numeros reales

Matemática Básica Tema: Números Reales

Ing. Victor Yujra Ccuno 1

1 ALGEBRA ELEMENTAL

En este capitulo corresponde estudiar el álgebra. Sin embargo, queremos señalar que el álgebra esmucho mas amplio de lo que tratamos aquí, por lo que el titulo lo designamos álgebra elemental..Este álgebra nos servirá como base para poder entrar de lleno a los conceptos de relaciones,funciones, geometría analítica y el cálculo diferencial e integral.

1.1 EXPRESIÓN ALGEBRAICAEs el conjunto de letras, de números o de letras y números enlazados entre si por los signos de lasoperaciones matemáticas.

Cada uno de los componentes de una expresión algebraica se llama término algebraico. Al factorde un término algebraico se le llama coeficiente del factor.

Ejemplo: ( ) ( ) ( ) abcbaccabcbacba 6333 222333 +++++++++Términos semejantes: Difieren únicamente en sus coeficientes.

Ejemplo: 325 xy− ; 3210 xy ; 23 yx

Monómio: Consta de un solo termino Ejemplo: 3210 xy

Polinomio: Consta de dos o más términos. Ejemplo: ( ) abcbacacba 633 22333 ++−+++Binomio: Consta de dos términos. Ejemplo: ca +Trinomio: Consta de tres términos. Ejemplo: 323 310 xyxxy −−−

1.2 IDENTIDAD DE POLINOMIOSSean dos polinomios definidos por:

( ) 00

11

11 ... xaxaxaxaxP n

nn

n ++++= −− siempre que 0≠na

( ) 00

11

11 ... xbxbxbxbxQ n

nn

n ++++= −− siempre que 0≠nb

Los polinomios ( )xP y ( )xQ se dicen que son idénticos si y solo si los coeficientes quecorresponden a la misma potencia de x de los polinomios son iguales. Es decir:

( ) ( ) ii baxQxP =↔≡ , para todo Rx ∈

Por ejemplo: Sea ( ) 12 += xxP y ( ) ( ) ( )23 −+−= xBxAxQ . Hallar BA + , si se sabe que

( ) ( )xQxP ≡ .

Solución:

Como son polinomios idénticos, entonces:

( ) ( )2312 −+−=+ xBxAx

( ) ( )BAxBAx 2312 +−+=+

igualando los coeficientes: BA +=2 y ( )BA 231 +−=Resolviendo el sistema de ecuaciones, resulta que 5−=A y 7=B

Luego, 2=+ BA



1.3 FRACCIONES RACIONALESSe sabe que toda función racional puede ser expresada como ( ) ( )xQxP , llamándose a estafracción racional y sabiendo que P(x) y Q(x) son polinomios. Una fracción racional se denominapropia si el grado absoluto de P(x) es menor que el grado absoluto de Q(x) y se denominaimpropia en el caso contrario.

Los tipos de fracciones propias se puede clasificar en:

I.ax

A

−

II.( )max

A

−siendo “m” entero y mayor que 1

III.qpxx

BAx

++

+2

cuando el trinomio de segundo grado no tiene raíces reales, es decir:

024 ⟨− pq

IV.n

qpxx

BAx

++

+

2para “n” entero y mayor que 1. El trinomio de segundo grado no tiene

raíces reales, es decir 024 ⟨− pq

1.4 CONVERSIÓN DE FRACCIONES RACIONALESMEDIANTE EL DESARROLLO DE FRACCIONES SIMPLES

Para ello se siguen los siguientes pasos:

Se reconoce la fracción. Si la fracción es impropia, divida y separe la parte entera de lafraccionaria. En la parte entera se desarrolla con los métodos que ya conocemos y la fraccionaria(ahora racional) se trabaja como indica el paso (2).

( )( ) ( ) ( )

( )xQ

xPxM

xQ

xP 1+= ; Donde M(x) es la parte entera es un polinomio y( )( )xQ

xP1 es

la parte fraccionaria (fracción racional propia).

1. Descomponga el polinomio Q(x) en factores lineales y cuadráticos:

( ) ( ) ( )

++

++−−= qpxxn

qpxxaxmaxxQ 2.....2...........

teniendo qpxx ++2 raíces conjugadas complejas

<− 024 pq

2. Desarrolle la fracción racional propia en fracciones simples:

( )( ) ( ) ( ) ( ) +

−

++

++

++

+++

−++

−−+

−=

12

22

2

11.........1

211n

qpxx

CB

nqpxx

CxB

axm

A

max

A

max

A

xQ

xP

....2

..... +

++

+++

qpxx

nC

nB

3. Finalmente calcule los coeficientes indeterminados:



,...,,...,2

,2

,1

,1

,...,,...,2

,1 n

Cn

BCBCBm

AAA

Problemas: Descomponer en fracciones simples las siguientes fracciones:

1)22

75233

+

+++

x

xxx

2) ( )( )( )4.2.1

622

−−−++

xxx

xx

3)( ) ( )331

12

+−

+

xx

x

4)2

12

23

+

−

x

xx

5) ( )1

1

+xx

6) ( )( )321

1

−+ xx

7)xx

x

−

−34

13

8)6116

423 ++++

xxx

x

9)16284

15

+−

+

xx

x

10)( )51

2

−x

x

11)xx

xx

43845

−

−+

12)5264 ++ xx

x

13)1212

−

+

x

x

14)( )

