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AXIOMA DE LOS NUMEROS REALES
Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación mas aún. Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (por oposición a los postulados).
En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas logicos y postulados
Hay tres tipos de axiomas:
Los axiomas algebraicosLos axiomas de ordenEl axioma topológico.
El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.
AXIOMA DE LOS NUMEROS REALES
La suma se define como sigue: dados dos números en la recta numérica; a, b.
Caso b positivo. a+b es el numero que se obtiene al desplazarse hacia la
derecha b unidades desde aCaso b negativo.
a+b es el numero que se obtiene al desplazarse hacia la izquierda b unidades desde a
Ejemplos.2+2 =4. 2-2=0 . -2 -2 = -4. -2 +1=-1.
AXIOMA DE LOS NUMEROS REALES
El conjunto de los números racionales es expresado como sigue.
Sobre este conjunto la suma es formulada como sigue.
+
a.d Es sumar al numero d consigo mismo a veces.
.
Donde:
.
AXIOMA DE LOS NUMEROS REALESAxioma Algebraicos
AXIOMA DE LOS NUMEROS REALES
Axioma de Orden.
AXIOMA DE LOS NUMEROS REALES
Axioma Topológico.
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente.
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
El manejo de este axioma requiere de ciertos conocimientos en
matemáticas puras.
AXIOMA DE LOS NUMEROS REALES
De estos axiomas mencionados podemos deducir de donde salen los resultados que utilizamos en la vida cotidiana como por ejemplo :
2 + 2 = 4.
5 + 5 = 10.
8 x 2 = 8 + 8 = 16.
3 ≤ 4.
RAZONAMIENTO