obras hidraulicas_disenho de canal_xi cap

7/25/2019 Obras Hidraulicas_Disenho de Canal_XI CAP

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OBRAS HIDRAULICASDISEO DE CANAL CON CIVIL 3D

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FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS

6.1 INTRODUCCINEl estudio de flujo turbulento en un canal abierto es de gran inters en hidrulica. Al

igual que en una tubera, en un canal, en especial en un canal artificial, el flujo turbulento

es esencialmente unidireccional y unidimensional.

En general, un canal abierto es un conducto en el cual un fluido denso circula bajo la

accin de la gravedad con una superficie bien definida que lo separa de un fluido ms

ligero que est sobre l. Cuando el fluido denso es un lquido y el ligero es un gas, la

capa de separacin es llamada una superficie libre. Debido a la gran diferencia de

densidad entre los lquidos y los gases, el efecto de los gases en el campo gravitacional

puede despreciarse.

Canal natural, canal artificial, canal prismtico y canal ancho:

Los canales abiertos naturales (por ejemplo los ros) varan en tamao, forma y

rugosidad, y presentan secciones irregulares no uniformes del flujo.

Los canales artificiales tambin varan en tamao pero tienen un menor rango de

variacin en lo que respecta a la rugosidad. Ms an, los canales artificiales se

construyen generalmente con formas geomtricas regulares.

Si la seccin del canal y la pendiente del fondo son constantes, un canal artificial es

llamado canal prismtico. Los rectngulos, trapecios, tringulos, crculos, parbolas y

combinaciones de estas formas se usan comnmente como secciones de canales

prismticos (DAILY & HARLEMAN, 1969, p, 338). Cuando el ancho de un canal

prismtico es mayor que 10 veces la profundidad del flujo, se adopta la hiptesis de

canal ancho.

En un canal prismtico dado, el flujo puede ser uniforme o no uniforme. En este repaso

presentaremos solamente las ecuaciones de flujo uniforme, permanente, unidireccional y

unidimensional.

6.2 FLUJO EN DESARROLLO Y FLUJO TOTALMENTE DESARROLLADO EN UNCANAL ABIERTO

Desarrollo de capa lmite y longitud de entrada del flujo:

La figura 6.1 es un esquema de desarrollo de capa lmite en el fondo de un canal abierto

con entrada ideal de flujo. En ella se puede observar que, desde la entrada (punto A)hasta la seccin CD, se desarrolla la capa lmite desde laminar hasta turbulento. En este


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tramo del canal el perfil de velocidad, inicialmente uniforme, se va transformando hacia

un perfil caracterstico; as, en este tramo ocurre, lo que podra denominarse, un flujo en

desarrollo. En la seccin CD el perfil de velocidad del flujo logra alcanzar una estructura

definida, y hacia aguas abajo se mantendr esta estructura tenindose, de este modo enel canal, un flujo totalmente desarrollado. Como para este esquema el fondo del canal

se ha supuesto liso, en el f lujo totalmente desarrollado se mantendr la subcapa viscosa.

La distancia entre el punto A y el punto D se denomina longitud de entrada del flujo, o

longitud de desarrollo del flujo

Figura 6.1: Desarrollo de capa lmite en un canal abierto de fondo liso con entrada ideal

(Fuente: CHOW, 1982, p, 192)

La figura 6.2 muestra el perfil de velocidad de flujo completamente desarrollado, es decir,

a partir de la seccin CD hacia aguas abajo.

Figura 6.2:Distribucin de velocidad de un flujocompletamente desarrollado en un

canal de fondo liso.(Fuente: CHOW, 1959, p, 193)


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6.3 ESTABLECIMIENTO DE FLUJO UNIFORME EN UN CANAL ABIERTO

La ocurrencia de flujo uniforme en un canal significa que la seccin transversal de

agua y la profundidad se mantienen constantes sobre un cierto tramo del canal. Esto

requiere que la cada de energa potencial (debido a la cada en elevacin) a lo largodel canal sea exactamente consumido por la disipacin de energa debido a la friccin

en el contorno y debido a la turbulencia.

En el tramo de un canal suficientemente largo, con pendiente y seccin transversal

constantes, se establecer eventualmente un flujo uniforme. Por ejemplo, en la figura

6.3, el flujo acelera en el tramo AC, se establece como flujo uniforme en el tramo CD,

sufre una violenta desaceleracin debido al cambio de pendiente entre DE, y

finalmente alcanza una nueva profundidad de flujo uniforme en algn punto aguas

abajo de E. En el tramo BC hay aceleracin porque el componente de la gravedad a

lo largo de la pendiente del canal es mayor que la resistencia de corte de capa lmite.

