notas de algebra abstracta
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Estas son notas de Algebra abstracta, la mayo parte de los ejercicios son la solución de uno de los libros de referenciaTRANSCRIPT
Notas de Algebra Abstracta
Lucio Elias Flores Bustinza
25 de junio de 2011
PRESENTACION
Estas notas se originan por las practicas pre-profesionales realizada del 20 de Marzodel 2008, terminando el 17 de Julio del 2008 en la asignatura de ALGEBRA ABS-TRACTA en la Escuela Profesional de Ciencias Fısico Matematicas de la UniversidadNacional del Altiplano- Puno.
En el primera parte contiene todos los datos personales, del lugar donde se realizolas practicas pre-profesionales y los datos de la asignatura. En la segunda parte justifi-ca la realizacion de las practicas pre-profesionales. Y en la tercera parte menciona losobjetivos de la practica pre-profesional.
En la cuarta parte se presenta el contenido del curso, presentandose este contenidoen dos capıtulos, siendo el primer capitulo de El Conjunto de Numeros Reales, en el quese presenta todas las propiedades y operaciones fundamentales en las cuales es cerradoeste conjunto para finalmente poder definir el campo y anillo de los numero reales. Enel Segundo Capıtulo de Grupos, se presenta los conceptos fundamentales e importantesde la teorıa de grupos, tales como subgrupos, grupos cıclicos, para finalmente poderdefinir el isomorfismo y homomorfismo de estos.
En el presente informe se presenta algunos aspectos de la teorıa del Algebra, nose busca la originalidad, de hecho todos los resultados presentados aquı pueden serhallados en la bibliografıa.
Espero que este informe sirva como referencia para futuras practicas pre-profesionalesque se realicen referentes a la Asignatura.
. LUCIO ELIAS FLORES BUSTINZA
Indice general
Presentacion 1
1. Conjunto de Numeros Reales 31.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Axiomas para el Sistema de Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Consecuencias de los Axiomas Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Consecuencias de los Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. El Axioma de Completes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Una Aplicacion del Axioma de Completes . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8. El Conjunto de los Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9. Division de Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.10. El Principio de Buen Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.11. El Algoritmo de la Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.12. Los Numeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.13. Campos y Anillos de Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Grupos 442.1. Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.1. Operaciones Binarias con Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.2. Criterios para Definir una Operacion Binaria. . . . . . . . . . . 46
2.2. Propiedades de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3. Grupos Cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1. Propiedades Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2. Clasificacion de Grupos Cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5. Isomorfismo de Grupos y Propiedades Fundamentales . . . . . . . . . . 54
2.5.1. Como Demostrar que dos Grupos son Isomorfos . . . . . . . . . 552.5.2. Como Demostrar que Dos Grupos no son Isomorfos . . . . . . . 57
2.6. Productos Directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.1. Productos Directos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.2. Productos Directos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7. Homomorfismos de Grupos y Propiedades Fundamentales . . . . . . . . 632.8. El Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 65
VII. BIBLIOGRAFIA 68
2
Capıtulo 1
Conjunto de Numeros Reales
1.1. Conjuntos
Si una propiedad especifica es considerada y si ademas, es posible una prueba indi-vidual de cada objeto para esta propiedad, entonces la totalidad de objetos que tienenesta propiedad es llamado conjunto. Para tal efecto la propiedad es llamada propiedadde definicion de el conjunto.
Un conjunto usualmente es representado por una letra mayuscula y los elementosdel conjunto por letras minusculas, por ejemplo si decimos que x es un elemento de elconjunto S, se escribe:
x ∈ S
En lo posterior, para ciertos casos se asumira que si S es el conjunto de todos losobjetos que tienen la propiedad P , entonces las sentencias “x tiene la propiedad P”¨y“x es un elemento de S” son sinonimos.
Un conjunto puede ser representado por comprension y por extension, por ejemploel conjunto A con elemento 0 y 1 puede ser presentado por:
A = {0, 1}, por extension
A = {x ∈ R : x2 = x}, por compresion
Si S es un conjunto y se pudiera decir que P es una propiedad de los elementos de S,se podrıa pensar que la sentencia “x tiene la propiedad P” es cierta o falsa, y se puedadeterminar que x es un elemento de S. Entonces el conjunto
A = {x ∈ S : x tiene la propiedad P}
contiene exactamente estos elementos x de S para la cual la sentencia “x tiene lapropiedad P” es cierta o verdadera. Por esta razon, el conjunto A es llamando conjuntoverdad de la propiedad P .
Definicion 1 Si P es una propiedad de los elementos del conjunto S y A es un con-junto verdad de la propiedad P , entonces A es llamado un subconjunto de S.
3
Definicion 2 Si A1 y A2 son subconjuntos del conjunto universal S y si cada elementode A1 es un elemento de A2, se dice que A1 esta contenido en A2 o que A1 es unsubconjunto de A2. Esta relacion es expresada simbolicamente por
x ∈ A1 ⇒ x ∈ A2 (1.1)
o
A1 ⊂ A2 (1.2)
La ecuacion (1.1) se lee “x es un elemento de A1 implica que x es un elemento deA2”, donde el sımbolo ⇒ es llamado signo de implicacion. La ecuacion (1.2) se lee “Elconjunto A1 es contenido en el conjunto A2”.
Se pondra atencion en las siguientes relaciones, donde A1, A2 y A3 son subconjuntosarbitrarios de S.
A1 ⊂ A2 y A2 ⊂ A2 ⇒ A1 ⊂ A2 (1.3)
A1 ⊂ A2 y A2 ⊂ A1 ⇒ A1 = A2 (1.4)
A1 ⊂ A1 (1.5)
Definicion 3 Si P1 y P2 son propiedades de elementos de le conjunto universal S, elsımbolo
P1 ∧ P2
es usado para indicar la propiedad que tienen ambos P1 y P2
En otras palabras, un elemento x de S tiene P1∧P2 si y solo si x tiene la propiedadP1 y P2.
Definicion 4 Si A1 y A2 son los conjuntos verdad de propiedades P1 y P2 entonces elconjunto verdad de P1 ∧ P2 esta indicado por el sımbolo
A1 ∩ A2
que se lee “A1 interseccion A2”
En otras palabras, el conjunto A1 ∩ A2 es definido por la totalidad de elementoscomunes de A1 y A2.
Tambien se pondra atencion a las siguientes relaciones, donde A1 y A2 son subcon-juntos arbitrarios de S.
