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8/10/2019 NUMEROS COMPLEJOS2.doc

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COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 2011 - Prof. Cecilia Galimberti MA EM! ICA "# A$O %G&'A N# 2 - N(MEROS COMPLE)OS

E*ercicio 1+ Marquen con una cruz todos los conjuntos numricos a los cuales pertenecen lassoluciones de las ecuaciones:

Ecuacin Resolucin N Z Q I R x 3 !

x " # !

x $ # !

x% # &

x% " ! &

'omo sa(emos) en R no podemos resol*er ra+ces cuadradas de n,meros ne-ati*os) como! ) .a que no existe nin-,n n,mero real cu.o cuadrado sea i-ual a !$

/ara eso de0inimos el s+m(olo i para indicar un n,mero tal que: i, 1 / i!

1eniendo en cuenta la i-ualdad a partir de la cual lo de0inimos) . que este n,mero no es real) podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de al-unas ecuaciones$

Ej: x% " ! & x% " # & x% ! x% #

x ! i x # i x! # i x # # i

2a que: i% " ! & . i4% " ! & 2a que: # i4% " # & . # i4% " # &

E*ercicio 2+ 5tilicen el s+m(olo i para expresar las soluciones de las si-uientes ecuaciones:

a4 x% " 6 & (4 x% " 7 & c4 x% !& # x%

d4 x% 8 & e4 8 x% " !9 & 04 x " 7 4% !& x

-4 !!6%

!=

+ x4 x # 4 x # 4 #& i4 x ; 4% !9 x

j4 3 # # x 4 x 6 4 x # 4


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E*ercicio +'ompleten la si-uiente ta(la: N,mero 'omplejo

Z/arte Real

Re z4/arte Ima-inaria

Im z4=es complejo) real o

ima-inario puro>7 " 3 i

# ;

6 #?3

! 3

# 3 i

7 i

& 66 &

& &

CON)&GADO OP&ES O DE &N N(MERO COMPLE)O@ partir de un n,mero complejo z a " (i) se de0inen los si-uientes:A El conju-ado de z es z = a bi la parte real es i-ual . la parte ima-inaria es opuesta4A El opuesto de z es z = a bi la partBe real . la parte ima-inaria son opuestas4

#


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Ejemplos:! z ! # i ! z ! " # i ! z ! " # i#

z 6 i # z 6 i # z 6 i3 z 9 3 z 9 3 z 9

E*ercicio "+'ompleten el si-uiente cuadro:

z z z

C " D i

# 9 i

" 3 i 3

7 i# F i

REPRESEN ACI N GR!FICA DE &N N# COMPLE)O

E*ercicio 3: Representar los si-uientes n,meros complejos:!

z ! i # z 3 " # i 3 z # 3iE*ercicio 4+Gado i z 37 = ) -ra0icar z z z z ))) $ =Qu relacin existe entreellos>

M D&LO ARG&MEN O

3


4/7

5E*ercicio 6: Hallar el mdulo . el ar-umento de los si-uientes complejos . -ra0icarlos:

a4 7 # i (4 3 " F i c4 C " i d4 ! i

FORMAS DE REPRESEN AR &N N(MERO COMPLE)O

7 Forma %i8/mica+ 9 2 : i

7 Forma Carte;ia8a+ 9 < 2 = >

7 Forma Polar+ 9 < 595 ? @ >o8 e 595 e; el m/ Blo ? @ el ar Bme8to

z %3%# + !3 J K arct- 3?#4 79L!; 37 z !3 ?79L!; 37 4

AForma ri o8om trica+ 9 595 . 595 m/ Blo@ ar Bme8to

z !3 $ cos 79L!; 37 " i sen 79L!; 37 4

eri0icamos : z 3)9&7 $ &)776 " i &);3#4z !)888O$ " #)888Oi aprox # " 3i4

E*ercicio +Expresar los si-uientes complejos en 0orma polar:

a4 z 3 i (4 z # 7 i c4 z ( )#J # d4 z ( )3)3

E*ercicio +Expresar en 0orma tri-onomtrica los nL complejos del ej ;

OPERACIONES CON N(MEROS COMPLE)OS

En los si-uientes ejemplos pueden o(ser*ar cmo sumamos) restamos) multiplicamos .di*idimos n,meros complejos:

SBma+ # " 3 i 4 " ! 7 i 4 # " ! 4 " 3 7 4 i 3 # i

Re;ta: # " 3 i 4 ! 7 i 4 # ! 4 " 3 74 i4 ! " ; i

MBlti licaci/8+ # " 3 i 4 $ ! 7 i 4 # $ ! " # $ 7i4 " 3 i$! " 3i $ 7i4 # !& i " 3 i !7 i% ! i

recordar que i, 14

6


5/7

DiHi;i/8+/ara resol*er la di*isin de dos n,meros complejos) siendo el di*isor no nulo) multiplicamos aam(os por el conju-ado del di*isor) del si-uiente modo:

i

i

7!3#

+

i

i

i

i

7!7!

