Notas para un curso de ÁlgebraAbstracta I

Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon

Universidad de los Andes

Departamento de Matemáticas

Bogotá - Colombia.

II

Índice general

1. Grupos 1

1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Tabla de operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Grupos Ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Grupos generados y producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Homomorfismos 17

2.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Propiedades de Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5. Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . 23

2.7. Cálculo de Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9. El centro y el conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Conjugación 33

3.1. Elementos y subgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. An para n ≥ 5 es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Acción de grupo sobre un conjunto 37

4.1. G-conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Subgrupo estabilizador y órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. La fórmula de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

IV ÍNDICE GENERAL

5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos 435.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Series de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Cadena Central Ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6. Teoremas de Sylow y Grupos libres 536.1. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2. Aplicaciones de la teoŕıa de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3. Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.4. Teorema fundamental de los grupos abelianos . . . . . . . . . . . 596.5. Grupos libres y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Índice de figuras

1.1. Subgrupos de Z8 y de Z12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. transformaciones del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. ret́ıculo de subgrupos de D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Fibras y Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Rotaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1. Primer Teorema de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Tercer Teorema de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3. Lema de la Mariposa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4. Teorema de Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1. Grupo abeliano libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2. Grupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

VI ÍNDICE DE FIGURAS

Caṕıtulo 1

Grupos

1.1. Grupos

1.1 Definición (Grupo): Una estructura < G, ·, e >, que consta de unconjunto G, una operación binaria ·, y un elemento distintivo e, es un grupo,si satisface los siguientes axiomas:

G1: · es asociativa

∀x, y, z ∈ G(x · (y · z) = (x · y) · z)

G2: e es neutro en ·

∀x ∈ G(x · e = x ∧ e · x = x)

G3: existencia de inversa

∀x ∈ G ∃y ∈ G(x · y = e ∧ y · x = e)

Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea < G, ·, e > ungrupo, entonces:

i) Si e′ es tal que para todo x ∈ G, x · e′ = e′ · x = x, entonces e′ = e.

ii) Dado un x ∈ G, si y, y′ ∈ G son tales que x · y = y · x = e = x · y′ = y′ · x,entonces y′ = y.

Demostración: Por hipótesis e · e′ = e y por G2, e · e′ = e′, luego e = e′.Por hipótesis x · y′ = e y por G2, y = y · e, luego y = y · (x · y′), aśı por G1,y = (y · x) · y′, pero y · x = e por hipótesis, entonces por G2 y = y′. F

1.3 Notación y observación. En general, a < G, ·, e >, la denotaremossimplemente G, excepto cuando se deba especificar para evitar confusiones. Sino especificamos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos

2 Caṕıtulo 1. Grupos

e. A x · y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, además dado que laoperación binaria es asociativa, x(yz) ó (xy)z lo denotaremos xyz.Por otro lado el teorema anterior, justifica la siguiente definición.

1.4 Definición (el neutro, la inversa) y notación: Sea < G, ·, e > ungrupo,

i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad.

ii) Dado g ∈ G, al elemento g′ ∈ G tal que gg′ = g′g = e, lo llamamos lainversa, o el inverso, de g,y lo notamos g−1.

1.5 Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostración sedeja al lector.

i) < Z,+, 0 >, < Q,+, 0 >, < R,+, 0 >, < C,+, 0 >.

ii) < Q∗, ·, 1 >, < R∗, ·, 1 >, < C∗, ·, 1 >.

iii) < Zn,+n, [0]=n >, donde a =n b si n|a− b y Zn = Z/ =n.

iu) < GLn(R), ·, In >, donde GLn(R) es el conjunto de matrices invertiblesde dimensión n× n.

u) < S1, ·, 1 >, donde S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.

ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones linealesuno a uno, con la composición como la operación y la identidad como elneutro.

Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x, y, z ∈ G son tales quexz = yz, entonces x = y.

Demostración: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z−1 = (yz)z−1 = ye = y. F

1.7 Notación y observación. Si x ∈ G y n ∈ N, notamos:

xn =

{e si n = 0x · xn−1 de lo contrario

Dado que xn(x−1)n = xn(xn)−1 = e, entonces extendemos la notación a todo Zcon x−n = (x−1)n. Cuando la operación se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)),notaremos xn por nx, y x−1 por −x.Observe que xnxm = xn+m, para todo n,m ∈ Z, pero (xy)n no es necesaria-mente igual a xnyn, por ejemplo:

Teorema 1.8 (xy)−1 = y−1x−1

Demostración: (xy)(y−1x−1) = e. F

Subgrupos 3

1.9 Posiblemente ya se habrá dado cuenta de cual es la condición para que(xy)n = xnyn para todo x, y ∈ G. En honor al noruego Niels Henrik Abel(1802-1829):

1.10 Definición (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operaciónsea conmutativa (i.e. ∀a, b ∈ G(ab = ba)), se dice abeliano.

1.11 En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu)y u) no lo son. Si V = Rn estos dos últimos grupos son bastante parecidos (yaformalizaremos eso).

1.12 Ejercicios:

1. Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un numero par deelementos, entonces existe un elemento a ∈ G, con a 6= e, tal que a2 = e.

2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todoa ∈ G, es abeliano.

3. Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde nes impar. Pruebe que existe k ∈ N tal que x = (x2)k.

1.2. Subgrupos

1.13 Definición (Subgrupo): Si < G, ·, e > es un grupo, diremos que< H, •, e′ > es un subgrupo de G, y lo notaremos H ≤ G, si:

i) H ⊆ G

ii) < H, •, e′ > es grupo

iii) • = · �H×H

1.14 Observación a la definición 1.13. Sea H ≤ G y h ∈ H , como h =h•e′ = h ·e′, y h = h ·e entonces por la ley cancelativa, e = e′. Aśı un subgrupoesta uńıvocamente determinado por el conjuntoH , pues la identidad es la mismaque en G y la operación es la restricción. Esto justifica nuestra notación H ≤ G.Por otro lado < {e}, · �{e}×{e}, e > es subgrupo de G.

1.15 Definición (Grupo trivial, subgrupo propio)

i) Al grupo < {e}, ·, e >, lo llamamos grupo trivial.

ii) Si H ≤ G y H 6= G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lonotamos H < G.

1.16 Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante en-gorroso bajo nuestra definición, afortunadamente existen caracterizaciones másadecuadas para esto:

4 Caṕıtulo 1. Grupos

Teorema 1.17 Sea < G, ·, e > un grupo. Las siguientes afirmaciones son equi-valentes:

i) H ≤ G

ii) H no es vaćıo, es cerrado mediante la operación de G, y mediante inver-sión. Esto es:

H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy ∈ H), ∀x ∈ H(x−1 ∈ H)

iii) H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy−1 ∈ H)

Demostración:i) ⇒ ii): Como H ≤ G, e ∈ H luego H no es vaćıo. Las otras dos condicionesse siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operación en Hes la restricción de la G.ii) ⇒ iii): Si x, y ∈ H , y−1 ∈ H luego xy−1 ∈ H .iii) ⇒ i): Tomemos • = · �H×H , veamos que • es una operación binaria enH . Sea x ∈ H , el cual existe pues H no es vaćıo. Entonces e = x · x−1 ∈ H , yaśı x−1 = e·x−1 ∈ H . Luego si x, y ∈ H , y−1 ∈ H y x•y = x·y = x·(y−1)−1 ∈ H ,entonces • es una operación binaria en H , aśı se cumple G1. Además, e ∈ H ytambién se cumple G2 pues • = · �H×H . Por esto último vemos también que secumple G3 pues dado x ∈ H , x−1 ∈ H . F

1.3. Tabla de operación

1.18 Dado un grupoG finito podemos representar completamente la operacióngracias a una tabla, al igual que soĺıamos hacer tablas de multiplicación enlos números naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda),ponemos el signo de la operación, en el resto de la primera columna de la tablaponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en laprimera fila. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operación.Por el axioma G3 sabemos que en cada fila debe aparecer e una vez, y por launicidad de la inversa, una única vez. Según la ley cancelativa, lo mismo sucedecon cada elemento. Este mismo fenómeno se repite con las columnas. Si el grupoes abeliano la tabla será simétrica. Estas pautas nos permiten generar gruposnuevos (ver el cuadro 1.3).

Z4

+4 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

4-grupo de Klein V

· e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Cuadro 1.1: Los dos únicos grupos de cuatro elementos

Grupos Ćıclicos 5

1.4. Grupos Ćıclicos

1.19 Definición (Orden de un grupo, orden de un elemento):

i) el orden de un grupo G, que notamos ord(G) (o simplemente |G|), es elnúmero de elementos de G, si G es infinito notamos ord(G) = +∞,

ii) el orden de un elemento g ∈ G, que notamos ord(g), es el mı́nimo n ∈ N∗

tal que gn = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +∞.

Lema 1.20 Si am = e, ord(a) | m.

Demostración: Sea n = ord(a). Por definición, n es el menor entero positivotal que an = e y por lo tanto m ≥ n. Usando el algoritmo de la división,podemos escribir a m como m = qn + r, donde q ≥ 1 y 0 ≤ r < n. Ahora,e = am = aqn+r = (an)qar = eqar = ar. Si r 6= 0, entonces se tiene unacontradicción a la minimalidad de n. Luego r = 0 y aśı n | m. F

Teorema 1.21 Sea a ∈ G, y H = {an}n∈Z. Entonces H ≤ G y ord(H) =ord(a).

Demostración: Como e = a0 ∈ H , anam = an+m ∈ H y (an)−1 = a−n, por elteorema 1.17, H ≤ G.Suponga que ord(a) = +∞. Si i, j ∈ Z con i ≤ j son tales que ai = aj , aj−i = eluego j − i = 0. Entonces si i 6= j, ai 6= aj , luego ord(H) = +∞.Ahora sea n = ord(a). Si i, j ∈ {0, 1, . . . , n−1} con i ≤ j, son tales que ai = aj ,por el lema anterior n|j − i, luego j − i = 0, esto es i = j. Entonces n ≤ |H |. Ysi m ≥ n, y m = qn+ r, con 0 ≤ r < n, am = ar, luego |H | = n. F

1.22 Definición (Grupo generado por un elemento, grupo ćıclico):Sea G un grupo.

i) Dado a ∈ G, llamamos a {an}n∈Z, el grupo generado por a, y lo notamos< a >.

ii) Decimos que G es ćıclico si es un grupo generado por un elemento.

1.23 Ejemplos.

i) Z =< 1 >, es un grupo ćıclico de orden infinito.

ii) Zn =< 1 >, es un grupo ćıclico de orden n.

Ya veremos que todo grupo ćıclico tiene esta forma.

1.24 Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos ćıclicos, estoes, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener unaestructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes.

Teorema 1.25 Todo grupo ćıclico es abeliano.

6 Caṕıtulo 1. Grupos

Demostración: Sea G =< a >. Aśı dos elementos elementos arbitrarios en G,son de la forma am, y an, con m,n ∈ Z. Pero como vimos en 1.7, aman =am+n = anam. Luego G es abeliano. F

Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo ćıclico es ćıclico.

Demostración: Sea G =< a > y H ≤ G. Si H es el grupo trivial, H =< e >, esćıclico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elementodiferente de e. Como H ≤ G y G =< a >, entonces todos los elementos de Hson potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que am ∈ H . Se probaraentonces que b = am genera H , es decir, H =< b >. Para ello, tomemos unelemento arbitrario c ∈ H y probemos que c es una potencia de b. Como c ∈ H ,H ≤ G y G =< a >, entonces c = an para algún n entero positivo. Por laminimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la división, y escribir n comon = qm + r, donde q > 0 y 0 ≤ r < m. Entonces, an = aqm+r = (am)qar.Por lo tanto, como an ∈ H y (am)−q ∈ H puesto que am ∈ H , entonces,ar = (am)−qan ∈ H , puesto que H es grupo. Si r 6= 0, entonces se tiene unacontradicción a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendosi que c = an = aqm = (am)q = bq, es decir, c es una potencia de b, lo cualimplica que H =< b > y por lo tanto H es ćıclico. F

Corolario 1.27 Si G =< a > es de orden infinito todo subgrupo de G es deorden infinito.