A1 ∩ A2 = A2 ∩ A1 (1.6)
A1 ∩ A2 ⊂ A1, A1 ∩ A2 ∩ A2 (1.7)
A1 ∩ A1 = A1 (1.8)
Definicion 5 Si P1 y P2 son propiedades de elementos del conjunto universal S, elsımbolo
P1 ∨ P2
que se lee “P1 o P2” es usado para indicar la propiedad que tiene al menos una de laspropiedades P1 o P2.
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En otras palabras, un elemento x de S tiene la propiedad P1 ∨ P2 si y solo si xtiene la propiedad P1 o x tiene la propiedad P2. Si x tiene ambas propiedades P y P2,entonces x tiene P1 ∨ P2 ası como P1 ∧ P2.
Definicion 6 Si A1 y A2 son conjuntos verdad de propiedades P1 y P2, entonces elconjunto verdad de P1 ∨ P2 es indicado por el sımbolo
A1 ∪ A2
que se lee “A1 union A2”
En otras palabras, el conjunto A1 ∪A2 esta definido para la totalidad de elementospertenecientes a cualquiera de los conjuntos A1 o A2 (o ambos).
Se pondra atencion a las siguiente relaciones, donde A1 y A2 son subconjuntosarbitrarios de S.
A1 ∪ A1 = A2 ∪ A1 (1.9)
A1 ⊂ A1 ∪ A2, A2 ⊂ A1 ∪ A2 (1.10)
A1 ∪ A1 = A1 (1.11)
Puede ocurrir que P1 y P2 son propiedades de elementos de S y no existan elementosde S que tengan esa propiedad P1∧P2, en este caso, el conjunto verdad de la propiedadP1 ∧ P2 que no contiene elementos es llamado conjunto nulo o vacıo que se indica porel sımbolo ∅.
Este conjunto es el subconjunto mas pequeno del conjunto universal S y esta conte-nido en todos los subconjuntos de S. Finalmente se ve que el subconjunto mas grandede S es el mismo conjunto, por lo cual se dice que el conjunto nullo y el conjunto Sson subconjuntos impropios de S.
1.2. Operaciones
Las operaciones definidas en la aritmetica del sistema de numeros reales son lascuatro operaciones fundamentales: adicion, sustraccion, multiplicacion y division. Es-tas son operaciones binarias definidas en el conjunto IR de numeros reales. La palabrabinaria es usado para indicar que cada operacion es un metodo para combinar doselementos (no necesariamente diferentes) para producir un solo y unico elemento de IR.
El sımbolo para representar una operacion no especificada sera “◦”
Definicion 7 (Cerradura o Clausura) Dada una operacion binaria ◦ en un con-junto S, se dice que S es cerrada bajo “◦” si para cada x y y elementos de S, entoncesx ◦ y es un unico elemento de S.
Tambien se dice que “◦” es una operacion binaria definida en S. y pude ser escritade la siguiente manera:
x ∈ A y y ∈ A⇒ x ◦ y ∈ A
5
Vale la pena aclarar que en el sistema de los numeros reales la division por ceroes imposible, en este caso, cuando se diga que el conjunto A de los numeros reales escerrado bajo la division, significara que:
x ∈ A y y ∈ A con y = 0⇒ x
y∈ A
Ejercicios 1
1. Sean A1, A2, A3 y A4 conjuntos de numeros reales dados por:
A1 = {1, 2, 3, 4}A2 = {2, 3, 4, 5}A3 = {2, 3}A4 = {1, 2, 3, 5}
Describir cada uno de los siguientes conjuntos, listando sus elementos
a) A1 ∪ A2 = {1, 2, 3, 4, 5}b) A1 ∪ A3 = {1, 2, 3, 4}c)
(A1 ∩ A2) ∩ A3 = ({1, 2, 3, 4, } ∩ {2, 3, 4, 5}) ∩ {2, 3}= {2, 3, 4} ∩ {2, 3}= {2, 3}
d) A4 ∩ A2 = {2, 3, 5}e) A1 ∩ A2 = {2, 3, 4}f ) A1 ∩ A3 = {2, 3}g)
(A1 ∪ A2) ∩ A3 = ({1, 2, 3, 4, 5}) ∩ {2, 3}= {2, 3}
2. Cuales de las relaciones son verdaderas? (los conjuntos A1, A2, A3 y A4 son losdel ejercicio 1)
a) A1 ⊂ A2 es FALSASolucion:
1 ∈ A1 pero 1 ∈ A2 que no satisface la definicion 2
b) A3 ⊂ A1 es VERDADERASolucion:
2 ∈ A3 y 2 ∈ A1
3 ∈ A3 y 3 ∈ A1
}⇒ A3 ⊂ A1
6
c) A1 ⊂ (A1 ∪ A2) es VERDADERASolucion:
Como A1 ∪ A2 = {1, 2, 3, 4, 5} se cumple que
{1, 2, 3, 4} ⊂ (A1 ∪ A2)
A1 ⊂ (A1 ∪ A2) Por (1.10)
d) A4 ∩ (A1 ∪ A2) = (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) es VERDADERASolucion:
Sean
A4 ∩ (A1 ∪ A2) = {1, 2, 3, 5} ∩ ({1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3, 4, 5})= {1, 2, 3, 5}
(A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) = ({1, 2, 3, 5} ∩ {1, 2, 3, 4}) ∪ ({1, 2, 3, 5} ∩ {2, 3, 4, 5})= {1, 2, 3, 5}
De (1.4)
A4 ∩ (A1 ∪ A2) ⊂ (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2)
(A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) ⊂ A4 ∩ (A1 ∪ A2)
∴ A4 ∩ (A1 ∪ A2) = (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2)
e) A2 ⊂ A1 es FALSASolucion:
Por que 5 ∈ a2 pero 5 ∈ A1 y no cumple la definicion (2)
f ) A3 ⊂ (A1 ∪ A2) es VERDADERASolucion:
Como A1 ∩ A2 = {2, 3, 4}, entonces
2 ∈ A3 ⇒ 2 ∈ (A∩A2)3 ∈ A3 ⇒ 3 ∈ (A∩A2)
}implica que A3 ⊂ (A∩A2)
g) (A1 ∩ A2) ⊂ A2 es VERDADERASolucion:
Como A1 ∩ A2 = {2, 3, 4} entonces
2 ∈ (A1 ∩ A2)⇒ 2 ∈ A2
3 ∈ (A1 ∩ A2)⇒ 3 ∈ A2
4 ∈ (A1 ∩ A2)→ 4 ∈ A2
⇒ (A1 ∩ A2) ⊂ A2
