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Capítulo 5
Elementos de Teoría Generalizada de las Máquinas Eléctricas
El propósito es describir en términos matemáticos los principios físicos de las máquinas eléctricas más convencionales. 5.1.- Simplificaciones normalizadas En el estudio de la teoría generalizada de máquinas eléctricas se realizan las siguientes consideraciones en forma general.
a) La saturación magnética es ignorada. Se puede aplicar superposición en los campos magnéticos y las inductancias propias y mutuas de todos los devanados son independientes de la magnitud de corriente en el devanado. Es decir la máquina se estudia como un sistema lineal. b) La FMM en el entrehierro y los flujos son representados solo con la componente fundamental. c) Los efectos de ranurado se ignoran y los diámetros de los conductores son pequeños. d) La conmutación es ideal, el ancho de escobillas y segmentos del conmutador son ignorables y el cambio de corriente es instantáneo. e) Se desprecian las pérdidas por histéresis y de Eddy.
65
5.2.- Relación para inductancias en devanados concentrados y distribuidos Para la obtención de las inductancias propias y mutuas, en devanados concentrados y distribuidos, se considera que la distribución de FMM es senoidal. Para el devanado concentrado de paso completo en el rotor y solo la fundamental, las inductancias mutuas entre estator y rotor están definidas por: rrrsr CosKNM θ12 l= (5.1) y la propia del rotor es:
( ) ( )[ ]rqdqdrr CosNL θπ
22 22 Λ−Λ+Λ+Λ= (5.2)
donde Nr Número de vueltas del devanado concentrado R Radio del rotor Longitud axial del rotor l θr Desplazamiento angular del rotor respecto al eje directo
( )[ ]γπµ 124 0
1 −= nCosgNK s
Ns Número de vueltas del estator g Entrehierro n Orden armónico
γ Complemento del paso polar del devanado a 180° eléctricos, Figura 5.1.
((
Paso polar
180° eléctricos
Figura 5.1 Complemento del paso polar del devanado a 180° eléctricos Los ejes d y q, eje directo y eje de cuadratura, respectivamente, son los ejes principales de simetría de la máquina y de cualquier devanado en general. La referencia dqo es la más general en el estudio de máquinas eléctrica. En la figura 5.2 se indica la simetría de la máquina general.
66
d
q
Figura 5.2 Referencia dqo de las máquinas
Calculando las permeanceas de eje directo y cuadratura como se indica a continuación:
Λd permeancia del eje directo dg
r πµ l0=
Λq permeancia del eje de cuadratura = qg
r πµ l0
Reduciendo para γ = 0, es decir un devanado de paso completo la ecuación (5.1) se reduce a
Donde
grNN
M
rCosMM
srm
msr
πµ
θ
28 0l
=
= (5.3)
Donde ( )
( )qdr
qdrr
rrrr
NLr
NL
CosLLL
Λ−Λ=
Λ+Λ=
+=
22
221
1
22
2
22
π
π
θ
(5.4)
En la figura 5.5 se muestra el comportamiento de la inductancia propia, donde se observa la componente de directa y la variación al doble de la frcuancia findamental del segundo componente de la ecuación (5.4).
67
L
r1
r2
r
L
L
2r
Figura 5.3 Inductancia propia
Continuando con el devanado distribuido, paso completo y solo la fundamental, pero considerando a Z como el número de conductores conectados en serie por radian eléctrico, las relaciones (5.3) y (5.4), se reducen a
1
1
44
KZMCosMCosKZM
rm
rmrrsr
l
l
=== θθ
(5.5)
( ) ( )[ ]
( )
( )qdr
qdr
rrrr
rqdqdr
ZL
ZL
CosLLL
CosZL
Λ−Λ=
Λ+Λ=
+=
Λ−Λ+Λ+Λ=
2
2
2
2
2
1
2
2
2
8
82
28
π
π
θ
θπ
(5.6)
Los devanados concentrados y distribuidos son magnéticamente equivalentes cuando
Nr=2Z (5.7) con lo que la representación esquemática se muestra en la figura 5.4.
68
X
XX
XXXXXX
XX
XX X X X X X X
X
q
d
i
F
N = 2ZZ es el # de conductorespor radián eléctrico
2 r
r
r
i
i
i
i
Figura 5.4 Representación equivalente para los devanados distribuidos y concentrados
5.3.- Representación de una bobina concentrada para un transductor rotacional La figura 5.5 muestra la representación esquemática de una bobina concentrada en un transductor giratorio con doble excitación.