1.28 Observación. Todo subgrupo de Z es de la forma < n >= nZ = {nk :k ∈ Z}, para algún n. Aqúı usamos la notación aditiva.

Teorema 1.29 Sea G =< a > de orden n. Entonces:

i) Si s | n, entonces < as >= {e, as, a2s, . . . , an−1

s s} tiene tamaño n/s.

ii) Todo subgrupo de G es de la forma < ar >, con r ∈ Z, | < ar > | = n(n,r)y < ar >=< a(n,r) >.

iii) Todo subgrupo de G es de la forma < as > donde s | n.

iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G.

u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de tamaños, que es < a

ns >.

ui) si H,K ≤ G entonces, H ≤ K si y sólo si |H | | |K|.

Demostración: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuenciasinmediatas, tomando s = (n, r) y recordando el teorema 1.21.Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de Ges de la forma < ar >. Ahora sea s = (n, r), entonces existe q tal que r = qs.Aśı ar = (as)q , luego < ar >≤< as >. Por otro lado existen u, v ∈ Z tales queun+ vr = s luego as = (an)u(ar)v = (ar)v , y aśı < as >≤< ar >. Es claro que

Grupos Ćıclicos 7

enunciado de i) que | < a(n,r) > | = n(n,r)Probemos ahora la unicidad que se afirma en u). Por lo que acabamos de versi s | n, (n, n/s) = n/s y aśı | < a

ns > | = nn/s = s. Ahora, si < a

r > es un

subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n/(n, r), luego (n, r) = n/s yaśı, < ar >=< a

ns >.

Finalmente veamos ui). Suponga que K =< ak > y H =< ah > con k, hdivisores de n, suponsición valida en vista de u). Aśı si H ≤ K por iu), poniendoK como G, |H | | |K|. Ahora, si |H | | |K|. existe q tal que ord(ah)q = ord(ak),pero por u), ord(ah) = n/h y ord(ak) = n/k, luego kq = h, aśı (ak)q = ah,entonces < ah >≤< ak >. F

1.30 Observaciónes.

i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, pode-mos representar sus cadenas de subgrupos por un ret́ıculo (i.e. lattice, eninglés).

ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de ordenfinito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anteriorquedan completamente caracterizados los grupos ćıclicos (ver figura 1.1),en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupoćıclico es de la forma de Z, o de Zn.

PSfrag replacements

Z8

< 2 >

< 4 >

{0}

Z12

< 3 > < 2 >

< 6 > < 4 >

{0}

Figura 1.1: Subgrupos de Z8 y de Z12

1.31 Ejercicios:

1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entoncesHK = {hk : n ∈ H y k ∈ K} es un subgrupo de G.

2. Pruebe que un grupo ćıclico con únicamente un generador puede tener alos sumo dos elementos.

3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos loselementos x ∈ G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generaliceal caso donde n ≥ 1 es un entero fijo y H = {x ∈ G : xn = e}.

8 Caṕıtulo 1. Grupos

4. Sea G un grupo y sea a un elemento de fijo de G. Pruebe que Ha = {x ∈G : xa = ax} es un subgrupo de G. Sea S ⊆ G, y sea HS = {x ∈ G :xs = sx para todo s ∈ S}. Pruebe que HS ≤ G. Si S = G, entonces HGes llamado el centro de G. Pruebe que HG es un grupo abeliano.

5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es ćıclico.

6. Pruebe que un grupo que tiene un numero finito de subgrupos es finito.

7. Pruebe que Zp no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo.

8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos ćıclicos finitos con|H | = r y |K| = s.

(a) Pruebe que si (r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo ćıclico deorden rs.

(b) Pruebe que G contiene un subgrupo ćıclico de orden [r, s] (recuerdeque [r, s] denota al máximo común múltiplo de r y s).

1.5. Grupos generados y producto directo

1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un ret́ıculo, podemos buscarlos mı́nimos subgrupos, en la relación ser subgrupo, que contienen un subcon-junto de los elementos del grupo.

Teorema 1.33 Sea {Hi}i∈J una colección indexada de subgrupos de G, enton-ces: ⋂

i∈J

Hi ≤ G

Demostración: Como cada Hi contiene e,⋂i∈J Hi 6= ∅. Ahora sean x, y ∈⋂

i∈J Hi, como y ∈ Hi, y−1 ∈ Hi, para cada i ∈ J . Aśı xy−1 ∈ Hi, para

todo i ∈ J , esto es xy−1 ∈⋂i∈J Hi, luego por el teorema 1.17

⋂i∈J Hi ≤ G. F

Corolario 1.34 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H}. Entonces⋂H∈HH ≤ G.

Teorema 1.35 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H}. Si HA ∈ Hes tal que, si H ∈ H, HA ≤ H entonces HA =

⋂H∈HH ≤ G.

Demostración: Esto es trivial, pues HA ∈ H, luego⋂H∈H H ⊆ HA. Por otro

lado como A ⊆⋂H∈HH , entonces

⋂H∈H H ∈ H aśı HA ≤

⋂H∈HH , y HA =⋂

H∈HH ≤ G. F

1.36 Observación. Los dos teoremas anteriores justifican nuestra próximadefinición, el teorema que le sigue la explica. Note como se extiende el conceptode 1.22

1.37 Definición (grupo generado, grupo finitamente generado):

Grupos generados y producto directo 9

i) Dado A ⊆ G, con A 6= ∅. Al mı́nimo subgrupo que contiene A lo llamamosel grupo generado por A, y lo notamos < A >.

ii) Decimos que un grupo G es finitamente generado si G =< A > paraalgún A ⊂ G finito.

Teorema 1.38 Dado A ⊆ G, < A >= {am11 am22 . . . a

mnn : ai ∈ A,mi ∈ Z}.

Demostración: Sea HA = {am11 a

m22 . . . a

mnn : ai ∈ A,mi ∈ Z}. Como A 6=

∅, HA 6= ∅. Si x, y ∈ HA, x = am11 a

m22 . . . a

mnn e y = b

p11 b

p22 . . . b

pqq , para

algunos ai, bj ∈ A y mi, pi ∈ Z. Aśı, y−1 = b−pqq . . . b

q22 b

q11 , luego xy

−1 =

am11 am22 . . . a

mnn b

−pqq . . . b

−q22 b

−q11 ∈ HA. EntoncesHA ≤ G. Ahora comoA ⊆ HA,

< A >≤ HA. Por otro lado un elemento arbitrario de HA es de la forma dex, pero cada ai ∈ A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicación,x ∈< A >. Aśı HA ⊆< A > y HA =< A >. F

Teorema 1.39 Sea {Gi}i∈{1,2,...,n} una colección de grupos. G1×G2× . . .×Gnbajo la operación ((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) 7→ (x1y1, x2y2, . . . , xnyn) esun grupo.

Demostración: La operación es asociativa, pues la operación de cada Gi lo es.Si ei es el neutro de Gi, (e1, e2, . . . , en) es el neutro para nuestra operación. Fi-nalmente (x1, x2, . . . , xn)(x

−11 , x

−12 , . . . , x

−1n ) = (e1, e2, . . . , en), luego cada ele-

mento tiene inversa. Esto completa la demostración. F

1.40 Definición (Producto directo): Dada {Gi}i∈{1,2,...,n} una colecciónde grupos. Al grupo G1 ×G2 × . . .×Gn bajo la operación:((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) 7→ (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)lo llamamos el producto directo (externo) de G1, G2, . . . , Gn.

1.41 Cuando dećıamos que dos grupos tienen la misma forma, formalmentenos refeŕıamos a lo siguiente (a esto volveremos luego con más detalle):

1.42 Definición (Isomorfismo, isomorfo): Sean < G, ·, e >, < G′, •, e′ >dos grupos dados. Una biyección φ : G → G′ es un isomorfismo si φ(x · y) =φ(x) • φ(y), para todo x, y ∈ G. Dos grupos se dicen isomorfos si existe unisomorfismo entre ellos.

1.43 Ejemplo: φ : R → R∗+ definida por φ(x) = ex, es un isomorfismo entre

< R,+, 0 > y < R∗+, ·, 1 > pues ex+y = exey.

Teorema 1.44 Sea G =< a >. Si ord(G) = +∞, G es isomorfo a Z, siord(G) = n, G es isomorfo a Zn.

Demostración: Si ord(G) = +∞, defina φ : Z → G, por φ(k) = ak y si ord(G) =n, defina φ : Zn → G, por φ(k) = ak. Es claro que φ es sobreyectiva, ahorasi φ(m1) = φ(m2), entonces a

m1−m2 = e. Aśı si +∞ = ord(G) = ord(a),m1 −m2 = 0 ó m1 = m2. Si n = ord(a), por el lema 1.20, n | m1 −m2 luegom1 = m2. De esto concluimos que φ es biyectiva. Finalmente como a

k1ak2 =ak1+k2 , φ es isomorfismo. F

10 Caṕıtulo 1. Grupos

Teorema 1.45 Sean m,n ∈ Z. Existe un isomorfismo entre Zm×Zn y Zmn siy solo si (m,n) = 1.

Demostración: Por el teorema 1.44, basta ver que Zm × Zn es ćıclico de ordenmn si y sólo si (m,n) = 1. Suponga primero (m,n) = 1 y sea k = ord((1, 1)).Aśı (1, 1)k = (0, 0) luego m | k y n | k pero si k′ ∈ Z es tal que m | k′ y n | k′,(1, 1)k

′

= (0, 0) luego k es el mı́nimo común múltiplo de m y n, este es mn.Entonces Zm × Zn =< (1, 1) >Ahora suponga que Zm × Zn es ćıclico de orden mn con Zm × Zn =< (a, b) >.Entonces en particular Zm =< a > y Zn =< b >. Aśı, si k es el mı́nimo comúnmúltiplo de m y n, (a, b)k = (0, 0) luego por el lema 1.20, mn | k. Aśı k = mny (m,n) = 1. F

Corolario 1.46 Zm1 × Zm2 × . . .× Zmn es isomorfo a Zm1m2...mn si y sólo si(m1,m2, . . . ,mn) = 1

1.47 Los grupos abelianos finitamente generados tienen una estructura par-ticular. El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Zpn , con p primo,son como los ladrillos para construirlos. Su demostración la pospondremos paracuando tengamos un poco más de experiencia, y esta nos parezca más natu-ral. Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los gruposabelianos finitamente generados, y al cual nos referiremos como al teoremaTFGAFG por comodidad.

Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano finitamente generado es iso-morfo a un único grupo de la forma Zpr1

1× Zpr2

2× . . . × Zprnn × Z × . . . × Z,

con los pi, para i ∈ {1, . . . , n}, primos tales que pi ≤ pi+1, y los ri naturales nonulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1.

1.49 Ejemplos:

i) Si∏ni=1 p

rii es la expresión de m en potencias de primos con pi < pi+1,

Zm es isomorfo a∏ni=1 Zprii

.

ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z2 × Z2.

1.50 Ejercicios:

1. Encuentre el orden del elemento (3, 10, 9) en el grupo Z4 × Z12 × Z15.

2. Pruebe que un grupo abeliano finito no es ćıclico si y solo si este contieneun subgrupo isomorfo a Zp × Zp para algún primo p.

3. Pruebe que si un grupo abeliano finito tiene orden una potencia de unprimo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potenciade p.

4. Sean G, H , y K grupos abelianos finitamente generados. Pruebe que siG×K es isomorfo a H ×K, entonces G es isomorfo a H .