3. En el siguiente problema, el conjunto universal es el conjunto de todos los cua-drilateros en el plano, entonces se define los conjuntos:
A1 = {x ∈ S : xes un paralelogramo} (� �)
A2 = {x ∈ S : xes un rectangulo} (@A)
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A3 = {x ∈ S : xes un cuadrado} (�)
A4 = {x ∈ S : xes un rombo} (3)
¿Cual de los siguientes conjuntos es verdadero?Solucion:
Asumiendo que a la hora de comparar los elementos de los conjuntos son dedimensiones casi homogeneas se tiene:
a) A1 ⊂ A2 es FALSO
b) A2 ∩ A1 es FALSO
c) (A1 ∩ A4) = A2 es FALSO, por que � � ∩3 =@Ad) (A1 ∩ A4) = A3 es FALSO, por que � � ∩3 = �e) (A1 ∩ A4) = A4 es FALSO, por que � � ∩3 = 3
f ) A3 ⊂ (A1 ∩ A4) es FALSO, por que � ⊂ (� � ∩3)
g) A3 = (A1 ∩ A4) es FALSO, por que � = (� � ∩3)
h) A3 ⊂ (A2 ∩ A4) es VERDADERO, por que � ⊂ (@A ∩�)
i) A3 = (A2 ∩ A4) es VERDADERO, por que � = (@A ∩�)
4. Describe el siguiente conjunto listando sus elementos
A = {x ∈ IR : x2 + x = 0}
Solucion:
Resolviendo la ecuacion de segundo grado se tiene:
x2 + x = 0
x(x+ 1) = 0 ⇒{x = 0x = −1
de donde A = {0,−1}
5. Bajo cual de las cuatro operaciones fundamentales, el conjunto A del ejercicioanterior es cerrado?Solucion:
Como el conjunto esta definido como A = {x ∈ IR : x2 + x = 0} de donde suselementos tiene que cumplir que x2 = x, entonces veamos para cual de las cuatrooperaciones fundamentales es cerrado
Para la Adicion
Si 0,−1 ∈ A ⇒ 0 + (−1) = −1 + 0 = −1 ∈ A, por lo tanto si es cerradobajo la suma
Para la Sustraccion
Si 0,−1 ∈ A ⇒ 0 − (−1) = 1 ∈ A, por lo tanto no es cerrado bajo lasustraccion
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Para la Multiplicacion
Si 0,−1 ∈ A ⇒ 0(−1) = 1(0) = 0 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo lamultiplicacion
Para la Division
Si 0,−1 ∈ A⇒ 0
−1= 0 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo la division
1.3. Axiomas para el Sistema de Numeros Reales
Definicion 8 El sistema de numeros reales consiste de un conjunto IR cerrado ba-jo dos operaciones, llamadas adicion y multiplicacion, cuyos elementos satisfacen lossiguientes axiomas algebraicos:
A1. a+ (b+ c) = (a+ b) + c. (Ley asociativa para la adicion)
A2. Existe un unico elemento “0” en IR tal que a+0 = 0+ a = a, para algun a ∈ IR.
A3. Para cada elemento a de IR, existe un unico elemento −a en IR tal que a+(−a) =(−a) + a = 0. El elemento −a es llamado el negativo (o el opuesto aditivo) de a.
A4. a+ b = b+ a. (Ley conmutativa para la adicion)
A5. a · (b · c) = (a · b) · c. (Ley asociativa para la multiplicacion)
A6. Existe en IR un unico elemento 1 diferente de cero, tal que a · 1 = 1 · a = a, paraalgun a en IR
A7. Para cada elemento a ∈ IR, con a = 0, existe un unico elemento a−1 en IR tal quea · (a−1) = 1. El elemento a−1 es llamado el recıproco (o inverso multiplicativo)de a.
A8. a · b = b · a. (Ley conmutativa para la multiplicacion)
A9. (a+ b) · c = a · c+ b · c (Ley distributiva izquierda)
Los Axiomas de Orden
Existe un subconjunto P de IR (llamado el conjunto positivo de los numeros reales)que satisface lo siguiente:
O1. El conjunto P es cerrado bajo la adicion.
O2. El conjunto P es cerrado bajo la multiplicacion.
O3. Para algun numero real a, exactamente una de las siguientes ocurre: a = 0 o a ∈ Po −a ∈ P . (Ley de la Tricotomia)
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1.4. Consecuencias de los Axiomas Algebraicos
Teorema 1 [Ley distributiva derecha.] Si a, b, c ∈ IR, entonces
a · (b+ c) = a · b+ a · c
Teorema 2 [Ley de cancelacion para la adicion.] Sean a, b, c ∈ IR. Si a + b = a + c,entonces b = c.
Teorema 3 El numero 0 tiene la propiedad que a · 0 = 0, para todo a ∈ IR.
Teorema 4 [El principio de integridad.] Si a, b ∈ IR, tales que ab = 0, entonces ocurreque a = 0 o b = 0.
Teorema 5 (Ley de cancelacion para la multiplicacion.) Si a, b, c ∈ IR tales queac = bc y c = 0, entonces a = b.
Teorema 6 Para algun numero real a, es cierto que −(−a) = a
Teorema 7 (−a)(−b) = ab
Los axiomas del sistema de numeros reales no hace mencion a las operaciones desustraccion y division, esto se debe a que estas operaciones pueden ser expresadas enterminos de la adicion y multiplicacion, tal como lo dice la siguiente definicion.
Definicion 9 Si a y b son numeros reales, entonces
a− b
es definido por el numero a+ (−b). Si b = 0, entonces
a
b(o a/b)
es definido por el numero a(b−1).
Las operaciones asignadas al par de numeros a,b como a − b y a/b son llamadassustraccion y division.
Ejercicios 2
Pruebe que las siguientes reglas son ciertas en el sistema de numeros reales.
