LA MATEMATICA EN LA HISTORIA

Los números naturales surgen de dos necesidades básicas del hombre primitivo: contar y ordenar.

El hombre primitivo logró establecer una correspondencia entre las partes de su cuerpo (manos, pies, brazos y piernas), lo que deseaba contar. De esta forma, asoció a cada objeto un marca o signo que le permitió hacer una clara distinción entre una o varias unidades. Así, aparecieron los primeros símbolos gráficos y la humanidad empezó a concebir la idea de número.

Con el paso del tiempo, cada cultura adoptó un conjunto de símbolos y reglas para representar y operar cantidades, dando origen a los llamados sistemas de numeración.

1.1 SISTEMAS DE NUMERACION

Algunos de los sistemas más conocidos y utilizados en la cotidianidad son: romano, binario y decimal.

1.1.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO:

Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico. Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta. Se usa principalmente:

En los números de capítulos y tomos de una obra. En los actos y escenas de una obra de teatro. En los nombres de papas, reyes y emperadores. En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes...

Reglas:

La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:

Letras I V X L C D M

Valores 1 5 10 50 100 500 1.000

Ejemplos: XVI = 16; LXVI = 66

Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900

En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.

Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000

Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129

El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

Ejemplos: = 1.000.000

Algunos números Romanos

1 = I 2 = II 3 = III 4 = IV 5 = V 6 = VI

7 = VII 8 = VIII 9 = IX 10 = X 11 = XI 12 = XII

13 = XIII 14 = XIV 15 = XV 16 = XVI 17 = XVII 18 = XVIII

19 = XIX 20 = XX 21 = XXI 29 = XXIX 30 = XXX 31 = XXXI

39 = XXXIX 40 = XL 50 = L 51 = LI 59 = LIX 60 = LX

61 = LXI 68 = LXVIII 69 = LXIX 70 = LXX 71 = LXXI 74 = LXXIV

75 = LXXV 77 = LXXVII 78 = LXXVIII 79 = LXXIX 80 = LXXX 81 = LXXXI

88 = LXXXVIII 89 = LXXXIX 90 = XC 91 = XCI 99 = XCIX 100 = C

101 = CI 109 = CIX 114 = CXIV 149 = CXLIX 399 = CCCXCIX 400 = CD

444 = CDXLIV 445 = CDXLV 449 = CDXLIX 450 = CDL 899 = DCCCXCIX 900 = CM

989 = CMLXXXIX 990 = CMXC 999 = CMXCIX 1.000 = M 1.010 = MX 1.050 = ML

1.1.2. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO: El sistema de numeración binario o de base 2 es un sistema posicional que utiliza sólo dos símbolos para representar un número. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente. Este sistema de numeración es sumamente importante ya que es el utilizado en informática para el manejo de datos e información. Cada computador trabaja internamente con dos niveles de voltaje: 1 para encendido y 0 para apagado.

Para tener en cuenta… Para convertir un número en base 10 a base 2, es decir, de

sistema decimal a binario, es necesario realizar divisiones sucesivas entre 2 hasta obtener un cociente menor que 2. Escribiendo el último cociente y los restos de forma ascendente se obtiene el número en base 2.

Por ejemplo: 210 10019

Para convertir un numero en base 2 a base 10 se multiplica cada unidad por el numero 2 tantas veces como cantidad de números haya detrás del mismo. Es decir, se lo multiplica por 2 elevado a la potencia correspondiente a la posición que ocupa dentro del número. Por ejemplo:

102

2

0123

2

81000

102040811000

202020211000

xxxx

xxxx

1.1.3. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL:

Los grandes y los pequeños números están presentes en muchas expresiones de la vida del ser humano. Los números nos sirven para contar, calcular, y expresar resultados de acciones como pesar, medir y otras, acompañándolos con las unidades que corresponden a estas magnitudes. La producción del cobre se traduce en miles de toneladas métricas anuales, cantidades que se expresan con grandes números. En alguna fase de su producción el material se reduce a gránulos de un tamaño inferior a un milímetro, siendo necesario entonces el manejo de los pequeños números.

