numeros reales
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TEMA: OPERACIONES CON NUMEROS REALESSEMESTRE: II Msc. Alberto Pazmiño.
NUMEROS RACIONALES
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS RACIONALES
• Es un conjunto Infinito.• Es un conjunto muy denso, entre dos
números racionales siempre existe otro número racional.
• Todo número racional tiene una expresión decimal equivalente.
• A cada número racional le corresponde un punto en la recta numérica, pero a todo punto no le corresponde un número racional.
• Es un conjunto ordenado, entre dos números racionales diferentes, siempre es uno mayor que el otro.
Las fracciones irreductibles, representan una clase de equivalencia y forman el conjunto de los números racionales Q,
DE FRACCION A NUMERO DECIMAL
• 3,8 = 9
35
9
338 =−
Decimal periódico mixto
• 1,26 = 15
19
90
114
90
12126 ==−
NUMEROS IRRACIONALES
Un número irracional se puede expresar por:• Un número decimal no periódico de infinitas
cifras.• Un conjunto de números racionales con
aproximación por defecto o por exceso
Algunos números irracionales.2 = 1,414213...3 = 1,732 050...5 = 2, 236 067 ...7 = 2, 645 751 ...11 = 3, 316 624 ...
π = 3, 141592 ...∈ = 2, 718281 ...
Ejercicios
1. Halla la fracción generatriz de:a) 4,5 b) 3,128 282 8...
2. Halla la fracción generatriz y resuelve
2,7 –5,3 . 0,27
3. Resuelve 1,5 + 0,8 - 23,1
2,0
4. Indica que tipo de expresión decimal representa las fracciones
a) 11
13 b)
15
16 c)
31
33
5. Halla la suma de los numeradores de las generatrices de 0,32 y 1,1316
FRACCIONEXPRESIÓN DECIMAL
TIPO
2
3
2
3=
10
15= 1,5
Exacto o limitado
11
5
11
5 = 0,4545...
Periódico puro
6
13
6
13 = 2,1666...
Periódico mixto
GENERATRIZ DE UN NUMERO DECIMAL
Expresión decimal
Fracción generatriz
1,625Exacto o limitado
1,625 = 8
13
1000
1625 =
2,1717...Periódico
Puro
2,17 =99
215
99
2217 =−
2,45151...Periódico
mixto
2,451 =330
809
990
2427
990
242451 ==−
Decimal limitado:
0,25 = 4
1
100
25 =
Decimal periódico puro
0,36 =11
4
33
12
99
36 ==
NUMEROS REALES
El conjunto de los números racionales y el de los de los números irracionales conforman el conjunto de los números reales y se designa por R
Existen números reales positivos, R+ , y números reales negativos, R-
R = R- ∪ {0} ∪ R+
R
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
I ⊂ R
R = Q ∪ IRECTA REAL
2
9−
-π
-
2 10
5
5 9
RECTA REAL -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
APROXIMACIONES
Cuando necesitamos operar con números reales nos vemos obligados, en muchas ocasiones, a manejar decimales con muchas cifras. sabemos que las expresiones decimales de un número real se reducen a los siguientes tipos
Redondeamos los decimales hasta los centésimos:
4,736 = 4,741,318 = 1,320,576 = 0,58
Aproximación de 4,7364,736
4,73 4,736 4,74
Aproximación de 0,576 0,576
0,57 0,576 0,58
Para truncar un número decimal se eliminan sus cifras a partir de un cierto orden. Para redondear hasta cierto orden n, se deja la cifra de orden n como está, si la que sigue es menor que 5; y se aumenta en una unidad, si la que sigue es mayor o igual que 5
Ejercicios1. Ubica en la recta real los números irracionales π y 2
SoluciónHallamos la expresión decimal de cada uno: π = 3,1416... 2 = 1,4142...
• Ubicamos sus valores aproximados
2 π
0 1 2 3
2. ¿Cual es el valor de 2 + 3 con
aproximación a las milésimas?Solución
Hallamos los valores decimales de cada raíz:
2 = 1,4142... 3 = 1,7320...Calculamos la suma con los valores decimales aproximados a las milésimas.
