numeros reales

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

Direccin Universitaria de Educacin a Distancia

Prof. Arnaldo Ocaa Meja Pgina 1

Clculo Vectorial

Facultad de Ingenieras y Arquitectura

Escuela Profesional de Ingeniera Ambiental

Clculo Vectorial

Mg. Mat - Fs. Arnaldo Ocaa Meja

Semestre Acadmico 2014 -2

Semana 1 Ayuda 1

NMERO REAL

Los nmeros naturales, enteros y racionales

En la educacin secundaria se estudiaron varios conjuntos numricos a saber: el conjunto de los nmeros naturales ( ), el

conjunto de nmeros enteros ( ), el conjunto de nmeros racionales ( ) y el conjunto de nmeros reales ( ). Los nmeros

que bsicamente vamos a trabajar son los reales. Antes de definir los nmeros reales vamos a hacer un breve repaso de los

nmeros ms sencillos.

El primer conjunto * + conocido como el de los nmeros naturales (sin incluir el cero), se identific

intuitivamente como el conjunto con el cual se hacen conteos de objetos. El conjunto de nmeros enteros

* + se introduce como el conjunto que contena a los naturales y a los nmeros negativos de

estos. Este conjunto aparece ante la necesidad de explicar situaciones en las cuales intervienen alturas, temperaturas y

otros fenmenos en los cuales es necesario hablar de cantidades por encima o por debajo del valor cero. El conjunto de

nmeros racionales se introduce como el conjunto de nmeros de la forma , donde , con .

Intuitivamente, se introduce ante la necesidad de hablar de porciones de la unidad tales como la mitad, la cuarta parte,

entre otras. Las cuales no pueden ser representadas en general mediante nmeros enteros. Todo nmero racional tiene la

propiedad de que si se realiza la divisin de por , se obtiene su la expresin decimal.

La suma y el producto de dos nmeros naturales cualesquiera son tambin naturales, pero su diferencia puede no serlo. Si

es un entero la diferencia de dos enteros, el cociente de racionales es racional, pero no lo es, en general, el de dos enteros.

Los tres conjuntos son conjuntos ordenados por la relacin mayor que ( ).

Con palabras matemticas, y refirindonos al mayor de los tres conjuntos, se dice que es un cuerpo ordenado, es decir,

que satisface las siguientes propiedades ( ):




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Axiomas de cuerpo:

Axioma de cuerpo

existen dos operaciones ( ) y ( ) que cumplen:

1. se tiene que

2.

3. ( ) ( )

4. elemento neutro respecto a ( ) talque se cumple que

5. elemento inverso aditivo de talque se cumple que ( )

6. se tiene que

7.

8. ( ) ( )

9. elemento neutro respecto a ( ) talque se cumple que

10. elemento inverso multiplicativo de talque con se cumple que ( )

11. Se cumple la propiedad distributiva { ( ) ( )

Axiomas de orden. Existe una relacin ( ) que satisface:

1) Ley de la tricotonoma se cumple uno y slo uno de los tres casos:

i.

ii.

iii.

2) Propiedad transitiva si se cumple que

y no son cuerpo: no posee inverso siquiera respecto de la suma y no lo tiene respecto del producto. El conjunto de

los reales que estudiaremos ms adelante poseer todas estas propiedades y adems otra (el llamado axioma del supremo).

Una expresin del tipo se denomina desigualdad continua y quiere decir que y que , se dice que

est entre y .




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Observamos que entre dos racionales por cercanos que estn, existen infinitos racionales.

En efecto

Se concluye que

Sin embargo a pesar de estar tan juntos, aparecen de forma natural (ya desde los griegos) otros nmeros que no son

racionales (es decir, irracionales ; aquellos nmeros que no pueden expresarse de la forma o su expresin decimal

tiene infinitos decimales no repetitivos peridicamente). Por ejemplo el Teorema de Pitgoras asegura que la hipotenusa de

un tringulo con catetos de longitud mide unidades de longitud. Es fcil probar que no es racional (demostrar que

el nmero es irracional es bastante complicado). Para hacerlo, vamos a suponer que lo es y llegaremos a una

contradiccin (es lo que se llama demostracin por el absurdo).

Supondremos que es un nmero racional.

Es decir

donde

est reducido a sus trminos mnimos (sin factor comn) entonces . La expresin anterior

indica que es un nmero par y por tanto tambin, es decir, . Sustituyendo obtenemos ( ) , y

por tanto de donde

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que debe ser un nmero par, esto es, . Mas esto es imposible,

puesto que y no tienen factores comunes (y hemos encontrado que es un factor de ambos).

Por tanto, la suposicin misma de que es un nmero racional debe ser falsa.

Observemos que la suma con racional y irracional es necesariamente otro nmero irracional (si fuese

racional, sera tambin racional).

