notasclase febrero
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
NOTAS DE CLASE FEBRERO
CLASE 11-02-2016, GRUPO A (NATALIA, YENIFER Y DIÓGENES)
Al inicio de la clase, la profesora Carmen llamó lista y prosiguió a socializar las normas referentes a la clase, y a la forma de escribir las notas de clase. También explicó el programa que se desarrollará en el curso.
Normas de clase:
Los grupos de trabajo no se deben repartir los puntos de las tareas, para que
cada miembro solo haga uno de los problemas propuestos.
Las tareas deben contener la firma de los integrantes del grupo como
confirmación de que sí participaron en su realización.
Las notas de clase se deben enviar al correo personal de la docente ;
Se deben usar signos de puntuación adecuados. Esto mejora la redacción en las
notas de clase.
Utilizar solo un tipo de letra en notas de clase Cambria 12
El documento con la lista de teoremas, postulados y definiciones, que se
encuentra en nuestra carpeta en Dropbox, tiene como fin que todos los
integrantes del curso Geometría del Espacio tengamos el mismo nombre para
cada postulado y teorema, ya que como estuvimos en diferentes cursos de
geometría plana es posible que varíen los nombres correspondientes.
En la carpeta compartida de la clase en el Dropbox. Se encuentran el documentocon los lineamientos de cómo hacer las notas de clase, el programa de la clase, etc. Ahí se pondrá el documento con las notas de clase, las tareas extraclase, etc.
Además se organizaron los grupos de trabajo.
Como primera actividad se propuso la exploración de una figura, haciendo uso del software Cabri 3D.
El ejercicio era para trabajar en los grupos de trabajo antes organizados y para entregar.
TAREA 1
1. Estudiar la figura
Que objetos tridimensionales hay
Que propiedades encuentran
2. Reportar que herramientas descubrieron y cómo usarlas.
CABRI 3D Existen dos tipos de arrastre en Cabri 3D.
a) Arrastre de objeto Para arrastrar un punto, se debe usar la función Manipulación
que aparece en el primer ícono de izquierda a derecha. Es igual al arrastre en Cabri II
Plus.
b) Arrastre de perspectiva Para ver la figura desde diferentes ángulos, se pone el
cursor en cualquier sitio y se mantiene oprimido el botón derecho del ratón al
moverlo. El movimiento se asemeja al que uno hace cuando está examinando una
figura contenida en una bola de cristal. Sus propiedades no cambian.
Para la resolución de tal ejercicio de destinaron algunos minutos. Luego la docente propuso otra tarea que debía realizarse en Cabri 2D.
TAREA 2
Dadas las rectas 𝑚 y 𝑛 en un plano 𝛼. Sea otra recta 𝑙. a) Describa las posibles relaciones entre 𝑙 y las rectas 𝑚 y 𝑛.
b) Represente la situación en Cabri 2D.
¿Qué relaciones encuentra?
Formule conjeturas
De tarea fuera de clase, se recomienda revisar el documento del sistema teórico de geometría plana, para determinar si se tienen los mismos nombres. La profesora explicó algunos de ellos. Otros se suprimieron por el momento. A continuación, algunos postulados que se explicaron:
Convenio Unidad de Medida La unidad de medida se debe mantener en todas los objetos que se representan en una misma situación.
Se refiere a medir, por ejemplo, todos los segmentos en centímetros y no algunos en centímetros y otros en pulgadas.
Postulado Intersección Rayo Segmento Si 𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ contiene un punto en el interior del
∠𝐵 y 𝐴, 𝐶 son puntos en lados diferentes del ∠𝐵, entonces 𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∩ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≠ ∅.
Algunos estudiantes conocen este postulado como el de la Barra Trasversal.En el listado, se suprimieron los siguientes teoremas porque no se vieron en el curso anterior:
Teorema Ángulos suplementarios-paralelas Si dos rectas cortadas por una transversal determinan ángulos internos no alternos suplementarios entonces son paralelas.