2 + 3 = 1,414 + 1,732 = 3,146
TareaResuelve las siguientes operaciones y redondea según se indique
a) 2
5(al centésimo)
b) π + 5 - 2,49 (al centésimo)c) 0,51 x 2,13 (al milésimo)d) 9 - 4 + 2,13 + 7 (al centésimo)
e) 23
12:6
15
2
4
5 +−x (al milésimo)
Exacto Periódico puro
Periódico mixto Ilimitado no periódico
4,736 0,576 1, 318 2 = 1,41421356...
Como no podemos operar con infinitas cifras, tomamos aproximaciones de estos números para efectuar operaciones con ellos.Una aproximación o valor aproximado de un número es otro número próximo al primero al cual representa y sustituye. Por ejemplo, el decimal 0,33 es una aproximación del número 0, 3 . Para aproximar un número se suelen utilizar dos técnicas: truncamiento y redondeo.Ejemplos:Truncamos los decimales hasta los centésimos: 4,736 = 4,73
1,318 = 1,310,576 = 0,57
Q IZ
N
TEMA: INTERVALOS
SEMESTRE: II Msc. Alberto PazmiñoINTERVALOS
Alguna vez hemos escuchado que se ha averiado un tramo de una carretera. Por ejemplo, nos dicen que entre los kilómetros 12 y 18 de la carretera central ha caído un “huaico”.
Tramo de la Carretera Central
A un tramo de la recta numérica se llama intervalo.
CLASES DE INTERVALOS
INTERVALOS NO ACOTADOS
X < 3 x ≥ 3
-1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7
] [3;∞− = {x /x ∈ R, x < 3} [ [∞;3 = {x /x ∈ R, x
≥ 3}
OPERACIONES CON INTERVALOS
Unión de intervalos:La unión de dos intervalos I1 = [ ]6;2− y I2 = [1; 8] es el conjunto de números reales que pertenecen a l menos a uno de los dos intervalos . I2
I1
I1 ∪ I2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I1 ∪ I2 = [-2; 6] ∪ [1; 8] = [-2; 8]
Intersección de intervalos:
IntervaloAbierto
] [ba,
Intervalo cerrado
[ ]ba,
Intervalo abierto a la
derecha
[ [ba,
Intervalo abierto a la izquierda
] ]ba,
-1 3 a b
-1 3
a b
-1 3 a b
-1 3 a b
Km12
Km18
Un intervalo de números reales es el conjunto de números correspondientes a una parte de la recta numérica, en consecuencia, un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales
La Intersección de dos intervalos es el conjunto de los números reales que pertenecen a la vez a los dos intervalos.
I2
I1
I1 ∩ I2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
I1 ∩ I2 = [-2; 6] ∩ [1; 8] = [1; 6]
Diferencia de Intervalos :La diferencia del intervalo I1 y I2 es el conjunto de los números reales que pertenecen al intervalo I1 y no pertenecen al intervalo I2
I2
I1
I1 - I2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
I1 - I2 = [-2; 6] - [1; 8] = [-2; 1[
Ejemplo 1: ¿Cuál es la unión, la intersección y la diferencia de intervalos?.
• El intervalo abierto ] [ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b excluidos a y b. Se expresa:
] [ba, = {x/x ∈ R, a< x < b}
• El intervalo cerrado [ ]ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos a y b. Se expresa:
[ ]ba, = {x/x ∈ R, a ≤ x ≤ b}
• El intervalo semiabierto [ [ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos a. Se expresa: [ [ba, = {x/x ∈ R, a ≤ x < b} el Intervalo semiabierto ] ]ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos b. Se expresa
] ]ba, = {x/x ∈ R, a < x ≤ b} • Otros intervalos que se consideran en la
recta son los no limitados o no acotados.