Conocemos pues que existen infinitos irracionales, todos de la forma con . Con esto podemos ver tambin

que entre dos racionales cualesquiera, por muy prximos que estn entre s, existen infinitos irracionales (por ejemplo, si

son racionales,

con son infinitos irracionales y es fcil ver que estn entre uno y otro).

Tambin entre dos irracionales existen infinitos racionales e irracionales.

El conjunto de los nmeros reales

Los nmeros reales denotado por , se emplean en todas las ramas de las matemticas y es importante estar familiarizado

con los smbolos que los representan

Por otra parte




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Todos los nmeros racionales e irracionales forman el sistema de nmeros reales. Es decir

El conjunto de los nmeros reales hereda todas las propiedades de los nmeros racionales, por lo que tambin es un

cuerpo ordenado. Pero a diferencia de los reales cumplen el siguiente axioma (Axioma del supremo); es decir: si es

un conjunto no vaco acotado superiormente en , entonces tiene supremo en .

El conjunto de los nmeros reales es infinito; esto significa que no tiene primero ni ltimo elemento; es denso, quiere decir

que entre dos nmeros reales, por ms prximos que estn, siempre existe otro nmero real.

Gracias al orden que hay en tiene sentido la representacin usual de como una lnea recta , de modo que a cada

nmero real corresponde exactamente un punto sobre y a cada punto sobre la recta corresponde un nmero real;

esto se denomina correspondencia biunvoca. Esta caracterstica nos dice que el conjunto de los nmeros reales es completo.

El punto correspondiente a un nmero racional, como

, se obtienen dividiendo estos segmentos de rectas. Los puntos

relacionados con ciertos nmeros irracionales, como , se pueden encontrar por construccin geomtrica.

Las relaciones entre los tipos de nmeros que se usan en las Matemticas Bsicas se ilustran en el siguiente diagrama.

Advierta la diferencia entre un nmero real negativo y el negativo de un nmero real. En particular, el negativo de un

nmero real puede ser positivo; por ejemplo, si es negativo, digamos , entonces el negativo de es

( ) , que es positivo.

En general, se tiene la siguiente relacin:

i. Si es positivo, entonces es negativo.

ii. Si es negativo, entonces es positivo.

0

Nmeros reales

negativos

Nmeros reales

positivos




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En la tabla adjunta, definimos las nociones de mayor que y menor que para nmeros reales y .

Notacin Definicin Terminologa

es positivo es mayor que .

es negativo es menor que .

Ejemplo 1.

porque positivo.

porque ( ) negativo.

1.1. Leyes de los signos

i. Si y tienen el mismo signo, entonces y

son positivos.

ii. Si y tienen signos opuestos, entonces y

son negativos.

Ejemplo 2.

Si y determina el signo de

Como es un nmero positivo y es negativo; tanto como tienen signos opuestos.

As,

y

son ambos negativos. La suma de dos nmeros negativos es un nmero negativo, de modo que:

El signo de

es negativo.

Ejemplo 3.

Si analiza el valor de verdad de la siguiente proposicin ( )

La proposicin es verdadera. En efecto, si , es negativo, entonces .

Por otra parte es decir .

Por ltimo tenemos que




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Es decir es negativo. Tenemos

( )

( )( )

Por lo tanto

( )

Algunos Teoremas en el Sistema de Nmeros Reales

1 si y slo si

2 si y slo si

3 Dado se tiene que

4 Si entonces

5 Sean se cumple que ( )( )

6 Si entonces

7 Si entonces

8 Si entonces

9 Si entonces

10 Si entonces

11 ( ) se cumple que

12 con Si se cumple que

13 con Si se cumple que

14 Si entonces

15 Si entonces

16 Si y tienen el mismo signo. Si entonces




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Problema 1

Demostrar que se cumple que

Sean los nmeros entonces por la propiedad de la clausura en la suma se tiene que ( )

. Luego por el teorema parte 11 tenemos que: ( )

Utilizando producto notables ( ) se obtiene

Problema 2

Si demuestre que

Dado que y Luego por el teorema parte 9

Problema 3

Si entonces

Como y en virtud del teorema parte 10 se concluye que

Utilizando el mismo criterio

Problemas resueltos




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De y entonces

Por el axioma 13 (transitividad)

y

Problema 4

Si entonces

Bien y por el teorema parte 9

Anlogamente, si y

De y por el axioma 13 (transitividad)

Problema 5

Sean tales que

. Demuestre que

De

y

( )

( )

( )

( )

( )

( )

De acuerdo con el teorema parte 6




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Haciendo el primer procedimiento

Anlogamente con

y

De

y

por el axioma 13 (transitividad)

Problema 6

Si ; tal que . Demuestre que

Como y entonces por el axioma de los nmeros reales .

Donde, por el teorema parte 11: ( )

Aplicando producto notable ( ) se obtiene

Por dato entonces

Por el ejercicio 4. tenemos

(

)

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