+++

++

12.2

322

xxx

xx

15)

+

+212

221

xx

x

16)( ) ( )2.31

51821735

−−

−+−

xx

xxx

17)

−83

1

x

18)814

13

−

++

x

xx

19)2

22

1

− xx

20)

+

+

+

92.12

1

xx

x

21)4422

+

+

x

x

22)342

2

+− xx

dxx

23)( )

++

+

++

522.42

12.1619

xxx

xx

24) ( )( )( )431

914122

−+−−+xxx

xx

25)xxx

xxxx

435542933426

+−

+−+−

26)2234 +− xx

x

27)2322 −− xx

x



28)6254

522

+−

−

xx

x

29)

++

+−

122

232

xxx

xx

30)48253

2

+++ xxx

x

31)( )42

511263

−

−+−

x

xxx

32)( ) ( )2422

2

++ xx

x

33)( )

+−−

+−

xxxx

xx

32431

322

34)( )223

4223

−

+−

xx

xx

35)3

12

123

−

+

x

x

36)

+12

1

xx

37)( )

+−−

−−

5221

3322

xxx

xx

38)41

2

x

x

−

1.5 CONVERSIÓN DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADOCON RAICES CONJUGADAS COMPLEJAS EN UNA SUMAO DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Consiste en expresar el polinomio de segundo grado en una suma o diferencia de cuadradosperfectos tratando de formar un binomio de segundo sumando o restando una cantidad especifica.

Por ejemplo: Convertir el trinomio de segundo grado de raíces complejas en una suma odiferencia de cuadrados perfectos: 322 ++ xx

Descomponemos el numero 3: 2122 +++ xx

Con el trinomio 122 ++ xx formamos un binomio al cuadrado: ( )22 112 +=++ xxx

Y finalmente el numero 2 lo expresamos como: ( )22

Resumiendo:

( ) ( )2222 2121232 ++=+++=++ xxxxx

Problemas: Convertir los siguientes trinomios de segundo grado de raíces complejas en unasuma o diferencia de cuadrados perfectos:

1. 2968 xx −+

2. 1032 −+ xx

3. 234 xx −−

4. 5424 ++ xx

5. 12 ++ xx



1.6 PRODUCTOS NOTABLES:Son expresiones algebraicas que son muy útiles para la solución de los diversos problemas demultiplicación y factorización de las expresiones algebraicas. Las mas conocidas son:

• Binomio al cuadrado: ( ) 222 2 bababa +±=±

• Diferencia de cuadrados: ( )( )bababa −+=− .22

• Producto de dos binomios: ( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2

( )( ) ( ) bdxbcadacxdcxbax +++=++ 2

• Binomio al cubo: ( ) 32233 33 babbaaba ±+±=±

• Suma y Diferencia de Binomios: ( )( )2233 babababa +±=±

• Trinomio al cuadrado: ( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++

• Trinomio al cubo:

( ) ( ) ( ) ( ) abcbaccabcbacbacba 6333 2223333 +++++++++=++

PROBLEMAS

1. Sumar: ( ) ( ) ( )323323323 32153104312 xyxxyxyxxyxyxxy −+−+−−−+−+

2. Operar: ( ) ( ) ( )[ ]xzyzyxxzyzxyxzyzxy 4322432 −+−+−−−−+−

3. Hallar el resultado de : ( ) ( ) ( ) ( )243522325432 ... zxyxyzxzyx

4. Se tiene 3 términos consecutivos de un polinomio ......... 45 yGxyFxyEx abba ++ . Si elpolinomio es homogéneo, ¿cuanto es ba + ?

5. Si .......753...... 341 caba yxyxyx ++ − son términos consecutivos de un polinomio homogéneoy ordenado en forma decreciente respecto a “x”, ¿cuál será el valor de a + b + c?

6. Hallar el valor numérico de M si 2;31;2

3 −==−= zyx

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )yxxzzy

xy

yzxz

xy

xyzy

zx

zxyx

yzM

++++

+++

+++

++= 2

7. Hallar el valor numérico de E si 3;3;1;2 −===−= cbax

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )bcac

bxax

abcb

cxax

caba

cxbxE

−−+++

−−+++

−−++=

8. Si el polinomio qpxnxmx +++ 23 se anula para x = 0 y para x = 1. Hallar el valor de m + n+ p – q

9. Hallar A – B si ( )( ) 2121

15

++

−=

+−+

x

B

x

A

xx

x

10. Si14

9;

3

4 ==t

r

n

m, hallar el valor de

mrnt

ntmr

74

3

−−

11. Calcular el valor numérico dea

a

a

a

211

21

211

21

+−−+

+++

para4

3=a



12. Calcular1

162

2

−+−=

a

aaE para 83 +=a

1.7 TEORÍA DE EXPONENTES:Son leyes de los exponentes que deben de cumplir con las siguientes operaciones:

• La multiplicación: zyxzyx aaaa ++=..