X
q
d
F
2 r
r
i
X X X X
Tr
S
N
N
S F s
i
vv
s
s
r
r2 r
Tr
d
F s
F r
Figura 5.5 Representación de las bobinas concentradas en un sistema de doble excitación
69
Se aplica un voltaje que varía con el tiempo vs y vr, lo cual produce corrientes, FMM's y flujos variantes en el tiempo. El rotor gira en el sentido del reloj a una velocidad ωr rad/s, se considera un instante en que los ejes magnéticos del rotor y estator están separados por θr eléctricos. El caso de análisis más sencillo es el de 2 polos pero el análisis se proyecta a cualquier número de pares de polos con las siguientes relaciones: ( ) mr polosdepares θθ #= (5.8) ( ) mr polosdepares ωω #= (5.9) donde θr y ωm están medidas en radianes eléctricos θm y ωm están medidas en radianes mecánicos La obtención de las ecuaciones de voltaje y par electromagnético para la figura 5.5, es por lo tanto la base de la teoría generalizada de las máquinas eléctricas rotatorias. 5.3.1.- Ecuaciones de voltaje inducido Los enlaces de flujo en una bobina es la suma de los enlaces propios y mutuos. Para el estator se tiene: rsrsss iMiL +=λ (5.10) y para el rotor ssrrrr iMiL +=λ (5.11) El voltaje instantáneo aplicado a las bobinas es: ssss piRv λ+= (5.12) rrrr iRv λ+= (5.13)
donde dtdp =
Sustituyendo los λ's: ( )rrssssss iMiLpiRv ++= (5.14)
70
( )srsrrrrr iMiLpiRv ++= (5.15) Ahora, como las inductancias propias y mutuas son función de θr y ésta a su vez del tiempo, entonces: rsrrrssssssss pMipiMpLipiLiRv ++++= (5.16) rsssrsrrrrrrr pMipiMpLipiLiRv ++++= (5.17) Los elementos del tipo:
subíndicecualquieresx
pLi xx
se reduce a:
rr
r
r
xx
r
rxx
dtd
dtd
ddL
idd
pLi
ωθ
θθθ
θ
=
=
por lo tanto
r
xrxxx d
dLipLi
θω=
Entonces expandiendo las ecuaciones (5.16) y (5.17)
r
rsrrrrs
r
srssssss d
dMipiM
ddL
ipiLiRvθ
ωθ
ω ++++= (5.18)
r
rsrssrs
r
rrrrrrrr d
dMipiM
ddLipiLiRv
θω
θω ++++= (5.19)
En forma matricial:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
s
rsr
srs
rr
rsr
srs
r
s
r
s
ii
LMML
ddp
LMML
RR
vv
θω
00
(5.20)
71
En la ecuación (5.20) se tienen voltajes en resistencias inducidos en las bobinas propias y mutuas como funciones de la derivada de la corriente respecto al tiempo y voltajes rotacionales que son funciones de la [ ]
rdLd
θ.
Ahora si:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
r
s
r
s
rrsr
srs
r
rsr
srs
r
s
ii
i
vv
v
dLd
LMML
ddG
LMML
L
RR
R
θθ
00
entonces (5.20) se reduce a: [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ]iGpLRv rω++= (5.21) Analizando un poco más el sentido físico de los voltajes rotacionales, es decir, se analizan en función de las Λ's:
rrr
sss
srrssr
NL
NL
NNM
Λ=
Λ=
Λ=
2
2 (5.22)
reescribiendo [G]:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΛΛ
ΛΛ
=
r
rr
r
srrs
r
srrs
r
ss
ddN
dd
NN
dd
NNdd
NG
θθ
θθ2
2
(5.23)
Por lo tanto los voltajes rotacionales son función de la variación de la permeancia durante la rotación. Una bobina en el estator, de una máquina de rotor cilíndrico, ve una permeancia del entrehierro constante ⇒ 0=
Λ
r
s
dd
θ; el devanado en el rotor de una máquina con
72
estator cilíndrico ve una permeancia del entrehierro constante⇒ 0=Λ
r
r
dd
θ. Para todas las
configuraciones del rotor y estator el área efectiva del entrehierro cambia con la rotación, así que Λsr es función de θr. En base a lo anterior se analizan los casos siguientes:
a) Cero saliencia. Estator y rotor cilíndricos.