1. (−a) = (−1)a
Demostracion:
a+ (−1)a = 1(a) + (−1)a Por A6
= (1 + (−1))a Por A9
= (1− 1)a Por definicion 9
= (0)a Por A3
= 0 Por teorema 3
Como a+ (−1)a = 0 significa que (−1)a es el inverso aditivo de a.Por lo tanto −a = (−1)a A
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2. (−a)b = a(−b) = −(ab)
Demostracion: Se hara la prueba en tres partes:
a) (−a)b = a(−b)
(−a)b = [(−1)(a)]b Por Prob. 1
= [(a)(−1)]b Por A8
= a[(−1)(b)] Por A5
= a(−b) Por Prob. 1
b) a(−b) = −(ab)
a(−b) = a[(−1)(b)] Por Prob. 1
= [(a)(−1)]b Por A5
= [(−1)(a)]b Por A8
= (−1)[ab] Por A5
= −(ab) Por Prob 1
c) (−a)b = −(ab)
(−a)b = [(−1)(a)]b Por Prob. 1
= (−1)[(a)(b)] Por A5
= −(ab) Por Prob. 1
Por lo tanto de a), b) y c) se cumple que (−a)b = a(−b) = −(ab) A
3. a(b− c) = ab− ac
Demostracion:
a(b− c) = (b− c)a Por A8
= [b+ (−c)]a Por Def. 9
= ba+ (−c)a Por A9
= ab+ a(−c) Por A8
= ab+ [−(ac)] Por Prob. 2
= ab− ac Por Def. 9
A
4. −(a+ b) = (−a) + (−b)
Demostracion:
−(a+ b) = (−1)(a+ b) Por Prob. 1
= (a+ b)(−1) Por A8
= a(−1) + b(−1) Por A9
= (−1)a+ (−1)b Por A8
= (−a) + (−b) Por Prob. 1
A
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5. (a− b) + (b− c) = a− c
Demostracion:
(a− b) + (b− c) = (a+ (−b)) + (b+ (−c)) Por Def. 9
= a+ {(−b) + [b+ (−c)]} Por A1
= a+ {[(−b) + b] + c(−c)} Por A1
= a+ [0 + (−c)] Por A3
= a+ (−c) Por A2
= a− c Por Def. 9
A
6.(ab
)+
(−ab
)= 0
Demostracion:(ab
)+
(−ab
)= (a · b−1) + ((−a) · b−1) Por Def. 9
= ab−1 + [−(ab−1)] Por Prob. 2
= ab−1 − ab−1 Por Def. 9
= 0 Por A3
A
7.(ab
)( cd
)=ac
bd
Demostracion: Para probar esta propiedad, tenemos que hacer uso del si-guiente teorema
Teorema 8 ∀a, b ∈ IR con n ∈ Z se cumple que (ab)n = anbn
Probaremos este teorema por induccion
Para n = 0 se cumple puesto que:
a0b0 = 1 · 1 = 1 = (ab)0
Para n = h se cumple por definicion de induccion
Para n = h+ 1 con h ∈ Z
(ab)h+1 = (ab)h(ab)1
= (ahbh)(ab)
= ah[bh(ab)]
= ah(abhb)
= (aha)(bhb)
= ah+1bh+1
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Ahora haremos la demostracion del ejercicio. En efecto(ab
)( cd
)= (ab−1)(cd−1) Por Def. 9
= a[b−1(cd−1)] Por A5
= a[b−1(d−1)] Por A8
= a[(b−1d−1)c] Por A5
= a[c(b−1d1)] Por A8
= (ac)(b−1d−1) Por A5
= (ac)(bd)−1 Por Teo. 8
=ac
bd
A
8. (a+ b)(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd
Demostracion:
(a+ b)(c+ d) = [a(c+ d)] + [b(c+ d)] Por A9
= [(c+ d)a] + [(c+ d)b] Por A8
= ca+ da+ cb+ db Por A9
= ac+ ad+ bc+ bd Por A8
A
9. Probar al detalle los siguientes teoremasTeorema 4 (Principio de integridad) Si a y b son numeros reales tales queab = 0, se cumple que: a = 0 o b = 0
Demostracion:
a) Sea ab = 0, para a = 0 se cumple que b = 0. En efecto
ab = 0 , a = 0
(ab)a−1 = 0 · a−1 Por Def. 7
a(b−1) = 0 Por Teo. 3, A5
a(a−1b) = 0 Por A8
(aa−1)b = 0 Por A5
1 · b = 0 Por A7
b = 0 Por A6
b) Si ab = 0, para b = 0, se cumple que a = 0. En efecto
ab = 0 , b = 0
(ab)b−1 = 0 · b−1 Por Def. 7
a(bb−1) = 0 Por Teo. 3, A5
a · 1 = 0 Por A7
a = 0 Por A6
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De a) y b), el teorema queda probado. A
Teorema 5 (Ley de la cancelacion para la multiplicacion) Si a, b, c sonnumeros reales tales que ac = bc y c = 0, entonces a = b.
Demostracion:
ac = bc
(ac)c−1 = (bc)c−1 Por Def. 7, A7
a(cc−1) = b(cc−1) Por A5
a(1) = b(1) Por A7
a = b
A
1.5. Consecuencias de los Axiomas de Orden
Los axiomas de orden tienen que ver con cierto subconjunto P (conjunto de numerosreales positivos), entonces se definira el conjunto N de numeros negativos por
N = {a ∈ IR : −a ∈ P}
Si ahora representamos el conjunto de numeros reales conteniendo al numero 0 solopor el sımbolo {0}, se obtendra la ley de la tricotomia
IR = N ∪ {0} ∪ P
los tres conjuntos N, {0} y P juntos contienen a todos los numeros reales, ademasla interseccion de alguno de estos conjuntos es siempre el conjunto nulo. Este ultimohecho dice que los conjuntos N, {0} y P son particiones disjuntas.
Muchas de las consecuencias de los axiomas de orden dependen de la relacion “mayorque” definida a continuacion.
Definicion 10 Si a y b son numeros reales, entonces a > b (se lee “a es mayor queb”) es definido como el numero a− b es un elemento de P . El sımbolo a ≥ b (se lee “aes mayor o igual que b”). El sımbolo a < b (se lee “a es menor que b”) pensando queb es mayor que a. Finalmente a ≤ b como a es menor o igual que b.
El siguiente teorema da cuatro propiedades basicas de la relacion “mayor que”. Lapropiedad a) es una reflexion de el hecho que la relacion es definida en terminos de laadicion (sustraccion), mientras que las propiedades b), c) y d) son los axiomas O1, O2,O3 respectivamente.
Teorema 9 La relacion “mayor que” es una relacion que tiene las siguientes propie-dades (donde x.y.z son numeros reales):
a) x > y ⇒ x+ z > y + z
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b) x > y ∧ y > z ⇒ x > z
c) x > y ∧ z ∈ P ⇒ xz > yz
d) Si a y b son algun par de numeros reales, entonces exactamente una de los si-guientes es cierta:
i) a = b o
ii) a > b o
iii) a < b
Teorema 10 Si a es algun numero real diferente de cero, entonces a2 > 0
Teorema 11 1 ∈ P
Teorema 12 Si a > 0 y b < 0, entonces ab < 0
Teorema 13 a > 0⇒ a−1 > 0
Ejercicios 3
1. Pruebe que si a es algun numero real, entonces a+ 1 > a
Demostracion: Sea 1 > 0 entonces por el teorema 9 parte a), se puede sumarcualquier numero real a en ambos lados de la inecuacion, entonces se tiene:
1 > 0
a+ 1 > a+ 0
a+ 1 > a
A
2. Pruebe que: a > 1⇒ a−1 < 1
Demostracion:
a > 1 Por Hip.
