3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para  .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes

enteros se tiene  .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la

forma  .

 

RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJOEstudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo.

Dado  , sea  , para un número natural p.

Si  , puesto que  , es decir,  . Por

tanto,  , y además,  , o

sea,  , para  .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para  .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos

se diferencian en   cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y

radio  .

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas

de  

 

 

Puede verse lo mismo en la siguiente animación: