notas maq3new

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Capítulo 5 Elementos de Teoría Generalizada de las Máquinas Eléctricas El propósito es describir en términos matemáticos los principios físicos de las máquinas eléctricas más convencionales. 5.1.- Simplificaciones normalizadas En el estudio de la teoría generalizada de máquinas eléctricas se realizan las siguientes consideraciones en forma general. a) La saturación magnética es ignorada. Se puede aplicar superposición en los campos magnéticos y las inductancias propias y mutuas de todos los devanados son independientes de la magnitud de corriente en el devanado. Es decir la máquina se estudia como un sistema lineal. b) La FMM en el entrehierro y los flujos son representados solo con la componente fundamental. c) Los efectos de ranurado se ignoran y los diámetros de los conductores son pequeños. d) La conmutación es ideal, el ancho de escobillas y segmentos del conmutador son ignorables y el cambio de corriente es instantáneo. e) Se desprecian las pérdidas por histéresis y de Eddy. 65

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Page 1: Notas Maq3new

Capítulo 5

Elementos de Teoría Generalizada de las Máquinas Eléctricas

El propósito es describir en términos matemáticos los principios físicos de las máquinas eléctricas más convencionales. 5.1.- Simplificaciones normalizadas En el estudio de la teoría generalizada de máquinas eléctricas se realizan las siguientes consideraciones en forma general.

a) La saturación magnética es ignorada. Se puede aplicar superposición en los campos magnéticos y las inductancias propias y mutuas de todos los devanados son independientes de la magnitud de corriente en el devanado. Es decir la máquina se estudia como un sistema lineal. b) La FMM en el entrehierro y los flujos son representados solo con la componente fundamental. c) Los efectos de ranurado se ignoran y los diámetros de los conductores son pequeños. d) La conmutación es ideal, el ancho de escobillas y segmentos del conmutador son ignorables y el cambio de corriente es instantáneo. e) Se desprecian las pérdidas por histéresis y de Eddy.

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Page 2: Notas Maq3new

5.2.- Relación para inductancias en devanados concentrados y distribuidos Para la obtención de las inductancias propias y mutuas, en devanados concentrados y distribuidos, se considera que la distribución de FMM es senoidal. Para el devanado concentrado de paso completo en el rotor y solo la fundamental, las inductancias mutuas entre estator y rotor están definidas por: rrrsr CosKNM θ12 l= (5.1) y la propia del rotor es:

( ) ( )[ ]rqdqdrr CosNL θπ

22 22 Λ−Λ+Λ+Λ= (5.2)

donde Nr Número de vueltas del devanado concentrado R Radio del rotor Longitud axial del rotor l θr Desplazamiento angular del rotor respecto al eje directo

( )[ ]γπµ 124 0

1 −= nCosgNK s

Ns Número de vueltas del estator g Entrehierro n Orden armónico

γ Complemento del paso polar del devanado a 180° eléctricos, Figura 5.1.

((

Paso polar

180° eléctricos

Figura 5.1 Complemento del paso polar del devanado a 180° eléctricos Los ejes d y q, eje directo y eje de cuadratura, respectivamente, son los ejes principales de simetría de la máquina y de cualquier devanado en general. La referencia dqo es la más general en el estudio de máquinas eléctrica. En la figura 5.2 se indica la simetría de la máquina general.

66

Page 3: Notas Maq3new

d

q

Figura 5.2 Referencia dqo de las máquinas

Calculando las permeanceas de eje directo y cuadratura como se indica a continuación:

Λd permeancia del eje directo dg

r πµ l0=

Λq permeancia del eje de cuadratura = qg

r πµ l0

Reduciendo para γ = 0, es decir un devanado de paso completo la ecuación (5.1) se reduce a

Donde

grNN

M

rCosMM

srm

msr

πµ

θ

28 0l

=

= (5.3)

Donde ( )

( )qdr

qdrr

rrrr

NLr

NL

CosLLL

Λ−Λ=

Λ+Λ=

+=

22

221

1

22

2

22

π

π

θ

(5.4)

En la figura 5.5 se muestra el comportamiento de la inductancia propia, donde se observa la componente de directa y la variación al doble de la frcuancia findamental del segundo componente de la ecuación (5.4).

67

Page 4: Notas Maq3new

L

r1

r2

r

L

L

2r

Figura 5.3 Inductancia propia

Continuando con el devanado distribuido, paso completo y solo la fundamental, pero considerando a Z como el número de conductores conectados en serie por radian eléctrico, las relaciones (5.3) y (5.4), se reducen a

1

1

44

KZMCosMCosKZM

rm

rmrrsr

l

l

=== θθ

(5.5)

( ) ( )[ ]

( )

( )qdr

qdr

rrrr

rqdqdr

ZL

ZL

CosLLL

CosZL

Λ−Λ=

Λ+Λ=

+=

Λ−Λ+Λ+Λ=

2

2

2

2

2

1

2

2

2

8

82

28

π

π

θ

θπ

(5.6)

Los devanados concentrados y distribuidos son magnéticamente equivalentes cuando

Nr=2Z (5.7) con lo que la representación esquemática se muestra en la figura 5.4.

68

Page 5: Notas Maq3new

X

XX

XXXXXX

XX

XX X X X X X X

X

q

d

i

F

N = 2ZZ es el # de conductorespor radián eléctrico

2 r

r

r

i

i

i

i

Figura 5.4 Representación equivalente para los devanados distribuidos y concentrados

5.3.- Representación de una bobina concentrada para un transductor rotacional La figura 5.5 muestra la representación esquemática de una bobina concentrada en un transductor giratorio con doble excitación.

X

q

d

F

2 r

r

i

X X X X

Tr

S

N

N

S F s

i

vv

s

s

r

r2 r

Tr

d

F s

F r

Figura 5.5 Representación de las bobinas concentradas en un sistema de doble excitación

69

Page 6: Notas Maq3new

Se aplica un voltaje que varía con el tiempo vs y vr, lo cual produce corrientes, FMM's y flujos variantes en el tiempo. El rotor gira en el sentido del reloj a una velocidad ωr rad/s, se considera un instante en que los ejes magnéticos del rotor y estator están separados por θr eléctricos. El caso de análisis más sencillo es el de 2 polos pero el análisis se proyecta a cualquier número de pares de polos con las siguientes relaciones: ( ) mr polosdepares θθ #= (5.8) ( ) mr polosdepares ωω #= (5.9) donde θr y ωm están medidas en radianes eléctricos θm y ωm están medidas en radianes mecánicos La obtención de las ecuaciones de voltaje y par electromagnético para la figura 5.5, es por lo tanto la base de la teoría generalizada de las máquinas eléctricas rotatorias. 5.3.1.- Ecuaciones de voltaje inducido Los enlaces de flujo en una bobina es la suma de los enlaces propios y mutuos. Para el estator se tiene: rsrsss iMiL +=λ (5.10) y para el rotor ssrrrr iMiL +=λ (5.11) El voltaje instantáneo aplicado a las bobinas es: ssss piRv λ+= (5.12) rrrr iRv λ+= (5.13)

donde dtdp =

Sustituyendo los λ's: ( )rrssssss iMiLpiRv ++= (5.14)

70

Page 7: Notas Maq3new

( )srsrrrrr iMiLpiRv ++= (5.15) Ahora, como las inductancias propias y mutuas son función de θr y ésta a su vez del tiempo, entonces: rsrrrssssssss pMipiMpLipiLiRv ++++= (5.16) rsssrsrrrrrrr pMipiMpLipiLiRv ++++= (5.17) Los elementos del tipo:

subíndicecualquieresx

pLi xx

se reduce a:

rr

r

r

xx

r

rxx

dtd

dtd

ddL

idd

pLi

ωθ

θθθ

θ

=

=

por lo tanto

r

xrxxx d

dLipLi

θω=

Entonces expandiendo las ecuaciones (5.16) y (5.17)

r

rsrrrrs

r

srssssss d

dMipiM

ddL

ipiLiRvθ

ωθ

ω ++++= (5.18)

r

rsrssrs

r

rrrrrrrr d

dMipiM

ddLipiLiRv

θω

θω ++++= (5.19)

En forma matricial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

r

s

rsr

srs

rr

rsr

srs

r

s

r

s

ii

LMML

ddp

LMML

RR

vv

θω

00

(5.20)

71

Page 8: Notas Maq3new

En la ecuación (5.20) se tienen voltajes en resistencias inducidos en las bobinas propias y mutuas como funciones de la derivada de la corriente respecto al tiempo y voltajes rotacionales que son funciones de la [ ]

rdLd

θ.

Ahora si:

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

r

s

r

s

rrsr

srs

r

rsr

srs

r

s

ii

i

vv

v

dLd

LMML

ddG

LMML

L

RR

R

θθ

00

entonces (5.20) se reduce a: [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ]iGpLRv rω++= (5.21) Analizando un poco más el sentido físico de los voltajes rotacionales, es decir, se analizan en función de las Λ's:

rrr

sss

srrssr

NL

NL

NNM

Λ=

Λ=

Λ=

2

2 (5.22)

reescribiendo [G]:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

ΛΛ

ΛΛ

=

r

rr

r

srrs

r

srrs

r

ss

ddN

dd

NN

dd

NNdd

NG

θθ

θθ2

2

(5.23)

Por lo tanto los voltajes rotacionales son función de la variación de la permeancia durante la rotación. Una bobina en el estator, de una máquina de rotor cilíndrico, ve una permeancia del entrehierro constante ⇒ 0=

Λ

r

s

dd

θ; el devanado en el rotor de una máquina con

72

Page 9: Notas Maq3new

estator cilíndrico ve una permeancia del entrehierro constante⇒ 0=Λ

r

r

dd

θ. Para todas las

configuraciones del rotor y estator el área efectiva del entrehierro cambia con la rotación, así que Λsr es función de θr. En base a lo anterior se analizan los casos siguientes:

a) Cero saliencia. Estator y rotor cilíndricos.

