notas de teoría de la medida
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Notas de teoria de la medida
Jesús Armando Baldenebro ObesoUniversidad Autónoma de Querétaro.
Agosto 2006
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Índice general
1. Espacios medibles y sigma-álgebras 51.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Sigma-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Funciones de valor complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Funciones entre espacios medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Medidas 152.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Construcción de la medida de Lebesgue en RN 213.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Resultados adicionales sobre la medida de Lebesgue (opcional). . . . . . . . . 323.4. Invariancia euclidiana (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Integrales 394.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Integrales de funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Integrales de funciones medibles no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. El teorema de convergencia dominada y sus aplicaciones 495.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3. Aplicaciones del Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue . . . . . . 535.4. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5. La función de Cantor (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6. La función modi�cada de Cantor (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.7. Integral de Riemann. Comparación con la integral de Lebesgue . . . . . . . . 60
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6. Los espacios de Lebesgue Lp 656.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2. Espacios normados. El espacios L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3. Los espacios Lp; 1 � p < +1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.4. El espacio L1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7. Diferentes tipos de convergencia 737.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2. Convergencia en Lp: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.3. Convergencia en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.4. Convergencia casi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.5. Teorema de Lusin (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8. Teorema de Radon-Nikodym 878.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.2. Teorema de descomposición de Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.3. Medidas absolutamente continuas. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . 908.4. Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9. Generación de medidas. El teorema de extensión de Caratheódory 999.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.2. Álgebras y medidas en álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.3. Extensión de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.4. Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.5. Funcionales lineales en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.6. Compleción de medidas (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.Medidas producto 11510.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.2. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.3. Teorema de Tonelli y Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
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Capítulo 1
Espacios medibles y sigma-álgebras
1.1. Introducción
En este capítulo exploraremos algunas cuestiones preliminares sobre espacios medibles.La idea es establecer una generalización del concepto de longitud, área y volumen, a espaciosmás generales. En realidad, no son necesarias todas las propiedades de RN para establecerdichas cuestiones, y esto hace que el concepto sea aplicable en una multitud de situaciones.De aquí en adelante, X representa un conjunto �jo no vacío.
1.2. Sigma-álgebras
De�nición 1 SeaA una familia de subconjuntos deX: Decimos queA es una sigma-álgebra(�-álgebra) en X sii) X y ? están en Aii) Si A 2 A; entonces Ac = X�A 2 A:
iii) Si A1; A2; A3; ::: es una sucesión de conjuntos en A; entonces1[n=1
An 2 A:
Como A� B = A \ Bc; y1\n=1
An =
1[n=1
Acn
!c; se sigue que A� B 2 A; y
1\n=1
An 2 A;
siempre que A;B 2 A; y An 2 A; para todo n 2 N:
Ejemplo 1. Sea X un conjunto no vacío, y sea A = fX; ;g : Es fácil ver que A es unasigma-álgebra en X:Ejemplo 2. Sea X un conjunto no vacío, y sea A = P (X) el conjunto potencia de X;
es decir, la familia de subconjuntos de X: Se puede ver que A es una sigma-algebra.En cierto sentido estos dos ejemplos son las sigma-álgebras triviales.
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Ejemplo 3. Sea X un conjunto no-numerable, y sea A la familia de subconjuntos deX con la siguiente propiedad: A 2 A si, y sólo si, A o Ac es contable1. Entonces A es unasigma-álgebra en X:Ejemplo 4. Sean A1 y A2 sigma-álgebras en X: Entonces A = A1 \ A2 es una sigma-
álgebra en X: En general, si fA�g�2I es una familia arbitraria de sigma-álgebras en X;
entonces A =\�2I
A� es una sigma-álgebra en X:
Ejemplo 5. Sea C una familia no vacía de suconjuntos de X: Entonces existe una sigma-álgebra más pequeña que contiene a C. Esta sigma-álgebra se denota por � (C) : El hecho deque sea la sigma-álgebra mas pequeña que contiene a C signi�ca que si F es una sigma-álgebraque contiene a C, entonces � (C) � F : En efecto, de�nimos
� (C) :=\C�F
F sigma-álgebra
F
Es fácil ver que � (C) ; de�nida así, cumple las propiedades mencionadas. A � (C) se le llamala sigma-álgebra generada por C:Ejemplo 6. Un caso particular del ejemplo anterior es cuando X = RN ; C = la familia
de conjuntos abiertos en RN : En este caso a la sigma-álgebra generada por los conjuntosabiertos de RN se le llama la sigma-álgebra de Borel en RN ; y se denota por B
�RN�o BRN :
No debemos imaginar los elementos de la sigma-álgebra generada por la clase F de con-juntos abiertos en RN en una forma constructiva, por medio de uniones numerables, intersec-ciones o complementos de los elementos de F : El punto es que las operaciones mencionadasantes pueden repetirse una cantidad in�nita de veces, en culquier orden. Por ejemplo, unopuede formar la clase F� de uniones numerables de conjuntos cerrados en un intervalo, luegola clase F�� de intersecciones numerables de elementos de F�; etc., y continuar este procesoinductivamente. Se irán obteniendo nuevas clases de conjuntos en cada paso, pero ni siquierala union de todos ellos agota la coleccion � (F) ; aunque la prueba de este hecho no es trivial(ver Vestrup, Eric, The theory of measure and integration. pp. 23-27) Vamos a dar un ejem-plo donde se puede dar la descripción explícita de la sigma-álgebra generada por una clasede conjuntos.Ejemplo 7. Sea A0 una sigma-álgebra de subconjuntos en un espacio X: Supóngase que
un conjunto S � X no pertenece a A0: Entonces la sigma-álgebra � (A0 [ fSg) generadapor A0 y S es la colección de todos los conjuntos de la forma
E = (A \ S) [ (B \ (X�S)) ; donde A;B 2 A0: (1.1)
1Decimos que un conjunto en contable si es �nito o numerable (en particular el conjunto vacío es �nito).Aqui entenderemos por numerable el hecho de que puede ponerse en correspondencia uno uno y sobre conel conjunto N.
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En efecto, todos los conjuntos de la forma (1.1) estan en � (A0 [ fSg) : Por otro lado, losconjuntos del tipo indicado forman una sigma-álgebra. En efecto,
X�E = ((X�A) \ S) [ ((X�B) \ (X�S))
ya que x no pertenece a E precisamente cuando x pertenece a S pero no a A; o x nopertenece ni a S ni a B: Además, si los conjuntos En se representan en la forma (1.1), conalgún A0; B0 2 A0; entonces \1n=1En y [1n=1En también tienen la forma (1.1). Por ejemplo,\1n=1En tiene la forma (1.1) con A = \1n=1An y B = \1n=1Bn: Finalmente, todos los conjuntosen A0 se obtienen en la forma (1.1) tomando A = B; y para obtener S se toma A = X yB = ;:�
De�nición 2 Una colección F de subconjuntos de X es una álgebra en X si i) X; ; 2 F ;ii) si E 2 F ; entonces Ec 2 F ; iii) Si A;B 2 F ; entonces A [B 2 F :
De la de�nición es fácil ver que si A;B 2 F ; entonces A \ B = (Ac [Bc)c 2 F y que Fes cerrado bajo uniones �nitas e intersecciones �nitas. También, toda sigma-álgebra es unaálgebra, pero el recíproco es falso.De modo análogo a las sigma-álgebras, la intersección arbitraria de álgebras de X es
una álgebra en X; y por lo tanto, si C es una colección de subconjuntos de X; existe unaálgebra mínima, que denotaremos por � (C) ; que contiene a C, que es la intersección de todaslas álgebras que contienen a C: Hemos mencionado antes que la construcción de la sigma-álgebra de Borel de R (generada por los conjuntos abiertos de R) no tiene una construcciónsencilla. En cambio, la álgebra generada por una colección F de subconjuntos de X tieneuna descripción explícita fácil. Sea F0 = F[f;g ; y sea F1 = F0 [ fA : Ac 2 F0g : SeaF2 la colección de subconjuntos de X que son intersección �nita de elementos de F1; yF3 la colección de subconjuntos de X que son unión �nita de elementos de F2: Entonces� (F) = F3: En efecto, obsérvese que
F � F0 � F1 � F2 � F3 � � (F) :
Probaremos que F3 es cerrada bajo intersecciones y uniones �nitas, y bajo complementos,es decir, F3 es una álgebra que contiene a F ; y por lo tanto � (F) � F3; y esto implica F3 =� (F) : Obsérvese que F3 admite intersecciones �nitas, porque si A = [ni=1Ai, B = [kj=1Bj;con Ai; Bj 2 F ; entonces
A \B =[
1�i�n;1�j�k
(Ai \Bj) ; con Ai \Bj 2 F2:
También, F3 es cerrado al tomar complementos, porque si E = [ni=1Ei; con Ei 2 F2; entonces
X�E = \ni=1 (X�Ei) :
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Como Ei = Ei;1 [ � � � [ Ei;ki ; con Ei;j 2 F1; entonces
X�Ei =ki\j=1
(X�Ei;j) ;
donde Di;j := X�Ei;j 2 F1: Por lo tanto,
X�E =n\i=1
ki[j=1
Di;j 2 F3;
porque F3 es cerrado bajo intersecciones �nitas. Esto demuestra el teorema.�
1.3. Funciones medibles
En lo que sigue, consideraremos un espacio medible (X;A) :
De�nición 3 Decimos que una función f de X a R es A-medible (o simplemente medible)si para todo número real � el conjunto
fx 2 X : f(x) > �g
pertenece a A:
El lema siguiente muestra que podíamos haber modi�cado la forma de los conjuntos enla de�nición de medibilidad.
Lema 4 Las siguientes a�rmaciones son equivalentes para una funcion f : X ! R:(a) Para cada � 2 R; el conjunto A� = fx 2 X : f(x) > �g pertenece a A:(b) Para cada � 2 R; el conjunto B� = fx 2 X : f(x) � �g pertenece a A:(c) Para cada � 2 R; el conjunto C� = fx 2 X : f(x) � �g pertenece a A(d) Para cada � 2 R; el conjunto D� = fx 2 X : f(x) < �g pertenece a A.
Demostración. Como B� y A� son complementarios, la a�rmación (a) es equivalente ala a�rmación (b). Similarmente, las a�rmaciones (c) y (d) son equivalentes. Si (a) es válida,entonces A��1=n está en A; para todo n 2 N; y como
C� =
1\n=1
A��1=n;
se sigue que C� 2 A: Así, (a) implica (c). Como
A� =1[n=1
C�+1=n;
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se sigue que (c) implica (a). �
Ejemplo. Cualquier función constante es medible. Porque si f(x) = c para toda x 2 Xy si � � c; entonces
fx 2 X : f(x) > �g = ;;
mientras que si � < c; entonces
fx 2 X : f(x) > �g = X:
Ejemplo. Si E 2 A; entonces la función característica �E, de�nida como
�E(x) =
�1; x 2 E;0; x =2 E:
es medible. De hecho, fx 2 X : �E(x) > �g es X; E o ;:
Ejemplo. SiX = R; yA es la sigma-álgebra de los conjuntos de Borel, entonces cualquierfunción continua f de R en R es Borel medible. De hecho, si f es continua, el conjuntofx 2 X : f(x) > �g es un conjunto abierto en R; y por lo tanto, es la union numerable deintervalos abiertos, y por lo tanto, pertenece a A:
Ejemplo. Si X = R y A = B(R); entonces cualquier función monótona es medible.Porque, si f es creciente, en el sentido de que x � x0 implica que f(x) � f(x0); entonces elconjunto fx 2 R : f(x) > �g consiste en una semirrecta que es de la forma fx 2 R : x � ago fx 2 R : x > ag :
Ciertas combinaciones sencillas de funciones medibles son medibles.
Lema 5 Sean f y g funciones medibles de valor real, y sea c un número real. Entonces lasfunciones
cf; f 2; f + g; fg; jf j
son medibles.
Demostración. (a) Si c = 0; la a�rmacion es trivial. Si c > 0; entonces
fx 2 X : cf(x) > �g = fx 2 X : f(x) > �=cg 2 A:
El caso c < 0 se prueba de manera similar.(b) Si � < 0; entonces fx 2 X : f(x)2 > �g = X; si � � 0; entonces�
x 2 X : f(x)2 > �=�x 2 X : f(x) >
p�[�x 2 X : f(x) < �
p�2 A:
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(c) Si r es un número racional, entonces
Sr = fx 2 X : f(x) > rg \ fx 2 X : g(x) > �� rg
están en A: Se puede ver fácilmente que
E� := fx 2 X : f(x) + g(x) > �g =[
r racional
Sr:
En efecto, si x 2 [r2QSr; entonces x 2 Sr0 ; para algún r0 2 Q: Entonces
f (x) > � y g (x) > r0 � �:
Sumando las desigualdades, se tiene f(x) + g(x) > � + (r0 � �) = �; y así, x 2 E�: Recíp-rocamente, si x 2 E�; entonces f (x) + g (x) > �; y así, f(x) > g(x)� �: Sea r0 2 Q tal quef(x) > r0 > g (x)� �: Entonces
f (x) > r0; y g (x) > r0 � �:
Esto implica que x 2 Sr0 � [r2QSr: Se sigue que f + g es medible.(d) Como fg = 1
4(f + g)2 � 1
4(f � g)2 ; se sigue que fg es medible.
(e) Si � < 0; entonces fx 2 X : jf(x)j > �g = X; y si � � 0; entonces
fx 2 X : jf(x)j > �g = fx 2 X : f(x) > �g [ fx 2 X : f(x) < ��g :
Entonces jf j es medible.
Si f es una función de X a R; de�nimos la parte positiva y la parte negativa de f ,denotadas por f+ y f�; como
f+(x) = sup(f(x); 0); f�(x) = sup(�f(x); 0):
Obsérvese que f+(x) � 0; f�(x) � 0; para toda x 2 X: Claramente
f = f+ � f�; jf j = f+ + f�;
y de aquí,
f+ =1
2(jf j+ f) ; f� =
1
2(jf j � f) :
Así, de lo anterior, f es medible si, y sólo si, f+ y f� son ambas medibles.La discusión precedente tiene que ver con funciones de valor real de�nidas en un espacio
medible. Sin embargo, al tratar con sucesiones de funciones medibles, con frecuencia sedesea tomar límites, supremos, etc., y es técnicamente conveniente permitir los númerosreales extendidos +1 y �1: Así, de�niremos medibilidad de la misma manera que como lohicimos para funciones de valor real.
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De�nición 6 Una función real extendida f de X a R es medible si para todo real �; elconjunto fx 2 X : f(x) > �g pertenece a A: El conjunto de todas las funciones de valor realextendido A-medibles se denota por M(X;A):
Obsérvese que si f 2M(X;A); entonces
fx 2 X : f(x) = +1g =1\n=1
fx 2 X : f(x) > ng
fx 2 X : f(x) = �1g =
1[n=1
fx 2 X : f(x) > �ng!c
;
y así, ambos conjuntos están en A:El siguiente lema es útil al tratar con funciones mediles de valor extendido.
Lema 7 Una función f de valor extendido es medible si, y sólo si, los conjuntos
A = fx 2 X : f(x) = +1g ; B = fx 2 X : f(x) = �1g
pertenecen a A, y la función f1; de�nidas como
f1(x) =
�f(x); x =2 A [B;0; x 2 A [B;
es medible.
Demostración. Si f está en M(X;A); ya demostramos que A y B pertenecen a A: Sea� 2 R; y � � 0; entonces
fx 2 X : f1(x) > �g = fx 2 X : f(x) > �g � A:
Si � < 0; entonces
fx 2 X : f1(x) > �g = fx 2 X : f(x) > �g [B;
y así, f1 es medible.Recíprocamente, si A;B; f1 son medibles, entonces
fx 2 X : f(x) > �g = fx 2 X : f1(x) > �g [ A;
si � � 0; yfx 2 X : f(x) > �g = fx 2 X : f1(x) > �g �B;
cuando � < 0: Por lo tanto f es medible.�
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Como consecuencia de los lemas anteriores, se sigue que si f 2 M(X:A); entonces lasfunciones
cf; f2; jf j ; f+; f�
también pertenecen a M(X;A):Adoptaremos la convención de que 0(�1) = 0; de manera que cf se anula idénticamente
cuando c = 0: Si f; g 2 M(X;A); entonces la suma no está bien de�nida por la fórmula(f + g)(x) = f(x) + g(x) en los conjuntos
E1 = fx 2 X : f(x) = +1; g(x) = �1g ;E2 = fx 2 X : f(x) = �1; g(x) = +1g ;
los cuales pertenecen a A: Sin embargo, si de�nimos f + g como cero en E1 [ E2; la fun-ción resultante es medible. Regresaremos a la cuestión de la medibilidad de fg después delsiguiente lema.
Lemma 1 Sean (fn) una sucesión de funciones en M(X;A); y de�nimos las funciones
f(x) = ��nf fn(x); F (x) = sup fn(x)
f �(x) = l��m��nf fn(x); F �(x) = l��m sup fn(x):
Entonces f; F; f �; F � pertenecen a M(X;A):
Demostración. Obsérvese que
fx 2 X : f(x) � �g =1\n=1
fx 2 X : fn(x) � �g ;
fx 2 X : F (x) > �g =1[n=1
fx 2 X : fn(x) > �g :
Así, f; F son medibles, cuando todas las fn lo son. Como
f �(x) = supn�1
���nfm�n
fm(x)
�;
F �(x) = ��nfn�1
�supm�n
fm(x)
�;
se sigue que f �; F � son medibles.�
Corolario 8 Si (fn) es una sucesión en M(X;A) que converge a f; entonces f está enM(X;A):
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Demostración. En este caso f(x) = l��m��nf fn(x) = l��m sup fn(x):�Regresamos a la medibilidad de fg; cuando f; g 2 M(X;A): Si n 2 N; sea fn la "trun-
cación de f"de�nida por
fn(x) =
8<:f(x); jf(x)j � nn; f(x) > n;�n; f(x) < �n:
Sea gn de�nida similarmente. Se puede ver fácilmente que fn y gn son medibles. Se sigue queel producto fngn es medible. Como
f(x)gm(x) = l��mn!1
fn(x)gm(x); x 2 X;
se sigue que fgm está en M(X;A): Como
f(x)g(x) = l��mm!1
f(x)gm(x); x 2 X;
se sigue que fg esta en M(X;A):Hemos demostrado que el límite de una sucesión de funciones en M(X;A) está en
M(X;A): probaremos que una función no-negativa en M(X;A) es el límite de una sucesiónde funciones monótonas crecientes f'ng en M(X;A): Más aún, cada 'n se puede escogerno-negativa, y que tomo sólo un número �nito de valores.
Teorema 9 Si f es una función no-negativa enM(X; A); entonces existe una sucesión f'ngen M(X;A) tal que(a) 0 � 'n(x) � 'n+1(x) para toda x 2 X:(b) f(x) = l��m'n(x) para toda x 2 X:(c) Cada 'n tiene un número �nito de valores reales.
Demostración. Sea n 2 N �jo. Si k = 0; 1; :::; n2n � 1; sea Ek;n el conjunto
Ek;n =�x 2 X : k2�n � f(x) < (k + 1)2�n
;
y si k = n2n; sea En2n;n = fx 2 X : f(x) � ng : Obsérvese que los Ek;n; k = 0; 1; :::; n2n; sonajenos dos a dos, están en A y su unión es X: Sea
'n =n2n�1Xk=0
k2�n�Ek;n + n�En2n;n ;
es decir, 'n vale k2�n en el conjunto Ek;n; entonces cada 'n está en M(X;A): Probaremos
que 'n(x) � 'n+1(x); para toda x 2 X:Primero, obsérvese que 'n(x) � f(x) para toda x 2 X: Supóngase que x 2 En2n;n: Si
f(x) � n + 1; entonces 'n+1(x) = n + 1 > n = 'n(x): Si n � f(x) < n + 1; entonces existeun k 2 [n2n; (n+ 1)2n] tal que k2�(n+1) � f(x) < (k + 1)2�(n+1): Entonces x 2 Ek;n+1; y
'n+1(x) =k
2n+1� n2n+1
2n+1= n = 'n(x):
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Supòngamos que x 2 Ek;n; k = 0; 1; :::; n2n � 1: Obsérvese quek
2n=
2k
2n+1;
yk + 1
2n=(2k + 1) + 1
2n+1
Entonces, para k0 = 2k; o k0 = 2k + 1; se tiene
k0
2n+1� f(x) <
k0 + 1
2n+1:
Entonces
'n+1(x) =k0
2n+1� 2k
2n+1=
k
2n= 'n(x):
Esto prueba que 'n(x) � 'n+1(x); para toda x 2 X: Falta probar que limn!1'n(x) = f(x);para toda x 2 X: Supóngase que f(x) = +1: Entonces x 2 En2n;n para toda n 2 N: Así,'n(x) = n ! +1; cuando n ! +1: Supongamos ahora que f(x) < +1: Entonces lasucesión numérica f'n(x)g
1n=1 es creciente y acotada, y por lo tanto converge. Sea " > 0
dado. Escogemos N tan grande tal que 2�N < ": Sea n � N: Sea k un natural tal quex 2 Ek;n: Entonces
0 � f(x)� 'n(x) � (k + 1)2�n � k2�n = 2�n � 2�N < ":
Esto termina la demostración.�
1.4. Funciones de valor complejo
Frecuentemente es deseable tratar con funciones complejas, y desarrollar una noción demedibilidad para este tipo de funciones. Si f : X ! C es una función compleja de�nidaen X; entonces existen funciones únicas f1; f2 : X ! R tales que f = f1 + if2: De hecho,f1(x) = Re f(x); y f2(x) = Im f(x):Decimos que f es medible si, y sólo si,f1 y f2 son medibles en el sentido usual. Es fácil
ver que la suma, productos y límites de funciones medebles es medible.
1.5. Funciones entre espacios medibles
Sea f de�nida de un espacio medible (X;A) en un espacio medible (Y;B) : Decimos que fes medible si f�1 (B) está en A para todo B 2 B: Aunque esta de�nición parece ser diferentea la que hemos manejado antes, es fácil ver que esta de�nición es equivalente a la anterior,cuando Y = R; y B = B (R) :Se puede ver que hay una semejanza entre la de�nición de función medible, y la de�nción
de función continua entre espacios topológicos.
14
Capítulo 2
Medidas
2.1. Introducción
Queremos extender la noción de longitud, área y volumen a espacios mas generales. A estalongitud generalizada se le llama "medida". Es razonable pedir que la longitud del conjuntovacío es cero, y que sea aditiva sobre conjuntos ajenos. Además es bueno permitir que lasmedidas tomen el valor 1:
2.2. Medidas
De�nición 10 Sea (X;A) un espacio de medida. Una medida en (X;A) (o simplemente enX) es una función � : A ! [0;1] tal que(a) � (;) = 0:(b) � (E) � 0; para toda A 2 A:(c) Si fEng es una sucesión de conjuntos en A ajenos dos a dos, entonces
�
1[n=1
En
!=
1Xn=1
� (En) :
A la propiedad (c) se le dice que � es contablemente aditiva. Como el lado izquierdo de c)no depende del orden de los conjuntos, la serie de la derecha en c) converge absolutamente.Como se permite el valor 1 en la de�nición de medida, el hecho de que aparezca 1 en ellado derecho implica que, o � (En) =1; para algún n 2 N; o que la serie diverge.Obsérvese que si E1; E2; :::; Em 2 A; y son ajenos dos a dos, entonces
�
m[n=1
En
!=
mXn=1
� (En) ;
ya que podemos poner Em+1 = Em+2 = � � � = ;; en la propiedad de aditividad numerable.
15
Decimos que una medida es �nita si � (X) < 1; y decimos que � es una medida deprobabilidad si � (X) = 1: Mas generalmente, decimos que � es una medida �-�nita si existe
una sucesión de conjuntos fEng � A tal que � (En) <1; y X =1[n=1
En:
Ejemplo. Sea X un conjunto no vacío, y A = P (X) : De�nimos la medida �1 sobreP (X) como
�1 (E) = 0; para todo E 2 A;
y la medida �2 como
�2 (E) = 0; si E = ;; y �2 (E) =1; si E 6= ;:
Es fácil ver que �1 y �2 son medidas en A: Ninguna de estas medidas son interesantes, yobsérvese que �2 no es ni �nita, ni �-�nita.
Ejemplo. Sea (X;A) como antes, y sea p un punto �jo de X: De�nimos �p : A ! Rcomo
�p (E) =
�1; p 2 E;0; p =2 E:
�Se ve fácilmente que �p es una medida en A: Se llama la medida unidad concentrada en p:
Ejemplo. Sea X = N; A = P (X) : Si E 2 A; de�nimos � (E) como el número deelementos del conjunto si E es �nito, y � (E) = 1; si E es in�nito. Entonces � es unamedida, llamada la medida contadora en N (�counting measure�en inglés). Nótese que � noes una medida �nita, pero es �-�nita.
Ejemplo. Sea X = R; A = B (R) : Se demostrará en el proximo capítulo que existeuna medida � en una sigma-algebra que contiene a B (R) tal que si E = (a; b) ; entonces� (E) = b � a: Esta única medida � se le llama la medida de Lebesgue en R: De hecho,se construirá una medida � en una sigma-álgebra que contiene B
�RN�tal que, si I =
[a1; b1]� [a2; b2]� � � � � [aN ; bN ] ; entonces
� (I) = vol (I) = (b1 � a1) (b2 � a2) � � � (bN � aN)
Ejemplo. Si X = R; A = B (R) ; y f es una función monótona creciente, se puededemostrar que existe una medida �f de�nida en A tal que si E = (a; b) ; entonces �f (E) =f(b)� f(a): A esta medida se le llama la medida de Borel-Stieltjes generado por f:
Lema 11 Sea � una medida de�nida en una sigma-álgebra A de X: Si E;F 2 A; y E � F;entonces �(E) � �(F ): Si además, � (E) <1; entonces � (F � E) = � (F )� � (E) :
16
Demostración. Como F = E [ (F � E); y E \ (F � E) = ;; entonces
�(F ) = �(E) + �(F � E) � �(E);
ya que �(F � E) � 0: Si además, si �(E) < 1; se puede restar de ambos miembros, y seobtiene el resultado.�
Lema 12 Sea � una medida de�nida sobre una sigma-algebra A en X:(a) Si (En) es una sucesión creciente de conjuntos en A; entonces
�
1[n=1
En
!= l��m
n!1� (En) (2.1)
(b) Si (Fn) es una sucesión decreciente de conjuntos en A, y � (F1) <1; entonces
�
1\n=1
Fn
!= l��m
n!1� (Fn) : (2.2)
Demostración. (a) Si �(En) =1 para algún n 2 N, entonces la ecuación (2.1) es trivial-mente cierta. Supongamos entonces que � (En) <1; para todo n 2 N: Sea
A1 = E1; An = En � En�1; n > 1:
Entonces fAng es una sucesión de conjuntos ajenos dos a dos en A tales que
En =n[k=1
Ak;n[n=1
An =1[n=1
En:
Como � es contablemente aditiva,
�
1[n=1
An
!=
1Xn=1
� (An) = l��mn!1
nXk=1
� (Ak) : (2.3)
Como � (An) = � (En � En�1) = � (En)� � (En�1) ; si n > 1; la serie anterior es una serietelescópica, y
nXk=1
� (An) = � (E1) +
nXk=2
(� (En)� � (En�1))
= � (En) ;
Sustituyendo arriba en (2.3) se tiene
�
1[n=1
An
!= l��m
n!1� (An) :
17
Esto prueba (a).(b) Sea En = F1 � Fn: Entonces fEng es una sucesión creciente de conjuntos, y por el
inciso (a),
�
1[n=1
En
!= l��m
n!1� (En) = l��m
n!1(� (F1)� � (Fn))
= � (F1)� l��mn!1
� (Fn) :
Pero1[n=1
En = F1 �1\n=1
Fn;
de modo que
�
1[n=1
En
!= � (F1)� �
1\n=1
Fn
!:
Combinando las dos ecuaciones anteriores, el teorema queda demostrado.�De hecho es válido una a�rmación mas fuerte.
Proposition 2 Sea � una función real aditiva en una álgebra de conjuntos A: Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes.i) La función � es contablemente aditiva.ii) La función � es continua en el vacío, es decir, si An 2 A y An � An+1 para toda n 2 N,con � (A1) < +1; y \1n=1An = ;; entonces
l��mn!1
� (An) = 0:
iii) La función � es continua por abajo, esto es, si An � An+1; para todo n 2 N, y A =[1n=1An 2 A, entonces
� (A) = l��mn!1
� (An) :
Demostración. i) Sea � contablemente aditiva y sea (An)1n=1 una sucesión enA que decrece
monótonamente al conjunto vacío. Sea Bn = An�An+1: Los conjuntos Bn son elementos deA, son ajenos y su unión es A1: Entonces la serie
P1n=1 � (Bn) converge y esto implica queP1
n=N � (Bn) tiende a cero cuando N ! +1; pero la suma de esta serie es � (AN) ; porque[1n=NBn = AN : Esto implica la validez de la condición ii).Supongamos que la condición ii) es válida. Sea (Bn)
1n=1 una sucesión de conjuntos mutu-
amente ajenos en A; cuya unión B es también un elemento de A: Sea An = B� [nk=1 Bk:Claramente (An)
1n=1 es una sucesión monótona decreciente de conjuntos enA con intersección
vacía. Por hipótesis, � (An) ! 0: Por la aditividad �nita esto implica quePn
k=1 � (Bk) !� (B) cuando n ! +1: Así, � es contablemente aditiva, y esto implica que ii) implica i).