Teorema Condiciones para paralelogramo Si en un cuadrilátero ambos pares de lados opuestos son congruentes, o ambos pares de ángulos opuestos son congruentes, o las diagonales se bisecan, o un par de lados son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Teorema Suma medidas de ángulos Para todo triángulo se tiene que la suma de las medidas de los ángulos es 180.
CLASE (16-02-16) GRUPO B (JENNY, NIMROD, CRISTIAN TRES)
1. Resumen de la clase: La clase inicia haciendo la corrección de la Tarea 1, la cual se realizó en la clase
anterior. Con base en las respuestas de los estudiantes en la Tarea 1, la profesora
hace algunas aclaraciones que se deben tener en cuenta en la clase de geometría.
La primera aclaración es que al hacer una afirmación se justifica teóricamente,
teniendo en cuenta los datos, la garantía y la aserción. A continuación un ejemplo.
Datos Garantía Aserción
Tres puntos no colineales P. Plano-puntos Determinan un plano
Se debe escribir la afirmación que se va a demostrar como condicional. Por
ejemplo: “si la figura es un triángulo, entonces es coplanar”, en la que el
antecedente son los datos y el consecuente es la aserción. Luego se hizo la
demostración del T. Triángulo figura coplanar.
La segunda aclaración es cuando se formula una conjetura, se deben nombran los
objetos geométricos. Por ejemplo: “Dadas las rectas 𝑚, 𝑙, 𝑛 en un plano 𝛼. Si 𝑚 ∥ 𝑙
y 𝑚 ∥ 𝑛 entonces 𝑛 ∥ 𝑙.”
La tercera aclaración es la diferencia que existe entre subconjunto y pertenencia.
Por ejemplo: "𝐴 ∈ 𝛼". No se puede decir "𝐴 ⊂ 𝛼", puesto que la relación de
subconjunto es entre conjuntos, mientras que la relación de pertenencia hace
referencia a un elemento. Por ejemplo: : "𝑚 ⊂ 𝛼" es una expresión correcta porque
la recta 𝑚 es un conjunto de puntos colineales, no es un elemento. Luego se incluye
el T. Punto infinitas rectas en el sistema teórico.
La cuarta aclaración es cuando se agregue un nuevo teorema en clase, los
monitores deben añadirlo al sistema teórico en otro color, con la finalidad de que
reconozcan que hay un elemento nuevo en la teoría.
La quinta aclaración es que no se deben hacer demostraciones minuciosas como se
hacían en los cursos anteriores, a menos que la profesora lo exija. La profesora
introduce otra forma de comunicar justificaciones; se identifican los núcleos
(pasos claves) y los pilares (elementos teóricos) de la demostración. Por ejemplo,
para demostrar que el triángulo es una figura coplanar, se tiene:
Núcleo Pilares Consecuencias
𝐴, 𝐵 y 𝐶 no colineales P. Plano puntos Existe plano 𝛼 talque
𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝛼
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⊂ 𝛼, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ⊂ 𝛼, 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ⊂ 𝛼 P. Dos puntos recta
P. Llaneza del plano 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐶𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗
𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗ ⊂ 𝛼, 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗ ⊂ 𝛼, 𝐶𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗ ⊂ 𝛼
La sexta aclaración es que no se debe usar para escribir proposiciones en
geometría la notación de Teoría de Conjuntos tal como, en vez de escribir “existe
un único” usar el símbolo “∃!”; en vez de escribir “talque” usar “ǀ” , entre otros. La
raya vertical no tiene sentido por sí sola, Es parte de una notación usada para
describir un conjunto: {𝑥|𝑥 es un número par}. Solo en ese contexto tiene sentido.
La Tarea 1 tiene que ver con la siguiente figura:
Se preguntó: ¿qué objetos tridimensionales hay en la figura? Los estudiantes
respondieron: cubo, una esfera, cilindro, pirámide o tetraedro, cono. La segunda
pregunta es ¿qué propiedades tienen las figuras? Las respuestas fueron:
a. Los cilindros tienen la misma medida. Comentario La profesora pregunta: ¿qué quiere decir eso? Hay que aclarar bien las frases, puesto que no se entiende qué significa que dos cilindros tengan la misma medida.
b. Los cilindros tienen el mismo radio y la misma altura. Comentario La afirmación corresponde a algo que se puede comprobar con
geometría dinámica.
c. Los triángulos del tetraedro son equiláteros. Comentario Esta propiedad se puede verificar con geometría dinámica.
d. Una cara del tetraedro es coplanar con la cara del cubo. Comentario: La forma de decir esto es que una cara de tetraedro está contenida en el plano que contiene a una de las caras del cubo.
e. La altura del muñeco es igual a la medida de una arista del cubo. Comentario La docente aclara nuevamente que no se entiende a que se refiere con que es “igual a”.
f. Una recta contiene el centro de la base del tetraedro, el de la base del cubo, el de la esfera y el centro del cono, y es perpendicular al plano que contiene la base del tetraedro. Comentario La afirmación es verdadera. Aunque teóricamente en este
momento no se puede demostrar, con ayuda de Cabri 3D se válida.
g. Las bases de los cilindros son coplanares a las caras del tetraedro. h. Los segmentos que están en el interior de los cilindros son perpendiculares al
plano que contiene al triángulo. i. El cilindro es perpendicular a una cara del tetraedro.
Comentario No se puede validar con Cabri 3D. j. La intersección del cono y la esfera es una circunferencia.
Comentario Se usa la herramienta “Curva de interseción” para verificar esto.
Tarea 2: Dadas las rectas 𝑚 y 𝑛 en un plano 𝛼. Sea otra recta 𝑙.
a) Describa las posibles relaciones entre 𝑙 y las rectas 𝑚 y 𝑛.
b) Represente la situación en Cabri 2D.
En cuanto a esta tarea, solo se alcanzaron a analizar dos respuestas.
a. Dadas las rectas 𝑙, 𝑚 y 𝑛 en 𝛼, 𝑚 ∩ 𝑛 ≠ ∅,𝑚 ∩ 𝑙 ≠ ∅, y 𝑙 ∩ 𝑛 ≠ ∅ entonces son paralelas Comentarios: .. Como primera medida nose aclara quien es 𝛼, y no se sabe
cuáles son las rectas paralelas. La afirmación es falsa porquelas tres rectas se
intersecan, puesto que el antecedente afirmaque las intersecciones son
diferentes de vacío.
b. Dadas 𝑙 y 𝑚 en 𝛼. Si 𝑛 ⊂ 𝛼 y 𝑙 ∥ 𝑚 y 𝑛 ∥ 𝑙 entonces 𝑚 ∥ 𝑛. Comentario: La profesora hace la siguiente pregunta: Si se toma un punto en el
espacio, ¿este teorema se cumple?
Para finalizar, se hizo la demostración del T. Transitividad paralelismo. Se propusieron dos demostraciones diferentes.
2. Geometría dinámica: a. Ocultar/mostrar: Manipulación; clic al objeto y ctrl+m. b. Distancia: Hacer clic a dos puntos del objeto. c. Ángulo: Si es un ángulo conformado por dos rayos, hacer clic en un punto de
un lado, en el vértice y en un punto del otro lado. d. Longitud: Señalar un segmento y hacer clic. e. Recta Perpendicular a un plano: Hacer clic en el plano y luego en el punto
que se quiere esté en la recta.
3. Demostraciones
T. Triángulo figura coplanar: Si ∆𝐴𝐵𝐶, entonces existe un plano 𝛼 talque
∆𝐴𝐵𝐶 ⊂ 𝛼.