Lr = constante Ls = constante Msr = Mm Cos θr

así la ecuación (5.21) se hace:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

r

s

rm

rmr

rrm

rms

r

s

r

s

ii

SenMSenM

pLCosMCosML

RR

vv

00

00

θθ

ωθ

θ (5.24)

b) Un grado de saliencia. Rotor cilíndrico y polos salientes en el estator.

Lr = Lr1+Lr2Ls = constante Msr = Mm Cos θr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

r

s

rrrm

rmr

rrm

rms

r

s

r

s

ii

SenLSenMSenM

pLCosMCosML

RR

vv

θθθ

ωθ

θ22

00

0

2

(5.25)

Si la saliencia fuera en el rotor y el estator cilíndrico se tendría el cambio en

022 2 =Λ

−=Λ

r

srs

r

s

dd

ySenLdd

θθ

θ.

c) Dos grados de saliencia. El análisis de máquinas con saliencia en el rotor y estator no se considera ya que es raro encontrarlos en la práctica. Se modifica todo [G].

5.3.2.- Circuito equivalente La figura 5.6 muestra el circuito equivalente para el inciso b) de la sección anterior. Si el rotor se mantiene estacionario la matriz [G] es cero y no habría voltajes rotacionales, es decir, se tendría que la figura 5.6 es el circuito equivalente de un transformador. Incluyendo los voltajes rotacionales se tiene el circuito equivalente para un

73

Page 10: Notas Maq3new

transductor con doble excitación. Estos voltajes rotacionales se representan como fuentes de voltaje con impedancia interna cero y su polaridad está de acuerdo a sus términos.

2

i iv vs

s r

r

Rs R rM mcos 2r

Ls

Tr i r sen2rM m Tr i s sen2rM m Lr2 2 2r

r1L + Lr2 cos 2 2r

senTri r Figura 5.6 Circuito equivalente para el sistema con doble excitación y saliencia en el

estator 5.3.3.- Par electromagnético De acuerdo al análisis en conversión, la energía en un sistema con doble excitación el par está definido como: srrsrrssfe MiiLiLiW ++= 2

212

21 (5.26)

El sistema con doble excitación es de un par de polos, generalizando para cualquier número de pares de polos, el Te es:

( )

( )

( ) mr

r

srrs

r

rr

r

ss

r

fe

m

fee

polosdeParesd

dMii

ddLi

ddL

ipolosdePares

ddW

polosdeParesddW

T

θθθθθ

θθ

=

++=

==

2212

21 (5.27)

En forma matricial:

( ) [ ]

( ) [ ] [ ][ ]iGipolosdePares

T

ii

ddL

ddM

ddM

ddL

iipolosdePares

T

te

r

s

r

r

r

sr

r

sr

r

s

rse

2

2

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

θθ

θθ

(5.28)

74

Page 11: Notas Maq3new

Como se analizó anteriormente la matriz [G] depende de las Λ's. Por lo tanto para el caso b) en el que el rotor es cilíndrico y el estator es de polos salientes, el Te es:

( ) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=r

s

rrrm

rmrse i

iSenLSenMSenM

iipolosdeParesTθθ

θ22

02 2

(5.29)

y así para los casos a) y c) se pueden realizar la sustitución adecuada de [G] para obtener Te. 5.4.- Máquinas con conmutador Un grupo considerable de máquinas de ca y cd emplean devanados con conmutador. El diagrama esquemático se muestra en la figura 5.7.

q

d

F

2 r

r

i

X X X X

Tr

S

N

N

S F s

i

vv

s

s

r

r2 r

Tr

d

F s

F r

XX

XXXXXX

XX

X X X X X X X XX i

irDevanado seudoestacionario

Figura 5.7 Máquina de dos polos con conmutador Para el análisis se asume que los devanados se alimentan con voltajes y corrientes variantes en el tiempo. Recordemos que un devanado con conmutador se comporta como una bobina concentrada estacionaria de Nr vueltas y que lleva una corriente ir; esta bobina estacionaria genera el mismo voltaje rotacional que el devanado con conmutador. Es decir esta es la bobina seudoestacionaria que representa al devanado con conmutador. 5.4.1.- Acción motor-generador Primeramente se tiene que determinar una convención de signos para la corriente en un devanado y Te en una máquina. Las figuras 5.8 y 5.9, respectivamente nos proporcionan esta convención de signos.