Grupos de permutaciones 11

1.6. Grupos de permutaciones

1.51 Definición (Permutación): Sea A un conjunto. Una permutaciónde A es una función biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones deA lo notamos SA. Si A = {1, 2, . . . , n}, SA lo notamos Sn.

1.52 Observaciónes.

i) |Sn| = n!

ii) La composición de dos permutaciones es una permutación. La identidades una permutación y la inversa de un permutación es una permutación.En resumen, se tiene lo siguiente:

1.53 Definición (Grupo de Permutación). Sea A un conjunto. Al grupo< SA, ◦, id >, donde ◦ es la composición, lo llamamos el grupo de permuta-ciones de A.

Teorema 1.54 Si A = {ai}i∈{1,...,n}, SA y Sn son isomorfos.

Demostración: Defina φ : Sn → SA por φ(τ) : τ(i) 7→ aτ(i). Sea α ∈ SA ydefina σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} por σ(i) = j si α(ai) = aj . Como α esuna permutación σ también y φ(σ) = α, luego φ es sobreyectiva. Verificar quetambién es inyectiva es pura rutina, aśı que se lo dejamos al lector. Ahora:φ(σ ◦ σ′)(ai) = aσ◦σ′(i) = φ(σ)(aσ′(i)) = φ(σ) ◦ φ(σ

′)(ai)aśı φ(σ ◦ σ′) = φ(σ) ◦ φ(σ). Luego φ es un isomorfismo. F

1.55 Notación. A la permutación σ ∈ Sn, la notamos

(1 2 . . . nσ(1) σ(2) . . . σ(n)

).

1.56 Ejemplo: S3 = {id, ρ, ρ2, σ, ρσ, ρ2σ} con id =

(1 2 31 2 3

), ρ =

(1 2 32 3 1

),

ρ2 =

(1 2 33 1 2

), σ =

(1 2 32 1 3

), ρσ =

(1 2 33 2 1

), y ρ2σ =

(1 2 31 3 2

). Note

que σρ = ρ2σ.

1.57 Definición (Orbita): Sea σ ∈ SA y sea a ∈ A. Al conjunto {σk(a) :k ∈ Z} lo llamamos la órbita de a según σ.

Teorema 1.58 Sea σ ∈ SA. Las órbitas de σ forman una partición de A.

Demostración: Defina en A la relación ∼ por: a ∼ b si existe k ∈ Z tal queσk(a) = b. Aśı a ∼ b si y sólo si b esta en la órbita de a según σ. Ahora σ0 = idluego ∼ es reflexiva. Si b = σk(a), entonces a = σ−k(b), luego ∼ es simétrica.Ahora bien si b = σk1(a) y c = σk2(b), c = σk2+k1(a), luego ∼ es transitiva.Ahora como ∼ es relación de equivalencia, sus clases, que son las órbitas de σforman un partición de A. F

1.59 Definición (Ciclo, transposición):

12 Caṕıtulo 1. Grupos

i) Una permutación con a lo más una órbita de más de un elemento es unciclo. Si σ ∈ SA es un ciclo tal que la órbita con más de un elemento es{σi(a)}i∈{0,1,...,n−1}, notamos σ por (a σ(a) σ

2(a) . . . σn−1(a)), y decimosque σ es un n-ciclo.

ii) Una transposición es un 2-ciclo.

iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus órbitas de más de un elemento sondisyuntas.

1.60 Ejemplo. Continuando con 1.56, en S3, ρ = (1 2 3), ρ2 = (1 3 2),

σ = (1 2), ρσ = (1 3) y ρ2σ = (2 3).

Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n− 1 transposi-ciones.

Demostración: Sea σ ∈ SA un n-ciclo, con σ = (a1 a2 . . . an). Tenemos entoncesσ = (a1 an)(a1 an−1) . . . (a1a2). F

Teorema 1.62 Toda permutación en Sn se puede escribir como producto ciclosdisyuntos.

Demostración: Sea σ ∈ Sn, y {Oi}i∈{1,...,m} la colección de sus órbitas. Seaσi ∈ Sn tal que σi(a) = σ(a) si a ∈ Oi y σi(a) = a de lo contrario. Aśı los σi sonciclos disyuntos y σ =

∏i∈{1,...,m} σi (observe que como los ciclos son disyuntos

no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho deusar la productoria aunque el grupo no sea abeliano). F

Corolario 1.63 Toda permutación en Sn, con n > 1, se puede expresar comoproducto de transposiciones.

1.64 Veamos ahora que Sn se divide en dos clases disyuntas, las permutacionesque son el producto de un número par de transposiciones, y las que son elproducto de un número impar.

1.65 Definición (Signo) Sea σ ∈ Sn, el signo de σ que notamos sg(σ), estadefinido por:

sg(σ) =∏

1≤i

Grupos de permutaciones 13

Demostración:

sg(σρ) =∏

1≤i

14 Caṕıtulo 1. Grupos

1 4 22

34 3

1

2 3 4

1

PSfrag replacements

id

„1 2 3 42 3 4 1

« „1 2 3 42 1 4 3

«

Figura 1.2: transformaciones del cuadrado

◦ ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 µ1 µ2 δ1 δ2ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 µ1 µ2 δ1 δ2ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 δ1 δ2 µ1 µ2ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 µ2 µ1 δ2 δ1ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 δ2 δ1 µ1 µ2µ1 µ1 δ2 µ2 δ1 ρ0 ρ2 ρ3 ρ1µ2 µ2 δ1 µ1 δ2 ρ2 ρ0 ρ1 ρ3δ1 δ1 µ1 δ2 µ2 ρ1 ρ3 ρ0 ρ2δ2 δ2 µ2 δ1 µ1 ρ3 ρ1 ρ2 ρ0

Cuadro 1.2: Tabla de operación de D4

1.74 Ejercicios:

1. Pruebe que Sn no es un grupo abeliano para n ≥ 3.

2. Si A es un conjunto, entonces un subgrupo H de SA es transitivo sobreA , si para cada a, b ∈ A existe σ ∈ H tal que σ(a) = b. Pruebe que si Ano es un conjunto vaćıo, entonces existe un subgrupo finito ćıclico K deSA que es transitivo sobre A, tal que |H | = |A|.

3. Pruebe que para todo subgrupo H de Sn, con n ≥ 2, se cumple que todaslas permutaciones en H son pares o bien exactamente la mitad de ellasson pares.

1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange

1.75 Definición (Coconjunto): Sea H ≤ G. Definimos el coconjunto iz-quierdo de H determinado por b, que notamos bH , por:

bH := {bh : h ∈ H}

, y el coconjunto derecho por Hb := {hb : h ∈ H}.

Teorema 1.76 Sea H ≤ G. Entonces:

i) {bH}b∈G es una partición de G.

Coconjuntos y el Teorema de Lagrange 15

PSfrag replacements

{ρ0}

{ρ0, µ1} {ρ0, µ2} {ρ0, ρ2} {ρ0, δ1} {ρ0, δ2}

{ρ0, ρ2, µ1, µ2} {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3} {ρ0, ρ2, δ1, δ2}

D4

Figura 1.3: ret́ıculo de subgrupos de D4

ii) Todos los coconjuntos izquierdos de H son equipotentes.

Un resultado similar se tiene para los coconjuntos derechos.

Demostración: Defina en G la relación ∼ por a ∼ b si a−1b ∈ H . Como e ∈ H ,∼ es reflexiva. Si a−1b ∈ H , (a−1b)−1 = b−1a ∈ H , luego ∼ es simétrica. Sia−1b, b−1c ∈ H , a−1bb−1c = a−1c ∈ H , luego ∼ es transitiva. Entonces ∼ esrelación de equivalencia. Suponga a ∈ [b]∼ esto equivale a b−1a = h para algúnh ∈ H , ó a = bh que es lo mismo que a ∈ bH , luego [b]∼ = bH . Con estoconcluimos i).Ahora defina f : H → bH por f(h) = bh. Es claro que f es sobreyectiva, lainyectividad es consecuencia inmediata de 1.6. Luego f es un biyección y aśı Hy bH son equipotentes.Para los coconjuntos derechos considere: a ∼ b : ⇐⇒ ab−1 ∈ H . F

1.77 Definición (Indice): Sea H ≤ G. Definimos el indice de H comonúmero de coconjuntos izquierdos de H .

1.78 Observaciónes y notación.

i) {bH}b∈G lo notamos G/H , {Hb}b∈G lo notamos H\G

ii) Al ı́ndice de H lo notamos (G : H). Si (G : H) es finito, entonces (G :H) := |G/H |.

iii) Observe que |G/H | = |H\G|.

iu) Si a ∈ bH , entonces aH = bH . De igual forma, si a ∈ Hb, Ha = Hb.

Teorema 1.79 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo de orden finito. SiH ≤ G, entonces |H | | |G|, más aún |G| = |H |(G : H).

16 Caṕıtulo 1. Grupos

Demostración: Por el teorema 1.76:|G| =

∑bH∈G/H |bH | =

∑bH∈G/H |H | = (G : H)|H | F

1.80 Los coconjuntos son parte fundamental de la teoŕıa del álgebra, tocaentonces entenderlos y sentirlos. De esto se dará cuenta el lector a lo largo desu estudio

1.81 Ejercicios:

1. Sean K ≤ H ≤ G grupos tales que (H : K) y (G : H) son finitos. Probarque (G : K) = (H : K)(G : H).

2. Sean H y K dos subgrupos finitos de un grupo G. SeaHK un subconjunto

de G definido por HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}. Probar que |HK| = |H||K||H∩K| .

Caṕıtulo 2

Homomorfismos

2.1. Homomorfismos

2.1 Definición (homomorfismo): Sean G y G′ dos grupos. Una funciónφ : G → G′ es un homomorfismo si para todo a, b ∈ G se tiene que:

φ(ab) = φ(a)φ(b) (2.1)

2.2 Observaciones sobre definición 2.1.

i) Note que en el lado izquierdo de (2.1) la operación es la de G, mientrasque en el lado derecho la operación es la de G′.

ii) Para todo par de grupos G,G′, existe al menos un homomorfismo φ : G →G′, denominado el homomorfismo trivial definido por φ(g) = e′, paratodo g ∈ G, donde e′ es el elemento identidad en G′. Sin embargo, estehomomorfismo trivial no nos proporciona mucha información estructuralsobre G y G′.

2.3 Ejemplos:

i) Sea r ∈ Z y sea φr : Z → Z definido por φr(k) = rk, para todo k ∈ Z.Entonces para todo m,n ∈ Z se tiene que φr(m + n) = r(m + n) =rm + rn = φr(m) + φr(n). Aśı, φr es homomorfismo. Note que φ0 es elhomomorfismo trivial, φ1 es le función identidad, y φ−1 es una funciónsobreyectiva de Z en Z. Para r 6= ±1, φr no es sobreyectiva.

ii) Sea G = G1×G2× . . .×Gi× . . .×Gn un producto directo de n grupos. Lafunción proyección πi : G→ Gi, definida por πi : (g1, . . . , gi, . . . , gn) = gies un homomorfismo para cada i ∈ {1, . . . , n}.

iii) Sea φ : Z → Zn dado por φ(m) = r, donde r es el residuo de la divisiónde m entre n.

18 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

2.2. Propiedades de Homomorfismos

2.4 Definición (Imagen, rango, imagen inversa): Sea φ : X → Y unafunción del conjunto X al conjunto Y . Sean A ⊆ X y B ⊆ Y .

i) La imagen φ[A] de A en Y bajo φ es el conjunto {φ(a) : a ∈ A}.

ii) El conjunto φ[X ] es el rango de φ.

iii) La imagen inversa φ−1[B] de B en X es el conjunto {x ∈ X : φ(x) ∈ B}.

Teorema 2.5 Sea φ : G→ G′ un homomorfismo de grupos. Entonces:

i) Si e es la identidad en G entonces φ(e) es la identidad e′ de G′.

ii) Si a ∈ G, entonces φ(a−1) = φ(a)−1.

iii) Si H es un subgrupo de G, entonces φ[H ] es un subgrupo de G′.

iv) Si K ′ es un subgrupo de G′, entonces φ−1[K ′] es un subgrupo de G.