• La división: yxy

x

aa

a −=

• Si el exponente es cero, entonces: 10 =a

• Si el exponente es negativo, entonces:n

n

aa

1=−

• Si el exponente es potencia de una potencia, entonces: ( ) pmpm aa .=

• Si el exponente es potencia de un producto, entonces: ( ) ppppp dcbadcba ...... =

• Si el exponente es potencia de una división, entonces:p

pp

b

a

b

a =

• Si una fracción esta elevado a un exponente negativo, entonces:p

pp

a

b

b

a =

−

• Si el exponente es fraccionario, entonces: n pnp

aa =

• Si una cantidad esta afectada por varios radicales, entonces: cba pa b c p xx ..=

PROBLEMAS

1. Hallar el valor de3

2xx si 3 3=x

2. Si +∈ Rx , calcularlo a partir de 8

4 8

222 −

=+xxx

3. Calcular el valor de “x” en :a) 69444 134 =++ −−− xxx

b) 36333333 4321 =++++ −−−− xxxxx

c)5254

251254 =

x

x

d) 322222 =

x

e) 177

=+x

f) 242 257 −− = xx



g) ( )5555 =xx

h) 10432 1111

... aaaaa x =−−−−si 1>a

4. Simplificar:5

2

2

2

2

333

22

3

2

42

−

−

p

nqm

pn

qm

qp

mn

5. Simplificar:( )

( )3

4

22

222+

+ −n

nn

6. Ejecutarm mx

mm

mxmmx 21111

++

+−

7. Simplificar:

+−

+ 3 423 22.3 23 4

8. Si 321 =

+

rr , entonces ????

313 =+

rr

9. Si ( ) 2163;2 =+=+ yxxx yx . Calcular x6

10. Si 32

;38

xyxyyyxx =+=+ . Luego ??=+ yx

11. Ejecute:4.

4 4816.5 10

yxx

12. Efectuar: 1124122122 +

+

−

+

nnn

2 FACTORIZACION

Factorizar un polinomio es transformarlo en otro equivalente que esta expresado en el productode dos o mas factores.

Existen muchos métodos para factorizar, los cuales al usarlos siempre nos dará el mismoresultado.

2.1 METODO DEL FACTOR COMUN MONOMIOExtraemos el factor común monomio de los coeficientes (M.C.D.: Máximo Común Divisor)seguido de la parte literal (variable) común con su menor exponente. Cada sumando se divideentre el factor común.

Nota: Los factores comunes son monomios. El factor común también puede ser un binomio,trinomio o un polinomio de "n" términos.



2.2 METODO POR FACTORIZACION DE IDENTIDADES

2.2.1 Trinomio de la forma: psxx ++2

Se lleva a una expresión de la forma: ( )( )bxax ++ donde:

El signo de a es el mismo del coeficiente de x y el signo de b resulta de multiplicar el signo delcoeficiente de x por el signo del termino independiente.

Si a y b resultan ser de dos signos iguales, se buscara dos cantidades tales que sba =+ ypba =. .

Si a y b resultan ser de dos signos diferentes, se buscara dos cantidades tales que sba =− ypba −=. .

PROBLEMAS:

1. 44152 +− xx

2. 16152 −+ xx

3. 45 1020 +− xx

2.2.2 Diferencia de cuadrados: ( )( )bababa −+=− 22

Extraemos la raíz cuadrada de los términos individualmente.

Una vez obtenidos las raíces obtenemos la expresión factorizada que consiste en la suma de lasraíces por la diferencia de la misma.

PROBLEMAS:

1. 22 916 yx −

2. ( ) ( )22 dcba −−−

3. ( )24 139 −− xx

4. la diferencia de los cuadrados de dos números es 56 y la diferencia de los mismos es 7¿cuál es la suma de los números?

5. Si 8549 =− yx y 1723 =+ yx . Encontrar x

6. Si 4222 =+− zyx y 2=++ zyx . Hallar yx −

2.2.3 Trinomio cuadrado perfecto: ( )222 2 bababa ±=+±

Comprobar si se tienen dos cuadrados perfectos y positivos.

Extraiga la raíz cuadrada de estos términos.

Verificar que el tercer termino sea el doble del producto de estas raíces.

La expresión factorizada será igual al cuadrado de la suma o diferencia de estas raíces de acuerdoal signo del tercer termino.

PROBLEMAS:

1. 1682 ++ xx

2. 22 254016 nmnm +−3. 1222 −+− xxy



2.2.4 Suma y resta de una cantidad para completar una identidadConsiste en descomponer el termino independiente en una suma de tal manera que se encuentreun binomio al cuadrado.

PROBLEMAS:

1. 4224 bbaa ++2. 41536 24 ++ xx

3. 444 yx +

4. 44 +x

5. yyxx 24 22 −−+

6. 4224 34 yyxx ++

2.2.5 Suma y diferencia de cubos: ( )( )2233 babababa +±=±

Se extrae la raíz cubica y se plantea el producto del factor binomio por factor trinomio de acuerdoa la identidad.

PROBLEMAS:

1. 278 3 −a

2. 33 12564 yx −

2.3 FACTORIZACION POR AGRUPACIÓN DE TERMINOSSe agrupan los términos tal que se consiga una identidad o que se consiga un factor común en losdiversos grupos.