Cuando el flujo acelera, el corte de capa lmite se incrementa debido al aumento de la

velocidad; as hasta el punto C, la resistencia de corte de capa lmite se iguala al

componente de la gravedad a lo largo de la pendiente. Aguas abajo de C no hay

aceleracin, la velocidad es constante, y el flujo es uniforme. Para un canal de

rugosidad, seccin transversal y pendiente dados que transporta un caudal dado,

existir una y solamente unaprofundidad de agua, llamada profundidad normal, para

el cual el flujo ser uniforme. La profundidad de flujo uniforme es comnmente

denominada profundidad (o tirante) normal, y se designa porny o por

Figura 6.3: Flujo permanente a lo largo de un canal de fuerte pendiente(Fuente: DAUGHERTY & FRANZINI, 1977, p, 324)


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6.4 RELACION ENTRE EL ESFUERZO CORTANTE Y LA PENDIENTE DEL CANALCON FLUJO UNIFORME

La relacin entre el esfuerzo cortante de capa lmite y la inclinacin del canal en el cual

ocurre flujo uniforme se puede determinar de varias maneras. Las ms comunes son:

Balance global de masa y de momentum lineal,

Simplificacin de las ecuaciones de Reynolds-Cauchy.

A seguir se presenta la simplificacin de las ecuaciones de Reynolds-Cauchy. La

aplicacin del balance global de masa y de momentum lineal se muestra en Apndice 1.

La simplificacin de las ecuaciones de Reynolds-Cauchy se realizar primero para un

canal ancho, luego se extender para un canal prismtico.

6.4.1 CASO CANAL ANCHOAnalicemos la ecuacin de conservacin de masa y la ecuacin de Reynolds-Cauchy

bajo las siguientes hiptesis:

1.- Flujo permanente,

2.- Flujo uniforme unidireccional y unidimensional, por ejemplo, 0u ; 0v w ,

3.- Distribucin de presin hidrosttica en el eje y y constante en x , es decir,

y ;

4.- Condiciones invariables en el eje z :

Ecuacin de conservacin de masa:

o 0dz

wd

dy

vd

dx

ud. (6.1)

Esta ecuacin, por la hiptesis (1), se reduce a

; (6.2

en consecuencia, el campo de velocidades ser:

( )u f y , 0v w (6.3)

Ecuacin de Reynolds-Cauchy en la direccin del ejex:

( ) ( ) ( )

l tl l t t yx yxxx zx xx zx

x

u u u u pu v w g

t x y z x x y z x y z

Por la hiptesis (1), (2), (3) y (4) esta ecuacin se reduce a:

0 ( ) ( )

l tl l t t yx yxxx zx xx zx

xgx y z x y z

(6.4)


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Por otro lado, por la ley de Stokes para flujo medio, los componentes del esfuerzo se

expresan como:

2[2 ( )]

3xx

uV

x , [ ]yx

u v

y x , [ ]zx

w u

x z;

los cuales, por (6.1), (6.2) y (6.3) se reducen a:

0xx ; 0yxu

y ; 0zx .

De este modo, la ecuacin (6.4) se reduce a

0

l t

yx yx

xgy y

(6.5)

Manipulando esta ecuacin, se obtiene

0 ( )

l t

yx yx

xgy y

0 ( )l tx yx yx

gy

yx

xgy

, donde l tyx yx yx

es el esfuerzo cortante total (6.6)

Figura 6.4: Un tramo de canal con flujo uniforme.

Para el sistema de coordenadas de la figura 6.4, el componentexg de la aceleracin

de gravedad se puede expresar comoxg g sen . As, la ecuacin (6.6), se puede

expresar como

( )f yxh

sen SL y

donde S es la pendiente de la lnea de energa, denominada tambin pendiente

hidrulica (DAUGHERTY& FRANZINI, 1977, p, 323). Separando variables e integrando

entre el fondo y la superficie libre del agua donde y h y 0yx , se tiene


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6

h

yx yS0

0

0

hS0

, (sobre la superficie de control)

De este modo, el esfuerzo cortante sobre el fondo del canal, ser:

Sh0 (6.7)

Puesto que para un canal ancho R h , siendo R el radio hidrulico, la ecuacin

anterior tambin se puede expresar como

SR0 (6.8)

Se concluye, entonces, que el esfuerzo cortante en el fondo del canal es igual al

producto del peso especfico del agua por el radio hidrulico y por la pendiente de la

lnea de energa. Por ltimo, como en un flujo uniforme la pendiente hidrulica es

igual a la pendiente del el canal, se tiene

00 SR (6.9)

6.4.2 CANAL DE CUALQUIER SECCIN TRANSVERSAL

Para un canal no ancho, el esfuerzo cortante promedio en el fondo se puede calcular

con la ecuacin (6.9), es decir,(6.10)

donde es el radio hidrulico de la seccin.

