Repaso de contenidos pasados

•Integrantes: Elías A., Escalante l., Mamaní A., Rivero T., Tedín D.•Curso: 3 2 Economía y administración•Colegio: José Manuel Estrada•Año: 2012

Números racionales (Q)

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros. A los números racionales se los puede escribir como una función o un decimal , este último puede ser finita o infinita. Ejemplo : expresión decimal finita

Expresión decimal infinita

Conversión de decimal finita a fracción : Se debe escribe el numero sin la coma y debajo de la línea de fracción se escribe el ¨1¨ seguido de tantos ¨0¨ como decimales hay a la derecha de la coma ej.:

Expresión decimal periódica: Se debe transformar una fracción siguiendo los siguientes pasos:1. Al numero se lo debe escribir sin coma ni el sombrero.2. Luego los números que en el original se encuentran fuera del sombrero restarlos

con el numero que se escribió en el punto 1.3. En caso de ser : Decimal periódico puro : se siguen los pasos 1 y 2 luego escribir en la línea de

fracción tantos ¨9¨ como decimales tenga el periodo Ejemplo:

Decimales Periódicos Mixtos : Se sigue los pasos 1 y 2 y luego debajo de la línea de fracción se escribe tantos ¨9¨ como decimales hay debajo del sombrero y seguido de tantos ¨0¨ como decimales no periódicos tiene el numero todos esto se realiza observando el numero original.

Ejemplo :

Aproximación y truncamiento .Error •Cuando se quiere APROXIMAR se debe determinar hasta que cifra decimal se va aconsiderar Y luego se observa la cifra que se encuentra a su derecha , si esta es desde 0 a 4 la cifra considerada queda igual ( por defecto ) Ej 1,43 =1,4 .Pero en caso de que la cifra de la derecha se a de 5 a 9 a la cifra a considerar se lo suma 1 ( por exceso ) Ej. 4,585 = 4,59•Truncamiento: Es corta el numero en la tercera cifra decimal y eliminar los restantes Ej. :7,457/457457457457457 = 7,457

PorcentajeEl tanto porciento ( A % ) de una cantidad (B ), es tomar A% de las 100 partes en que se divide B es decir Ejemplo :

Descuento y recargoSe puede calcular directamente un valor con descuento o recargo de una cierta cantidad•Cuando al compara algún producto se realiza u descuento del 8% lo que se termina pagando es el 92 % lo que se realiza es una resta 100% (total ) menos el 8% ( descuento ) = 92%•Cuando se compra con un recargo del 6% lo que se paga es el 106% lo que se realiza es una suma 10% ( total costo del producto ) mas 6% ( recargo) =106%

ProporcionalidadDos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre ambas es siempre el mismo valor k.Un automóvil que se desplaza a una velocidad constante de 60 km/h.k = y/x = 60/1 = 120/2 = 180/3 y = 60xLa función de proporcionalidad directa es una recta que pasa porel origen de coordenadas y su pendiente es k. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cunado el producto entre ambas es siempre un mismo valor k.Para vaciar una pileta de natación, se utilizan varias bombas que arrojan la misma cantidad de agua.y.x = k → y = k/xk = 5.8 = 2.20 = 10.4 = 8.5 → y = 40/x

La función de proporcionalidad inversa es una hipérbola.

Potenciación de Números RacionalesCuando un numero racional esta elevado a la potencia, esta potencia afecta tanto al denominador como al numerador de la fracción.Ej.:

49

9

2

3

7

32

22

Para calcular cualquier potencia de una expresión decimal existe una regla practica: la cantidad de lugares decimales de la potencia es igual al producto de la cantidad de lugares decimales de la base por el exponente.Ej.: 0,03³ = 0,03 . 0,03 . 0,03 exponente

2 . 3 = 6

2 lugares decimales cant. De lug. Decim.

180 prop. directa

120

60

1 2 3

10 prop. inversa

8

52

4 5 8 20

Radicación de Números RacionalesCuando un numero racional esta afectado por una raíz, esta raíz afecta tanto al de nominador como al

numerador de la fracción.Ej.:

Para calcular cualquier raíz de una expresión decimal existe una regla practica.

La cantidad de lugares decimales de la base dividida el índice.Ej.:Si la cantidad de lugares decimales de la base no se puede dividir exactamente por el índice entonces la

raíz no es exacta:

Los números racionales y los irracionales determinan los n reales. Un número es irracional cuando no puede ser expresado como el cociente entre dos números

enteros y su expresión decimal tiene una cant. infinita de cifras no periódicas. Todas las raíces no exactas son números irracionales. Ej.: Para operar con números racionales se los debe aproximar.