El sistema de numeración que usamos en la actualidad se llama Sistema de Numeración Decimal porque la base con que se escriben los números es 10. Por ejemplo, en el número 4.523:

El dígito 4 representa la unidad de mil y vale entonces 4 · 1.000 = 4.000. El dígito 5 está en el lugar de las centenas y su valor es 5 · 100 = 500. El dígito 2 está en la posición que corresponde a las decenas y vale 2 · 10 = 20. El dígito 3 representa a la unidad y su valor es 3 · 1 = 3.

Notación abreviada usando potencias de 10: Tanto los grandes como los pequeños números tienen gran cantidad de cifras y en ocasiones, es útil escribirlos en una forma abreviada. Un recurso es transformando el número a un producto usando potencias de 10. Ejemplos:

1) Si el número es mayor que 1 se escribe el número compuesto por las cifras significativas (distintas de cero) y se multiplica por una potencia de 10 cuyo exponente es el número de 0 que tenía el número original.

65.000.000 = 65 · 10 6 } exponente 6

6 ceros

2) Si el número es menor que 1 se escriben las cifras significativas y se multiplica por una potencia de 10 que tenga un exponente igual al número de cifras decimales (las que están a la derecha de la coma) del número original.

0,000000000342 = 342 × 10 -12 } exponente 12

12 cifras decimales

1.2 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES 1.2.1 ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: Dados cba ,, , se define la suma o adición como a+b = c; donde a y b se

denominan sumandos y c suma o total. Por ejemplo, en la operación 12+8 = 20, 12 y 8 son los sumandos y 20 es la suma o total. La adición en el conjunto de los números naturales cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad Definición Ejemplo

Clausurativa Si ba, entonces, ba 2+5 = 7; en efecto, 75,2 y

Conmutativa Si ba, entonces, a+b =

b+a

2+5 = 5+2; en efecto, 7 = 7

Asociativa Si cba ,, entonces, a+(b+c)

= (a+b)+c

3+(8+2) = (3+8)+2; en efecto, 13 = 13

Modulativa Si a entonces, a+0 = 0+a

= a

9+0 = 0+9 = 9

1.2.2 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES: La sustracción es la operación inversa de la adición. Es decir, conocidos la suma y uno de los sumandos, la sustracción permite hallar el otro sumando. Dados cba ,, y a>b, se define la resta o sustracción como a-b = c siempre que

a = b+c; a se denomina minuendo, b sustraendo y c diferencia. Por ejemplo, 20-15 = 5, ya que 5+15 = 20. En este caso, 20 es el minuendo, 15 el sustraendo y 5 la diferencia.

1.2.3. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES: Dados cba ,, , se define la multiplicación o producto como a x b = c; donde a y

b se denominan factores y c producto. Por ejemplo, en la operación 8 x 6 = 48, 8 y 6 son los factores y 48 el producto. La multiplicación en el conjunto de los números naturales cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad Definición Ejemplo

Clausurativa Si ba, entonces,

axb

2 x 5 = 10; en efecto, 105,2 y

Conmutativa Si ba, entonces, a x b =

b x a

2 x 5 = 5 x 2; en efecto, 10 = 10

Asociativa Si cba ,, entonces, a x (b

x c) = (a x b) x c

3 x (8 x 2) = (3 x 8) x 2; en efecto, 48 = 48

Modulativa Si a entonces, a x 1 = 1

x a = a

9 x 1 = 1 x 9 = 9

Distributiva Si cba ,, entonces,

a x (b+c) = (a x b) + (a x c)

5 x (6+4) = (5 x 6) + (5 x 4); en efecto, 5 x 10 = 30+20 50 = 50

1.2.4 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES: En la división de números naturales se presentan dos casos dependiendo del residuo. Estos dos casos son: división exacta y división inexacta. La división exacta es la operación inversa a la multiplicación, ya que

conocidos el producto y uno de los factores, esta permite hallar el otro factor. Una división es exacta cuando existe un numero natural que multiplicado por el divisor da como resultado el dividendo. Así,

Dados cba ,, , se define la división exacta como cba siempre que a = b x

c; a se denomina dividendo, b divisor y c cociente. En este caso, el residuo de la división es 0. Por ejemplo, 3927 , ya que 3 x 9 = 27. Así, 27 es el dividendo, 9 el divisor y 3 el cociente.