6.5 ECUACIN DE DISTRIBUCIN DE VELOCIDAD PROMEDIO TEMPORAL DELFLUJO TURBULENTO EN UN CANAL

Las expresiones de distribucin de velocidad promedio temporal halladas para flujo en

tuberas, son vlidas tambin para flujo turbulento en canales anchos. As:

6.5.1 CANAL ANCHO DE FONDO LISO

Para la subcapa viscosa (ver figura 6.2), a partir de la ecuacin (5.43):

2

*Vu y , para *0 5V y

(6.11)

Para el ncleo turbulento y la zona de transicin hasta 0104

y , a partir de la ecuacin

(5.36 para tuberas), se tiene

*

1 0

1

ln( )

y

u Vk y (6.12)

o, a partir de la ecuacin (5.51):


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*

1

1 104ln( )

yu V

k (6.13)

6.5.2 CANAL ANCHO DE FONDO RUGOSO

A partir de la ecuacin (5.60c para tuberas), se tiene la siguiente ecuacin de perfil de

velocidad promedio temporal para canales anchos de fondo rugoso:

*

1

1 30ln( )

yu V

k (6.14)

En las ecuaciones (6.12) al (6.14)1k es la constante universal de von Krmn, y su valor

es 0.4, aproximadamente.


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6.6 ECUACIONES DE VELOCIDAD MEDIA EN CANALES

Integrando las ecuaciones de distribucin de velocidad promedio, se puede hallar las

ecuaciones de velocidad media en canales, tal como se presenta a seguir.

6.6.1 CANAL DE FONDO LISO

Integrando la ecuacin (6.13), se obtiene (ver ejemplo 6.1-a):

, R : radio hidrulico. (6.15)

6.6.2 CANAL DE FONDO RUGOSO

Integrando la ecuacin (6.14), se obtiene (ver ejemplo 6.1-b):

*

1

11ln( )

V RU k , R : radio hidrulico. (6.16)

6.7 ECUACIN DE CHZY

La primera frmula de flujo uniforme en canales abiertos fue desarrollada por el

ingeniero francs Antoine Chzy, probablemente, en 1769. La famosa frmula de Chzy

es usualmente expresada como sigue:

RSCU (6.17)

donde U es la velocidad media del flujo en ft/s, R es elradio hidrulico en ft, Ses la pendiente de la lnea de

energa [pendiente hidrulica] y C es un factor de

resistencia al flujo, llamado C de Chzy (CHOW, 1959, p,

93). Como ya se ha mencionado en el Captulo 5, la

frmula de Chzy, tambin ha sido ampliamente usada

para flujo en tuberas.

A pesar de su simplicidad, la ecuacin (6.17) tiene el cla-Antoine Chzy(1718 - 1798)

ro inconveniente que C no es un nmero puro sino tiene las dimensiones [ ], que

requiere que los valores de C en unidades mtricas sean convertidos previamente antes

de ser usado con unidades Inglesas.

Relacin entre el de Chzy y el coeficiente de Darcy:

Dado que el de Chzy y el coeficiente de friccin de Darcy estn relacionados (ver,

por ejemplo, la ecuacin 5.85), las mismas consideraciones que han sido presentadas

respecto a la determinacin de los valores de en el Captulo 5 se aplica tambin a .

Para un canal pequeo con paredes lisas, el problema de determinacin de o es la

misma como para el caso de la tubera. Pero la mayora de los canales son


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relativamente grandes comparado con tuberas, as dan nmero de Reynolds que son

ms altos que aquellos comnmente encontrados en tuberas. Tambin, los canales son

frecuentemente ms rugosos que los tubos, especialmente en el caso de corrientes

naturales (DAUGHERTY& FRANZINI, 1977, p, 325).

6.7.1 DERIVACIN DE LA FRMULA DE CHZY

La frmula de Chzy puede ser derivada matemticamente desde dos hiptesis:

La primera hiptesis fue adoptada por Chzy (evidencia experimental), y establece

que: La fuerza de resistencia al flujo por rea unitaria del lecho de la corriente es

proporcional al cuadrado de la velocidad;esto es

, o .Entonces, teniendo en cuenta (6.8), se tiene

de donde,

(6.18)

con coeficiente de Chzy.

La segunda hiptesises el principio bsico de flujo uniforme, el cual se cree que ha

sido planteado primero por Brahms en 1754. Esta hiptesis establece que: En flujo

uniforme, el componente efectivo de la fuerza de gravedad que causa el flujo debe ser

igual a la fuerza total de resistencia.

El componente efectivo de la fuerza de gravedad ( ) es paralelo al fondo del canal y es

igual a

(6.19)

donde es el peso especfico del agua, es el rea de agua, es el ngulo de

inclinacin, y es igual a la pendiente del canal. Por otro lado, la fuerza total de

resistencia al flujo, a partir de (6.8), es

Entonces, teniendo en cuenta la evidencia experimental e igualando con (6.19), se tiene:

, de donde

, siendo el radio hidrulico.

Finalmente,


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(6.18)

Muchos intentos se han hecho para determinar el valor de C de Chzy. Algunas

importantes frmulas desarrolladas para este propsito se darn en las siguientes

Secciones.

6.7.2 DETERMINACIN DEL FACTOR DE RESISTENCIA DE CHZY

Las ms importantes frmulas para la determinacin del valor de C de Chzy son:

a).- Frmula G-K

Dado en 1869 por los ingenieros suizos Ganguillet y Kutter. En unidades inglesas, esta

frmula es:

(6.20)

donde es la pendiente del canal, el radio hidrulico y el coeficiente de rugosidad,

especficamente, conocida como de Kutter (o de Ganguillet-Kutter). Dentro de rangos

normales de y , los valores de de Kutter y de de Manning (tabla 6.3) son,

generalmente, numricamente muy prximos. Para propsitos prcticos, los 2 valores

pueden ser considerados idnticos cuando y entre 1.0 y 30 ft (CHOW, 1959,

p, 100).

b).- Frmula de Bazin

Dado en 1897 por el hidrulico francs Henri Bazin. Expresado en unidades inglesas,

esta frmula es

(6.21)

donde es un coeficiente de rugosidad cuyos valores propuestos por Bazin estn dados

en la tabla 6.1 La frmula de Bazin fue desarrollada primitivamente partiendo de datos

recolectados de canales experimentales pequeas; por lo tanto, se ha encontrado que

su aplicacin general es menos satisfactoria que la frmula G.K.

Tabla 6.1: Valores propuestos de mde Bazin para revestimientos de canal

(Fuente: CHOW, 1982, p, 95)


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c).- Frmula de Powell

Dada en 1950 por Ralph W. Powell. Esta frmula, una funcin implcita de C , es

(6.22)

donde es el nmero de Reynolds; el radio hidrulico en ft; y es una medida de la

rugosidad del canal, siendo sus valores tentativos los mostrados en la tabla 6.2

Para canales rugosos, el flujo es generalmente tan turbulento que se vuelve muy

grande comparado con C ; as, la ecuacin (6.22) se aproxima a la forma

(6.23)

Para canales lisas, la rugosidad de la superficie puede ser tan insignificante que se

vuelve despreciable comparado con ; entonce a frmula se aproxima a la forma

(6.24)

Puesto que en la frmula de Powell el C de Chzy est expresado implcitamente, la

solucin de la frmula para C requiere procedimiento de aproximacin sucesiva.

Por ltimo, la frmula de Powell fue desarrollada a partir de experimentos de laboratorio

limitados en canales lisos y rugosos y una distribucin terica de velocidad estudiada por

Keulegan. As, las aplicaciones prcticas de esta frmula es limitada puesto que senecesita investigacin adicional para determinar valores adecuados de .

Tabla 6.2: Valores tentativos de de Powell

(Fuente: CHOW, 1982, p, 98)


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d).- Frmula Aproximada Desde el Perfil de Velocidad Media:

Una frmula para determinar el C de Chzy tambin se puede obtener a partir de las

expresiones de velocidad media para tubos y canales, tal como se presenta a seguir:

Velocidad media en conductos lisos:

Canal: (6.15)

Tubera circular recta:

Integrando la ecuacin (5.51) para tubera circular

de donde se obtiene (ver ejemplo 6.1-c):

(6.25)

Se observa que las ecuaciones (6.15) y (6.25) son muy parecidas. Difieren slo en el

valor numrico del coeficiente de ).

Con el objeto de obtener una frmula aproximada que comprenda tanto a tuberas

como a canales, se toma el promedio aproximado de los coeficientes. As, se tiene:

(6.26)

Esta es la frmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso

(canal muy ancho, tubera o cualquier otra seccin intermedia -ROCHA, 1979, p, 89).

Velocidad media en conductos rugosos:

Canal: (6.16)

Tubera circular recta:

Integrando la ecuacin (5.60c) para tubera circular

de donde se obtiene (ver ejemplo 6.1-d):

(6.27)

Las ecuaciones (6.16) y (6.27) son tambin muy parecidas y puede reemplazarse por

otra que considere el promedio de los coeficientes de :


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(6.28)

Esta es la frmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso

(canal muy ancho, tubera o cualquier otra seccin intermedia -ROCHA, 1979, p, 90).

Con fines prcticos se establece una frmula que involucre ambos casos [conductos

lisos o rugosos], combinando las ecuaciones (6.26) y (6.28). Obsrvese que no se

trata de una operacin algebraica, sino de una adaptacin:

(6.29)

Si el valor de de la rugosidad no tiene significacin, entonces la frmula (6.29) se

convierte en la de los conductos lisos; caso contrario si no tiene significacin

entonces es la ecuacin de los conductos rugosos.

