REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

SEDE BARCELONA

INGENIERÍA CIVIL

Números complejos

Profesora: Integrantes: Pedro Beltrán Santiago Enrique Barberi Castillo

c.i. 26000465

Barcelona, mayo de 2016

Los números complejosSon una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo   el conjunto de los números reales se cumple que   (  está estrictamente contenido en  ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejoSe define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota

; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota. Luego en el conjunto de los números complejos, se definen tresℂ

operaciones y la relación de igualdad: Suma

Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes: Resta

División

Al número   se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo   se denomina número imaginario puro. Puesto que   se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.

Otras formas de representar los números complejos

1. Forma binómica *Parte real.

*Parte imaginaria.

*Módulo.

*Conjugado.

*Opuesto.

*Suma de complejo.

2. Forma polar o módulo-argumento:

*Argumento. *Argumento principal.

*Producto de complejos.

*Fórmula de Moivre.

*Cambio de forma binómica a polar y viceversa.

3. Forma exponencial:

4. RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO

5. resta

6. multiplicación

7. división

8. producto por escalar

1) Forma binómica:

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a  , de este modo se tiene: Gráficamente, podemos representar  (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria. Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores   y    su suma es 

Calcular:

1.) (2+i) + (1+3i)

(2+i) + (5+3i) = (2+5)+(1+3)i

(2+i) + (5+3i) = 7+4i

2.) (4+5i) y (4+6i)

(4+5i) + (4+6i) = (4+4) + (5+6)i = 8 + 11i

“Se define el módulo” de un número complejo como el módulo del vector que lo

representa, es decir, si  , entonces el módulo de   es .“El conjugado de un número” complejo se define como su simétrico respecto del

eje real, es decir, si  , entonces el conjugado de   es .“El opuesto de un número” complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple,  , por tanto podemos expresar el inverso de un

número  en la forma  .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de

representación de los números complejos.

2. Forma polar o módulo-argumento: *Argumento. *Argumento principal. *Producto de complejos. *Fórmula de Moivre. *Cambio de forma binómica a polar y viceversa.

2. Forma polar o módulo-argumento: Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

Donde es el módulo de  , y donde q es un argumento de  , esto es, q es un ángulo tal que

,  .

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si   es un valor particular del argumento de  , entonces

Se denomina argumento principal al único valor   tal que , y se denota  Se verifica entonces que

.

Dos números complejos  y  , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales  , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir,  , con  . La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si  , y  , entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos

Siempre que .

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si  , para  , entonces

Suma y resta de números complejos dados en su forma polar No hay una forma para sumar o restar de manera abreviada números en su forma polar. Una alternativa para operar es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere, pasar el resultado a la forma polar.

Ejemplo

Encuentre z1+z2 . Exprese el resultado en forma polar.

z1=630º z2=2−30º

Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación trigonométrica

z1=630º=6(cos(30º)+sen(30º)i)= 3√3+3i

z2=2−30º=3(cos(−30º)+sen(−30º)i)= √3−1i

Entonces sumamos en forma binómica

=4√3−2i

Si se requiere pasamos a la forma polar. El modulo |z1+z2|= √13El argumento, θ=atan(2)  4√3En definitiva,

z1+z2=√13atan (1) . 2√3

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre: Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que

. En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo,

. La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre

y el desarrollo del binomio de Newton

De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para   en función del seno y del coseno de q, bastará con considerar por un lado la fórmula de Moivre

y por otro el desarrollo del cubo

Si igualamos ahora las partes reales de ambos desarrollos tenemos

Igualando las partes imaginarias obtenemos además, sin ningún esfuerzo adicional una expresión para 

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica

 

Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:

     z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica:

     z = rα = r (cos α + i sen α)

3. Forma exponencial: Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida

como fórmula de Euler: para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para

potencias con exponentes enteros se tiene  .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo

en la forma .

4. RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo.

Dado  , sea  , para un número natural p.

Si  , puesto que  , es decir,  . Por

tanto ,  , y además,  , o sea,  , para  .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para  .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus

argumentos se diferencian en   cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de

centro 0 y radio .

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de

División: La división de dos números complejos es otro número complejo tal que: Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.

645° : 315° = 230°

División de números complejos en forma binómica:

Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes.

La resta de números complejos:Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2ejemplo:(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Aplicamos la definición de la resta, la suma con el inverso aditivo 

(a + bi) − (c + di) = (a + bi)+(−(c+di)) 

   =(a +bi) + ( − c − di)         Opuesto de (c + di) 

   =(a − c ) + (b − d )i             Suma de complejos.La diferencia de dos números complejos es otro número complejo tal quesu parte real es la diferencia de las partes reales y y la parte imaginaria es la diferencia de las partes imaginarias ejemplo:(3−2i) − (4+6i). 

(3−2i) − (4+6i)=(3−4)+(−2−6)i−1−8i

Multiplicación de números complejos en forma binómica.

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta Quei2 = −1.(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

Multiplicación de números complejos en forma polarLa multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:Su módulo es el producto de los módulos.Su argumento es la suma de los argumentos.

645° · 315° = 1860°

Producto por un complejo de módulo 1.Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β