Nmeros ndicesSon medidas estadsticas que permiten estudiar los cambios experimentados por una magnitud-simple o compuesta- a lo largo del tiempo o del espacio. Lo ms usual es trabajar con datos temporales, de modo que se establece un punto de partida, conocido como periodo base o de referencia, con respecto al cual se va a comparar el valor de la magnitud en cualquier otro periodo, denominado actual o corriente. Estas comparaciones se efectan en forma de cociente, por lo que los ndices son adimensionales.Nmeros ndices simples

Sea Xi una magnitud simple, y sean Xi0 y Xit los valores de dicha magnitud en el perodo base y actual, respectivamente. El nmero ndice simple para la magnitud citada se define como Ii = = que nos mide la variacin, en tanto por uno, que ha sufrido la magnitud Xi entre los dos perodos consideramos. (Si queremos la variacin en tanto por ciento, multiplicaremos la expresin anterior por 100).

Los ndices simples ms usuales son:

Precio relativo: cociente entre el precio de un bien en el perodo actual y el precio del mismo en el perodo base.

Cantidad relativa: cociente entre la cantidad producida o vendida de un bien en el perodo actual y en el perodo base:

Valor relativo: El valor de un bien en un perodo cualquiera se define como el producto del precio de ese bien y la cantidad producida (o vendida) de ese bien. Por lo tanto el valor relativo de un bien ser el cociente entre los valores de ese bien en el perodo actual y en el perodo base:

.

.

Adems, podemos observar que: Salario relativo: cociente entre el salario en el perodo actual y en el perodo base:

Nmeros ndices complejos no ponderados.

Sea X una magnitud compleja formada por las simples X1, X2, Xn que han tomado los siguientes valores:

Perodo basePerodo actualndices simples

x10...xn0x1txntI1=

In=

ndice Media Aritmtica de ndices simples:

ndice Media Geomtrica de ndices simples:

ndice Media Armnica de ndices simples:

ndice Media Agregativa:

NDICES DE PRECIOS

En este apartado vamos a estudiar las magnitudes econmicas mediante los ndices de precios, que miden la evolucin de la magnitud precio de un conjunto de bienes y servicios.

ndices complejos de precios no ponderados

ndice de Sauerbeck

Que es simplemente la media no ponderada de los precios relativos de los bienes considerados.

ndice de Bradstreet-Dtot

Es la media agregativa sin ponderar de los precios.

Estos dos ndices tienen la ventaja de ser fciles de aplicar, pero presentan el inconveniente de que no tienen en cuenta la importancia relativa de cada uno de los diferentes bienes en el conjunto total, ya que no son ponderados.

Ejemplo 4Supongamos una cesta de la compra compuesta por los siguientes artculos: pan, leche, huevos y carne, de los que la informacin disponible aparece en la tabla siguiente: BienesPrecios

200520062007

PanLecheHuevosCarne30802009003284220110035892351250

121014361609

Tomando como ao base 2005, calcula los ndices de Sauerbeck y de B-D para cada uno de los otros dos perodos.

Nmeros ndices complejos ponderados.

Para calcular los ndices anteriores no se tiene en cuenta la importancia relativa que puede tener cada una de las magnitudes simples en el conjunto de todas ellas. En la mayora de los casos va a ser necesario considerar para cada magnitud simple, y por lo tanto para sus ndices unas ponderaciones que midan su peso relativo dentro del conjunto en que se consideren.

Suponiendo que las diferentes ponderaciones o pesos asignados son: w1,, wn, tendremos los siguientes nmeros ndices complejos ponderados:

ndice Media Aritmtica ponderado: ndice Media Geomtrica ponderado:

ndice Media Armnica ponderado: ndice Media Agregativa:

ndices complejos de precios ponderados

Los sistemas de ponderacin utilizados tradicionalmente son:

wi=pi0qi0, que es el valor de la cantidad consumida del bien i-simo en el perodo base a precio de dicho perodo. Wi=pi0qit, que es el valor de la cantidad consumida del bien i-simo en el perodo actual a precios del perodo base.

La primera corresponde a una situacin real y la segunda a una situacin ficticia.

ndice de Laspeyres: ndice de Paasche:

Este ndice exige calcular las ponderaciones pitqit para cada perodo corriente. Por lo tanto su clculo es muy laborioso. Adems presenta el inconveniente de que el ndice de precios de cada ao slo se puede comparar con el del ao base. ndice de Edgeworth

Es una media agregativa ponderada de precios cuyo coeficiente de ponderacin es wi = qi0+qit.

ndice ideal de Fisher

Es la media geomtrica de los ndices de precios de Laspeyres y Paasche.

A continuacin vamos a estudiar las propiedades que cumplen estos ndices para intentar encontrar el ndice ms idneo para utilizarlo para medir las variaciones de los precios.

Los cuatro ndices cumplen la propiedad de existencia y de identidad.

La propiedad de inversin solo la verifican los ndices B-Dp, Ep y Fp.

Algebraicamente los seis ndices cumplen la propiedad de proporcionalidad, pero en el caso de Paasche, Edgeworth y Fisher se puede plantear una objecin de tipo econmico: al variar los precios en cualquier proporcin es difcil mantener el supuesto de que las cantidades qit permanezcan constantes; la variacin de stas depender de las elasticidades cantidad-precio de cada bien. Slo sera aceptada la suposicin de constancia de las qit cuando la cantidad es rgida respecto al precio (variaciones de precio no implican variaciones en la cantidad).

Por lo tanto B-Dp es el que cumple ms propiedades pero como es no ponderado no suele utilizarse con frecuencia. Todos los ndices ponderados cumplen el mismo nmero de propiedades, pero se suele seleccionar el ndice de Laspeyres porque es el nico que realmente cumple la propiedad de proporcionalidad (fundamental para cualquier expresin que intente medir la variacin de los precios).

PROPIEDADES

Existencia

Todo nmero ndice debe existir (ser un nmero real), ha de tener un valor finito y distinto de cero. Identidad

Si se hacen coincidir el perodo base y el perodo actual el nmero ndice ha de ser igual a la unidad. Inversin

Si notamos por un ndice con base 0 y perodo actual t, al intercambiar los perodos entre s () el nuevo ndice debe ser tal que Circular

Es una generalizacin de la propiedad anterior.

Si consideramos los perodos 0, t, ty t, se debe cumplir y .Como consecuencia de esta propiedad y de la inversin tenemos la propiedad cclica o circular modificada:

Proporcionalidad

Si en el perodo actual todas las magnitudes sufren una variacin proporcional, el nmero ndice debe quedar lgicamente afectado por esta variacin.

Si los valores Xit sufren una variacin proporcional de orden k, de forma que los nuevos valores en el perodo t son:Xit = Xit+k Xit=(1+k) Xit

Los nuevos ndices simples sern:

Homogeneidad

Un nmero ndice simple no queda afectado por cambios en las unidades de medida de las magnitudes que en l intervienen.

Sera deseable que estas propiedades que, en general se cumplen para los ndices simples, se verificasen tambin para los complejos. Esto no siempre ocurre.