Por otra parte, teniendo en cuenta (6.9), la velocidad de corte es

(6.30)

Reemplazando (6.30), , y , la frmula (6.29) queda

expresada como:

(6.31)

Finalmente, comparando (6.31) y (6.17), se concluye que

(6.32)


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6.8 FRMULA DE MANNING

El ingeniero irlands Robert Manning encontr a partir de muchos ensayos que los

valores de C variaban aproximadamente con , y otros investigadores notaron que el

factor de proporcionalidad era muy prximo al recproco de de Kutter. Estos hallazgossirvieron de base para la formulacin de una de las mejores frmulas, as como una de

las ms ampliamente utilizadas, para el flujo de canal abierto, que Manning lo public en

1890 y que ms tarde fue modificado a su forma actual en unidades mtricas

(6.33)

donde es la velocidad media en m/s, es el radio

hidrulico en m, es la pendiente de la lnea de energa

[pendiente del canal], y es el coeficiente de rugosidad,especficamente conocido como de Manning.

Al hacer anlisis dimensional de la frmula (6.33) las

dimensiones de resultan [ ]. Como no es

razonable que un coeficiente de rugosidad contenga la

dimensin , algunos autores suponen que el numerador Robert Manning(1816 - 1897)

contiene a [dimensionalmente ], as produce las dimensiones de para ,

tal como se muestra a seguir:

Expresando dimensionalmente la ecuacin (6.33), considerando las dimensiones de

para la constante del numerador:

de donde,

Derivacin de la frmula de Manning:

Por la hiptesis de Manning: . Luego, introduciendo la constante de proporcio-

nalidad, resulta

(6.34)

Reemplazando (6.34) en la frmula de Chzy (6.17), se obtiene:


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de donde,

(6.33)

Frmula de Manning en unidades inglesas:

A fin de evitar convertir el valor numrico del coeficiente de Manning para usar con las

unidades inglesas, se ha cambiada la propia frmula dejando el valor de inafectado.

De este modo, la frmula de Manning en unidades inglesas es

(6.35)

donde es la velocidad media en ft/s, es el radio hidrulico en ft, es la pendiente del

canal, y es el coeficiente de la tabla 6.3 La constante numrica 1.49 en el numerador

resulta de puesto que (CHOW, 1959, pie de p, 99).

6.8.1 DETERMINACIN DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD DE MANNING

En la aplicacin de la frmula de Manning o de G-K., la dificultad ms grande reside en

la determinacin del coeficiente de rugosidad ; pues no hay un mtodo exacto de

seleccionar un valor de . En el estado actual del conocimiento [1959] seleccionar un

valor de en realidad significa estimar la resistencia al flujo en un canal determinado, lo

cual es realmente una cuestin inmaterial. Para los ingenieros veteranos, esto significa

el ejercicio de un profundo juicio de ingeniera y experiencia; para los principiantes,puede no ser ms que una adivinanza, y diferentes individuos obtendrn resultados

diferentes.

Con el objeto de proporcionar una gua para la determinacin apropiada de , V. T. Chow

plantea 4 caminos generales, a saber:

1.- Comprender los factores que afectan el valor de y as adquirir un conocimiento

bsico del problema para reducir el amplio campo de suposiciones.

2.- Consultar un cuadro de valores tpicos de para canales de varios tipos, porejemplo la tabla 6.3

3.- Examinar y hacerse familiar con la apariencia de algunos canales tpicos cuyos

coeficientes de rugosidad son conocidos (ver, por ejemplo, CHOW, 1959, pp, 115-

123).

4.- Determinar el valor de a travs de un procedimiento analtico basado sobre la

distribucin terica de la velocidad en la seccin transversal del canal y sobre los

datos medidos de la velocidad o de la rugosidad.


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Tabla 6.3:

(Fuente: RUSSELL, 1969, pp, 329)


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Ejemplo 6.1: Clculo de de Chzy y caudal de un canal

Calcular el valor del gasto en un conducto circular, revestido de ladrillo (tabique) conmortero de cemento, de 5 ft de dimetro y con una pendiente de 1 en 1000. El conductoescurre lleno hasta la mitad de su seccin.

Solucin

Conociendo la forma de la seccin, pendiente y el tipo del acabado de la superficie delcanal, se desea hallar el gasto.

