numeros reales

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INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELENMATEMATICAS GRADO NOVENO

NUMEROS REALES

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que sirven para contar los elementos

de un conjunto determinado. El conjunto de los números naturales se

simboliza con la letra N y se determina de la siguiente manera:

N = {0,1,2, 3, 4, 5...}

Los números naturales se representan en la semirrecta numérica de la

siguiente forma

Es posible comparar dos números naturales utilizando los símbolos menor que

(<), mayor que (>) o igual a (=). Por ejemplo, 7 < 13, 25 > 15 ó 9 = 9.

En el conjunto de los números naturales se definen varias operaciones que se

pueden clasificar teniendo en cuenta la propiedad clausurativa. Así:

Operación Símbolo Ejemplo Clasificación

Adición + 2 ∈ N, 5∈ N y 2 + 5 = 7 ∈ N Clausurativa

Sustracción - 2 ∈ N, 5∈ N y 2 - 5 ∉ N No Clausurativa

Multiplicación . () * x 5 ∈ N, 8 ∈ N y 5 X 8 = 40 ∈ N Clausurativa

División ÷ 13 ∈ N, 4 ∈ N pero 13 ÷ 4 ∉ N No Clausurativa

Resolver las siguientes situaciones utilizando los números naturales

1. Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles

de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y

súmalos.

2. El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605.

¿Cuál es el dividendo?

3. Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75

250 €. ¿Por cuánto lo vendió?

4. Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda

de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?

5. Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos

modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En

ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo,

gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene

Pedro.

6. En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en

llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?

7. En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos

aviones aterrizan en un día?

http://www.vitutor.com/di/n/a_5.html#div_exacta

2


8. En una urbanización viven 4500 personas y hay un árbol por

cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización?

¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por

cada 12 personas?

NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros está formado por el número 0, los

números naturales y los números negativos. Estos últimos, representan

situaciones de la vida diaria tales como temperaturas bajo cero, profundidades

con respecto al nivel del mar, entre otras.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y se determina

de la siguiente manera

Z = {…..,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…….}

Se representan en la recta numérica de la siguiente forma

Al comparar dos números enteros, es mayor el que se encuentra a la derecha

en la recta numérica. Por ejemplo, -2 > -6

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

El valor absoluto de un número entero a, se representa

y se define como la distancia que hay desde 0 hasta dicho número. Por ejemplo, | - 5 |

= 5 pues entre 0 y -5 hay 5 unidades de distancia, gráficamente seria

OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

ENTEROS

Adición

Para sumar números enteros se presentan dos casos

3


La suma de dos números enteros de igual signo es un número entero

del mismo signo, que se halla sumando los valores absolutos de dichos

números.

La suma de dos números enteros de distinto signo es un número entero

cuyo resultado se halla restando los valores absolutos de dichos

números. El signo de este valor es el mismo del sumando con mayor

valor absoluto.

Ejemplos

1.

2.

3. 8) = 17

Sustracción

La diferencia entre dos números enteros es la suma del primer número con el

opuesto del segundo.

Ejemplos

1.

2.

3.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISION

Para multiplicar o dividir debemos tener en cuente la ley de los signos.

Ejemplos

1.

2.

3.

4.

Resolver las siguientes situaciones utilizando los números enteros

1. Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y

calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes

números:

4


2. El nivel de agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 dias.

A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el

nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?

3. Pitágoras nació en el año 493 A.C. y nació en el año 580 A.C.

4. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un

tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte

inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de

agua habrá en el depósito después de 15 minuto s de

funcionamiento?

5. La temperatura del aire baja según se asciende en la

atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura

al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué

altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?

POLINOMIOS ARITMETICOS CON NUMEROS ENTEROS

Un polinomio aritmético es una expresión en la que se combinan diversas

operaciones. Para resolver polinomios aritméticos se deben tener en cuenta los

siguientes casos:

1. Polinomio sin signos de agrupación. Se resuelven primero las

multiplicaciones y divisiones indicadas en su orden respectivo. Luego,

se resuelven las sumas y las restas correspondientes

2. Polinomio con signos de agrupación. Los signos de agrupación mas

usados son: ( ) paréntesis, [ ] corchetes y { }. Se resuelven las

operaciones indicadas dentro de cada paréntesis, eliminando cada signo

de agrupación de adentro hacia afuera.

Ejemplos

1.

2.

3.

4. 8+{[(-4) - (2)] - 7}

5. –

6.

7.

5


TALLER

Resolver las siguientes operaciones

1. 54 + 39

2. -17 + (-8)

3. 23 + (-16)

4. (-34) + 25

5. 61 - (-19)

6. -72 – 18

7. 11 – 43

8. [7 - (6 - 2)] - (3 - 11)

9. 3 + (-2) - [6 - (1 + 5) + 4]

10. -[9 - (-8)] + 18 - (5 - 7)

Escribir los paréntesis de manera que las igualdades sean ciertas.