Lr = constante Ls = constante Msr = Mm Cos θr
así la ecuación (5.21) se hace:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
s
rm
rmr
rrm
rms
r
s
r
s
ii
SenMSenM
pLCosMCosML
RR
vv
00
00
θθ
ωθ
θ (5.24)
b) Un grado de saliencia. Rotor cilíndrico y polos salientes en el estator.
Lr = Lr1+Lr2Ls = constante Msr = Mm Cos θr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
s
rrrm
rmr
rrm
rms
r
s
r
s
ii
SenLSenMSenM
pLCosMCosML
RR
vv
θθθ
ωθ
θ22
00
0
2
(5.25)
Si la saliencia fuera en el rotor y el estator cilíndrico se tendría el cambio en
022 2 =Λ
−=Λ
r
srs
r
s
dd
ySenLdd
θθ
θ.
c) Dos grados de saliencia. El análisis de máquinas con saliencia en el rotor y estator no se considera ya que es raro encontrarlos en la práctica. Se modifica todo [G].
5.3.2.- Circuito equivalente La figura 5.6 muestra el circuito equivalente para el inciso b) de la sección anterior. Si el rotor se mantiene estacionario la matriz [G] es cero y no habría voltajes rotacionales, es decir, se tendría que la figura 5.6 es el circuito equivalente de un transformador. Incluyendo los voltajes rotacionales se tiene el circuito equivalente para un
73
transductor con doble excitación. Estos voltajes rotacionales se representan como fuentes de voltaje con impedancia interna cero y su polaridad está de acuerdo a sus términos.
2
i iv vs
s r
r
Rs R rM mcos 2r
Ls
Tr i r sen2rM m Tr i s sen2rM m Lr2 2 2r
r1L + Lr2 cos 2 2r
senTri r Figura 5.6 Circuito equivalente para el sistema con doble excitación y saliencia en el
estator 5.3.3.- Par electromagnético De acuerdo al análisis en conversión, la energía en un sistema con doble excitación el par está definido como: srrsrrssfe MiiLiLiW ++= 2
212
21 (5.26)
El sistema con doble excitación es de un par de polos, generalizando para cualquier número de pares de polos, el Te es:
( )
( )
( ) mr
r
srrs
r
rr
r
ss
r
fe
m
fee
polosdeParesd
dMii
ddLi
ddL
ipolosdePares
ddW
polosdeParesddW
T
θθθθθ
θθ
=
++=
==
2212
21 (5.27)
En forma matricial:
( ) [ ]
( ) [ ] [ ][ ]iGipolosdePares
T
ii
ddL
ddM
ddM
ddL
iipolosdePares
T
te
r
s
r
r
r
sr
r
sr
r
s
rse
2
2
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
θθ
θθ
(5.28)
74
Como se analizó anteriormente la matriz [G] depende de las Λ's. Por lo tanto para el caso b) en el que el rotor es cilíndrico y el estator es de polos salientes, el Te es:
( ) [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=r
s
rrrm
rmrse i
iSenLSenMSenM
iipolosdeParesTθθ
θ22
02 2
(5.29)
y así para los casos a) y c) se pueden realizar la sustitución adecuada de [G] para obtener Te. 5.4.- Máquinas con conmutador Un grupo considerable de máquinas de ca y cd emplean devanados con conmutador. El diagrama esquemático se muestra en la figura 5.7.
q
d
F
2 r
r
i
X X X X
Tr
S
N
N
S F s
i
vv
s
s
r
r2 r
Tr
d
F s
F r
XX
XXXXXX
XX
X X X X X X X XX i
irDevanado seudoestacionario
Figura 5.7 Máquina de dos polos con conmutador Para el análisis se asume que los devanados se alimentan con voltajes y corrientes variantes en el tiempo. Recordemos que un devanado con conmutador se comporta como una bobina concentrada estacionaria de Nr vueltas y que lleva una corriente ir; esta bobina estacionaria genera el mismo voltaje rotacional que el devanado con conmutador. Es decir esta es la bobina seudoestacionaria que representa al devanado con conmutador. 5.4.1.- Acción motor-generador Primeramente se tiene que determinar una convención de signos para la corriente en un devanado y Te en una máquina. Las figuras 5.8 y 5.9, respectivamente nos proporcionan esta convención de signos.
75
vr i r
i r
vr i =r
i1
vr
i1
i = - r i1
i1
Figura 5.8 Convención de signos para la corriente en una bobina En la figura 5.8, se observa que la convención del signo de la corriente es positivo si la corriente entra por el positivo de la fuente, por lo tanto cuando la corriente sale por el positivo de la fuente la corriente es negativa.
