notas sobre derivadas
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NOTAS SOBRE DERIVADAS
Elaborado por: Camilo Andrรฉs Ortiz Daza
Derivadas de Funciones Trascendentales de la forma ๐ = ๐๐.
Hasta el momento se ha visto que
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ โน ๐ยด(๐ฅ) = ๐๐ฅ Ec.1.
El problema radica entonces en encontrar las derivadas de funciones tales como
2๐ฅ, 3๐ฅ,8๐ฅ,10๐ฅ, entre otras. Asรญ que, con el รกnimo de calcular las derivadas de todas
ellas, debemos considerar en representar dichas funciones en forma generalizada,
asรญ que debe seguir la misma estructura matemรกtica de cada una de las funciones
antes mencionadas o de nada nos servirรก la estrategia.
Por esta razรณn, llamaremos de forma generalizada a esta clase de funciones
trascendentales de la forma ๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ, con el fin de que encontrar una regla que
permita calcular sus derivadas. En ese orden de ideas:
ยฟCuรกl serรก la derivada de las funciones 2๐ฅ, 3๐ฅ, 8๐ฅ y 10๐ฅ?
Para responder a la pregunta iniciaremos con nuestra forma generalizada que se
escribe como sigue:
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ Ec.2.
Recuerde que
๐ = ๐ln ๐ Ec.3.
Reemplazando Ec. 3 en Ec.2 obtenemos
๐(๐ฅ) = (๐ln ๐)๐ฅ
Aplicando propiedades de los exponentes
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ ln ๐
Derivando
๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐ฅ ln ๐(ln ๐)
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Finalmente, simplificando
๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐ฅ(ln ๐) Ec.4.
Gracias a esta รบltima ecuaciรณn podremos responder fรกcilmente a la pregunta inicial,
puesto que si ๐ = 1,2,3, โฆ โฆ โฆ ๐ entonces
๐ท๐ฅ[1๐ฅ] = 0
๐ท๐ฅ[2๐ฅ] = 2๐ฅ(ln 2)
๐ท๐ฅ[3๐ฅ] = 3๐ฅ(ln 3)
๐ท๐ฅ[4๐ฅ] = 4๐ฅ(ln 4)
โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.
๐ท๐ฅ[8๐ฅ] = 8๐ฅ(ln 8)
๐ท๐ฅ[10๐ฅ] = 10๐ฅ(ln 10)
Entre otras1. Con esto concluimos en que Ec.4 puede ser aplicable a cualquier
funciรณn exponencial permitiendo encontrar sus derivadas de forma rรกpida y eficaz.
Derivadas de Orden Superior
Antes de empezar el lector debe recordar la forma de representar derivadas de
orden distinto a la unidad, vamos a indicar como representar desde la primera
derivada hasta la enรฉsima derivada:
๐๐
๐๐ฅ= ๐โฒ representa en tรฉrminos generales la primera derivada.
๐2๐
๐๐ฅ2= ๐โฒโฒ representa la segunda derivada.
๐3๐
๐๐ฅ3 = ๐โฒโฒโฒ representa la tercera derivada.
๐4๐
๐๐ฅ4= ๐(4) representa la cuarta derivada.
๐5๐
๐๐ฅ5 = ๐(5) representa la quinta derivada.
โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.
๐๐๐
๐๐ฅ๐= ๐(๐) representa la k-รฉsima derivada.
1 Hacer los arreglos algebraicos posibles de ser necesario y conveniente.
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๐๐๐
๐๐ฅ๐ = ๐(๐) representa la enรฉsima derivada.
Estos sรญmbolos expresan en orden de la derivada segรบn corresponda. El orden en
derivadas se refiere a la cantidad de veces que derivo la funciรณn, a continuaciรณn
mostraremos un ejemplo:
1) Encontrar la tercera derivada de la funciรณn ๐ฅ5
Soluciรณn:
Sea ๐(๐ฅ) = ๐ฅ5, al derivar la primera vez, la derivada se escribe como
๐โฒ(๐ฅ) = 5๐ฅ4
Derivando otra vez
๐โฒโฒ(๐ฅ) = 20๐ฅ3
Nuevamente al derivar
๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 60๐ฅ2
Este proceso da como resultado la tercera derivada de la funciรณn antes
indicada.
2) Encontrar la derivada enรฉsima de ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐
Soluciรณn:
๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐ฅ๐โ1
๐โฒโฒ(๐ฅ) = ๐ โ (๐ โ 1)๐ฅ๐โ2
๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = ๐(๐ โ 1)(๐ โ 2)๐ฅ๐โ3
๐(4)(๐ฅ) = ๐(๐ โ 1)(๐ โ 2)(๐ โ 3)๐ฅ๐โ4
.
.
.
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๐(๐)(๐ฅ) = ๐(๐ โ 1)(๐ โ 2)(๐ โ 3)(๐ โ 4) โฏ 3 โ 2 โ 1
Este resultado corresponde ๐! = โ ๐๐๐=1 , que significa una sucesiรณn de
productos enรฉsima. De tal madera que la enรฉsima derivada de esta funciรณn
se escribe como
๐(๐)(๐ฅ) = ๐!
3) Encontrar la derivada k-รฉsima de ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐
Soluciรณn:
De acuerdo con el ejercicio anterior
๐(๐)(๐ฅ) = ๐!
