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Números complejos

Son de la forma a+bi donde “a” y “b” son números reales.El término i se denomina la unidad imaginaria

Por ejemplo:

x2+1=0x=√−1x=1 i

La unidad imaginaria tiene la propiedad i2=−1

El número imaginario en términos de variable compleja se denota:

Ζ=a+biRe {Ζ } = a la parte real del número complejo Ζ es a Im {Ζ } =b la parte imaginaria del número complejo Ζ es b

El conjugado de un número complejo Ζ se denomina Ζ__

ó Ζ *

Por ejemplo: si Ζ=a+bi ∴Ζ∗¿a−bi

Operaciones fundamentales de números complejos LA SUMA Y RESTA

Si tenemos Ζ1=a+bi ; Ζ2=c+di

Ζ1+Ζ2=( a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c )+(b+d ) i

Ζ1−Ζ2=(a+bi )−( c+di)=a+bi−c−di=( a−c )+(b−d ) i

MULTIPLICACIÓN

Ζ1⋅Ζ2=(a+bi)( c+di)=ac+adi+cbi+bdi2

DIVISIÓN

1.- Multiplicar

Ζ1Ζ2 ( Ζ̄

__

2

Ζ2 )Apuntes |

bdi2=bd⋅−1=−bd=(ac−bd )+( ad+cb )i

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Ζ1Ζ2

=a+bic+di ( c−dic−di )=(a+bi)(c−di )

(c+di )(c−di)= ac−adi+bci−bdi

2

c2−cdi+cdi−(di)2=

(ac+bd )+(bc−ad ) ic2+d2

Re (Ζ1Ζ2 )=(ac+bd )

c2+d2

Im {Ζ1Ζ2 }=bc−adc2+d2

Si Ζ1=8+3i ; Ζ2=9−2 i

Ζ1−Ζ2=(8+3 i)−(9−2i)=8+3 i−9+2 i=(8−9)+(3+2) i

= −1+5 i

Re {Ζ1−Ζ2}=−1 Im {Ζ1−Ζ2 }=5

Ζ1Ζ2

= 8+3i9−2i ( 9+2 i9+2 i )=72+16 i+27 i+6 i

2

81+4=66+43 i85

Re {Ζ1Ζ2 }=6685 Im {Ζ1Ζ2 }=4385

PLANO COMPLEJO

Apuntes |

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MATRICES Y DETERMINANTES

A=[ a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

] tipo nxm

B=[b11 b12 b13 ]1 x 3 : Matriz renglón

C=[c11c21c31 ]3 x1 : Matriz columna

Matrices equidimensionales: (Matriz cuadrada)

A=[ a11 a12a21 a22 ]2 x2

Matriz nula:

A=[0 00 0 ]=0

Traza de una matriz

A=[ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

]3 x 3

Tr ( A )=a11+a22+a33

Apuntes |

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Transpuesta de una matriz

A=[ a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a41 a42 a43 a44

]

AT=[ a11 a21 a31 a41a12 a22 a32 a42a14 a24 a34 a44

]Ejemplo

B=[1 2 34 5 67 8 9 ]

BT=[1 4 72 5 83 6 9 ]

Matriz Simétrica

A=[5 6 76 9 27 2 0 ]

AT=[5 6 76 9 27 2 0 ]

B=[3 8 2 58 0 4 62 4 9 π5 6 π 3

]

BT=[3 8 2 58 0 4 62 4 9 π5 6 π 3

]SUMA DE MATRICES

[2 3 15 4 91 8 0 ]+[7 5 6

1 2 −40 0 2 ]=[2+7 3+5 1+6

5+1 4+2 9−41+0 8+0 0+2 ]=[9 8 7

6 6 51 8 2 ]

Producto escalar por una matriz

Si α se un escalar:

Apuntes |

αA=α [a11 a12 a13a21 a22 a23 ]=[αa11 αa12 αa13

αa21 αa22 αa23 ]

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PRODUCTO DE MATRICES

Siendo A={a ij } de orden mxn y

B= {bij } de orden nxp el producto A⋅B es:

A=(a11 a12a21 a22 ) , B=(b11 b12

b21 b22 )

A⋅B=(a11 a12a21 a22 )2 X2⋅(

b11 b12b21 b22 )2 x2=(a11 b12+a12b21 a11 b12+a21b22

a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 )CALCULAR

(1 23 4 )⋅(5 6

7 8 )=((1)(5 )+(2)(7 ) (1 )(6 )+(2)(8 )(3 )(5)+( 4 )(7 ) (3)(6 )+(4 )(8 ))=(19 22

43 50 )

En las matrices no aplica la propiedad conmutativa, por lo que: A⋅B≠B⋅A

(1 2 34 5 67 8 9 )⋅(

0 2 58 6 34 7 1 )=(16+12 2+12+21 5+6+3

0+40+24 8+30+42 20+15+60+64+36 14+48+63 35+24+9 )=(28 35 14

64 80 41100 125 68 )

(2 57 35 0 )3 x 2⋅(1 4 6

8 9 2 )2 x 3=(2+40 8+45 12+107+24 28+27 42+65+0 20+0 30+0 )=(42 53 22

31 55 485 20 30 )

A=(2 5 17 3 85 0 1 )

3X 3

⋅B=(1 4 68 9 2 )2 X3=Indet .

BT=(1 84 96 2 )

3X 2

Apuntes |

Amxn⋅Bnxp=Cmxp

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A⋅BT=(2 5 17 3 85 0 1 )⋅(1 8

4 06 2 )=(2+20+6 16+45+2

7+12+48 56+27+165+0+6 40+0+2 )

A⋅BT=(28 6367 9911 42 )

Apuntes |

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