcedo per fer una revisió exhaustiva del treball amb especial incidència en el nombre d’or i l’art, i també en l’arquitectura de Gaudí i la geometria emprada. Proporcionant-me també diversos llibres sobre M.C.Escher i Antoni Gaudí.

- A en Pere Pérez Bastardes, per la dedicació de llegir-ne el treball preliminar i ser crític amb el contingut que no acabava de quedar prou clar.

- I per acabar, vull agrair de tot cor als meus pares i germans que sense ells aquest treball no hauria estat el mateix.


56

7. Bibliografia

Llibres:

[1]- Antich, X., Carbonell, A., Vila, E. i Wagensberg, J. Escher, la vida de les formes. Ed. Fundació “la Caixa”. Barcelona, 2004. ISBN: 84-7664-835-9.

[2]- Borràs, E., Moreno, P., Nomdedeu, X., Alabat, A. Ritmos, matemáticas e imágenes, Nivola libros ediciones. 1a edició: octubre 2002. ISBN: 84-

[3]- Braun, Eliezer, Caos, fractales y cosas raras. Editado virtualmente por La ciencia para todos. http://biblioteca.redescolar.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/150/htm/caos.htm

[4]- Castelnuovo, Emma, La Geometria, KETRES editora, 1a edició 1981.

[5]- Díaz, José Luis, EL ÁBACO, LA LIRA Y LA ROSA. LAS REGIONES DEL CONOCIMIENTO. Editado virtualmente por La ciencia para todos. http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/152/htm/elabaco.htm

[6]- Ernst, Bruno. El espejo mágico de M.C.Escher. Editorial Evergreen, 1a edició 1998. ISBN: 3-8228-9569-5

[7]- Escher, M. C. i Locher, J. L. La magia de M.C. Escher. Ed. Taschen. Madrid, 2003. ISBN: 3-8228-2611-1.

[8]- Ghyka, Matila, Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Editorial POSEIDON, 3a edició 1983. ISBN: 84-85083-06-7

[9]- Livio, M. La proporción áurea. La historia de PHI, el número más sorprendente del mundo. Ed. Ariel. Barcelona, 2006. ISBN: 84-344-4495-X

[10]- Mandelbrot, Benoît, La Geometría fractal de la naturaleza, Tusquets Editors. 2a edició 2003. ISBN: 84-8310-549-7

[11]- Sagan, Carl, COSMOS. Una evolución cósmica de quince mi millones de años que ha transformado la materia en vida y consciencia. Editorial Planeta, 7a edició 1983. ISBN: 84-320-3626-9

[12]- Schattschneider, Doris, M.C.Escher, Visions of Symmetry. Editorial Thames & Hudson, 1a edició Estats Units d’Amèrica 2004. ISBN: 0-500-51169-1

[13]- Strasburger, E., Tratado de Botánica. Editorial Marin, 6a edició 1977. ISBN: 84-7102-990-1

[14]- Talanquer, Vicente, FRACTUS, FRACTA, FRACTAL. FRACTALES, DE LABERINTOS Y ESPEJOS. Editado virtualmente por La ciencia para todoshttp://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/fractus.htm

[15]- Thompson, D’Arcy; edició abreviada editada per John Tyler Bonner, Sobreel crecimiento y la forma, Cambridge University Press. 1a edició abreviada 1961; 1a edició espanyola 2003. ISBN: 84-8323-356-8


57

[16]- VVAA, Fundació “La Caixa”. Antoni Gaudí (1852-1926). SALVAT Editors. 1aedició desembre 1984. ISBN: 84-505-0683-2

[17]- VVAA, Fundació “La Caixa”. Gaudí. Arquitectura del futur. SALVAT Editors, S.A., 1984

[18]- VVAA, Institut de Cultura-Museu de les Ciencies Naturals de la Ciutadella; Col·legi d’arquitectes, Els altres arquitectes, Editorial Gustavo Gili, Barcelona, 2003. ISBN: 84-252-1557-9

[19]- Wagensberg, Jorge, Si la natura és la resposta, ¿Quina era la pregunta? i uns altres cinc-cents pensaments sobre la incertesa. Tusquets Editors; L’Ull de Vidre. 1a edició maig 2003. ISBN: 84-8310-874-7

[20]- Wagensberg, Jorge, La rebelión de las formas. Tusquets Editors. 2a edició gener 2005. ISBN: 84-8310-975-1

Escrits, articles, i treballs:

[21]- Dobaño Martínez, Laura, Treball de recerca JUGUEM AMB L’INFINIT. Dirigitper Berenguer Sabadell i Quim Sinués. 2n de Batxillerat I.E.S Baix Empordà, Palafrugell, 3 de novembre del 2004.

[22]- Gironès i Pérez, Albert, Treball de recerca EL NOMBRE D’OR, i el seu ús en l’arquitectura religiosa del gòtic català. Tutor de recerca: Carles Martí i Salleras, I.E.S. FORT PIUS, Barcelona, 2n de Batxillerat, 25 de febrer del 2000.

[23]- Pérez Buendía, Pedro, GEOMETRÍA FRACTAL, Nueva como el cosmos. Revista DYNA juny 2005, pàgines 19-28.

[24]- Pérez Sanz, Antonio, Curvas con historia: de las cónicas a las equaciones de las flores. Ciclo de talleres divulgativos, curso 2005-2006. http://www.matesco.unican.es/talleres_matematicas/transparencias20052006/Curvas%20con%

Pàgines Web:[25]- Euclides i els elements. http://www.euclides.org/menu/elements_cat/indexeuclides.htm

[26]- Galileu Galileihttp://www.alcoberro.info/planes/galileo.htm

[28]- Scared Geometry.The inner geometry of nature http://4monet.4monet.com/sacredgeometry/

[29]- La simetria del espacio. http://webs.advance.com.ar/simetriadelespacio/home-0.htm

[30]- La geometria fractal. http://www.geometriafractal.com/

[31]- Lección de Geometría Fractal basada en Learning Objectshttp://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/


58

[32]- Té Dimensió Fractal la Costa Brava? Treball de recerca de Mireia Pacreu, tutor: Xevi Codolà, IES la Bisbal, curs 2001-2002. http://www.xtec.es/ieslabisbal/fractals/intro.htm

[33]- Fractales por Luis Botella. http://www.editorialmarfil.com/mat_i_tica/Geom/Fractals/fractals.htm#natu

[34]- La ciencia para todos http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/menu.htm

Videos-documentals:

Documental Canal 33, Gaudí i les formes, 18 d’abril 2006

Audiovisual “El nombre d’or” Josep Maria Lluch 2004

Volums enciclopèdics i llibres escolars consultats:Colera, J., Oliveira, M.J. i García, R. Matemàtiques 1r Batxillerat. Modalitat Ciències de la Naturalesa i de la Salut. Tecnologia. Ed. Barcanova. Barcelona 2005. ISBN: 84-489-1118-0.

Colera, J., Oliveira, M.J. i García, R. Matemàtiques 2 Batxillerat. Modalitat Ciències de la Naturalesa i de la Salut. Tecnologia. Ed. Barcanova. Barcelona 2006. ISBN: 84-489-1353-1.

EQUIP LAROUSSE. Gran Larousse català. Barcelona: Edicions 62 S.A., 1990

Fernández Martorell, C. i Montaner, P. Història de la Filosofia. Batxillerat. Ed.Castellnou. Barcelona 2003. ISBN: 84-8287-940-5

Folch, E. i VVAA. La Gran Enciclopèdia en Català. Edicions 62. 2004. ISBN Obra Completa: 84-297-5428-8.

Folch, R. i VVAA. Història Natural dels Països Catalans. Ed. Fundació Enciclopèdia Catalana. Barcelona, 1986. ISBN Obra Completa: 84-85194-52-7.

Folch, R. Comprendre la Natura. Ed. Barcino.Barcelona, 1990. ISBN: 84-7226-629-X.

Franco, A. i VVAA. Enciclopedia de la Naturaleza y del Medio Ambiente. Ed. Primera Plana, S.A. Grupo Z. Barcelona, 1992.

Fundació “La Caixa”. Col·lecció: Matèria Viva. Encuentro editorial, S.A. 1992

Lacort, F.J. i Sala, J. Arc 1 Dibuix Tècnic. 1 Batxillerat. Ed. Vicens Vives. Barcelona, 2002. ISBN: 84-316-6455-X.

Lacort, F.J. i Sala, J. Arc 2 Dibuix Tècnic. 2 Batxillerat. Ed. Vicens Vives. Barcelona, 2003. ISBN: 84-316-7071-1.

Rodríguez, S. i VVAA. Nova Enciclopèdia Temàtica Planeta. Ed. Planeta. Barcelona, 1989. ISBN Obra Completa: 84.320-8930-3.

