UNIVERSIDAD GARCILASO DE LA VEGA

NUMEROS COMPLEJOSCurso:MATEMATICA BASICA II

Docente:

Alumno:

CARLOS GERARDO CHAVEZ MOSCOSO

Lima - Per 2014INTRODUCCIONEn el conjunto de los nmeros reales, una ecuacin tan sencilla como x2 + 1 =0 no se puede resolver ya que es equivalente a x2 = -1 y no existe ningn nmero real cuyo cuadrado sea negativo. As, para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario construir un conjunto de nmeros que contenga a los reales y en el que se puedan calcular las races cuadradas y, en general, de ndice par de nmeros negativos.

Un nmero complejo es un nmero de la forma a+bi, donde a y b son nmeros reales, llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como El conjunto de nmeros complejos es C = {a+bi/a, b R}. Los nmeros complejos con parte imaginaria no nula, es decir de la forma a+bi con b 0, se llaman nmeros imaginarios y si adems la parte real es nula, es decir son de la forma bi, se llaman nmeros imaginarios puros. Si la parte imaginaria del nmero complejo a+bi es nula, entonces se tiene el nmero real a+0i = a, de donde se deduce que R C. Se dice que dos nmeros complejos son iguales si lo son sus partes reales y sus partes imaginarias. Es decir, a+bi = c+di si se verifica a = c y b = d.

Nmeros complejos en forma binmicaAl nmero a + bi le llamamos nmero complejo en forma binmica. El nmero a es la parte real del nmero complejo. El nmero b es la parte imaginaria del nmero complejo.Si b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0i = a.Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi, y se dice que es un nmero imaginario puro.El conjunto de todos nmeros complejos se designa por Complejo.

Los nmeros complejosa + biy-a -bise llamanopuestos.Los nmeros complejosz= a + biyz= a bi se llaman conjugados.Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.El mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por|z|.

Argumento de un nmero complejoEl argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa porarg(z).Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

Expresin de un nmero complejo en forma polarz = r|z| = r(res el mdulo)arg(z) =(es el argumento)

Ejemplos de conversin de la forma polar a la forma binmica:z = 2120Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en primer lugar a laforma trigonomtrica:z = r= r (cos +isen )

EJEMPLOS

Raz ensima de complejos en forma polar

La raz ensima de nmero complejo es otro nmero complejo tal que:Su mdulo es lanraz ensima del mdulo.

Su argumento es:

Para calcular la potencia de un complejo en forma trigonomtrica utilizamos la frmula de Moivre:

EjemplosExpresa en funcin de cos y sen :cos 3 y sen 3Binomio de Newton binomio

FRMULA DE MOIVRE

Igualamos con la parte real e imaginaria de la expresin anterior.

CONCLUSIONESDentro del cuerpo de los nmeros complejos, toda ecuacin polinmica tiene solucin. Hemos mostrado que mediante la frmula y la unidad imaginaria, podemos obtener la solucin de ecuacin. Una vez introducidos los nmeros complejos en sus formas binmica y polar, hemos visto que tanto la suma como la resta se efectan con extraordinaria facilidad en forma binmica, mientras que el producto y la divisin se realizan ms fcilmente en forma polar.

BIBLIOGRAFIAhttp://www.ditutor.com/numeros_complejos/formula_moivre.htmlhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htmhttp://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comteto.pdfhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htmhttp://www.ditutor.com/numeros_complejos/numeros_complejos.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/complejo/complejo.htm

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