18
Claramente ii) implica iii), ya que si los conjuntos An son una sucesión monótona crecienteen A cuya unión A pertenece a A; entonces los conjuntos A�An decrecen monótonamenteal conjunto vacío. Finalmente, por la aditividad numerable, iii) demuestra la aditividad nu-merable de �:�
De�nición 13 Un espacio de medida es una terna (X;A; �) ; donde X es un conjunto novacio. A es una sigma-álgebra de subconjuntos de X y � es una medida de�nida en A:
Decimos que una proposicion relativa a elementos de X es válida en �-casi todas partes(��-almost everywhere�en inglés) si existe un conjunto N 2 A tal que � (N) = 0; de modoque la proposición se cumple para todo x 2 X �N: Por ejemplo, decimos que dos funcionesf; g son iguales en �-casi todas partes, y se pone f = g �-ctp si existe un conjunto N 2 Acon � (N) = 0; tal que f(x) = g(x) para toda x 2 X �N: En este caso a menudo se pone
f = g �-ctp.
Similarmente, decimos que una sucesión (fn) de funciones de�nidas en X converge a f en�-casi todas partes (o converge a f para �-casi toda x 2 X) si existe un conjunto N 2 Acon � (N) = 0; tal que
f(x) = l��mn!1
fn(x); para toda x 2 X �N:
Cuando la medida se sobreentiende. se omite la letra � de la notación.En algunos casos (sugerido por la noción de carga eléctrica, por ejemplo) en donde es
deseable tener funciones que se comportan como medidas, excepto que tomoan valores pos-itivos y negativos. En este caso no se debe permitir expresiones de la forma 1�1; asi, esmejor evitar valores 1;�1:
De�nición 14 Sea A una sigma-álgebra de subconjuntos de X. Una carga es una función� : A ! R tal que � (;) = 0; y � es contablemente aditiva en el sentido de que si fEng esuna sucesión en A de conjuntos mutuamente ajenos, entonces
�
1[n=1
En
!=
1Xn=1
� (En)
Como el lado izquierdo es independiente del orden y esta igualdad debe cumplirse paratodas las posibles sucesiones de los En, la serie de la derecha debe ser incondicionalmenteconvergente para todas las sucesiones de conjuntos en A mutuamente ajenos.Es claro que la suma de dos cargas es una carga. Mas generalmente, la combinación lineal
de cargas es una carga. Hay una relación entre cierto tipo de cargas y funciones integrables.Eso se verá posteriormente.Por último, veremos un teorema que nos ayuda a formar nuevos espacios de medida.
19
Teorema 15 Sea (X;A; �) un espacio de medida, Y un conjunto, y ' : X ! Y una función.Sea B = fF � Y : '�1 (F ) 2 Ag ; y para F 2 B; sea � (F ) = � ('�1 (F )) : Entonces (Y;B; �)es un espacio de medida.
Demostración. i) ; = '�1 (;) 2 A: Así, ; 2 B:ii) Si F 2 B; entonces '�1 (F ) 2 A: Entonces X�'�1 (F ) 2 A: Así, '�1 (Y�F ) =
X�'�1 (F ) 2 A y esto implica que Y�F 2 B:iii) Sea (Fn) una sucesión en B: Entonces '�1 (Fn) 2 A; para cada n 2 N: Por lo tanto,
1[n=1
'�1 (Fn) = '�1
1[n=1
Fn
!2 A:
Esto implica que [1n=1Fn 2 B:1) Se tiene � (;) = � ('�1 (;)) = � (;) = 0:2) Obsérvese que si F 2 B; entonces � (F ) = � ('�1 (F )) � 0:3) Sea (Fn) una sucesión en B de conjuntos ajenos dos a dos. Entonces
'�1 (Fn) \ '�1 (Fm) = '�1 (Fn \ Fm) = '�1 (;) = ;;
de modo que la sucesión���1 (Fn)
�es ajena dos a dos. Entonces
�
1[n=1
Fn
!= �
'�1
1[n=1
Fn
!!= �
1[n=1
'�1 (Fn)
!
=1Xn=1
��'�1 (Fn)
�=
1Xn=1
� (Fn) :
Las propiedades i), ii) y iii) implican que (Y;B) es un espacio medible, y las propiedades 1),2) y 3) implican que � es una medida en (Y;B) :
20
Capítulo 3
Construcción de la medida deLebesgue en RN
3.1. Preliminares
En lo que sigue, la palabra rectángulo"denotará un subconjunto de RN de la forma
I = [a1; b1]� [a2; b2]� � � � � [aN ; bN ] :
De�nimos el volumen de dicho rectángulo como
vol (I) = (b1 � a1) (b2 � a2) � � � (bN � aN)
Lema 16 Si C es una colección �nita de rectángulos que no se traslapan, y cada uno deellos está contenido en el rectángulo J; entonces vol (J) �
PI2C vol (I) : Por otro lado, si
C es una colección �nita de rectángulos, y J es un rectángulo cubierto por C, entoncesvol (J) �
PI2C vol (I) :
Nota: Decimos que C no se traslapa si distintos elementos de C tienen interiores ajenos(con intersección vacía).Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que cada rectángulo I 2 C
está contenido en el rectángulo J: En efecto, en la primera parte del lema se supuso ya queI � J; y en la segunda, si I J; podemos reemplazar I por I \ J:Primero, obsérvese que, si J =
QNk=1 [ak; bk] ; ak � c � bk; para algún k = 1; :::; N;
y J+; J� son los rectángulos obtenidos por reemplazar el k-ésimo lado de J por [ak; c] y[c; bk] ; respectivamente, entonces vol (J) = vol (J+) + vol (J�) : Más generalmente, si, paracada 1 � k � N; ak = ck;0 � ck;1 � � � � � ck;nk = bk; y S es la colección de �Nk=1nkrectángulos de la forma
R (m1;m2; :::;mN) =NYk=1
[ck;mk�1; ck;mk] ;
21
con 1 � mk � nk; entonces un obvio argumento de inducción sobre los nk�s muestra quevol (J) =
PR2S vol (R) :
Ahora, supóngase que C es una colección �nita de rectángulos I contenidos en J =QNk=1 [ak; bk] : Para cada 1 � k � N; escogemos ak = ck;0 � ck;1 � � � � � ck;nk = bk tal que
cada I 2 C tiene la formaNYk=1
�ck;mk
; ck;m0k
�para alguna elección de 0 � mk < m0
k � nk; y determinemos la colleción S de acuerdo con lohecho en el párrafo anterior. Entonces, por la observación anterior, vol (J) =
PR2S vol (R) :
Por la misma razón, si, para algún I 2 C; S (I) es la colección de esos R 2 S con R � I;entonces vol (I) =
PR2S(I) vol (R) :
Ahora añadimos la suposición de que C es una colección que no se traslapa, y sea I eI 0 elementos diferentes de C: Entonces, para que R = R (m1;m2; :::;mN) sea un elementode S (I) y S (I 0) ; es necesario que ck;mk�1 = ck;mk
para al menos un 1 � k � N: Pero estoimplica que vol (R) = 0; y así, sabemos que
vol (J) =XR2S
vol (S) �XI2C
XR2S(I)
vol (R) =XI2C
vol (I) :
Finalmente, si eliminamos la suposición de que no se traslapan, pero en cambio suponemosque C cubre J; entonces cada R 2 S está en S (I) para al menos un I 2 C. Por lo tanto, eneste caso
vol (J) =XR2S
vol (R) �XI2C
XR2S(I)
vol (R) =XI2C
vol (I) :
�
3.2. Existencia
Dada una cubierta numerable (posiblemente los conjuntos se traslapan) C de un subcon-junto E � RN por rectángulos I; de�nimos
P(C) =
PI2C vol (I) 2 [0;1] : Llamamos
jEje =��nf(X
(C) : E �[I2CI)
la medida exterior de E: Lo que queremos describir es una familia BRN de subconjuntos deRN tal que el mapeo
E 2 BRN 7! jEjesea contablemente aditiva, es decir, que�����
1[n=1
En
�����e
=
1Xn=1
jEnje ; (3.1)
22
para toda sucesión fEng � BRN tal que En \ Em = ;; m 6= n: Primero, debemos demostrarque jIjn = vol (I) para rectangulos I:
Lema 17 Si E =nS
m=1
Jm; donde los Jm son rectangulos que no se traslapan, entonces
jEje =nX
m=1
vol (Jm) :
Demostración. Obviamente, como fJmgnm=1 es una cubierta de E por rectángulos, en-tonces jEje �
Pnm=1 vol (Jm) : Para demostrar la desigualdad opuesta, sea " > 0: Sea
C = fI`g1`=1 una cubierta de E: Escogemos para cada ` 2 N un rectángulo I0` tal que
I` � I 0`; y vol (I0`) � vol (I`) + ("=2`) : Como E es compacto, existe una subcubierta �nita
fI 01; I 02; :::; I 0Lg de E: Obsérvese que
Jm = Jm \ E � Jm \�[L`=1I 0`
�= [L`=1(Jm \ I 0`):
En particular, por el Lema (16)
nXm=1
vol (Jm) �nX
m=1
LX`=1
vol (Jm \ I 0`) =LX`=1
nXm=1
vol (Jm \ I 0`)
�NX`=1
vol (I 0`) �1X`=1
vol (I 0`) �X
(C) + ":
(Aquí, hemos usado el hecho de que para cualquier par de rectángulos I; J; I \J es de nuevoun rectángulo, y que fJm \ I 0`g
L`=1 es una colección de rectángulos que no se traslapan, que
están contenidos en I 0`; y de nuevo se usa el lema (16). Haciendo "! 0+; y tomando el ín�mosobre todas las cubiertas C se tiene el resultado. �El siguiente resultado muestra que la mitad de la desigualdad (3.1) es válida, incluso ants
de restringirse a BRN :
Lema 18 Si E1 � E2 � RN ; entonces jE1je � jE2je : También, si E �1Sn=1
En; entonces
jEje �P1
n=1 jEnje : En particular, si E �1Sn=1
En; y jEnje = 0 para cada n 2 N , entonces
jEje = 0: Así, j@Ije = 0; para cada rectángulo I (@S denota la frontera de S; es decir,@S = S � int (S)). Finalmente, si E1; E2 son subconjuntos de RN tal que
dist (E1; E2) = ��nf fjy � xj : x 2 E1; y 2 E2g > 0;
entonces jE1 [ E2je = jE1je + jE2je :
23
Demostración. La primera a�rmación se sigue inmediatamente del hecho que toda cu-bierta abierta de E2 es también una cubierta de E1:Para la segunda a�rmación, sea " > 0; y escójase, para cada n 2 N una cubierta abierta
Cn de En tal queP(Cn) < jEnje + "=2n: Claramente, C =
1Sn=1
Cn es una cubierta numerablede �: Así,
jEje �X
(C) �1Xn=1
XI2Cn
vol (I) �1Xn=1
�jEnje +
"
2n
��
1Xn=1
jEnje + ":
Como " > 0 es arbitrario, ya está. Para probar que j@Ije = 0; basta notar que @I es la uniónde 2N rectángulos degenerados de la forma
[a1; b1]� [a2; b2]� � � � � fckg � � � � [aN ; bN ] ;
cada uno de los cuales tiene medida exterior cero.Para la última a�rmación, sea � = dist (E1; E2) ; y sea C una cubierta numerable de
E1 [ E2 por rectángulos I: Sin pérdida de generalidad, supondremos que diam (I) < � paratodo I 2 C (si no es el caso, se reemplaza C por una cubierta C 0 tal que cualquier I 2 Ccon diam (I) > � se reemplazan por rectángulos obtenidos subdividiendo I repetidamente.Como una aplicación del Lema 16,
P(C) =
P(C 0) :) Luego, sea
Ci = fI 2 C : I \ Ei 6= ;g ;
y obsérvese que, por un lado, Ci cubre Ei; mientras que, por otro lado, C1\C2 = ;: Entonces
jE1je + jE2je �X
(C1) +X
(C2) �X
(C) ;
y así, tomando ín�mos sobre los C; vemos que jE1je+jE2je � jE1 [ E2je : Como la desigualdadopuesta es trivial, esto demuestra el teorema. �
Remark 1 Usaremos G para denotar a la clase de todos los conjuntos abiertos en un espaciotopológico. También, sea G� la clase de todos los subconjuntos que pueden escribirse comola intersección numerable de abiertos. Nótese que G [ F � G�; donde G denota a la clase detodos los conjuntos cerrados. Para ver eso, sea F 2 F n f;g : Sea
Gn =
�x 2 RN : existe y 2 F con kx� yk < 1
n
�:
Entonces Gn es abierto, y F =1Tn=1
Gn: Si denotamos por F� a los conjuntos que son unión
numerable de cerrados, entonces E 2 G� si, y solo si, Ec 2 F�:11Estas notaciones se usan mucho en Análisis, y en otras áreas de las Matemáticas. El nombre G� viene de
la palabra alemana Gebiet, que signi�ca dominio, que es un conjunto abierto, y de la letra griega �; análogaa la letra romana d, para la palabra alemana durchschnitt, que signi�ca intersección. El nombre F� viene dela palabra francesa fermé, que signi�ca cerrado, y la letra griega �; análoga a la letra romana s, para suma.
24
Lema 19 Para cualquier E � RN ;
jEje =��nf fjGje : E � G 2 Gg : (3.2)
En particular, para cada E � RN existe un B 2 G� tal que E � B; y jEje = jBje :
Demostración. Claramente,
jEje � ��nf fjGje : E � G 2 Gg :
Para la desigualdad opuesta, supongamos que jEje < 1; sea " > 0; y sea C = fIng1n=1 unacubierta de E para la cual jEje �
P(C)� "
2: Luego, para cada n 2 N; sea I 0n un rectángulo
abierto que satisface In � I 0n y jI 0nje � jInje+2�n�1": Así, G =1Sn=1
I 0n es ciertamente abierto,
contiene a E y
jGje �1Xn=1
jI 0nje � jEje + ":
Esto prueba la primera a�rmación. Para probar la segunda, sólo basta tomar, para cadan 2 N; un conjunto abierto Gn tal que E � Gn y jGnje � jEje + 1
n: Así, el conjunto
B =1Tn=1
Gn cumple lo que se pide. �
De�nition 3 Decimos que E � RN es medible, y pondremos E 2 BRN ; si para cada " > 0existe un abierto G � E tal que jG n Eje < ": Al número jEj � jEje en este caso se le llamamedida de Lebesgue de E:
Remark 2 A primera vista, podemos pensar que todos los conjuntos son medibles, por ellema anterior. Esto se debe porque uno está tentado a pensar que
jGje = jG n Eje + jEje ;
cuando en realidad todo lo que podemos decir es que jGje � jG n Eje + jEje : Sin embargo,es claro que cualquier abierto G es medible. Mas aún, si jEje = 0; entonces E es medible,ya que para cada " < 0 podemos escoger un abierto G � E tal que jG n Eje � jGje < ":Finalmente, si E es medible, existe un B 2 G� con E � B; y jB n Eje = 0: En efecto,simplemente escogemos, para cada n 2 N; un abierto Gn con E � Gn; y jGn n Eje < 1=n; ytomamos G =
1Tn=1
Gn:
Lema 20 Si fEng1n=1 es una sucesión de conjuntos medibles, entonces E =1Sn=1
En es medi-
ble, y ademas,
jEj �1Xn=1
jEnj :
En particular, cualquier rectángulo en medible.
25
Demostración. Para cada n 2 N escogemos En � Gn 2 G tales que jGn n Enje < 2�n":
Entonces G =1Sn=1
Gn es abierto, contiene a E y
jG n Eje ������1[n=1
(Gn n En)�����e
�1Xn=1
jGn n Enje < ":
Finalmente, escribiendo un rectángulo como I = int (I)[@I; vemos que cualquier rectánguloes medible. �Falta demostrar que BRN es cerrado respecto a tomar complementos. Para esto usaremos
un hecho acerca de la topología en RN : Recordemos que un cubo en RN es un rectángulo talque todos sus lados tienen la misma longitud.
Lema 21 Si G es abierto en R; entonces G es la unión de un número numerable de intervalosabiertos mutuamente ajenos. Mas generalmente, si G es un abierto en RN ; entonces paracada � > 0; G admite una cubierta exacta numerable, que no se traslapan mutuamente,formada por cubos Q tales que diam (Q) < �:
Demostración. Si G � R es abierto, sea Ix la componente conexa de G conteniendo x:Entonces Ix es un intervalo abierto y, para cada x; y 2 G; o Ix \ Iy = ;; o Ix = Iy: Así,C = fIx : x 2 G \Qg es la cubierta requerida.Para la segunda a�rmación, sea Qn = [0; 2�n]
N y Kn =�k2n+Qn : k 2Zn
: Nótese que
si m � n; Q 2 Km; y Q0 2 Kn; entonces, o Q0 � Q o int (Q) \ int (Q0) = ;: Ahora,sea G � RN ; y � > 0 dado. Sea n0 el natural mas pequeño tal que 2�n0
pN < �; y sea
Cn0 = fQ 2 Kn0 : Q � G:g : Luego, de�na Cn inductivamente para n > n0 tal que
Cn+1 =(Q0 2 Kn+1 : Q0 � G; y int(Q) \ int (Q0) = ;; para cada Q 2
n[m=n0
Cm
)
Notese que sim � n; Q 2 Cm yQ0 2 Cn; entonces, oQ = Q0; o int (Q)\int (Q0) = ;: EntoncesC =
1Sn=n0
Cn no se traslapan, y ciartamenteSC � G: Finalmente, si x 2 G; escogemos n � n0
y Q0 2 Kn tal que x 2 Q0 � G: Si Q0 =2 Cn; entonces existe un n0 � m < n y un Q 2 Cm talque int (Q) \ int (Q0) 6= ;: Pero esto signi�ca que Q0 � Q; y por lo tanto que x 2 Q �
SC:
Entonces C cubre a G: �
Lema 22 Si E es medible, entonces Ec es medible.
Demostración. Primero comprobaremos que cada compacto K es medible. Para esto,sea " > 0; y sea G un abierto con G � K tal que jGj � jKje < ": Sea H = G n K y
sea fQng1n=1 una sucesión de cubos que no se traslapan tales que H =1Sn=1
Qn: Por el lema
26
17,Pn
1 jQmj = jSn1 Qmj : Más aún, como K y
Snm=1Qm son conjuntos compactos ajenos,
y por lo tanto separados una distancia positiva, la segunda parte del Lema 17 dice quej(Sn1 Qm) [Kje == j
Sn1 Qmj+ jKje : Así,
jGj ������
n[1
Qm
Así, haciendo tender primero M %1 y luego N %1 se llega a que
1Xm=1
1Xn=1
am;n �1Xn=1
1Xm=1
am;n:
Invirtiendo los papeles de m y n se tiene la desigualdad opuesta. �
Teorema 24 La clase BRN contiene G; es cerrada bajo uniones numerables, complementación,y por lo tanto también bajo diferencias e intersecciones numerables. Entonces G�[F� � BRN :De hecho, E 2 BRN si, y sólo si, existen A 2 F� y B 2 G� tales que A � E � B y jB n Aj = 0;y en ese caso, jEj = jAj = jBj : Finalmente, para cualquier sucesión fEng11 � BRN ; conEn \ Em = ;; si m 6= n; se tiene �����
1[n=1
En
����� =1X1
jEnj : (3.3)
Demostración. La primera a�rmación se sigue de las propiedades que ya se demostraron,junto con las propiedades de operaciones de conjuntos. La a�rmación G�[F� � BRN se siguede esas propiedades. Ahora, supóngase que E es medible. Entonces existen A 2 F� y B 2 G�tales que Ec � Ac; E � B; jB n Ej = 0; y jE n Aj = jAc n Ecj = 0; de lo cual jB n Aj = 0 esinmediato. Por otro lado, si existe A 2 F� y B 2 G� tales que A � E � B y jB n Aj = 0;entonces E = A[ (E n A) es medible, ya que jE n Aje � jB n Aj = 0: Por lo tanto, sólo faltaprobar (3.3).Primero probaremos que (3.3) es válida para el caso donde cada En es acotado. Dada
" > 0; escogemos conjuntos abiertos Gn tales que Ecn � Gn y jG n Ecnj < 2�n": EntoncesKn = Gcn � En es compacto, y jEn nKnj < 2�n": Como Kn \Km = ;; si n 6= m; y por lotanto dist (Kn; Km) > 0; para m 6= n; entonces por el Lema j
Sn1 Kmj =
Pn1 jKmj para cada
n � 1: Entonces
1Xm=1
jEmj <1Xm=1
jKmj+ " = l��mn!1
�����n[
m=1
Km
�����+ " ������1[m=1
Em
�����+ ":
Esto es,P1
1 jEmj � jS11 Emj : Como la desigualdad opuesta siempre es válida, (3.3) queda
demostrado para En acotados.Finalmente, para manejar el caso general, sea
A1 = B (0; 1) ; y An+1 = B (0; n+ 1) nB (0; n) :
Entonces(Em \ An) \ (Em0 \ An0) = ;; si (m;n) 6= (m0; n0) :
28
Entonces por lo anterior, y el Lema 23,
1Xm=1
jEmj =1Xm=1
1Xn=1
jEm \ Anj =1Xn=1
1Xm=1
jEm \ Anj
=1Xn=1
�����1[m=1
(Em \ An)����� =
1Xn=1
����� 1[m=1
Em
!\ An
�����=
�����1[n=1
" 1[m=1
Em
!\ An
#����� =�����1[m=1
Em
����� :El teorema queda demostrado. �
Remark 3 Aunque no parece necesario, puntualizaremos el hecho de que la medida deLebesgue tiene la siguiente propiedad importante: es invariante ante traslaciones. Es decir,si E es un conjunto medible, y denotamos por E + x0 al conjunto de todos los elementos dela forma x+ x0; con x 2 E; entonces E + x0 es medible, y jE + x0j = jEj :
Teorema 25 Sea E � RN : Entonces las siguientes a�rmaciones son equivalentes:a) E es medible.b) Dado " > 0; existe un conjunto abierto G � E tal que jG n Eje < ":c) Dado " > 0; existe un conjunto cerrado F � E tal que jE n F je < ":d) Existe un B 2 G� tal que E � B; y jB n Eje = 0:e) Existe un C 2 F� tal que C � E y jE n Cje = 0:Si, además, jEje < +1; las a�rmaciones anteriores son equivalentes a:f) Dado " > 0; existe una unión �nita U de rectángulos abiertos tal que jU�Ej < "; dondeU�E es la diferencia simétrica de U y E; de�nida como
U�E = (U n E) [ (E n U) :
Demostración: Todos los incisos han sido demostrados, excepto el f).
Supóngase que E es medible. Escogemos una familia de rectángulos abiertos (Qj)1j=1 tal
que
E �1[j=1
Qj; y1Xj=1
jQjj � jEj+"
2:
29
Como jEj < +1; la serieP1
j=1 jQjj converge, y así, existe N 2 N tal queP1
j=N+1 jQjj <jEj+ "=2: Sea U = [Nj=1Qj: Entonces
jE�U j = jE�U j+ jU�Ej
������
1[j=N+1
Qj
�����+����� 1[j=1
Qj
!�E
������ "
2+
�����1[j=1
Qj
������ jEj � "
2+
1Xj=1
jQjj!� jEj
� "
2+"
2= ":
�Nota: Se puede demostrar que la condición �rectángulos abiertos�puede reeplazarse con
la de �cubos abiertos�Antes de seguir, valdría la pena hacer la siguiente pregunta. ¿Existen conjuntos en R que
no sean medibles? Resulta que esa pregunta nos lleva a unos asuntos muy delicados sobrelos fundamentos de las matemáticas. Si no aceptamos el axioma de elección2, R. Solovay hademostrado que existe un modelo de matemáticas, en el cual todo subconjunto de RN esmedible. Sin embargo, si aceptamos el axioma de elección, se puede demostrar la existenciade conjuntos no medibles en R: Antes de hacer la construcción, veremos un lema que esinteresante por si mismo.
Lema 26 Si E es un subconjunto medible de R, y jEj > 0; entonces el conjunto E � E �fy � x : x; y 2 Eg contiene el intervalo abierto (��; �) ; para algún � > 0:
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que jEj <1:Sea G un conjunto abierto tal que jG n Ej < 1
3jEj : Obsérvese que esto implica que
jG n Ej = jGj � jEj < 13jEj ; es decir, jGj < 4
3jEj ; o sea,
jEj > 3
4jGj : (3.4)
Sea C una colección de intervalos abiertos no vacíos, mutuamente ajenos cuya unión es G:Entonces X
I2Cjint(I) \ Ej = jEj � 3
4jGj = 3
4
XI2C
jint (I)j :
2El axiona de elección establece lo siguiente: "Dada una familia F = fA� : � 2 Ig no vacía de conjuntosno vacíos, ajenos dos a dos, existe un conjunto S que consiste en exactamente un elemento de cada conjuntoA 2 F ; es decir, S\A� tiene exactamente un elemento". Se puede demostrar que es equivalente a la siguientea�rmación: "dada una colección F = fA� : � 2 Ig no vacía de conjuntos no vacíos (no necesariamente ajenosdos a dos), existe una función ' : F ! [a2IA� tal que f (A�) 2 A� para todo � 2 I": A una función conestas características se le llama función de elección.
30
Así, debe haber un I0 2 C tal que
jint (I0) \ Ej �3
4jint (I0)j (3.5)
Sea A := int (I0) \ E: Entonces, por (3.5),
jAj � 3
4jint (I0)j : (3.6)
Si d 2 R y (d+ A) \ A�=;; entonces
2 jAj = jd+ Aj+ jAj = j(d+ A) [ Aj � j(d+ int (I0)) [ int (I0)j :
Al mismo tiempo, (d+ int (I0))[int (I0) ��I�0 ; d+ I+0
�si d � 0; y d+int (I0) �
�d+ I�0 ; I
+0
�si d < 0: En cualquier caso, j(d+ int (I0)) [ int (I0)j � jdj+jint (I0)j : Así, si (d+ A)\A = ;;entonces 2 jAj � jdj+ jint (I0)j : Por (3.6), esto implica que
jdj+ jint (I0)j � 2 jAj � 2 �3
4jint (I0)j =
3
2jint (I0)j ;
y por lo tanto,
jdj � 1
2jint (I0)j :
En otras palabras, si jdj < 12jint (I0)j ; entonces (d+ A)\A 6= ;: Pero esto signi�ca que para
cualquier d 2��12jint (I0)j ; 12 jint (I0)j
�se tiene que existen x; y 2 A tales que d = y � x: �
Lema 27 Suponiendo válido el axioma de elección, existe un subconjunto A de R tal que(A� A) \Q = f0g y además,
R =[q2Q
(q + A) :
Demostración. Decimos que x � y si y � x 2 Q. Entonces ��� es una relación deequivalencia en R; y por cada x 2 R; la clase de equivalencia [x]� de x es x + Q: Ahora,usando el axioma de elección, sea A el conjunto que contiene exactamente un elemento decada clase de equivalencia. Es claro que A tiene las propiedades requeridas. En efecto, si,x; y 2 A; entonces, o x� y = 0; en cuyo caso x = y; o x� y 6= 0; y en ese caso x� y debe serirracional, porque si no, entonces x � y; lo que es falso, porque A contiene exactamente unelemento de cada clase de equivalencia. Asi, (A� A)\Q = f0g : Si x 2 R; sea ~x el elementoen [x]� que está en A: Entonces x � ~x = q 2 Q; y por lo tanto x = q + ~x: Por lo tantoR =
Sq2Q (q + A) : �
Obsérvese que jAje > 0; porque si no, jAje = 0; y como la medida exterior en RN esinvariante ante traslaciones, jq + Aje = 0; para todo q 2 Q: Esto implica que
+1 = jRje =����� Sq2Q (q + A)
�����e
�Xq2Q
jq + Aje = 0;
lo que es imposible. Así, jAje > 0:
31
Teorema 28 Suponiendo válido el axioma de elección, cualquier E � R con jEje > 0contiene un subconjunto no medible.
Demostración. SeaA el conjunto del lema anterior. Entonces 0 < jEje �P
q2Q jE \ (q + A)je ;y por lo tanto debe existir un q 2 Q tal que jE \ (q + A)je > 0: Por lo tanto, si E \ (q + A)fuera medible, entonces, por el lema anterior, se tendría que (��; �) � fy � x : x; y 2 (q + A)g �f0g [ Qc para algún � > 0: Esto es imposible, porque (��; �) tiene un número in�nito deracionales. �
Teorema 29 Existen conjuntos ajenos de números reales A;B para los cuales
jA [Bje < jAje + jBje : (3.7)
Demostración. Probaremos esto por contradicción. Supongamos que para todo par deconjuntos A;B � R se tiene
jA [Bje = jAje + jBje : (3.8)
Sea A un subcojunto arbitrario de R: Sea " > 0 arbitrario. Entonces existe un conjuntoabierto G con A � G; y jGje�jAje < ": Entonces, al ser G = (G�A)[A; se tiene, por (3.8),
jGje = jG�Aje + jAje ;
y así, jG�Aje = jGje � jAje < ": Como " > 0 es arbitrario, se sigue que A es medible.Entonces todos los subconjuntos en R son medibles, pero esto contradice lo demostradoantes. Por lo tanto existen subconjuntos A;B � R tales que se cumple (3.7), y el teoremaqueda demostrado.�Para otro enfoque véase el libro de Stein y Shakarchi, ejercicio 33, pag. 45.Se tiene el siguiente teorema. Para su demostración véase J. Ye, Real Analysis - Measure
theory and integration, pag. 65.
Teorema 30 Existe un conjunto M � R con las siguientes propiedades:1) ��;L (M) = ��;L (M
c) = 0;2) ��;L (M \ E) = ��;L (M
c \ E) = 0 para cada E � R:3) ��L (M \ E) = ��L (M
c \ E) = �L (E) ; para cada E medible con �L (E) <1:
3.3. Resultados adicionales sobre la medida de Lebesgue(opcional).
De�nición 31 Sea (X;A; �) un espacio de medida, y A � X: Una envoltura medible (ocubierta medible3) de A es un conjunto E 2 A tal que A � E y � (F \ E) = �� (F \ A) ;para todo F 2 A: En general, no todos los conjuntos en un espacio de medida tienen unaenvoltura medible. Pero tenemos las siguientes propiedades.
3"measurable envelope", en inglés.
32
Teorema 32 Sea (X;A; �) un espacio de medida.a) Si A � E 2 A; entonces E es una envoltura medible de A si, y sólo si, � (F ) = 0; siempreque F 2 A y F � E n A:b) Si A � E 2 A, y � (E) < +1; entonces E es una envoltura medible de A si, y sólo si,� (E) = �� (A) :c) Si E es una envoltura medible de A; y H 2 A, entonces E \H es una envoltura mediblede A \H:d) Sea (An)n2N una sucesión de subconjuntos de X: Supongamos que cada An tiene una
envoltura medible En: Entonces1Sn=1
En es una envoltura medible de1Sn=1
An:
e) Si A � X pueden cubrirse con una sucesión de conjuntos de medida �nita, entonces Atiene una envoltura medible.f) En particular, si � es la medida de Lebesgue en RN ; entonces cada subconjunto de RNtiene envoltura medible.
Demostración. a) Si E es una envoltura medible de A; F 2 A y F � E n A; entonces
� (F ) = � (F \ E) = �� (F \ A) = 0 (porque F \ A = ;).
Si E no es una envoltura medible de A; existe un H 2 A tal que �� (A \H) < � (E \H) :Sea G 2 A tal que A \ H � G y � (G) = �� (A \H) ; y sea F = (E \ H) n G: Como� (G) < � (E \H) ; entonces � (F ) > 0; pero también F � E; y F \ A � (H \ A) n G esvacía.b) Si E es una envoltura medible de A; entonces se debe tener
�� (A) = �� (A \ E) = � (E \ E) = � (E) :
Si � (E) = �� (A) ; y F 2 A es un subconjunto de E n A; entonces A � E n F; de modo que� (E n F ) = � (E) ; como � (E) es �nito, se sigue que � (F ) = 0; de modo que la condicióna) es satisfecha, y E es una envoltura medible de A:c) Si F 2 A y F � (E \ H) n A; entonces F � E n A; de modo que � (F ) = 0; por a).
Como F es arbitrario, E \H es una envoltura medible de A \H; de nuevo por a).d) Sea A =
1Sn=1
An; y E =1Sn=1
En: Entonces A � E: Si F 2 A; y F � E n A; entonces,
para cada n 2 N, F \ En � En n An; de modo que � (F \ En) = 0; por a). Por lo tanto
F =1Sn=1
(F \ En) es negligible. Como F es arbitrario, E es una envoltura medible de A:
e) Sea (Fn)n2N una sucesión de conjuntos de medida �nita que cubre a A: Para cadan 2 N, sea En 2 A tal que A\Fn � En y � (En) = �� (A \ Fn) (usando el hecho de que paratodo C � X existe un D 2 A con C � D y � (D) = �� (C)). Por b), En es una envoltura
medible de A \ Fn: Por d),1Sn=1
En es una envoltura medible deSn2N
(A \ Fn) = A:
33
f) En el caso de la medida de Lebesgue en RN ; desde luego, la misma sucesión (Bn)n2Nfuncionará para cualquier A; si tomamos Bn como el cubo [�n; n]� [�n; n]� � � � � [�n; n]:�De�nición 33 Sea (X;A; �) un espacio de medida. Un conjunto A � X es de medidaexterior total, o grueso, si X es una envoltura medible de A; es decir, si �� (F \ A) = � (F )para todo F 2 A: Equivalentemente, si � (F ) = 0 siempre que F 2 A y F � X n A: Si� (X) < +1; entonces A � X es de medida exterior total si, y sólo si, �� (A) = � (X) :
Hay resultados mucho mas fuertes, relacionados con la existencia de conjuntos no medi-bles. Aquí probaremos uno de esos resultados.
Proposición 34 Existe un conjunto C � R tal que F \ C no es medible, para cualquierconjunto medible F de medida positiva, de tal manera que C y su complemento Cc tienenmedida exterior total en R:
Demostración. Sea A � [0; 1) � R como en el teorema anterior, de tal modo que(A+ q)q2Q es una partición de R: Entonces �� (A) > 0: Entonces � (F ) = 0 para cualquierconjunto F � A medible. En efecto, para cada n 2 N podemos hallar q1; :::; qn 2 [0; 1) \ Qdistintos, y ahora
n� (F ) = �
�nSi=1
(F + qn)
�� � ([0; 2]) = 2;
y así, � (F ) � 2=n: Al ser n 2 N arbitrario se sigue que � (F ) = 0:Ahora, sea E � [0; 1) una envoltura medible de A: Entonces E + q es una envoltura
medible de A+ q; para todo q 2 Q: En efecto, A+ q � E + q; el conjunto E + q es medible,y, para todo conjunto medible F;
� (F \ (E + q)) = � (((F � q) \ E) + q) = � ((F � q) \ E)= �� ((F � q) \ A) = �� (((F � q) \ A) + q) = �� (F \ (A+ q))
usando la invariancia bajo traslación de �: También,E es una envoltura medible de ~A = EnA:En efecto, E es un conjunto medible que contiene ~A: Si F � E n ~A es medible, entoncesF � A; y así � (F ) = 0; por lo discutido en el párrafo anterior. Por el inciso e) del Teorema32, E es una envolvente medible de ~A: Se sigue que E + q es una envolvente medible de~A+ q; para todo q:Sea (qn) una enumeración en Q: EntoncesS
n2N(E + qn) �
Sn2N
(A+ qn) = R:
Pongamos En para (E + qn) nSi<n
(E + qi) ; para n 2 N: Entonces los (En)n2N son ajenos, y1Sn=1
En = R: Ahora, sea
C =1Sn=1
(En \ (A+ qn)) :
34
Este es el conjunto con las propiedades deseadas.En efecto: i) sea F � R cualquier conjunto medible no negligible. Entonces existe un
n 2 N tal que � (F \ En) > 0: Esto signi�ca que
�� (F \ En \ C) � � (F \ En \ (A+ qn)) = � (F \ En \ (E + qn)) = � (F \ En) ;
�� ((F \ En) n C) � �� (F \ En \ ((E + qn) n (A+ qn)))
= � (F \ En \ (E + qn)) = � (F \ En) :
Como� (F \ En) � � (E + qn) = � (E) � 1;
se tiene � (F \ En \ C) + � ((F \ En) n C) > � (F \ C) ; y por lo tanto F \ C no puede sermedible.ii) En particular, ningún subconjunto medible de RnC puede tener medida distinta de
cero, y esto implica que C tiene medida exterior total. Similarmente, C no tiene subconjuntosmedibles de medida distinta de cero, y R n C tiene medida exterior total.
3.4. Invariancia euclidiana (opcional)
Aunque la propiedaed de invariancia bajo traslaciones estaba incluida en nuestra con-strucción de la medida de Lebesgue, no es inmediatamente obvio como reacciona la medidade Lebesgue ante rotaciones de RN : Uno sospecha que, como es la medida natural de RN ;la medida de Lebesgue debería ser invariante ante el grupo completo de transformacioneseuclidianas (i.e., rotaciones y traslaciones). Sin embargo, como nuestra de�nición de medidaestaba basada en rectángulos, y los rectángulos estàn inextrincablemente ligados a un sis-tema �jo de coordenadas, la invariancia ante rotaciones no es tan clara como la invarianciaante traslaciones. En la presente sección veremos cómo se transforma la medida de Lebesguebajo una transformación lineal arbitraria de RN ; y la invariancia bajo rotaciones se seguirácomo un corolario inmediato.Empezaremos con un resultado acerca del comportamiento de conjuntos medibles bajo
transformaciones.
Lema 35 Sea F � RM cerrado, y sea � : F ! RN continua. Entonces � (E \ F ) 2 F�siempre que E 2 F�: Además, si adicionalmente se tiene j� (E \ F )je = 0; siempre quejEje = 0; entonces � (E \ F ) es medible, siempre que lo sea E: En particular, siM � N y �es Lipschitz continua, con constante de Lipschitz L (es decir, j� (y)� � (x)j � L jy � xj ; paratoda x; y 2 F ) entonces j� (E \ F )je �
�2pNL�NjEje ; y por lo tanto, � toma conjuntos
medibles de F en conjuntos medibles de RN :
35
Demostracion. Recordemos que las funciones preservan uniones. Por lo tanto la clase deconjuntos E bajo los cuales � (E \ F ) 2 F� es cerrada bajo uniones numerables. Luego,notemos que si K es compacto, por ser � continua, entonces � (K \ F ) es compacto. Perocualquier conjunto cerrado en RN es la unión numerable de conjuntos compactos, y por lotanto � (E \ F ) 2 F� para cualquier cerrado E: Finalmente, como cada E 2 F� es unaunión numerable de conjuntos cerrados, queda demostrada la primera a�rmación.Supongamos además que j� (E \ F )je = 0 siempre que jEje = 0: Dado un conjunto
medible E; escogemos A 2 F� tal que A � E y que jA n Ej = 0: Entonces � (E \ F ) =� (A \ F ) [ � ((E n A) \ F ) es medible, porque A \ F 2 F�; y j� ((E n A) \ F )je = 0:Ahora vamos a demostrar que si � es Lipschitz continua con constante de Lipschitz L;
entonces j� (E \ F )je ��2pNL�NjEje : Pero claramente es su�ciente probarlo cuando E es
un cubo Q con diámetro menor que 1. En efecto, si demostramos este caso, y dado cualquierconjunto E � RM con jEje <1; entonces por (3.2) y el Lema 21, podemos encontrar, paracualquier " > 0; una colección numerable C de cubos Q que no se traslapan, con diámetromenor que 1 tal que E �
SC y
PQ2C jQj � jEje + ": Así, podemos concluir que
j� (E \ F )je ������[Q2C
� (Q \ F )�����e
�XQ2C
j� (Q \ F )je
��2pNL�NX
Q2CjQj �
�2pNL�N(jEje + ") :
Así, sea Q un cubo en RM con diámetro D < 1: Si Q \ F = ;; no hay nada que demostrar.Si x 2 Q \ F; notemos que � (Q \ F ) debe ser un subconjunto de la bola en RN de radioLD alrededor de � (x) : Entonces, � (Q \ F ) está contenido en el cubo
NYk=1
[� (x)k � LD; � (x)k + LD] ;
y por lo tanto
j� (Q \ F )je � (2LD)N =
�2pNL�NjQj
NM �
�2pNL�NjQj :
�Dada una matriz de N �N de números reales aij; denotamos por TA a la transformación
T : RN ! RN determinada por A relativa a la base estándar fe1; : : : ; eNg : Esto es,
TAx =
264PN
j=1 a1jxj
...PNj=1 aNjx
j
375 para x =
264 x1
...xN
375 2 RN :36
Como TA es obviamente Lipschitz continua, TA toma conjuntos medibles en conjuntos medi-bles, y conjuntos de medida cero en conjuntos de medida cero. El resultado principal de estasección es el siguente hecho importante acerca de la medida de Lebesgue.
Teorema 36 Dada una matriz real A de N �N; TA toma conjuntos medibles en conjuntosmedibles, y jTA (E)je = jdet (A)j jEje para toda E � RN : Aquí estamos usando la notacióndet (A) para el determinante de A:
Demostración. Hay varios pasos.Paso 1. Para cualquier c 2RN ; � 2 R; y E � RN ; jc+ �Eje = j�j
N jEje ; donde �E :=f�x : x 2 Eg : Por invariancia ante traslaciones, podemos suponer que c = 0: Más aún,no hay nada que demostrar cuando � = 0: Finalmente, es claro que j�Ij = j�jN jIj ; paracualquier � 6= 0 y rectángulo I: Así, como C es una cubierta numerable de E por rectángulosI si y sólo si f�I : I 2 Cg es una cubierta numerable de �E; ya está.Paso 2. Para cualquier transformación lineal T y todos los cubos Q; jT (Q)j = � (T ) jQj ;
donde � (T ) := jT (Q0)j y Q0 = [0; 1]N : En efecto, como cada cubo Q cumple Q = c+ �Q0para algún c 2 RN y � que satisface j�jN = jQj ; el Paso 1 junto con la linealidad de T setiene jT (Q)j = j(T (c) + �T (Q))j = j�jN jT (Q0)j = � (T ) jQj :Paso 3. Para cualquier transformación lineal y cualquier abierto G;
jT (G)j � � (T ) jGj :
Más aún, la igualdad es válida si T es no-singular. Sea (compárese con el Lema 21) C unacubierta exacta numerable de G por cubos Q que no se traslapan. Entonces
jT (G)j �XQ2C
jT (Q)j = � (T )XQ2C
jQj = � (T ) jGj :
Ahora supongamos que T es no-singular. Entonces
T (Q) n T (int(Q)) = T (Q n int (Q))
tiene medida cero, y
T (int(Q)) \ T (int (Q0)) = ;; para Q;Q0 2 C distintos.
Entonces jT (Q)j = jT (int(Q))j y (compárese con el ejercicio 2.1.19)
jT (Q)j �XQ2C
jT (int (Q))j =XQ2C
jT (Q)j = � (T )XQ2C
jQj = � (T ) jGj :
Paso 4. Para cualquier transformación lineal T no-singular, y para todo E � RN ;jT (E)je = � (T ) jEje : En efecto, ya que E � G 2 B si, y sólo si, T (E) � T (G) 2 B;este paso es una consecuencia de (3.2) y el Paso 3.
37
Paso 5. Si S y T son transfromaciones lineales y S es no-singular, entonces � (S � T ) =� (S)� (T ) : Simplemente nótese que, por el Paso 4,
� (S � T ) = jS � T (Q0)j = jS (T (Q0))j = � (S) jT (Q0)j = � (S)� (T ) :
Paso 6. Si A es una matriz ortogonal, entonces � (TA) = 1: Como A es ortogonal,B (0; 1) = TA (B (0; 1)) ; y por lo tanto jB (0; 1)j = � (TA) jB (0; 1)j :Paso 7. Si A es no-singular y simétrica, entonces � (TA) = jdet (A)j : En efecto, si A es
diagonal, entonces es claro que � (TA) = jTA (Q0)j = j�1�2 � � ��N j ; donde �k es el k-ésimoelemento de la diagonal. Así, la a�rmación es válida en este caso. Por otro lado, en el casogeneral, podemos hallar una matriz ortogonal O tal que A = O�OT ; donde � es una matrizdiagonal cuyas componentes diagonales son los valores propios de A y OT es la transpuestade O: Entonces, por los Pasos 5 y 6, � (A) = � (O)� (�)� (O) = � (�) = jdet (T )j :Paso 8. Para cualquier matriz A, � (TA) = jdet (A)j : En efecto, sea B =
�AAT
�1=2:
Entonces B es simétrica, y det (B) = jdet (A)j : Luego, sea O = B�1A; y nótese que OT =ATB�1 y así, OOT = B�1AATB = B�1B2B�1 = IRN ; donde IRN denota a la matrizidentidad de N � N: En otras palabras, O es ortogonal. Como A = BO; tenemos que� (A) = � (B) = jdet (A)j :Paso 9. Si A es singular, entonces � (TA) = 0: En efecto, escójase y 2 RN de longitud
1 tal que y ? Range (TA) ; donde Range (TA) es la imagen del operador TA: Luego, escojauna matriz ortogonal O tal que e1 = TO (y) : Entonces e1 ? Range (TO � TA) y así, existeun rectángulo eI en RN�1 tal que TO � TA (Q0) � f0g � eI: Pero f0g � eI tiene medida cero, ypor lo tanto � (TA) = � (TO � TA) = 0: Con esto el teorema queda demostrado. �Ejercicio 2.2.3.i) Si H es un hiperplano en RN (es decir, H =
�y 2 RN : y � c ? `
; para algún c 2 RN
y ` 2 RN � f0g) demuestra que jHj = 0:ii) Si BRN (c; r) es la bola abierta en RN de radio r y centro c; demostrar que
jBRN (c; r)j =���BRN (c; r)��� = NrN ; donde N = jBRN (0; 1)j :
38
Capítulo 4
Integrales
4.1. Introducción
En este capítulo introduciremos la integral primero para funciones no negativas medibles,y después para funciones medibles arbitrarias extendidas. El resultado principal es el célebreTeorema de Convergencia Monótona.A lo largo de este capítulo consideraremos un espacio de medida �jo (X;A; �) : Denotare-
mos porM (X;A) =M al conjunto de funciones medibles de X a R; y porM+ =M+(X;A)a la colección de funciones medibles no negativas de X a R:
4.2. Integrales de funciones simples
De�nición 37 Sea (X;A; �) un espacio de medida. Una función f : X ! R es simple si sepuede poner en la forma
f =mXj=1
aj�Ej ; (4.1)
donde aj 2 R; j = 1; 2; :::;m; son distintos, y E1; E2; :::; Em 2 A son ajenos. Decimos en estecaso que la función simple está en su forma estándar.
De�nición 38 Sea f una función simple, dada por la ecuación (4.1), donde a1; :::; am � 0.De�nimos la integral de f como Z
X
f d� =mXj=1
aj�(Ej) (4.2)
En la de�nición anterior empleamos el convenio de que 0(+1) = 0; de manera que laintegral de una función idénticamente cero es cero, ya sea que el espacio tenga medida �nita
39
o in�nita. Notemos que la integral de una función simple en M+ está bien de�nido, aunquepuede ser +1: Como los aj son no negativos, no habrá expresiones sin signi�cado como(+1) + (�1):
Lema 39 a) Si ' y son funciones simples no negativas y c � 0; entoncesZc' d� = c
Z' d�Z
('+ ) d� =
Z' d�+
Z d�
b) Si � : A ! R se de�ne para E 2 A como
�(E) =
Z'�E d�:
entonces � es una medida en X:
Demostración. Si c = 0; entonces c' se anula idénticamente. Si c > 0; entonces c' estáen M+ con representación estándar
c' =nXj=1
caj �Ej ;
donde ' tiene la representación estándar
' =nXj=1
aj�Ej :
Entonces Zc' d� =
nXj=1
(caj)�(Ej) = c
nXj=1
aj�(Ej) = c
Z' d�:
Para la suma, sean ' y funciones simples en sus representaciones estándar
' =
nXj=1
aj�Ej ; =
mXk=1
bk�Fk :
Entonces '+ tienen la representación
'+ =nXj=1
mXk=1
(aj + bk)�Ej\Fk :
40
Sin embargo, aunque los conjuntosEj\Fk son ajenos, los valores aj+bk no son necesariamentedistintos, de modo que la representación anterior no es estándar. Sean ch; h = 1; 2; :::; p losdistintos valores en el conjunto faj + bk : j = 1; :::; n; k = 1; :::;mg y sea Gh la unión detodos esos conjuntos Ej \ Fk tal que aj + bk = ch: Entonces
�(Gh) =X(h)
�(Ej \ Fk);
donde la notación designa la suma sobre todos los j; l tales que aj + bl = ck: Como larepresentación estándar de '+ está dada por
'+ =
pXh=1
ch�Gh ;
se tiene Z('+ ) d� =
pXh=1
ch�(Gh) =
pXh=1
X(h)
ch�(Ej \ Fk) (4.3)
=
pXh=1
X(h)
(aj + bk)�(Ej \ Fk)
=nXj=1
mXk=1
(aj + bk)�(Ej \ Fk)
=nXj=1
mXk=1
aj�(Ej \ Fk) +nXj=1
mXk=1
bk�(Ej \ Fk):
Como X = [nj=1Ej = [mk=1Fk; y cada familia fEjg ; fFkg es ajena dos a dos, se tiene
�(Ej) =m[k=1
(Ej \ Fk); �(Fk) =n[j=1
(Ej \ Fk):
Usando este hecho, e intercambiando el orden de las sumas en la última línea de la ecuación(4.3) se tiene Z
('+ )d� =
nXj=1
aj�(Ej) +
mXk=1
bj�(Fk)
=
Z' d�+
Z d�:
Esto establece la parte a).
41
Para demostrar la parte b), obsérvese que
'�E =
nXj=1
aj�(Ej)�(E) =
nXj=1
aj�(Ej \ E):
Por lo tanto, por inducción y de lo que hemos demostrado ya, se tiene
�(E) =
Z'�E d� =
nXj=1
aj�(Ej \ E):
Como la función �j : A ! R dada por �j(E) = �(Ej \ E) es una medida (¡ejercicio!), setiene que, al expresar � como una combinación lineal de medidas donde los coe�cientes sonpositivos, se sigue que (¡ejercicio!) � es una medida en A: Esto termina la demostración.�
4.3. Integrales de funciones medibles no negativas
Introduciremos ahora la integral de una función arbitraria enM+: Nótese que el valor dela integral no tiene que ser �nito.
De�nición 40 Si f 2 M+(X;A), de�nimos la integral de f con respecto de � como elnúmero real extendido Z
f d� = sup
Z' d�; (4.4)
donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples ' tales que 0 � '(x) � f(x);para toda x 2 X: Si E 2 A; entonces f�E pertenece a M+(X;A) y de�nimos la integral def sobre E respecto de � como el número real extendidoZ
E
f d� =
Zf�E d�: (4.5)
Lema 41 a) Si f; g 2M+(X;A); y f � g; entoncesZf d� �
Zg d�: (4.6)
b) Si f 2M+(X;A); E; F 2 A; con E � F; entoncesZE
f d� �ZF
f d�:
42
Demostración. a) Si ' es una función simple en M+ tal que 0 � ' � f; entonces0 � ' � g; y por lo tanto se tiene (4.6).b) Como f�E � f�F ; el inciso a) implica b), y ya está.�
Estableceremos a continuación un resultado importante debido a Beppo Levi. Este teo-rema es una herramienta clave para las propiedades fundamentales de convergencia de laintegral de Lebesgue.
Teorema 42 (Teorema de convergencia monótona). Si (fn) es una sucesión monótona cre-ciente de funciones en M+(X;A) que converge a f; entoncesZ
f d� = l��mn!1
Zfn d�: (4.7)
Demostración. De acuerdo al corolario 8, la función f es medible. Como fn � fn+1 � f;se sigue, por el lema anterior, queZ
fn d� �Zfn+1 d� �
Zf d�;
para toda n 2 N: Por lo tanto tenemos que
l��mn!1
Zfn d� �
Zf d�:
Para establecer la desigualdad opuesta, sea � un número real tal que 0 < � < 1; y sea ' unafunción simple medible que satisface 0 � ' � f: Sea
An = fx 2 X : fn(x) � �'(x)g
de manera que An 2 A; An � An+1; y X =[
An: De acuerdo al lema (41)ZAn
�' d� �ZAn
fn d� �Zfn d�: (4.8)
Como la sucesión (An) es monótona creciente y su unión es X; por los lemas 39 b) y 12 a),se sigue que Z
' d� = l��mn!1
ZAn
' d�:
Haciendo que n!1 en la ecuación (4.8) se tiene que
�
Z' d� � l��m
n!1
Zfn d�:
43
Como esto se cumple para todo � con 0 < � < 1; haciendo �! 1� obtenemos queZ' d� � l��m
n!1
Zfn d�:
Como ' es una función simple arbitraria en M+ que cumple 0 � ' � f; resultaZf d� = sup
'
Z' d� � l��m
n!1
Zfn d�:
Combinando ambas desigualdades obtenidas, se tiene la fórmula (4.7)�Obsérvese que no se está suponiendo que el lado derecho de (4.7) es �nito.
Corolario 43 a) Si f 2M+; y c � 0; entonces cf 2M+; yZcf d� = c
Zf d�:
b) Si f; g 2M+ y Z(f + g) d� =
Zf d�+
Zg d�:
Demostración. a) Si c = 0; el resultado es inmediato. Si c > 0; sea ('n) una sucesiónmonótona creciente de funciones simples en M+ que converge a f: Entonces (c'n) es unasucesión monótona de funciones simples en M+ que converge a cf: Si aplicamos el Teoremade Convergencia Monótona, y el Lema (39) a) se tieneZ
cf d� = l��mn!1
Zc'n d�
= c l��mn!1
Z'n d� = c
Zf d�:
b) Si ('n) y ( n) son sucesiones crecientes de funciónes simples que convergen a f yg; respectivamente, entonces ('n + n) es una sucesión creciente de funciones simples queconverge a f + g: Se sigue del Lema 39, a), y del Teorema de Convergencia Monótona queZ
(f + g) d� = l��mn!1
Z('n + n) d�
= l��mn!1
Z'n d�+ l��m
n!1
Z n d�
=
Zf d�+
Zg d�:
Esto termina la demostración.�
El siguiente resultado es muy importante , porque nos capacita para tratar con sucesionesde funciones que no son monótonas.
44
Lemma 4 (Lema de Fatou). Si (fn) �M+(X;A); entoncesZ �l��m infn!1
fn
�d� � l��m inf
n!1
Zfn d�: (4.9)
Demostración. Sea gm =��nf ffm; fm+1; :::g de modo que gm � fn; si m � n: EntoncesZgm d� �
Zfn d�; m � n;
de modo que Zgm d� � l��m inf
n!1
Zfn d�:
Como la sucesión (gm) es creciente, y converge a l��m inf fn; el Teorema de ConvergenciaMonótona implica que Z �
l��m infn!1
fn
�d� � l��m inf
n!1
Zfn d�:
�Se puede demostrar que la conclusión del Lema de Fatou es falsa si omitimos la condición
de que fn � 0:
Corolario 44 Si f 2M+ y si � está de�nida en A por
� (E) =
ZE
f d�; (4.10)
entonces � es una medida en A:
Demostración. Como f � 0; se sigue que � (E) � 0: Si E = ;; entonces f�E se anula entodas partes, y así, � (;) = 0: Para ver que � es contablemente aditiva, sea (En) una sucesiónde conjuntos ajenos dos a dos en X y sea E su unión, y sea fn la función dada por
fn =nXk=1
f�En :
Se sigue del corolario 43 b) en inducción queZfn d� =
nXk=1
Zf�Ek d� =
nXk=1
�(Ek):
Como (fn) es una sucesión creciente enM+ que converge a f�E; el Teorema de ConvergenciaMonótona implica que
� (E) =
Zf�E d� = l��m
n!1
Zfn d� =
1Xk=1
� (En) :�
45
Corolario 45 Supóngase que f 2 M+: Entonces f(x) = 0 en �-casi todo punto si, y sólosi, Z
f d� = 0: (4.11)
Demostración. Si la ecuación (4.11) es válida, hagamos
En =
�x 2 X : f(x) >
1
n
�;
de manera que f � (1=n)�En ; de donde
0 =
Zf d� � 1
n�(En) � 0:
Se sigue que � (En) = 0; por lo tanto el conjunto
fx 2 E : f(x) > 0g =1[n=1
En
tiene medida cero.Recíprocamente, sea f(x) = 0 en �-casi todo punto. Si
E = fx 2 X : f(x) > 0g ;
entonces �(E) = 0: Sea fn = n�E: Como f � l��m inf fn; se sigue del Lema de Fatou que
0 �Zf d� � l��m inf
Zfn d� = 0:
�
Corolario 46 Supóngase que f 2 M+; y defínase � en A como en la ecuación (4.10).Entonces � es absolutamente continua respecto de �; es decir, si E 2 A y �(E) = 0;entonces � (E) = 0:
Demostración. Si � (E) = 0 para algún E 2 A; entonces f�E se anula en todas partes.Por el corolario (45) se tiene que
� (E) =
Zf�E d� = 0
�:A continuación veremos que el teorema de convergencia monótona es válido si la conver-
gencia en todas partes se reemplaza por convergencia en casi todas partes.
46
Corolario 47 Si (fn) es una sucesión monótona creciente de funciones medibles en M+; yla cual converge en casi todas partes en X a una función f en M+; entoncesZ
f d� = l��mn!1
Zfn d�:
Demostración. Sea N 2 A tal que �(N) = 0; y que (fn) converge a f en cada puntode M = XnM . Entonces (fn�M) converge en todo X a f�M ; de modo que el Teorema deConvergencia Monótona implica queZ
f�M d� = l��mn!1
Zfn�M d�:
Como � (N) = 0; las funciones f�N y fn�N se anulan en �casi todo punto. Se sigue delCorolario (45) que Z
f�N d� = 0;
Zfn�N d� = 0:
Como f = f�M + f�N y fn = fn�M + fn�N ; se sigue queZf d� =
Zf�M d� = l��m
n!1
Zfn�M = l��m
n!1
Zfn d�:
�
Corolario 48 Sea (gn) una sucesión en M+: EntoncesZ 1Xn=1
gn
!d� =
1Xn=1
�Zgn d�
�:
Demostración. Sea fn = g1 + g2 + � � � + gn; y aplíquese el Teorema de ConvergenciaMonótona.�
47
48
Capítulo 5
El teorema de convergencia dominaday sus aplicaciones
5.1. Introducción
En el capítulo anterior de�nimos la integral de una función en M+ = M+ (X;A) conrespecto a una medida � y permitimos que el valor de la integral fuera1: En esta capítulo sediscutira la integración de funciones medibles que pueden tomar valores positivos y negativos.Aquí es mas conveniente restringirnos a funciones y a integrales que toman valores reales�nitos.
5.2. Funciones integrables
De�nición 49 De�nimos el conjunto L = L(X;A; �) como el conjunto de funciones _f :X ! R medibles tales que la parte positiva y negativa f+; f� de f tienen integrales �nitasrespecto de �: En este caso de�nimos la integral de f con respecto de � comoZ
f d� =
Zf+ d��
Zf�d�: (5.1)
Si E 2 A, de�nimos ZE
f d� =
ZE
f+d��ZE
f�d�:
Aunque la integral de f de�nida como la diferencia de f+ y f�; es fácil ver que sif = f1 � f2; donde f1; f2 son funciones no negativas, entoncesZ
f d� =
Zf1 d��
Zf2 d�:
49
En efecto, como f+�f� = f1�f2; se sigue que f++f2 = f1+f�: Si aplicamos el Corolario
43 b) se tiene que Zf+ d�+
Zf2 d� =
Zf1 d�+
Zf�d�:
Como todos los términos son �nitos obtenemosZf d� =
Zf+d��
Zf� d� =
Zf1 d��
Zf2 d�:
Lema 50 Si f 2 L; y � está de�nida en A por
� (E) =
ZE
f d�; (5.2)
entonces � es una carga.
Demostración. Como f+ y f� están en M+; el corolario 44 implica que las funciones �+
y ��; de�nidas en A por
�+ (E) =
ZE
f+ d�; �� (E) =
ZE
f� d�;
son medidas en A; son �nitas porque f 2 L: Como � = �+ � ��; se sigue que � es unacarga.�
A la función � de�nida en (5.2) se le denomina frecuentemente la integral inde�nidade f (con respecto de �). Como � es una carga, si (En) es una sucesión de conjuntos en A,con unión E; entonces Z
E
f d� =1Xn=1
ZEn
f d�:
Nos referiremos a esta fórmula diciendo que la integral inde�nida de una función en L escontablemente aditiva.El siguiente resultado es denominado la propiedad de integrabilidad absoluta de la integral
de Lebesgue.
Teorema 51 Una función medible f pertenece a L si, y sólo si, jf j pertenece a L: En estecaso, ����Z f d�
���� � Z jf j d�: (5.3)
50
Demostración. Por de�nición, f 2 L si, y sólo si, f+; f� 2 M+; y tienen integrales�nitas. Como jf j+ = jf j = f+ + f�; y jf j� = 0; entonces jf j 2 L: Recíprocamente, sijf j 2 L; entonces 0 � f+ � jf j ; y 0 � f� � jf j ; se sigue que f+; f� son integrables, y porlo tanto f = f+ � f� también es integrable. Más aún,����Z f d�
���� =
����Z f+ d��Zf� d�
�����
Zf+ d�+
Zf� d� =
Zjf j d�:
�
Corolario 52 Si f es medible, g es integrable, y jf j � jgj ; entonces f es integrable, yZjf j d� �
Zjgj d�:
Demostración. Esto se sigue del Lema 41 a) y del teorema anterior.�
Teorema 53 Si f; g 2 L; entonces f + g y cf están en L; para todo c 2 R; y ademásZcf d� = c
Zf d�;
Z(f + g) d� =
Zf d�+
Zg d�:
Demostración. Si c = 0; entonces cf se anula en todas partes, de modo queZcf d� = 0 = c
Zf d�:
Si c > 0; entonces (cf)+ = cf+; y (cf�) = cf�; y de aquí,Zcf d� =
Zcf+ d��
Zcf� d�
= c
�Zf+ d��
Zf� d�
�= c
Zf d�:
Si c < 0; entonces (cf)+ = �cf�; (cf)� = �cf+: Argumentando de modo similar al casoanterior, se tiene el resultado.Si f y g están en L; entonces jf j y jgj están en L: Como jf + gj � jf j+ jgj ; se sigue que
f + g 2 L: Para establecer la relación deseada, observemos que
f + g =�f+ + g+
���f� + g�
�:
51
Como f+ + g+ y f� + g� son funciones no negativas, se sigue de la observación que vienedespués de la de�nición (49), queZ
(f + g) d� =
Z(f + g)+ d��
Z(f + g)� d�
=
Z �f+ + g+
�d��
Z �f� + g�
�d�
=
Zf+ d�+
Zg+ d��
Zf� d��
Zg� d�
=
�Zf+ d��
Zf� d�
�+
�Zg+ d��
Zg� d�
�=
Zf d�+
Zg d�:
�A continuación demostraremos el teorema de convergencia más importante para funciones
integrables.
Teorema 54 (Teorema de convergencia dominada de Lebesgue). Sea (fn) una sucesión defunciones integrables que convergen en casi todo punto a una función medible de valor realf: Supóngase que existe una función integrable g tal que jfnj � g para toda n; entonces f esintegrable y Z
f d� = l��mn!1
Zfn d�: (5.4)
Demostración. Rede�niendo las funciones fn; f en un conjunto de medida cero podemossuponer que la convergencia es en todo X: Se sigue del Corolario (52) que f es integrable.Como jfnj � g; se sigue que
�g � fn � g:
Como g + fn � 0; aplicamos el Lema de Fatou y el Teorema (53) para obtenerZg d�+
Zf d� =
Z(g + f) d� � l��m inf
Z(g + fn) d�
� l��m inf
�Zg d�+
Zfn d�
�Zg d�+ l��m inf
Zfn d�:
Por lo tanto se tiene que Zf d� � l��m inf
Zfn d�:
52
Para la desigualdad opuesta, como g � fn � 0; otra aplicación del Lema de Fatou y elTeorema (53) implicanZ
g d��Zf d� =
Z(g � f) d� � l��m inf
Z(g � fn) d�
=
Zg d�� l��m sup
Zfn d�;
y se sigue que
l��m sup
Zfn d� �
Zf d�:
Entonces Zf d� � l��m inf
Zfn d� � l��m sup
Zfn d� �
Zf d�:
Por lo tanto, Zf d� = l��m
n!1
Zfn d�:
�
5.3. Aplicaciones del Teorema de Convergencia Domi-nada de Lebesgue
Frecuentemente se necesita considerar integrales donde el integrando depende de unparámetro real. Mostraremos como el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesguepuede ser usado para estos �nes.Para el resto de este capítulo f denotará una función de�nida en X � [a; b] ; con valores
en R; y supondremos que la función x 7! f(x; t) es A-medible para cada t 2 [a; b] : Hipótesisadicionales se establecerán explicitamente.
Teorema 55 Supóngase que para algún t0 2 [a; b]
f(x; t0) = l��mt!t0
f(x; t)
para cada x 2 X; y que existe una función integrable g en X tal que jf(x; t)j � g(x); paratoda t 2 [a; b] : EntoncesZ
X
f (x; t0) d�(x) = l��mt!t0
ZX
f (x; t) d�(x):
53
Demostración. Sea (tn) una sucesión en [a; b] que converge a t0; y de�nimos la sucesión(fn) como fn(x) = f(x; tn): Se tiene que
l��mn!1
fn(x) = l��mn!1
f(x; tn) = f(x; t0):
Como jfn(x)j = jf(x; tn)j � g(x); por el Teorema de Convergencia Dominada se tiene queZX
f(x:t0) d�(x) = l��mn!1
ZX
fn(x) d�(x) = l��mn!1
ZX
f(x; tn) d�:
Como esto es cierto para toda sucesión (tn) que converge a t0; se sigue queZX
f(x; t0) d�(x) = l��mt!t0
ZX
f(x; t) d�(x):
�
Corolario 56 Si la función t 7! f(x; t) es continua en [a; b] para cada x 2 X; y existe unafunción integrable g tal que jf(x; t)j � g(x); para toda t 2 [a; b] ; x 2 X: Entonces la funciónF de�nida como
F (t) =
ZX
f(x; t) d�(x) (5.5)
es continua en [a; b] :
Demostración. Esta es una consecuencia inmediata del corolario anterior.�
Teorema 57 Supóngase que para algún t0 2 [a; b] la función x 7! f(x; t0) es integrable enX; que @f=@t existe en X � [a; b] ; y que existe una función integrable g en X tal que����@f(x; t)@t
���� � g(x); para toda x 2 X; y toda t 2 [a; b] :
Entonces la función F de�nida por la ecuación (5.5) es diferenciable en [a; b] y
dF (t)
dt=
d
dt
ZX
f(x; t) d� (x) =
ZX
@f(x; t)
@td�(x):
Demostración. Sea t un punto cualquiera de [a; b] : Sea (tn) una sucesión en [a; b] queconverge a t; con tn 6= t: Como
@f(x; t)
@t= l��m
n!1
f(x; tn)� f(x; t)
tn � t; x 2 X;
la función x 7! (@f=@t)(x; t) es medible.
54
Si x 2 X; t 2 [a; b] ; podemos aplicar el teorema del valor medio, para concluir que existeun número s1 entre t0 y t tal que
f(x; t)� f(x; t0) = (t� t0)@f(x; s1)
@t:
Por lo tanto tenemos que
jf(x; t)j � jf(x; t0j+ jt� t0j����@f(x; s1)@t
����� jf(x; t0j+ jt� t0j g(x);
lo cual muestra que la función x 7! f(x; t) es integrable para cada t 2 [a; b] : Así, si tn 6= t;
F (tn)� F (t)
tn � t=
ZX
f(x; tn)� f(x; t)
tn � td�(x):
Si de�nimos la sucesión de funciones (fn) como
fn(x) =f(x; tn)� f(x; t)
tn � t;
las hipótesis demuestran que cada fn es integrable, y por el teorema del valor medio existeun sn entre tn y t tal que
jfn(x)j =����@f(x; sn)@t
���� � g(x):
Como@f(x; t)
@t= l��m
n!1fn(x);
el Teorema de Convergencia Dominada implica queZX
@f(x; t)
@td�(x) = l��m
n!1
ZX
fn(x) d�(x)
= l��mn!1
ZX
f(x; tn)� f(x; t)
tn � td�(x)
= l��mn!1
F (tn)� F (t)
tn � t:
Como esto se cumple para toda sucesión (tn) que converge a t; con tn 6= t; se sigue que
F 0(t) = l��ms!t
F (s)� F (t)
s� t=
ZX
@f(x; t)
@td�(x):
�
55
Teorema 58 Bajo las hipótesis del corolario 56,Z b
a
F (t)dt =
Z b
a
�ZX
f(x; t) d�(x)
�dt =
ZX
�Z b
a
f(x; t)dt
�d�(x):
Demostración. Recordemos que si ' es continua en [a; b] ; entonces
d
dt
Z t
a
'(s) ds = '(t); a � t � b:
Sea h la función de�nida en X � [a; b] como
h(x; t) =
Z t
a
f(x; s) ds:
Se sigue que (@h=@t) (x; t) = f(x; t): Como esta integral de Riemann existe, es el límite deuna sucesión de sumas de Riemann, y por lo tanto la función x 7! h(x; t) es medible paracada t: Más aún, como jf(x; t)j � g(x); deducimos que jh(x; t)j � g(x)(b� a); de modo quela función x 7! h(x; t) es integrable para cada t 2 [a; b] : Sea H la función de�nida como
H(t) =
ZX
h(x; t) d�(x):
Se sigue del Corolario 57 que
dH(t)
dt=
ZX
@h(x; t)
@td�(x) =
ZX
f(x; t) d�(x) = F (t):
Entonces tenemos Z b
a
F (t) dt = H(b)�H(a)
=
ZX
[h(x; b)� h(x; a)] d�(x)
=
ZX
�Z b
a
f(x; t) dt
�d�(x):
Esto termina la demostración.�
5.4. El conjunto de Cantor
Uno de los objetivos de la teoría de la medida e integración es el estudio de conjuntos yfunciones mas irregulares que los que pueden estudiarse con métodos mas elementales. En
56
lo que sigue estudiaremos conjuntos y funciones medibles que están adaptados a esta teoría,sin ser triviales. De aquí en adelante � denota a la medida de Lebesgue en R:El conjunto de Cantor se de�ne como una sucesión de conjuntos (Cn) � R de�nidos como
sigue: C0 = [0; 1] ; y C1 se de�ne removiendo el tercio medio�13; 23
�del intervalo [0; 1] : En
general, Cn está formado por 2n intervalos de longitud 3�n; y Cn+1 se forma a partir de Cneliminando los tercios medios de cada intervalo, y así, Cn+1 está formado por 2n+1 intervalosde longitud 3�(n+1).El conjunto de Cantor se de�ne como C = \1n=1Cn: La medida de C es
� (C) = l��mn!1
� (Cn) = l��mn!1
�2
3
�n= 0:
Cada elemento de Cn puede describirse como el conjunto de números reales de la formax =
P1j=1 3
�j"j; donde cada "j es 0; 1; 2; y "j 6= 1; para toda j � n: Por lo tanto, C es elconjunto de números reales de la forma
P1j=1 3
�j"j; donde "j es 0 o 2; es decir, el conjuntode números en [0; 1] cuya representación ternaria no tienen 1�s. La expresión dada de estaforma es única, y si denotamos por f0; 1gN al conjunto de sucesiones de ceros y unos, existeuna biyección � : f0; 1gN ! C; de�nida como
� (z) =2
3
1Xj=0
3�jz (j) ;
para cada z = (z (j))1j=1 2 f0; 1gN :
5.5. La función de Cantor (opcional)
Consideremos ahora la siguiente sucesión de funciones: sea n 2 N; y sea fn la funcióndada por
fn (x) =
�3
2
�n� (Cn \ [0; x])
57
Como Cn es una unión �nita de 2n imtervalos ajenos, fn es una función poligonal confn (0) = 0; fn (1) = 1; fn es constante en cada uno de los 2n � 1 intervalos de [0; 1] n Cn ycrece linealmente con pendiente
�32
�nen cada intervalo de Cn:
Si el j-ésimo intervalo de Cn contando a partir de la izquierda es [an;j; bn;j] ; entoncesfn (an;j) = 2�n (j � 1) ; fn (bn;j) = 2�nj: También, anj = an+1;2j�1; bn;j = bn+1;2j�1: Por lotanto, fn+1 (an;j) = fn (an:j) y fn+1 (bn;j) = fn (bn;j) ; y fn+1 coincide con fn en todos losextremos de los intervalos de Cn y por lo tanto en [0; 1] n Cn:Dentro de cualquier intervalo particular [an;j; bn;j] de Cn; la máxima diferencia entre fn (x)
y fn+1 (x) es la que hay en los nuevos puntos extremos entre los intervalos, es decir, bn+1;2j�1y an+1;2j; y la magnitud de esa diferencia es 1
62�n (porque, por ejemplo, fn (bn+1;2j�1) =
23fn (an;j) +
13fn (bn;j) ; mientras que fn+1 (bn+1;2j�1) = 1
2fn (an;j) +
12fn (bn;j)). Por lo tanto
se tiene jfn+1 (x)� fn (x)j � 162�n para todo n 2 N, x 2 [0; 1] : Como
P1n=0
162�n converge,
por la prueba M de Weierstrass, la sucesión (fn) converge uniformemente a ua funciónf : [0; 1] ! [0; 1] ; y f será continua en todo [0; 1] : A la función f se le llama la función deCantor, o la escalera del Diablo.Como cada fn es no decreciente, también lo es f: Si x 2 [0; 1] n C; existe una n tal que
x 2 [0; 1]nCn; sea I el intervalo abierto de [0; 1]nCn que contiene a x: Entonces fm+1 coincideen I con fm para cadam � n; de modo que f coincide en I con fn; y f es constante en I: Así,en particular, la derivada f 0 (x) existe y es cero para cada x 2 [0; 1] n C; y esto implica quef 0 es cero en casi todo punto de [0; 1] : Desde luego, f (0) = 0 y f (1) = 1; porque fn (0) = 0y fn (1) = 1; para cada n 2 N: Esto implica, por el teorema de los valores intermedios, quef : [0; 1]! [0; 1] es suprayectiva.
Proposición 59 Sea � : f0; 1gN ! C la función descrita anteriormente en 5.4. Entoncesf (� (z)) = 1
2
P1j=0 2
�jz (j) para cada z 2 f0; 1gN :
Denostración. Sea z = (�0; �1; �2; :::) en f0; 1gN ; y para cada n 2 N sea In el intervalo
componente de Cn que contiene a � (z) : Entonces In+1 será el tercio izqierdo de In si �n = 0
58
y el tercio derecho si �n = 1: Tomando an como el extremo izquierdo de In vemos que
an+1 = an +2
33n�n; fn+1 (an+1) = fn (an) +
1
22�n�n
para cada n 2 N: Ahora,
� (z) = l��mn!1
an; f (� (z)) = l��mn!1
fn (an) =1
2
1Xj=0
2�j�j;
y esto demuestra el teorema.�En particular, f (C) = [0; 1] : En efecto, si x 2 [0; 1] ; x se puede expresar como
P1j=0 2
�j�1z (j) =
f (� (z)) ; para algún z 2 f0; 1gN :
5.6. La función modi�cada de Cantor (opcional)
Aquí continuaremos el argumento establecido en la sección anterior. Considérese la fun-ción
g (x) =1
2(x+ f (x)) ;
donde f es la función de Cantor de la sección anterior. La función g : [0; 1] ! [0; 1] escontinua y estrictamente creciente (porque f es no decreciente), y g (0) = 0; g (1) = 1:Consecuentemente, por el teorema de los valores intermedios, g es biyectiva y la inversag�1 : [0; 1]! [0; 1] es continua.Ahora, g (C) es un conjunto cerrado y � (g (C)) = 1
2: En efecto, como g es una biyección,
[0; 1] n g (C) = g ([0; 1] n C) : Para cada uno de los intervalos In;j = (bn;j; an;j+1) que formana [0; 1] n Cn; obsérvese que g (In;j) = (g (bn;j) ; g (an;j+1)) tiene la longitud de la mitad de la
59
longitud de In;j: Por lo tanto g ([0; 1] n C) = [1n=1; 1�j<2ng (In;j) es abierto, y
� (g ([0; 1] n Cn)) =
2n�1Xj=1
(g (an;j+1)� g (bn;j)) =1
2
2n�1Xj=1
(an;j+1 � bn;j)
=1
2� ([0; 1] n Cn) =
1
2
�1�
�2
3
�n�:
Como ([0; 1] n Cn)1n=1 es una sucesión creciente de conjuntos cuya unión es [0; 1] n C;
� (g ([0; 1] n C)) = l��mn!1
� (g ([0; 1] n Cn)) =1
2:
Así, g (C) = [0; 1] n g ([0; 1] n C) es cerrado, y � (g (C)) = 12:
Por (134D), existe un conjunto D � R tal que
�� (g (C) \D) = �� (g (C) nD) = � (g (C)) =1
2:
Sea A = g (C) \D: Desde luego, A no puede ser medible, porque �� (A) + �� (g (C) n A) >� (g (C)) : Sin embargo, g�1 (A) � C debe ser medible, porque �� (C) = 0: Esto implica quesi de�nimos h = �g�1(A) : [0; 1]! R, entonces h es medible, pero h�g�1 = �A no es medible.Entonces la composición de una función medible con una función continua no es medible, engeneral. Como contraste, si h es continua y k es medible, entonces h � k es medible.
5.7. Integral de Riemann. Comparación con la integralde Lebesgue
Hasta este momento no se ha hablado de la integral de Riemann. Sin embargo, si se hatrabajado antes con la teoría básica de la integral de Riemann, es deseable conectar dichateoría con el material que estamos estudiando aquí. Esto es porque no se quiere sentir que lalabor realizada sea una pérdida, y también porque a estas alturas se ha desarrollado ciertashabilidades e intuición, lo cual continuará siendo valioso, si lo adaptamos apropiadamenteal nuevo contexto. En esta sección se analizará brevemente la relación entre los métodos deintegración de Riemann y Lebesgue en la recta real.Si [a; b] es un intervalo no trivial en R, de�nimos una partición de [a; b] con una colección
�nita P = fa0; a1; :::; ang de puntos en [a; b], con n � 1; tal que a0 � a1 � a2 � � � � � an = b:Sea f : [a; b]! R una función acotada en [a; b] ; y sea
mi = ��nf ff (x) : x 2 [ai�1; ai]g ;Mi = sup ff (x) : x 2 [ai�1; ai]g :
60
De�nimos la suma inferior y suma superior de f como
L(f; P ) = sP (f) =nXi=1
mi (ai � ai�1) ;
U(f; P ) = SP (f) =
nXi=1
Mi (ai � ai�1) :
Se puede demostrar que si P y P 0 son dos particiones de [a; b] ; entonces sP (f) � SP 0 (f) :De�nimos la integral inferior de Riemann y la integral superior de Riemann como
L[a;b] (f) = sup fL(f; P ) : P es una partición de [a; b]gU[a;b] (f) = ��nf fU(f; P ) : P es una partición de [a; b]g :
Se puede ver que L[a;b] (f) � U[a;b] (f) : Decimos que f es Riemann integrable si U[a;b] (f) =L[a;b] (f) ; y en este caso se de�ne la integral de f en [a; b] comoZ b
a
f = U[a;b] (f) = L[a;b] (f) :
Teorema 60 Si f : [a; b] ! R es Riemann integrable, entonces es Lebesgue integrable, conla misma integral.
Demostración. Sea P = fa0; a1; :::; ang una partición de [a; b] : De�nimos gP : [a; b] ! Rcomo
gP (x) = ��nf ff (y) : y 2 [ai�1; ai]g ; si ai�1 < x < ai; gD (ai) = f (ai) ; para cada i;
hP (x) = sup ff (y) : y 2 [ai�1; ai]g ; si ai�1 < x < ai; hD (ai) = f (ai) ; para cada i:
Entonces gP y hP son constantes en cada intervalo (ai�1; ai) ; y esto implica que los conjuntosfx : gP (x) � �g ; fx : hP (x) � �g son una unión �nita de intervalos, para cada � 2 R: Porlo tanto las funciones gD y hD son medibles. Además,Z
gDd� = sD (f) ;
ZhDd� = SD (f) :
Existe una sucesión (Dn) de particiones de [a; b] tal que Dn � Dn+1 y max1�i�n (ai � ai�1)
tiende a cero si n!1; de manera que SDn y sDn convergen aR baf (x) dx (usaremos
Rf (x) dx
para denotar a la integral de Riemann yRfd� para denotar a la integral de Lebesgue). Así,
(gDn) es una sucesión creciente de funciones, (hDn) es una sucesión decreciente de funciones.Sea g = l��m gDn ; y h = l��mhDn : Entonces g � f � h; y por el teorema de convergenciadominada, Z
gd� = l��mn!1
ZgDn =
Z b
a
f (x) dx = l��mn!1
ZhDnd� =
Zhd�:
61
En particular,R(h� g) d� = 0; y (h� g) � 0 en casi todo punto. Esto implica que h�g = 0
en casi todo punto, es decir, g = h en casi todo punto. Se sigue que f = h en casi todo punto.Como h es límite de una sucesión de funciones simples, h es medible, y así, f es medible.Finalmente, Z
[a;b]
fd� =
Z[a;b]
hd� =
Z b
a
f (x) dx:
�
Teorema 61 Sea a < b: Sea f : [a; b] ! R una función acotada. Entonces f es Riemannintegrable en [a; b] si, y sólo si, el conjunto de discontinuidades de f en [a; b] tiene medidacero.
Demostración. Supóngase que f es Riemann integrable en [a; b] : Para cada x 2 [a; b] ; sea
g(x) = sup�>0
���nf
y2[a;b]; jy�xj��f (y)
�h(x) = ��nf
�>0
(sup
y2[a;b]; jy�xj��f (y)
)
Se deja como ejercicio probar que f es continua en x si, y sólo si, g(x) = h(x): Se tieneg � f � h; de modo que si D es una partición de [a; b] entonces SD (g) � SD (f) � SD (h) ;y sD (g) � sD (f) � sD (h) : Pero de hecho SD (f) = SD (h) ; y sD (g) = sD (f) ; porque encualquier intervalo abierto (c; d) � [a; b] se cumple que
��nfx2(c;d)
g(x) = ��nfx2(c;d)
f(x); supx2(c;d)
f(x) = supx2(c;d)
h (x)
Se sigue que
L[a;b] (f) = L[a;b] (g) � U[a;b] (g) � U[a;b] (f) ;
L[a;b] (f) � L[a;b] (h) � U[a;b] (h) = U[a;b] (f) :
Como f es Riemann integrable, g y h son Riemann integrable, con integrales iguales aR baf (x) dx: Entonces g y h son Lebesgue integrables con la misma integral. Pero g � h; y
esto implica que g = h en casi todo punto. Como f es continua en cada punto donde g y hcoinciden, entonces f es continua en casi todo punto de [a; b] :Recíprocamente, supóngase que f es continua en casi todo punto de [a; b] : Para cada
n 2 N sea Dn la partición de [a; b] en 2n partes iguales. Sea
hn (x) = supy2(c;d)
f (y) ; gn (x) = ��nfy2(c;d)
f (y) ;
62
si (c; d) es un intervalo abierto de Dn que contiene a x; y para �jar ideas, de�nimos hn (x) =gn (x) = f(x) si x es uno de los puntos de Dn: Entonces (gn) es una sucesión creciente, y(hn) es una sucesión decreciente de funciones, cada función constante en cada intervalo deuna familia de intervalos que cubre [a; b] : También, sDn (f) =
Rgnd�; SDn (f) =
Rhnd�:
Además,
l��mn!1
gn (x) = l��mn!1
hn (x) = f (x)
en cada punto x donde f es continua. Así, f = l��m gn = l��mhn; en casi todo punto. Porel teorema de convergencia dominada de Lebesgue, l��m
Rgnd� =
Rfd� = l��m
Rhnd�: Pero
esto implica que
L[a;b] (f) �Zfd� � U[a;b] (f) ;
y al tener L[a;b] (f) � U[a;b] (f) ; esto implica que las tres cantidades son iguales, y por lotanto, f es Riemann integrable en [a; b] :�
63
64
Capítulo 6
Los espacios de Lebesgue Lp
6.1. Introducción
De�niremos a continuación unos espacios de funciones de mucha importancia en Análisis.Se utilizan en la teoría de operadores, Ecuaciones diferenciales parciales, Probabilidad, y enmuchas otras ramas de las Matemáticas.
6.2. Espacios normados. El espacios L1
De�nición 62 Sea V un espacio vectorial (real o complejo). Una función N : V ! R sellama una norma para V si satisface las siguientes propiedades:i) N(v) � 0 para todo v 2 V:ii) N(v) = 0 si, y sólo si, v = 0:iii) N(�v) = j�jN(v) (en el caso de que el espacio V sea complejo, j�j representa el módulodel número complejo �:iv) N(u+ v) � N(u) +N(v):
Si la condición ii) la función N se le llama una seminorma en V o una seudonorma en V:Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial con una norma de�nida en él.
Ejemplo 63 El espacio vectorial
Rn = f(x1; x2; :::; xn) : x1; x2; :::; xn 2 Rg
es un espacio vectorial normado, si de�nimos las normas
N1(x1; x2; :::; xn) = jx1j+ jx2j+ � � �+ jxnjNp(x1; x2; :::; xn) = (jx1jp + jx2jp + � � �+ jxnjp)1=p
N1(x1; x2; :::; xn) = sup fjx1j ; jx2j ; :::; jxnjg :
65
Es fácil ver que N1 y N1 son normas en Rn: Que Np es una norma lo demostraremos masadelante.
Ejemplo 64 El espacio vectorial `1 de todas las sucesiones reales u = (un) tales queN1(u) =Pjunj <1: Fácilmente se puede probar que es una norma en `1: Similarmente, si 1 � p <
1; el espacio de sucesiones `p de todas las sucesiones reales u = (un) tales que Np(u) =(Pjunjp)1=p <1 es un espacio normado bajo Np:
Ejemplo 65 El conjunto B(X) de todas las funciones reales acotadas de�nidas en X es unespacio normado con la norma
N(f) = sup fjf(x)j : x 2 Xg :
De�nición 66 Sea (X;A; �) un espacio de medida. Si f 2 L(X;A; �) de�nimos N�(f) =Rjf j d�: Se demostrará que N� es una seminorma en L(X;A; �):
Lema 67 El espacio L(X;A; �) es un espacio vectorial bajo la suma usual de funciones yproducto de una constante por una función, y N� es una seminorma en L(X;A; �):Más aún,N�(f) = 0 si, y sólo si, f = 0 en �-casi todas partes.
Demostración. Ejercicio.�
Para convertir a L(X;A; �) en un espacio normado, identi�caremos dos funciones queson iguales en �-casi todas partes, es decir, usaremos clases de equivalencia de funciones enlugar de funciones.
De�nición 68 Dos funciones en L(X;A; �) = L son �-equivalentes si son iguales en �-casi todo punto. La clase de equivalencia determinada por f , denotada por [f ] ; consisteen el conjunto de funciones en L que son �-equivalentes a f: El espacio de Lebesgue L1 =L1(X;A; �) consiste de todas las �-clases de equivalencia en L: Si [f ] 2 L1; de�nimos sunorma como
k[f ]k1 =Zjf j d�: (6.1)
Teorema 69 El espacio de Lebesgue L1(X;A; �) es un espacio normado.
Demostración. Se entiende que las operaciones en L1 se de�nen como
� [f ] = [�f ] ; [f ] + [g] = [f + g] ;
y que el elemento cero en L1 es [0] : Claramente, k[f ]k1 � 0; y k[0]k1 = 0: Más aún, sik[f ]k1 = 0 entonces Z
jf j d� = 0;
66
y esto implica que f = 0 en �-casi todo punto, y de aquí, [f ] = 0: Las otras propiedades dela norma se veri�can fácilmente.�
Es conveniente, y además se acostumbra, considerar a los elementos de L1 como funciones,y asi lo haremos de aquí en adelante, conviniendo que f = g si ellas coinciden en �-casi todopunto, y pondremos f 2 L1 y kfk1 en lugar de k[f ]k1 :
6.3. Los espacios Lp; 1 � p < +1:
De�nición 70 Si 1 � p <1; el espacio Lp = Lp(X;A; �) consiste en el conjunto de todasla �-clases de equivalencia de funciones reales medibles para las cuales jf jp es integrablerespecto de � sobre X: Dos funciones son �-equivalentes si ellas son iguales en �-casi todopunto. De�nimos
kfkp =�Z
jf jp d��1=p
:
Si p = 1; esto se reduce a la norma introducida previamente para el espacio L1 de clases deequivalencia de funciones integrables.Tambien de�nimos L1 = L1(X;A; �) como el conjunto de funciones medibles f : X ! Rtales que existe un K � 0 tal que jf(x)j � K; para casi todo x 2 X: Es decir,
� fx 2 X : jf(x)j > Kg = 0:
De�nimos en este caso el supremo esencial de f como
esssup (f) = ��nf fK � 0 : jf(x)j � K para casi todo punto en Xg
De�nimos para f 2 L1 la norma
kfk1 = esssup(f):
Para probar que k�kp ; 1 � p < 1; es una norma, necesitamos demostrar algunas de-sigualdades preliminares.
Teorema 71 (Desigualdad de Young). Si a; b > 0; y p; q > 1 son números tales que (1=p) +(1=q) = 1: Entonces
ab � ap
p+bq
q:
Demostración. Sea � un número real con 0 < � < 1; y considérese la función ' de�nidapara t � 0 como ' (t) = �t� t�: Es fácil ver que '0(t) < 0; para 0 < t < 1 y '0(t) > 0 parat > 1: Se sigue del teorema del valor medio que '(t) � '(1) y que '(t) = '(1) si, y sólo si,t = 1: Por lo tanto se tiene
�t� t� � �� 1; t > 0
67
ot� � �t+ (1� �) ; t > 0:
Si A;B � 0;t entonces ponemos t = A=B: Queda
A�
B�� �
A
B+ (1� �)
y multiplicando por BA�B1�� � �A+ (1� �)B;
y la igualdad se da si, y sólo si, A = B:Ahora, sea p > 1; y sea 1=p+ 1=q = 1: Ponemos � = 1=p; y 1� � = 1=q; y queda
A1=pB1=q � A
p+B
q:
Si a:b � 0; de�nimos a = A1=p; b = B1=q; y sustituyendo en la ecuación queda
ab � ap
p+bq
q:
y la igualdad se da si ap = bq: La fórmula queda demostrada.�
Teorema 72 Desigualdad de Hölder. Sea p; q > 1; y 1p+ 1q= 1: Si f 2 Lp; y g 2 Lq entonces
fg 2 L1; ykfgk1 � kfkp kgkq :
Demostración. Sean f 2 Lp; g 2 Lq; y supóngase que kfkp 6= 0; kgkq 6= 0 (si una de ellases cero, entonces la función correspondiente es cero en casi todo punto, y fg = 0 en casi todopunto, de modo que la desigualdad es trivialmente válida). Poniendo
A =jf(x)jkfkp
; B =jg(x)jkgkq
en la desigualdad de Young, queda
jf(x)g(x)jkfkp kgkq
� jf(x)jp
p kfkpp+jg(x)jq
q kgkqq:
Integrando sobre X queda
kfgk1kfkp kgkq
�kfkppp kfkpp
+kgkqqq kgkqq
=1
p+1
q= 1;
68
y quitando denominadores,kfgk1 � kfkp kgkq ;
y ya está.�
A la pareja de números p; q > 1; tales que 1=p+ 1=q = 1 se les llama índices conjugados.Obsérvese que p = 2 es el único índice que es conjugado de sí mismo. Entonces el productode dos funciones en L2 es integrable.
Corolario 73 (Desigualdad de Cauchy-Bunyakowsi-Schwarz) Si f:g 2 L2 entonces fg esintegrable y ����Z fg d�
���� � kfkp kgkq :Teorema 74 (Desigualdad de Minkowski). Si f; g 2 Lp; con p � 1; entonces f + g 2 Lp; y
kf + gkp � kfkp + kgkp :
Demostración. El caso p = 1 ya se trató antes. Si p > 1; obsérvese que
jf + gjp � (2m�ax (jf j ; jgj))p = 2pm�ax (jf jp ; jgjp)� 2p (jf jp + jgjp) ;
y así. f + g 2 Lp: Empezamos poniendo
jf + gjp � jf + gj jf + gjp�1 (6.2)
� (jf j+ jgj) jf + gjp�1 � jf j jf + gjp�1 + jgj jf + gjp�1 :
Aplicando la desigualdad de Hölder al primer término de la derecha,Zjf j jf + gjp�1 d� � kfkp
(f + g)p�1 q
= kfkp�Z
jf + gj(p�1)q d��1=q
= kfkp�Z
jf + gjp d��1=q
= kfkp kf + gkp=qp
ya que (p� 1)q = p: Razonando de modo similar con el segundo término se tieneZjgj jf + gjp�1 d� � kgkp kf + gkp=qp :
Integrando ambos lados de la ecuación (6.2) se tieneZjf + gjp d� �
�kfkp + kgkp
�kf + gkp=qp
69
okf + gkpp �
�kfkp + kgkp
�kf + gkp=qp
Pasando el segundo factor del lado derecho al lado izquierdo (suponiendo que kf + gkp 6= 0;ya que si es cero, la desigualdad de Minkowski es trivial), y notando que p�p=q = p(1�1=q) =p(1=p) = 1; queda
kf + gkp � kfkp + kgkp :Esto termina el teorema.�
Ahora veremos una propiedad que es fundamental en los espacios Lp: Necesitamos recor-dar algunos conceptos.
De�nición 75 Sea X un espacio métrico1. Decimos que una sucesión (xn) en X es unasucesión de Cauchy si para cada " > 0 existe un N natural tal que si m;n � N entoncesd (xn; xm) < ": Decimos que un espacio métrico X es completo si toda sucesión de Cauchyen X converge.
Se puede demostrar fácilmente que si (xn) es una sucesión convergente, entonces (xn) esde Cauchy. Entonces un espacio métrico es completo si, y sólo si, toda sucesión de Cauchyen X converge.
El teorema principal de este capítulo es el siguiente.
Teorema 76 Si 1 � p <1; entonces el espacio Lp es un espacio normado completo bajo lanorma
kfkp =�Z
X
jf jp d��1=p
:
Demostración. Ya se probó que Lp es un espacio vectorial normado. Falta probar que escompleto. Para esto, sea (fn) una sucesión de Cauchy en Lp: Por lo tanto, para cada " > 0;existe N natural tal que si m;n � N; entonces kfm � fnkp < "; es decir,Z
jfm(x)� fn(x)jp d� < "p: (6.3)
Existe una subsucesión gk = fnk tal que kgk+1 � gkk < 2�k; k 2 N: De�nimos g como
g(x) = jg1(x)j+1Xk=1
jgk+1(x)� gk(x)j : (6.4)
1Recordemos que un espacio métrico es un conjunto no vacío X y una función _d : X � X ! R talque i) d(x; y) � 0; para todo x; y 2 X:ii) d(x:y) = 0 si, y sólo si, x = y: iii) d(x; y) = d(y; x); y iv)d(x; y) � d(x; z) + d(z; y): A la función d se le llama distancia o métrica. Recordemos también que si unespacio vectorial V admite una norma k�k ; entonces podemos convertirlo en un espacio métrico de�niendod(x; y) = kx� yk ; para x; y 2 V:
70
Entonces g 2M+: Por el lema de Fatou, tenemos
kgkpp =
Zjgjp d� =
Zl��m inf
(jg1j+
1Xk=1
jgk+1 � gkj)p
d�
� l��m inf
Z (jg1j+
1Xk=1
jgk+1 � gkj)p
d�
= l��m inf
jg1j+1Xk=1
jgk+1 � gkj p
p
Sacamos raíz p-ésima de ambos lados de la ecuación, y utilizando la desigualdad de Minkows-ki, se tiene �Z
jgjp d��1=p
� l��m inf
(kg1kp +
1Xk=1
kgk+1 � gkkp
)� kg1kp + 1
Por lo tanto, si E = fx 2 X : g(x) <1g ; entonces E 2 A; y � (XnE) = 0: Se sigue que laserie en (6.4) converge en casi todo punto, y g�E 2 Lp:Ahora de�nimos f en X como
f(x) =
8><>: g1(x) +1Xk=1
fgk+1 (x)� gk (x)g ; x 2 E;
0; x =2 E:
Como jgkj �P1
j=k jgj+1(x)� gj(x)j � g(x) y la sucesión (gk) converge en casi todo puntoa f; el Teorema de Convergencia Dominada asegura que f 2 Lp: Ya que jf � gkjp � 2pgp;inferimos del Teorema de Convergencia Dominada que 0 = l��m kf � gkkp ; de modo que (gk)converge a f en Lp:En vista de (6.3), si m � N; y k es su�cientemente grandeZ
jfm � gkjp d� < "p;
y aplicando el Lema de Fatou respecto de k se tieneZjfm � f jp d� � l��m inf
k!1
Zjfm � gkjp d� � "p;
si m � N: Esto prueba que fn converge en la norma de Lp a f:
Nota: Un espacio normado completo es denominado un espacio de Banach. El teoremaanterior a�rma que el espacio Lp es un espacio de Banach bajo la norma k�k :
71
6.4. El espacio L1:
De�nimos el espacio L1 = L1(X;A; �) como el conjunto de funciones medibles f : X !R tales que existe un K � 0 tal que jf(x)j � K; para casi todo x 2 X: Es decir,
� fx 2 X : jf(x)j > Kg = 0:
De�nimos en este caso el supremo esencial de f como
esssup (f) = ��nf fK � 0 : jf(x)j � K para casi todo punto en Xg (6.5)
De�nimos para f 2 L1 la norma
kfk1 = esssup(f): (6.6)
A un elemento de L1 se le llama función esencialmente acotada.Se puede ver que si f 2 L1; entonces jf(x)j � kfk1 para casi todo x 2 X: Más aún,
si A < kfk1 ; entonces existe un conjunto E con medida positiva tal que jf(x)j � A; paratodo x 2 E: Es claro que la norma de�nida en (6.5) está bien de�nida en L1:
Teorema 77 El espacio L1 es un espacio normado completo bajo la norma dada en (6.6).
Demostración. Claramente L1 es un espacio vectorial. Obsérvese que kfk1 � 0; k0k1 =0; que k�fk = j�j kfk : Si kfk1 = 0; existe para cada k 2 N tal que � (Nk) = 0 tal quejf(x)j � 1=k; para x =2 Nk: Si ponemos N = [1k=1Nk; entonces N 2 A; � (N) = 0; yjf(x)j = 0 para x =2 N: Entonces f(x) = 0 para casi todo x 2 X:Si f; g 2 L1; existen conjuntos N1; N2 2 A tal que �(N1) = �(N2) = 0; y
jf(x)j � kfk1 para x =2 N1;jg(x)j � kgk1 para x =2 N2:
Por lo tanto jf(x) + g(x)j � kfk1+ kgk1 para toda x =2 N1[N2; de modo que kf + gk1 �kfk1 + kgk1 :Falta demostrar que L1 es completo. Sea (fn) una sucesión de Cauchy en L1; y sea M
un conjunto en A con �(M) = 0; tal que jfn(x)j � kfnk para x =2 M; n = 1; 2; ::: y tambiéntal que jfn(x)� fm(x)j � kfn � fmk1 para toda x =2 M; y n;m 2 N: Entonces la sucesión(fn) es uniformemente convergente en XnM; y si de�nimos
f(x) =
�l��m fn(x); x =2M
0; x 2M;
se sigue que f es medible, y fácilmente se ve que kfn � fk1 ! 0: Por lo tanto L1 escompleto. Esto termina la demostración.�
72
Capítulo 7
Diferentes tipos de convergencia
7.1. Introducción
En este capítulo estudiaremos brevemente diversos tipos de convergencia que son útilesen el análisis de los espacios Lp: También veremos interrelaciones entre los distintos tipos demedidas.En lo sucesivo consideraremos sólo funciones de valor real, de�nidas en un espacio �jo de
medida (X;A; �) : También, supondremos que p es un número que cumple 1 � p < +1; yaque el análisis para el caso p = 1 puede realizarse directamente, aunque por diferente vía,normalmente.
De�nición 78 La sucesión de funciones (fn) converge uniformemente a f si para cada" > 0 existe un numero natural N = N(") tal que, si n � N; entonces jfn(x)� f(x)j < ";para toda x 2 X:Decomos que la sucesión (fn) converge puntualmente a f si, dado x y para cada " > 0;existe un N = N("; x) natural tal que si n � N; entonces jfn(x)� f(x)j < ":Decimos que la sucesión (fn) converge en casi todo punto a f si existe un conjuntoM � X con � (M) = 0 tal que la sucesión (fn) converge puntualmente en XnM: Es decir,dado x 2 XnM y dado " > 0; existe un natural N = N("; x) tal que si n � N entoncesjfn(x)� f(x)j < ":
Se puede ver fácilmente que convergencia uniformemente implica convergencia puntual,que convergencia puntual implica convergencia en casi todo punto, y que las implicacionesrecíprocas no son válidas. Desde luego, si X tiene un número �nito de puntos, entoncesconvergencia puntual implica convergencia uniforme, y si el único conjunto de medida ceroes el conjunto vacío, entonces convergencia en casi todo punto implica convergencia puntual.
73
7.2. Convergencia en Lp:
Recordemos la de�nición de convergencia en Lp:
De�nición 79 Una sucesión (fn) en Lp = Lp (X;A; �) converge a f en Lp si para cada" > 0 existe un natural N = N(") tal que si n � N entonces
kfn � fkp =�Z
X
jfn � f jp d��1=p
< ":
En este caso decimos que la sucesión (fn) converge a f en media (de orden p)
De�nición 80 Decimos que una sucesión (fn) en Lp es de Cauchy en Lp si, para cada " > 0;existe un número natural N = N (") tal que si n;m � N entonces
kfn � fmkp =�Z
jfn � fmjp d��1=p
< ":
Demostramos en el capítulo anterior que si (fn) es de Cauchy en Lp; entonces existe unafunción f 2 Lp tal que (fn) converge a f en Lp:La relación entre la convergencia en Lp y otros tipos de convergencia no es tan clara.
Podemos tener que una sucesión (fn) en Lp converge uniformemente a una función f en Lp,pero esto no implica convergencia en Lp: Sin embargo, si � (X) <1; esto no puede pasar.
Teorema 81 Supóngase que � (X) <1; y que (fn) es una sucesión de funciones en Lp queconvergen uniformemente en X a f: Entonces f 2 Lp y la sucesión (fn) converge a f en Lp:
Demostración. Sea " > 0; y sea N un natural tal que si n � N; entonces jfn(x)� f(x)j <"; para toda x 2 X: Si n � N; se tiene
kfn � fkp =
�Zjfn(x)� f(x)jp d�
�1=p(7.1)
��Z
"p d�
�1=p= "� (X)1=p ;
y esto implica que fn� f 2 Lp: Por lo tanto f = fn� (fn� f) 2 Lp: Además, la desigualdadde arriba demuestra que (fn) converge a f en Lp:�
Puede ocurrir que para una sucesión (fn) en Lp ésta converge puntualmente (y por lotanto en casi todo punto) a una función f 2 Lp, pero que no converge en Lp; aún cuando� (X) <1:
74
Ejercicio 82 Sea
fn(x) = n�[1=n; 2=n](x) =
�n; si x 2 [1=n; 2=n]0; otro caso.
Demostrar que (fn) converge puntualmente en R a la función cero, pero que no converge enLp(R;B (R) ; �):
Sin embargo, cuando (fn) está dominada por una función g en Lp; entonces la conver-gencia en Lp se satisface.
Teorema 83 Sea (fn) una sucesión en Lp que converge en casi todo punto a una función fmedible. Si existe una función g 2 Lp tal que
jfn(x)j � g(x); 8x 2 X; 8n 2 N; (7.2)
entonces f 2 Lp y además (fn) converge a f en Lp:
Demostración. Por la desigualdad (7.2), se sigue que jf(x)j � g(x) en casi todo punto.Como g 2 Lp; se sigue que f 2 Lp: También,
jfn(x)� f(x)jp � [2g(x)]p ; en casi todo punto,
y como l��m jfn � f jp = 0 en casi todo punto, y 2pgp 2 L1; se sigue del teorema de convergenciadominada que
l��m
Zjfn � f jp d� = 0:
Por lo tanto (fn) converge a f en Lp:�
Corolario 84 Supóngase que � (X) <1; y que (fn) es una sucesión en Lp que converge encasi todo punto a una función medible f: Si existe una constante K tal que
jfn(x)j � K; n 2 N; x 2 X;
entonces f 2 Lp; y (fn) converge a f en Lp:
Demostración. Si � (X) <1; las funciones constantes pertenecen a Lp:�
Podría pensarse que convergencia en Lp implica convergencia en casi todo punto, pero noes el caso. Daremos un ejemplo de una sucesión (fn) en Lp que converge en Lp a una funciónf; pero de tal manera que (fn(x)) no converge en ningún punto x 2 X:
75
Ejemplo 85 Sea X = [0; 1] ; A = B(R) y sea � la medida de Lebesgue Considérese lasucesión de intervalos (In) dada por los intervalos [0; 1] :
�0; 1
2
�;�12; 1�;�0; 1
3
�;�13; 23
�;�23; 1�;�
0; 14
�;�14; 12
�;�12; 34
�;�34; 1�;�0; 1
5
�;�15; 25
�;�25; 35
�;�35; 45
�;�45; 1�; ::: Sea fn = �In la función
indicadora del intervalo In y sea f la función cero. Si n � m(m + 1)=2; entonces fn es lafunción característica de un intervalo de longitud a lo mas 1=m: Por lo tanto
kfn � fkpp =Zjfn � f jp d� =
Zjfnj d� �
1
m:
Entonces (fn) converge a f en Lp: Pero si x es cualquier punto de [0; 1] ; entonces (fn (x))tiene una subsucesión que consta de puros unos, y otra subsucesión que consta de purosceros. Entonces la sucesión (fn) no converge en ningún punto de [0; 1] : Puede notarse, sinembargo, que se puede escoger una subsucesión de (fn) que converge a f).
7.3. Convergencia en medida
Aunque la convergencia en Lp no implica convergencia en casi todo punto, implica otrotipo de convergencia que es a menudo de interés.
De�nición 86 Decimos que una sucesión (fn) de funciones medibles de valor real convergeen medida a una función real medible si
l��mn!1
� (fx 2 X : jfn (x)� f (x)j � �g) = 0
para toda � > 0: Se dice que (fn) es de Cauchy en medida si
l��mn;m!1
� (fx 2 X : jfn(x)� fm(x)j � �g) = 0
para cada � > 0:
Si (fn) converge uniformemente a f; entonces el conjunto
fx 2 X : jfn(x)� f(x)j � �g
es vacío, para n su�cientemente grande n: Así, convergencia uniforme implica convergencia enmedida. No es difícil demostrar que convergencia puntual (y por lo tanto, convergencia en casitodo punto) no implica convergencia en medida, a menos que el espacio tenga medida �nita.Sin embargo, podemos observar que convergencia en Lp implica convergencia en medida. Enefecto, si de�nimos
En(�) = fx 2 X : jfn(x)� f(x)j � �g ;entonces Z
jfn(x)� f(x)jp d� �ZEn(�)
jfn(x)� f(x)jp d� � �p� (En(�)) :
Como � > 0; se sigue que la condición kfn � fkp ! 0 implica que � (En (�))! 0; si n!1:
76
Ejercicio 87 Sea fn = �[n;n+1]: Demuestre que la sucesión (fn) converge en todas partes ala función cero, pero que no converge en medida.
Podemos veri�car que el Ejemplo 85 también da un ejemplo de una sucesión que convergeen medida a una función pero que no converge en ningún punto. A pesar de este hecho,probaremos ahora un resultado debido a F. Riesz, que implica que si una sucesión (fn)converge en medida a f; entonces una subsucesión converge en casi todo punto a f: Dehecho, probaremos algo mas que eso.
Teorema 88 (Riesz)Sea (fn) una sucesión de funciones reales medibles que es Cauchy enmedida. Entonces existe una subsucesión que converge en casi todo punto y en medida a unafunción real f:
Demostración. Seleccionemos una subsucesión (fkn) de (fn) tal que el conjunto
En =�x 2 X :
��fkn+1(x)� fkn(x)�� > 2�n
tenga medida � (En) � 2�n: Sea Fn = [1k=nEk; de modo que Fn 2 A y � (Fn) � 2�(n�1): Sii � j � n; y x =2 Fn; entonces, poniendo gn = fkn ;
jgi(x)� gj(x)j � jgi(x)� gi�1(x)j+ jgi�1(x)� gi�2(x)j+ � � �+ jgj+1(x)� gj(x)j (7.3)
� 1
2i�1+
1
2i�2+ � � �+ 1
2j<
1
2j�1:
Sea F = \1n=1Fn; de modo que F 2 A; y � (F ) = 0: Del argumento dado anteriormente sesigue que (gn) converge en XnF: Si de�nimos f como
f(x) =
�l��m gn(x); x =2 F;
0; x 2 F:
entonces (gn) converge a f en casi todo punto. Pasando al límite en (7.3), entonces se sigueque, si j � n; y x =2 F; entonces
jf(x)� gj(x)j �1
2j�1� 1
2n�1:
Esto demuestra que la sucesión (gj) converge uniformemente a f en el complemento de cadaFn:Para ver que (gn) converge en medida a f; sean �; " > 0; y sea N un natural tal que
� (FN) < 2�(N�1) < ��nf(�; "): Si j � N; la estimación anterior demuestra que
fx 2 X : jf(x)� gj(x)j � �g ��x 2 X : jf(x)� gj(x)j � 2�(N�1)
� FN :
Por lo tanto, � (fx 2 X : jf(x)� gj(x)j � �g) � � (FN) < " para toda j � N; de modo que(gn) converge en medida a f:�
77
Corolario 89 Sea (fn) una sucesión de funciones reales medibles la cual es Cauchy enmedida. Entonces existe una función real medible f de manera que (fn) converge en medidaa f: Esta función límite f es determinada de manera única en casi todo punto.
Demostración. Hemos visto que existe una subsucesión (fkn) que converge en medida auna función f: Para ver que la sucesión entera converge a f en medida, obsérvese que, altener
jf(x)� fn(x)j � jf(x)� fkn(x)j+ jfkn(x)� fn(x)j ;se tiene que
fx 2 X : jf(x)� fn(x)j � �g �nx 2 X : jf(x)� fkn(x)j �
�
2
o[nx 2 X : jfkn(x)� fn(x)j �
�
2
o:
La convergencia en medida de (fn) se sigue de esta relación.Supóngase que la sucesión (fn) converge en medida a f y g: Como
jf(x)� g(x)j � jf(x)� fn(x)j+ jfn(x)� g(x)j ;
se sigue que
fx 2 X : jf(x)� g(x)j � �g �nx 2 X : jf(x)� fn(x)j �
�
2
o[nx 2 X : jfn(x)� g(x)j � �
2
o;
y por lo tanto� fx 2 X : jf (x)� g (x)j � �g = 0;
para todo � > 0: Tomando � = 1=n; n 2 N; se sigue que f = g en casi todo punto.�Hemos mencionado que convergencia en Lp implica convergencia en medida. En general,
convergencia en medida no implica convergencia en Lp:
Ejercicio 90 Demostrar que la sucesión (fn) ; donde fn = n�[1=n; 2=n] converge en medida ala función cero, pero no converge en Lp: Así, convergencia en medida no implica convergenciaen Lp; aún si el espacio es de medida �nita.
Sin embargo, esta implicación es válida cuando la convergencia es dominada.
Teorema 91 Sea (fn) una sucesión de funciones en Lp la cual converge en medida a f; ysea g 2 Lp tal que
jfn(x)j � g(x); en casi todo punto.
Entonces f 2 Lp y (fn) converge en Lp a f:
78
Demostración. Si (fn) no converge a f en Lp; entonces existe una sucesión (fkn) de (fn)y un " > 0 tal que
kfkn � fkp > ": (7.4)
Ponemos gn = fkn : Como (gn) es una sucesión de (fn) ; se sigue que (gn) converge en medidaa f (¡Ejercicio!). Por el Teorema (88) existe una subsucesión (gjn) de (gn) que converge encasi todo punto y en medida a una función h: De la parte de unicidad del Corolario 89 sesigue que h = f en casi todo punto. Como (gjn) converge a f en casi todo punto a f; y estádominada por g; el Teorema 83 implica que kgjn � fkp ! 0; si n ! 1: Sin embargo, estocontradice la relación (7.4).�
7.4. Convergencia casi uniforme
En la prueba del Teorema 88 construimos una sucesión (gn) de funciones reales mediblesque convergía uniformemente en el complemento de conjuntos que tienen medida arbitrari-amente pequeña. A primera vista esto parece que equivale a convergencia uniforme fuera deun conjunto de medida cero, pero no es el caso.
Ejercicio 92 Demuestre que la sucesión (fn), donde fn = n�[1=n; 2=n] tiene la propiedad deque si � > 0; entonces la sucesión converge uniformemente en el complemento de [0; �] ; Sinembargo, demuestra que no existe un conjunto E de medida cero, de manera que la sucesiónconverja uniformemente en el complemento de E.
De�nición 93 Una sucesión (fn) de funciones medibles es casi uniformemente convergentea una función medible f si, para cada � > 0; existe un conjunto E� 2 A con � (E�) < �tal que (fn) converge uniformemente a f en XnE�: Decimos que la sucesión (fn) es casiuniformemente Cauchy si para cada � > 0 existe un conjunto E� 2 A tal que � (E�) < � talque (fn) es uniformemente convergente en XnE�:
Debe advertirse que la terminología, además de ser algo desagradable, varía ligeramentecon el uso anterior de la palabra �casi�. Es claro que convergencia uniforme implica conver-gencia casi uniforme, pero el recíproco es falso.
Lema 94 Sea (fn) una sucesión de funciones medibles que es casi uniformemente Cauchy.Entonces existe una función medible f tal que (fn) converge casi uniformemente y en casitodo punto a f:
Demostración. Si k 2 N, sea Ek 2 A tal que � (Ek) < 2�k; y (fn) es uniformementeconvergente en XnEk: Sea Fk = [1j=kEj; de modo que Fk 2 A; y que � (Fk) < 2�(k�1):Nótese que (fn) converge uniformemente en XnFk � XnEk: De�nimos gk por
gk(x) =
�l��m fn(x); x =2 Fk;
0; x 2 Fk:
79
Obsérvese que la sucesión (Fk) es decreciente y que si F = \1k=1Fk; entonces F 2 A; y� (F ) = 0: Si h � k; entonces gh(x) = gk(x) para todo x 2 Fh: Por lo tanto, la sucesión(gk) converge en todo X a una función medible que denotaremos por f: Si x =2 Fk; entoncesf(x) = gk(x) = l��m fn(x): Se sigue que (fn) converge a f en XnF; de modo que (fn) convergea f en casi toda X:Para ver que la convergencia es casi uniforme, sea " > 0; y sea K tan grande que
2�(K�1) < ": Entonces � (FK) < "; y (fn) converge uniformemente a f en XnFK :�
Teorema 95 Si una sucesión (fn) converge casi uniformemente a f; entonces (fn) convergeen medida a f: Recíprocamente, si una sucesión (hn) converge en medida a h; entonces algunasubsucesión converge casi uniformemente a h:
Demostración. Supóngase que (fn) converge casi uniformemente a f; y sean �; " númerospositivos. Entonces existe un conjunto E" en A con � (E") < " tal que (fn) converge a funiformemente en XnE": Por lo tanto, si n es su�cientemente grande, entonces el conjuntofx 2 X : jfn(x)� f(x)j � �g debe estar contenido en E": Esto demuestra que (fn) convergeen medida a f:Recíprocamente, supóngase que (hn) converge en medida a h: Se sigue del Teorema 88
que hay una subsucesión (gk) de (hn) tal que converge en medida a una función g; y lademostración del Teorema 88 demuestra que la convergencia es casi uniforme. Debido a que(gk) converge en medida a g y a h; se sigue del Corolario 89 que g = h en casi todo punto.Por lo tanto la subsucesión (gk) de (hn) converge casi uniformemente a h:�Se sigue del Teorema 95 que si una sucesión converge en Lp; entonces tiene una sub-
sucesión que converge casi uniformemente. Recíprocamente, se puede ver que convergenciacasi uniforme no implica convergencia en Lp; aunque en general es válido el recíproco si laconvergencia es dominada por una función en Lp (aplíquese el Teorema 91).Una de las consecuencias del Lema 94 es que convergencia casi uniforme implica con-
vergencia en casi todas partes. En general, el recíproco es falso, pero es un hecho notable eimportante que si las funciones son de valor real, y si � (X) <1; entonces convergencia encasi todas partes implica convergencia casi uniforme.
Teorema 96 (Teorema de Egoro¤) Supóngase que � (X) <1; y que (fn) es una sucesiónde funciones reales medibles que converge en casi todo punto a una función f medible devalor real. Entonces la sucesión (fn) converge casi uniformemente y en medida a f:
Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la convergencia tienelugar en todo X: Si m;n 2 N; sea
En(m) =1[k=n
�x 2 X : jfk(x)� f(x)j � 1
m
�;
80
de tal manera que En(m) está en A; y En+1(m) � En(m): Como fn(x) ! f(x) para todax 2 X; entonces
1\n=1
En(m) = ;:
Como � (X) <1; inferimos que � (En(m))! 0; cuando n!1: Si � > 0; sea km un naturaltal que � (Ekm(m)) < �=2m; y sea E� = [1m=1Ekm(m): Entonces E� 2 A; y � (E�) < �:Obsérvese que, si x =2 E�; entonces x =2 Ekm(m); de modo que
jfk(x)� f(x)j < 1
m
para toda k � km: Entonces (fn) Por lo tanto, (fn) converge uniformemente en el comple-mento de E�:�Concluiremos este capítulo con un conjunto de condiciones necesarias y su�cientes para
convergencia en Lp: Se puede ver que la segunda y tercera condición se satisfacen automáti-camente cuando la sucesión es dominada por una función en Lp:
Lema 97 a) Sea (fn) � Lp(X;A; �); 1 � p <1; y sea �n de�nida para E 2 A como
�n(E) =
�ZE
jfnjp d��1=p
:
Entonces j�n(E)� �m(E)j � kfn � fmkp : Por lo tanto, si (fn) es una sucesión de Cauchyen Lp; entonces l��mn!1 �n(E) existe para todo E 2 A:(b) Sea fn; �n como en el inciso (a). Si (fn) es una sucesión de Cauchy en L
p; entonces paracada " > 0; existe un conjunto E" 2 A tal que � (E") < 1 tal que si F 2 A y F \ E = ;;entonces �n(F ) < "; para todo n 2 N:(c) Sea (fn) y �n como en el inciso (b), y supóngase que (fn) es una sucesión de Cauchy. Si" > 0; existe un �(") > 0; tal que, si E 2 A y � (E) < �("); entonces �n(E) < " para todan 2 N:
Demostración. Ejercicio.
Teorema 98 (Teorema de convergencia de Vitali). Sea (fn) una sucesión en Lp(X;A; �);1 � p < 1: Entonces las siguientes tres condiciones son necesarias y su�cientes para laconvergencia en Lp de (fn) a f :(i) (fn) converge a f en medida..(ii) Para cada " > 0; existe un conjunto E" 2 A tal que � (E") < +1 tal que si F 2 A yF \ E" = ; entonces Z
F
jfnjp d� < "p; para toda n 2 N:
81
(iii) Para cada " > 0 existe un �(") > 0; tal que si E 2 A y �(E) < �("); entoncesZE
jfnjp d� < "p; para toda n 2 N:
Demostración. Hemos visto que la convergencia en Lp implica convergencia en medida.El hecho de que convergencia en Lp implica (ii) y (iii) es una consecuencia del lema anterior.Demostraremos ahora que estas tres condiciones implican que (fn) converge en Lp a f:
Si " > 0; sea E" como en (ii), y sea F = XnE": Aplicando la desigualdad de Minkowski afn � fm = (fn � fm)�E" + fn�F � fm�F ; se obtiene
kfn � fmkp = (fn � fm)�E" + (fn � fm)�F
p
= (fn � fm)�E" + fn�F � fm�F
p� (fn � fm)�E"
p+ kfn�Fkp + kfm�Fkp
��Z
E"
jfn � fmjp d��1=p
+ 2"
para n;m 2 N: Ahora, sea � = " [�(E)]�1=p y sea Hnm = fx 2 E" : jfn(x)� fm(x)j � �g : Envista de (i), existe un natural K(") tal que si n;m � K("); entonces � (Hnm) < �("): Otraaplicación de la desigualdad de Minkowski, usando que (fn � fm)�E" = (fn � fm)�Hmn +(fn � fm)�E"�Hmm junto con (iii) implica�Z
E"
jfn � fmjp d��1=p
��Z
E"nHnmjfn � fmjp d�
�1=p+
�ZHnm
jfn � fmjp d��1=p
��Z
E"nHnmjfn � fmjp d�
�1=p+
�ZHnm
jfnjp�1=p
+
�ZHnm
jfmjp�1=p
� � [� (E")]1=p + "+ " < 3";
si m;n 2 K (") : Combinando esto con la desigualdad anterior implica que (fn) es unasucesión de Cauchy en Lp; y por lo tanto, converge en Lp: como ya sabemos que converge enmedida a f; por la unicidad de la convergencia en medida en casi todo punto, se sigue que(fn) converge a f en Lp:
7.5. Teorema de Lusin (opcional)
En su libro "Lectures on the theory of functions", J. E. Littlewod explicó que hay tresprincipios que están detrás del trabajo en Análisis Real:1) Cada conjunto medible en RN es casi una unión �nita de rectángulos.2) Cada función medible es casi una función continua.3) Cada sucesión convergente de funciones medibles es casi una sucesión de funciones
uniformemente convergente.
82
En el ejercicio 25 se ilustra el primer principio, y en el teorema de Egorov se ilustra eltercer principio. El siguiente teorema, llamado teorema de Lusin1, ilustra el segundo principio.Aunque los parafraseos anteriores son útiles como recordatorios de teoremas que podríanayudar en ciertas situaciones, es muy importante recordar el signi�cado exacto del teoremacorrespondiente.Recordemos que si una función es medible no negativa, entonces existe una sucesión
('n)1n=1 de funciones simples que cumple 'n (x) � 'n+1 (x) para todo x 2 X; y toda n 2 N;
y además, l��mn!1 'n (x) = f(x); para toda x 2 X: Extenderemos esta a�rmación a funcionesmedibles.
Teorema 99 Supóngase que f es medible en X: Entonces existe una sucesión de funcionessimples ('n) que satisface
j'n (x)j ���'n+1 (x)�� ; para toda n 2 N; y l��m
n!1'k (x)) = f (x) :
En particular, tenemos j'n (x)j � jf(x)j para toda x y n:
Demostración. Se tiene la expresión f = f+ � f�; donde
f+ (x) = m�ax (f (x) ; 0) ; f� (x) = m�ax (�f (x) ; 0) :
Como f+ y f� son no negativas, existen sucesiones crecientes�'(1)n
�y�'(2)n
�de funciones
simples que convergen puntualmente a f+ y f�; respectivamente. Si ponemos
'n (x) = '(1)n (x)� '(2)n (x) ;
vemos que ('n) converge a f en todo X: Finalmente, la sucesión (j'nj) es creciente, porquede la de�nición de f+ y f�; y de las propiedades de '(1)n y '(2)n implican que
j'n(x)j = '(1)n (x) + '(2)n (x) � '(1)n+1 (x) + '
(2)n+1 (x) =
��'n+1 (x)�� :�Ahora consideremos el caso especial cuando (X;A; �) =
�RN ;BRN ; dx
�1Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) estudió ingeniería en la Universidad de Moscú, de 1901 a 1905.
Aquí, Egorov resaltó su talento, y lo animó a estudiar Matemáticas. Después de la graduación, Lusin em-pezó el estudio de Medicina, pero regresó a la Universidad de Moscú en 1909 a estudiar Matemáticas conEgorov.Ellos empezaron publicaciones conjuntas en 1910. El teorema de Lusin fue publicado en un artículoen 1912. En 1915, Lusin recibió su doctorado. Fue nombrado profesor en la Universidad de Moscú en 1917.En 1935 se convierte en jefe del Departamento de Teoría de Funciones de Variables Reales en el InstitutoSteklov. En 1936 él fue denunciado por publicar sus resultados matemáticos fuera de la Unión Soviética,actividad que fue interpretada como anti-soviética. Por poco lo despiden y lo meten a prisión, pero consiguiósalvarse.Además de su trabajo en teoría de funciones, Lusin es reconocido por sus contribuciones a la teoría
descriptiva de conjuntos (aspectos de teoría de la medida y topología de los conjuntos de Borel, y otras�-álgebras) y en Análisis Complejo. (Bressoud)
83
De�nición 100 Una funcion f : RN ! R es una función escalón si se puede poner como
f =mXj=1
aj�Rj
donde los Rj son rectángulos
Se tiene un teorema similar al teorema anterior para funciones escalón, aunque aquí laconvergencia sólo se obtiene en casi todo punto, y se re�ere a funciones medibles en RN .
Teorema 101 Supóngase que f es medible en RN : Entonces existe una sucesión de funcionesescalón ( n) que converge puntualmente a f en casi todo punto.
Demostración. Por el resultado anterior, es su�ciente demostrar que si E es un con-junto medible con medida �nita, entonces f = �E puede ser aproximada por funcionesescalón. Para esto, recordemos que, para cada " > 0 existen cubos Q1; Q2; :::; Qm tal que��E� [mj=1 Qj�� � ": Consideremos la malla formada al extender los lados de esos cubos.
Podemos ver que existen rectángulos que no se traslapan eR1; eR2; :::; eRM tales que [Nj=1Qj =[Mj=1 eRj: Escogemos rectángulos Rj contenidos en eRj y ligeramente menores en tamaño, demanera que
��E� [Mj=1 Rj�� � 2": Entoncesf(x) =
MXj=1
�Rj (x) ;
excepto en un conjunto de medida � 2": Por lo tanto, para cada k � 1; existe una funciónescalón j (x) tal que si
Ek = fx : f(x) 6= k (x)g ;entonces m (Ek) � 2�k: Si de�nimos FK = [j=K+1Ej y F = \1K=1FK ; entonces jF j = 0porque jFK j � 2�K ; y k (x)! f (x) para toda x 2 X�F; y esto demuestra el teorema.�
Teorema 102 (Lusin) Sea f : X ! R una función medible de�nida en un conjunto medibleX � RN ; para el cual jXj <1. Entonces para cada � > 0; existe un subconjunto compactoK � X tal que jX nKj < �; tal que f jK , la restricción de f a K; es continua en K
Demostración. Ejecutaremos cuatro restricciones de dominio con el objetivo de obtenerun conjunto compacto K en el cual f jK es continua.1) Queremos restringir f a subconjuntos acotados deX de manera que las aproximaciones
de conjuntos cerrados desde adentro sean compactas. Podemos hacerlo del siguiente modo.Como
� (X) = l��mk!1
��X \ [�k; k]N
�;
84
existe un cubo cerrado Q = [�k0; k0]N � RN su�cientemente grande tal que
� (X) � � (Q \X) > � (X)� �
8
y así, � (X� (Q \ A)) = � (X)� � (Q \ A) < �=8:2) Sabemos que f es el límite puntual de funciones fn de funciones simples medibles.
Ponemos
fn =
pnXi=1
�i;n�Ai;n ;
como una combinación de funciones indicadoras de conjuntos medibles ajenos Ai;n; con X =pnSi=1
Ai;n: Para cada i y n existe un conjunto compacto Ki;n � Q \ Ai;n tal que
� ((Q \ Ai;n) nKi;n) <�
pn2n+1
Cada función fn es continua en Ki;n porque es constante ahí. Nótese también que los puntosde acumulación de Ki;n y los de Kj;n para j 6= i deben ser distintos, porque ambos sonsubconjuntos compactos de sus respectivos conjuntos ajenos medibles. Esto es, cada conjuntocontiene todos sus puntos límites, y los dos conjuntos compactos son ajenos. Luego, fn escontinua también en
Kn =pnSi=1
Ki;n:
Más aún, se tiene
Q \X =
pn[i=1
(Q \ Ai;n) =pn[i=1
(Ki;n [ ([Q \ Ai;n]�Ki;n))
=
pn[i=1
Ki;n
![ pn[i=1
(Q \ Ai;n)�Ki;n
!
= Kn [
pn[i=1
(Q \ Ai;n)�Ki;n
!!y esto implica
� ((Q \X)�Kn) = � (Q \X)� � (Kn) =
pnXi=1
� ((Q \ Ai;n)Ki;n) <
pnXi=1
�
pn2n+1=
�
2n+1
y al ser X = [X� (Q \X)] [Kn [ [(Q \X)�Kn]
� (X nKn) = � (X� (Q \ A)) + � ((Q \ A)�Kn) <�
8+
pnXi=1
�
pn2n+1=�
8+
�
2n+1:
85
3) De�nimos otro conjunto compacto
K� =1Tn=1
Kn;
de tal modo que, al tener (Q \X)�K� = (Q \X)� \1n=1 Kn = [1n=1 [(Q \X)�Kn] ;entonces
� (X) = � (X� (Q \X)) + � (Q \X)= � (X� (Q \X)) + � (K�) + � ((Q \X)�K�)
y así,
� (X�K�) = � (X)� � (X�)
= � (X� (Q \X)) + � ((Q \X)�K�)
= � (X� (Q \X)) + � ([1n=1 [(Q \X)�Kn])
<�
8+
pnXi=1
�
2n+1=�
8+�
2=5�
8
Las funciones fn son continuas en K� y la sucesión (fn) converge a f puntualmente en K�:4) Por el teorema de Egoro¤ existe un conjunto medible B � K� con � (B) < �
4y (fn)
converge a f uniformemente en K� n B: Como el conjunto K� n B es medible, existe unconjunto compacto K � K� nB tal que
� ((K� nB) nK) < �
8;
lo que implica que � (X) = � (X�K�) + � (B) + � ((K��B)�K) + � (K) ; y así,
� (X�K) = � (X)� � (K)
= � (X�K�) + � (B) + � ((K��B)�K)
<5�
8+�
4+�
8= �;
y f es continua en K:�
86
Capítulo 8
Teorema de Radon-Nikodym
8.1. Introducción
En este capítulo se estudiarán algunos teorema de descomposición de medidas, culmi-nando con un teorema célebre llamado el teorema de Radon-Nikodym, que relaciona ciertascargas con funciones integrables.
8.2. Teorema de descomposición de Hahn
Recordemos que una carga en un espacio medible (X;A) es una función real � de�nidaen A tal que � (;) = 0 y la cual es contablemente aditiva en el sentido de que
�
1[n=1
En
!=
1Xn=1
� (En) ;
para cualquier sucesión (En) de conjuntos en A ajenos dos a dos. Analizando la demostraciónde los lemas 11 y 12, puede verse que si (En) es una sucesión creciente de conjuntos en Aentonces
�
1[n=1
En
!= l��m� (En) ; (8.1)
y si (Fn) es una sucesión decreciente de conjuntos en A entonces
�
1\n=1
Fn
!= l��m� (Fn) : (8.2)
De�nición 103 Si � es una carga en A; decimos que un conjunto P en A es positivo conrespecto de � si � (E \ P ) � 0 para cualquier E 2 A: Se dice que un conjunto N en A esnegativo respecto de � si � (E \N) � 0 para cualquier E 2 A. Decimos que un conjunto Men A es un conjunto nulo respecto de � si � (M \ E) = 0; para todo conjunto E 2 A:
87
Ejercicio 104 Demostrar que ciualquier subconjunto medible de un conjunto positivo espositivo, y que la unión de dos conjuntos positivos es positivo.
Teorema 105 (Teorema de descomposición de Hahn). Si � es una carga en A; entoncesexisten conjuntos P y N en A con X = P [N; P \N = ;; de tal modo que P es positivo yN es negativo respecto de �:
Demostración. La clase P de todos los conjuntos positivos es no vacía, porque contiene ;;al menos. Sea � = sup f� (A) : A 2 Pg ; sea (An) una sucesión en P tal que l��m� (An) = �;
y sea P =1Sn=1
An: Como la unión de dos conjuntos positivos es positiva, la sucesión (An)
puede escogerse monótona creciente, y supondremos que así se ha hecho. Claramente P esun conjunto positivo para �; ya que
� (E \ P ) = �
�E \
� 1Sn=1
An
��= �
� 1Sn=1
(E \ An)�� 0:
Más aún, � = l��m� (An) = � (P ) < +1:Ahora demostraremos que el conjunto N = X n P es un conjunto negativo. Si no, existe
un conjunto medible E de N con � (E) > 0: El conjunto E no puede ser un conjunto positivo,porque entonces P [E sería un conjunto positivo con � (P [ E) > �; contrario a la de�niciónde �: Entonces E contiene conjuntos con carga negativa. Sea n1 el natural mas pequeño talque E contiene un conjunto E1 2 A tal que � (E1) � �1=n1: Ahora
� (E n E1) = � (E)� � (E1) > � (E) > 0:
Sin embargo, E nE1 no puede ser un conjunto positivo, porque en ese caso P = P [ (E n E1)sería un conjunto positivo con � (P1) > �: Entonces E n E1 contiene conjuntos con carganegativa. Sea n2 el natural mas pequeño tal que E nE1 contiene un conjunto E2 2 A tal que� (E2) � �1=n2: Como antes, E n (E1 [ E2) no es un conjunto positivo, y sea n3 el naturalmas pequeño tal que E n (E1 [ E2) contiene un conjunto E3 2 A tal que � (E3) � �1=n3:Repitiendo este argumento, obtenemos una colección (Ek) ajena dos a dos, de conjuntos en
A tal que � (Ek) � �1=nk: Sea F =1Sk=1
Ek de modo que
� (F ) =
1Xk=1
� (Ek) � �1Xk=1
1
nk� 0;
y al ser � (F ) �nito, la serieP
1nkconverge, y por lo tanto nk ! +1: Si G es un subconjunto
medible de E nF y � (G) < 0; entonces � (G) < �1= (nk � 1) para k sufcientemente grande,contradiciendo el hecho de que nk es el natural mas pequeño tal que E n (E1 [ � � � [ Ek)contiene un conjunto con carga menor que �1=nk: Por lo tanto, cualquier subconjunto G
88
de E n F debe cumplir � (G) � 0; y esto implica que E n F es un conjunto positivo. Como� (E n F ) = � (E)� � (F ) > 0; se deduce que P [ (E n F ) es un conjunto positivo con cargamayor que �; la cual es una contradicción.Se sigue que el conjunto N = X n P es un conjunto negativo para �; y X = P [ (X n P )
es la descomposición deseada.�
Una pareja P;N de conjuntos medibles que satisfacen las conclusiones del teorema ante-rior se llama una descomposición de Hahn de X respecto de �: En general no hay una únicadescomposición de Hahn. De hecho, si P y N es una descomposición de Hahn para �; y Mes un conjunto nulo para �; entonces P [M; NnM y PnM; N [M son ambas descomposi-ciones de Hahn para �: Sin embargo, esta pérdida de unicidad para muchos propósitos no esimportante.
Lema 106 Si P1; N1 y P2; N2 son dos descomposiciones de Hahn para �; y E 2 A, entonces
� (E \ P1) = � (E \ P2) ; � (E \N1) = � (E \N2) :
Demostración. Como E \ (P1nP2) está contenido en el conjunto positivo P1 y en elconjunto negativo N2; entonces � (E \ (P1nP2)) = 0; de modo que
� (E \ P1) = � (E \ P1 \ P2) :
Similarmente,� (E \ P2) = �(E \ P1 \ P2):
Se sigue que� (E \ P1) = � (E \ P2) :
La otra igualdad es similar.�
De�nición 107 Sea � una carga en A; y sea P;N una descomposición de Hahn para �: Lavariación positiva y la variación negativa de � son las medidas �nitas �+ y �� de�nidas enA como
�+(E) = � (E \ P ) ; ��(E) = �� (E \N) : (8.3)
La variación total de � es la medida j�j de�nida en A como
j�j (E) = �+ (E)� �� (E) :
Como consecuencia del Lema 106 que la variación positiva y negativa están bien de�nidas,y no dependen de la descomposición de Hahn. También es claro que
� (E) = �(E \ P ) + � (E \N) = �+(E)� ��(E): (8.4)
De aquí se sigue el siguiente resultado.
89
Teorema 108 (Teorema de descomposición de Jordan). Si � es una carga en A; entonceses la diferencia de dos medidas �nitas en A: En particular, � es la diferencia de �+ y ��:Más aún, si � = �� �; donde �; � son medidas �nitas en A; entonces
� (E) � �+(E); �(E) � ��(E); (8.5)
para todo E 2 A:Demostración. La representación � = �+��� ya se estableció arriba. Como � y � tienen
valores no negativos,
�+(E) = � (E \ P ) = �(E \ P )� �(E \ P ) � � (E \ P ) � �(E):
Se demuestra de modo similar que ��(E) � �(E); para todo E 2 A:�
Hemos visto en el Lema ??, que si una función f es integrable con respecto a una medida� en A; y si � se de�ne en A como
� (E) =
ZE
f d�; (8.6)
entonces � es una carga. Ahora identi�caremos las variaciones positivas y negativas de �:
Teorema 109 Si f 2 L(X;A; �); y si � está de�nida por (8.6), entonces �+; �� y j�j estándadas para E 2 A por
�+ (E) =
ZE
f+d�; �� (E) =
ZE
f�d�;
j�j (E) =ZE
jf j d�:
Demostración. Sea Pf = fx 2 X : f(x) � 0g ; Nf = fx 2 X : f(x) < 0g : Entonces X =Pf [Nf ; y Pf \Nf = ;: Si E 2 A; entonces es claro que � (E \ Pf ) � 0 y � (E \Nf ) � 0:Por lo tanto, Pf ; Nf es una descomposición de Hahn para �:Esto demuestra el teorema. �
8.3. Medidas absolutamente continuas. Teorema de Radon-Nikodym
Hemos visto en el corolario ?? que si f es una función medible de valor real extendidono negativa, y � es una medida en A; entonces la función � de�nida por la ecuación (8.6)es una medida en A: Existe un recíproco a este teorema que da condiciones bajo las cualespodemos expresar una medida como una integral respecto de � de una función f no negativamedible de valor real extendido. Vinos en el Corolario ?? que una condición necesaria paraesta representación es que � (E) = 0; para todo conjunto E 2 A para el cual �(E) = 0:Resulta que esta condición es también su�ciente en el caso importante de que � y � son�-�nitas.
90
De�nición 110 Se dice que una medida � en A es absolutamente continua respecto deuna medida � en A si E 2 A y � (E) = 0 implica que � (E) = 0: En este caso escribimos�� �: Decimos que una carga � es absolutamente continua con respecto de una carga � sila variación total j�j de � es absolutamente continua respecto de j�j :
El siguiente lema es útil, y amplía nuestro entendimiento intuitivo de continuidad abso-luta.
Lema 111 Sean � y � medidas �nitas en A: Entonces � � � si y sólo si para cada " > 0existe un � > 0; tal que E 2 A y � (E) < � implica que � (E) < ":
Demostración. Si la condición se satisface, y � (E) = 0; entonces � (E) < "; para todo" > 0; de donde se sigue que �(E) = 0:Recíprocamente, supóngase que existe un "0 > 0 y conjuntos En 2 A tal que � (En) <
2�n; y � (En) � "0: Sea Fn =1[k=n
Ek; de manera que � (Fn) < 2�n+1 y � (Fn) � "0: Como
(Fn) es una sucesión decreciente de conjuntos medibles,
�
1\n=1
Fn
!= l��m� (Fn) = 0;
�
1\n=1
Fn
!= l��m� (Fn) � "0;
y esto implica que � no es absolutamente continua respecto de �:�
Teorema 112 (Teorema de Radon-Nikodym). Sean � y � medidas �-�nitas de�nidas en Ay supóngase que � es absolutamente continua respecto de �: Entonces existe una funciónf 2M+(X;A) tal que
� (E) =
ZE
f d�; E 2 A:
Más aún, f está determinada unívocamente salvo en casi todo punto.