Demostración: Como a = ae, para todo a ∈ G, entonces φ(a) = φ(ae) =φ(a)φ(e). Ahora multiplicando a ambos lados por φ(a)−1 a derecha, se tieneque e′ = φ(e), que es lo que dice i).Para ver ii), e′ = φ(e) = φ(aa−1) = φ(a)φ(a−1), y multiplicando a ambos ladospor φ(a)−1 a derecha se tiene φ(a)−1 = φ(a−1).SeaH ≤ G y sean φ(a) y φ(b) dos elementos en φ[H ]. Entonces φ(a)φ(b) = φ(ab),luego φ(a)φ(b) ∈ φ[H ] pues ab ∈ H , esto es φ[H ] es cerrado bajo operación deG′. Ahora, como e′ = φ(e) y φ(a)−1 = φ(a−1) entonces φ[H ] ≤ G′, verificandoiii).Sea K ′ ≤ G′ y sean a, b ∈ φ−1[K ′]. Entonces φ(a)φ(b) ∈ K ′, puesto que K ′

es grupo. Ahora, la ecuación (2.1) prueba que ab ∈ φ−1[K ′]. Aśı, φ−1[K ′] escerrado bajo la operación de G. Además, e′ ∈ K ′ luego como e′ = φ(e), entoncese ∈ φ−1[{e′}] ⊆ φ−1[K ′]. Y finalmente si a ∈ φ−1[K ′], entonces φ(a) ∈ K ′ yφ(a)−1 ∈ K ′. Pero φ(a)−1 = φ(a−1) y aśı a−1 ∈ φ−1[K ′]. Lo que completa lademostración de iv). F

2.6 Definición (Fibra): Sea φ : G → G′ un homomorfismo y sea a′ ∈ G′.La imagen inversa φ−1[{a′}] es la fibra sobre a′ bajo φ. De ahora en adelantenotaremos φ−1[{a′}] por φ−1(a′).

2.7 Nota. Como {e′} es un subgrupo de G′, el teorema 2.5 muestra quela fibra φ−1(e′) bajo un homomorfismo φ : G → G′ es un subgrupo de G.Demostraremos a continuación que las fibras de G bajo φ son los coconjuntosdel grupo φ−1(e′). Aśı las fibras de G bajo φ forman una partición de G (verfigura 2.1).

Propiedades de Homomorfismos 19

PSfrag replacements

G

G′

e

e′

a

φ(a)

b

φ(b)

φ−1(x′)

x′

Ker(φ)

φ

Figura 2.1: Fibras y Kernel

2.8 Definición (Kernel): Sea φ : G → G′ un homomorfismo, y e′ el neutroen G. El kernel de φ es la fibra sobre e′ bajo φ, y lo notamos Ker(φ). Formal-mente:

Ker(φ) := {g ∈ G : φ(g) = e′}

Teorema 2.9 Sean φ : G → G′ un homomorfismo, H = Ker(φ) y a ∈ G.Entonces la fibra sobre φ(a) bajo φ es el coconjunto izquierdo aH de H, y es elcoconjunto derecho Ha de H. Como consecuencia, las dos particiones de G encoconjuntos izquierdos y derechos de H son la misma.

Demostración: Se desea probar que {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} = aH .Suponga que a, g ∈ G son tales que φ(g) = φ(a). Entonces φ(a)−1φ(g) = e′,donde e′ es la identidad en G′. Por el teorema 2.5, sabemos que φ(a)−1 =φ(a−1), y entonces se tiene φ(a−1)φ(g) = e′. Además, como φ es homomorfis-mo, φ(a−1)φ(g) = φ(a−1g), luego φ(a−1g) = e′. Esto es a−1g ∈ H , o a−1g = h,para algún h ∈ H , luego g = ah ∈ aH . Aśı {g ∈ G : φ(g) = φ(a)} ⊆ aH .Para comprobar la inclusión opuesta, considere g ∈ aH , entonces g = ah pa-ra algún h ∈ H . Esto implica φ(g) = φ(ah) = φ(a)φ(h) = φ(a)e′ = φ(a).Aśı g ∈ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)}, luego aH ⊆ {g ∈ G : φ(g) = φ(a)}.Una demostración similar demuestra el mismo resultado para coconjuntos de-rechos. F

Corolario 2.10 Un homomorfismo φ : G→ G′ es inyectivo si y sólo si Ker(φ) ={e}.

Demostración: Suponga que Ker(φ) = {e}, entonces si a, g ∈ G son tales queφ(a) = φ(g), g ∈ aKer(φ). Pero aKer(φ) = a{e} = {a}. Luego g = a.Para demostrar la implicación inversa, suponga que φ es inyectiva. Por el teore-ma 2.5 φ(e) = e′, la identidad de G′. Pero φ es inyectiva, luego el único elementoenviado a e′ por φ es e, luego Ker(φ) = {e}. F

20 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

2.3. Subgrupos normales

2.11 Definición (Subgrupo normal): Un subgrupo H de G es normal sisus coconjuntos derechos e izquierdos coinciden, lo que notaremos por H C G.Es decir:

H C G : ⇐⇒ ∀g ∈ G, gH = Hg

2.12 Observación. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.

Corolario 2.13 (al Teorema 2.9) Ker(φ) C G para cualquier homomorfis-mo φ con dominio G.

Teorema 2.14 H C G ⇐⇒ ∀(h, g) ∈ H ×G, ghg−1 ∈ H

Demostración: Suponga que H C G. Sea h ∈ H y g ∈ G. Como gh ∈ gH y pordefinición gH = Hg, entonces gh = h′g, para algún h′ ∈ H . Luego ghg−1 = h′,esto implica ghg−1 ∈ H .Ahora suponga que para todo h ∈ H y para todo g ∈ G, ghg−1 ∈ H . Considerealgún g ∈ G. Sea gh ∈ gH , con h ∈ H , aśı ghg−1 ∈ H , ó ghg−1 = h′, para algúnh′ ∈ H , luego gh = h′g ∈ Hg. Aśı gH ⊆ Hg. De forma similar establecemosHg ⊆ gH . Luego gH = Hg. F

Corolario 2.15 H C G ⇐⇒ ∀g ∈ G, gHg−1 = H

2.16 Nota. Frecuentemente consideraremos la caracterización del teorema2.14 y de su corolario 2.15 para hacer demostraciones.

2.17 Ejemplo: Sea S3 el grupo simétrico sobre {1, 2, 3} y sea H el subgrupoque consiste de la permutación identidad y de la transposición (1 2). EntoncesH no es normal pues (2 3)−1(1 2)(2 3) = (2 3)(1 2)(2 3) = (1 3) y (1 3) /∈ H .

Lema 2.18 Sea H C G y sean g1, g2 ∈ G. Entonces g1Hg2H = (g1g2)H.

Demostración: g2H = Hg2 aśı:g1Hg2H = g1(Hg2)H = g1(g2H)H = (g1g2)H . F

Teorema 2.19 Sea H C G. Entonces el conjunto de todos los coconjuntos deH en G es un grupo bajo la operación que a (g1H, g2H) le asocia (g1g2)H.El elemento identidad de este grupo es H, y el inverso de gH es g−1H, paracualquier g ∈ G.

Demostración: Por el lema anterior el conjunto de los coconjuntos es cerradobajo la operación. Sea g ∈ G. El subgrupo H es un coconjunto de H pues H =eH . Además, gHH = gHeH = (ge)H = gH , HgH = eHgH = (eg)H = H ,gHg−1H = (gg−1)H = eH = H y finalmente g−1HgH = (g−1g)H = eH = H .Aśı, el conjunto de todos los coconjuntos de H es un grupo. F

Isomorfismos y el Teorema de Cayley 21

2.20 Observación. Es interesante en este momento observar que el resultadoanterior es otra forma de caracterizar los grupos normales, es decir un subgru-po es normal si y sólo la operación del teorema anterior resulta bien definida.Formalmente: Sea B = {Bi}i∈I una partición de G tal que (Bi, Bj) 7→ BiBj esuna operación bien definida de B × B en B. Entonces B0, la clase de e es unsubgrupo normal de G, B = G/B0 y la operación es (g1B0, g2B0) 7→ (g1g2)B0(ver ejercicio ??).

Teorema 2.21 Sean K,N ≤ G, con N C G. Entonces:

i) N ∩K C K

ii) N C< N ∪K >

iii) NK =< N ∪K >= KN

iv) si K C G y N ∩K = {e}. Entonces: nk = kn, ∀(n, k) ∈ K ×N

Demostración: Como N C G entonces por la caracterización 2.14, gng−1 ∈ N ,para todo n ∈ N y g ∈ G. Luego si n ∈ N ∩ K ⊆ N y k ∈ K, knk−1 ∈ N .Aśı knk−1 ∈ N ∩K, pues knk−1 ∈ K, de donde i) es verificado.Como N ≤< N ∪K >, ii) es trivialmente concluido según el teorema 2.14.Para demostrar iii), observe primero que NK ⊆< N ∪K >, con lo cual única-mente debemos ver que < N ∪K >⊆ NK. Ahora, un elemento h ∈< N ∪K >es un producto de la forma n1k1n2k2 . . . nrkr, con ni ∈ N y ki ∈ K, parai ∈ {1, . . . , r}. Como N C G, entonces, como se vió en la demostración de 2.14,si k ∈ K y n ∈ N , kn = n′k para algún n′ ∈ N . En términos prácticos esto es,podemos correr los kis hacia la izquierda y aśı h = n(k1k2 . . . kr), para algúnn ∈ N , luego h ∈ NK, de forma similar h ∈ KN . Y aśı la inclusión que faltabaes verificada.Suponga las hipótesis adicionales para iv), y sean k ∈ K y n ∈ N . Entoncesnkn−1 ∈ K y kn−1k−1 ∈ N , luego (nkn−1)k−1 ∈ K y n(kn−1k−1) ∈ N , peroN ∩K = {e} luego nkn−1k−1 = e ó nk = kn. F

Teorema 2.22 Sean H,K ≤ G, entonces |HK| · |H ∩K| = |H | · |K|, y aśı (H :H ∩K) = |HK|/|K| si H y K son finitos.

Demostración: Defina la relación de equivalencia ∼ enH×K por (h, k) ∼ (h′, k′)si hk = h′k′, esto es si (h′)−1h = k′k−1, o mas aún si (h′, k′) = (gh, gk−1)para algún g ∈ H ∩ K. Entonces cada una de las |HK| clases de equivalenciaes de tamaño |H ∩ K|. Ahora considere f : H × K/∼ → HK definida porf([(h, k)]∼) = hk. Aśı, f es biyectiva y |HK| · |H ∩K| = |H | · |K|. F

2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley

2.23 Definición (Isomorfismo): Un isomorfismo es un homomorfismobiyectivo.

22 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

Teorema 2.24 Sea C una colección de grupos, y defina la relación ' en C porG ' G′ si existe un isomorfismo φ : G → G′. Tenemos que ' es una relaciónde equivalencia sobre C.

Demostración: La identidad es un isomorfismo, luego ' es reflexiva.Si φ : G → G′ es un isomorfismo, su inversa también, luego ' es simétrica.La composición de dos isomorfismos es un isomorfismo, luego ' es transitiva.F

2.25 Observaciónes.

i) Toda colección de grupos se puede particionar mediante la relación '.

ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos iden-tificarlos como uno solo, pues su única diferencia es el nombre de los ele-mentos.

2.26 Para probar que dos grupos G y G′ son isomorfos debemos:

i. Definir una función φ : G → G′

ii. Probar que φ es un homomorfismo.

iii. Probar que φ es biyectiva.

Note lo útil que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii..