Turek, V., Marek, J. i Benes, J. La Gran Enciclopedia de los Fósiles. Ed. Susaeta. Praga, 1990.


59

8.GlossariAngle n m (del llatí angulus). 1 Intersecció de dues linies rectes o de dues superfícies planes. 2Part d’un lloc, d’una superfície, d’un objecte comprès entre dos límits, línies o superfícies que es tallen.

Arquitectura n f (del llatí architectura). Estructuració i distribució racional d’espais que té com a finalitat el benestar i l’acomodament de l’home en el seu ambient quotidià.

Art n m o f (del llatí ars, artis). Creació d’objectes o realitzacions específiques destinades a produir en l’home un estat particular de sensibilitat, més o menys lligat al plaer estètic.

Astronomia n f ( del llatí astronomia, del grec astronomía). Ciència que té per objecte l’estudi de l’univers, que determina els cossos i objectes que el constitueixen, la seva formació, evolució, composició i estat físic, així com les seves posicions relatives i les lleis per les quals es mouen.

Bellesa n f (del llatí vulgar bellitia, del llatí clàssic bellus ‘bell’). Qualitat d’alguna persona o d’alguna cosa que és bella, que és conforme un ideal estètic.

Catenària n f (del llatí catena ‘cadena’). Es diu de la corba plana que, sota la influència del seu propi pes, adopta una cadena, una corda, etc, perfectament flexible i amb una càrrega uniformement repartida per en tota la seva llargària, lliurement suspesa pels extrems de dos punts que no pertanyen a la mateixa vertical. L’expressió matemàtica d’aquesta corba té per equació y=a·ch(x/a) en una referència ortonormal.

Ciència n f (del llatí scientia ‘coneixement’, de scire ‘saber’). 1 Conjunt coherent de coneixements relatius a certes categories de fets, d’objectes o de fenòmens que obeeixen a determinades lleis i són verificats pels mètodes experimentals. – 2 Cadascuna de les branques del coneixement, del saber. // Ciències naturals, estudi científic dels objectes trobats a la natura (animals, plantes, roques i minerals, etc).

Dimensió n f (plural dimensions) (del b llatí dimensio). Extensió mesurable d’un cos en qualsevol dels sentits determinats (longitud, amplada, alçada, profunditat).

Esfera n f (del llatí sphaera, del grec sphaira ‘pilota’, ‘esfera’). Superfície tancada pels punts que es troben a la mateixa distància (radi) d’un punt interior (centre); cos limitat per la superfície anterior. La intersecció d’una esfera amb un pla és un cercle.

Espai n m (del llatí spatium). Propietat particular d’un objecte que fa que aquest ocupi una certa extensió, un cert volum dins d’una extensió o d’un volum necessàriament més gran que ell i que poden ser mesurats. — Matemàtica Conjunt de punts la posició dels quals queda determinada per tres coordenades. El terme espai, usat tot sol, correspon al prolongament lògic de les nocions de recta i de pla, de la mateixa manera que volum correspon al prolongament de les nocions de segment i de superfície. Els sòlids, els díedres, tríedres, poliedres, i cossos rodons, etc, seran models de materialització del que en la geometria clàssica s’anomena espai.

Espiral n f ( del llatí spira, del grec speira). 1 Corba plana que descriu un punt M que gira al voltant d’un punt fix O, del qual varia la distància segons una llei determinada, característica de cada tipus d’espiral (Més exactament: la distància de M a O és una funció monòtona de l’angle que forma la semirecta [OM] amb una semirecta [Ox] fixa.) 2 Corba no plana amb aspecte d’hèlix. 3 Sin d’Hèlice. Una escala en espiral.

Filosofia n f (del llatí philosophia, del grec philosophía ‘amor a la saviesa’). Conjunt de concepcions relativistes als principis dels éssers i de les coses, al paper de l’home en el conjunt de l’univers, a Déu, a la història i, de manera general, a tots els grans problemes de la metafísica. ENCICLOPÈDIA: Des de la perspectiva occidental, la filosofia inicia el seu camí a Grècia com un intent d’explicar l’ordre del món al marge de les categories mítiques de la religió. Hi ha tres grans períodes de la filosofia grega: el presocràtic, quan un conjunt d’autors (Tales


60

de Milet, Parmènides, Heràclit, Pitàgores) elabora una concepció de l’univers que és coherent amb les regularitats que hi són observables, i que s’obre amb posicions monistes fins evolucionar vers el pluralisme (Anaxàgores) i l’atomisme (Demòcrit). La preocupació principal d’aquests filòsofs és la natura, contràriament a la del segon període, centrat en les figures de Sòcrates, Plató (autor de múltiples Diàlegs) i Aristòtil, per als quals la política, entesa com a organització de la convivència, adquireix interès predominant. El tercer període que va des de la caiguda d’Atenes fins l’època romana, destaca per tres escoles: l’epicúria, l’estoica i la cirenaica. Els autors d’aquest període es preocupen per intentar conciliar l’individu amb el seu entorn, sigui físic o polític, a fi d’aconseguir la felicitat, entesa com a qüestió individual i no col·lectiva.