Clculo de radio hidrulico:

ft

Por otro lado, para superficie revestido de ladrillo con mortero de cemento, de la tabla6.3:

a) Con la frmula de G.K (6.20):

Luego con (6.17),

ft/s

ft3/s

b) Con la frmula de Bazin (6.21):

De la tabla 6.1:

ft/s

ft3/s

c) Con la frmula de Manning (6.34):

ft/s

ft3/s


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6.8.2 RELACIN ENTRE DE MANNIG, FACTOR DE FRICCIN ( ) DE DARCY YLA RUGOSIDAD ABSOLUTA ( )

La relacin entre de Mannig y la rugosidad absoluta ( ) de la superficie interna de los

tubos, fue propuesta por Powell (figura 6.5) sobre la base de datos experimentalesusando como gua la ecuacin de Prandtl-Krmn para tubos rugosos.

Figura 6.5: Correlacin de con rugosidad absoluta

(Fuente: DAUGHERTY & FRANZINI, 1977, p, 328)

En trminos de radio hidrulico ( ), Powell encontr la siguiente relacin:

(6.36)

Por otro lado, combinando las ecuaciones (6.17) y (5.85) resulta

(6.37)

Asimismo, combinando la ecuacin (6.36) con las ecuaciones (6.34) y (6.35), se obtiene:

En unidades inglesas (6.38)


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En unidades mtricas (6.39)

La ecuacin (6.38) o (6.39) muestra que el de Manning est relacionado con el factor

de friccin , el cual depende de la rugosidad relativa, del nmero de Reynolds, y del

radio hidrulico que es indicativo de tamao del canal.

Combinando, por ejemplo, la ecuacin (6.38) con la ecuacin (6.36) se encuentra la

siguiente correlacin entre la rugosidad absoluta ( ) y el de Manning:

En unidades inglesas (6.40)

La correlacin (6.40) est graficada como lnea continua en la figura 6.5 para tres valores

representativos del radio hidrulico. La lnea discontinua es la grfica de otra correlacinpropuesta por Powell que se ajusta mejor a los datos experimentales para pequeos

valores de radio hidrulico.

La caracterstica ms notable de estas curvas es que un error relativo grande en

resulta en solo un error pequeo en . Otra observacin es que, si ft, el valor de

incrementa con el tamao creciente del conducto. Por ejemplo, un conducto con

ft con un radio hidrulico de 1.0 ft tendr un de 0.011, mientras que otro

conducto con la misma rugosidad de superficie pero con ft tendr un de 0.013

(DAUGHERTY& FRANZINI, 1977, p, 328)

Ejemplo 6.2: Demostraciones

a) Demostrar que: (ver: ROCHA, 1979, pp, 80-81)

b) Demostrar que: (ver: ROCHA, 1979, pp, 87-88)

c) Demostrar que: (ver: ROCHA, 1979, pp, 82-83)

d) Demostrar que: (ver: ROCHA, 1979, pp, 88 !!!)


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6.9 PROBLEMAS BSICOS DE FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Los tres problemas bsicos para flujo en canales abiertos son:

1).- Clculo de prdida de carga (pendiente del canal ),

2).- Clculo de caudal ( Q ) o gasto, y

3).- Clculo de radio hidrulico ( ), o tirante ( ) para una forma dada.

Estos problemas se resuelven mediante pasos anlogos a los usados para el flujo en

tubos. En los tres problemas, el paso fundamental es la determinacin del coeficiente de

friccin, ya sea de la ecuacin de Darcy o del coeficiente de Chzy.

6.9.1 CLCULO DE PENDIENTE DEL CANAL

Para problemas de este tipo, se requieren los siguientes datos:

Forma de la seccin,

Tirante normal ( h ),

Rugosidad de la superficie, y

Caudal ( Q ).

Con estos datos se puede determinar directamente con la ayuda de tabla 6.3 y la

ecuacin (6.34). Conociendo la seccin del canal y el caudal, se halla la velocidad

media. Por ltimo, a partir de la frmula de Chzy se calcula .

Tambin, con el valor de escogido de la tabla 6.3, se puede calcular a partir de la

ecuacin (6.33) o (6.35), segn sistema de unidades.

Ejemplo 6.4: Clculo de pendiente de canal

Se tiene un canal de seccin trapezoidal de 20 ft de ancho de fondo, talud lateral de 2:1,y . Determinar la pendiente normal para un tirante normal de 3.36 ft cuando ladescarga es 400 ft3/s.

Solucin

Datos:

ft (ancho en la base de la seccin trapezoidal)

(talud lateral de la seccin trapezoidal)

(coeficiente de Manning o Kuter)

ft (tirante normal)

ft3/s (caudal)

Clculos:

(rea de seccin trapezoidal)

ft2

(Permetro mojado de seccin trapezoidal)ft


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ft

ft/s

Conociendo y , se puede hallar de Chzy

Luego, de la frmula de Chzy

Alternativamente, con la frmula de Manning: ; de donde,

6.9.2 CLCULO DE CAUDAL


Forma de la seccin,

Tirante normal ( h ),


Pendiente del canal ( 0S ).