Teorema 2.27 Todo grupo ćıclico infinito es isomorfo a < Z,+ >.

Demostración: Sea a un generador de G, aśı G = {an : n ∈ Z}. Defina φ :G → Z por φ(an) = n. Ahora φ(anam) = φ(an+m) = n+m = φ(an) + φ(am).Finalmente observe que φ(an) = 0 si y sólo si n = 0, luego φ es inyectiva, yademás dado n ∈ Z, φ(an) = n, luego φ es sobreyectiva. F

Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupode un grupo de permutaciones.

Demostración: Sea G un grupo y SG es grupo simétrico sobre G. Si a ∈ G definaλa : G → G por λa(g) = ag. Ahora si λa(g) = λa(g′) entonces ag = ag′ luegog = g′, y λa(a

−1g) = g, aśı vemos que λa es una permutación, pues es unabiyección.Sea G′ = {λa : a ∈ G}, como λ−1a = λa−1 y λe = Id entonces G

′ ≤ SG. Yaśı mismo vemos que g 7→ λg es un isomorfismo. F

2.29 Observación. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general.Pero en la teoŕıa que estamos estudiando acá no es de mucha utilidad.

Grupo Factor 23

2.5. Grupo Factor

2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H C G entonces el conjunto de loscoconjuntos de H bajo la operación (aH, bH) 7→ abH es un grupo. Esto motivala siguiente:

2.31 Definición (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H C G el grupo delos coconjuntos de H bajo la operación (aH, bH) 7→ abH es el grupos factorde G módulo H . Lo notaremos G/H .

2.32 Observación. Según el corolario 2.13 dado un homomorfismo con ker-nel H , podemos definir el grupo factor de G módulo H . Este grupo factorjugará un rol supremamente importante en el resto de la teoŕıa, como empe-zaremos viéndolo en el teorema fundamental del homomorfismo (ver teorema2.36).

2.33 Ejemplo: Z4 ×Z2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales,en particular {0} × Z2. Entonces (Z4 × Z2)/({0} × Z2), es un grupo y ademáses también abeliano, y aśı lo podemos clasificar de acuerdo al teorema de losgrupos abelianos finitamente generados (teorema 1.48). Ahora,

Z4 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}

y{0} × Z2 = {(0, 0), (0, 1)}

si podemos G = Z4 × Z2 y

H = {0} × Z2H1 = H + (1, 0) = {(1, 0), (1, 1)}H2 = H + (2, 0) = {(2, 0), (2, 1)}H3 = H + (3, 0) = {(3, 0), (3, 1)}

tenemos G/H = {H,H1, H2, H3}, aśı como G/H tiene cuatro elementos, solohay dos alternativas: G/H ' Z2 × Z2 ó G/H ' Z4. Pero G/H =< H1 > luegoes ćıclico, y aśı es isomorfo Z4.

2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo

Lema 2.34 Si H C G, ρ : G → G/H definida por ρ(g) = gH es un homomor-fismo con kernel H.

Demostración: Es consecuencia directa del teorema 2.19. F

2.35 Definición (proyección canónica): Si H C G, a ρH : G → G/Hdefinida por ρ(g) = gH la llamamos proyección canónica, ó homomorfismocanónico, de kernel H .

24 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

Teorema 2.36 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ : G→G′ un homomorfismo con kernel H. Entonces la función µ : G/H → φ[G] talque φ = µ ◦ ρH , es un isomorfismo.

Demostración Sean g, g′ ∈ G tales que gH = g′H , aśı g−1g′ ∈ H esto equivalea φ(g)−1φ(g′) = φ(g−1g′) = e′. Esto es φ(g) = φ(g′), entonces podemos definirµ por µ(gH) := φ(g). Pero ρH(g) = gH , luego φ = µ ◦ ρH .Ahora por el teorema 2.19 µ es un homomorfismo. Es evidente que µ es sobre-yectivo, y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gH = g′Hy φ(g) = φ(g′). Aśı µ es isomorfismo.Su unicidad es evidente, pues si µ : G/H → φ[G] es tal que φ = µ ◦ ρH ,µ(gH) = φ(g). F

Corolario 2.37 Si φ : G → G′ es un homomorfismo sobreyectivo con kernelH, G/H ' G′.

2.38 Observación. El teorema fundamental del homomorfismo nos habla dela dinámica del grupo G: si tenemos un homomorfismo sobreyectivo de G enG′ con kernel H , podemos descomponer la operación de G en dos partes unaprimera que tiene la dinámica de H con consecuencias en otra después que tienela de G′. Por ejemplo sea a, c ∈ G, b ∈ aH con b = ah′ y d ∈ cH con d = ch,entonces bd ∈ acH y si h′′ ∈ H es tal que ch′′ = h′c, bd = ac(h′′h) (ver figura2.2). Una visualización de esto es la operación de suma en los reales que sepuede descomponer en una parte decimal y en otra entera (1, 75 ∈ 0, 75 + Z,2, 43 ∈ 0, 43 + Z, 4, 18 = 1, 75 + 2, 43 ∈ 1, 18 + Z = 0, 18 + Z).

PSfrag replacements

G G′

H

cH

aH

acH

h

h′′h′′h

d = ch

b = ah′

bd = ac(h′′h)

e′

v

u

uv

φ

.

.

.

.

.

.

Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomorfismo

Cálculo de Grupo Factor 25

2.7. Cálculo de Grupo Factor

2.39 Ejemplos:

i) El subgrupo trivial {0} de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z/{0}.Como N = {0} tiene únicamente un elemento, todo coconjunto de N tieneun solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma {m} para algúnm entero. Aśı Z/{0} ' Z

ii) Sea n ∈ N∗. El conjunto nR = {nr : r ∈ R} es un subgrupo de R conla adición. nR es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R/nR.Note que cada x ∈ R es de la forma n( xn ) con

xn ∈ R. De ah́ı que para

cualquier x ∈ R tenemos que x ∈ nR. Entonces nR = R y en consecuenciaR/nR consta de un único elemento, a saber, nR. A nR/R no le queda masalternativa que ser el grupo trivial.

2.40 Observación. Por el teorema fundamental del homomorfismo, podemospensar en el grupo factor G/H como un grupo en el cual cada coconjunto deH colapsa a un sólo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Comoacabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = {e}), a“catastrófico” (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nosproporcionan mayor información sobre la dinámica en G.

2.41 Ejemplos:

i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo finito y G/N tienesolo dos elementos, entonces |G| = 2|N |. Note además que cualquier sub-grupo conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal,puesto que dado a ∈ G, a esta en H o no esta en H . En el primer caso setendŕıa a ∈ H, aH = H = Ha, y en el segundo a /∈ H, aH = Ha forzo-samente. Ahora bien, como sabemos que |Sn| = 2|An|, entonces el grupoalternante An es un subgrupo normal de Sn y el grupo cociente tiene doselementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z2conocemos completamente la operación en Sn/An. Tomando σ /∈ An unapermutación impar y si renombramos σAn por “impar” y An por “par”verificamos la siguiente propiedad de la dinamámica de Sn:

(par)(par) = par (impar)(par) = impar(par)(impar) = impar (impar)(impar) = par

Vemos como conocimiento acerca de la operación en el grupo factor Sn/Anrefleja una propiedad de la operación en Sn.

ii) El rećıproco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos queno es cierto que k | |G| implique que exista algún H ≤ G tal que |H | =k. Mostraremos que A4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga porcontradicción que H es un subgrupo de A4 de orden seis. Como |A4| = 12,H es normal. Aśı A4/H tiene solo dos elementos H y σH para algún

26 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

σ /∈ H . Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elementoes la identidad, entonces HH = H y σHσH = H . Ahora, el productoen el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementosrepresentativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquierα ∈ A4, α2 ∈ H . Pero en A4 se tiene (123) = (132)2 y (132) = (123)2 luego(123) y (132) están en H . De la misma forma se verifica que (124), (142),(134), (143), (234) están todos en H . Esto muestra que H tiene al menosocho elementos, contradiciendo la hipótesis de que H tenia seis elementos.

iii) Calculemos el grupo factor Z4 × Z6/ < (0, 1) >. Sea H =< (0, 1) >,aśı H = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)}Como H tiene 6 elementos,todos los coconjuntos de H también deben tener 6 elementos y |(Z4 ×Z6)/H | = 4. Como Z4 ×Z6 es abeliano, entonces Z4 ×Z6/H también. Loscoconjuntos de H en Z4 × Z6 son:

H = (0, 0) +HH1 = (1, 0) +HH2 = (2, 0) +HH3 = (3, 0) +H

Aśı Z4 × Z6/ < (0, 1) > es ćıclico, luego es isomorfo a Z4.

Teorema 2.42 Sea G = H × K el producto de dos grupos H y K. EntoncesH̄ = {(h, e) : h ∈ H} es un subgrupo normal de G. Además, G/H̄ es isomorfoa K. Similarmente, G/K̄ ' H

Demostración: Considere el homomorfismo π2 : H ×K → K, donde π2(h, k) =k. Como Ker(π2) = H̄ y π2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice queH ×K/H̄ ' K. F

Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo ćıclico es ćıclico.

Demostración: Sea G =< a >, y N ≤ G. Aśı N C G, y cómo a genera todo G,aN genera todo G/N . Luego G/N =< aN > es ćıclico. F

2.44 Observación. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no ćıclico bienpodra ser ćıclico (por ejemplo, Sn/An, para n ≥ 3). El teorema 2.42 nos muestracomo algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el casocomo lo veremos ahora mismo.

2.45 Ejemplos:

i) Calculemos Z4×Z6/ < (0, 2) >. Sea H =< (0, 2) >= {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}.En primera instancia note que Z4 × Z6 es abeliano, luego el grupo factortambién es abeliano, y como |H | = 3, es de orden 8. Usando el teoremafundamental de los grupos abelianos finitamente generados, sabemos que

Grupos simples 27

el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z8, Z4×Z2ó Z2 × Z2 × Z2. Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos:

H = (0, 0) +H = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)} H4 = (2, 0) +H = {(2, 0), (2, 2), (2, 4)}H1 = (0, 1) +H = {(0, 1), (0, 3), (0, 5)} H5 = (2, 1) +H = {(2, 1), (2, 3), (2, 5)}H2 = (1, 0) +H = {(1, 0), (1, 2), (1, 4)} H6 = (3, 0) +H = {(3, 0), (3, 2), (3, 4)}H3 = (1, 1) +H = {(1, 1), (1, 3), (1, 5)} H7 = (3, 1) +H = {(3, 1), (3, 3), (3, 5)}

y los subgrupos generados son:

< H1 >= {H,H1}< H2 >= {H,H2, H4, H6}< H3 >= {H,H3, H4, H7}< H4 >= {H,H4}< H5 >= {H,H5}< H6 >=< H2 >< H7 >=< H3 >

Como no hay ningún elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo aZ8. Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser aZ2×Z2×Z2. Entonces no quedendo más alternativa, es isomorfo a Z4×Z2.Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente.

ii) Calculemos el grupo factor (Z4 ×Z6)/ < (2, 3) >. Sea H =< (2, 3) >, en-tonces H = {(0, 0), (2, 3)}. Como H es de orden 2, entonces (Z4 × Z6)/Hes de orden 12. Se podŕıa cometer el error de pensar que Z4 y Z6 sepa-radamente colapsan en grupos isomorfos a Z2 y que y entonces el grupofactor seŕıa isomorfo a Z2 × Z2. De esta manera el grupo factor tendŕıaorden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los fac-tores siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianosde orden 12 son: Z4 ×Z3 (que es isomorfo a Z12), Z6 ×Z2 y Z2 ×Z2 ×Z3.Además Z4×Z3 es el único que tiene un elemento de orden 4. Probaremosque el coconjunto (1, 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrarla potencia mas pequeña de un coconjunto que de la identidad, basta es-coger la potencia mas pequeña del representante que este en H . Ahora,4(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (0, 0). Por lo tanto (Z4 × Z6)/Htiene un elemento de orden 4 y aśı es isomorfo a Z4 × Z3.