Tr
T = Te
T= - Te
Tr
T
Tr
T
Te
Figura 5.9 Convención de signos para el par en una máquina Para la convención del par se tiene que si el par está en el sentido de la velocidad es positivo de lo contrario será negativo.
76
Un ejemplo de aplicación se tiene en la figura 5.10, aquí se tienen las condiciones de motor y generador.
i i
vv
2
2
r
r
Tr
dF s
NS
S
N
i1T = - ir
= Te
i i
vv
2
2
r
r
Tr
dF s
NSS
N
i1T = - ir=T e
Figura 5.10 Acción motor-generador En la figura 5.10 se muestran dos instantes de la máquina de conmutador que difieren solo en el sentido de la corriente en el devanado seudoestacionario. La acción motor-generador se determina asignando las polaridades magnéticas de acuerdo con la dirección de la corriente. Cuando la fuerza magnética ayuda al movimiento hay una acción motor y cuando se opone al movimiento hay una acción generador. Observando la figura 5.10: ir=-i1 is=i2 Te=+T Ayuda al movimiento acción motor ir=+i1 is=i2 Te=-T Se opone al movimiento acción generador 5.4.2.- Ecuaciones de par y voltaje Iniciando con las ecuaciones generales de voltaje para el estator y el rotor (5.18) y (5.19), en (5.18) los términos de voltaje rotacional se pueden eliminar en base a lo siguiente:
a) El flujo en el estator y en el devanado seudoestacionario, es estacionario en el espacio, µ=cte. b) La inductancia Ls es constante debido a que el rotor es cilíndrico.
rsrsssss piMpiLRiv ++= (5.50)
r
srsr
r
rrrssrrrrrr d
dMi
ddLipiMpiLRiv
θω
θω ++++= (5.51)
La energía incremental alimentada a los dos devanados es un tiempo dt:
77
( )dtivivdW rrsse += (5.52) sustituyendo (5.50) y (5.51)
( ) ( )[ ] dtddL
id
dMiidtiipMpiLpiLdtRiRidW
r
rr
r
srrsrrssrrrssrrsse ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++=
θθω 22222 (5.55)
⇓ ⇓ ⇓ dWle dWfe dWem
donde: dWle = Pérdidas incrementales de energía en la resistencia de los devanados dWfe = Energía incremental almacenada en el campo dWem = Energía incremental para la producción de par Recordando las relaciones para la obtención del par electromecánico
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=
r
rr
r
srrse
em
re
ddLi
ddM
iipolosdeParesT
dtdWpolosdeParesT
θθ
ω
2
En forma matricial:
( ) [ ]
( ) [ ] [ ] [ ]iGipolosdeParesTddL
ddMiipolosdeParesT
te
r
r
r
srrse
=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
θθ
00
(5.54)
Comparando la ecuación (5.54) con (5.28) las expresiones difieren solo en 2
1 . Por lo tanto para las máquinas con conmutador y saliencia en el estator:
[ ] [ ]⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
r
r
r
sr
rsr
srs
ddL
ddMG
LMML
Lθθ
00
y las ecuaciones de voltaje (5.50) y (5.51) en forma matricial:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
s
rsrrr
rsr
srs
r
s
r
s
ii
LMddp
LMML
RR
vv 00
00
θω (5.55)
78
Para un desplazamiento de las escobillas de θr, respecto al eje d:
rmr
rrmsr
rrr
rrrrr
s
SenMddLCosMM
SenLddL
CosLLL
cteL
θθ
θ
θθ
θ
−==
−=+=
=
222
.
221
sustituyendo en las ecuaciones de Te y [V]:
(5.56) ( ) [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=r
s
rrrmrse i
iSenLSenM
iipolosdeParesTθθ 22
00
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
r
s
rrrmr
rrm
rms
r
s
r
s
ii
SenLSenMp
LCosMCosML
RR
vv
θθω
θθ
2200
00
2
(5.57)
Ahora con las escobillas en el eje q, 2
πθ −=r :
( )
smrrrrrr
sssss
sre
iMpiLRivpiLRiv
iipolosdeParesT
ω++=+=
=
Para las condiciones de estado estable en cd:
( )
fmraaa
fff
mafe
arfs
arfs
ar
fs
IMRIv
RIv
MIIpolosdeParesT
IiIigeneradorAcción
IiIiMotorAcciónvv
vvp
ω+±=
=
±=
−==
===
==
,
,
0
En vacío, el voltaje en terminales es llamado voltaje de excitación y está dado por: fmr IME ω= Mm es la inductancia mutua entre el estator y el devanado seudoestacionario del rotor y con las escobillas a θr=0.