$7!3#

+

+

+

4%7%!

%!73!i

iii

+++

#7!

!3!3+

+ i i

#!

#!

+

Multiplicar por una 0raccin de i-ual numerador . denominador es como multiplicar por !)

por lo tanto) la i-ualdad no se altera$

E*ercicio 10: 'onsideren los complejos: ! z # " i J # z 3 " 7 i J 3 z 6 i .resuel*an las si-uientes operaciones:

a4 ! z " # z 3 z (4 ! z " # z 3 z c4 ! z 3 z d4 7$ 3 z e4 ! z " # z 4$ 3 z 04 ! z " # z 4$ ! z 3 z 4 -4 ! z $ # z 3 z 4 3 z 4%

E*ercicio 11+'onsideren los complejos: ! z 3 i J # z 6 i J 3 z " # i .resuel*an las si-uientes di*isiones:

a4 =!

# z

z

(4 =3

! z

z

c4 =#

3 z

z

d4 =3

# z

z

e4#

3$!9 z

z

04!

! z

E*ercicio 12+ 'ompleten las potencias de i:

=&i =!i =#i =3i

=6i =7i =9i =Ei

=Qu re-ularidad o(ser*an>

E*ercicio1 +'alcular las si-uientes potencias:

a4 =!#Ei e4 =86i i4 =!!33 $ii

(4 =66i 04 =6!# 4i j4 =3## : ii

c4 =#6#i -4 =73 4i


6/7

1"> A ici/8 SB;tracci/8 e NJmero; Com le*o;:

a4 !& " 3 i 4 " ; " # i 4 " 6 " 7 i 4 R: ##) !&4 (4 " 7 i 4 3 6 i 4 7 " # i 4 R: 8 ) 4

c4 ! " F i 4 " 3 3?# i 4 " 6 " i 4 R: & 4

d4 ; " 47

3i " ++ 4

!&

E

6

Ei = 4

!&

3

6

!i R: !& " i 4

e4 =+++++ 4#3

!7#;

46!

!7#

463

36

47#

iiii R: i 4

04 =+++++ 4##

4##

4##

34

##3

iiii

R: #3 + 4

134MBlti licaci/8 DiHi;i/8 e NJmero; Com le*o;+

a4 !& " # i 4 $ 3 " !7 i 4 R: !79 i 4

(4 7 " # i 4 $ 7 " # i 4 R: #8 4

c4 ! " i 4 $ ! i 4 R: # 4

d4 =ii36

$73

R: 6?74

e4 3# + i4 $ #3 + i 4 R: 7 i 4

04 =++ 4#

#4$6

3

#4$

#

#iii R: ! " 9 i 4

-4 6 " # i 4 : ! " i 4 R: ! " 3 i 4

4 ! " i 4 : ! i 4 R: i 4

i4 6 " # i 4 : i R: # 6 i 4 j4 =++ 4

6!

7#

:47#

6!

ii R: i 4

Pote8cia e NJmero; Com le*o;:

a4 i 9& (4 i 9 c4 i EE d4 i !&6 e4 i 4 #7E 04 i 4!3 -4 ! " i 4% R: #i4 4 6 3 i4% R: #6 i4

i4 i#!

7#

+ 4% R: i7

#

!&&

8+ 4 j4 i

7

3

E

#+ 4% R: i

37

!#

!##7

36!+ 4

16> E*ercicio; combi8a o; e8 C+

a44#4#3

4%$#! 6E

ii

ii

+

+

R: i#3

#!

+ 4 d4i

i

i

i

+

!#

3P##

7

9


7/7

(44#4#6

4#34#3#73

ii

iii

+++

+

R:!37 i+

4 e4 =+

+ i

i

i

i

#

4%!

4%!

#

c4 =

++

4#3$

4%#$4#38

!

ii

iiR:

!3

6E i+4 04

i

i

+

!

4%##

##

1 > EcBacio8e; e8 C+ Kallar el Halor e 9+

a4 z $ # 3 i 4 " # i 4 3 # i R: ! " i 4

(4 ! ) # 4 z ! ) ! 4 R: #) !4

c4 # ) 3 4 " z ! ) # 4 R: 3 ) 7 4

d4 # ) # 4 " z # ) 3 # 4 z R: & ) # 4

e4 ! i 4 $ z ! " i R: ! 4

044#)#

4!)#

+ z # ) # 4 R: 9 ) ! 4

-4 # ) # 4 $ z ; ) # 4 & ) # 4 R: # ) # 4

4 z

43)3 " ! ) & 4 3 " ! ) 3 4 R: & ) ! 4

i4 # i " z 3 i R: 3 3 i 4

j4 # 3 i 4 $ z # " 3 i 4 $ i R: i

!3

7

!3

!# 4

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