75

Page 12: Notas Maq3new

vr i r

i r

vr i =r

i1

vr

i1

i = - r i1

i1

Figura 5.8 Convención de signos para la corriente en una bobina En la figura 5.8, se observa que la convención del signo de la corriente es positivo si la corriente entra por el positivo de la fuente, por lo tanto cuando la corriente sale por el positivo de la fuente la corriente es negativa.

Tr

T = Te

T= - Te

Tr

T

Tr

T

Te

Figura 5.9 Convención de signos para el par en una máquina Para la convención del par se tiene que si el par está en el sentido de la velocidad es positivo de lo contrario será negativo.

76

Page 13: Notas Maq3new

Un ejemplo de aplicación se tiene en la figura 5.10, aquí se tienen las condiciones de motor y generador.

i i

vv

2

2

r

r

Tr

dF s

NS

S

N

i1T = - ir

= Te

i i

vv

2

2

r

r

Tr

dF s

NSS

N

i1T = - ir=T e

Figura 5.10 Acción motor-generador En la figura 5.10 se muestran dos instantes de la máquina de conmutador que difieren solo en el sentido de la corriente en el devanado seudoestacionario. La acción motor-generador se determina asignando las polaridades magnéticas de acuerdo con la dirección de la corriente. Cuando la fuerza magnética ayuda al movimiento hay una acción motor y cuando se opone al movimiento hay una acción generador. Observando la figura 5.10: ir=-i1 is=i2 Te=+T Ayuda al movimiento acción motor ir=+i1 is=i2 Te=-T Se opone al movimiento acción generador 5.4.2.- Ecuaciones de par y voltaje Iniciando con las ecuaciones generales de voltaje para el estator y el rotor (5.18) y (5.19), en (5.18) los términos de voltaje rotacional se pueden eliminar en base a lo siguiente:

a) El flujo en el estator y en el devanado seudoestacionario, es estacionario en el espacio, µ=cte. b) La inductancia Ls es constante debido a que el rotor es cilíndrico.

rsrsssss piMpiLRiv ++= (5.50)

r

srsr

r

rrrssrrrrrr d

dMi

ddLipiMpiLRiv

θω

θω ++++= (5.51)

La energía incremental alimentada a los dos devanados es un tiempo dt:

77

Page 14: Notas Maq3new

( )dtivivdW rrsse += (5.52) sustituyendo (5.50) y (5.51)

( ) ( )[ ] dtddL

id

dMiidtiipMpiLpiLdtRiRidW

r

rr

r

srrsrrssrrrssrrsse ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++=

θθω 22222 (5.55)

⇓ ⇓ ⇓ dWle dWfe dWem

donde: dWle = Pérdidas incrementales de energía en la resistencia de los devanados dWfe = Energía incremental almacenada en el campo dWem = Energía incremental para la producción de par Recordando las relaciones para la obtención del par electromecánico

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=

r

rr

r

srrse

em

re

ddLi

ddM

iipolosdeParesT

dtdWpolosdeParesT

θθ

ω

2

En forma matricial:

( ) [ ]

( ) [ ] [ ] [ ]iGipolosdeParesTddL

ddMiipolosdeParesT

te

r

r

r

srrse

=

⎥⎥

⎢⎢

⎡=

θθ

00

(5.54)

Comparando la ecuación (5.54) con (5.28) las expresiones difieren solo en 2

1 . Por lo tanto para las máquinas con conmutador y saliencia en el estator:

[ ] [ ]⎥⎥

⎢⎢

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

r

r

r

sr

rsr

srs

ddL

ddMG

LMML

Lθθ

00

y las ecuaciones de voltaje (5.50) y (5.51) en forma matricial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

r

s

rsrrr

rsr

srs

r

s

r

s

ii

LMddp

LMML

RR

vv 00

00

θω (5.55)

78

Page 15: Notas Maq3new

Para un desplazamiento de las escobillas de θr, respecto al eje d:

rmr

rrmsr

rrr

rrrrr

s

SenMddLCosMM

SenLddL

CosLLL

cteL

θθ

θ

θθ

θ

−==

−=+=

=

222

.

221

sustituyendo en las ecuaciones de Te y [V]:

(5.56) ( ) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=r

s

rrrmrse i

iSenLSenM

iipolosdeParesTθθ 22

00

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

r

s

rrrmr

rrm

rms

r

s

r

s

ii

SenLSenMp

LCosMCosML

RR

vv

θθω

θθ

2200

00

2

(5.57)

Ahora con las escobillas en el eje q, 2

πθ −=r :

( )

smrrrrrr

sssss

sre

iMpiLRivpiLRiv

iipolosdeParesT

ω++=+=

=

Para las condiciones de estado estable en cd:

( )

fmraaa

fff

mafe

arfs

arfs

ar

fs

IMRIv

RIv

MIIpolosdeParesT

IiIigeneradorAcción

IiIiMotorAcciónvv

vvp

ω+±=

=

±=

−==

===

==

,

,

0

En vacío, el voltaje en terminales es llamado voltaje de excitación y está dado por: fmr IME ω= Mm es la inductancia mutua entre el estator y el devanado seudoestacionario del rotor y con las escobillas a θr=0.

79

Page 16: Notas Maq3new

El circuito equivalente para la máquina con conmutador en estado estable motor y generador se muestra en la figura 5.11.

I

Va

a

Ra

Tr IfM m

Devanadodel rotor

I

Va

a

Ra

Tr IfM m

Devanadodel rotor

Motor Generador

Figura 5.11 Circuito equivalente para una maquina de CD en estado estable 5.5.- Máquina primitiva con devanados múltiples Los devanados de una máquina y las cantidades eléctricas asociadas a ellos pueden ser transformados a otro arreglo de las bobinas con nuevas cantidades eléctricas. La máquina transformada debe tener la característica de funcionamiento idéntico a la original. Una transformación de interés especial es transformar los devanados de la máquina a los ejes d y q del estator y el rotor con devanados seudoestacionarios. El nombre de máquina primitiva es dado al arreglo de los devanados en los ejes d y q y la alimentación de éstos es individual y externa; también es conocida como la máquina primitiva de Kron. Una máquina primitiva con dos devanados en el estator y dos bobinas seudoestacionarias, se muestra en la figura 5.12. El número de devanados por eje es ilimitado, el inconveniente es el trabajo analítico requerido. 5.5.1.- Coeficientes de voltaje: Forma matricial Las reglas para construir [L] y [G] para la máquina primitiva de determinan de las ecuaciones de voltaje; para una máquina con conmutador de dos devanados, de (5.57):

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

rrm

rms

LCosMCosML

θ

80

Page 17: Notas Maq3new

i

v

s

s

Tr

dd

q

d

iv

d

d

r

r

sdd

r

vs

v r

i s

i rq

qq

sq

rq

Figura 5.12 Máquina primitiva en la referencia dq Los coeficientes de la inductancia mutua:

para

02

0

=±=

==

==

srr

msrr

rmrssr

M

MM

CosMMM

πθ

θ

θ

Por lo tanto el coeficiente de inductancia mutua está presente cuando un par de bobinas están situadas en un eje magnético común. De la ecuación (5.57)

[ ]

mrsr

rsr

rmrs

rrrm

MG

GSenMG

SenLSenMG

±=±=

==−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=

2

00

2200

2

πθ

θθ

θθ

Un coeficiente G está presente cuando un par de bobinas están localizadas en cuadratura y una de ellas es pseudoestacionaria.

81

Page 18: Notas Maq3new

Enseguida veamos la notación de sufíjos requerida para identificar las dos bobinas asociadas con un particular elemento de L o G. Por ejemplo : rs

dqG

- La primera columna indica el voltaje inducido rd

- La segunda columna flujo que induce el voltaje sq

a) Matriz de los coeficientes de inductancias [L]:

(5.58)

[ ]

sq

rq

rq

sq

sd

rd

rd

sd

rq

rq

sq

rq

sq

sq

rd

rd

sd

rd

sd

sd

rq

sq

rd

sd

rq

sq

rd

sd

MM

MM

LMML

LMML

L

=

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=

0000

0000

Para una máquina de polos salientes: r

qsq

rd

sd

rq

rd

sq

sd MMyLLLL ≠≠≠

es decir la Λ es diferente en el eje d y q. Las inductancias son iguales para máquinas con saliencia cero.

b) Matriz de coeficientes rotacionales.