79
El circuito equivalente para la máquina con conmutador en estado estable motor y generador se muestra en la figura 5.11.
I
Va
a
Ra
Tr IfM m
Devanadodel rotor
I
Va
a
Ra
Tr IfM m
Devanadodel rotor
Motor Generador
Figura 5.11 Circuito equivalente para una maquina de CD en estado estable 5.5.- Máquina primitiva con devanados múltiples Los devanados de una máquina y las cantidades eléctricas asociadas a ellos pueden ser transformados a otro arreglo de las bobinas con nuevas cantidades eléctricas. La máquina transformada debe tener la característica de funcionamiento idéntico a la original. Una transformación de interés especial es transformar los devanados de la máquina a los ejes d y q del estator y el rotor con devanados seudoestacionarios. El nombre de máquina primitiva es dado al arreglo de los devanados en los ejes d y q y la alimentación de éstos es individual y externa; también es conocida como la máquina primitiva de Kron. Una máquina primitiva con dos devanados en el estator y dos bobinas seudoestacionarias, se muestra en la figura 5.12. El número de devanados por eje es ilimitado, el inconveniente es el trabajo analítico requerido. 5.5.1.- Coeficientes de voltaje: Forma matricial Las reglas para construir [L] y [G] para la máquina primitiva de determinan de las ecuaciones de voltaje; para una máquina con conmutador de dos devanados, de (5.57):
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
rrm
rms
LCosMCosML
Lθ
θ
80
i
v
s
s
Tr
dd
q
d
iv
d
d
r
r
sdd
r
vs
v r
i s
i rq
sq
rq
Figura 5.12 Máquina primitiva en la referencia dq Los coeficientes de la inductancia mutua:
para
02
0
=±=
==
==
srr
msrr
rmrssr
M
MM
CosMMM
πθ
θ
θ
Por lo tanto el coeficiente de inductancia mutua está presente cuando un par de bobinas están situadas en un eje magnético común. De la ecuación (5.57)
[ ]
mrsr
rsr
rmrs
rrrm
MG
GSenMG
SenLSenMG
±=±=
==−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=
2
00
2200
2
πθ
θθ
θθ
Un coeficiente G está presente cuando un par de bobinas están localizadas en cuadratura y una de ellas es pseudoestacionaria.
81
Enseguida veamos la notación de sufíjos requerida para identificar las dos bobinas asociadas con un particular elemento de L o G. Por ejemplo : rs
dqG
- La primera columna indica el voltaje inducido rd
- La segunda columna flujo que induce el voltaje sq
a) Matriz de los coeficientes de inductancias [L]:
(5.58)
[ ]
sq
rq
rq
sq
sd
rd
rd
sd
rq
rq
sq
rq
sq
sq
rd
rd
sd
rd
sd
sd
rq
sq
rd
sd
rq
sq
rd
sd
MM
MM
LMML
LMML
L
=
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0000
0000
Para una máquina de polos salientes: r
qsq
rd
sd
rq
rd
sq
sd MMyLLLL ≠≠≠
es decir la Λ es diferente en el eje d y q. Las inductancias son iguales para máquinas con saliencia cero.
b) Matriz de coeficientes rotacionales.
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000000
000000
rd
rq
sd
rq
rq
rd
sq
rd
rq
sq
rd
sd
rq
sq
rd
sd
GG
GGG
Los coeficientes G se obtienen solo para bobinas seudoestacionarias (rotor), la bobina que actúa como fuente del flujo puede estar en el rotor o en el estator. Los coeficientes con las bobinas del estator como fuentes del flujo:
82
sd
rd
sd
rd
sd
rq
sq
rq
sq
rq
sq
rd
MSenMG
MSenMG
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
2
2π
π
Coeficientes que incluyen las 2 bobinas seudoestacionarias:
( )( ) r
drd
rd
rd
rd
rq
rq
rq
rq
rq
rd
rd
rd
rd
rd
rq
rq
rq
rq
rq
rq
rd
LLLM
LLLM
MSenMG
MSenMG
==
==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
2
2π
π
Así G se reduce a:
[ ]
(5.59)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
000000
000000
rd
sd
rd
rq
sq
rq
rq
sq
rd
sd
rq
sq
rd
sd
LM
LMG
La ecuación de voltaje general es la (5.21): [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ]iGpLRv rω++= Sustituyendo las relaciones de [L] y [G] obtenidas, se llega a:
(5.40)
( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
−−++
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
rq
sq
rd
sd
rd
rd
sq
rq
rdr
rd
rdr
sq
rq
sq
sq
rqr
sq
rqr
rd
rd
sd
rd
sd
rd
sd
sd
rq
sq
rd
sd
iiii
pLRpMLMpMpLR
LMpLRpMpMpLR
vvvv
ωω
ωω00
00
donde se tiene la matriz de impedancia completa para una máquina primitiva de 4 devanados.