Opcionalmente:

Temperatura del agua (as, su viscosidad y su peso especfico )

Conociendo la rugosidad de la superficie, por ejemplo de Manning, se halla de

Chzy, luego la velocidad media (tambin se puede usar directamente la frmula de

Manning). Por ltimo, con la ecuacin de continuidad se hallar el caudal.

Ejemplo 6.5: Clculo de caudal Q

En un canal abierto, construido de concreto liso, fluye agua a temperatura de 15C. Elcanal tiene una seccin rectangular de 3 m de ancho y una pendiente Laprofundidad del flujo uniforme y estable es de 1.2 m. Calcule el caudal a travs delcanal.

Solucin

Datos:

m (ancho en la base de la seccin rectangular)

(concreto liso, de tabla)

mC (temperatura del agua, as: m2/s; kg/m3)

Clculos:


22/30


22

(rea de seccin rectangular)

m2

(Permetro mojado de seccin rectangular)

mm

m/s

m3/s

Alternativamente:

m/s

6.9.3 CLCULO DE TIRANTE (O RADIO HIDRULICO)


Forma de la seccin,

Caudal ( Q ),


Pendiente del canal ( 0S ).

Opcionalmente:

Temperatura del agua (as, su viscosidad y su peso especfico ).

En este caso, dado que la incgnita es el tirante del canal, no se conoce la velocidad ni

los elementos geomtricos de la seccin. Pero el caudal expresado con la frmula de

Manning y la ecuacin continuidad es

(6.39)

Reordenando datos conocido al lado izquierdo de la frmula, resulta

(6.40)

En esta ecuacin, el trmino es denominado factor de seccin que es una

funcin de la forma del canal y de la profundidad del flujo; y para una forma dada del

canal este parmetro depende nicamente de la profundidad, es decir, .El procedimiento de solucin usual de (6.40) es:


23/30


23

Por aproximacin sucesiva (trial and error), o mtodo de tanteo,

Por solucin grfica,

Por mtodo numrico.

Ejemplo 6.6: Clculo de tirante normal h

Un canal rectangular de concreto, liso, tiene 3 m de ancho y una pendientePor ese canal fluye un caudal de 7 m3/s agua a 15C. Calcule el tirante normal del flujoen el canal.

Solucin

Datos:

m (ancho en la base de la seccin rectangular)

(concreto liso, de tabla)

m3/s

C (temperatura del agua, as: m2/s; kg/m3)

Clculos:

Por continuidad y la ecuacin (6.33)

, de donde

(a)

(rea de la seccin) (b)

(permetro mojado)

(radio hidrulico) (c)

Reemplazando (b) y (c) en (a):

(d)

El lado izquierdo de la ecuacin (d) es una constante e igual a 2.6563. El siguiente pasoes resolver esta ecuacin no lineal para hallar empleando el mtodo de tanteo o elmtodo grfico. En efecto, en hoja electrnica se resuelve la siguiente ecuacin

(e)

por el mtodo de tanteo obtenindose

m

Tambin, en la hoja electrnica se presenta el mtodo grfico de solucin de (e).


24/30


24

6.9.4 CLCULO DE TIRANTE POR MTODO NUMRICO

En la ecuacin (6.40) el lado izquierdo es un valor constante. As, definiendo

(valor constante) y teniendo en cuenta que , la ecuacin (6.40) se puede

expresar como

(6.41)

donde es la funcin que debe resolverse. La grfica de la funcin para

una seccin rectangular y trapezoidal se muestra, respectivamente, en las figuras 6.6 y

6.7.

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

F(y)

y

Rectangular

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

0.0 2.0 4.0 6.0

F(y)

y

Trapezoidal (z= 0.5)

Figura 6.6 Figura 6.7

Entre los mtodos numricos iterativos ms comunes para hallar la raz de una ecuacin

tal como (6.41), es el mtodo de Newton-Rhapson. La expresin ms conocida de este

mtodo es

(6.42)

donde

es una funcin que tiene la forma de ecuacin (6.41),

es la primera deriva de la funcin ,

es el valor principal de la iteracin,

es el sucesivo valor calculado.

Las condiciones para que el mtodo iterativo formulado por la ecuacin (6.42) converja

son:

1) El valor inicial supuesto iy est suficientemente cerca de una raz de 0)(yF .

2) )(yF (segunda derivada de 0)(yF ) no llegue a ser excesivamente grande.3) )(yF no est muy prximo a cero.


25/30


25

La condicin (3) significa que 2 races de la ecuacin 0)(yF no deben estar muy

prximos entre s.

El programa canal_NR.f90, codificado en lenguaje de alto nivel resuelve la ecuacin

(6.42).