Ejemplo 1. el conjunto de números menores que 3 se expresa por x< 3 y se representa por una semirrecta de origen 3 que no contiene al 3.El conjunto de números mayores o iguales a 3 se expresa por x ≥ 3 y se representa por
Una semirrecta de origen 3 que contiene al 3
VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
El valor absoluto de un número real es la distancia del punto al cual corresponde, con respecto al origen. Se denota por |a| (valor absoluto) donde:
| -a | = a | +a | = a
- Si |x| = < 2, x es cualquier número real del intervalo abierto ] –2; 2 [
|x| < 2, ó –2 < x < 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = ≤ 2, x es cualquier número real del intervalo cerrado [ –2; 2 ]
|x| ≤ 2, ó –2 ≤ x ≤ 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2[ ∪ ]2; ∞ [
- Si |x| = ≥ 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2] ∪ [2; ∞ [
PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO
[a; b] = 2
ba +
Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3]Solución
[-5, 3] = 12
35 −=+−
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejemplo 2: Representa en notación
conjuntista y grafica el siguiente intervalo:
a) ] 3; 9]
Expresamos la notación conjuntista
] 3; 9] = { x/x ∈ R; 3< x ≤ 9}
Representamos gráficamente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x
en: |X – 4| = 6
Solución
Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está dentro del paréntesis tiene la posibilidad de tener dos valores:Si x – 4 = 6, entonces x = 10Si x – 4 = -6, entonces x = -2
ComprobaciónPara x = 10 Para x = -2
Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:
|3x – 2| ≤ 11
Solución
Expresamos el valor absoluto de |3x – 2| ≤ 11 - 11 ≤ 3x – 2 ≤ 11
-11 + 2 ≤ 3x ≤ 11+ 2-9 ≤ 3x ≤ 13
- 3
9 ≤ x ≤ 3
13
- 3 ≤ x ≤ 3
13
Expresamos en intervalo y representamos en
la recta numérica
−
3
13;3
3
13
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Tarea:
1. Representa gráficamente el punto medio
del intervalo: [ -6; -5/2]
2. Calcula y representa en la recta numérica los siguientes intervalos:A) ]1; 5[ ∩ [4; 6]B) [-4; 7] ∩ ]4; 8]C) ]-3; 6] – [2; 7]
3. Halla los posibles valores de x en cada caso: a) |2x – 5| = 11b) |x - 15| = 2
4. Halla el resultado de las siguientes operaciones:a) |-5 +|-2-3|| b) |-3 – 10| - 20
VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
El valor absoluto de un número real es la distancia del punto al cual corresponde, con respecto al origen. Se denota por |a| (valor absoluto) donde:
| -a | = a | +a | = a
- Si |x| = < 2, x es cualquier número real del intervalo abierto ] –2; 2 [
|x| < 2, ó –2 < x < 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = ≤ 2, x es cualquier número real del intervalo cerrado [ –2; 2 ]
|x| ≤ 2, ó –2 ≤ x ≤ 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2[ ∪ ]2; ∞ [
- Si |x| = ≥ 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2] ∪ [2; ∞ [
PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO
[a; b] = 2
ba +
Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3]Solución
[-5, 3] = 12
35 −=+−
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Ejemplo 2: Representa en notación
conjuntista y grafica el siguiente intervalo:
a) ] 3; 9]
Expresamos la notación conjuntista
] 3; 9] = { x/x ∈ R; 3< x ≤ 9}
Representamos gráficamente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x
en: |X – 4| = 6
Solución
Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está dentro del paréntesis tiene la posibilidad de tener dos valores:Si x – 4 = 6, entonces x = 10Si x – 4 = -6, entonces x = -2
ComprobaciónPara x = 10 Para x = -2
Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:
|3x – 2| ≤ 11
Solución
Expresamos el valor absoluto de |3x – 2| ≤ 11 - 11 ≤ 3x – 2 ≤ 11
-11 + 2 ≤ 3x ≤ 11+ 2-9 ≤ 3x ≤ 13
- 3
9 ≤ x ≤ 3
13
- 3 ≤ x ≤ 3
13
Expresamos en intervalo y representamos en
la recta numérica
−
3
13;3
3
13
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Tarea:
1. Representa gráficamente el punto medio
del intervalo: [ -6; -5/2]
2. Calcula y representa en la recta numérica los siguientes intervalos:A) ]1; 5[ ∩ [4; 6]B) [-4; 7] ∩ ]4; 8]C) ]-3; 6] – [2; 7]
3. Halla los posibles valores de x en cada caso: a) |2x – 5| = 11b) |x - 15| = 2
4. Halla el resultado de las siguientes operaciones:a) |-5 +|-2-3|| b) |-3 – 10| - 20