Una división es inexacta cuando no existe un numero natural que multiplicado por el divisor de cómo resultado el dividendo. Así,

Dados rcba ,,, , se define la división inexacta como

Siempre que a = b x c; a se denomina dividendo, b divisor y c cociente. En este caso, el residuo de la división es diferente a0 0.

La división en el conjunto de los números naturales cumple únicamente con la siguiente propiedad: la división es distributiva con respeto a la resta y a la suma. Así, Si cba ,, , entonces, (a+b)/c = (a/c)+(b/c)

(a-b)/c = (a/c)-(b/c) Por ejemplo, al resolver la expresión (15+30)/3, se tendría: (15+30)/3 = (15/3) + (30/3) 45/3 = 5 + 10 15 = 15 1.2.5 POTENCIACIÓN EN LOS NATURALES: La potenciación es una operación que permite escribir, en forma abreviada, productos cuyos factores son todos iguales. Así, Si nba ,, , entonces, el producto de factores a x a x a x … x a = b

n veces

Se puede expresar como ban y se lee “a a la n es igual a b” o “b es la n-ésima potencia de a” En la anterior expresión a recibe el nombre de base y es el factor que se repite; n recibe el nombre de exponente y es el número de veces que se repite la base; y b recibe el nombre de potencia y es el resultado de multiplicar la base tantas veces como lo indique el exponente. Por ejemplo, la expresión 5 x 5 x 5 = 125 se puede

escribir como 12553 donde 5 es la base, 3 el exponente y 125 la potencia.

Propiedades de la potenciación: 1. Producto de potencias de igual base: para multiplicar dos o más potencias

de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes. Esto es, nmnm aXaa . Por ejemplo, 725 333 X

2. Cociente de potencias de igual base: para dividir potencias de igual base,

se deja la misma base y se restan los exponentes. Esto es,

nm

n

m

aa

a. Por ejemplo, 3

2

5

33

3

3. Potencia de una potencia: para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes. Esto es,

mxnnm aa . Por ejemplo, 824 44

4. Potencia de un producto: la potencia de un producto es el producto de las

potencias de cada uno de sus factores. Esto es, nnn

xbaaxb . Por ejemplo, 2224343 xx

5. Potencia de un cociente: la potencia de un cociente es el cociente de las

potencias de cada uno de sus factores. Esto es,

n

nn

b

a

b

a. Por ejemplo,

7

77

5

10

5

10

Para tener en cuenta…

Todo numero natural elevado al exponente cero, da como resultado uno.

Así, 10a

Cero elevado a cualquier número natural, da como resultado cero. Así,

00n

Todo número natural elevado al exponente uno, da como resultado el

mismo número. Así, aa1

Uno elevado a cualquier número natural, da como resultado uno. Así, 11n

Cero elevado al exponente cero, no está definido en ningún sistema numérico.

1.2.6 RADICACIÓN EN LOS NATURALES Es una operación inversa a la potenciación. Permite hallar la base cuando se

conocen el exponente y la potencia. Así, si nba ,, y n>1, entonces abn sí y

solo si an = b En la anterior expresión, n recibe el nombre de índice, b de cantidad subradical o radicando y a de raíz n-ésima. Por ejemplo, la expresión 5 3 = 125 se puede

escribir como 51253 , donde 3 es el índice de la raíz, 125 la cantidad subradical

y 5 la raíz. Para tener en cuenta…

Las raíces cuyo índice es 2 se denominan raíces cuadradas. A diferencia de los demás casos, en este tipo de raíces no se escribe el índice.

Las raíces cuyo índice es 3 se denominan raíces cúbicas.

Para extraer la raíz exacta de un número natural, se busca un número tal que elevado al índice de la raíz de cómo resultado el radicando. Por

ejemplo, 2325 , pues 2 5 = 32.