26/30


26

6.9.5 CLCULO DIRECTO DE TIRANTE

Se han propuesto mtodos para reducir al mnimo el nmero de tanteos en la solucin

de la ecuacin (6.40). An ms, tratndose de diseo de canales de seccin rectangular

y trapezoidal, se ha planteado un mtodo para suprimir el mtodo del tanteo y calculardirectamente el tirante teniendo en cuenta ciertos criterios establecidos para el diseo de

la seccin del canal.

El mtodo en cuestin determina directamente la velocidad media en el canal en funcin

del caudal ( ), la pendiente , la rugosidad y de un coeficiente que expresa, en

general, la relacin entre el radio hidrulico y el rea, y en el caso especfico de canales

rectangulares y trapezoidales est en funcin del talud y de un valor que puede ser

determinado previamente.

A seguir, teniendo como modelo la seccin trapezoidal de la figura 6.8, se expone el

desarrollo seguido para la deduccin de las frmulas que plantea el mtodo.

Figura 6.8

Como es sabido, los elementos geomtricos de la seccin trapezoidal son:

rea:

Permetro mojado:

Radio hidrulico:

El rea se puede expresar como

(1)

de donde,

(2)

Si definimos

(3)

la ecuacin (2) toma la forma


27/30


27

(4)

que es una expresin general de en funcin de . La frmula (4) permite determinar el

tirante en funcin de los criterios establecidos para el clculo del canal (criterios dediseo).

Los criterios de diseo de un canal pueden ser diversos. Algunos ejemplos son:

Criterio para canales en tierra y topografa llana,

Criterio de mejor radio hidrulico para canales revestidos en topografa llana,

Criterio para canales revestidos en media ladera.

En general, los criterios estn en funcin de la relacin , en todos los cuales se basa

el diseador para determinar una seccin de canal estable y econmica.

Siguiendo con la deduccin de las frmulas, el permetro mojado se puede expresar

como

(5)

Asimismo, el radio hidrulico puede expresarse bajo la siguiente forma:

(6)

Por otra parte, de (3)

(7)

de donde,

(8)

Sustituyendo (7) y (8) en (6)

(9)

o

(10)

Pero, de (4), ; entonces, el radio hidrulico dado por (10) se expresa como

(11)

Nuevamente, si definimos

(12)

la ecuacin (11) de radio hidrulico queda expresada bajo la siguiente forma sencilla:


28/30


28

(13)

Entones, teniendo en cuenta (13), la frmula de Manning (6.33) se puede escribir como

Pero, de ecuacin de continuidad: , entonces,

de donde,

o

y, reordenando, se obtiene

(14)

Finalmente, si definimos:

(15)

la expresin (14) para toma la forma

o

(16)

que es la frmula que propone el mtodo para el clculo de canales sin recurrir al

mtodo del tanteo, pues se conoce , y . El valor de cuya expresin, teniendo en

cuenta la definicin de dada por (12) es:

(17)

y

(3)


29/30


29

que, para el tipo de seccin analizada, depender del talud , que es dato de estabilidad,

y de , que representa un criterio de diseo que establece la relacin entre el ancho en

el fondo del canal y el tirante de agua, en funcin del talud.

Pero, la expresin ms general de se deduce de las ecuaciones (13) y (15). En efecto,

de donde

(18)

lo que significa que, en general, el coeficiente expresa una relacin entre el radio

hidrulico medio y el rea mojada del canal.

Los valores del coeficiente pueden ser tabulados para los diferentes criterios de diseo

de tirante y los diferentes valores de talud, obtenindose una tabla tal como la mostrada

en la tabla 1 hallada en una hoja de clculo.

A partir de los criterios consignados en la primera columna de esta tabla se calculan los

valores de . As por ejemplo para el criterio , a partir de la ecuacin (9) que

relaciona , y el tirante, se tiene


30/30


30

de donde,

Para los siguientes criterios consignados en la tabla, el valor de se deduce porsimilitud con la ecuacin general de en funcin de [ecuacin (4)]. Por ejemplo, para

el criterio , comparando con la ecuacin (4) , resulta

Ejemplo 6.7: Diseo de seccin de canal

Se desea calcular la seccin transversal de un canal trapezoidal que se construir entierra, sin revestimiento, para un caudal de 8 m3/s. La pendiente del canal debe ser0.0008 y los taludes 1:1.

Solucin

Datos:

m3/s (caudal)(talud lateral de la seccin trapezoidal)

(coeficiente de Manning para canal de tierra)

(pendiente del canal)

(ancho en la base de la seccin trapezoidal)

(tirante normal).

a) Se requiere adoptar un criterio de diseo. Si, por ejemplo, el criterio fuera

(usado para canales en tierra y topografa llana), entonces para talud de 1:1 ( ),

de la tabla 1 se tieneConocido el valor de , se prosigue con los clculos (ver hoja electrnica)

obras hidraulicas_disenho de canal_xi cap

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