Como a > 1 implica que a ∈ P es decir que a > 0, por el teorema 13 se sabe quesi a > 0⇒ a−1 > 0, lo que implica que a−1 ∈ P ., entonces
a · a−1 > 1 · a−1 Por Teo. 9 - c)
1 > a−1 Por A6
A
3. Probar que sia
b> 0⇐⇒ ab > 0
Probaremos el ejercicio en dos partes
15
a) Sia
b> 0⇒ ab > 0
Demostracion: Sabemos que
a
b> 0⇒ ab−1 > 0
como ab−1 > 0 esto se cumple cuando
{a > 0 ∧ b−1 > 0a < 0 ∧ b−1 < 0
i) Si a > 0 ∧ b−1 > 0Primero probemos el recıproco del teorema 13 en el siguiente corolario
Corolario 1 Si b−1 > 0 entonces b > 0
Demostracion: Haremos la demostracion por el absurdo. Diremos en-tonces que si b−1 > 0 asumiremos que b < 0, entonces la multiplicacionde ambos resultara:
b−1 · b < 0
1 < 0 (→←)
lo que es una contradiccion. Por lo tanto, si b−1 > 0⇒ b > 0 �
Para nuestro caso entonces:
a
b> 0
ab−1 > 0 Por Def. 9
(ab−1)b > 0 · b Por Cor. 1, Teo. 9-c)
a(bb−1) > 0 Por A5, Teo3
a(1) > 0 Por A7
a > 0 Por A6
a · b > 0 · b Por Teo. 9-c)
ab > 0 Por Teo3
ii) Si a < 0 ∧ b < 0Primero demostraremos el siguiente teorema:
Teorema 14 Para a, b, c numeros reales, se cumple que si a > b yc < 0 entonces ac < bc
Demostracion: como c < 0 entonces −c > 0, es decir −c ∈ P , luego
a > b ⇒ a(−c) > b(−c)⇒ −(ac) > −(bc)⇒ −(ac)− (−(bc)) > 0
⇒ −(ac) + (bc) > 0
⇒ bc− ac > 0
⇒ bc > ac
⇒ ac < bc
A
16
Como a < 0 ∧ b < 0 entonces por el teorema 12 tenemos −a > 0 ∧ −b >0⇒ −b−1 > 0(por Teo. 13).En efecto
−a−b
> 0 Por Hip.
(−a)(−b−1) > 0 Por Def. 9
ab−1 > 0 Por Teo. 7
a[(b−1)(b)] < 0(b) Por Teo.14
a(1) < 0 Por A7
a < 0 Por A6
a · b > 0 · b Por Teo.14
ab > 0 Por Teo3
Finalmente de i) y ii),a
b> 0⇒ ab > 0 queda probado. A
b) Si ab > 0 ⇒ a
b> 0
de donde esto se cumple cuando
{a > 0 ∧ b > 0a < 0 ∧ b < 0
Demostracion:
i) para a > 0 y b > 0 se cumple que si ab > 0 ⇒ a
b> 0
por el teorema 13 se sabe que b > 0 ⇒ b−1 > 0
ab > 0⇒ ab−1 > 0 Por Def. 9
⇒ (ab)b−1 > 0 · b−1 Por Teo.9-c)
⇒ a(bb−1) > 0 Por A5, Teo.3
⇒ a · 1 > 0 Por A7
⇒ a > 0 Por A6
⇒ a · b−1 > 0 · b−1 Por Teo.9-c)
⇒ a
b> 0 Por Def.9, Teo.3
ii) Para a < 0 y b < 0 se cumple que si ab > 0 ⇒ a
b> 0
la hipotesis implica que −a > 0 y −b > 0 y por el teorema 13 se sabe
17
que si −b > 0 ⇒ −b−1 > 0, luego
(−a)(−b) > 0⇒ ab > 0 Por Teo.7
⇒ (ab)(−b−1) > 0(−b−1) Por Teo.9-c)
⇒ a(−bb−1) > 0 Por A5, Teo.3
⇒ a(−1) > 0 Por A7
⇒ a < 0 Por Teo.14
⇒ a(−b−1) < 0 · (−b−1) Por Teo.13
⇒ −(ab−1) < 0 Por Prob.2-2, Teo.3
⇒ ab−1 > 0 Por Teo.14
⇒ a
b> 0 Por Def.9
Finalmente de i) y ii), ab > 0 ⇒ a
b> 0 queda probado. A
4. Probar los teoremas 11 y 13
Teorema 11. 1 ∈ P .
Demostracion: Como P es el conjunto de todos los numeros reales positivos,es decir
P = {x ∈ IR : x > 0}como 1 > 0 entonces 1 ∈ P . A
Teorema 13. Si a > 0 ⇒ a−1 > 0.