PROBLEMAS:

1. yyxx 24 22 +−+

2. ( ) ( ) 1133 −−−++ yxxyyx

3. ( ) ( )222222 4 byaxyxba +−−+−

4. axxabx −+− 2

5. 3223 253 yyxyxx −+−+

6. ( ) ( )2222 baxyyxab +++

7. 222221 cbabca −−++−

2.4 FACTORIZACION POR EL METODO DEL ASPASe emplea para expresiones de la forma: cxax nn ±±2

Se ordena el polinomio de acuerdo a las potencias de una de las variables.

Se descomponen los términos extremos cada uno en el producto de dos factores.

Se verifica que el producto en aspa coincida con el termino central. En caso que el producto nocoincida habrá que hacer nuevos tanteos.



PROBLEMAS:

1. 3103 2 ++ xx

2. 8307 2 +− xx

3. 12 2 +− xx

4. ( ) ( ) ( )yxyxyx −−−−− 223

2.5 EXPRESIONES QUE SE REDUCEN A LA FORMA psxx ++2

Asociamos los factores de dos a dos buscando que la parte literal de ambos productos sea lamisma (sume los términos independientes de dos a dos hasta que resulten números iguales)

PROBLEMAS:

1. ( )( )( )( ) 1124211 −−−+− xxxx

2. ( )( )( )( ) 154321 −++++ xxxx

3. ( )( )( ) 5532 ++++ xxxx

4. ( )( )( ) 77431 −++− xxxx

5. ( )( )( )( ) 995432 −−−−− xxxx

6. ( )( )( ) 7642 +−−− xxxx

PROBLEMAS DE FACTORIZACION

1. Efectuar: ( )( )( )( )2222 aaxxaaxxaxax +−+++−

2. Efectuar: ( )( )( )4321331 422 −−−+−+ xxx

3. Descomponer en dos factores: ( ) ( )11 22 −−++− mnnnmm

4. Descomponer en dos factores: ( )( ) 111 −−+−+ rrba

5. Expresarlo en su manera mas simple:

1) ( )( )32233223 2222 yxyyxxyxyyxx −+−+++

2) ( )( )884884 2323 +++−+− xxxxxx

3) ( )( )( )4321331 422 +−−+−+ xxx

6. Demostrar que: ( )( )( ) ( )22 131321 ++=++++ xxxxxx

7. Hallar el valor de:( )( )( )

( )( )( ) 431211

1321

xxxx

xxxxE

++++

++++=

8. Simplificar ( ) ( )4 424 4222 cnmbnmnama −+−+−

9. Factorizar:

a) 42 22 −++ yxyx

b) nyamyanxamxa 2222 4284 −−+

c) 1032 −+ xx

d) xx 1674 2 −+



e) 2142 −− xx

f) 454 ++ xx

g) 232 2 −+ xx

h) 4254 22 +−− yxx

i) 321 myymy −−+

j) ( )2222224 zyxyx −+−

k) 22 49 vu −l) 8662 22 +−++− yxyxyx

m) 3223 8126 yxyyxx +++

n) 2244 7 baba −+o) 53288 xxx −+−p) ( )( )( )( ) 995432 −−−−− xxxx

q) 23632 234 +−−+ aaaa

r) 4332 22 −−−++ bababa

3 FACTORIAL

Es el producto de todos los números consecutivos desde la unidad hasta el que nos dan inclusive.

Simbología o !El factorial de un numero se puede descomponer en función del factorial de otro numero menorpor los consecutivos.

Ejemplo: !345!5 xx=

Ejemplo:2

5

2!4

!45

!2!4

!5==

Propiedades:

1!0 =

( ) ( )1!!1 +=+ nnn

Problema: Hallar ( ) ( )2!3

!

−−=

nn

nnE

4 RADICALES

Las partes de un radical son:



4.1 Suma de radicalesPara sumar radicales semejantes se suman algebraicamente los coeficientes.

4.2 Extracción e introducción de un factor de la cantidad subradical

Si tenemos una expresión c ba yx , entonces podemos extraer cantidades de la cantidad subradical

afectada por su exponente. Se debe cumplir que cbya ≥ y dividimos el exponente de la

cantidad subradical por el índice. Para introducir se debe multiplicar el exponente de la cantidad aintroducir por el índice del radicar.

4.3 Transformación de radicales a un índice comúnPrimeramente encontramos el MCM de los índices. Luego dividimos el MCM entre cada uno delos índices. El coeficiente resultante pasa a ser exponente de la cantidad subradical.

4.4 Producto o división de radicalesSi los índices son iguales se procede a multiplicar las cantidades subradicales. Si los índices sondiferentes se procede a darles común índice.

