Constantino Campos RomeroPedagogia 4º “B”

NÚMERO IRRACIONAL

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser

expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional.

== Notación == carolain No existe una notación universal para indicarlos, como, que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de

Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.

Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3,1428571428571... Se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),¡no porque esté loco!

Racional o irracionalPero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así

19/2 = 9,5

Así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos:

Números En fracción¿Racional oirracional?

5 5/1 Racional1,75 7/4 Racional.001 1/1000 Racional√2 (raíz cuadrada de 2)

? ¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√31,7320508075688772935274463415059 (etc.)

√999,9498743710661995473447982100121 (etc.)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hiposo por la borda y se ahogó.

Los números irracionalesUn número es i r racional s i posee inf in i tas c i f ras decimales no per iódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número i r racional más conocido es , que se def ine como la relación entre la longi tud de la c i rcunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589.. .Otros números i r racionales son:El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiact iva, en la fórmula de la catenar ia, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctr icos.

e = 2.718281828459.

El número áureo, ut i l izado por art istas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci , Alberto Dulero, Dal í , . . ) en las proporciones de sus obras.

ECUACION DE 2ª

Una ecuación de segundo grado 1 2 o ecuación cuadrática, es aquella en la cual la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.

Historia

El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla.

En Europa: a) en Grecia las desarrolló el matemático Diofanto de Alejandría; b) el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Líber embadorum, introdujo la solución de estas ecuaciones.

Fórmula cuadrática

De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

,

Donde el símbolo ± indica que los valores

y

Constituyen las dos soluciones.

Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:■ < 0: no posee soluciones reales;■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

.

Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

Donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

Ecuación bicuadrática

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

Con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:

1. Completa. Es la forma canónica:

Donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

Ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

Donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.

Una ecuación cuadrática incompleta:

Con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

Donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.

Deducción para resolver la ecuación de la forma

La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente líder, de forma que

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que y la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

Transponiendo n

Sumando a ambos términos

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Transponiendo y simplificando la fracción de la raíz

Simplificando a común denominador

Si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

Ejercicio;