Aserción Garantía y datos
1. ∆𝐴𝐵𝐶 Dado
2. 𝐴, 𝐵, 𝐶 no colineales D. Triángulo(1)
3. Existe plano 𝛼 talque 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝛼 P. Puntos plano(2)
4. 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗ P. Dos punto recta(2)
5. 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗ ⊂ 𝛼 P. Llaneza del plano(3,4)
6. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ T. RRS(4)
7. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶 ̅̅ ̅̅̅, 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ , ⊂ 𝛼 D. Subconjunto(5,6)
8. ∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∪ 𝐴𝐶 ̅̅ ̅̅̅ ∪ 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ D. Triángulo(6,1)
9. ∆𝐴𝐵𝐶 ⊂ 𝛼 D. Subconjunto(7,8)
T. Transitividad paralelismo: si 𝑚, 𝑛, 𝑙 rectas talque 𝑚 ∥ 𝑛 y 𝑛 ∥ 𝑙, entonces 𝑚 ∥
𝑙
Primera demostración:
En el plano.
En el espacio.
Aserción Garantía y datos
1. 𝑚, 𝑛, 𝑙 rectas distintas, 𝑚 ∥ 𝑛 y 𝑛 ∥ 𝑙
Dado
2. 𝑚 ∦ 𝑙 Negación de la tesis
3. 𝑚 ∩ 𝑙 ≠ ∅ D. Paralelismo (2)
4. 𝑖. 𝐴 ∈ 𝑚 ∩ 𝑙, o 𝑖𝑖. {𝐴} = 𝑚 ∩ 𝑙
i) D. Conjunto vacío (3) o
ii) T. Intersección de rectas (3)
5. 𝐴 ∈ 𝑚 y 𝐴 ∈ 𝑙 D. Intersección (4)
6. 𝑚 = 𝑙 P. Paralelas (1,5)
7. 𝑚 = 𝑙 y 𝑚 ≠ 𝑙 Conjunción (1,6)
8. 𝑚 ∥ 𝑙 P.R.A (7,2)
NOTA: En el paso 4, hay dos formas de expresar la misma idea. Cada una de ellas
tiene una garantía diferente.
Segunda demostración:
Aserción Garantía y datos
1. 𝑚, 𝑛, 𝑙 rectas distintas en un plano 𝛼 𝑚 ∥ 𝑛 y 𝑛 ∥ 𝑙
Dado
2. Sean 𝑂,𝐻 puntos, 𝑂 ∈ 𝑛 y 𝐻 ∈ 𝑚 T. Recta infinito puntos (1)
3. 𝑂𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ P. Dos puntos recta (2)
4. (i) 𝑂𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ ∩ 𝑙 = ∅ o (ii) 𝑂𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗⋂𝑙 ≠ ∅ Disyunción
5. 𝑂𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑙 Caso (i) D. Paralelas (4)
6. 𝑂𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑙 y 𝑛 ∥ 𝑙 y 𝑂 ∈ 𝑛 Conjunción (1,2,5)
7. 𝑂𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗⋂𝑙 ≠ ∅, P. Paralelas (6)
8. 𝑂𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗⋂𝑙 = {𝐵} D. Conjunto vacío y T. Intersección de
rectas(7)
9. ∠1 ≅ ∠2 T. PAI (1,2)
10. ∠3 ≅ ∠2 T. PAC (1,2,8)
11. ∠1 ≅ ∠3 T. Transitividad congruencia(69,10)
12. 𝑚 ∥ 𝑙 T. AIP(11)
¿Cuál de las dos demostraciones son viables si se consideran las rectas en el
espacio?
CLASE 18-02-2016, GRUPO C (MICHAEL, ALEJANDRA Y CRISTIAN)
La clase inicia con la revisión de dos demostraciones que se presentaron en el desarrollo de la Tarea Extraclase 1. La primera de ellas es la siguiente:
1. T. Existencia Paralela
Aserción Garantía y datos 1. 𝑚 recta, 𝛼 plano, 𝑚 ⊂ 𝛼 Dado
2. Existen 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 puntos no
colineales 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 ∈ 𝛼
P. Plano- puntos (1)
3. Sin perder generalidad dado que
se puede asegurar que por lo
mostrado de los puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶
no pertenecen a 𝑚, asumimos 𝐶 ∉
𝑚.
