números complejos
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Materia Números ComplejosTRANSCRIPT
NUMEROS COMPLEJOS C
Supongamos que se quiere resolver la ecuacion cuadrática
x2 � 2x � 5 � 0
a � 1, b � 2, c � 5
� � b2 � 4ac � 0
x1 ��b � �
2a, x2 �
�b � �2a
� � 22 � 4 � 1 � 5 � �16 � 0
Considerando como universo a IR, esta ecuación no tiene solución. Para poder darlesolución nos invenamos un nuevo numero no real que pueda satisfacer condicionescomo la anterior y la llamaremos unidad imaginaria
i, �j�
con la propiedad
i2 � �1
o equivalentemente
i � �1
si ahora intentemos resolver se tiene que
x1 ��2 � �16
2 � 1, x2 �
�2 � �162 � 1
x1 ��2 � �1�16�
2, x2 �
�2 � �1�16�2
x1 ��2 � 4 �1
2, x2 �
�2 � 4 �12
x1 � �2 � 4i2
, x2 � �2 � 4i2
x1 � �1 � 2i, x2 � �1 � 2i
a estos nuevos numeros los llamaremos numeros complejos, pues estan compuestospor dos partes una que tiene la unidad imaginaria y otra que no la tiene. Demos unadefinicion formal
Definicion Formal (Forma binomial):El conjunto de los numeros comlejos C es el definido por
C � a � bi / a � IR, b � IR
donde
a � Re�a � bi� : parte real
b � Im�a � bi� : parte imaginaria
Ejemplo:
z1 � �2 � 3i
Re�z1� � �2
Im�z1� � 3
z2 � 8
Re�z2� � 8
Im�z2� � 0
z2 � 8 � 0i
z3 � �5i
Re�z3� � 0
Im�z3� � �5
z3 � 0 � 5i
Representacion:Un numero complejo no se puede representar en la recta numerica pues tiene
dimension 2
z � a � bi � �a, b�
Ejemplo:
z � 4 � 3 i � 4, 3
Operatoria:En lo que sigue considere que
z1 � a1 � b1i
z2 � a2 � b2i
Suma:
z1 � z2 � a1 � b1i � a2 � b2i
z1 � z2 � �a1 � a2� � �b1 � b2�i
Ejemplo:
z1 � �5 � 4i
z2 � 7 � 6i
z1 � z2 � �5 � 4i � 7 � 6i
� ��5 � 7� � �4 � ��6��i
z1 � z2 � 2 � 2i
Multiplicacion:
z1 � z2 � �a1 � b1i��a2 � b2i�
� a1a2 � a1b2i � b1ia2 � b1ib2i
� a1a2 � a1b2i � b1a2i � b1b2i2
� a1a2 � a1b2i � b1a2i � b1b2
z1 � z2 � �a1a2 � b1b2� � �a1b2 � b1a2�i
Ejemplo:
z1 � �5 � 4i
z2 � 7 � 6i
z1 � z2 � ��5 � 4i��7 � 6i�
� �35 � 30i � 28i � 24i2
� �35 � 30i � 28i � 24
��5 � 4i��7 � 6i� � �11 � 58i
Definicion: Si z � a � bi, llamaremos complejo conjugado de z al numero complejo
z� � a � bi � a � bi
Ejemplo: Si z � �4 � 5i entonces
z� � �4 � 5i � �4 � 5i
Division:z1z2
� a1 � b1ia2 � b2i
� z2z2
� a1 � b1ia2 � b2i
� a2 � b2ia2 � b2i
� a1 � b1ia2 � b2i
� a2 � b2ia2 � b2i
��a1 � b1i��a2 � b2i�
�a2�2 � �b2i�2
��a1 � b1i��a2 � b2i�
a22 � b2
2
� a1a � a1b2i � b1a2i � b1b2i2
a22 � b2
2
� a1a2 � b1b2
a22 � b2
2 � b1a2 � a1b2
a22 � b2
2 i
Ejemplo:Calcula 3 � 2i4 � 5i
3 � 2i4 � 5i
� 3 � 2i4 � 5i
� 4 � 5i4 � 5i
� 3 � 2i4 � 5i
� 4 � 5i4 � 5i
��3 � 2i��4 � 5i�
42 � ��5�2
� 12 � 1016 � 25
� 15 � 816 � 25
i
3 � 2i4 � 5i
� 2241
� 741
i
Ejemplo:Divide
5 � 4i�2 � 7i
� 5 � 4i�2 � 7i
�2 � 7i�2 � 7i
� 5 � 4i�2 � 7i
�2 � 7i�2 � 7i
��5 � 4i���2 � 7i�
��2�2 � ��7�2
���10 � 28�
53�
��8 � 35�53
i
� 1853
� 4353
i
Ejemplo: Resuelve la ecuación3 � 2i
z � 1 � iz � 2i
� 1 � iz
3 � 2iz � 1 � i
z � 2i� 1 � i
z /z�z � 2i�
�3 � 2i��z � 2i� � �1 � i�z � �1 � i��z � 2i�
3z � 6i � 2iz � 4 � z � iz � z � 2i � iz � 2
3z � 2iz � z � iz � z � iz � �2i � 2 � 6i � 4
z � 2iz � �6 � 4i
z�1 � 2i� � �6 � 4i
z � �6 � 4i1 � 2i
� 1 � 2i1 � 2i
z ���6 � 4i��1 � 2i��1 � 2i��1 � 2i�
z � �6 � 12i � 4i � 81 � 4
z � 2 � 16i5
� 25
� 165
i
Definicion : Si z � a � bi, llamaremos norma o modulo de z a
�z� � z � z�
� �a � bi��a � bi�
� �a�2 � �bi�2
�z� � a2 � b2
Ejemplo: Si z � �3 � 4i
�z� � ��3�2 � 42
� 9 � 16
� 25
��3 � 4i� � 5
Si z � 16 � 33i
�z� � 162 � 332
� 256 � 1089
� 1345 � 36. 674. . .
�16 � 33i� � 1345
Potencias de i
Las potencias de i tienen un carecter cíclico de longitud 4
i0 � 1
i1 � i
i2 � �1
i3 � i2 � i � �1 � i � �i
i4 � i2 � i2 � ��1���1� � 1
i5 � i4 � i � 1 � i � i
i6 � i4 � i2 � 1 � ��1� � �1
�
i15 � i12�3 � i12 � i3 � �i4�3 � i3 � 13 � i3 � i3 � �i
�
i571 � i3 � �i, note que 571 �multiplo de 4
568 �potencia que se utiliza
3
i1347 �
para las potencias negativas
i�1 � 1i� �i�i
� �i�i2 � �i
���1�� �i
i�2 � �i�1�2 � ��i�2 � ��1 � i�2 � ��1�2 � i2 � 1 � ��1� � �1
i�3 � �i�1�3 � ��i�3 � ��1�3 � i3 � ��1���i� � i
i�4 � �i�1�4 � ��i�4 � ��1�4 � i4 � 1 � 1 � 1
�
i�397 � �i�1�397 � ��i�397 � ��1�397 � i397 � ��1� � i1 note que 397 �multiplo de 4
396 �1