2.8. Grupos simples

Teorema 2.46 Sea φ : G→ G′ un homomorfismo. Si N C G, φ[N ] C φ[G]. SiN ′ C φ[G], φ−1[N ′] C G.

Demostración: Sean N C G y N ′ C φ[G]. φ[N ] ≤ φ[G] y φ−1[N ′] ≤ G por elteorema 2.5. Ahora si (φ(g), φ(n)) ∈ φ[G] × φ[N ], gng−1 ∈ N y φ(gng−1) =φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ φ[N ], luego φ[N ] C φ[G]. Por otro lado si g, n ∈ G×φ−1[N ′],φ(gng−1) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ N ′ y gng−1 ∈ φ−1[N ′], luego φ−1[N ′] C G. F

28 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

2.47 Ejemplo: En S3 considere µ = (2 3). Defina el homomorfismo φ : Z2 →S3 por φ(0) = 0 y φ(1) = µ. Ahora bien Z2 C Z2, pero {id, µ} = φ[Z2] no essubgrupo normal de S3, como ya se vio previamente.

2.48 Observaciones.

i) Como lo muestra el ejemplo anterior, aún si N C G, φ[N ] puede no sersubgrupo normal de G′.

ii) Sabiendo que construir grupos factor nos ilustra sobre la dinámica delgrupo, podemos preguntarnos en que condiciones un grupo no admite sinocolapsos triviales.

2.49 Definiciones (Grupo simple, subgrupo normal maximal):

i) Un grupo G es llamado simple si su único subgrupo propio normal es {e}.

ii) Un subgrupo propio normal M de G es llamado maximal, si:

N C G ∧M < N ⇒ N = G

2.50 Observaciones a la definición 2.49.

i) Semejante a los números primos, el grupo trivial no es simple.

ii) Un subgrupo es normal maximal si y sólo si el único subgrupo normal quelo contiene propiamente es todo el grupo.

Teorema 2.51 M es un subgrupo normal maximal de G si y sólo si G/M essimple.

Demostración: Sea M un subgrupo normal maximal de G. Considere la proyec-ción canónica ρM , y tome N

′ C G/M . Ahora, por el teorema 2.46, ρ−1[N ′] C G.Entonces si N ′ = {M}, ρ−1[N ′] = Ker(ρM ) = M , de lo contrarioM < ρ

−1(N ′)lo cual implica ρ−1(N ′) = G, y aśı N ′ = G/M . Aśı el único subgrupo propionormal de G/M es {M}.Para verificar el converso, suponga que G/M es simple, y tome N C G tal queM < N . Aśı ρM [N ] C G/M y N 6= {M}, luego ρM [N ] = G/M . Entonces N esun subgrupo de G que contiene a M y a un representante de cada coconjuntode M , luego N = G. Aśı M es normal máximal. F

2.9. El centro y el conmutador

2.52 Todo grupo tiene dos subgrupos normales importantes, el centro y elconmutador, que nos indican de cierto modo “que tan abeliano” es G. Porun lado nos podemos preguntar qué elementos conmutan en G, y por otro,cómo podriamos “abelianizar” G (i.e encontrar un grupo factor de G abelianoy parecido a G).

El centro y el conmutador 29

2.53 Notación. Dados a, b ∈ G notaremos aba−1b−1 por [a : b] y lo llamare-mos conmutador de a y b.

Teorema 2.54 K = {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G} y H =< {[a : b] : a, b ∈ G} >son subgrupos normales de G.

Demostración: Comencemos con K, si g ∈ G, eg = ge, luego e ∈ K. Ahorasi k1, k2 ∈ K y g ∈ G, k1g = gk1, aśı multiplicando a izquierda y derechapor k−11 obtenemos, gk

−11 = k

−11 g, luego k

−11 ∈ K, y k1k2g = k1gk2 = gk1k2,

aśı k1k2 ∈ K. Entonces K ≤ G.Ahora sea (g, k) ∈ G × K. Entonces si g′ ∈ G, (gkg−1)g′ = kg′ = g′k =g′(gkg−1), luego gkg−1 ∈ K. Aśı K C G.Ahora preocupemonos por H . H ≤ G por definición. Si a, b ∈ G, e = [a : a] ∈ H ,[a : b]−1 = [b : a] ∈ H . Luego por el teorema 1.38, H consiste de todos los pro-ductos finitos de conmutadores.Si x, y, g ∈ G, gxyg−1 = (gxg−1)(gyg−1), entonces concluiremos que H es nor-mal si g[x : y]g−1 es un producto de conmutadores. Pero,

g[x : y]g−1 = gxyx−1y−1g−1

= gxyx−1(g−1y−1yg)y−1g−1

= ((gx)y(gx)−1y−1)(ygy−1g−1)

= [gx : y][y : g]

luego H C G. F

2.55 Definiciones (Centro y conmutador):

i) El centro de G es el subgrupo Z(G) definido por:

Z(G) := {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G}

ii) El conmutador de G es el subgrupo C(G) definido por:

[G : G] :=< {[a : b] : a, b ∈ G} >

2.56 Observación: En el caso en que G es abeliano, su centro es todo G ysu conmutador es {e}. Bajos estas condiciones estos subgrupos, como se pod́ıaesperar, no son de mucha utilidad.

2.57 Ejemplo: Por verificación (continuando el ejemplo 1.56), vemos queZ(S3) = {id}

Teorema 2.58 Sea G un grupo:

i) G/[G : G] es abeliano.

ii) G/N es abeliano si y sólo si [G : G] ≤ N

30 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

Demostración: Sean a, b ∈ G, como [a : b] ∈ [G : G], ab(ba)−1[G : G] = [G : G],luego ab[G : G] = ba[G : G]. Aśı G/[G : G] es abeliano.Ahora suponga que G/N es abeliano, esto equivale a: para todo a, b ∈ G, abN =baN ; que sucede si y sólo si [a : b] = ab(ba)−1 ∈ N para todo a, b ∈ G, que es[G : G] ≤ N . F

2.59 Ejemplo: S3/A3 es abeliano luego [G : G] ≤ A3. Con la notación de1.56, [ρ : σ] = ρσρ2σ = ρσσρ = ρ2 y [ρ2 : σ] = ρ2σρσ = σρ2σ = σσρ = ρ. LuegoA3 ≤ [G : G]. Concluimos que [G : G] = A3.

2.10. Ejercicios

1. Sea φ : G → G′ un homomorfismo de grupos. Pruebe que:

(a) Si |G| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G|.

(b) Si |G′| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G′|.

2. Pruebe que todo homomorfismo φ : G → G′ donde |G| es un primo debeser o bien el homomorfismo trivial o bien un homomorfismo inyectivo.

3. Sea G un grupo y sea g un elemento fijo de G. Pruebe que la aplicaciónig : G → G definida por ig(x) = gxg−1 es un isomorfismo de grupos. (Unisomorfismo de un grupo G en si mismo es llamado un automorfismo deG. El automorfismo ig es llamado el automorfismo interno de G porg).

4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que H C G si y solo siig [H ] = H , para todo g ∈ G. (Es decir, H es normal en G si y solo si Hes invariante bajo todos los automorfismos internos de G).

5. Un subgrupo H es dicho conjugado con un subgrupo K de un grupoG si existe un automorfismo interno ig de G tal que ig[H ] = K. Pruebeque la conjugación es una relación de equivalencia sobre la colección desubgrupos de G.

6. Sea H un subgrupo normal de un grupo G, y sea m = (G : H). Pruebeque am ∈ H para todo a ∈ G.

7. Pruebe que la intersección de subgrupos normales de un grupo G es unsubgrupo normal de G.

8. Pruebe que si un grupo G tiene exactamente un solo subgrupo H de unorden dado, entonces H C G.

9. Pruebe que si H y N son subgrupos de un grupo G, donde N es normalen G, entonces H ∩N es normal en H . Pruebe con un ejemplo que H ∩Nno es necesariamente normal en todo G.

Ejercicios 31

10. Pruebe que el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G formanun grupo bajo la operación de composición.( Dicho grupo se denota porAUT(G)).

11. Pruebe que los automorfismos internos de un grupo G forman un subgruponormal de AUT(G). (Pruebe primero que el conjunto de los automorfismosinternos de G es un subgrupo de AUT(G)).

12. Sean G y G′ dos grupos y sean H y H ′ subgrupos normales de G y G′

respectivamente. Sea φ un homomorfismo de G en G′ tal que φ[H ] ⊆ H ′.Pruebe que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : G/H → G′/H ′.

13. Pruebe que si un grupo finito G contiene un subgrupo propio de ı́ndice 2en G, entonces G no es simple.

14. Pruebe que si un grupo G no es abeliano, entonces el grupo factor G/Z(G)no es ćıclico.

15. Use el ejercicio anterior para probar que un grupo G no abeliano de ordenpq, donde p y q son primos, tiene un centro trivial.

32 Caṕıtulo 2. Homomorfismos

Caṕıtulo 3

Conjugación

3.1. Elementos y subgrupos conjugados

3.1 Definición (Elementos conjugados): Dos elementos k, h de un mismogrupo G son conjugados si k = ghg−1 para algún g ∈ G.

3.2 Observaciones a la definicición 3.1.

i) La relación ser conjugados es una relación de equivalencia en el grupo, laverificación de esta trivialidad se le deja al lector. Las clases de equiva-lencia de esta relación las denominaremos clases de conjugación y lanotaremos [h̄].

ii) La clase de conjugación de la identidad contiene solamente a la identidad.Además es la única clase de conjugación que es un grupo, ya que las otrasno contienen a la identidad.

iii) Un grupo es abeliano si y sólo si todas sus clases de conjugación sonconjuntos unipuntuales (ejercicio).

3.3 Definición (Centralizador): Sea G un grupo y h ∈ G. El Centraliza-dor de h, que notaremos C(h), esta definido por:

C(h) := {g ∈ G : hg = gh}

3.4 Ejemplo: Considere S3, el grupo de permutaciones sobre el conjunto{1, 2, 3}. Sea h = (1 2). Entonces, el centralizador de h es C(h) = {id, (1 2)}. Cla-ramente C(h) ≤ S3, pero C(h) no es subgrupo normal en S3 pues (1 3)(1 2)(1 3)−1 =(2 3).

3.5 Observación. El Centralizador de h son justamente los elementos de Gque conmutan con h. Evidentemente e ∈ C(h), ahora si g, g′ ∈ C(h) entonceshgg′ = ghg′ = gg′h, esto es gg′ ∈ C(h). Lo anterior muestra que C(h) ≤ G. El

34 Caṕıtulo 3. Conjugación

centralizador “tiene apariencia” de ser un subgrupo normal, aunque el ejemploanterior muestra que no siempre es el caso. Pero, aunque C(h) no es subgruponormal, si podemos definir las siguientes aplicaciones que serán de gran utilidaden el futuro:

3.6

κh : G −→ G

g 7−→ hgh−1

Note que si hgh−1 = hg′h−1 entonces g = g′ y si g′ = h−1gh entonces hg′h−1 =g, luego κh es una biyección. Ademas para g, g

′ ∈ G arbitrarios hgg′h−1 =(hgh−1)(hg′h−1), luego κh es isomorfismo de G en G (es decir, κh es un auto-morfismo de G).Ahora bien, si b ∈ gC(h) entonces b = gk para algún k ∈ C(h) aśı bhb−1 =gkh(gk)−1 = gkhk−1g−1 = ghg−1. Luego:

fh : G/C(h) −→ G

gC(h) 7−→ κg(h)

esto es fh(gC(h)) = ghg−1, esta bien definida. Note que fh no es necesariamen-te un homomorfismo pues G/C(h) no tiene porque tener estructura de grupo,puesto que C(h) no es necesariamente normal en G.