83
5.5.2.- Par y potencia Sustituyendo la ecuación (5.59) en (5.54)
5.41) ( ) [ ]⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
rq
sq
rd
sd
rd
rd
rd
rq
sq
rqr
qsq
rd
sde
iiii
LM
LMiiiipolosdeParesT
000000
000000
expandiendo la relación: ( )[ ]r
drq
rq
rd
sq
rq
sq
rd
sd
rd
rq
sde iiLLMiiMiipolosdeParesT )( −+−= (5.42)
La componente del par con el término ( )r
qrd LL − existe solo en máquinas de polos
salientes y es llamado el par de saliencia. Los componentes del par restantes definen el par para un entrehierro uniforme y se describe como par cilíndrico. Las componentes del par cilíndrico comprenden el término positivo motor y el término negativo generador. La suma de estos términos determina la acción de la máquina motor o generador. La potencia interna total desarrollada por la máquina es:
( )[ ]r
drq
rq
rd
sq
rq
sq
rd
sd
rd
rq
sdre
er
e
iiLLMiiMiiP
TpolosdePares
P
)( −+−=
=
ω
ω (5.45)
Otra forma para obtener la ecuación (5.42), es considerar el par ejercido sobre cada bobina seudoestacionaria por todas las demás bobinas que puedan actuar como fuente del flujo.
84
Capítulo 6
Transformaciones de devanados trifásicos 6.1.- Introducción
Los devanados trifásicos rotatorios o estacionarios pueden ser representados en su equivalente a los ejes d y q de la maquina primitiva. Para realizar esta transformación se debe de cumplir la condición de que la Fmm en abc debe de ser idéntica al equivalente transformado para cualquier t. Se asume que solo se utiliza la fundamental de la Fmm de las fases. Resolviendo para Fa, Fb y Fc a lo largo de los ejes d y q se tienen los valores de Fd y Fq cuya combinación describe en forma idéntica la Fmm resultante de un devanado trifásico. La transformación de devanados trifásicos difiere, dependiendo de si están estacionarios o en movimiento, en el primer caso los ángulos son invariantes y en el otro, dependiendo del tiempo. El método adoptado para formar ambas transformaciones entre abc y αβγ donde la separación de fases entre los ejes αβγ y abc se mantiene constante independientemente de la rotación del devanado. Con devanados trifásicos estacionarios los ejes αβγ y dq0 coinciden pero con rotación una segunda transformación es requerida entre las fases rotatorias αβγ y las fases estacionarias dq0. Así como se obtienen estas transformaciones para las Fmm’s deben de ser obtenidas también para los demás parámetros como son: V, i, L, λ, etc. 6.2 Transformación de devanados entre abc y αβγ La transformación abc- αβγ, consiste en transformar los tres ejes de abc desplazados 120 grados eléctricos a los tres ejes αβγ, con la diferencia de que ahora estos tres ejes son ortogonales lo cual implica que para sistemas balanceados en realidad se transformaría a dos ejes que siguen girando. su transformación es como sigue, figura 6.1
85
Figura 6.1 Transformación de abc- αβγ Definiendo
[ ] [ ] [ ]1
11 1 1 0122 2
2 3 3 2 1 303 2 2 3 2 2 2
1 1 1 1 3 12 2 2 2 2 2
tB B B−
⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= − ⇒ = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
La transformación de todas las variables se indica a continuación:
[ ][ ]
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]
32 abc
abc
abc
abc
tabc
tabc
F B
i B i
B
V B V
L B L
F
B
Z B Z B
αβγ
αβγ
αβγ
αβγ
αβγ
αβγ
λ λ
⎡ ⎤ =⎣ ⎦
⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦
⎡ ⎤ =⎣ ⎦
⎡ ⎤ =⎣ ⎦
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
23
tabc
tabc
tabc
tabc
tabc
tabc
F B F
i B i
B
V B V
L B L B
Z B Z B
αβγ
αβγ
αβγ
αβγ
αβγ
αβγ
λ λ