4.5 Descomposición de radicales dobles a radicales simplesUn radical doble es un radical que en la que la cantidad subradical contiene a otro radical en una

suma. Establecemos que yxba ±=± donde2

max

+= ;2

may

−= ; bam −= 2

4.6 Descomposición en radicales simples de expresiones de la formadcba +++ .

Establecemos la siguiente igualdad: zyxdcba ++=+++ donde zyxa ++=xyb 4= xzc 4= yzd 4=

Cuando la expresión es dcba −−+ se procede de manera similar, estableciendo la

siguiente igualdad: zyxdcba −+=−−+ donde zyxa ++= xyb 4=xzc 4= yzd 4=

x

ba

Indice delradical Cantidad

subradical

exponente



4.7 Radicales de segundo orden

Cuando la expresión tiene la forma:cb

a

+, se multiplica el denominador por su conjugada

cb − . Esta misma cantidad se multiplica al numerador para que la expresión no se altere,obteniendo finalmente en el denominador una diferencia de cuadrados. Es decir:

( )cb

cba

cb

cb

cb

a

cb

a

−−=

−−

+=

+

Si la expresión tiene la formadcb

a

++, se procede de la misma forma anterior

considerando a la conjugada dcb −+

PROBLEMAS1. Transformar en suma de radicales simples:

1) baba 22 ++

2) ( )rnmrnm ++++ 2

3) 44 ..2 baba ++

4) ( ) ( )bcbbcacba −+−+++ 2322

2. Ejecute:8.

3 7 2 32

ba

3. Reducir: xxxxx

4. Racionalizar los siguientes problemas:

PROBLEMAS DE ALGEBRA

1. En una división exacta, el dividendo es 44 yx − y el cociente es 3223 yxyyxx +++ . Hallarel divisor.

2. Si el polinomio baxx ++ 24 es divisible por 12 +− xx . Hallar los valores de a y b.

3. Si se divide ( ) ( ) baxbpxbnapxbmanamx +÷+++++ 23 . ¿cuál será el resto?

4. Si el resto de la división 14102 2234 ++÷++−+ xxbaxxxx es 76 +x . Hallar el valor de a.

5. ¿Cuál es el resto de la división( )[ ] ( ) ( )[ ] 22242222324 4341234 cxaxcxcbaaxbaaxbaax −+÷−++++−+−+ ?

6. Si el polinomio 134 ++ BxAx es divisible por ( )21−x , Hallar A – B.

7. Determinar los valores de “p” y “q” sabiendo que qpxxx ++÷+ 24 1 es una divisiónexacta.

8. Si 122 +− aa es un factor de 1234 +−− aaa . Hallar el otro factor.

9. Dado el polinomio homogéneo xaxaxP 3224 83 +−= , calcule el polinomio que debeagregarse a P para que resulte otro polinomio completo y homogéneo y cuya suma de



coeficientes sea 11 y tal que cada coeficiente introducido sea igual al siguiente mas 3unidades.

10. Si ( ) ( ) ( )1223)( ++−+−+−++−+= bacxcbaxcbaxP es un polinomio idénticamente nulo. CalcularcbaE 432 +−=

11. El polinomio 3223 ´3 bCabbCaaP +−+= tiene 2 coeficientes indeterminados C y C´, cuyadiferencia en el orden citado es 1. Hallar P sabiendo además que su valor numérico para a = 1y b = 2 es 21.

12. De un juego de 32 cartas, se sacan primero x cartas y 3 más; la segunda vez se saca el doblede lo que había retirado la primera vez y 4 más. Exprese lo que queda.

13. Simplificar:vecesnxxxx

vecesnxxxxnnnn

nnnn

E)4........(...

)2(.............3333

1111

++= −−−−

−−−−

14. Simplificar:vecesnxxxx

vecesnxxxxnnnn

nnnn

E)1........(...

)3(...........2..1111

2222

++= ++++

++++

15. Simplificar:

1)22

2

ba

aba

−+

2)33

22

yx

yx

+−

3)23

23

32

++−−

xx

xxx

4)

+

+

n

m

mnm

nnm

23

23.3

.3

5)

++

+−+

110.110

110.10.10xyy

yxyyx

6) ( )( )( )( )nnnn −−+ 121 56152

7)3

23

323

490.45.80

75.98.12

8))7(11

)17(3527n

nn −−+

9)nnn

n

21222

)2(5

−+−+

10))32(2

)2(242+

−+

n

nn

11)mnxnmx −+

+−+ 1

1

1

1

12))3(

3

13

)23(3)3(5

nn

nn

−

−−

13)3222 )2()(-3ab

3)b2)2(-ax2y(-2xy)3(3a

xy

14)1

2

11 2 −+

−−

+ mm

m

m

m

15)1

2

1

1

1

23

2

2 −−−

++++

− a

a

aa

a

a

16)

x

11

11

+−

17)( )( )

( ) ( )

31

27

3

21

11

1

22

−−−

−+−−+

−−

−

xbxa

xbxbxa

xa

18)

x

xx

−++

+

1

11

11



19)

x

xx

x

xx

xx

++

++

−+++

11

1

1)1(

122

2

20)

2/122/12

2

2/122

41

2

)4(1

)4(228

−

+−

−

−+−

xx

x

xx

16. ¿Cuál es la suma de los factores de 12 −−− yxyx ?

17. Calcular:n

am −si ( )aiaanim 24342 ++++=+

5 ECUACIONES

Una ecuación es aquella igualdad de dos expresiones algebraicas a las que llamaremos primer ysegundo miembro.

Algunas propiedades de las ecuaciones son:

• Si se suma, resta, multiplica o divide una cantidad independiente de las variables a unmiembro, se hará la misma operación con la misma cantidad al otro miembro.

• Si se multiplica o se divide a ambos miembros una expresión que contenga la variable, laecuación resultante puede tener una o más raíces las cuales habrá que identificar.

• Si se eleva a una misma potencia a los dos miembros, la obtenida no es equivalente a laprimera puesto que se generan soluciones extrañas.