Física n f (del llatí physica, del grec physikê). Ciència que estudia per l’experimentació i l’elaboració de conceptes les propietats fonamentals de la matèria i de l’espai-temps. ENCICLOPÈDIA — La formació de la física moderna La física designa el conjunt de disciplines que afecten els objectes i els fenòmens inanimats del món sensible, o bé aquells que es presenten naturalment i directament a l’home, o bé aquells que han estat provocats. Però la física es limita als seus aspectes més generals i fonamentals. Altrament, segons una distinció que, malgrat tot, es redueix cada cop més, se n’exclou la química, que té el seu camp específic en les reaccions que transformen els cossos els uns en els altres i que, si bé necessita la física per a l’explicació dels fenòmens a nivell atòmic, té un contingut teòric i pràctic prou elaborat quant a procediments d’obtenció i modificació de substàncies. Allò que avui coneixem com a ‘física’ fou durant molt de temps anomenat — d’Aristòtil a Newton — ‘filosofia natural’. La física moderna, essencialment experimental i matemàtica, s’ha desenvolupat gràcies a la millora dels instruments d’observació, l’elaboració de teories matemàtiques i el conjunt de lleis disposades en un conjunt coherent fundat sobre definicions i principis clarament formulats. La mecànica ha jugat un paper principal en el desenvolupament de la física, ja que un fou la part que abans prengué una ‘forma’ científica; apareix com la base de les explicacions de tots els fenòmens del món visible, i el seu mètode es presenta com a model del mètode científic.

Forma n f (del llatí forma). Organització dels contorns d’un objecte; estructura, configuració. — Filosofia Segons Aristòtil, configuració sensible, estructura intel·ligible d’una cosa; segons Kant, allò que, en un fenomen, és aprehès a priori per l’esperit; segons Hegel, figura d’afectivitat i, per tant, figura d’exterioritat que es dóna necessàriament en el contingut d’una cosa. — Matemàtica Aplicació f d’un espai vectorial E de dimensió finita, en el cos d’escalars K sobre el qual és definit.

Fractal adj (ll fractus) Es diu dels objectes matemàtics la construcció o forma dels quals es basa en regles fonamentals en la irregularitat i la fragmentació; es diu de les branques de les matemàtiques que estudien aquests objectes. - f Objecte fractal.

ENCICLOPEDIA: La teoria dels fractals va aparèixer l’any 1975 en una obra de B. Mandelbrot que duia per títol Els objectes fractals: forma, atzar i dimensió. Els fractals són imatges que representen perfils extraordinàriament complexos i recargolats, malgrat ser totes elles molt diferents. Tots els fractals presenten tres característiques comunes: autosemblança, generació iterativa i dimensió fraccionària. Autosemblança o invariança sota en canvi d’escala: les petites parts de les figures s’assemblen al total. Generació iterativa: aquest procés iteratiu pot arribar fins a l’infinit; de fet, les úniques limitacions actuals són les capacitats dels programes generadors d’imatges. Les iteracions consisteixen a l’aplicació d’una o vàries transformacions geomètriques contractives ( que són l’homotècia, el gir i la translació). Aquestes transformacions són contractives perquè el factor d’homotècia r és sempre més petit que 1. Finalment, la seva dimensió és fraccionària, cosa que vol dir que correspon a un número decimal. La natura presenta gran quantitat d’elements fractals: la ramificació dels bronquis, la ramificació d’una conca hidrogràfica, la forma de les cadenes muntanyoses, els perfils de les costes, molts vegetals, els cristalls de neu, les ramificacions del sistema circulatori o nerviós, etc., tots els objectes del món físic que no poden ser descrits amb les mesures euclidianes convencionals ( llargada, amplada, espessor).

Funció n f (del llatí functio, de fungi ‘acomplir’). Conjunt d’operacions que tenen un resultat comú i són realitzades per un òrgan o per diversos òrgans. ENCICLOPÈDIA Biologia La funció és el resultat de l’activitat d’un òrgan o d’un ésser viu.