Propiedades de la Radicación: 1. Raíz n-ésima de un producto: es igual al producto de las raíces n-ésimas de

cada uno de los factores. Esto es, nnn bxaaxb . Por ejemplo, 444 16811681 xx

2. Raíz n-ésima de un cociente: es igual al cociente de las raíces n-ésimas de

cada uno de los factores. Esto es, nnn baba . Por ejemplo, 444 16811681

Para tener en cuenta…

La raíz n-ésima de 1, da como resultado 1. Así, 11n

La raíz n-ésima de 0, da como resultado 0. Así, 00n

1.2.7 LOGARITMACIÓN EN LOS NATURALES Al igual que la radicación, la logaritmación es una operación inversa a la potenciación. Esta operación permite hallar el exponente cuando se conocen la

base y la potencia. Así, si nba ,, y a ≠ 1, entonces nbalog si y solo si an = b.

Por ejemplo, 3 4 = 81 se puede expresar como log3 81 = 4. Para tener en cuenta…

Los logaritmos cuya base es 10 se denominan logaritmos decimales. A diferencia de los demás logaritmos, en este tipo de logaritmos no se escribe la base.

La expresión loga b = n se lee “logaritmo en base a de b es igual a n” Propiedades de los logaritmos:

1. Logaritmo de un producto: es la suma de lo logaritmos de cada uno de los

factores. Esto es, baaxb xxx logloglog

2. Logaritmo de un cociente: es la diferencia de los logaritmos del dividendo y

el divisor. Esto es, baba xxx logloglog

3. Logaritmo de una potencia: es el producto del exponente por el logaritmo de la base. Esto es, logx a

n = n x logx a

Para tener en cuenta…

El logaritmo de 1 en cualquier base, es 0. Así, logx 1 = 0

El logaritmo en base x de x, es 1. Así, logx x = 1

El logaritmo de 0 en cualquier base, no esta definido en ningún sistema numérico.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Utilizar las propiedades de la potenciación para hallar el resultado de la

siguiente potencia: 44

26

77

77

x

x

Solución: 8

8

44

26

7

7

77

77

x

x

= 70 = 1 2. Una bacteria es un organismo unicelular y microscópico que se reproduce

por división celular sencilla. Muchas enfermedades son causadas por bacterias. Por ejemplo, la bacteria Yersinia pestis es la causante de la peste. Esta rara bacteria azotó a Europa durante el siglo XIV y dejó millones de muertos por todo el continente. Si se reproduce triplicándose cada 20 minutos, ¿Cuántas bacterias habrá después de transcurridas 2 horas?

Solución: el tiempo en que se reproduce la bacteria es de 20 minutos. Es decir, se reproduce seis veces en el transcurso de las dos horas. Debido a que la bacteria se triplica, el número de bacterias que habrá después de este tiempo, esta dado por una potencia de base 3. Así, 3 6 = 729. Luego, habrá 729 bacterias Yersinia pestis después de transcurridas dos horas. 3. Utilizar las propiedades de la radicación para hallar el resultado de la

siguiente raíz: 4 16256

Solución: 444 1625616256

= 4 ÷ 2 = 2 4. Hallar la medida del lado del

terreno de la figura Solución: la expresión que determina la medida del lado de la figura, está

dada por mm 13169 2

5. Utilizar las propiedades de la logaritmación para hallar el resultado de la

siguiente expresión: 25125log832log 52 x

Solución: 25125log832log 52 x

= log2 32 + log2 8 + log5 125 – log5 25 = 5 + 3 + 3 – 2 = 9 6. Una bacteria se reproduce duplicándose cada hora. ¿Cuántas horas habrán

transcurrido en el momento que hay exactamente 4096 bacterias? Solución: debido a que la bacteria se reproduce duplicándose, el número de horas que habrán transcurrido en el momento que hay exactamente 4096 bacterias, está determinado por un logaritmo de base 2. Así, log2 4096 = 12 pues 212 = 4096. Luego, habrán transcurrido 12 horas en el momento que hay exactamente 4096 bacterias.