Demostración. Probaremos el teorema bajo la hipótesis de que � (X) y � (X) son �nitas.Si c > 0; sea P (c) ; N (c) la descomposición de Hahn de X para la carga ��c�: Si k 2 N,
consideremoslos conjuntos medibles
A1 = N (c) ; Ak+1 = N ((k + 1) c) nkSj=1
Aj:
Claramente los conjuntos (Ak) son ajenos dos a dos, y que
kSj=1
N (jc) =kSj=1
Aj:
91
Se sigue que
Ak = N (kc) nk�1Sj=1
N (jc) = N (kc) \ k�1Tj=1
P (jc)
!Así, si E es un subconjunto medible de Ak; entonces E � N (kc) y E � P ((k � 1) c).Entonces
(k � 1) c� (E) � � (E) � kc� (E) (8.7)
De�nimos B por
B = X n1Sj=1
Aj =1Tj=1
p (jc) ;
de manera que B � P (kc) para todo k 2 N. Esto implica que
0 � kc� (B) � � (B) � � (X) < +1
para todo k 2 N; de modo que � (B) = 0: Como �� �; esto implica que � (B) = 0:Sea fc de�nida como fc (x) = (k � 1) c; para x 2 Ak; y fc (x) = 0 para x 2 B: Si E es un
conjunto medible arbitrario, entonces E es la unión de los conjuntos ajenos E \B; E \Ak;k 2 N, y se sigue de (8.7) queZ
E
fc d� � � (E) �ZE
(fc + c) d� �ZE
fc d�+ c� (X) :
Empleamos la siguiente construcción para c = 2�n; n 2 N; y obtenemos una sucesión defunciones que ahora denotamos por fn: Por lo tantoZ
E
fn d� � � (E) �ZE
fn d�+ 2�n� (X) ; (8.8)
para todo n 2 N. Sea m � n; y obsérvese queZE
fn d� � � (E) �ZE
fm d�+ 2�m� (X) ;
ZE
fm d� � � (E) �ZE
fn d�+ 2�n� (X; )
y de aquí se sigue que ����ZE
(fn � fm) d�
���� � 2�n� (X) ;para toda E 2 A: Si tomamos a E como los conjuntos donde el integrando es positivo ynegativo, y lo combinamos, se deduce queZ
jfn � fmj d� � 2�n+1� (X) ;
92
siempre que m � n: Esto implica que (fn) converge en media a una función f: Como las fnpertenecen a M+; del Teorema (88) podemos suponer que f 2M+: Más aún,����Z
E
fn d��ZE
f d�
���� � ZE
jfn � f j d� �ZX
jfn � f j d�;
y podemos concluir de (8.8) que
� (E) = l��m
ZE
fn d� =
ZE
f d�
para todo E 2 A: Esto completa la demostración de existencia en el teorema, para el casodonde ambas medidas � y � son medidas �nitas.A�rmamos que f está unívocamente determinada salvo conjuntos de �-medida cero. En
efecto, supongamos que f; h 2M+ y que
� (E) =
ZE
f d� =
ZE
h d�
para toda E 2 A: Sea E1 = fx : f (x) > h (x)g y E2 = fx : f (x) < h (x)g : Aplicando encorolario (45) se obtiene que f = h en �-casi todas partes.Ahora supongamos que � y � son �-�nitas y sea (Xn) una sucesión creciente en A tal
que
� (Xn) < +1; � (Xn) < +1; X =1Sn=1
Xn:
Aplicamos el argumento precedente y se obtiene una función hn en M+ que se anula parax =2 Xn; tal que si E es un subconjunto medible de Xn, entonces
� (E) =
ZE
hn d�:
Si n � m; entonces Xn � Xm; y se sigue queZE
hn d� =
ZE
hm d�
para cualquier subconjunto E de Xn: De la unicidad de hn; se sigue que hm (x) = hn (x) paracasi todo x 2 Xn; respecto de �: Sea fn = sup fh1; h2; :::; hng; la sucesión (fn) es monótonacreciente en M+ y sea f = l��m fn: Si E 2 A, entonces
� (E \Xn) =
ZE
fn d�:
Como (E \Xn) es una sucesión creciente de conjuntos cuya unión es E; se sigue del Lema(11) y el teorema de convergencia monótona que
� (E) = l��m� (E \Xn) = l��m
ZE
fn d� =
ZE
f d�:
93
La �-unicidad de f se establece como antes. �
La función f cuya existencia se establece en el teorema anterior se denomina a menudola derivada de Radon-Nikodym de � respecto de �; y se denota por d�=d�: Se puede ver quetiene propiedades cercanas a la derivada. Se puede ver que dicha función no es necesariamenteintegrable. De hecho, f es (�-equivalente a una función) integrable si y sólo si � es una medida�nita.En términos intuitivos, una medida � es absolutamente continua con respecto a una
medida � si todos los conjuntos de �-medida pequeña tiene también �-medida pequeña. Enel otro extremo, existe la noción de medida singular, que de�niremos ahora.
De�nición 113 Se dice que las medidas �; � en A son mutuamente singulares si existenconjuntos ajenos A;B 2 A tal que X = A [B; y �(A) = �(B) = 0: En este caso escribimos� ? �:
Aunque la relación de singularidad es simétrica, a veces se dice que � es singular respectode �:
Teorema 114 (Teorema de descomposición de Lebesgue). Sean � y � medidas �-�nitasde�nidas en una sigma-álgebraA: Entonces existe una medida �1 que es singular con respectode �; y una medida �2 la cual es absolutamente continua respecto de � tal que � = �1 + �2:Más aún, las medidas �1 y �2 son únicas.
Demostración. Sea � = � + � de modo que � es �-�nita. Como � y � son ambas abso-lutamente continuas con respecto de �; el teorema de Radon-Nikodym implica que existenfunciones f; g 2M+(X;A) tal que
� (E) =
ZE
f d�; � (E) =
ZE
g d�;
para toda E 2 A. Sea A = fx 2 X : g(x) = 0g ; y sea B = fx 2 X : g(x) > 0g ; así queA \B = ;; y X = A [B:De�nimos �1 y �2 para E 2 A como
�1(E) = � (E \ A) ; �2(E) = �(E \B):Como � (A) = 0; se sigue que �1 ? �: Para ver que �2 � �; observe que si �(E) = 0;entonces Z
E
g d� = 0;
así que g(x) = 0 para �-casi todo x 2 X: Así, � (E \B) = 0; y como �� �; se tiene
�2(E) = �(E \B) = 0:Claramente � = �1 + �2; y esto demuestra la existencia de la descomposición.Para establecer la unicidad de la descomposición, úsese la observación de que si � es una
medida que cumple �� � y � ? �; entonces � = 0: �
94
8.4. Teorema de representación de Riesz
Como otra aplicación del Teorema de Radon-Nikodym, presentaremos un teorema queestá relacionado con la representación de los funcionales lineales continuas en los espaciosLp; 1 � p <1:
De�nición 115 Un funcional lineal en Lp = Lp(X;A; �) es una transformación G : Lp ! Rtal que
G(�f + �g) = �G(f) + �G(g)
para todo �; � 2 R; y f; g 2 Lp: Decimos que el funcional lineal G es acotado si existe unaconstante M tal que
jG(f)j �M kfkppara toda f 2 Lp: En este caso, la norma de G se de�ne como
kGk = supnjG(f)j : f 2 Lp; kfkp � 1
o:
Es una consecuencia de la linealidad de la integral y de la desigualdad de Hölder que sig 2 Lq (donde q =1 cuando p = 1; y 1=p+ 1=q = 1 en otro caso) que si de�nimos G en Lpcomo
G(f) =
Zfg d�; (8.9)
entonces G es un funcional lineal acotada con norma a lo más kGk = kgkq (y es un ejerciciofácil demostrar que kGk = kgkq): El teorema de Riesz nos da un recíproco a esta observación.Antes de probar este teorema, es conveniente observar que cualquier funcional lineal
acotada en Lp puede escribirse como la diferencia de dos funcionales positivas (es decir,funcionales G que cumplen G(f) � 0 para toda f 2 Lp que cumple f � 0):
Lema 116 SeaG un funcional lineal acotado en Lp: Entonces existen dos funcionales linealespositivas G+ y G� tal que G(f) = G+(f)�G�(f); para toda f 2 Lp
Demostración. Si f � 0; de�nimos G+(f) = sup fG(g) : g 2 Lp; 0 � g � fg : Es claroque G+(cf) = cG+(f) para c � 0; y f � 0: Si 0 � gj � fj; entonces
G(g1) +G(g2) = G(g1 + g2) � G+(f1 + f2) � G+(f1 + f2):
Tomando los supremos sobre todos los g1; g2 2 Lp obtenemos G+(f1)+G+(f2) � G+(f1+f2):Recíprocamente, si 0 � h � f1 + f2; sea g1 = sup fh� f2; 0g ; y g2 = ��nf fh; f2g : Se sigueque g1 + g2 = h; y que 0 � gj � fj: Entonces G(h) = G(g1) + G(g2) � G+(f1) + G+(f2):Como esto es cierto para toda h 2 Lp; se deduce que
G+(f1 + f2) = G+(f1) +G+(f2);
95
para todo f1:f2 2 Lp tal que fj � 0:Si f es un elemento arbitrario de Lp; de�nimos
G+(f) = G+(f+)�G+(f�):
Es fácil ver que G+ es un funcional lineal acotado en Lp:Más aún, de�nimos G� para f 2 Lpcomo
G�(f) = G+(f)�G(f):
Entonces G� es un funcional lineal acotado en Lp: De la de�nición de G+ se ve claramenteque G� es un funcional lineal acotado positivo, y que G = G+ �G�:�
Teorema 117 (Teorema de Representación de Riesz). Si (XA; �) es un espacio de medida�-�nita y G es un funcional lineal acotado en L1(X;A; �); entonces existe una función g 2L1(X;A; �) tal que la ecuación (8.9) es válido para toda f 2 L1: Más aún, kGk = kgk1 ; yg � 0 si G es un funcional lineal positivo.
Demostración. Primero supondremos que � (X) < +1; y que G es positiva. De�nimos� : A !R como � (E) = G (�E) : Claramente � (;) = 0: Si (En) es una sucesión creciente enA y E =
SEn; entonces
��En
�converge puntualmente a �E: Como � (X) < +1; se sigue
del corolario (??) que esta sucesión converge en L1 a �E: Como
0 � � (E)� � (En) = G (�E)�G��En
�= G
��E � �En
�� kGk
�E � �En :
Se sigue que � es una medida. Más aún, si M 2 A; y � (M) = 0; entonces � (M) = 0; y estoimplica que �� �:Aplicando el teorema de Radon-Nikodym se obtiene una función medible no negativa
g : A !R tal queG (�E) = � (E) =
Z�Eg d�
para toda E 2 A: Por linealidad se sigue que
G (') =
Z'g d�
para todas las funciones A-medibles simples ':Si f es una función no negativa en L1; sea ('n) una sucesión monótona creciente de
funciones simples que convergen en casi todo punto y en L1 a f: Al ser G un funcional linealacotado, se sigue que G (f) = l��mG ('n) : Más aún, se sigue del teorema de convergenciamonótona que
G (f) = l��m
Z'ng d� =
Zfg d�: (8.10)
96
Descomponiendo una función f 2 L1 en la forma f = f+� f�; y usando la linealidad de G;la ecuación (8.10) es válida para cualquier f 2 L1:Ahora demostraremos el teorema en el caso �-�nito. Si X =
SFn; donde (Fn) es una
sucesión creciente de conjuntos en A con medida �nita, el argumento precedente muestra laexistencia de funciones no negativas gn tal que
G�f�Fn
�=
Zf�Fngn d�
para todo f 2 L1: Si m � n; se puede ver fácilmente que gm (x) = gn (x) para casi todax 2 Fm: De esta manera obtenemos una función g que representa G:SiG es un funcional lineal acotada arbitraria, el Lema (116) muestra que podemos escribir
G = G+ �G�; donde G+ y G� son funcionales lineales positivos acotados. Si aplicamos lasconsideraciones precedentes a G+ y G�; obtenemos funciones medibles no negativas g+ y g�
que representan G+ y G�: Si de�nimos g = g+ � g�; obtenemos la representación
G (f) =
Zfg d� (8.11)
para toda f 2 L1: Se deja como ejercicio demostrar que kGk = kgk1 :�
Teorema 118 (Teorema de representación de Riesz). Si (X;A; �) es un espacio de medidaarbitrario y G es un funcional lineal acotado en Lp (X;A; �) ; 1 < p < 1; entonces existeun g 2 Lq (X;A; �) ; donde q = p=(p� 1) tal que la ecuación (8.9) resulta válida para todaf 2 Lp: Más aún, kGk = kgkq :
Demostración. Si � (X) < 1; la prueba del teorema precedente requiere sólo pequeñoscambios para demostrar que existe una g 2 Lq con kGk = kgkq ; de manera que
G (f) =
Zfg d�
para toda f 2 Lp: Además, el procedimiento usado antes aplica para extender el resultadoal caso donde (X;A; �) es �-�nita.Completaremos la demostración observando que un funcional lineal acotado "se anula
fuera de un conjunto �-�nito". Mas precisamente, sea (fn) una sucesión en Lp tal que kfnkp =1; y que
G (fn) � kGk�1� 1
n
�:
Existe un conjunto X0 2 A que es �-�nito fuera del cual todas las fn se anulan. Sea E 2 Acon E \X0 = ;; entonces kfn � t�Ekp = (1 + tp� (E))1=p para t � 0: Más aún, como
G (fn)�G (�t�E) � jG (fn � t�E)j ;
97
se sigue que
jG (t�E)j � kGk�(1 + tp� (E))1=p �
�1� 1
n
��;
para todo n 2 N. Haciendo primero que n! +1; y luego dividimos por t > 0; y obtenemos
jG (�E)j � kGk(1 + tp� (E))1=p � 1
t:
Aplicando la regla de L�Hospital cuando t ! 0+; se deduce que G (�E) = 0; para cualquierE 2 A en el complemento del conjunto �-�nito X0: Por lo tanto, si f es cualquier funciónen Lp tal que X0 \ fx 2 X : f (x) 6= 0g = ;; se sigue que G (f) = 0:Así, podemos aplicar el argumento precedente para obtener una función g en X0 que
representa a G; y extiende g a todo X, con el requisito que se anula en el complemento deX0: De este modo obtenemos la función deseada.�
98
Capítulo 9
Generación de medidas. El teoremade extensión de Caratheódory
9.1. Introducción
En este capítulo veremos un método mediante el cual una medida de�nida en una familiarelativamente pequeña de conjuntos, bajo ciertas condiciones puede extenderse a una me-dida en una sigma-álgebra que contiene a dicha familia. Empecemos con unas de�nicionespreliminares.
9.2. Álgebras y medidas en álgebras
De�nición 119 Una familia C de subconjuntos de X es un álgebra o un campo si:i) ;; X 2 C:ii) Si E 2 C; entonces Ec = XnE 2 Ciii) Si E1; E2; :::; En 2 C; entonces [nj=1Ej 2 C
De�nición 120 Si C es un álgebra de subconjuntos de X, entonces una medida en C es unafunción � : C ! R tal que i) �(;) = 0; ii) �(E) � 0; para todo E 2 C: iii) Si (En) es unasucesión de conjuntos ajenos dos a dos, y [1n=1En 2 C; entonces
�
1[n=1
En
!=
1Xn=1
� (En) :
Parece razonable que la longitud es una medida, aunque no es obvio. Daremos una condi-ción su�ciente para la aditividad numerable, la cual es satisfecha por la mayoría de lasmedidas encontradas en las aplicaciones reales.
99
De�nición 121 Una familia K de subconjuntos de un conjunto X se llama una clase (con-tablemente) compacta si, para cualquier sucesión (Kn)
1n=1 de elementos con \1n=1Kn = ;;
existe N natural tal que \Nn=1Kn = ;:
La terminología se debe al siguiente ejemplo.
Ejemplo 122 Una colección arbitraria de conjuntos compactos en Rn (o en cualquier espa-cio topológico) son una clase compacta.
En efecto, sea Kn conjuntos compactos en Rn cuya intersección es vacía. Supóngase quepara cada n el conjunto En = \ni=1Ki contiene algún elemento xn: Podemos suponer queningún elemento de la sucesión (xn)n2N se repite in�nitas veces, porque en ese caso es unelemento común de todos los En: Por la compacidad de K1 existe un punto límite x de (xn) :Cada vecindad de x contiene in�nitos elementos de la sucesión (xn) : Al ser todos los Encompactos y xi 2 En siempre que i > n; el punto x pertenece a todos los En; lo que es unacontradicción.�
Teorema 123 Sea � una función real aditiva no negativa de�nida en una álgebra A: Supón-gase que existe una clase compacta K que aproxima � en el siguiente sentido: para cada A 2 Ay cada " > 0; existe K" 2 K y A" 2 A tal que A" � K" � A; y � (A�A") < ": Entonces � escontablemente aditiva. En particular, esto es verdadero si la clase compacta está contenidaen A; y para cada A 2 A se tiene la igualdad
� (A) = sup f� (K) : K � A;K 2 Kg
Demostración. Supongamos que los conjuntos An 2 A forman una sucesión decrecientecuya intersección es vacía. Demostraremos que � (An) ! 0: Sea " > 0 �jo. Por hipótesis,existe Kn 2 K y Bn 2 A tal que Bn � Kn � An y (An�Bn) < 2�n": Es claro que\1n=1Kn � \1n=1An = ;: Por la de�nición de una clase compacta, existe N natural tal que\Nn=1Kn = ;: Entonces \Nn=1Bn = ;: Nótese que se tiene
AN =
N\n=1
An �N[n=1
(An�Bn) : (9.1)
En efecto, sea x 2 AN ; esto es, x 2 An para todo n � N: Si x no pertenece a [Nn=1 (An�Bn) ;entonces x =2 An�Bn para todo n � N: Para que x 2 An y x =2 An�Bn para todo n � N;se debe tener x 2 Bn para toda n � N; pero esto contradice que \Nn=1Bn = ;: La ecuación(9.1) nos da la estimación
� (AN) �NXn=1
� (An�Bn) �NXn=1
2�n" < ":
100
Como los (An) forman una sucesión decreciente de conjuntos, esto implica que si n � N;entonces
� (An) � � (AN) < ":
Así, l��mn!1 � (An) = 0; y � es contablemente aditiva, por la proposición 2.�
Ejemplo 124 Sea I un intervalo en R y sea A la álgebra de uniones �nitas de intervalosen I (abiertos, cerrados y semiabiertos). Entonces la longitud usual �; que le asigna el valorb�a a los intervalos con los extremos a; b; que se extiende por aditividad a las uniones �nitasajenas, es contablemente aditiva en la álgebra A:
En efecto, las uniones �nitas de intervalos cerrados forman una clase compacta, y aprox-ima desde dentro a una unión �nita de intervalos arbitrarios.�
Ejemplo 125 Sea I un cubo en Rn de la forma [a; b]n y sea A la álgebra de uniones �nitasde paralelepípedos que son producto cartesiano de n intervalos en [a; b] : Entonces el volumenusual �n es contablemente aditiva en A: Llamamos a �n la medida de Lebesgue.
En efecto, como en el ejemplo anterior, uniones �nitas de paralelepípedos cerrados en[a; b]n con lados paralelos a los ejes coordenados forma una clase compactaA continuación haremos una demostración directa del ejemplo anterior para n = 1:
Teorema 126 La colección C de todas las uniones �nitas de conjuntos de la forma
(a; b] ; (�1; b] ; (a:1); (�1;+1) (9.2)
es un álgebra de subconjuntos de R; y la longitud es una medida en C:
Demostración. Fácilmente se ve que C es un álgebra. Si l denota la función longitud,entonces la condición i) y ii) de la de�nición de medida se cumplen. Para probar iii) essu�ciente demostrar que si uno de los conjuntos de la forma (9.2) es la union numerable deconjuntos de esta forma, entonces la longitud se suma correctamente. Supóngase que
(a; b] =1[j=1
(aj; bj] ; (9.3)
donde los intervalos (aj; bj] son ajenos. Sean (a1; b1] ; (a2; b2] ; :::; (an; bn] cualquier subcolec-ción �nita de tales intervalos, y supóngase que
a � a1 < b1 � a2 < b2 � � � � < bn�1 � an < bn � b:
(esto puede requerir una reetiquetar los intervalos, lo que siempre se puede hacer). Ahora,
nXj=1
l ((aj; bj]) =
nXj=1
(bj � aj) � bn � a1 � b� a = l ((a; b]) :
101
Como n es arbitraria, concluimos que
1Xj=1
l ((aj; bj]) � b� a: (9.4)
Recíprocamente, sea " > 0 arbitrario, y sea ("j) una sucesión de números positivos conP"j < ": Reetiquetando si es necesario, podemos suponer que a1 = a: Considérese ahora
los intervalos abiertos
I1 = (aj � "j; bj + "j) ;
Ij = (aj; bj + "j) ; j � 2:
En vista de (9.3) se sigue que los conjuntos abiertos fIj : j 2 Ng forman una cubierta abiertadel conjunto compacto [a; b] : Entonces el intervalo es cubierto por una subcolección �nitade intervalos, digamos I1; I2; :::; Im: Reetiquetando y eliminando algunos intervalos extrapodemos suponer que
a = a1 � a2 < b1 + "1 < � � � < am < bm�1 + "m�1 � b < bm + "m:
Se sigue de esta cadena de desigualdades que
b� a � (bm + "m)� a1 �mXj=1
[(bj + "j)� aj]
<mXj=1
(bj � aj) + " �1Xj=1
(bj � aj) + ":
Como " es arbitrario se sigue que
l ((a; b]) �1Xj=1
�l ((aj; bj]) :
Combinando esto con la desigualdad (9.4) concluimos que la longitud es contablementeaditiva en C:�
9.3. Extensión de medidas
Hemos dado un ejemplo de un álgebra de conjuntos, y de una medida de�nida en ella.Ahora consideraremos el caso general. Demostraremos que si C es un álgebra de subconjuntosde X y � es una medida de�nida en C, entonces existe una sigma-álgebra C� que contienea C y una medida �� de�nida en C� tal que �� (E) = � (E) para todo E 2 C: En otras
102
palabras, � puede extenderse a una medida �� en una sigma-álgebra C� que contiene a C:Para esto, de�niremos una función de�nida en todos los subconjuntos de X; y obtendremosla sigma-álgebra restringiéndonos a ciertos subconjuntos que satisfacen cierta propiedad deaditividad.
De�nición 127 Sea X no vacío, C una álgebra de subconjuntos de X; y � : C !�R unamedida en C: Sea B � X: De�nimos ��(B) como
�� (B) = ��nf
( 1Xj=1
�(Ej)
)donde el ín�mo se toma sobre todas las cubiertas (En) de conjuntos en C tales que
B �1[n=1
Ej:
A la función �� de�nida antes se le llama medida exterior generada por �; aunque enrealidad no es una medida. El nombre se le da debido a que tiene propiedades similares a lasde una medida.
Lema 128 La función �� satisface las siguientes propiedades.a) �� (;) = 0:b) �� (B) � 0; para todo B � X:c) Si A � B; entonces �� (A) � �� (B) :d) Si (Bn) es una sucesión de subconjuntos de X; entonces
��
1[n=1
Bn
!�
1Xn=1
�� (Bn)
e) Si B 2 C; entonces �� (B) = � (B)
Demostración. a), b) c) son inmediatas de la de�nición.d) Para establecer la desigualdad, sea " > 0 arbitrario, y para cada n 2 N sea (En;k)1k=1
una sucesión de conjuntos en C tal que
Bn �1[k=1
En;k; y1Xk=1
� (En;k) � �� (Bn) +"
2n:
Como fEn;k : n; k 2 Ng es una colección numerable de conjuntos en C cuya unión contiene aB; entonces por la de�nición de ��
��
1[n=1
Bn
!�
1Xn=1
1Xk=1
� (En;k) �1Xn=1
�� (Bn) + ":
103
Como " > 0 es arbitrario, se tiene la desigualdad deseada.e) Como fB; ;; ;; :::g es una cubierta numerable de conjuntos en C; cuya unión contiene
B; entonces�� (B) � � (B) + 0 + 0 + � � � = � (B) :
Recíprocamente, si (En) es una sucesión de conjuntos en C con B �[
En; entonces B =1[n=1
(B \ En) : Como � es una medida en C, entonces
� (B) �1Xn=1
� (B \ En) �1Xn=1
� (En) :
Tomando el in�mo sobre todas las cubiertas (En) de B tales que (En) � C; se sigue que� (B) � �� (B) : Así, se tiene e).�Se dice que la propiedad (e) del lema anterior es la propiedad de que �� es contablemente
subaditiva.Aunque �� tiene la ventaja de que está de�nida para todos los subconjuntos de X; tiene el
defecto de que no es necesariamente contablemente aditiva, y a veces ni siquiera �nitamenteaditiva. Restringiremos �� a una sigma-álgebra mas pequeña que contiene a C en donde ��sea contablemente aditiva. Para esto Carathéodory encontró la siguiente propiedad.
De�nición 129 Decimos que un subconjunto E � X es ��-medible si
�� (A) = �� (A \ E) + �� (AnE) (9.5)
para todos los subconjuntos A � X: La familia de subconjuntos ��-medibles se denota porC�:
Intuitivamente E es ��-medible si E y su complemento están lo su�cientemente separadosde modo que dividan a cualquier conjunto aditivamente.
Teorema 130 (Teorema de extensión de Carathéodory) La colección C� de todos los conjun-tos ��-medibles forman una sigma-álgebra que contiene C: Más aún, si (En) es una sucesiónde conjuntos ajenos dos a dos en C�; entonces
��
1[n=1
En
!=
1Xn=1
�� (En) : (9.6)
Demostración. Es claro que ; y X son ��-medibles, y que si E 2 C�; entonces el comple-mento Ec es ��-medible.Demostraremos que �� es cerrado bajo uniones.1 En efecto, sean E;F 2 C�: Como F es
medible, entonces
�� (A \ Ec) = �� (A \ Ec \ F ) + �� (A \ Ec \ F c) :1
104
Como A \ (E [ F ) = (A \ E) [ (A \ F \ Ec) ; entonces
�� (A \ (E [ F )) � �� (A \ E) + �� (A \ F \ Ec)
entonces
�� (A \ (E [ F )) + �� (A \ Ec \ F c) � �� (A \ E) + �� (A \ F \ Ec) + �� (A \ Ec \ F c)= �� (A \ E) + �� (A \ Ec)= �� (A) :
La segunda igualdad es válida, por la medibilidad de Ec, con A \ Ec en lugar de A; en lade�nición de medibilidad, y la tercera por la medibilidad de E:En efecto, supóngase que E;F 2 C�; y que E \F = ;: poniendo A\ (E [F ) en lugar de
A en la ecuación (9.5) obtenemos
�� (A \ (E [ F )) = �� (A \ E) + �� (A \ F ) :
Poniendo A = X se llega a
�� (E [ F ) = �� (E) + �� (F ) :
Esto implica que �� es aditiva en C�:Ahora demostraremos que C� es una sigma-álgebra y que �� es contablemente aditiva en
C�: Sea (Ek) una sucesión ajena dos a dos de conjuntos en C�: Sea E = [Ek: Del párrafoanterior sabemos que Fn = [nk=1Ek está en C�; y que si A es cualquier subconjunto de X;entonces
�� (A) = �� (A \ Fn) + �� (AnFn) =nXk=1
�� (A \ Ek) + �� (AnFn)
1. También se puede empezar probando que A� es cerrada bajo intersecciones. En efecto, sean E;Fconjuntos��-medibles. Entonces, para cualquier A � X;
�� (A \ F ) = �� (A \ F \ E) + �� ((A \ F ) nE) :
Como F 2 C�; entonces�� (A) = �� (A \ F ) + �� (AnF ) :
Sea B = An (E \ F ) : Obsérvese que B \ F = (A \ F ) nE; y BnF = AnF: Como F 2 C� se tiene que
��(An(E \ F )) = ��((A \ F ) nE) + �� (AnF ) :
Combinando las tres igualdades se tiene
�� (A) = �� (A \ E \ F ) + �� (An(E \ F )) :
Como A � X es arbitrario, se sigue que E \F es ��-medible. Como A� es cerrado bajo interseccionesy complementos, se sigue que A� es un álgebra.
105
Como Fn � E; entonces AnE � AnFn, y por lo tanto
�� (A) �nXk=1
�� (A \ Ek) + �� (AnE) :
Como n es arbitrario, haciendo que n!1 se tiene
�� (A) �1Xk=1
�� (A \ Ek) + �� (AnE) :
Por otro lado, del lema (128) e), se tiene que
�� (A \ E) �1Xk=1
�� (A \ Ek)
�� (A) � �� (A \ E) + �� (AnE)
Se tiene, combinando las dos primeras desigualdades, que
�� (A) �1Xk=1
�� (A \ Ek) + �� (AnE) � �� (A \ E) + �� (AnE)
y por lo tanto
�� (A) = �� (A \ E) + �� (AnE) =1Xn=1
�� (A \ En) + �� (AnE)
Esto demuestra que E = [1n=1En es ��-medible, y tomando A = E; se tiene (9.6).Falta demostrar que C � C�: Se probó en el lema 128 d) que si E 2 C; entonces �� (E) =
� (E) ; pero falta demostrar que E es ��-medible. Sea A un subconjunto arbutrario de X;como �� es subaditiva,
�� (A) � �� (A \ E) + �� (AnE) :Para establecer la desigualdad opuesta, sea " > 0 arbitrario, y sea (Fn) una sucesión deconjuntos en C tal que A � [Fn y
1Xn=1
� (Fn) � �� (A) + ":
Como A \ E � [ (Fn \ E) y AnE � [ (FnnE) ; se sigue de la subaditividad de ��;
�� (A \ E) �1Xn=1
� (Fn \ E) ; �� (AnE) �1Xn=1
� (FnnE) :
106
Entonces
�� (A \ E) + �� (AnE) �1Xn=1
[�� (Fn \ E) + � (FnnE)]
=1Xn=1
� (Fn) � �� (A) + ":
Como " es arbitrario, se tiene la desigualdad deseada, y el conjunto E está en C�:�
De�nición 131 Decimos que un espacio de medida (X;A; �) es completo si para cualquierA 2 A con � (A) = 0 se tiene que P (A) � A; es decir, si un conjunto A 2 A tiene medidacero, todos los subconjuntos de A están en A (y tienen medida cero, desde luego).
El Teorema de Extensión de Carathéodory demuestra que una medida � en una álgebraC puede extenderse a una medida �� sobre una sigma-álgebra C� que contiene a C: La sigma-álgebra C� así obtenida es automáticamente completa. Para probar esto, sea E 2 A unconjunto con �� (E) = 0: Sea B � E y sea A un subconjunto arbitrario de X. Por el Lema128 c)
�� (A) = �� (E) + �� (A) � �� (A \B) + �� (AnB) ;
(porque A \B � E; y AnB � A) y como �� es subaditiva,
�� (A) � �� (A \B) + �� (AnB) :
Juntando las dos desigualdades esto implica
�� (A) = �� (A \B) + �� (AnB) :
Por lo tanto B está en C�: Además,
0 � �� (B) � �� (E) = 0:
Por lo tanto �� (B) = 0:Si agregamos la condición de que � es �-�nita, la extensión de � a la sigma-álgebra C�
es única.
