numeros reales resumen

7/26/2019 Numeros Reales Resumen

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lgebra IES Complutense

Matemticas 3 de ESO

Tema 2. Nmeros reales Resumen

Conjuntos numricos El conjunto de los nmeros naturales es N = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 17, 18, ...}. El conjunto de los enteros es Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...}

El conjunto de los nmeros racionales es Q=

0;, qZqpq

p

.

Nmeros irracionales. Son todos aquellos que no pueden ponerse en forma de fraccin (comoraznde dos nmeros enteros).

Ejemplos:Son irracionales los siguientes nmeros: 2 ; 7 ; 1,2345; .

Nmeros realesTodos los nmeros anteriores se llaman reales. Por tanto, el conjunto de los reales, R, es unasucesiva ampliacin de los dems conjuntos numricos, cumplindose que: N Z Q REl siguiente esquema es ms preciso:

esIrracionaliosFraccionar

Negativos

NaturalesEnteros

RacionalesReales

Nmeros reales y nmeros decimalesLos nmeros racionales (fraccionarios o no) pueden siempre escribirse en forma de nmerodecimal. Para ello, basta con dividir el numerador entre el denominador. (El nmero de cifrasdecimales puede ser 0, algunas o infinitas de tipo peridico.) Por tanto, una fraccin puedeconsiderarse como un nmero decimal.

Ejemplos:5

3= 0,6;

8

3= 0,375;

5

12= 2,4; 0,3

8

24= ; 23,0

100

23= ;

3

2= 0,666

Fracciones y nmeros decimales.Al dividir el numerador entre el denominador suele obtenerse un nmero decimal. Por tanto,una fraccin puede considerarse como un nmero decimal.

Ejemplos:8

3= 0,375;

5

12= 2,4; 23,0

100

23= ;

3

2= 0,666; ...0121212,1

990

1002=

Y al revs, los nmeros decimales (con un nmero finito de cifras decimales o con infinitascifras decimales peridicas) pueden escribirse como una fraccin.

Para expresar un nmero decimal exactoen forma de fraccin se suprime la coma y se dividepor la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hubiera.

Ejemplos:0,78 = 100

78

; 3,2 = 10

32

; 0,375 = 1000

375

.

Para expresar un nmero decimal peridico en forma de fraccin se hace lo siguiente:1. Se multiplica el nmero peridico por la unidad seguida de los ceros necesarios para que elprimer periodo pase delante de la coma decimal.2. Se multiplica el nmero peridico por la unidad seguida de los ceros necesarios para que elprimer periodo empiece detrs de la coma decimal.3. Se restan ambas expresiones. La fraccin se obtiene despejando.


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Ejemplos:

a) Sea ...0145454545,3=n 1. Se multiplica por 10000 10000 n= 30145,45452. Se multiplica por 100 100 n= 301,4545

3. Se restan ambos nmeros

9900 n= 29844

9900

29844=

n .b) Sea ...5555,3=n 1. Se multiplica por 10 10 n= 35,55552. Se deja como est n= 3,5555

3. Se restan ambos nmeros 9 n= 32 9

32=n .

Por ltimo, los nmeros irracionales pueden considerarse como nmeros decimales coninfinitas cifras decimales no peridicas. Estos nmeros no pueden escribirse en forma defraccin.Ejemplos:

0,12345678910; 1,414213562... = 2 o = 3,14159265..., que por tanto no son nmerosracionales y no pueden ser escritos en forma de fraccin: no son cociente de nmeros enteros.

ErroresEl nmero que designa la cantidad de una cosa es imposible medirlo con total exactitud. Sueledarse aproximado, aceptando cierto error. Por ejemplo se aproxima por 3,14 o por 3,1416.El redondeo es la forma ms frecuente de aproximar nmeros.La diferencia entre el valor exacto y el aproximado es el error absoluto.El cociente entre el error absoluto y el valor exacto es el error relativo.

Representacin de nmeros reales en la rectaPara representar exactamente un nmero racional, por ejemplo 5/7, se dibuja un segmentoauxiliar (con origen en 0) y sobre l, con un comps, se llevan siete segmentos iguales; uniendoel ltimo punto con 1 y trazando paralelas se divide la unidad en 7 partes iguales, de 1/7 cadauna. La quinta marca indica el punto exacto correspondiente a 5/7. (Esto es as por el teorema deTales.)


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Para representar exactamente, por ejemplo, 2 en la recta se construye un tringulo

rectngulo de catetos 1 y 1. Su hipotenusa valdr 2 , pues 211 22 =+ Con un compsse traslada esa magnitud a la recta.

De manera anloga se procedera con 5 o con otras races similares.

Intervalos. Son subconjuntos de la recta real.Intervalo abierto (a, b) = todos los nmeros reales que son mayores que ay menores que b: (a, b) = { }bxax

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