• El valor o valores que tomara una variable en una ecuación se llamaran raíces de la ecuación.

5.1 ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO

Con una variable:

Esta denotado por: 0=+bax siendo baya ,;0≠ constantes arbitrarias.

La solución está dada por:a

bx

−= ; lo cual es una solución finita y única.

Esta solución tomara el nombre de “Raíz de la Ecuación Lineal”.

Por ejemplo: Si se tiene una ecuación ( ) 073397 =++−−−= xxxxxf , entonces su raízserá –1, ya que para 1−=x la ecuación se cumple.

PROBLEMASResolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una variable:

1. xxxx 73397 −−=−−

2. 93

14

5

13

2

7

3

12 −−=− xxxx

3.3

122

7

3127

−−=−−− xxx

4. 2=−−+a

bx

b

xa

5.23

735

52

58

++−=

++−

x

x

x

x

6.x

x

x

x

x −=

−++

+ 42

2

2

6 2



7. ( ) ( ) ( ) 81222 233 −−=−−+ xxxx

8. ( )( ) ( ) ( )2534325 xxxx −=−−++

9. ( ) ( ) ( ) 020352743 =++−−+− axaxxa

10. ( ) ( ) ( )( ) ( )222 1123612513 −=+−++−− xxxxx

Con dos variables:

Si el sistema tiene dos ecuaciones como321

321

bybxb

ayaxa

=+=+

, entonces puede resolverlos con los

métodos siguientes:

1. METODO DE REDUCCION O ELIMINACION: Las ecuaciones se suman paraeliminar una de las variables y encontrar su equivalencia.

2. METODO DE CRAMER: Consiste en trabajar con determinantes de tal forma que:

23

23

bb

aax =∆

31

31

bb

aay =∆

21

21

bb

aaS =∆

para que finalmente se obtenga los valores de las variables mediante

S

xx

∆∆=

S

yy

∆∆=

3. METODO GRAFICO: Una ecuación de primer grado puede ser graficado en un planocartesiano XY como una recta. Para encontrar la solución, se hace la gráfica de las dosecuaciones en el plano cartesiano XY y las coordenadas del punto de intersección deestas dos rectas viene a ser la solución del sistema

PROBLEMASResolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos variables:

1.935

1323

=−=+

yx

yx

2.1446

1323

=+−=+nm

nm

3.923

2

=−=−yx

yx

4.0756

0434

=++=++

yx

yx

5.93

112

=−=+

yx

yx

6.16.07.03.0

54.02.05.0

=−=+

ba

ba

7.6615

3264

=+=−

yx

yx

8.92433

61622

=−=+

yx

yx

9.

6

1743

064

−=−

=+

yx

yx

10.( )( ) 5/37

3/24

=+=+

yx

yx



11.( )( ) 8513/18

537/12

−=−=+

yx

yx

12.4

2

3

3

7

22

1

3

1

=−

−−

=−

+−

yx

yx

13.

( )

( )1

53

13

254

2425

523

=

+

+

−=−−

y

yx

yx

yx

Con tres variables:

Si el sistema tiene ecuaciones como

4321

4321

4321

czcycxc

bzbybxb

azayaxa

=++=++=++

, entonces puede resolverlos con

los métodos siguientes:

1. METODO DE REDUCCION O ELIMINACION: Las ecuaciones se suman paraeliminar una de las variables y encontrar su equivalencia.

2. METODO DE CRAMER: Consiste en trabajar con determinantes de tal forma que:

324

324

324

ccc

bbb

aaa

x =∆

341

341

341

ccc

bbb

aaa

y =∆

421

421

421

ccc

bbb

aaa

z =∆

321

321

321

ccc

bbb

aaa

S =∆

para que finalmente se obtenga los valores de las variables mediante

S

xx

∆∆=

S

yy

∆∆=

S

zz

∆∆=

PROBLEMASResolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres variables:

1.

6774

9265

423

−=−+=+−

−=++

zyx

zyx

zyx

2.

9

4

2

=+=+=+

xz

zy

yx

3.

110119

91112214

32172337

=−+−−=−−−=+−

zyx

zyx

zyx

4.

13542

15

1442

=+−=−−

=−+

zyx

zxy

zyx



5.( )

( ) 432/

32

13

675

=+−+

=+−

−

=++

x

zyx

zyx

xz

yx

yx

6.

10

3354

20

143

4

132

=+

=+

=+

xz

zy

yx

7.

6

712

3

221

6

721

=+

=+

=+

zx

zy

yx

Problemas

Encontrar el valor de “x” y “y” en

==

7y9- x8

5y7- x6

Solución:

1er Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un “número” (resultado del m.c.m. entre ellos),para igualar el valor numérico de los coeficientes de la incógnita “x” en las 2 ecuaciones.

⇒

==

3) x(7.....y9- x8

4) x(5.....y7- x6

==

21y27- x24

20y28- x24

2do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas "x"; luego resolvemos laecuación.

1y

1y

21y27 x24-

20y28- x24

=−=−

+=+=

3er Paso: Reemplazamos la incógnita el valor encontrado de la “incognita y", en cualquiera delas 2 ecuaciones para obtener el valor de la “incógnita x"; o bien se calcula está incógnitarepitiendo los pasos anteriores.