Teorema 132 (Teorema de extensión de Hahn) Supóngase que � es una medida �-�nita enun álgebra C: Entonces existe una única extensión de � a una medida en C�:
Demostración. El hecho de que ��da una medida en C� ya se demostró, aún sin la condi-ción de ser � �-�nita. Para establecer la unicidad, sea � una medida en C� tal que � = � enC:
107
Primero, supongamos que �, y por lo tanto �� y � son �nitas. Sea E cualquier conjuntoen C�; y sea (En) una sucesión en C tal que E � [En: Como � es una medida que coincidecon � en C; entonces
� (E) � �
1[n=1
En
!�
1Xn=1
� (En) =
1Xn=1
� (En) :
Esta desigualdad implica, tomando in�mos sobre todas las cubiertas (En) de E con elementosde C; que � (E) � �� (E) ; para todo E 2 C�: Como �� y � son aditivas, �� (E)+�� (XnE) =� (E) + � (XnE) : Como cada uno de los términos del lado derecho es �nito, y no es mayorque el correspondiente de la izquierda, se sigue que �� (E) = � (E) para toda E 2 C�: Estoestablece la unicidad cuando � es una medida �nita.Supóngas que � es una medida �-�nita y sea (Fn) una sucesión creciente de conjuntos en
C con � (Fn) < 1; y X =[
Fn: Del párrafo anterior, �� (E \ Fn) = � (E \ Fn) para cadaE 2 C�: Por lo tanto,
�� (E) l��m�� (E \ Fn) = l��m � (E \ Fn) = � (E) :
De aquí, �� y � coinciden en C�:�
9.4. Medida de Lebesgue-Stieltjes
En el Lema 126 demostramos que el conjunto F de todas las uniones �nitas de conjuntosde la forma
(a; b] ; (�1; b] ; (a;+1) ; (�1;+1)es un álgebra de subconjuntos de R; y que la función longitud es una medida en F : Si apli-camos el Teorema de Extensión de Carathéodory a l yF , generamos una medida (R; F�; l�) :A esta sigma-álgebra F� obtenida en esta construcción se le llama la colección de conjuntosLebesgue medibles, y a la medida l� en F� se le llama la medida de Lebesgue. Si se acepta elaxioma de elección, se puede demostrar la existencia de conjuntos no medibles en R; comoya demostramos en el capítulo 3.Aunque a veces queremos trabajar con (R; F�; l�) ; a menudo es mas conveniente trabajar
con la sigma-álgebra más pequeña que contiene a F en lugar de F�: Se puede ver que dichasigma-álgebra es la sigma-álgebra de Borel B. La restricción de la medida de Lebesgue a B sellama la medida de Borel (o medida de Lebesgue). Puede preocuparse el lector, pero como yase vio en el capítulo 3, todo conjunto medible según Lebesgue está contenido en un conjuntode Borel de la misma medida, y toda función Lebesgue medible es igual en casi todo puntoa una función Borel medible.Alguna vez es más conveniente usar una noción de magnitud de un intervalo que sea
diferente de la longitud. Esto se puede hacer de la manera siguiente. Sea g una función
108
monótona creciente de R en R de tal modo que si x � y entonces g (x) � g(y): Además,supondremos que g es continua por la derecha en cada punto, de modo que
g(c) = l��mh!0+
g(c+ h):
Si g es monótona, también se tiene que
l��mx!�1
g(x); l��mx!1
g(x)
ambos existen, aunque pueden ser �1 y +1:Para una función así, de�nimos
�g ((a; b]) = g(b)� g(a);
�g ((�1; b]) = g(b)� l��mx!�1
g(x);
�g ((a;+1)) = l��mx!1
g(x)� g(a);
�g ((�1;+1)) = l��mx!1
g(x)� l��mx!�1
g(x):
De�nimos a �g en el álgebra F de uniones �nitas ajenas de conjuntos de la forma anteriorcomo las sumas correspondientes. Modi�cando la demostración del Lema 126 se puede verque �g es una medida �-�nita en el álgebra F : Entonces, por el teorema de extensión deCarathéodory esta medida tiene una extensión, que es única, por el teorema de Hahn, a unamedida que también la denotamos por �g, a una sigma-álgebra F�
g de R: Dicha sigma-álgebraes completa y contiene a la sigma-álgebra de Borel de R. A esta medida se le llama la medidade Lebesgue-Stieltjes generada por g: Cabe hacer notar que la medida �g en
�R;B (R) ; �g
�no necesariamente es completa.
9.5. Funcionales lineales en C
Concluiremos este capítulo demostrando que existe una correspondencia muy cercanaentre medidas de Borel-Stieltjes en un intervalo cerrado J = [a; b] y funcionales linealesacotadas positivas en el espacio de Banach C(J) de las funciones continuas en J con lanorma
kfk = sup fjf(x)j : x 2 Jg :
Este resultado, debido a F. Riesz, ha sido extendido en muchas direcciones. Por ejemplo,se ha tomado como punto de partida para de�nir la integral como un funcional lineal enespacios de funciones continuas.Recordemos que una funcional lineal T : C (J)! R es positiva si T (f) � 0 siempre que
f (x) � 0 para toda x 2 [a; b] :
109
Teorema 133 (Teorema de Representación de Riesz) Si G es un funcional lineal acotadoen C(J); entonces existe una medida de�nida en los subconjuntos de Borel de R tal que
G(f) =
ZJ
f d ; (9.7)
para toda f 2 C(J): Más aún, la norma kGk de G es igual a (J) :
Demostración. Si t es tal que a � t � b y n 2 N es su�cientemente grande, sea 't;n lafunción en C(J) que vale 1 en [a; t] ; que vale 0 en (t+ 1=n; b] y es lineal en (t; t+ 1=n] : Sin � m y x 2 J; entonces 0 � 't;m(t) � 't;m(t): Así, la sucesión
�G('t;n)
�de números reales
es decreciente y acotada. Si t 2 [a; b) ; de�nimos
g(t) = l��mn!1
G('t;n):
Más aún, de�nimos g(t) = 0 para t < a; y si t � b; sea g(t) = G('b); donde 'b (t) = 1 paratoda 2 J: Es fácil ver que g es una función monótona creciente en R:A�rmamos que g es continua por la derecha. Esto es claro si t < a; o si t � b: Sea
t 2 [a; b) ; y " > 0, y sean > sup
�2; kGk "�1
tan grande que
g(t) � G('t;n) � g(t) + ":
Si n es la función en C(J) que vale 1 en [a; t+ n�2] ; que vale cero en (t+ n�1 � n�2; b] yes lineal en (t+ n�2; t+ n�1 � n�2] : Un ejercicio sencillo de geometría analítica demuestraque
n � 't;n � 1=n: Por lo tanto.
G( n) � G('t;n) +
�1
n
�kGk � g(t) + 2";
de modo que g(t) � g(t+n�2) � g(t)+2": De acuerdo con el teorema de extensión de Hahn,existe una medida en los subconjuntos de Borel de R tal que ((�; �]) = g(�)� g (�) : Enparticular, esto demuestra que (E) = 0; si E \ J = ;; que
([a; c]) = ((a� 1; c)) = g(c);
y que kGk = kG('b)k = g(b) = (J) :Falta demostrar que la ecuación (9.7) es válida para C(J): Si " > 0; como f es uni-
formemente continua en J; existe un �(") > 0 tal que si jx� yj < �("); y x; y 2 J; entoncesjf(x)� f(y)j < ": Ahora, sea a = t0 < t1 < � � � < tn = b tales que sup jtk � tk�1j < 1
2�("); y
escojamos n tan grande que 2=n < ��nf (tk � tk�1) y que para k = 1; 2; :::;m se tenga
g(tk) � G('tk;n) � g(tk) + " (m kfk)�1 : (9.8)
110
Consideremos las funciones de�nidas en J por
f1 (x) = f(t1)'t1;n(x) +mXk=2
f(tk)n'tk;n(x)� 'tk�1;n(x)
o;
f2(x) = f(t1)�[t0;t1](x) +
mXk=2
f(tk)�(tk�1;tk](x):
Nótese que f1 2 C(J) y que f2 es una función escalonada en J: Claramente sup fjf2(x)� f(x)j : x 2 Jg �"; y se puede demostrar que kf1 � fk � ". Entonces tenemos
jG(f)�G(f1)j � " kGk :
En vista de (9.8) vemos que si 2 � k � m; tenemos���G('tk;n � 'tk�1;n)� fg(tk)� g(tk�1)g��� � " (m kfk)�1 :
Aplicando G a f1 e integrando f2 respecto de ; implica que, por la desigualdad antesdemostrada, ����G(f1)� Z
J
f2 d
���� � ":
Pero como f1 dista menos de " de f; también tenemos����ZJ
f2 d �ZJ
f d
���� � " (J):
Combinando las desigualdades, se tiene����G(f)� ZJ
f d
���� � " (2 kGk+ 1) :
Como " > 0 es arbitrario, deducimos (9.7).�
Si veri�camos la demostración del lema ??, veremos que un funcional lineal acotadaarbitrario G en C(J) puede escribirse como una diferencia G = G+�G� de dos funcionaleslineales acotadas positivas. Haciendo uso de esta observación, podemos extender el Teoremade Representación de Riesz para representar un funcional lineal acotada en C(J) por mediode integración respecto de una carga de�nida en los subconjuntos de Borel de J:
9.6. Compleción de medidas (opcional)
Recordemos que un espacio de medida (X;A; �) es completa si para toda E 2 A, con� (E) = 0; entonces para F � E implica F 2 A: Esto es, para cualquier E 2 A cuya
111
medida es cero, todos los subconjuntos del conjunto E están en A: Por ejemplo, la propiaconstrucción de la medida de Lebesgue-Stieltjes para una función no decreciente f en R,discutida antes, produce un espacio de medida
�R;M��f
; ��f
�: La sigma-álgebra B (R) es
una sub-sigma-álgebra de M�F y el espacio
�R;B (R) ; ��f
�no necesariamente es completo.
Por ejemplo, si �f es la medida de Lebesgue, entonces el conjunto de Cantor C tiene medidacero, y por lo tantoM =la sigma-álgebra de Lebesgue contiene el conjunto potencia de C ypor lo tanto tiene cardinalidad mayor que la de R: Se puede demostrar que la cardinalidad deB (R) es la misma que la de R, y por lo tanto hay muchos conjuntos medibles según Lebesgueque no son conjuntos de Borel. En probabilidad surgen muchos casos similares, por ejemplo,si F es una distribución degenerada en 0, es decir, F (x) = 0 para x < 0; y F (x) = 1; six � 0; entonces M��F
= P (R) ; el conjunto potencia de R; y por lo tanto (R;B (R) ; �F )no es completo. Sin embargo, siempre es posible completar una medida incompleta (XA; �)añadiendo nuevos conjuntos a F : De eso se trata el siguiente teorema.
Teorema 134 Sea (X;F ; �) un espacio de medida. Sea~F = fA : B1 � A � B2 para algún B1; B2 2 F que satisfacen � (B2 nB1) = 0g :
Para cualquier A 2 F ; sea ~� (A) = � (B1) = � (B2) para cualquier par de conjuntos B1; B2 2F con B1 � A � B2; y � (B1 nB2) = 0: Entoncesi) ~F es una sigma-álgebra y F � ~F ;ii) ~� está bien de�nida.iii) (X;F ; �) es un espacio de medida completa, y ~� = � en F :
Demostración. i) Como A 2 ~F ; existen B1; B2 2 F ; B1 � A � B2; y � (B2 nB1) =0: Claramente, Bc
2 � Ac � Bc1; y B
c1; B
c2 2 F ; y � (Bc
1 nBc2) = � (B2 nB1) = 0; y esto
implica que Ac 2 A: Ahora, supóngase que (An)1n=1 es una sucesión de conjuntos en ~F y
sea A =1Sn=1
An: Entonces, para cada n 2 N existen B1n; B2n 2 F tal que B1n � An � B2n,
y � (B2n nB1n) = 0: Sea B1 =1Sn=1
B1n; B2 =1Sn=1
B2n: Entonces B1 � A � B2; B1; B2 2 F
y B2 n B1 �1Sn=1
(B2n nB1n) ; y por lo tanto � (B2 nB1) �P1
n=1 � (B2n nB1n) = 0: Por lo
tanto, A 2 ~F y esto implica que ~F es una sigma-álgebra. Claramente F � ~F ; porque paracada A 2 F podemos tomar B1 = B2 = A:ii) Sean B1 � A � B2; B
01 � A � B0
2; B1; B2; B01; B
02 2 F y � (B2 nB1) = � (B0
2 nB01) =
0: Entonces B1 [ B01 � A � B2 [ B0
2; y (B2 \B02) n (B1 [B0
1) = (B2 \B02) \ (Bc
1 \B0c1 ) �
B2 \B01: Por lo tanto,
� ([B2 \B02] n [B1 [B0
1]) = 0:
Por lo tanto
� (B2) = � (B1) + � (B2 nB1) = � (B1) � � (B1 [B01) = � (B2 \B0
2) � � (B02) :
112
Entonces � (B2) � � (B02) : Por simetría � (B
02) � � (B2) : Así, � (B0
2) = � (B2) : Pero � (B2) =� (B1) ; y � (B0
2) = �(B01); y esto implica que todas las cuatro cantidades son iguales.
iii) Falta demostrar que ~� es completa en ~F y contablemente aditiva. Sea (An)1n=1 una
sucesión de conjuntos ajenos dos a dos en ~F y sea A =1Sn=1
An: Sean (B1n)1n=1 ; (B2n)
1n=1,
B1; B2 como en la demostración de i). Entonces, del hecho de que los (An) son ajenos implica
que los (B1n) son ajenos. Y, como B1 =1Sn=1
B1n; y � es una medida en (X;A) ;
� (B1) =
1Xn=1
� (B1n) :
También, por de�nición de los B1n; � (B1n) = ~� (An) para toda n 2 N; y por i), ~� (A) =� (B1) : Entonces,
~� (A) = � (B1) =1Xn=1
� (B1n) =1Xn=1
~� (An) ;
y eso establece la aditividad contable de ~�:Finalmente, si A 2 F , entonces tomamos B1 = B2 = A; y así, ~� (A) = � (B1) = � (A) ; y
así, ~� = � en F . Por lo tanto, la demostración del teorema está completa.�
113
114
Capítulo 10
Medidas producto
10.1. Introducción
Si X; Y son dos conjuntos, de�nimos el producto cartesiano Z = X�Y como el conjuntode pares ordenados (x; y) ; donde x 2 X; y 2 Y: Primero demostraremos que el productocartesiano de dos espacios medibles (X;A) ; (Y;B) puede convertirse en un espacio mediblede manera natural. Después relacionaremos la integral en el espacio producto con la integralen los espacios individuales.
10.2. Medidas producto
De�nición 135 Si (X;A) ; (Y;B) son espacios medibles, entonces a un conjunto de la formaA�B con A 2 A y B 2 B se le denomina un rectángulo medible, o simplemente rectángulo,en Z = X � Y: Denotaremos la colección de todas las uniones �nitas de rectángulos por Z0:
Se puede demostrar que cada conjunto en Z0 se puede poner como una unión mutuamenteajena.
Ejercicio. Demostrar que, con la notación anterior, si A1; A2 2 A y B1; B2 2 B: Entonces
(A1 �B1) [ (A2 �B2) = [(A1nA2)�B1] [ [(A1 \ A2)� (B1 [B2)] [ [(A2nA1)�B2]
y veri�car que los conjuntos de la derecha son mutuamente ajenos. También, demostrar que
(A1 �B1) n (A2 �B2) = [(A1 \ A2)� (B1nB2)] [ [(A1nA2)�B1]
(A1 �B1) \ (A2 �B2) = (A1 \ A2)� (B1 \B2)
Lema 136 La colección Z0 es un álgebra de subconjuntos en Z:
115
Demostración. Es claro que la unión de un número �nito de conjuntos en Z0. Similar-mente, se sigue de los ejercicios anteriores que el complemento de un rectángulo en Z0 estáen Z0; y que la intersección de dos conjuntos en Z0 está en Z0: Aplicando las leyes de DeMorgan vemos que el complemento de un conjunto en Z0 está en Z0: �
De�nición 137 Si (X;A) y (Y;B) son espacios medibles, entonces Z = A� B denota lasigma-álgebra de subconjuntos de Z = X�Y generada por los rectángulos A�B con A 2 Ay B 2 B. Nos referiremos a un conjunto en Z como un conjunto Z-medible o un subconjuntomedible de Z:
Sean (X;A; �) y (Y;B; �) son espacios de medida, queremos de�nir una medida � en lossubconjuntos de Z = A� B de manera que sea el "producto"de � y �; en el sentido de que
� (A�B) = � (A) � (B) ; A 2 A; B 2 B:
(Recordemos la convención de que 0 (�1) = 0): Demostraremos que esto siempre puedehacerse.
Teorema 138 (Teorema de la medida producto) Si (X;A; �) y (Y;B; �) son espacios demedida, entonces existe una medida � de�nida en Z = A� B tal que
� (A�B) = � (A) � (B) ; (10.1)
para toda A 2 A; B 2 A: Si � y � son �-�nitas, entonces hay una única medida � con lapropiedad (10.1)
Demostración. Supóngase que el rectángulo A � B es la unión ajena de una sucesión(Aj �Bj) de rectángulos. Entonces
�A�B(x; y) = �A(x)�B(y) =1Xj=1
�Aj(x)�Bj(y);
para toda x 2 X; y 2 Y: Manteniendo x �ja, integramos respecto de �; y aplicando elTeorema de Convergencia Monótona queda
�A(x)�(B) =
1Xj=1
�Aj(x)�(Bj):
Una aplicación adicional del Teorema de Convergencia Monótona nos da
� (A) � (B) =
1Xj=1
� (Aj) � (Bj) :
116
Ahora sea E 2 Z0: Sin pérdida de generalidad podemos suponer que
E =
n[j=1
(Aj �Bj) ;
donde los conjuntos Aj �Bj son rectángulos mutuamente ajenos. Si de�nimos �0 (E) por
�0 (E) =
nXj=1
� (Aj) � (Bj) ;
el argumento utilizado arriba demuestra que �0 está bien de�nida, y es contablemente aditivaen Z0: Por el Teorema ??, existe una extensión de �0 a una medida � de�nida en la sigma-álgebra generada por Z0: Como � es una extensión de �0; es claro que la ecuación (10.1) esválida.Si (X;A; �) y (Y;B; �) son sigma-�nitas, entonces �0 es una medida sigma-�nita en Z0
y el teorema de extensión de Hahn implica que la medida � es única.�
El Teorema 138 establece la existencia de una medida � sobre una sigma-álgebra Zgenerada por los rectángulos fA�B : A 2 A; B 2 Bg y tal que (10.1) es válida. Cualquiermedida de�nida así se llama la medida producto de � y �: Si � y � son sigma-�nitas, seproduce una medida única. Sin embargo, se puede mostrar con un ejemplo que si � o � noson sigma-�nitas, puede haber más de una medida en Z tal que (10.1) es válida.Para relacionar la integración con respecto de la medida producto y la integración iterada,
el concepto de sección es útil.
De�nición 139 Si E es un subconjunto de Z = X � Y y x 2 X; entonces la x-sección deE es el conjunto
Ex = fy 2 Y : (x; y) 2 Eg :Similarmente, si y 2 Y; la y-sección de E es
Ey = fx 2 X : (x; y) 2 Eg :
Si f es una función de valores reales extendidos con dominio Z; y x 2 X; la x-sección de fes la función fx : Y ! R dada por
fx(y) = f(x; y); y 2 Y:
También, si y 2 Y; la y-sección de f es la función f y : X ! R dada por
f y(x) = f(x; y); x 2 X:
Lema 140 a) Si E es un subconjunto medible de Z; entonces cada sección de E es medible.b) Si f es una función medible de Z a R; entonces cada sección de f es medible.
117
Demostración. a) Si E = A � B y x 2 X; entonces la x-sección de E es B; si x 2 A; yes ;; si x =2 A: Entonces los rectángulos están contenidos en la colleción E de conjuntos enZ que tienen la propiedad de que cada sección es medible. Fácilmente se puede ver que E esuna sigma-álgebra, se sigue que E = Z:b) Sea x 2 X y � 2 R; entonces
fy 2 Y : fx(y) > �g = fy 2 Y : f(x; y) > �g= f(x; y) 2 X � Y : f(x; y) > �gx
Si f es Z-medible, entonces fx es Y -medible. Similarmente, f y es X-medible.�
De�nición 141 Una clase monótona es una colecciónM de subconjuntos de X tales quepara cualquier sucesión creciente (En) y para cada sucesión decreciente (Fn) de conjuntos enM se tiene que
1[n=1
En y1\n=1
Fn
están enM:
Se puede demostrar fácilmente que si C es una colección no vacía de subconjuntos de unconjunto X; entonces la sigma-álgebra S generada por C contiene a la clase monótona Mgenerada por A: Demostraremos que si C es un álgebra, entonces S =M:
Lema 142 (Lema de la clase monótona). Si C es un álgebra de conjuntos, entonces la sigma-álgebra generada por C coincide con la clase monótonaM generada por C:
Demostración. Hemos mencionado que M � S: Para obtener la inclusión opuesta, essu�ciente demostrar queM es un álgebra.Si E 2 M; de�nimos M(E) como la colección de F 2 M tales que EnF; E \ F;
FnE pertenecen aM: Evidentemente ;; E 2 M (E) y es fácil ver queM (E) es una clasemonótona. Más aún, F 2M (E) si y sólo si E 2M (F ) :Si E 2 C; es claro que C � M (E) : Pero como M es la clase monótona que contiene
a C; debemos tener M (E) = M para E 2 C: Por lo tanto, si E 2 C y F 2 M entoncesF 2M (E) : De aquí se deduce que si E 2 A y F 2M; entonces E 2M (F ) ; de modo queA � M (F ) para cada F 2 M: Usando la minimalidad deM una vez mas concluimos queM (F ) =M para toda F 2M: EntoncesM es cerrado bajo intersecciones y complementosrelativos. Pero como X 2 M es fácil ver que M es un álgebra. Como M es una clasemonótona entoncesM es en efecto una sigma-álgebra.�
Se sigue del Lema de la Clase Monótona que si una clase monótona contiene un álgebraC, entonces contiene la sigma-álgebra � (C) generada por C:
118
10.3. Teorema de Tonelli y Teorema de Fubini
Lema 143 Sean (X;A; �) y (Y;B; �) espacios de medida �-�nitas. Si E 2 Z = A � B;entonces las funciones de�nida por
f(x) = � (Ex) ; g(y) = � (Ey) (10.2)
son medibles, y ZX
f d� = � (E) =
ZY
g d�: (10.3)
Demostración. Primero, supondremos que los espacios de medida son de medida �ni-ta. Sea M la colección de todos los E 2 Z para los cuales la ecuación (10.3) es válida.Demostraremos que M = Z demostrando que M es una clase monótona que contiene alálgebra Z0: Si E = A�B; con A 2 A y B 2 B; entonces
f(x) = �A (x) � (B) ; g(y) = �B(y)� (A)ZX
f d� = � (A) � (B) =
ZY
g d�
Como cualquier elemento arbitrario de Z0 puede escribirse como una unión ajena de rectán-gulos se sigue que Z0 �M:Ahora demostraremos queM es una clase monótona. En efecto, sea (En) una sucesión
creciente enM cuya unión es E: Entonces
fn(x) = � ((En)x) ; gn(x) = � ((En)y)
son medibles y ZX
fn d� = � (En) =
ZY
gn d�:
Fácilmente se ve que las sucesiones monótonas crecientes (fn) y (gn) convergen a las funcionesf y g de�nidas como
f(x) = � (Ex) ; g(x) = � (Ey) :
Si aplicamos el hecho de que � es una medida, y el Teorema de Convergencia Monótonaobtenemos Z
X
f d� = �(E) =
ZY
g d�:
Por lo tanto E 2 M: Como � es una medida �nita, puede demostrarse de manera similarque si (Fn) es una sucesión decreciente de conjuntos en M, entonces F = \Fn perteneceaM: Entonces M es una clase monótona, y se sigue del Lema de la Clase Monótona queM = Z:Si las medidas son �-�nitas, sea Z =
1[n=1
Zn donde (Zn) es una sucesión de rectángulos
con � (Zn) <1; y aplicamos el argumento anterior y el Teorema de Convergencia Monótonaa la sucesión (E \ Zn) :�
119
Teorema 144 (Teorema de Tonelli) Sea (X;A; �) y (Y;B; �) espacios de medida con � y� sigma-�nitas, y sea F una función medible no negativa en Z = A � B con valores en R:Entonces las funciones de�nidas en X y Y por
f(x) =
ZY
Fxd�; g(y) =
ZX
F yd�; (10.4)
son medibles y ZX
f d� =
ZZ
F d� =
ZY
g d�: (10.5)
En otras palabras,ZX
�ZY
F (x; y)d�(y)
�d�(x) =
ZX�Y
F (x; y) d�(x; y) =
ZY
�ZX
F (x; y) d�(x)
�d�(y):
(10.6)
Demostración. Si F es la función característica de un conjunto en Z; la a�rmación sesigue del Lema (143). Por linealidad, el teorema presente es válido para funciones simples nonegativas de Z a R: Si F es una función arbitraria no-negativa, entonces existe una sucesión(�n) creciente de funciones simples no negativas que converge en Z a la función F: Si 'n y n están de�nidas como
'n (x) =
ZY
(�n)x d�; n(y) =
ZX
(�n)y d�
entonces 'n y n son funciones medibles y monótonas en n: Por el Teorema de ConvergenciaMonótona ('n) converge en X a f y ( n) converge en Y a g: Otra aplicación del Teoremade Convergencia Monótona implica queZ
X
f d� = l��m
ZX
'n d� = l��m
ZZ
�nd�
= l��m
ZY
nd� =
ZY
g d�:
El mismo teorema también demuestra queZZF d� = l��m
ZZ
�nd�;
de la cual (10.5) se sigue. El teorema queda demostrado.�La conclusión del teorema de Tonelli es falsa si omitimos la hipótesis de que F es no
negativa, o si omitimos la hipótesis de que las medidas � y � son sigma-�nitas.
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Ejercicio 145 a) Sean X y Y el intervalo unidad [0; 1] y sean A y B la sigma-álgebra deBorel de [0; 1] : Sea � la medida de Lebesgue en A y sea � la medida contadora en B: SiD = f(x; y) : x = yg ; demostrar que D es un subconjunto medible de Z = X � Y; pero queZ
� (Dx) d� (x) 6=Z� (Dy) d� (y) :
Entonces el Lema 143 puede fallar a menos de que ambas medidas sean �-�nitas.b) Si F es la función indicadora del conjunto D del inciso a), demostrar que el Teorema deTonelli puede fallar, a menos de que ambos factores sean �-�nitos.
El Teorema de Tonelli está relacionado con funciones no negativas en Z y a�rma que lasintegrales iteradas son iguales entre sí, e iguales a la integral de F en Z; aunque pueden ser+1: El resultado �nal considera el caso donde F puede tomar valores positivos y negativos,pero debemos suponer que F es integrable.
Teorema 146 (Teorema de Fubini). Sean (X;A; �) y (Y;B; �) espacios de medida �-�nitos,y sea � la medida producto de � y � en Z = A� B: Si la función F : Z = X � Y ! R esintegrable con respecto de �; entonces las funciones f; g de valor real extendido de�nidas encasi todo punto como
f(x) =
ZY
Fx d�; g(y) =
ZX
F y d� (10.7)
tienen integrales �nitas, y ZX
f d� =
ZZ
F d� =
ZY
g d�: (10.8)
En otras palabras, ZX
�ZY
F d�
�d� =
ZZ
F d� =
ZY
�ZX
F d�
�d�: (10.9)
Demostración. Como F es integrable respecto de �; la parte positiva y negativa F+ y F�
son integrables. Aplicamos el Teorema de Tonelli a F+ y F� para deducir que las funcionescorrespondientes f+ y f� tienen integrales �nitas respecto de �: Así, f+ y f� son de valor�nito en �-casi todas partes, de modo que la diferencia f está de�nida en �-casi todo punto,y la primera parte de (10.8) es clara. La segunda parte es similar.�
Como hemos restringido el uso de la palabra "integrable.a funciones de valor real, nopodemos concluir que las funciones de�nidas en (10.7) son integrables. Sin embargo, soniguales en casi todo punto a funciones integrables. También, se puede ver que el Teorema deFubini puede fallar si la hipótesis de que F es integrable es eliminada.
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Ejercicio 147 Sea amn de�nida para m;n 2 N de modo que ann = +1; an;n+1 = �1 yamn = 0 si m 6= n o si m 6= n+ 1: Demostrar que
1Xm=1
1Xn=1
amn = 0;
1Xn=1
1Xm=1
amn = 1;
de manera que la hipótesis de integrabilidad del Teorema de Fubini no puede ser omitida.
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