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
86
6.3 Transformación de devanados entre abc y dq0 A diferencia de la transformación anterior ésta es estática en dos ejes, es decir sus inductancias se mantienen constantes, se elimina la dependencia con el tiempo. La transformación es como sigue: Definiendo,
[ ]( ) (( ) (
))
[ ] [ ]1
cos cos 120 cos 1202 sin sin 120 sin 1203
1 1 12 2 2
r r r
r r r
t
C
C C
θ θ θ
θ θ θ
⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟= − − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
o o
o o
[ ][ ]
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]
0
0
0
0
0
0
32dq abc
dq abc
dq abc
dq abc
tdq abc
tdq abc
F C F
i C i
C
V C V
L C L C
Z C Z C
λ λ
⎡ ⎤ =⎣ ⎦
⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦
⎡ ⎤ =⎣ ⎦
⎡ ⎤ =⎣ ⎦
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
0
0
0
0
0
0
23
tabc dq
tabc dq
tabc dq
tabc dq
tabc dq
tabc dq
F C F
i C i
C
V C V
L C L C
Z C Z C
λ λ
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
6.4 Máquina Síncrona La máquina síncrona que vamos a estudiar es la indicada en la siguiente figura 6.2 y está compuesta por un estator de polos salientes con un devanado de campo F y dos devanados de amortiguamiento s y t, colocados sobre el eje d y q respectivamente. Un devanado trifásico distribuido en el rotor.
87
Figura 6.2 Máquina síncrona básica
Las inductancias de la maquina son:
• Propias
1 2
1 2
1 2
2
2( 120 )
2( 120 )
aa l r
bb l r
cc l r
L L L L Cos
L L L L Cos
L L L L Cos
θ
θ
θ
= + +
= + + −
= + + +
o
o
Mutuas
12
12
12
2( 60 )2
2( 60 )2
22
ab ba r
dc ca r
bc cb r
LL L L Cos
LL L L Cos
LL L L Cos
θ
θ
θ
= = − + −
= = − + +
= = − +
o
o
• Estator–Rotor
88
( 120
( 120 )
af fa rf r
bf fb rf r
cf fc rf r
L L M Cos
L L M Cos
L L M Cos
θ
θ
θ
= =
= = −
= = +
o
o
)
)
( 120 )
( 120 )
as sa rs r
bs sb rs r
cs sc rs r
L L M Cos
L L M Cos
L L M Cos
θ
θ
θ
= =
= = −
= = +
o
o
( 120 )
( 120
at ta rt r
bt tb rt r
ct tc rt r
L L M Cos
L L M Cos
L L M Cos
θ
θ
θ
= =
= = −
= = +
o
o
La matriz de enlaces de flujo es:
00
0 0
a aaa ab ac af as at
b bba bb bc bf bs bt
c cca aa cc cf cs ct
f ffa fb fc ff fs
sa sb sc sf sss s
ta tb tc ttt t
iL L L L L LiL L L L L LiL L L L L LiL L L L L
L L L L L iL L L L i
λλλλ
λλ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ]t
w xabc abcabcfst
fst x z fst
L L i
L L i
λλ
λ
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦
⎤⎥⎥⎦
Eliminando y reduciendo;
89
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]0 0dq dqt tw x
x zfst fst
L LC C
L L
λ λ
λ λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]
0 0t
dq dqw xt
fst fstx z
iC L C C L
iC L L
λ
λ
⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
⎤⎥⎥⎦
Expandiendo las submatrices;
[ ][ ][ ]
( )
( )
1 1 2
1 1 2
3 0 02
30 02
0 0
tw
l
L L L
C L C L L L
L
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ][ ]
3 3 02 2
30 02
0 0 0
rf rs
x rt
M M
C L M
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Se define;
90
( )1 132d 2L L L L= + +
Inductancia síncrona del eje directo:
Inductancia síncrona del eje de cuadratura: ( )1 132qL L L L= + + 2
Definiendo los coeficientes de inductancias mutuas;
323232
df fd rf
ds sd rs
dt td rt
M M M
M M M
M M M
= =
= =
= =
Entonces la matriz de inductancias después de la transformación y con las consideraciones indicadas nos queda:
0
0 0 00 0 0 00 0 0 0 0
0 0 00 0 0
0 0 0 0
d df ds
q q
ldq fst
df f fs
ds fs s
qt t
L M ML M
LM L MM M L
t
M L
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
y la maquina primitiva es:
91
Figura 6.3 Máquina primitiva equivalente a la máquina síncrona
