números enteros

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 1: Números enteros

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1Números enteros

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En el manejo del dinero aparecen situaciones en las que tienes dinero y otras en las que lo debes.

Estas y otras situaciones han dado lugar a los números enteros.

Los mercaderes fueron los primeros en utilizar el cero y los números negativos.


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La criba de Eratóstenes

Busca en la webEnlace a configuraciones de tablas numéricas

Enlace a la historia de Eratóstenes

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


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Esquema de contenidos

Números enteros

Definición Valor absoluto

Operaciones

Suma y resta

Multiplicación y división Potencias de números enteros

Base y exponente de una potencia

Operaciones con potencias

Raíces cuadradas

Raíces exacta y entera

Divisibilidad entre enteros

Múltiplo y divisor

Criterios de divisibilidad

MCD y MCM

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones


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Los números enteros

El conjunto de números enteros se representa con la letra Z y está formado por:

- Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, …

- El número cero: 0

- Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, …

SIGUIENTE


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El valor absoluto de un número entero es el número que resulta de prescindir de su signo.

Se escribe:

a 3 - 4 - 10 5 - 1

3 4 10 5 1

El opuesto de un número entero es otro número con el mismo valor absoluto pero de signo contrario.

Valor absoluto

aa

a


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Para sumar dos números enteros se procede de la forma siguiente:

Ejemplo 1:

Dos sumandos con el mismo signo

Haz tú los cálculos.

Suma y resta de números enteros

Ejemplo 2:

Dos sumandos con diferente signo

13

137676

76

signomismo

1

16767

76

signodiferente

SIGUIENTE


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Para dividir dos números enteros, se dividen sus valores absolutos y se añade el signo + si son de igual signo, o el signo – si son de diferente signo.

Producto y división de números enteros

15)5(-)3d. (- 15 -) 5(- )3b. (

15-)5()3 (- c.15)5()3a. (

Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y se añade el signo + si son de igual signo, o el signo – si son de diferente signo.

9)3(-:)27d. (- 9 -) 3(- :)27b. (

9-)3(:)27 (- c.9)3(:)27a. (


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Potencia de números enteros

Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales:

a es la base y n es el exponente.

veces n

n a...aaaa

27333)3( .c

813333)3( .b

8133333 .a

3

4

4

Conclusión:

- Si la base es positiva la potencia es positiva.

- Si la base es negativa y el exponente par, la potencia es positiva.

- Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia es negativa.


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Operaciones con potencias: producto y cociente de potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base:

Para dividir potencias de la misma base:

mnmn aaa

mnmn aa:a

SIGUIENTE


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Operaciones con potencias: producto y cociente de potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base:

Para dividir potencias de la misma base:

mnmn aaa

mnmn aa:a

Entonces:

23535

52323

333:3

4444

SIGUIENTE


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Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia:

mnm n aa 123333333343 666666)6(

124343 66)6(

Por la definición:

Utilizando la propiedad:

SIGUIENTE


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Potencia de una multiplicación y de una división

La potencia de una multiplicación es:

La potencia de una división es:

nnn baba

nnn b:ab:a

SIGUIENTE


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Por la definición Por la propiedad

21666623232323 3

SIGUIENTE


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21666623232323 3 2168272323 333

SIGUIENTE


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21666623232323 3 2168272323 333

625.5015151515

3535353535 4

SIGUIENTE


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21666623232323 3 2168272323 333

625.5015151515

3535353535 4

625.50816253535 444


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Raíz cuadrada

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número

b tal que al elevarlo al cuadrado, se obtiene el número a.

Se escribe:

donde a es el radicando, b es la raíz.

Los números que tienen raíz cuadrada exacta se dice que son cuadrados perfectos.

ab ba 2


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En una expresión pueden aparecer diversas operaciones combinadas. Para hallar el valor de la misma, se ha de seguir estrictamente el siguiente orden en su cálculo:

1.º Las operaciones que estén incluidas entre paréntesis.

2.º Las potencias y las raíces.

3.º Los productos y las divisiones, de izquierda a derecha.

4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

SIGUIENTE


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Ejemplo:

1 º

2 º

3 º

4 º

22 23564(-3)

SIGUIENTE


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Ejemplo:

1 º

2 º

3 º

4 º 22

22

23304(-3)

23564(-3)

SIGUIENTE


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Ejemplo:

1 º

2 º

3 º

4 º

22

22

22

2274(-3)

23304(-3)

23564(-3)

SIGUIENTE


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Ejemplo:

1 º

2 º

3 º

4 º

42749

2274(-3)

23304(-3)

23564(-3)

22

22

22

SIGUIENTE


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Ejemplo:

1 º

2 º

3 º

4 º

41089

42749

2274(-3)

23304(-3)

23564(-3)

22

22

22

SIGUIENTE


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Ejemplo:

4117

41089

42749

2274(-3)

23304(-3)

23564(-3)

22

22

22

SIGUIENTE

1 º

2 º

3 º

4 º


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Ejemplo:

113

4117

41089

42749

2274(-3)

23304(-3)

23564(-3)

22

22

22

1 º

2 º

3 º

4 º


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Si la división a: b es exacta (su resto es cero), podemos afirmar:

a es divisible por b

a es múltiplo de b

b es divisor de a

Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores positivos son él mismo y la unidad.

Divisibilidad entre números enteros


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Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer si un

número es divisible por otro.

DIVISIBLE POR…

CRITERIO

2 Si la última cifra es 0 o par.

3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

5 Si la última cifra es 0 o 5.

10 Si la última cifra es 0.

11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11.

SIGUIENTE


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Ejemplo: Decir si el número 4.521 es divisible

por 2, 3, 5, 10 y 11DIVISIBLE CRITERIO

2 Si la última cifra es 0 o par.

3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

5 Si la última cifra es 0 o 5.

10 Si la última cifra es 0.

11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11.

Divisible por 2: no lo es por que no acaba en 0 o

en número par.

Divisible por 3: sí, porque la suma de las cifras es

múltiplo de 3 (4 + 5 + 2 + 1 = 12).

Divisible por 5: no, porque su última cifra

no es 0 o 5.

Divisible por 10: no, porque su última cifra

no es 0.

Divisible por 11: sí, porque (4 + 2) -(5 + 1) = 0.


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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo

en factores primos los números y multiplicando los

factores primos comunes elevados al menor exponente.

El m.c.m. de varios números se obtiene descomponiendo

en factores primos los números y multiplicando los

factores primos comunes y no comunes elevados al

mayor exponente.

SIGUIENTE


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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Vamos a calcular el m.c.m. y el m.c.d.

Ejemplo: Hallar el m.c.m. y el m.c.d. de -16 y 12.

12

6

3

1

2

2

3

16

8

4

2

1

2

2

2

23212 2

4216

m.c.d. (12, -16) = m.c.d. (12, 16) = 22 = 4

m.c.m. (12, -16) = m.c.m.(12, 16)= 24· 3 = 48


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Enlaces de interés

Curiosidades con números enteros

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Actividad: Los números triangulares

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad1aa.htm

Realiza esta actividad de la sucesión de los números triangulares.

Para trabajar con ella,

sigue este enlace.

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