61

Geologia n f Estudi dels constituents de la Terra amb la finalitat de conèixer-ne la naturalesa, la distribució, la història i la gènesi. ENCICLOPÈDIA: La geologia té nombroses branques. La petrografia estudia les roques, en estreta relació amb la mineralogia i la cristal·lografia. L’estratigrafia està lligada a la sedimentació i a la paleontologia. La geodinàmica té el suport de la tectònica. La geologia aplicada contribueix a la prospecció minera, l’estudi de les aigües, l’enginyeria civil, etc. Les noves disciplines, entre elles la geofísica, la geoquímica, la teledetecció, es basen en mètodes analítics específics.

Geometria n f (del llatí geometria, de grec geometria). 1 Segons Euclides, ciència de les figures de l’espai; segons Klein (programa d’Erlagen), estudi dels invariants d’un grup de transformacions de l’espai. ENCICLOPÈDIA: Els orígens de la geometria es troben a Mesopotàmia i a l’antic Egipte, encara que és amb els grecs (del 600 al 300 aC) quan aquesta branca del saber trenca amb el pragmatisme de les civilitzacions anteriors i guanya en generalitat i abstracció. Els Elements d’Euclides són el recull més coherent i complet de geometria clàssica que es coneix. S’hi aborden bàsicament els problemes resolubles amb regla i compàs. Els postulats d’Euclides serveixen per garantir l’existència de solucions dels problemes proposats i, a més, determinar les propietats de l’espai euclidià. L’escola d’Alexandria serveis per amalgamar el rigor euclidià i les tècniques babilòniques i egípcies, i produeix una geometria més adaptada a les aplicacions. Els àrabs recullen els coneixements grecs, els aprofundeixen i en milloren els continguts, sense sortir, però, del marc hel·lenístic. L’Europa medieval coneix els textos grecs a través dels àrabs. Al s XV, Occident rep amb entusiasme l’herència grega conservada pels erudits bizantins. La incorporació de mètodes projectius en la geometria constitueix la primera aportació dels matemàtics del Renaixement en el desenvolupament d’aquesta disciplina. Al s XVIII s’incorporen els mètodes de la geometria analítica continguts en les obres de Descartes i Fermat. En la seva Geometria (1637), Descartes aplica mètodes algèbrics per a l’estudi de corbes; sorgeix progressivament el concepte d’equació d’una corba. Les tècniques del càlcul infinitesimal permeten iniciar l’estudi local de funcions. La creació per part de Monge de la geometria descriptiva, que permet representar els punts de l’espai mitjançant les seves projeccions sobre dos plans perpendiculars entre ells, dóna noves ales a la geometria projectiva. Fins al s XIX, la geometria euclidiana ha estat suficient per poder representar els fenòmens del món sensible, i els seus resultats són considerats veritats absolutes. Cap al final de segle, alguns investigadors veuen la possibilitat de construir, de forma abstracta, noves geometries (dites no euclidianes) lògicament coherents, basades en un sistema d’axiomes euclidià en què s’ha canviat el 5è postulat de les paral·leles per un altre (per exemple, la seva negació). N.I. Lobatchevski (1826) i J. Bolyai (1832-1833) són els primers d’iniciar els treballs sistemàtics d’una geometria en què un dels axiomes accepta la possibilitat de construir infinites paral·leles a una recta per un punt exterior (geometria hiperbòlica). B. Riemann (1826-1866) estudia la geometria el·líptica deduïda de la negació del 5è postulat. La concepció riemanniana de l’espai ja és el germen de l’associada a la relativitat generalitzada. Klein, en el programa d’Erlangen (1872), es proposa establir un principi general sobre el qual es puguin construir les dues geometries: mètrica i projectiva. En aquests programa es caracteritza cada geometria per un grup de transformacions i el seu estudi consisteix a buscar les propietats invariants d’aquest grup.