Las matrices [R] y [L] son directas para formar la ecuación de voltajes y de par, lo importante es obtener la matriz [G]. Aplicando las reglas para obtener [G] a partir de la máquina primitiva tenemos:
0
0 0 0 00 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
dq dt
qd qf qs
dq fst
G GG G G
G
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
92
2
2
2
2
2
dq qq q
dt qt qt
dq dd d
dq df df
dq ds ds
G M Sen L
G M Sen M
G M Sen L
G M Sen M
G M Sen M
π
π
π
π
π
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
Entonces la ecuación de voltajes es:
00
00
d
q
dq fstf
s
t
VVV
VV
VV
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥=⎣ ⎦
( )( )
( )( )
( )( )
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 00 0 0 0
d r q df ds r qt d
r d q r df r ds qt q
l
fdf f f fs
sds fs s s
tqt t t
R L p L M p M p M iL R L p M M M p i
iR L piM p R L p M piM p M p R L piM p R L p
ω ω
ω ω ω
+ − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦+⎢ ⎥⎣ ⎦
Expandiendo:
93
( ) ( )( ) (( )
( )( )( )
0 0 0
0
0
d d d d df f ds s r q q qt
q q q q qt t r d d df f ds s
l
f f f f f df f fs s
s s s s ds d fs f
t t t t qt q
V Ri p L i M i M i L i M i
V Ri p L i M i L i M i M i
V Ri p L i
V R i p L i M i M i
R i p L i M i M i
R i p L i M i
ω
ω
= + + + − +
= + + + + +
= +
= + + +
= + + +
= + +
)t
s
Tomando en cuenta que los enlaces de flujo son:
0 0
d d d df f ds
q q q qt t
l
f f f df f fs s
s s s ds d fs f
t t t qt q
L i M i M i
L i M i
L iL i M i M i
L i M i M i
L i M i
λ
λ
λλ
λ
λ
= + +
= +
== + +
= + +
= +
Por lo tanto podemos reducir a:
0 0 0
d d d r
q q q r
f f f f
s s s s
t t t t
V Ri p
V Ri p
V Ri pV R i p
V R i pV R i p
q
d
λ ω λ
λ ω λ
λλ
λλ
= + −
= + +
= += +
= += +
El circuito equivalente para la red primitiva es:
94
Figura 6.4 Red primitiva equivalente para la máquina síncrona Y finalmente la ecuación del par es:
0( . . )*e dT pares de polos i q fst⎡ ⎤= ⎣ ⎦
0
0 0 0 00 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
dq q
qd df ds
e
t
f
s
t
iL MiL M Mi
Ti
ii
⎡ ⎤− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Expandiendo;
95
{( ) }e d q d q df q f ds q s qtT pp L L i i M i i M i i M i i= − + + − d t
i
Componentes del par;
• Par Cilíndrico
( )cilíndrico df q fT pp M i=• Par de Saliencia
( )saliencia d q d qT pp L L= − i i
i i
di
• Par de Amortiguamiento
( )amortiguamiento ds q s qt d tT pp M i i M= − Indicando el par en función de los enlaces de flujo;
( ),( )
d qe d q qf T pp i
λ λλ λ⇒ = −
7.5.- Máquina de inducción Como se puede deducir el desarrollo de la máquina de inducción en forma primitiva es muy similar al de la síncrona, incluso consiste en eliminar únicamente el devanado de campo. Esto se deja como ejercicio para el estudiante 7.6.- Simulaciones Para este capítulo se les da a los estudiantes una pequeña introducción al simulink de matlab para realizar las simulaciones de las máquinas. 7.7.- Reporte En este capítulo se recopila lo realizado por los estudiantes en los dos capítulos precedentes.
96
Bibliografía Máquinas Eléctricas 5ª edición Fitzgerald, Kinsley y Umans Mc. Graw-Hill Introduction to generalized electrical machine theory O’kelly and Simmons Mc. Graw-Hill Máquinas Eléctricas Rafael Sanjurjo Navarro Mc. Graw-Hill Máquinas Eléctricas y Electromecánicas S. A. Nasar, L. E. Unnerwehr Mc. Graw-Hill Máquinas Eléctricas y Electromecánicas S. A. Nasar Mc. Graw-Hill Introducción a Máquinas Eléctricas y Transformadores George Mc-Pherson Limusa Máquinas Eléctricas Stephen J. Chapman Mc. Graw-Hill Máquinas Electromagnéticas y Electromecánicas Leander W. Matsch R.S.I.S.A