D. Colinealidad (2,1)
4. Existe una única recta 𝑙 tal que 𝐶 ∈
𝑙 y 𝑙 ∥ 𝑚
P. Paralelas (3,2)
Antes de iniciar con la revisión la profesora nos comentó que, antes de empezar una demostración, se tiene que escribir como condicional lo que se quiere demostrar.
T. Existencia de las paralelas: Si 𝑚 recta, 𝛼 plano y 𝑚 ⊂ 𝛼, entonces existe una recta 𝑙, en 𝛼, tal que 𝑚 ∥ 𝑙.
Los comentarios sobre la demostración del T. Existencia de la paralela son los siguientes. Se observa que se usa la frase sin perder generalidad. Esta frase es usada con frecuencia por los matemáticos y se usa para decir que es lo mismo o da igual, asumir que uno u otro objeto, de la misma clase, cumplen la propiedad expuesta
𝑚, 𝑛, 𝑙 rectas, dos de las cuales son paralelas. Si la que no es paralela a ninguna, interseca a una de las paralelas, entonces interseca a la otra. 𝑙 ∦ 𝑚. Lo que se está diciendo en el paso tres es: “sin perder generalidad, asumimos que 𝐶 ∉𝑚”. Podría decirse, “por lo menos uno de los tres puntos no pertenecen a 𝑚. Sin perder generalidad, sea 𝐶”. Se escoge 𝐶 pero se habría podido escoger a 𝐴 o a 𝐵. No es necesario demostrar los otros tres casos de la relación entre los puntos y la recta..
Caso 1
Figura 1: 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 ∈ 𝛼, 𝑚 ⊂ 𝛼, 𝐴 ∈ 𝑚 y 𝐵, 𝐶 ∉ 𝑚
Caso 2
Figura 2: 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 ∈ 𝛼, 𝑚 ⊂ 𝛼, 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑚 y 𝐶 ∉ 𝑚
Caso 3
Figura 3: 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 ∈ 𝛼, 𝑚 ⊂ 𝛼, 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 ∉ 𝑚
Volviendo con la demostración se observa que en el Paso 4, se está usando mal el P. Paralelas. Ester garantiza la unicidad de la paralela, mas no garantiza la existencia. El postulado de las paralelas lo que dice es que la recta paralela a una dada es única; por esta razón esta demostración no es válida, pues se emplea lo que se quiere demostrar.
Así que para garantizar la existencia de la paralela se plantean las siguientes situaciones:
Situación 1: recta perpendicular a 𝑚 por 𝐴 y 𝐴 no pertenece a 𝑚.
Figura 4: 𝐴 ∈ 𝛼, 𝑚 ⊂ 𝛼, 𝐴 ∉ 𝑚, 𝑡 ⊥ 𝑚, 𝐴 ∈ 𝑡 y 𝑙 ⊥ 𝑡, 𝐴 ∈ 𝑙 entonces 𝑙 ∥ 𝑚.
Situación 2: recta perpendicular a 𝑚 por 𝐴 y 𝐴 pertenece a 𝑚.
Figura 5: 𝐴 ∈ 𝛼, 𝑚 ⊂ 𝛼, 𝐴 ∈ 𝑚, 𝑡 ⊥ 𝑚, 𝐴 ∈ 𝑡, 𝐵 ∈ 𝑡 y 𝑙 ⊥ 𝑡, 𝐵 ∈ 𝑙 entonces 𝑙 ∥ 𝑚.
De las situaciones anteriores, se obtuvo la demostración en forma general:
Núcleo Pilares 1. Construir la recta 𝑡 ⊥ 𝑚 T. Existencia perpendicular por punto
interno o T. Existencia perpendicular por punto externo
2. Construir la recta 𝑙 ⊥ 𝑡 T. Existencia perpendicular por punto interno
3. 𝑙 ∥ 𝑚 T. Perpendicular - paralelas
CABRI 3D Para representar algunas de las situaciones anteriores usando Cabrí 3D, se introdujo una nueva herramienta. Recta perpendicular a otra recta del plano el comando es: Perpendicular + CTRL.
