Guía: Números Reales

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NUESTROS OBJETIVOS GENERALES EN ESTA GUÍA SON: Que los alumnos…

1. Identifiquen la relación existente entre el conjunto R de los reales y los conjuntos numéricos estudiados anteriormente.

2. Representen números reales e intervalos en la recta numérica. 3. Entiendan el concepto de valor absoluto y las propiedades ligadas al mismo.

INSTRUCCIONES:

1. Lee la información descrita con atención y las veces que te hagan falta para entenderlas.

2. Desarrolla cada ejercicio con calma, si no logras entender alguna pasa al siguiente.

3. Si tienes alguna duda respecto a los contenidos visita algunas de las fuentes citadas al final de este documento.

CONTENIDO:

1. TEMA I: NÚMEROS REALES 2. TEMA II: NÚMEROS REALES EN LA RECTA NÚMERICA. 3. TEMA III: INTERVALOS EN LA RECTA NÚMERICA. 4. TEMA IV: VALOR ABSOLUTO

TEMA 1: NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales ℝ es el resultante de la unión de los

números racionales y los irracionales.

ℚ ∪ 𝕀 = ℝ

Donde ℚ ⊂ ℝ; 𝕀 ⊂ ℝ , por lo tanto todo número real posee expresión

decimal, la cual puede ser finita, infinita periódica o infinita semiperiódica en el

caso de los racionales, o infinita no periódica en el caso de los números

irracionales.

Por otro lado, sabemos que el conjunto ℚ abarca dentro de su totalidad a

elementos propios de otros conjuntos numéricos. Es decir, dentro de ℚ es posible

encontrar al conjunto de los números enteros, y dentro de estos están contenidos

los números naturales. Por lo tanto, todos los conjuntos numéricos que hemos

visto hasta ahora corresponden a subconjuntos de los números reales. El

siguiente diagrama de Venn nos permitirá esclarecer estas relaciones.

Observación: ℚ e 𝕀 crean una partición en ℝ, ya que ℚ ⊂ ℝ, 𝕀 ⊂ ℝ, ℚ ∩ 𝕀 =

∅ y ℚ ∪ 𝕀 = ℝ.

ℕ0 ℕ 𝕫

ℚ

𝕀

ℝ

Ejercicio: Determina la veracidad de cada una de las siguientes expresiones.

Indica con V si es verdadero y con F si es falso.

1.- Todo número real es también un numero entero

2.- Hay elementos de ℚ en 𝕀

3.- Todo número entero es también un irracional.

4.- El conjunto ℕ es un subconjunto de los números reales.

5.- Hay elementos de ℝ en ℤ.

6.- Todo número natural es también un entero.

7.- La intersección entre ℚ y 𝕀 es vacía.

8.- el cero pertenece a ℤ+.

9.- ℚ = ℝ − 𝕀

10.- los irracionales poseen notación decimal finita.

Ejercicio: Completa el siguiente cuadro con ∈ o ∉ para determinar a qué

conjunto numérico pertenecen los siguientes números.

Número ℕ ℕ0 ℤ ℚ 𝕀 ℝ

0

−15

49

2

5/8

0,75

8: 4

𝜋

83

−83

0, 25

−25

TEMA II: NÚMEROS REALES EN LA RECTA NÚMERICA

Entre los números reales y la recta numérica existe una correspondencia

biunívoca, es decir, a todo número real le corresponde un punto sobre la recta

numérica y al mismo tiempo, cada punto en la recta numérica representa a un

número real.

Ejemplo:

Es fácil posicionar los números racionales que pueden ser escritos como

enteros en la recta numérica. Sin embargo, la posición de los racionales no

enteros y los números irracionales en la recta numérica puede no ser tan

inmediata. A continuación veremos cómo posicionar en ella estos números.

a) Racionales no enteros

Todo racional que no es un entero puede ser expresado mediante notación

decimal o fraccionaria. Para representar estas cantidades en la recta numérica

trabajaremos con esta última.

Ejemplo:

Para representar 0,75 en la recta numérica lo transformamos a su

equivalente en notación fraccionaria, o sea, ¾, lo cual quiere decir, que de cuatro

partes en las que dividimos la unidad, tomamos tres.

Para dividir la unidad en 4 partes iguales, trazamos un segmento 𝑂𝐹 y

determinamos una medida arbitraria y la copiamos cuatro veces sobre el

segmento. Luego, unimos el punto 1 con el punto E y trazamos paralelas al

segmento 1𝐹 por los puntos 𝐵, 𝐶 y 𝐷 (generados al copiar la medida arbitraria).