Demostracion: Como 1 ∈ P entonces
1 > 0
a · a−1 > 0 Por A7
de donde la ultima desigualdad se cumple cuando
{a > 0 ∧ a−1 > 0a < 0 ∧ a−1 < 0
a) Si a > 0 ⇒ a−1 > 0Haremos la prueba por el absurdo, supongamos que a−1 < 0, entonces setiene
a > 0 ⇒ a(a−1) < 0 Por Teo.14
⇒ 1 < 0 (→←) Por A7
el ultimo resultado es una contradiccion, por lo que a−1 > 0
b) Si a < 0 ⇒ a−1 < 0Como a < 0 ∧ a−1 < 0 entonces −a > 0 ∧ −a−1 > 0
a < 0 ⇒ (−a) > 0
⇒ (−a)(−a−1) > 0(a−1) Por Teo.9-c)
⇒ aa−1 > 0 Por Teo.7, Teo.3
⇒ 1 > 0 Por A7
⇒ a−1 < 0(a−1) Por Teo.14
⇒ a−1 < 0 Por Teo.3
18
Por lo tanto, de a) y b) A
5. Pruebe que, si a ∈ P ∧ b > a ⇒ b ∈ P
Demostracion: Como a ∈ P , entonces a > 0, ademas tenemos que b > a, dedonde se cumple que
b > a > 0
Por lo tanto b > 0, es decir b ∈ P . A
6. Pruebe que, si a ∈ IR y x > y ⇒ a− y > a− x
Demostracion:
x > y ⇒ x− y > 0 Por Def.10
⇒ x− y + 0 > 0 + 0 Por A2
⇒ (x− y) + (a− a) > 0 Por A3
⇒ x+ (−y + a)− a > 0 Por A1
⇒ (−y + a) + (x− a) > 0 Por A4
⇒ (a− y) + (x− a) > 0 Por A4
⇒ (a− y) + [−(−x)− a] > 0 Por Teo.7
⇒ (a− y) + [(−1)(−x) + (−1)(a)] > 0 Por Prob. 1-2
⇒ (a− y) + [(−x) + a](−1) > 0 Por A8, A9
⇒ (a− y) + (−1)(a− x) > 0 Por A8, A4
⇒ (a− y)− (a− x) > 0 Por Def.9
⇒ a− y > a− x Por Def.10
A
7. Mostrar que si a, b, c son positivos, entoncesa
b>c
d⇐⇒ ad > bc
Demostracion: Como a, b, c, d ∈ P entonces a > 0, b > 0, c > 0, d > 0
a
b>c
d⇒ ab−1 > cd−1 Por Def.9
⇒ (ab−1)b > (cd−1)d Por Teo.9-c)
⇒ a(b−1b) > c(d−1b) Por A5
⇒ a(1) > c(d−1b) Por A7
⇒ a > c(bd−1) Por A6, A8
⇒ a > (cb)d−1 Por A5
⇒ ad > [(cb)d−1]d Por Teo.9-c
⇒ ad > (cb)(d−1d) Por A5
⇒ ad > cb(1) Por A7
⇒ ad > cb Por A6
A
19
8. Sean a y b numeros positivos. Pruebe que:
a) a > b⇒ a2 > b2
b) a2 > b2 ⇒ a > b
Demostracion:
a) Sean a > b⇒ a2 > b2, con a, b ∈ P
a > b ⇒ a · a > b · a Por Teo.9-c
⇒ a2 > ab (1.12)
Por otro lado tenemos
a > b ⇒ a · b > b · b Por Teo.9-c
⇒ ab > b2 (1.13)
luego de (1.12) y (1.13) y por el teorema 9-b) tenemos
a2 > b2
Por lo tanto, si a > b⇒ a2 > b2
b) Sean a2 > b2 ⇒ a > b, con a, b ∈ PHaremos la prueba por contradiccion, es decir asumiremos que a > b, esdecir que a < b
a < b ⇒ a · a < b · a Por Teo.9-c
⇒ a2 < ba (1.14)
por otro lado
a < b ⇒ a · b < b · b Por Teo.9-c
⇒ ab < b2 (1.15)
de (1.14) y (1.15) y el teorema 9-b) tenemos que a2 < b2, y esto contradicea la hipotesis inicial que es a2 > b2.
Por lo tanto, es probado que si a2 > b2 ⇒ a > b
A
9. Use el principio de integridad para mostrar que
{x ∈ IR : (x− a)(x− b) = 0} = {x ∈ IR : x− a = 0} ∪ {x ∈ IR : x− b = 0}
Demostracion: Como IR es cerrado bajo “+′′ y “·′′ entonces x−a, x−b ∈ IR,para x, a, b ∈ IR
{x ∈ IR : (x− a)(x− b) = 0} = {x ∈ IR : (x− a) = 0 ∨ (x− b) = 0} Por Teo.4
20
sea P1 la propiedad x− a = 0 del conjunto verdad
A1 = {x ∈ IR : x− a = 0}
e igualmente, sea P2 la propiedad x− b = 0 del conjunto verdad
A2 = {x ∈ IR : x− b = 0}
entonces por la definicion 6
{x ∈ IR : (x− a)(x− b) = 0} = {x ∈ IR : (x− a) = 0 ∨ (x− b) = 0}= {x ∈ IR : P1 ∨ P2}= {x ∈ IR : x− a = 0} ∪ {x ∈ IR : x− b = 0}
A
10. Si x, a, b son numeros reales, pruebe que
(x− a)(x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab
Demostracion:
(x− a)(x− b) = x(x− b) + (−a)(x− b) Por A8, Def.9
= x(x) + x(−b) + (−a)(x) + (−a)(−b) Por Teo.1
= x2 − bx− ax+ ab Por Def.9
= x2 − (bx+ ax) + ab Por Prob. 1-2, Teo.1
= x2 − (b+ a)x+ ab Por A9
A
11. Describe el siguiente conjunto listando sus elementos
{x ∈ IR : x2 + x− 12 = 0}
Solucion:
En efecto, factorizando el polinomio de segundo grado se tiene
x2 + x− 12 = 0
(x− 3)(x+ 4) = 0
de donde por el principio de integridad se tiene que
x− 3 = 0 ∨ x+ 4 = 0
x = 3 x = −4
Entonces el conjunto sera: {3,−4}
12. Muestre que {x ∈ IR : x2 + 1 = 0} = ∅
21
Demostracion: Sea el conjunto {x ∈ IR : x2 + 1 = 0}, que es el conjuntoformado por todos los numeros reales que satisfagan la propiedad x2 + 1 = 0,entonces veamos el conjunto listando todos sus elementos, para ello resolvamosdicho polinomio cuadratico
x2 + 1 = 0
x2 = −1x = ±
√−1
como la operacion ±√−1 no esta definida bajo IR entonces, nuestro conjunto no
tiene elementos, es decir
{x ∈ IR : x2 + 1 = 0} = {∅}
A
1.6. El Axioma de Completes
Muchas de las propiedades del sistema de numeros reales dependen de el axiomade completes que se da en esta seccion. Antes de definir el axioma, se dara algunasdefiniciones preliminares.
Definicion 11 Si A es un conjunto de numeros reales y x es el numero mayor o igualque todos los elementos de A, entonces x es llamado una cota superior de el conjuntoA.
Es decir que cada elemento de A es menor o igual que x, (∃x, ∀a ∈ A se cumpleque a ≤ x). Hay que aclarar de que si x es una cota superior de A, quiere decir que xpuede como no estar en el conjunto A
Definicion 12 El numero x es llamado la menor cota superior o supremo del conjuntoA siempre que:
1. x es una cota superior de A.
2. Si y es una cota superior de A, entonces x ≤ y
De ahora en adelante, se usara el sımbolo A′ para representar al conjunto de todaslas cotas superiores del conjunto A.
A′ = {x ∈ IR : x es una cota superior de A}
Definicion 13 El numero x es supremo o la menor cota superior del conjunto A si:
1. x ∈ A′
2. y ∈ A′ ⇒ x ≤ y
Axioma de Completes. Todo conjunto no nulo de numeros reales que tiene cotasuperior tiene un supremo.