INTERVALOS REALES Un intervalo real es un segmento o semirrecta de la recta real. Se representa como un par ordenado denúmeros encerrados entre paréntesis y/o corchetes. El paréntesis indica que no se incluye al número,

y el corchete sí . < >=( ) y Ej.: -2< x ≤ 5→(-2 ; 5]

3

5

9

25

9

25

09.003,0;3,009,02

xq

3 64,0;009,0;4,0

7320508,13

R

-2 5

221122

si n es impar

[ ] si n es par

221255

221255

2 3

1

10

a)Para representar

b) Para representar

Propiedades de la Radicación

nnn baba .. 63618.218.2

nnn baba ::3272:542:54 3333

nmm n aa . 38181 4

n na

a

a77

2

0. .

:: paaa

pm pnmn

nmm n22

48

opiedadPr Ejemplos

221122

2102

Representación de raíces cuadradas en la recta real

Para representar en la recta numérica se debe

recurrir a la relación pitagórica: A² =B² + C²

a

22CBA

22CBA

B

C

Extracción de factores de un radical

• Se pueden extraer factores de una raíz al factorear su base, resulta una potencia cuyo

exponente es mayor o igual que el índice de la misma. Para ello hay que aplicar las

propiedades de la potenciación y la radicaciones. Ej.:

Adición y Sustracción de Radicales • Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y base. Para sumar o restar

radicales. Estos deben ser semejantes.

a) b)

Dos radicales pueden no ser semejantes y luego de extraer factores sí lo son.

a)

Polinomios: Adición y Sustracción Ejemplo: P(x) = 4x³ + 2x – 3x² - 8 y Q(x)= 5x² - 7x + 11 – 6x³

a) P(x)+Q(x)= - 2x³ +2x² - 5x + 3 b)P(x) - Q(x)=10x³ - 8x² + 9x - 19

• Para multiplicar o dividir un polinomio por un numero real, se debe aplicar la propiedad

distributiva.

a)5 . P(x) =5 .( 4x³ + 2x - 3x² - 8) = 20x³ + 10x - 15x² - 40

b) Q(x): 2 = 5x² - 7x + 11- 6x³ =

2

333.33.3327223

272423 343539

373532353.235122

323

2

11

2

7

2

5xxx

Cuadrado de un BinomioPara elevar al cuadrado un polinomio, se debe multiplicar por si mismo, en el caso de un binomio:(a + b)² = (a + b) . (a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

En conclusión :

unbinomiocuadradode

ba2

mnmnxxx

..

323212.

4

3

9

8.

4

3

3

1

5

212

9

8

4

3xxxxxxxx

xxxxxxx4

1

10

39

3

2

3

1.

4

3

5

2.

4

3 243

Multiplicación de PolinomiosPara multiplicar dos polinomios. Se debe aplicar la propiedad distributiva y la propiedad del producto de dos potencias de igual base:

a)

ectoadradoperftrinomiocu

baba22

2

Cubo de un Binomio• Para elevar al cubo un binomio, se multiplica su cuadrado por el binomio:

(a+b)³ = (a+b)² . (a+b) = (a² + 2ab + b²). (a+b) = a³ + a²b +2a²b +2ab² +ab² +b² = a³ + 3a²b +3ab² +b³

En conclusion:

245323

2

43

2

3

2

53

2

5738

7

131

3

2.

5

4.

7.5

2.

5

3.2

5

2.

5.3

2.2

35

4

5

12

5

4

15

8xxxxxxxxxxxxxxx

Notación Científica

• La notación científica, es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

• En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica. La ventaja de expresar un número en notación científica, es que un número muy largo, puede escribirse de manera más abreviada y ayuda a operar con mayor facilidad.

• El exponente va a ser quien indique si la coma corre lugares hacia la derecha o izquierda. Por ejemplo:

732,5051 = 7,325051 102 (movimos la coma decimal 2 lugares

hacia la izquierda)

0,005612 = −5,612 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia

la derecha).

−

Factor ComúnExisten varios procedimientos de factoreo de un polinomio uno de ellos es:

a)

erfectoocuadradopcuatrinominomiocubodeunbi

babbaaba33233

33

Inecuaciones

• Una inecuación es una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.

• x + 4 < 7

• x < 7 + - 4x < 3

• Las ecuaciones y las inecuaciones son expresiones matemáticas que representan problemas reales.

• Una ecuación, es una igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros. Las letras reprecentas valores que se pueden hallar realizando la ecuación.Por ejemplo en la ecuación:

• Primer miembro Segundo miembro

• 3x-1 = 9+x

• Se puede afirmar que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de la variable la hacen cierta.

• Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variable que la satisfaga .Para el caso dado la solución es: x=5

Ecuaciones

expresiones AlgebraicasUna expresión algebraica es una combinación de letras, números, ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.Clasificación de las expresiones algebraicas:Monomio: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.Binomio: Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.Trinomio: Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios.Polinomio: Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.MonomiosUn MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 2x2 y3 zPartes de un monomioCoeficiente: El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6Grado de un polinomioEl grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Teorema de ThalesSi dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

El teorema de Thales en un triánguloDado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos sus lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

VOLUMEN Y CAPACIDAD:Volumen: es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo.

Se clasifican en tres categorías:•Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.•Unidades de volumen líquido. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.•Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos.

Capacidad: Se denomina capacidad al conjunto de recursos y aptitudes que tiene un individuo para desempeñar una determinada tarea. En este sentido, esta noción se vincula con la de educación, siendo esta última un proceso de incorporación de nuevas herramientas para desenvolverse en el mundo. El término capacidad también puede hacer referencia a posibilidades positivas de cualquier elemento.

La capacidad y el volumen son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuyas aristas midan 1 decímetro (1 dm3), se derramará 1 litro de agua. Por tanto, puede afirmarse que:1 dm3 = 1 litro Equivalencias 1 dm3 = 0,001 m3 = 1.000 cm3

FuncionesUna relación entre dos conjuntos numéricos A y B es un conjunto de pares ordenados (x;y), con la condición de que x Є A ᴧ y Є B.Una relación es una función cuando se cumplen dos condiciones:1) Todos los elementos del conjunto A estén relacionados con algún elemento del

conjunto B (existencia).2) Cada elemento del conjunto A se relacione con un único elemento del conjunto B

(unicidad).

Dominio e imagen de una funciónEn una función f:R → R , su dominio es un conjunto de números reales que son valores de x y su imagen, los que son valores de y.

En la función f del gráfico, el dominio son los valoresmarcados en celeste y la imagen, los marcados en naranja.

y IMAGEN

DOMINIO x

Conjunto de ceros o raíces, positividad y negatividad* El conjunto de ceros o raíces de una función son los valores de x que determinan que f(x) = 0.

f(-2) = 0 ᴧf(3) = 0 → C = {-2;3}*El o los conjuntos de positividad son los intervalos reales de los valores de x que determinan que la función sea positiva.

C+ = (-∞;-2) U (3;+∞)*El o los conjuntos de negatividad son los intervalos reales de los valores de x que determinan que la función sea negativa .

Cˉ = (-2;3)

Si a medida que los valores de x aumentan, el valor de la función aumentan, entonces,la función crece ; pero si disminuyen,entonces, la función decrece.

Crecimiento:(-∞; -4) U (3; ∞)Decrecimiento:(-4; -1)

Cuando al aumentar los valores de x, los valores de la función no varían, la función no crece ni decrece, sino que se mantiene constante

y

-6 -2 3 x

Función linealToda función cuya fórmula es y=mx + b se denomina función lineal y su gráfica es una recta.La fórmula y= mx + b se denomina ecuación explícita de la recta.• La ordenada al origen (b) es el valor en donde la recta corta al eje y.

f(o) = m.0 + b → f(0) = b• La raíz (xᴧ) de una función lineal es el valor en donde corta al eje x.

mx + b = 0 → mx = -b → xᴧ = -b/m• La pendiente (m) es la inclinación de la recta respecto del eje x y de determina con el

ángulo â .

m = tg â → â=arc tg m

a) x + y = 2 y = -x + 2

m= -1b= 2

Gráfico de una función linealPara graficar una función lineal a partir de su ecuación explícita y= mx + b, se utiliza la construcción de la figura.El ángulo de inclinación â es igual al ángulo β por ser correspondientes entre paralelas.

m= tg â = tg β = y/x

y R

b →Ordenada Raíz

\xᴧ x

Rectas paralelas y perpendicularesDos rectas en un plano pueden ser paralelas (//), perpendiculares ( ) u oblicuas (/_).Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por ejemplo:y₁ = mx + b₁y₂ = mx + b₂Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son inversas y opuestas. Ej.:y₁ = mx + b₁y₂ = -1/mx + b₂Si dos rectas no son paralelas ni perpendiculares, entonces, son oblicuas.

Rectas paralelas Rectas perpendiculares

y

x

y

x

Ecuación de la recta que pasa por dos puntosPor dos puntos cualquiera del plano pasa una sola recta.La recta A pasa por los puntos = (-2;-1) y b = (1;5)La ecuación de la recta es y = mx + b, por lo tanto:-1 = -2m + b → b = -1 + 2m5 = 1m + b → b = 5 – m-1 + 2m = 5 – m3m = 6m = 2b = 5 – 2 = 3A: y = 2x + 3

y A

5 - . . .b..

-2 .1| |

a . . . . . . . -1 x