Figura 6: 𝐴 ∈ 𝛼, 𝑚 ⊂ 𝛼, 𝐴 ∉ 𝑚 𝑡 ⊥ 𝑚, 𝐴 ∈ 𝑡 y 𝑙 ⊥ 𝑡, 𝐴 ∈ 𝑙 entonces 𝑙 ∥ 𝑚.
Luego se planteó la siguiente pregunta: ¿Estas rectas que son paralelas en el plano, también lo son en el espacio? Para responder esta pregunta se usó una herramienta.
CABRI 3D Recta en el espacio perpendicular a una recta en un plano el comando es: Perpendicular + CTRL + SHIFT.
Figura 7: 𝐴, 𝐵 ∉ 𝛼, 𝛼 plano, 𝑡 ⊂ 𝛼, 𝑚 ⊥ 𝑡, 𝐴 ∈ 𝑚 y 𝑙 ⊥ 𝑡, 𝐵 ∈ 𝑙 entonces 𝑙 ∦ 𝑚.
La respuesta a esta pregunta se observa claramente en las ilustraciones anteriores: las dos rectas en el espacio no son paralelas; no se intersecan. Así que se dice que las rectas son alabeadas.
D. Dos rectas son alabeadas si no se intersecan y no son coplanares.
T. Perpendicular-Paralelas (P): Dadas 𝑚, 𝑙 𝑦 𝑟 rectas de un plano 𝛼. Si 𝑙 ⊥ 𝑚 y 𝑟 ⊥𝑚, entonces 𝑟 ∥ 𝑙.
Se usará la notación (P) para citar que estamos hablando de una situación en el plano. Ahora volviendo sobre el P. Paralelas: ¿Aplica en el espacio?. Para responder esta pregunta se introdujo la definición de espacio.
D. El espacio ℰ es el conjunto de todos los puntos.
La teoría de la geometría euclidiana tiene tres nociones primitivas (punto, recta y plano), y dos de relación (conjunto y pertenecer a). En la primera parte del desarrollo de la teoría, a esos objetos geométricos se les dan unas propiedades, ya sea a través de postulados o teoremas. Por ejemplo, las rectas tienen infinitos puntos (T) o dos rectas se intersecan en un solo punto (T). Por el P. Existencia se sabe que existen: puntos, rectas y planos. Al ser estos términos primitivos no se definen. Sin embargo, con estos se van generando definiciones, postulados, teoremas y, a partir de estos, representaciones.
Así que primero se demostrará si el espacio existe, siguiendo con lo que usualmente se hace en los cursos de geometría: se define un objeto y se demuestra que existe. Es decir, debemos llegar a que el espacio no es un conjunto vacío. Si se logra demostrar se convertirá en el Teorema Existencia espacio pero para demostrarlo se tiene que formular el condicional el cual sería así:
T. Existencia espacio: Si el sistema teórico de la geometría euclidiana, entonces existe el espacio.
Aserción Garantía y datos
1. Existe un punto 𝐴 P. Existencia
2. 𝐴 ∈ ℰ D. Espacio (1)
3. ℰ ≠ 𝜙 D. Paralelismo (2)
Pero ahora tenemos que garantizar que el espacio es distinto de un punto, una recta y un plano. Esto lo logramos con el P. Espacio.
Para este postulado surgieron dos formas de expresarlo. Tocaría ver si son equivalentes.
P. Espacio Dado un plano 𝛼, existe un punto 𝐴 tal que 𝐴 ∉ 𝛼.
P. Espacio Existen cuatro puntos tal que cada terna de ellos no son colineales y
el cuarto punto no pertenece al plano determinado por los otros tres.
Este postulado nos habla de cosas que ya sabemos que son posibles. Solo introduce la existencia de otro punto.