Teorema 3.7 Sea G un grupo finito, y h ∈ G. Entonces: |[h̄]| = (G : C(h)).

Demostración: Es claro que para demostrar esto basta ver que la aplicaciónfh definida en 3.6 es biyectiva, ya que cuando g recorre G, fh(g) recorre [h̄].Suponga que fh(aC(h)) = fh(bC(h)), esto es aha−1 = bhb−1 ó b−1ah = hb−1a,luego b−1a ∈ C(h) lo que equivale a aC(h) = bC(h). Ahora sea a ∈ [h̄] aśı a =ghg−1 para algún g ∈ G, luego κg(h) = a ó fh(gC(h)) = a. F

3.8 El hecho que κg sea un isomorfismo, implica que si H ≤ G entoncesgHg−1 ≤ G, lo que nos sugiere expandir nuestra relación de ser conjugados a lasiguiente, que también es de equivalencia:

3.9 Definición (Subgrupos conjugados): Dos subgrupos H,K de un mis-mo grupo G son conjugados si K = gHg−1 para algún g ∈ G.

3.2. An para n ≥ 5 es simple

3.10 Recordemos los siguientes resultados ya obtenidos:

i) Toda permutación de un conjunto finito es la permutación identidad, unciclo, o un producto de dos o más ciclos disyuntos.

An para n ≥ 5 es simple 35

ii) Toda permutación de un conjunto finito con más de un elemento puedeexpresarse como un producto finito de transposiciones.

iii) Una permutación de un conjunto finito es un producto o bien de un númeropar de transposiciones o bien de un número impar de transposiciones, perono las dos.

iu) Un n-ciclo es, par si n− 1 es par; impar si n− 1 es impar.

u) Toda permutación par de un conjunto finito con al menos tres elementospuede expresarse como un producto de 3-ciclos.((a b)(a c) = (a b c), (a b)(c d) = (a c b)(a c d))

Lema 3.11 Si k ≤ n − 2 es impar, todos los k-ciclos en An pertenecen a unamisma clase de conjugación.

Demostración: Sea k como en las hipótesis. Demostraremos que todo k-cicloes conjugado de h = (1 2 . . . k). Considere un ciclo k = (m1 m2 . . .mk) enAn. Sea g ∈ An tal que g(i) = mi (¿Por qué existe un tal elemento en An?).Aśı g−1(mi) = i. Ahora si i ≤ k − 1, ghg−1(mi) = gh(i) = g(i + 1) = mi+1y ghg−1(mk) = gh(k) = g(1) = m1. Pero si d ∈ {1, . . . , n} es tal que d 6= mi,para todo i ∈ {1, . . . , k}, g−1(d) ≥ k + 1, y aśı hg−1(d) = g−1(d) entoncesghg−1(d) = d. Luego ghg−1 = k, esto es k y h son conjugados. F

3.12 Observación: A4 no es simple. Considere

V4 := {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}

Sea g ∈ A4, entonces g(1 2)(3 4)g−1 = (g(1) g(2))(g(3) g(4)) es un elementode V4 y algo similar sucede con las otras dos permutaciones de V4 diferentes ala identidad. Luego V4 C A4. (Ejercicio: pruebe que V4 es el único subgruponormal propio no trivial de A4).

Lema 3.13 Sea n ≥ 5 y N C An no trivial. Entonces, existen g ∈ N\{id} ya ∈ {1, 2, . . . , n}, tales que g(a) = a.

Demostración: Dividimos la prueba en dos casos: uno, todo elemento h ∈ N estal que h2 = id; dos, el caso en que no.Suponga que primero que no, y sean h ∈ N y a ∈ {1, 2, . . . , n} tales que h2(a) 6=a. Sea b = h(a), c = h(b), aśı a, b y c son distintos. Ahora como n ≥ 5, existenotros dos elementos d, e distintos a los tres anteriores. Sea h′ = (c d e)h(c d e)−1

aśı h′ ∈ N y h′(a) = b, h′(b) = d. Luego h′ 6= h y si g = h−1h′, entonces g ∈ N ,donde g no es la identidad y g(a) = a.Ahora suponga el otro caso, y sea h ∈ N\{id} y a ∈ {1, 2, . . . , n} tal queh(a) 6= a. Sea b = h(a). Ahora como h es par h 6= (a b) y aśı existen doselementos más c y d, distintos, tales que h(c) = d. Sea e un quinto elementodistinto de a, b, c, y d, y sea h′ = (c d e)h(c d e)−1. Entonces h′ ∈ N es tal queh′(a) = b y h′(d) = e luego h′ 6= h y si g = h−1h′, entonces g ∈ N , donde g noes la identidad y g(a) = a. F

36 Caṕıtulo 3. Conjugación

Lema 3.14 Sea n ≥ 5 y N C An. Si N contiene un 3-ciclo, N = An.

Demostración: Por el lema 3.11 si N contiene un 3-ciclo, al ser normal tambiéncontiene los dem’as 3-ciclos. Ahora por 3.10 u), estos generan An. F

Teorema 3.15 Si n ≥ 5, An es simple.

Demostración: Procederemos por inducción sobre n.Sea N C A5 no trivial. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , 5}tales que g(a) = a. Sea h ∈ A5 tal que h(a) = 5, y g′ = hgh−1, luego g′(5) = 5y g′ ∈ N \ {id}. Defina H = {g ∈ A5 : g(5) = 5}, aśı H ≤ G y H 'A4. Luego N ∩ H C H , y g′ ∈ N ∩ H , y como el único subgrupo propiono trivial normal de A4 es V4, {(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊂ N ∩ H .Ahora (1 2)(4 5) = (3 4 5)(1 2)(3 4)(3 4 5)−1, luego (1 2)(4 5) ∈ N . Además(3 4 5) = (1 2)(3 4)(1 2)(4 5), aśı (3 4 5) ∈ N . Entonces por el lema 3.14,N = A5.Sea n > 5. Suponga que An−1 es simple. Sea N C An no trivial y H = {g ∈An : g(n) = n}. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , n} talesque g(a) = a. Sea h ∈ An tal que h(a) = n, y g′ = hgh−1, luego g′(n) = n yg′ ∈ N \ {id}. Luego N ∩ H C H , y g′ ∈ N ∩ H , entonces N ∩ H = H , puesH ' An−1 y An−1 es simple, aśı N contiene un 3-ciclo y entonces por el lema3.14, N = An. F

3.16 Observaciones.

i) Actualmente debe ser claro para el lector lo elegante de la conjugaciónen los grupos de permutaciones. Si h =

∏ni=1(ai bi), entonces ghg

−1 =∏ni=1(g(ai) g(bi)). Es impreciso hablar de una productoria en un grupo

no abeliano, para que la identidad sea cierta se requiere que se considereel mismo orden en el producto que expresa ghg−1 que el que se usó parah. Lo anterior, evidentemente, no es lo único impresionante en todo esto.

ii) Uno de los objetivos de los primeros cursos en Álgebra Abstracta es de-mostrar la insolubilidad de los polinomios de grado mayor o igual a cinco(“la insolubilidad de la quintica”). Por extraño que nos parezca actual-mente, el hecho que An sea simple para n ≥ 5 es una de las razones paraello. Elegante, ¿no?. Sigamos entonces con nuestro estudio.

3.3. Ejercicios

1. Pruebe que un grupo G es abeliano si y solo si todas sus clases de conju-gación contienen exactamente un elemento de G.

2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada g ∈ G, el subconjuntogHg−1 es un conjugado de H . Probar que cada conjugado de H es unsubgrupo de G y que la intersección de los conjugados deH es un subgruponormal de G.

Caṕıtulo 4

Acción de grupo sobre un

conjunto

4.1. G-conjuntos

4.1 Definición (Acción de Grupo y G-conjunto): Sea X un conjunto yG un grupo. Una acción de G sobre X es una aplicación ∗ : G ×X → X talque:

i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X

ii) (g1g2) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x), ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G

Bajo estas condiciones,X es un G-conjunto. Cuando no halla lugar a confuciónnotaremos g ∗ x por gx.

4.2 Nota. Aqúı definimos la acción “actuando por la izquierda”, algunoslibros la prefieren “actuando por la derecha”. Por lo general esto último se hacecuando también se prefiere la composición por derecha (i.e. f ◦ g(x) = g(f(x))).

4.3 Ejemplo: Sea X un conjunto, y H un subgrupo de SX . Entonces X esun H-conjunto, donde la acción de H sobre X es la definida por gx = g(x). Lacondición ii) de la definición 4.1, es una consecuencia inmediata de la definiciónde multiplicación de permutaciones vista como composición, y la condición i),de la definición de la permutación identidad como la función identidad. Noteque en particular, {1, . . . , n} es un Sn-conjunto.

4.4 El siguiente teorema muestra que para cada G-conjunto X, dado un g ∈ Gla aplicación σg : X → X definida por σg(x) = gx es una permutación de X ,y que existe un homomorfismo Φ : G → SX tal que la acćıon de G sobre Xes básicamente la descrita en el ejemplo 4.3 con H = Φ[G]. Por lo tanto, lasacciones de los subgrupos de SX sobreX describen todas las posibles acciones deun grupo G sobreX . Aśı al momento de estudiar el conjuntoX , acciones usando

38 Caṕıtulo 4. Acción de grupo sobre un conjunto

subgrupos de SX serán suficientes. Sin embargo, algunas veces, un conjunto Xes usado para estudiar G v́ıa una acción de grupo G sobre X .

Teorema 4.5 Sea X un G-conjunto. Para cada g ∈ G, la función σg : X → Xdefinida por σg(x) = gx es una permutación de X. Además, la aplicación Φ :G → SX definida por Φ(g) = σg es un homomorfismo. Aśı Φ(g)(x) = gx, estoes:

Φ : G −→ SX

g 7−→ σg : X → X

x 7→ gx

Demostración: Dado g ∈ G, demostremos que x 7→ gx es una biyección. Seanx, y ∈ X , tales que gx = gy. Aśı por 4.1 ii), ex = g−1gx = g−1gy = ey, luegopor 4.1 i), x=y. Ahora, sea x ∈ X , tome x′ = g−1x, aśı gx′ = gg−1x = ex = x.Visto entonces que x 7→ gx es una biyección, tiene sentido nuestra función Φ,pues x 7→ gx es una permutación.Ahora, de la condición ii) de la definición 4.1 se sigue inmediatamente que Φ esun homomorfismo. F

4.6 Definiciones (Acción fiel, acción transitiva): Sea X un G-conjunto.

i) Decimos que G actúa fielmente sobre X si: dado un g ∈ G tal que gx = xpara todo x, implica g = e.

ii) Decimos que G actúa transitivamente sobre X si: para cada x1, x2 ∈ X ,existe un g ∈ G tal que gx1 = x2.

4.7 Observación. Sea X un G-conjunto. Según el teorema 4.5 y el corolario2.13, el subconjunto N de G que deja todo elemento de X fijo es un subgruponormal. Ahora, por el teorema fundamental del homomorfismo, a X lo podemosver como un G/N -conjunto, donde gNx = gx. Aśı G/N actúa fielmente sobreX .

4.8 Ejemplos:

i) Considere λg : G → G definida por λg(g′) = gg′. Ahora λe = id y λg1 ◦λg2 = λg1g2 , luego si definimos g ∗ x = λg(x), G es un G-conjunto. SiH ≤ G, de misma forma podemos ver a G como un H-conjunto. Note quecon las ρg : G → G, definidas por ρg(g

′) = g′g podemos definir un accióna derecha pero no a izquierda.

ii) Recuerde κg : G → G definida por κg(g′) = gg′g−1. Entonces, κe = id yκg1 ◦ κg2 = κg1g2 , luego si definimos g ∗ x = λg(x), G es un G-conjunto.

iii) Sea V un espacio vectorial sobre R, los axiomas 1~v y (rs)~v = r(s~v), mues-tran que V se puede ver como un R∗-conjunto, con el grupo < R∗, ., 1 >.