2x12 x6

75 x657- x657(1)- x65y7- x6

=⇒=+=⇒=⇒=⇒=

Por último; los valores de “x” y “y” que cumplen esta condicion son 1y2x =∧=

Encontrar el valor de “x” y “y” en

==+

13y- x3

9y2x

Solución:

1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de una de las ecuaciones dadas.



y2-9 x9y2x =⇒=+2do Paso: Reemplazamos la incógnita "x", en la otra ecuación dada; para obtener el valor de laincógnita "y".

2=y

3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en la 1ra expresión obtenida; para obtener el valor dela incógnita "x".

( ) 4922929 −=−=−= yx

5=x

Por último; los valores de “x” y “y” que cumplen esta condición son 2y5x =∧=

5.2 PROBLEMAS QUE SE RESULVEN USANDO VARIABLESY ECUACIONES

En las matemáticas como en las otras ciencias, existe una gran cantidad de problemas que seresuelven usando ecuaciones de primer grado con una o mas incógnitas. Esta o estas incógnitasserán las variables que representaremos por letras. Luego se tiene que traducir algebraicamentelas condiciones del problema obteniéndose la ecuación de primer grado con una incógnita o masincognitas.

Problemas desarrollados:1. La longitud de una habitación es el triple de su ancho. Si aumentamos 2 metros al ancho

y disminuimos 5 metros a su longitud, el área de la habitación es la misma. Calcular lasdimensiones de la habitación.

Solución:Como la longitud de la habitación es el triple de su ancho definimos que el ancho es “x”,entonces la longitud será “3x”. Aquí nos detenemos un momento y afirmamos que el área de lahabitación es: ( )( )xxÁrea 3.= . Continuemos: si aumentamos 2 metros al ancho (es decir “x+2”)y disminuimos 5 metros a la longitud (es decir 53 −x ), el área será la misma (es decir( )( ) Áreaxx =−+ 5.2 )

Como el área no cambia entonces: ( )( ) ( )( )5.23. −+== xxxxÁrea , y esta es una ecuación deprimer grado.

Si resolvemos esta ecuación encontraremos que el ancho es 10 metros y la longitud es 30metros.

2. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo yéste 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años ¿quéedad tiene cada hermano?

Solución:Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". Eneste caso llamemos: x = edad del hermano menor.

( )

7

14y14y

14y72713y713y727

13yy62713yy29313y x3

=⇒=

−=−⇒−=−⇒=−=−−⇒=−−⇒=−



A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos.Será:

3x + : edad del hermano mediano

7 x43x +=++ Edad del hermano mayor

Ecuación: 40,7 x3 x x40;hermanoslosdeedadeslasdesuma =++++=Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:

Edades de los tres hermanos: 17y1310, años.

3. El perro de Alex tiene hoy 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Alex tendrá el triplede la edad de su perro.¿Cual es la edad de Alex y su perro?

Solución:

La edad de Alex es en la actualidad x

La edad del perro es en la actualidad 12-x

Dentro de 4 años la edad de Alex es 4x +La edad del perro dentro de 4 años es 8- x412-x =+Dentro de 4 años la edad de Alex será el triple que la de su perro, resulta la ecuación:

8)-(x34 x =+Resolviéndola obtenemos que 14x =Luego la edad de Alex es de 14 años y la de su perro es 2 años

4. Un depósito esta lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3, el martes se gastan 2/5 delo que quedaba y el miércoles 300 litros. Si aún quedo 1/10. ¿Cuál es su capacidad?

Solución:

El lunes hay x litros , se gasta x2/3 ,luego queda: x3

1x

3

2x =−

El martes hay x1/3 , se gasta x2/15 x)(1/32/5 =El miércoles se gasta l300 y aun queda x1/10

Por tanto: x x1/10300 x2/15 x2/3 =+++Haciendo común denominador queda la ecuación x3x90004x20x =+++Resolviéndola L3000 x =La capacidad del depósito era de 3.000 litros

PROBLEMAS1. Un granjero gana un jornal de S/. 20.00, pero los días que no trabaja solo le pagan S/.

5.00. Si al cabo de 30 días cobra S/. 270.00. ¿Cuántos días no trabajo?.

2. Un alambre de 21 m. Se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de una de ellases las tres cuartas partes de la longitud de la otra. Hallar la longitud de cada parte.

3. Encontrar tres números consecutivos tal que la suma sea igual a 21.

4. Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 36.

5. hace ocho años un hombre tenia 7 veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo 3 vecesla edad de su hijo. Hallar las edades actuales de ambos.



6. Si 1/5 de la edad de Juan se aumenta en un cuarto la edad que tenia hace 10 años,entonces la suma es igual a 1/3 de la edad que tendrá dentro de 10 años. Calcular la edadactual de Juan.

7. Alfonso puede caminar cierta distancia en 20 minutos y Marco puede caminar la mismadistancia en 30 minutos. Si Alfonso parte 5 minutos después que Marco, ¿cuánto tiempohabrá estado caminando B antes que lo alcance Alfonso.

8. Jaimito tiene cierta cantidad de dinero. Si se compra 10 lápices le quedarán 10 soles; sicompra 4 cuadernos le quedaran 20 soles; y si compra 4 lápices y 3 cuadernos lequedaran 10 soles. ¿Cuánto dinero tiene?