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=

000000

000000

rd

rq

sd

rq

rq

rd

sq

rd

rq

sq

rd

sd

rq

sq

rd

sd

GG

GGG

Los coeficientes G se obtienen solo para bobinas seudoestacionarias (rotor), la bobina que actúa como fuente del flujo puede estar en el rotor o en el estator. Los coeficientes con las bobinas del estator como fuentes del flujo:

82

Page 19: Notas Maq3new

sd

rd

sd

rd

sd

rq

sq

rq

sq

rq

sq

rd

MSenMG

MSenMG

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

2

π

Coeficientes que incluyen las 2 bobinas seudoestacionarias:

( )( ) r

drd

rd

rd

rd

rq

rq

rq

rq

rq

rd

rd

rd

rd

rd

rq

rq

rq

rq

rq

rq

rd

LLLM

LLLM

MSenMG

MSenMG

==

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

2

π

Así G se reduce a:

[ ]

(5.59)

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−−

=

000000

000000

rd

sd

rd

rq

sq

rq

rq

sq

rd

sd

rq

sq

rd

sd

LM

LMG

La ecuación de voltaje general es la (5.21): [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ]iGpLRv rω++= Sustituyendo las relaciones de [L] y [G] obtenidas, se llega a:

(5.40)

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

++

−−++

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

rq

sq

rd

sd

rd

rd

sq

rq

rdr

rd

rdr

sq

rq

sq

sq

rqr

sq

rqr

rd

rd

sd

rd

sd

rd

sd

sd

rq

sq

rd

sd

iiii

pLRpMLMpMpLR

LMpLRpMpMpLR

vvvv

ωω

ωω00

00

donde se tiene la matriz de impedancia completa para una máquina primitiva de 4 devanados.

83

Page 20: Notas Maq3new

5.5.2.- Par y potencia Sustituyendo la ecuación (5.59) en (5.54)

5.41) ( ) [ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−

=

rq

sq

rd

sd

rd

rd

rd

rq

sq

rqr

qsq

rd

sde

iiii

LM

LMiiiipolosdeParesT

000000

000000

expandiendo la relación: ( )[ ]r

drq

rq

rd

sq

rq

sq

rd

sd

rd

rq

sde iiLLMiiMiipolosdeParesT )( −+−= (5.42)

La componente del par con el término ( )r

qrd LL − existe solo en máquinas de polos

salientes y es llamado el par de saliencia. Los componentes del par restantes definen el par para un entrehierro uniforme y se describe como par cilíndrico. Las componentes del par cilíndrico comprenden el término positivo motor y el término negativo generador. La suma de estos términos determina la acción de la máquina motor o generador. La potencia interna total desarrollada por la máquina es:

( )[ ]r

drq

rq

rd

sq

rq

sq

rd

sd

rd

rq

sdre

er

e

iiLLMiiMiiP

TpolosdePares

P

)( −+−=

=

ω

ω (5.45)

Otra forma para obtener la ecuación (5.42), es considerar el par ejercido sobre cada bobina seudoestacionaria por todas las demás bobinas que puedan actuar como fuente del flujo.

84

Page 21: Notas Maq3new

Capítulo 6

Transformaciones de devanados trifásicos 6.1.- Introducción

Los devanados trifásicos rotatorios o estacionarios pueden ser representados en su equivalente a los ejes d y q de la maquina primitiva. Para realizar esta transformación se debe de cumplir la condición de que la Fmm en abc debe de ser idéntica al equivalente transformado para cualquier t. Se asume que solo se utiliza la fundamental de la Fmm de las fases. Resolviendo para Fa, Fb y Fc a lo largo de los ejes d y q se tienen los valores de Fd y Fq cuya combinación describe en forma idéntica la Fmm resultante de un devanado trifásico. La transformación de devanados trifásicos difiere, dependiendo de si están estacionarios o en movimiento, en el primer caso los ángulos son invariantes y en el otro, dependiendo del tiempo. El método adoptado para formar ambas transformaciones entre abc y αβγ donde la separación de fases entre los ejes αβγ y abc se mantiene constante independientemente de la rotación del devanado. Con devanados trifásicos estacionarios los ejes αβγ y dq0 coinciden pero con rotación una segunda transformación es requerida entre las fases rotatorias αβγ y las fases estacionarias dq0. Así como se obtienen estas transformaciones para las Fmm’s deben de ser obtenidas también para los demás parámetros como son: V, i, L, λ, etc. 6.2 Transformación de devanados entre abc y αβγ La transformación abc- αβγ, consiste en transformar los tres ejes de abc desplazados 120 grados eléctricos a los tres ejes αβγ, con la diferencia de que ahora estos tres ejes son ortogonales lo cual implica que para sistemas balanceados en realidad se transformaría a dos ejes que siguen girando. su transformación es como sigue, figura 6.1

85

Page 22: Notas Maq3new

Figura 6.1 Transformación de abc- αβγ Definiendo

[ ] [ ] [ ]1

11 1 1 0122 2

2 3 3 2 1 303 2 2 3 2 2 2

1 1 1 1 3 12 2 2 2 2 2

tB B B−

⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= − ⇒ = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

La transformación de todas las variables se indica a continuación:

[ ][ ]