Subgrupo estabilizador y órbitas 39

iu) Sea Sn = {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1} la esfera n-dimensional. ConsidereSOn+1(R) = {U ∈ Mn+1×n+1 : det(U) = 1 ∧ UU t = I} el conjuntode matrices ortonormales de dimensión n + 1 × n + 1. Aśı bajo la acciónU ∗ x = Ux, Sn es un SOn+1(R)-conjunto.

u) Sea H ≤ G y LH el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G.Bajo la acción g ∗xH = (gx)H , LH es un G-conjunto. Esta acción será degran utilidad (cf. Caṕıtulo 6).

4.2. Subgrupo estabilizador y órbitas

4.9 Notación. Sea X un G-conjunto, notaremos:Xg := {x ∈ X : gx = x}, y Gx := {g ∈ G : gx = x}

Teorema 4.10 Sea X un G-conjunto. Entonces, Gx ≤ G, para todo x ∈ X.

Demostración Sea x ∈ X . ex = x luego e ∈ Gx, si g ∈ Gx, g−1x = g−1gx = x,luego g−1 ∈ Gx, y finalmente si g1, g2 ∈ Gx, g1g2x = g1x = x, entonces g1g2 ∈Gx. F

4.11 Definición (Subgrupo estabilizador): Dado X un G-conjunto. A Gxlo llamamos el subgrupo estabilizador de x.

Teorema 4.12 Sea X un G-conjunto. La relación ∼ definida por x1 ∼ x2 siexiste un g ∈ X tal que gx1 = x2, es de equivalencia.

Demostración: ex = x, para todo x ∈ X , luego la relación es reflexiva.Seax1, x2, x3 ∈ X . Si gx1 = x2, x1 = g−1x2, entonces la relación es simetrica.Ahora si g1x1 = x2 y g2x2 = x3, tenemos que g2g1x1 = x3, luego la relación estambién transitiva. F

4.13 Definición (Órbitas): A la clase de equivalencia de x de la relacióndefinida en 4.12, la llamamos órbita de x, y la notaremos Gx. Aśı:Gx := {a ∈ X | ∃g ∈ G : gx = a}

4.14 Aunque la notación de la órbita y del estabilizador se parecen, no hay queconfundirlos. Existen otras notaciones para estos conjuntos pero esta nos parecebastante descriptiva. Ahora bien, un lector prudente que ya se desenvuelva enesta teoŕıa, le parecerá el siguiente resultado muy natural.

Teorema 4.15 |Gx| = (G : Gx)

Demostración: Si x′ ∈ Gx, con x′ = g1x = g2x entonces g−11 g2 ∈ Gx, luego

g1Gx = g2Gx. Aśı podemos definir ψ : Gx → {gGx}g∈G por ψ(gx) = gGx.Veamos que ψ es una biyección. Sea x1, x2 ∈ Gx, tales que ψ(x1) = ψ(x2).Ahora, suponga que x1 = g1x y x2 = g2x, aśı g1Gx = g2Gx luego existe ung ∈ Gx tal que g2 = g1g, entonces x2 = g1gx = g1x = x1. La sobreyectividad esevidente, dado g ∈ G, ψ(gx) = gGx. F

40 Caṕıtulo 4. Acción de grupo sobre un conjunto

4.3. Aplicaciones de G-conjuntos en combinato-

ria: La fórmula de Burnside

4.16 Suponga que queremos saber de cuantas maneras se puede marcar undado cúbico de forma que cada marcada sea distinguible de las otras, sin impor-tarnos que lados opuestos sumen siete. Para marcar la primera cara disponemosde 6 números, para la segunda de 5, y aśı sucesivamente vemos que tenemos6! = 720 formas de marcarlos, pero varias de estas marcadas no son distinguiblespues algunas se pueden obtener de otras mediante rotación. Aśı si consideramoslas diferentes rotaciones del cubo como un grupo, y las 720 marcadas como unconjunto, dos de estas no son distinguibles si están en la misma órbita de laacción “rotar el cubo”. Aqúı es donde el problema se une con nuestra teoŕıa, ypara resolverlo usamos la fórmula de Burnside.

Teorema 4.17 (La fórmula de Burnside) Sea G un grupo finito y X un G-conjunto. Si r es el número de órbitas en X, entonces: r|G| =

∑g∈G |Xg|.

Demostración: Considere todos los pares (g, x) tales que gx = x, y sea N elnúmero de dichos pares. Para cada g ∈ G, hay |Xg| pares teniendo a g comoprimer elemento. Entonces:

N =∑

x∈X

|Xg | (4.1)

Por otro lado, para cada x ∈ X , hay |Gx| pares teniendo a x como segundoelemento. Entonces:

N =∑

x∈X

|Gx| (4.2)

Ahora, por el teorema 4.15, |Gx| = (G : Gx), y por el teorema de Lagrange(G : Gx) = |G|/|Gx|, aśı |Gx| = |G|/|Gx|, y remplazando en (4.2):

N =∑

x∈X

|G|

|Gx|= |G|

∑

x∈X

1

|Gx|(4.3)

Ahora |Gx| es el mismo para todo x′ ∈ Gx, luego∑x′∈Gx 1/|Gx| = 1, aśı de

(4.3), N = |G|r, y combinando esto con (4.1) obtenemos el resultado buscado.F

Corolario 4.18 Si G es un grupo finito y X un G-conjunto, entonces:

(número de órbitas en X bajo G) =1

|G|

∑

g∈G

|Xg|

4.19 Ejemplo: Continuemos con el problema del dado. Estábamos en quedos marcadas son distinguibles si y sólo si pertenecen a órbitas distintas, luegonuestro problema se reduce a contar el número de estas. Formalicemos la idea deactuar por “rotación del cubo”. Primero note que hay 24 posibles posiciones parael cubo mediante rotaciónes: cada cara se puede poner abajo (6 posibilidades),

La fórmula de Burnside 41

y después, la posición del cubo queda completamente determinada por la caraque se ponga al frente (4 posibilidades). Estas rotaciones, si etiquetamos cadavértice del cubo, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo G de S8de 24 elementos (ver figura 4.1). Aśı |G| = 24, y además, dado g ∈ G con g 6= e,se tiene |Xg| = 0, pues toda rotación diferente a la identidad cambia de posiciónel dado. Sin embargo |Xe| = 720. Entonces por el corolario 4.18, el número deórbitas es 124720 = 30. Luego el número de marcadas distinguibles es 30.

1 2

34

5

6 7

8

1

2

4

3

5 6

78

12

3 4

5

67

8

1

2 3

4

56

7 8PSfrag replacements

id

„

1 2 3 4 5 6 7 82 3 4 1 6 7 8 5

« „

1 2 3 4 5 6 7 83 4 1 2 7 8 5 6

« „

1 2 3 4 5 6 7 84 1 2 3 8 5 6 7

«

Figura 4.1: Rotaciones del cubo

Teorema 4.20 Sea G un grupo. Sea A un G-conjunto y B un conjunto, ambosfinitos. BA es un G-conjunto bajo g ∗ f definida por gf(x) = f(g−1x). Además,si dado un k ∈ N∗, denotamos Ck(G) el conjunto de permutaciones en Φ[G],donde Φ es el homomorfismo del teorema 4.5, teniendo exactamente k ciclos ensu descomposición ćıclica. Entonces:

(número de órbitas en BA bajo G) =1

|G|

+∞∑

k=1

|Ck(G)||B|k

Demostración: Como ef(x) = f(e−1x) = f(x) y (g1g2)f(x) = f((g1g2)−1x) =

f(g−12 g−11 x) = g2f(g

−11 x) entonces vemos que lo que se definió en el enunciado

del teorema es una acción.Ahora bien, por la fórmula de Burnside, es suficiente demostrar que para unk ∈ N∗ dado:

|Ck(G)||B|k =

∑

g∈Ck(G)

|Xg|

Note que si σ es una permutación en A, como en la descomposición los ćıclosson disyuntos, f(σ(a)) = f(a) para todo a ∈ A si y sólo si f es constante sobrecada ćıclo de σ. Suponga que g ∈ Ck(g), entonces BAg = {f ∈ B

A : gf = f}, y

BAg esta compuesta por todas las aplicaciones que son constantes en cada uno

de los k ćıclos de Φ(g−1), y estas son |B|k. F

4.21 Ejemplo: Sean n ćırculos iguales dispuestos en ćırculo. Queremos vercual es el número de coloraciones distinguibles que se logran con c colores. Note

42 Caṕıtulo 4. Acción de grupo sobre un conjunto

que si consideramos los n ćırculos como los vértices de un poĺıgono convexoregular con n lados, entonces podemos usar el grupo diedralDn para representarlas distintas configuraciones de los ćırculos.Sean entonces A el conjunto de los n ćırculos, G = Dn (|G| = 2n) y B elconjunto de los c colores. Ahora cada coloración se puede ver como un elementode BA, luego si el número de coloraciones distinguibles es N , tenemos N =12n

∑nk=1 |Ck(G)|c

k .El número de rotaciones que son k nk -ciclos es el número de elementos en Znque generan un subgrupo de orden nk , esto es |Nk| donde Nk = {a ∈ {1, . . . , n} :(a, n) = k}. Ahora si n es impar, cada una de las n simetŕıas pasa por un vértice,luego es n−12 2-ciclos y un 1-ciclo. Y si n es par, cada una de las n/2 simetŕıasque pasan por un vértice es n−22 2-ciclos y dos 1-ciclos, y cada una de las n/2simetŕıas que no pasan por algún vértice es n2 2-ciclos. Esto abarca todos loselementos de Dn. Entonces:

N =

12n (

∑k|n |Nk|c

k + cn+12 ) si n es impar

12n (

∑k|n |Nk|c

k + n2 (cn2 + c

n2+1)) si n es par.

4.4. Ejercicios

1. Sea X un G-conjunto, y sean x1, x2 ∈ X tales que x1 y x2 se encuentranen la misma órbita. Probar que los estabilizadores Gx1 y Gx2 de x1 y x2respectivamente, son subgrupos conjugados en G. Deducir que Gx1 y Gx2tienen el mismo orden.

2. Sea X un G-conjunto, donde G es un grupo de permutaciones. Sea O unaórbita de X bajo la acción de G. Si x, y ∈ O, entonces pruebe que elconjunto de permutaciones en G que env́ıan x a y (es decir, el conjunto{σ ∈ G : σ(x) = y}) es un coset derecho de Gx. Contrariamente, pruebeque todos los elementos de un coset derecho de Gx env́ıan x al mismopunto en O.

3. Sea G un grupo de permutaciones actuando transitivamente sobre un con-junto X . Entonces, G actúa sobre X ×X , y una órbita de X ×X bajo laacción de G es llamada un órbital (para diferenciarla de una órbita de Xbajo G). Sea x ∈ X . Pruebe que existe una biyección entre los órbitales deX×X bajo G y las órbitas de X bajo la acción del subgrupo estabilizadorGx.

Caṕıtulo 5

Teoremas de Isomorfismos y

Series de Grupos

5.1. Teoremas de Isomorfismos

Teorema 5.1 (Primer Teorema de Isomorfismo) Sea φ : G → G′ un ho-momorfismo con kernel K, y sea ρK : G → G/K la proyección canónica (i.e.ρK(g) = gK). Entonces, hay un único isomorfismo ψ : G/K → φ[G] tal queφ = ψ ◦ ρK (ver figura 5.1).PSfrag replacements

G φ[G] ≤ G′

G/K

φ

ρK

ψ

Figura 5.1: Primer Teorema de Isomorfismo

5.2 Definición (join): Sean H,N ≤ G. Se define el join H ∨N de H y deN por:

H ∨N :=< HN >

5.3 Observación. H