Alumnos: Gonzalo Nisi y Alejandro Lasconi

Curso: 3º 2ª

Escuela de enseñanza técnica particular incorporada “Sagrada Familia” Nº 8180 SPEP E. Zeballos 1850 Casilda

Profesor: Héctor Andrés Crenna

Fecha de Inicio: 23/06/08

Fecha de Entrega:01/09/08

Trayecto Técnico Profesional

Módulo: Op., Mant. Y Ens. de Comp. de Equipos Electromecánicos

T.P.:2

4-LOS NÚMEROS COMPLEJOS8-LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SUS

OPERACIONES11-REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

DE LOS COMPLEJOS15-FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS

COMPLEJOS18-POTENCIAS DE i

LOSLOS NÚMEROSNÚMEROS COMPLEJOSCOMPLEJOS

Hemos resuelto ecuaciones como –3x=2 para la que no encontramos solución en N, ni en Z, pero sí en Q, la solución es x=-2/3. Para la ecuación

x2=2 solo encontramos solución en R,

pues x= .2

Siguiendo esta secuencia, se puede plantear la siguiente ecuación:

X2 + 1=0

Podrás comprobar que no tiene solución ni en N, ni en Z, ni en Q, ni en R.

*Una solución consiste en asignarle a x el valor , pero sabemos que esto no es posible, porque la radicación no permite tomar radicandos negativos si el índice es par.

1−

Por eso, se introdujo el símbolo i (que quiere decir imaginarius) para nombrar a

. Por lo tanto si

i= i2=-11−1−

⇒

LOSLOS NÚMEROSNÚMEROS COMPLEJOSCOMPLEJOS YY SUS SUS OPERACIONESOPERACIONES

Los números complejos son de la forma a+bi, donde a y b son números reales cualesquiera e i es un símbolo para la unidad imaginaria.

·Reglas para trabajar con los complejos:

Si Z1= a + bi Z2= c + di1.IGUALDAD: Z1=Z2 ⇔ a=c y b=d2.SUMA: Z1 + Z2= (a+bi) + (c+di)3.PRODUCTO: Z1.Z2= (a+bi).(c+di)

Ejemplo: Z=5+3i Z es un número complejo.

Re(z)=5 * La parte real de Z es 5.

Im(z)=3 * La parte imaginaria de Z

es 3.

*Si a = 0 y b 0 resulta imaginario puro.

*Si a 0 y b = 0 resulta número real.

≠≠

REPRESENTACIÓNREPRESENTACIÓN GEOMÉTRICAGEOMÉTRICA DE DE LOSLOS COMPLEJOSCOMPLEJOS

·A cada número complejo expresado en la forma binómica:

a+bi·Se le puede asignar un PAR ORDENADO:

(a;b)

A cada par ordenado le asignamos un punto del plano:

x

Y

(a;b)

a

b .

Eje x = Eje Real Eje y = Eje Imaginario

El número complejo a+bi se representa con un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el punto (a,b).

x

Y

M

c a

bv

El vector v representa al complejo

a+bi. M es el punto extremo del vector y

se llama afijo complejo a+bi

FORMAFORMA POLARPOLAR DEDE LOSLOS NÚMEROS NÚMEROS COMPLEJOSCOMPLEJOS

El complejo 3+2i está asociado al punto P=(3,2) mas también c/punto del plano queda

determinado por su distancia al origen de coordenadas |OP|=ρ y por el ángulo de OP con

el eje positivo de x.

ρ y ϕ designan las coordenadas polares de P.

De modo que un número complejo Z queda expresado en forma polar así: Z =(ρ, ϕ)

Ejemplos:

ϕ=45º

.ρ ºA

y

x x

y

-30º

º B•A tiene por

coordenadas polares ρ=3 ϕ=45º

•B tiene por coordenadas polares

ρ=4 ϕ=-30º

POTENCIASPOTENCIAS DEDE ii

Teniendo en cuenta que i2=-1 calculamos las sucesivas potencias de i, conveniendo en definir:

i0=1 i1=i i2=-1 i3=-i

A partir de la cuarta potencia los números 1, i, -1, -i se repiten

periódicamente, así:

i4=i3.i=-i.i=-i2=1

Para calcular una potencia cualquiera de i, por ejemplo in, debemos hallar el resto de la

división de n.4.

De esta manera si entonces n=4.q+r

Luego: in=i4.q+r=i4q.ir=(i4)q.ir=1q.ir=ir

In=ir donde r es el resto de la división de n por 4

4nqr