9. Una suma de dinero se repartió en cantidades iguales entre cierto numero de niños. Sihubiera habido dos niños mas cada uno habría recibido 1 sol menos; si hubiera habidodos niños menos, cada uno habría recibido 2 soles mas. Hallar el número de niños y lacantidad recibida por cada uno.

10. Si el ancho de un terreno rectangular se aumenta 10 metros y su longitud disminuye 10metros, entonces el área aumenta 400 m2. Si el ancho disminuye 5 metros y la longitudaumenta 10 metros, entonces el área disminuye 50 m2. Calcular las dimensiones delterreno.

11. Un burro recorre cierta distancia con velocidad constante. Si esa velocidad se aumenta en2 Km. por hora, entonces el viaje requiere 1 hora menos; si la velocidad disminuye en 2Km. por hora, entonces el viaje requiere 1 ½ horas mas. Calcular la distancia recorrida yla velocidad del burro.

12. Marcos puede limpiar un establo en 4 horas y Juana puede hacerlo en 12 horas. Juanaempieza el trabajo pero cierto tiempo después lo reemplaza Marcos, necesitando paratodo el trabajo un total de 6 horas. Cuanto tiempo trabajo Juana.

¿Como resolverías este problema?

Dado el sistema:1232

223

−=−+=+ayx

ayx. Determinar el valor de “a” para que “x” valga el doble de

“y”. ¿Es una ecuación de primer grado con una, dos o tres incógnitas?

5.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNAINCÓGNITA

Una ecuación de segundo grado esta denotado por: 02 =++ cbxax , siendo “a” diferente de ceroy donde a, b y c son constantes. También se le conoce como “función cuadrática de x”.La resolución de una función cuadrática consiste en hallar sus raíces. Esta la podemos hacermediante factorización (método del aspa) o usando la “formula cuadrática”.

La fórmula es:a

acbbx

2

42 −±−= , lo cual tendrá dos raíces:21

xyx .

Siendoa

acbbx

2

421

−+−=a

acbbx

2

422

−−−=

TEOREMA 1: En la ecuación 02 =++ cbxax con 0≠a , la suma de las raíces es

abxx −=+ 21 y el producto es a

cxx =21.



Si a la ecuación 02 =++ cbxax con 0≠a , lo dividimos por “a” obtendremos 02 =++a

cx

a

bx

con 0≠a ; si los valores hallados en el teorema 1 los reemplazamos en la ecuación obtenida:( ) ( ) 0. 2121

2 =++− cxxxxxx .

En la formula cuadrática, la expresión acb 42 − se llama el discriminante ( ∆ ) de la ecuación.Este discriminante puede ser mayor, igual o menor que cero.

• Si 0>∆ , las raíces son reales y diferentes.

• Si 0=∆ , las raíces son reales e iguales.

• Si 0<∆ , las raíces son números complejos conjugados.

PROBLEMAS:1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 0232 =+− xx

b) 0123 2 =−+ yy

c) ( ) xx =+− 22 2

d) 11

2

3

1 =+−+

+−

x

x

x

x

e) ( ) 0222 =++− abxbaabx

f) 02 22 =−+− abbxx

g)( )

32

42

1

53

−+=

+−

x

x

x

x

h) ( ) ( ) 12413 22 −+=+ xx

i) 02 222 =++− baaxx

j) 222 44 baaxx =+−

2. La longitud de un cuarto es 5 metros mayor que su ancho y el área es 150 m2. Hallar susdimensiones.

3. Los alumnos de Zootecnia van a pagar una deuda de la facultad de $ 600 en partesiguales. Si hubiera habido 20 alumnos mas, el costo para cada miembro hubiera sido $ 1menos. Calcular el número de alumnos de la facultad.

4. Halla dos números cuya suma sea 12 y cuyo producto es 35.

5. Considerando el teorema, determinar la naturaleza, suma y producto de las raíces, sinresolver la ecuación dada:

1. 0322 =+− xx

2. 41 =+x

x

3. 0442 =++ xx

4. ( ) 11 2 −=+ xx

5.1

13

1

1

+−=

−+

x

x

x

x



6. Determinar el valor o valores de k para que la ecuación dada tenga raíces iguales:

a) 0482 =++ xkx

b) kkxx =++ 82

c) ( ) ( ) kxkxk −+=−+ 2214 2

d) ( ) 021 22 =+−− kkxxk

7. Hallar la ecuación que tenga las raíces indicadas:

1. 4,3

2. 2/3,6/5 −

3. 2,2 −

4. 51,51 −+

5. 22,22 −−+−8. Resolver los siguientes problemas:

a) Hallar el valor de k para que para que el producto de la raíces de la ecuación( ) 0252 2 =+−− kxxk sea 6.

b) Hallar el valor de k para que para que la suma de la raíces de la ecuación( ) 0121122 2 =++− xkkx sea 7.

c) Hallar los valores de a y b en la ecuación: ( ) 031322 =−−+−++ baxbax siambas raíces valen cero.

d) Hallar el valor de k y armar la ecuación si se sabe que la suma de la raíces de laecuación: ( ) 0121122 2 =++− xkkx es 8.

numeros reales

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