El resultat és una jerarquia de geometries formada per: 1r la geometria projectiva (estudi dels invariants del grup projectiu de les homografies); 2n la geometria afí (estudi dels invariants pel grup afí); 3r la geometria mètrica (estudi dels invariants pel grup de les isometries): 4t la geometria euclidiana (estudi dels invariants pel grup dels moviments rígids: rotació, simetria i traslació); 5è al mateix nivell de la geometria afí: a) les geometries no euclidianes, anomenades per Klein geometria mètrica hiperbòlica (estudi dels invariants per un subgrup del grup de les projeccions, que deixa invariant una cònica real); b) la geometria mètrica parabòlica, que es caracteritza per la conservació de la mesura dels angles. La topologia, és dins d’aquest programa, la geometria dels invariants per grup de les transformacions puntuals contínues. En investigacions posteriors E. Cartan i S. Lie introduïren les geometries diferencial i infinitesimal. En aquest segle, la geometria lligada l’àlgebra mitjançant les coordenades es materialitza en la geometria algebraica.


62

Harmonia n f (del llatí harmonia, del grec harmonia). 1 Qualitat d’un conjunt que resulta de l’acord entre les seves parts o entre les dels seus elements i la seva adaptació a una finalitat. L’harmonia de l’univers. L’harmonia del cos humà. 2 Relació reeixida entre les parts d’un tot (formes, colors, sons, ritmes, etc), especialment en una obra artística o literària. — FilosofiaHarmonia preestablerta, segons la filosofia de Leilbniz, sincronització de les mònades de l’Univers, establerta per Déu des de la creació, que converteix el món en un conjunt perfectament organitzat i coherent.

Hèlice o hèlix n f (del llatí helix, del grec heliks ‘espiral’) 1 Corba tal que les tangents formen un angle constant amb una recta fixa, anomenada eix. 2 Hèlix foliar, corba geomètrica que s’obté en unir sobre la tija d’una planta les insercions foliars successives. ENCICLOPÈDIA Matemàtica L’hèlix cilíndrica, continguda en un cilindre, forma un angle constant amb les generatrius del cilindre. L’hèlix circular correspon al cas en què el cilindre és de revolució. Es determinada per l’eix i el radi del cilindre que la conté, el sentit de recorregut i el pas (distància entre dues interseccions consecutives de la corba amb una generatriu fixa).

Hexàgon n m Polígon que té sis angles i, per tant, sis costats. (L’hexàgon regular inscrit en un cercle té els seus costats de la mateixa longitud R que el radi d’aquest cercle, i l’apotema val R 3/2).

Intel·ligibilitat adj 1 Caràcter, estat del que és intel·ligible.

Intel·ligible (del llatí intelligibillis). 1 Segons Plató, es diu d’allò que és percebut per la intel·ligència, per oposició a allò que és percebut pels sentits. 2 Món intel·ligible, conjunt de les essències lògiques, de les idees.

Matemàtica n f (del llatí mathematicus, del grec mathematikós, de mathema ‘ciència’). 1 Es diu d’allò que exclou qualsevol incertesa o inexactitud, que és d’una gran precisió. 2 Ciència que estudia mitjançant el raonament deductiu les propietats d’entitats abstractes (nombres, figures geomètriques, funcions, espais, etc) i les seves relacions. (S’usa sovint la forma plural: matemàtiques.)

Natura n f (del llatí natura). 1 El món físic, l’univers, el conjunt de les coses i dels éssers, la realitat. 2 Conjunt de forces o principi superior que és considerat l’origen de les coses del món, de la seva organització. 3 Conjunt dels principis, de les forces, en particular de la vida, per oposició a l’acció de l’home. 4 Conjunt de les coses que, en el món físic, no apareixen com a transformades per l’home (en particular per oposició a la ciutat).

Nombre n m (del llatí numerus). Noció que permet de comptar les coses o els éssers, de classificar els objectes, de mesurar les magnituds.

Ona n f (del llatí unda). 1 Modificació de l’estat físic d’un medi natural o immaterial, que es propaga després d’una acció local amb una velocitat finita, determinada per les característiques del medi travessat. 2 Cadascuna de les ondulacions que es propaguen per la superfície d’un líquid a partir d’un punt de pertorbació d’aquesta superfície. Les pedres que llançava al riu feien ones concèntriques. 3 Moviment oscil·latori en sentit ascendent i descendent, de les aigües del mar, un llac o un riu.

Realitat n f (del llatí medieval realitas, del llatí clàssic realis, de res ‘cosa’). 1 Caràcter d’allò que és real, d’allò que existeix efectivament. 2 Allò que es real, allò que existeix de fet, per oposició a allò que és imaginat, somniat, fictici.

Ritme n m (del llatí rhytmus, del grec rhytmos ‘cadència’). Retorn, en intervals regulars de temps, d’un fet, d’un fenomen. Ritme de les estacions, de les marees.

observant el laberint geomètric de la natura

Documents