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

32 abc

abc

abc

abc

tabc

tabc

F B

i B i

B

V B V

L B L

F

B

Z B Z B

αβγ

αβγ

αβγ

αβγ

αβγ

αβγ

λ λ

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

23

tabc

tabc

tabc

tabc

tabc

tabc

F B F

i B i

B

V B V

L B L B

Z B Z B

αβγ

αβγ

αβγ

αβγ

αβγ

αβγ

λ λ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

86

Page 23: Notas Maq3new

6.3 Transformación de devanados entre abc y dq0 A diferencia de la transformación anterior ésta es estática en dos ejes, es decir sus inductancias se mantienen constantes, se elimina la dependencia con el tiempo. La transformación es como sigue: Definiendo,

[ ]( ) (( ) (

))

[ ] [ ]1

cos cos 120 cos 1202 sin sin 120 sin 1203

1 1 12 2 2

r r r

r r r

t

C

C C

θ θ θ

θ θ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟= − − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

o o

o o

[ ][ ]

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

0

0

0

0

0

0

32dq abc

dq abc

dq abc

dq abc

tdq abc

tdq abc

F C F

i C i

C

V C V

L C L C

Z C Z C

λ λ

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

0

0

0

0

0

0

23

tabc dq

tabc dq

tabc dq

tabc dq

tabc dq

tabc dq

F C F

i C i

C

V C V

L C L C

Z C Z C

λ λ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

6.4 Máquina Síncrona La máquina síncrona que vamos a estudiar es la indicada en la siguiente figura 6.2 y está compuesta por un estator de polos salientes con un devanado de campo F y dos devanados de amortiguamiento s y t, colocados sobre el eje d y q respectivamente. Un devanado trifásico distribuido en el rotor.

87

Page 24: Notas Maq3new

Figura 6.2 Máquina síncrona básica

Las inductancias de la maquina son:

• Propias

1 2

1 2

1 2

2

2( 120 )

2( 120 )

aa l r

bb l r

cc l r

L L L L Cos

L L L L Cos

L L L L Cos

θ

θ

θ

= + +

= + + −

= + + +

o

o

Mutuas

12

12

12

2( 60 )2

2( 60 )2

22

ab ba r

dc ca r

bc cb r

LL L L Cos

LL L L Cos

LL L L Cos

θ

θ

θ

= = − + −

= = − + +

= = − +

o

o

• Estator–Rotor

88

Page 25: Notas Maq3new

( 120

( 120 )

af fa rf r

bf fb rf r

cf fc rf r

L L M Cos

L L M Cos

L L M Cos

θ

θ

θ

= =

= = −

= = +

o

o

)

)

( 120 )

( 120 )

as sa rs r

bs sb rs r

cs sc rs r

L L M Cos

L L M Cos

L L M Cos

θ

θ

θ

= =

= = −

= = +

o

o

( 120 )

( 120

at ta rt r

bt tb rt r

ct tc rt r

L L M Cos

L L M Cos

L L M Cos

θ

θ

θ

= =

= = −

= = +

o

o

La matriz de enlaces de flujo es:

00

0 0

a aaa ab ac af as at

b bba bb bc bf bs bt

c cca aa cc cf cs ct

f ffa fb fc ff fs

sa sb sc sf sss s

ta tb tc ttt t

iL L L L L LiL L L L L LiL L L L L LiL L L L L

L L L L L iL L L L i

λλλλ

λλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ]t

w xabc abcabcfst

fst x z fst

L L i

L L i

λλ

λ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎦

Eliminando y reduciendo;

89

Page 26: Notas Maq3new

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]0 0dq dqt tw x

x zfst fst

L LC C

L L

λ λ

λ λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]

0 0t

dq dqw xt

fst fstx z

iC L C C L

iC L L

λ

λ

⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎦

Expandiendo las submatrices;

[ ][ ][ ]

( )

( )

1 1 2

1 1 2

3 0 02

30 02

0 0

tw

l

L L L

C L C L L L

L

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ][ ]

3 3 02 2

30 02

0 0 0

rf rs

x rt

M M

C L M

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Se define;

90

Page 27: Notas Maq3new

( )1 132d 2L L L L= + +

Inductancia síncrona del eje directo:

Inductancia síncrona del eje de cuadratura: ( )1 132qL L L L= + + 2

Definiendo los coeficientes de inductancias mutuas;

323232

df fd rf

ds sd rs

dt td rt

M M M

M M M

M M M

= =

= =

= =

Entonces la matriz de inductancias después de la transformación y con las consideraciones indicadas nos queda:

0

0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 00 0 0

0 0 0 0

d df ds

q q

ldq fst

df f fs

ds fs s

qt t

L M ML M

LM L MM M L

t

M L

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

y la maquina primitiva es:

91

Page 28: Notas Maq3new

Figura 6.3 Máquina primitiva equivalente a la máquina síncrona

Las matrices [R] y [L] son directas para formar la ecuación de voltajes y de par, lo importante es obtener la matriz [G]. Aplicando las reglas para obtener [G] a partir de la máquina primitiva tenemos:

0

0 0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

dq dt

qd qf qs

dq fst

G GG G G

G

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

92

Page 29: Notas Maq3new

2

2

2

2

2

dq qq q

dt qt qt

dq dd d

dq df df

dq ds ds

G M Sen L

G M Sen M

G M Sen L

G M Sen M

G M Sen M

π

π

π

π

π

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Entonces la ecuación de voltajes es:

00

00

d

q

dq fstf

s

t

VVV

VV

VV

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥=⎣ ⎦

( )( )

( )( )

( )( )

0

0

0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 00 0 0 0

d r q df ds r qt d

r d q r df r ds qt q

l

fdf f f fs

sds fs s s

tqt t t

R L p L M p M p M iL R L p M M M p i

iR L piM p R L p M piM p M p R L piM p R L p

ω ω

ω ω ω

+ − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦+⎢ ⎥⎣ ⎦

Expandiendo:

93

Page 30: Notas Maq3new

( ) ( )( ) (( )

( )( )( )

0 0 0

0

0

d d d d df f ds s r q q qt

q q q q qt t r d d df f ds s

l

f f f f f df f fs s

s s s s ds d fs f

t t t t qt q

V Ri p L i M i M i L i M i

V Ri p L i M i L i M i M i

V Ri p L i

V R i p L i M i M i

R i p L i M i M i

R i p L i M i

ω

ω

= + + + − +

= + + + + +

= +

= + + +

= + + +

= + +

)t

s

Tomando en cuenta que los enlaces de flujo son:

0 0

d d d df f ds

q q q qt t

l

f f f df f fs s

s s s ds d fs f

t t t qt q

L i M i M i

L i M i

L iL i M i M i

L i M i M i

L i M i

λ

λ

λλ

λ

λ

= + +

= +

== + +

= + +

= +

Por lo tanto podemos reducir a:

0 0 0

d d d r

q q q r

f f f f

s s s s

t t t t

V Ri p

V Ri p

V Ri pV R i p

V R i pV R i p

q

d

λ ω λ

λ ω λ

λλ

λλ

= + −

= + +

= += +

= += +

El circuito equivalente para la red primitiva es:

94

Page 31: Notas Maq3new

Figura 6.4 Red primitiva equivalente para la máquina síncrona Y finalmente la ecuación del par es:

0( . . )*e dT pares de polos i q fst⎡ ⎤= ⎣ ⎦

0

0 0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

dq q

qd df ds

e

t

f

s

t

iL MiL M Mi

Ti

ii

⎡ ⎤− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Expandiendo;

95

Page 32: Notas Maq3new

{( ) }e d q d q df q f ds q s qtT pp L L i i M i i M i i M i i= − + + − d t

i

Componentes del par;

• Par Cilíndrico

( )cilíndrico df q fT pp M i=• Par de Saliencia

( )saliencia d q d qT pp L L= − i i

i i

di

• Par de Amortiguamiento

( )amortiguamiento ds q s qt d tT pp M i i M= − Indicando el par en función de los enlaces de flujo;

( ),( )

d qe d q qf T pp i

λ λλ λ⇒ = −

7.5.- Máquina de inducción Como se puede deducir el desarrollo de la máquina de inducción en forma primitiva es muy similar al de la síncrona, incluso consiste en eliminar únicamente el devanado de campo. Esto se deja como ejercicio para el estudiante 7.6.- Simulaciones Para este capítulo se les da a los estudiantes una pequeña introducción al simulink de matlab para realizar las simulaciones de las máquinas. 7.7.- Reporte En este capítulo se recopila lo realizado por los estudiantes en los dos capítulos precedentes.

96

Page 33: Notas Maq3new

Bibliografía Máquinas Eléctricas 5ª edición Fitzgerald, Kinsley y Umans Mc. Graw-Hill Introduction to generalized electrical machine theory O’kelly and Simmons Mc. Graw-Hill Máquinas Eléctricas Rafael Sanjurjo Navarro Mc. Graw-Hill Máquinas Eléctricas y Electromecánicas S. A. Nasar, L. E. Unnerwehr Mc. Graw-Hill Máquinas Eléctricas y Electromecánicas S. A. Nasar Mc. Graw-Hill Introducción a Máquinas Eléctricas y Transformadores George Mc-Pherson Limusa Máquinas Eléctricas Stephen J. Chapman Mc. Graw-Hill Máquinas Electromagnéticas y Electromecánicas Leander W. Matsch R.S.I.S.A