22
1.7. Una Aplicacion del Axioma de Completes
Mostraremos que existe un numero positivo a tal que a2 = 2. El numero a podrıaser representado por
√2. Primeramente se mostrara la existencia de
√2, esto resulta
de que (−√2)2 = 2, y por una aplicacion del principio de integridad se muestra que el
conjunto{x ∈ IR : x2 = 2}
contiene exactamente los elementos√2 y −
√2.
La prueba de la existencia de√2 podrıa depender de dos resultados preliminares
que ahora se citan
Lema 1 Si x es un numero real tal que x2 < 2, entonces existe un numero real y talque y > x y y2 < 2.
Demostracion: como x es un numero real tal que x2 < 2, se debe construir unnumero y que satisfaga las condiciones del lema: x > y ∧ y2 < 2. Para esto seconsiderara dos casos
Caso I. (x < 1): En este caso, sea y = 1 y con esto las dos condiciones del lema secumplen
1 > x ∧ 12 < 2
Caso II. (x ≥ 1): Para probar este caso, se tratara de encontrar un numero positivoδ tal que (x + δ)2 < 2 con δ ∈ ⟨0, 1⟩. Entonces y = x + δ deberıa satisfacer las doscondiciones de lema. Se debera ahora mostrar dos cosas: primero que δ es positivo ysegundo que (x+ δ)2 < 2. Para este proposito
(x+ δ)2 = x2 + 2xδ + δ2
= x2 + (2x+ δ)δ
≤ x2 + (2x+ 1)δ
consideremos δ =2− x2
2x+ 1
Primeramente se probara que δ es positivo, para tal caso, se ve que tanto el nume-rador como el denominador de la fraccion de δ son positivos debido a que x ≥ 1.
Probaremos ahora que (x + δ)2 < 2, para esto vemos que 2 − x2 es menor o igualque 1, por que x ≥ 1 y 2x+ 1 es mayor que 1, por la misma razon, lo que implica queδ < 1. Luego podemos escribir que
2− x2
2x+ 1<
2− x2
2x+ δ(1.16)
ya que el denominador de la primera fraccion es mayor que de la segunda fraccion,entonces
δ <2− x2
2x+ δ(1.17)
23
finalmente desarrollando la ultima desigualdad se tiene
2xδ + δ2 < 2− x2 (1.18)
x2 + 2xδ + δ2 < 2 (1.19)
(x+ δ)2 < 2 (1.20)
Por lo tanto, el numero y = (x + δ) > x y que y2 < 2, con lo que se prueba el lema.A
Lema 2 Si x es un numero real tal que x2 > 2, entonces existe un numero real y talque y < x y y2 > 2.
Teorema 15 Existe un numero positivo a tal que a2 = 2
Ejercicios 4
1. Pruebe que si a, b, c ∈ P con b > c, entonces a/b < a/c. Mostrar donde fueusada esta propiedad en la prueba del lema 1.
Demostracion:
b > c⇒ bb−1 < cb−1 Por Teo.13, Teo.9-c)
⇒ 1 > cb−1 Por A7
⇒ c−1 > c−1(cb−1) Por Teo.13, Teo.9-c)
⇒ c−11 · b−1 Por A5, A8, A7
⇒ ac−1 > ab−1 Por Teo.13
⇒ a
c>a
bPor Def.9
⇒ a
b<a
c
Esta propiedad se uso en la prueba del lema 1, cuando se probo que (x+ δ)2 < 2,
puesto que δ estaba definida como2− x2
2x+ 1y al compararla con la fraccion
2− x2
2x+ δse ve que los denominadores tenıan la siguiente relacion
2x+ 1 > 2x+ δ
lo que implico que2− x2
2x+ 1<
2− x2
2x+ δ
que es lo que dice la propiedad probada en este ejercicio. A
2. pruebe que la palabra “unico” en A3 es redundante.
24
Demostracion: El axioma A3 dice: “Para cada elemento a de IR, existe ununico elemento −a en IR tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. El elemento −a esllamado el negativo (o el opuesto aditivo) de a”
Para probar que, la palabra unico es redundante en este axioma, se asumira queexisten b1 y b2 tales que cumplen
b1 + a = a+ b1 = 0 b2 + a = a+ b2 = 0
donde se debera probar que b1 y b2 son iguales (b1 = b2)
b1 = b1 + 0 Por A2
= b1 + (a+ b2) Por Hip.
= (b1 + a) + b2 Por A1
= 0 + b2 Por A2
b1 = b2
Por lo tanto, la palabra unico es redundante debido a que siempre que se asumaque existe otro elemento inverso aditivo, este siempre va ha resultar el mismonumero pero con signo opuesto. A
3. En la prueba del lema 1, justifique los pasos que van de las desigualdades (1.17)a (1.18) y de (1.18) a (1.19). Formule y pruebe una proposicion justificando elpaso de (1.19) a (1.20)
Demostracion:
a) De (1.17) a (1.18)
De la desigualdad (1.17) tenemos que
δ <2− x2
2x+ δ
δ < (2− x2)(2x+ δ)−1 Por Def.9
Como x ≥ 1 y en la fraccion2− x2
2x+ δel denominador es siempre positivo
debido a que δ = y − x con y > x, entonces
δ(2x+ δ) <[(2− x2)(2x+ δ)−1
](2x+ δ) Por Teo.9-c)
2δx+ δ2 < (2− x2)[(2x+ δ)−1(2x+ δ)
]Por Teo.1, A5
2δx+ δ2 < (2− x2)(1) Por A7
2δx+ δ2 < 2− x2
b) De (1.18) a (1.19)
25
De la desigualada (1.19) se tiene:
2δx+ δ2 < 2− x2
(2δx+ δ2) + x2 < (2− x2) + x2 Por Teo.9-A)
(2δx+ δ2) + x2 <[2 + (−x2)
]+ x2 Por Def.9
x2 + 2δx+ δ2 < 2 + (−x2 + x2) Por A4, A1
x2 + 2δx+ δ2 < 2 + 0 Por A3
x2 + 2δx+ δ2 < 2 Por A2
c) De (1.19) a (1.20)
Propocion 1 Sean a, b ∈ IR se cumple que a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2
Antes de probar esta propiedad, debemos probar dos propiedades importan-tes dentro del algebra en los numeros reales.