Anรกlogamente
๐(๐)(๐ฅ) = ๐(๐ โ 1)(๐ โ 2)(๐ โ 3) โฏ (๐ โ ๐ + 1)๐ฅ๐โ๐
Ahora
๐! = (๐(๐ โ 1)(๐ โ 2)(๐ โ 3) โฏ (๐ โ ๐ + 1))((๐ โ ๐) โฏ 3 โ 2 โ 1)
El segundo factor corresponde a (๐ โ ๐)!, despejando
๐(๐ โ 1)(๐ โ 2)(๐ โ 3) โฏ (๐ โ ๐ + 1) =๐!
(๐ โ ๐)!
De esta manera
๐(๐)(๐ฅ) =๐!
(๐ โ ๐)!๐ฅ๐โ๐
4) Encontrar la k-รฉsima derivada de ๐ = ๐ โ ๐
Soluciรณn:
๐โฒ = ๐โฒ โ ๐ + ๐ โ ๐โฒ
๐โฒโฒ = ๐โฒโฒ โ ๐ + 2๐โฒ โ ๐โฒ + ๐ โ ๐โฒโฒ
๐โฒโฒโฒ = ๐โฒโฒโฒ โ ๐ + 3๐โฒโฒ โ ๐โฒ + 3๐โฒ โ ๐โฒโฒ + ๐ โ ๐โฒโฒโฒ
โฎ
En general
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๐(๐) = (๐
0) ๐(๐) โ ๐ + (
๐
1) ๐๐โ1 โ ๐โฒ + โฏ + (
๐
๐) ๐ โ ๐(๐)
El binomial puede ser escrito como sigue:
(๐
๐) =
๐!
๐! (๐ โ ๐)!
Utilizando el binomio de Newton y usando convenientemente las siguientes
identidades ๐(0) = ๐, ๐(0) = ๐, ๐(1) = ๐โฒ, ๐(1) = ๐โฒ, ๐(2) = ๐โฒโฒ, ๐(2) =
๐โฒโฒ โฏ ๐(๐) = ๐(๐), ๐(๐) = ๐(๐), entonces
๐(๐) = โ (๐
๐) ๐(๐โ๐) โ ๐(๐)
๐
๐=0
Donde (๐ โ ๐) y (๐) representan el orden de las derivadas las funciones
respectivamente.
Ejercicios
ยฟCuรกl es la derivada de la funciรณn 23๐ฅ? Sugerencia. Use la forma generalizada ๐ฆ =
๐๐ฅ
a. 2๐ฅ(23๐ฅ) โ ln[2] โ ln[3]
b. 3๐ฅ(2๐ฅ) โ ln[2] โ ln[3]
c. 3๐ฅ(23๐ฅ) โ ln[2] โ ln[3]
d. (23๐ฅ) โ ln[2] โ ln[3]
e. 2๐ฅ(8๐ฅ) โ ln[2]
f. 3๐ฅ โ ln[2] โ ln[3]
g. 3๐ฅ(23๐ฅ) โ ln[2] โ ln[3]
Repuesta โgโ
Calcular la dรฉcima derivada de ๐(๐ฅ) = ๐ฅ5000
a) ๐(10)(๐ฅ) = 9678073481456549436528438162585690000x4990
b) ๐(10)(๐ฅ) = 9678073481456849436528438162585600000x4990
c) ๐(10)(๐ฅ) = 9678073481456549436528438162585600000x4900
d) ๐(10)(๐ฅ) = 9678073481456549536528438162585600000x4990
e) ๐(10)(๐ฅ) = 9678073482456549436528438162585600000x4990
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f) ๐(10)(๐ฅ) = 9678073481456549436528438162585600000x4990
g) ๐(10)(๐ฅ) = 9778073481456549436528438162585600000x4990
Respuesta โfโ
ยฟCuรกl es la tercera derivada de ๐(๐ฅ) = (๐ฅ3 โ 1)2?
a) ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 12(10๐ฅ3 โ 1)
b) ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 120๐ฅ
c) ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 12(10๐ฅ3 + 1)
d) ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 12
e) ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 10
f) ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = โ12
g) ๐โฒโฒโฒ(๐ฅ) = 0
Respuesta โaโ
Encontrar la quinta derivada de ๐(๐ฅ) =(๐ฅ2+1)
5
(1โ๐ฅ2)7
a) 960๐ฅ
(๐ฅ2โ1)12(7๐ฅ14 + 294๐ฅ12 + 3153๐ฅ10 + 12760๐ฅ8 + 22185๐ฅ6 + 16350๐ฅ4 +
4159๐ฅ2 + 228)
b) 960๐ฅ
(๐ฅ2โ1)12(7๐ฅ14 + 294๐ฅ12 + 3153๐ฅ10 + 12760๐ฅ8 + 22185๐ฅ6 + 16350๐ฅ4 +
4159๐ฅ2 + 228)
c) 960๐ฅ
(๐ฅ2โ1)12(7๐ฅ14 + 294๐ฅ12 + 3153๐ฅ10 + 12760๐ฅ8 + 22185๐ฅ6 + 16350๐ฅ4 +
4159๐ฅ2 + 228)
d) 960๐ฅ
(๐ฅ2โ1)12(7๐ฅ14 + 294๐ฅ12 + 3153๐ฅ10 + 12760๐ฅ8 + 22185๐ฅ6 + 16350๐ฅ4 +
4159๐ฅ2 + 228)
Respuesta โdโ