1 2 5

4 2 -1

−5

4

− 2

1

2 −

1

2

Estas rectas paralelas dividen

al segmento en cuatro partes iguales,

en donde la intersección del

segmento que pasa por E con la recta

numérica se corresponde con la

fracción ¾.

Si la fracción a representar en la recta es impropia, es decir, si el numerador

fuese mayor que el denominador, entonces debemos descomponerla en sumas

tales que sea posible obtener una parte entera y otra fraccionaria. Luego, se

posiciona en la recta la parte entera y se opera la parte fraccionaria de la misma

forma que en el caso anterior.

b) Números irracionales

Para representar irracionales en la recta numérica debemos construir

triángulos rectángulos y utilizar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

Si queremos representar 5 en la recta, debemos trazar un segmento de 2

unidades a partir del cero y trazar un segmento perpendicular a la recta en dicho

punto y de 1 unidad de largo. Luego, trazamos un segmento que una el origen y el

punto final de la perpendicular y habremos formado un triangulo rectángulo cuyos

catetos son de 1 y 2 unidades respectivamente.

Ahora, por teorema de

Pitágoras la hipotenusa del triangulo

creado tiene una longitud de 5 .

Entonces, trazamos una

circunferencia con centro en cero y

radio 5 e intersectamos la recta

numérica, en donde dicho punto de

intersección será el que represente a

5 en la recta.

TEMA III: INTERVALOS EN LA RECTA NUMÉRICA

Los valores que puede tomar un número en la recta numérica van desde −∞ a

+∞.

a) Intervalos cerrados

Un intervalo será cerrado cuando los valores extremos que determinan

dicho intervalo están contenidos en el mismo. Lo cual se representa por [𝑎, 𝑏]

para indicar que 𝑎 y 𝑏 están dentro del intervalo.

En términos de desigualdades se expresaría como: ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Ejemplo:

El intervalo cerrado que incluye tanto al 0 como al 7 está determinado

por [0,7], lo cual también puede ser expresado como: 0 ≤ 𝑥 ≤ 7.

Observación: Cuando representemos un intervalo en la recta numérica

utilizaremos un punto relleno para indicar que ese valor esta contenido en el

intervalo, en caso contrario utilizaremos

b) Intervalos abiertos

Son aquellos en los cuales los valores extremos que determinan un

intervalo no están incluidos en el mismo. Lo cual se representa por ]𝑎, 𝑏[ o

(𝑎, 𝑏) para señalar que 𝑎 y 𝑏 no están incluidos en el intervalo.

Expresado en términos de desigualdades seria: ∀𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[∶ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.

Ejemplo:

En este caso el intervalo abierto que tiene como extremos al 3 y al 9 esta

determinado por ]3,9[, lo cual es equivalente a decir: 3 < 𝑥 < 9 .

0 7

3 9

TEMA IV: VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número representa la distancia que existe desde

dicho número al origen de la recta numérica. Su notación corresponde a dos

barras | |, las cuales se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de

ellas. Así, el valor absoluto de un 𝑎 perteneciente a los reales se representa

mediante 𝑎 .

Ejemplo:

Observe en el dibujo que la distancia del 5 al origen es de 5 unidades, igualmente la distancia del punto −5 al origen es 5 . En notación, esto es | − 𝟓| = 𝟓 = |𝟓|. Por lo tanto, el valor absoluto de un número real 𝑎 es el mismo número 𝑎 cuando es positivo o cero, y opuesto de 𝑎 si 𝑎 es negativo.

En otras palabras, el valor absoluto de un número es siempre positivo o igual a cero, pero nunca negativo.

En términos formales el valor absoluto de un número real 𝑎, se define como:

𝑎 = 𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0

−𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 0

Ejemplos:

a) 𝟓

𝟔 =

𝟓

𝟔

b) −𝟓

𝟔 = − −

𝟓

𝟔 =

𝟓

𝟔

Propiedades del valor absoluto

I) No negatividad: 𝑎 ≥ 0

II) Definición positiva: 𝑎 = 0 ⟺ 𝑎 = 0

III) Propiedad multiplicativa: 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏

IV) Desigualdad triangular: 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏

-5 5

5 5

Información Complementaria.

http://www.vadenumeros.es/cuarto/numeros-reales-sobre-la-recta.htm

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node12.html