Numeros reales

Ana Cristina Chavez Caliz

5 de octubre de 2009

1. Propiedades de Campo

Consideremos el conjunto X que tiene dos operaciones llamadas suma y pro-ducto, es decir: Dado a, b ∈ X : a + b ∈ X y Dado a, b ∈ X : a× b ∈ XEjemplo de un conjunto que tenga estas dos operaciones esta el conjunto de losnumeros Naturales (denotado como N)

Dentro de N las operaciones de suma y producto tiene las siguientes propiedades:

1. Asociatividad:1a. La suma es asociativa: Pues es lo mismo a + (b + c) que (a + b) + c1b. El producto es asociativo: Pues a× (b× c) = (a× b)× c

2. Conmutatividad:2a. La suma es conmutativa: Pues a + b = b + a2b. El producto es conmutativo: Pues a× b = b× a

3. Distributividad: Significa que la multiplicacion reparte sumas: dicho de otramanera: a× (b + c) = ab + ac

Ademas, tenemos otras propiedades importantes:

4. Existencia de neutros:4a. Existencia de neutro aditivo: Un conjunto cumple con esta propiedad si: ∀a ∈ X ∃ 0 ∈ X : a + 0 = 0 + a = a4b. Existencia de neutro multiplicativo: Un conjunto cumple con esta propiedadsi: ∀ a ∈ X ∃ 1 ∈ X : a× 1 = 1× a = a

5. Existencia de inversos:5a. Existencia de inverso aditivo: Un conjunto cumple con esta propiedad si: ∀a ∈ X ∃ −a ∈ X : a + (−a) = −a + a = 05b. Existencia de inverso multipicativo: Un conjunto cumple con esta propiedadsi: ∀ a ∈ X ∃ 1

a ∈ X : a × 1a = 1

a × a = 1. Este inverso multiplicativo se definepara cualquier elemento del conjunto diferente de cero.

1

Es facil ver que el conjunto de los numeros enteros ((−∞ . . . ,−1, 0, 1, . . .∞)(denotado como Z)) cumple con las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5a, pero no cumplecon 5b, ya que no existen inversos multiplicativos en el conjunto. Por otra parteel conjunto de los numeros fraccionarios (definido como a

b : a, b ∈ Z, b 6= 0 ydenotado como Q) cumple con todas las propiedades mencionadas previamente.

DEFINICION: Entonces, un conjunto que cumple con todas las propiedades(asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de neutros e inver-sos tanto en la suma como en el producto) es llamado CAMPO. Por lo tanto,podemos decir que Q es un campo.

Ademas, un campo cumple con las siguientes propiedades, las cuales, se de-ducen de las primeras propiedades mencionadas:1. 0× a = 02. (−1)× a = −a3. (−1)×−a = a4. −(a + b) = (−a) + (−b)5. (−a)(−b) = ab6. (−a)b = −ab = a(−b)7. 1

1a

= a, ∀ a 6= 0

8. 1ab = 1

a × 1b

...

2. Propiedades de orden

Dados a, b ∈ Z decimos que a < b si b− a ∈ N

Y las propiedades de orden son las siguientes:i) Tricotomıa: Dados a, b ∈ Z una y solo una posibilidad ocurre: a < b o a = bo a > bii) Transitividad: Si a < b y b < c ⇔ a < ciii) a < b ⇒ a + c < b + c ∀ c ∈ Ziv) a < b y c > 0 ⇔ ac < bc

DEFINICION: Un campo que ademas cumple con estas ultimas propiedadeses un CAMPO ORDENADO.

Q tambıen cumple con las propiedades de orden, por lo que es un campo orde-nado.

3. Cotas Superiores

Dados X ⊂ Q decimos que a ∈ Q es COTA SUPERIOR de X si ∀ x ∈ X setiene que x ≤ a

2

Dados X ⊂ Q decimos que si a es cota superior, decimos que α es MINIMACOTA SUPERIOR si α es cota, y ademas ∀ a′ α ≤ a′ y se denota como SupXo Suprema de X

4. Sobre los numeros reales

R (Conjunto de los numeros reales):1.Tiene las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5; ademas de i), ii), iii) y iv)2. Cumple con la propiedad de completitud: Todo cunjunto superiormente aco-tado tiene una mınima cota superior.3. Tambien es EL campo ordenado completo.

5. Intervalos

a < b a, b ∈ R

1. Abiertos(a, b) = x ∈ R : a < x < b

2. Semiabierto(a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b[a, b) = x ∈ R : a ≤ x < b

3. Cerrado[a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b

4. Semi-infinito(a,∞) = x ∈ R : a < x(−∞, b) = x ∈ R : b > x[a,∞) = x ∈ R : a ≤ x(−∞, b] = x ∈ R : b ≥ x

6. Proposiones importantes

1. Proposicion: N ⊂ R no es acotable superiormente.

2. Proposicion: R se puede partir como union disjunta de intervalos [k, k + 1)k ∈ Z; es decir: R = t[k, k + 1)2.a Corolario: ∀r ∈ R, r > 0 , R = t[kr, (k + 1)r), k ∈ R

3. Teorema: Sea p > 1 p ∈ N, ⇒ ∀ n ∈ N ∃! ε0, ε1, . . . εn dıgitos o elementos 0, 1,2, ... p-1 tales que n = ε0+ε1p+. . .+εmpm es la expansion de n = εmεm−1 . . . ε1ε0en base p. Existe una coleccion infinita ε−1, ε−2 . . . de digitos : t = ε−1

p + ε−2p2 +. . .

3

es la expansion en base p de t que se escribe: t = 0.ε−1ε−2 . . . por lo tanto r ∈ R,r = n + t, n ∈ N, t ∈ (0, 1)

r = εmεm−1 . . . ε2ε1.ε−1ε−2 . . .

4. Proposicion: Todo r ∈ Q tiene expansion decimal finita o periodica y recıpro-camente: Todo irracional tiene expansion decimal infinita y no periodica.

5. Teorema: Sea a, b ∈ R, a < b ⇒ ∃ r ∈ Q : a < r < b

6. Proposicion: ∀ ε > 0 ∃ n ∈ N : 1n < ε

7. Proposicion: Si a ∈ R : a ≥ x ∀ x ∈ R y a ∈ X, entonces a = SupX

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