Números Hemiperfectos José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom.

divulgadoresrd@hotmail.com

Abstract.

Algunos números, como los perfectos, semiperfectos, abundantes y deficientes, se definen a partir de sus divisores positivos o más bien a partir de la suma de los factores propios que conforman a cada grupo. Así tenemos que un número es perfecto siempre y cuando la suma de todos sus divisores propios sea igual al número dado; decimos que un números es deficiente si la suma de todos sus divisores propios es menor al número dado, si tal suma es mayor que el número dado decimos que el número es abundante. Los divisores también definen a los números semiperfectos, que se definen como aquellos que se pueden expresar como la suma de algunos de sus divisores propios. Atendiendo las propiedades que podemos encontrar entre los divisores de un número dado, en el presente escrito se muestran los números hemiperfectos (hemi- prefijo griego que significa mitad). Definidos de una manera vaga, podemos decir que un número es hemiperfecto si se puede expresar mediante la suma de la mitad de sus divisores, es decir, si un número posee una cantidad de divisores (incluidos la unidad y el propio número) y tomando solo , a partir de un algoritmo conocido, es posible sumar el número dado, entonces, podemos tener la certeza de que tal número es hemiperfecto. Some numbers , like perfect , semiperfect , abundant and deficient , defined from the positive or rather from the sum of the specific factors that make each group dividers. Thus we have a number is perfect as long as the sum of all its proper divisors is equal to the given number ; say that a number is deficient if the sum of all its proper divisors is less than the number given , if such sum is greater than the given number say that the number is abundant. The dividers also define the semiperfect numbers, which are defined as those that can be expressed as the sum of some of its own splitters. Considering the properties that can be found among the divisors of a given number, in this written hemiperfects numbers (prefix hemi - Greek meaning half) is. Vaguely defined, we can say that a number is hemiperfect if it can be expressed as the sum of half of its divisors.

Keywords.

Divisores propios, divisores, números hemiperfectos, números perfectos, números abundantes, números defectivos, números semiperfectos.

Un número es hemiperfecto si tiene la forma:

Entre sus divisores se encuentran los números: , y .

Donde:

En la tabla subsiguiente se muestran algunos números hemiperfectos, para

valores de .

0 1 2 3 4 3 5 17 257 65537

12 40 544 131584 8590065664

Diagrama de flujo para saber si un número es hemiperfecto.

Nota:

El número impar debe ser de la forma: .

Algunas características de los números hemiperfectos.

Los números hemiperfectos son números semiperfectos. Eso significa que

tales números se pueden expresar como la suma de algunos de sus divisores

propios. Ejemplo:

Los divisores propios del 40 son: 20, 10, 8, 5, 4, 2, 1.

Como se puede observar, entre los divisores propios del 40 se encuentran,

por lo menos, dos números pares consecutivos (10, 8). Esta característica es

distintiva, pero no exclusiva, de los números hemiperfectos.

Los divisores propios que sumados nos dan el número hemiperfecto son

fáciles de encontrar. Ejemplo:

Dado el número hemiperfecto 544, encontrar los divisores que sumados sean

iguales al número dado.

Para encontrar tales divisores, hacemos lo siguiente:

Dividimos entre dos el número dado. El resultado también lo dividimos entre

dos y repetimos el proceso hasta que el resultado sea un número impar

(primo). Al último resultado le restamos dos, este número también es un

divisor propio del número dado; finalmente sumamos todos los divisores

encontrados y a dicha suma le agregamos dos.

Los divisores propios encontrados de 544 son: La

suma de los divisores propios encontrados es:

.

Si , entonces:

Donde:

Todo número hemiperfecto tiene una cantidad par de divisores (incluidos el

uno y el propio número). Del número total de divisores positivos , sólo

basta tomar (ni más ni menos) para que, al ser sumados, nos den el

número hemiperfecto dado. De ahí el nombre hemiperfecto (hemi- prefijo

griego que significa mitad). Si , entonces:

Divisores no exclusivos.

Los divisores , y no son exclusivos de los números

hemiperfectos. Por ejemplo, el número 72 posee entre sus divisores los

números: , y . Pese a tener los mencionados

divisores, el 72 no es un número hemiperfecto. Esto se puede verificar al

buscar los divisores .

; 16 no es un divisor de 72, por lo tanto, 72 no es un número

hemiperfecto.

Otro ejemplo es el 144, al buscar los divisores , tenemos que:

144/2 = 72

72/2 = 36

36/2 = 18

18/2 = 9

18 – 2 = 16

En este caso vemos que el 16, efectivamente, divide al 144. Eso nos puede

hacer pensar que el 144 es un número hemiperfecto, pero, no lo es. Dado

que el 9, número impar, no puede ser expresado como: .

Como se ha podido observar los números hemiperfectos poseen propiedades

distintivas que los distinguen de otros conjuntos numéricos. Si bien no todas

son exclusivas de ellos, la combinación de sus propiedades lo hace un

conjunto distinguible y clasificable.

Referencias.

Carmichael, R. (1907). A table of multiply perfect numbers. Bull. Amer.

Navarro Loidi, Juan. (2002). Los “Elementos” de Euclides.

Jara, Pascual y Villegas, salvador. (2008). Números Curiosos.

www.ugr.es/~anillos/textos/pdf/2008/numeros.pdf

Mora Flores, Walter. (2012). Introducción a la Teoría de Números. Ejemplos y

algoritmos. 1ra ed. (versión digital).