Ya se sabe que el espacio al menos tiene cuatro puntos. Ahora nos preguntamos: ¿El espacio tiene infinitos puntos? Esto es válido debido a que el espacio está determinado por una terna de puntos no colineales, y gracias a esto, por el P. Puntos – plano, se tiene el plano y este tiene infinitos puntos. Sin embargo, necesitamos saber si el espacio tiene infinitos puntos no coplanares.
T. Espacio-Infinitos puntos: El espacio tiene infinitos puntos que no son coplanares.
T. Existencia de la paralela ( E): Toda recta tiene una recta paralela a ella.
Aserción Garantía y datos 1. Construir plano 𝛼 que contiene a
la recta 𝑚.
P. Espacio
2. Construir 𝑙 ⊂ 𝛼, 𝑙 ∥ 𝑚 T. Existencia Paralela (P)
Concluimos que el P. Paralelas también garantiza la unicidad en el espacio.
La segunda demostración presentada por un grupo en la tarea extraclase fue la siguiente:
2. T. Transitividad paralelismo
Aserción Garantía y datos 1. 𝑚, 𝑛 𝑦 𝑙 ⊂ 𝛼
𝑚 ∥ 𝑛 y 𝑛 ∥ 𝑙
Dado
2. 𝑚 ∩ 𝑛 ≠ 𝜙, 𝑛 ∩ 𝑙 ≠ 𝜙 D. Paralelismo (1)
3. 𝑚 ∩ 𝑙 ≠ 𝜙 Transitividad (2)
4. 𝑚 ∥ 𝑙 D. Paralelismo (3)
La anterior no es una demostración válida porque está usando lo que se quiere demostrar, como se ve en el paso 3.
La profesora realizó algunas observaciones sobre la notación de algunas cosas
𝑚,𝑛,𝑙⊂ 𝛼 esta notación implica que 𝑙 ⊂ 𝛼, 𝑚⊂ 𝛼, 𝑛⊂ 𝛼 y esto no es correcto
porque 𝑚, 𝑛, 𝑙 son subconjuntos de 𝛼, no elementos de este.
𝑚}, 𝑛,{𝑙⊂ 𝛼 esta notación implica algo similar a la anterior ya que está diciendo
que 𝑚, 𝑛, 𝑙 son elementos unitarios que pertenecen a 𝛼.
´´saberes un misterio qué fue primero si el huevo o la gallina. Pero en geometría no existe esa opción. Cada paso en una demostración tiene un puesto con relación a los demás pasos. Lo que lleva a establecer ese paso debe estar en pasos anteriores, y lo que se deduce de ese paso tiene que estar en pasos posteriores.
3. Un paso en una de las demostraciones de la Tarea Extraclase 1 es:
Aserción Garantía y datos 𝑙 es transversal 𝑚 𝑦 𝑛. T. Recta- transversal
El teorema presentado como garantía NO está en el sistema teórico. Cuando se utiliza un teorema que no está en nuestro sistema teórico, este se tiene que demostrar.
T. Paralelas- secante: Si 𝑛 ∥ 𝑚 y 𝑙 ∩ 𝑚 ≠ 𝜙 entonces 𝑙 ∩ 𝑛 ≠ 𝜙. (La clase anterior se demostró).
Finalizando la clase se propuso la siguiente actividad:
Responder las siguientes preguntas con base en la obra el hombre Vitruvio que realizo Leonardo Da Vinci.
Figura 8: Imagen de la obra el Hombre VBitruvio creada por Leonardo da Vinci
i. ¿El cuadrilátero es un cuadrado?
ii. ¿Cómo encontrar el centro de la circunferencia?
iii. ¿Habría podido da Vinci inscribir un cuadrado en la circunferencia?
Por último se dejaron los siguientes temas para investigar y demostrar:
1. Ir al libro de Euclides y mirar como enuncia el V Postulado o el P. Paralelas.
2. Investigar por qué se llama el Hombre Vitruvio la obra de Leonardo da Vinci y
qué significado matemático tiene esta.
3. Mostrar que los dos enunciados del P. Espacio son equivalentes.