11. 61 + 23- 15 + 17 = 86

12. 45 + 64- 23 - 31 = 55

13. 16 4• 2 + 1 = 3

Contestar

14. La suma de tres enteros es igual a -5 dos de los sumandos son números

opuestos. ¿Cuál es el otro sumando?

15. El cociente entre dos números enteros es 2, si el dividendo es el doble

del divisor y el divisor es – 42, ¿cuál es el dividendo?

16. El producto de dos números enteros es -540, si un factor es 12, ¿cuál es

el otro?

17. La diferencia entre dos números es – 374, si el sustraendo es 115, ¿cuál

es el minuendo?

Escribir cada número como el producto de tres o más factores

18. – 56

19. 144

20. – 625

21. 108

22. Camila y Cristian están jugando a adivinar el número que cumple ciertas condiciones.

Ella le dice: “es un número entero menor que 13 y mayor que – 1, impar y su suma

digital es 2". ¿Qué número es?

23. Cristian le dice: “la edad de mi primo es un número par y el triple de su

edad es menor que 40 y mayor que 30. ¿Qué edad tiene el primo de

Cristian?

24. En una ciudad la temperatura a las nueve de la mañana era de 15 0c. A

medio día había subido 60c, a las cinco de la tarde marcaba 3 °C más, a

las nueve de la noche había bajado 7 °C y a las doce de la noche aún

había bajado otros 4 °C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a

medianoche?

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NUMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales está formado por los números de la

forma

donde a y b son números enteros y b 0.

El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q y se

determina de la siguiente manera

∈ , a se llama

numerador y b se llama denominador.

El signo de cada número racional viene dado según sea el signo del

numerador o del denominador, teniendo en cuenta las siguientes

propiedades:

Si el signo del numerador o el denominador de un número racional

es negativo, dicho número es negativo; es decir,

Si los signos del numerador y del denominador de un número

racional son negativos, dicho número es positivo; es decir,

Por ejemplo

es un racional negativo y

es un racional

positivo.

Los números racionales se representan en la recta numérica de la siguiente

forma:

a.

b.

c.

Al comparar dos números racionales se puede presentar solo una de las

siguientes relaciones:

Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se

transforman los números en fracciones equivalentes de igual denominador.

7


Luego, se determina la relación que existe entre sus numeradores. Es

mayor el que tiene mayor numerador.

Ejemplos: determinar la relación de orden de los siguientes racionales

1.

, asi

es decir

2.

3.

OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS RACIONALES

SUMA Y RESTA

Para sumar o restar números racionales se presentan dos casos

1. Si los denominadores son iguales, el resultado tendrá el mismo

denominador y numerador será la suma o la resta de los

numeradores. Por ejemplo

a.

b.

2. Si los denominadores son diferentes, primero se convierten en

racionales con igual denominador, luego se suman o se restan los

numeradores, por ejemplo

a.

b.

MULTIPLICACION Y DIVISION

Para multiplicar racionales, se multiplican los numeradores entre si y los

denominadores entre si. Por ejemplo

a.

b.

Para dividir racionales, se multiplica el dividendo por el reciproco del divisor.

Por ejemplo

a.

b.

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POLINOMIOS CON NUMEROS RACIONALES

Para resolver polinomios con números racionales se deben tener en

cuenta las mismas propiedades trabajadas en los números enteros:

• Si el polinomio no incluye signos de agrupación, se resuelven las mul -

tiplicaciones y divisiones indicadas en su respectivo orden. Luego, se

efectúan las sumas y las restas correspondientes.

• Si el polinomio incluye signos de agrupación, estos se deben eliminar de

adentro hacia afuera, efectuando las operaciones indicadas dentro de

ellos.

Ejemplos: resolver los siguientes polinomios

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

9


TALLER

1. ¿Por qué se crearon los números naturales?

2. ¿Cómo están conformados los números reales?

3. ¿Cuál es la característica de los números irracionales?

4. Los números enteros se representan con la letra ____________

5. Nombra los conjuntos numéricos a los cuales pertenece cada uno de los

siguientes números a. 7 b.

c. 0.36 d. e. 1.325

6. Clasifica los siguientes números como Q o I

a. . b. 0.15555…… c. 5.101001000….. d. 0.58 e. π

7. Escribir números que cumplan con cada condición

a. Entero mayor que -5 y menor o igual que -1

b. Entero no negativo menor que 6 y múltiplo de 2

c. Entero y racional

d. Irracional menor que 2

8. Representa sobre la recta real los siguientes números

a. 5 b. un tercio c.

d.

9. Completa la tabla con pertenece o no pertenece

10. Determina si la proposición es verdadera o falsa, justifica tu respuesta

a. Algunos números enteros son racionales

b. Todo numero irracional es real

c. Todo numero natural es entero

Numero N Z Q I R

302

0.101001…

-0.888888…

10


d. No todos los números racionales son enteros

e. Todo decimal finito es racional

f. Algunos números irracionales son decimales finitos

numeros reales

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