Propiedad 1 Para todo a ∈ IR y n,m ∈ Z se cumple que an · am = an+m
Demostracion: Por definicion de potencia de un numero sabemos que
an = a.a.a.a....a.a.a︸ ︷︷ ︸n factores
en nuestro caso
an · am = (a · a · ... · a · a︸ ︷︷ ︸n factores
)(a · a · ... · a · a︸ ︷︷ ︸m factores
) Def. de Potencia
= a · a · ... · a · a︸ ︷︷ ︸n factores
· a · a · ... · a · a︸ ︷︷ ︸ Asoc. Extendida
= a · a · ... · a · a︸ ︷︷ ︸m+n factores
Union de conjuntos disjuntos
an · am = am+n
Propiedad 2 Para todo a ∈ IR, se cumple que a+ a = 2a
Demostracion:
a+ a = 1 · a+ 1 · a= (1 + 1)a
= 2a
Finalmente demostraremos la proposicion 1
a2 + 2ab+ b2 = a2 + ab+ ab+ b2 Propiedad 2
= a(a+ b) + b(a+ b) Teo.1
= (a+ b)(a+ b) A9
= (a+ b)2 Propiedad 1
Para nuestro caso de la desigualdad (1.18)
x2 + 2δx+ δ2 < 2
(x+ δ)2 < 2 Por Proposicion 1
26
A
4. De una prueba detallada de que el numero 2 es una cota superior de el conjunto{x ∈ IR : x2 < 2}
Demostracion: Una forma de demostrar que un numero real c es una cotasuperior de A es probar que ningun numero real x > c pertenece a A.
Veamos si c =3
2es una cota superior de A. En efecto si x > c se tiene:
x > c ⇒ x2 > c2
⇒ x2 >
(3
2
)2
⇒ x2 >9
4> 2
⇒ x2 > c2 > 2
Por lo tanto x ∈ A. Esto quiere decir que no existe ningun numero real x > cque pertenezca a A.
Siguiendo el mismo concepto de la demostracion anterior probemos ahora que 2es una cota superior de A, para ello c = 2
x > c ⇒ x2 > c2
⇒ x2 > 4 > 2
Por lo tanto x ∈ A, lo que implica que 2 es una cota superior de A.
Ahora veamos otro modo de probar que 2 es una cota superior de A, para estodeberemos probar que ∀x ∈ A con x2 < 2, se debe cumplir que x < 2.
En efecto, sea x2 < 2 y ademas se ve que 2 < 22, luego por el Teorema9-b) setiene que
x2 < 2
Pero por el problema 8-3 parte b) (a2 > b2 ⇒ a > b) se tiene x2 < 22 ⇒ x < 2que era lo que querıamos probar, por lo tanto 2 es una cota superior de A. A
5. Pruebe que si A tiene un supremo, entonces este supremo es unico.
Demostracion: Sabemos por el teorema 15 que existe un numero positivo talque x2 = 2 de donde podemos concluir que
x2 = 2⇒√x2 =
√2 Def. Radical
⇒ |x| =√2
⇒{x =√2
−x =√2
Def. Valor Absoluto
⇒ x = ±√2
27
Tomaremos el +√2 debido a que estamos buscando el supremo del conjunto A.
Entonces sea c =√2, veamos si c es el supremo de A, por la definicion de supremo
(Definicion 15) debera cumplir que c es una cota superior de A y que si es unacota superior entonces ∀x ∈ A, se cumplira que x ≤ c
a) Probaremos que c es una cota superior de A
Para esto bastara probar que ningun x > c pertenece a el conjunto A
x > c⇒ x2 > c2 Prob. 8-3
⇒ x2 > (√2)2 Hip.
⇒ x2 > 2
Por lo tanto x ∈ A, lo que quiere decir que c es una cota superior de A
b) Probaremos que ∀x ∈ ⇒ x ≤ c
En efecto
x ∈ A⇒ x2 < 2
⇒√t <√2
⇒ x < c
Por lo tanto c =√2 es el supremo del conjunto A
Veamos ahora que c es unico, para ello asumiremos que existen c1 y c2 supremosde A esto quiere decir que
∀x ∈ A,{c1 =
√2
x ≤ c1y
{c2 =
√2
x ≤ c2
bastara probar que c1 = c2, en efecto
c1 ≥ x⇒ c21 ≥ x2 Prob. 8-3
⇒ 2 ≥ x2 Hip.
⇒ c22 ≥ x2Hip.
⇒ c2 ≥ x Prob. 8-3
Por lo tanto c1 = c2 A
6. Dar una definicion de cota inferior y la mayor de las cotas inferiores (Infimo) deun conjunto de numeros reales.
Solucion:Analogo a la definicion 11 diremos que:
Definicion 14 Si A es un conjunto de numeros reales e y es el numero menoro igual que todos los elementos de A, entonces y es llamado una cota inferior deel conjunto A.
Definicion 15 El numero y es llamado la mayor cota inferior o Infimo del con-junto A siempre que:
28
a) y sea una cota inferior de A.
b) Si x es una cota inferior de A, entonces y ≥ x
7. Use el axioma de completes para probar lo siguiente: todo conjunto no nulo denumeros reales que tiene una cota inferior, tiene una mayor cota inferior(ınfimo).Sugerencia: Sea A′ que representa al conjunto de las cotas inferiores de A. Apliqueel axioma de completes a el conjunto A′
Demostracion: Sea A un conjunto de numeros reales no nulo que posee unacota inferior c tal que ∀x ∈ A se cumple que c ≤ x,
definiremos ahora el conjunto
A′ = {c ∈ IR : c es una cota inferior de A}
como el conjunto de todas las cotas inferiores del conjunto A.
Como A′ es no nulo por que al menos existe c (por hipotesis del problema),ademas c ≤ x, esto quiere decir que A′ esta acotado superiormente por cualquierelemento de A y por el axioma de completes el conjunto A′ tiene un supremo Ctal que ∀c ∈ A′ se cumple que c ≤ C, luego C ∈ A′ , es decir que C es a mayorde las cotas inferiores, es decir es el ınfimo. A
Observacion: Del resultado anterior se puede concluir que si ınf(A) = C en-tonces se cumple la siguiente
ınf(A) = − sup(A)
8. Muestre que para algun conjunto A de numeros reales se cumple que A ⊂ (A′)′
Demostracion: Como A es un conjunto de numeros reales, entonces podemosdefinir los siguientes conjuntos
A′ = {s ∈ IR : s ≥ x}A′ = {c ∈ IR : c ≤ x}
luego el conjunto (A′)′ es el conjunto de todas las cotas inferiores del conjuntode las cotas superiores, es decir
(A′)′ = {c ∈ IR : c ≤ s}
pero por el teorema 9-b) sabemos que
c ≤ x ∧ x ≤ s ⇒ c ≤ s
entonces(A′)′ = {c, x ∈ IR : c ≤ x ∧ x ≤ s}
A
como x ≤ s entonces los elementos del conjunto A tambien son cotas inferioresde A′, de donde se concluye que
A ⊂ (A′)′
29
1.8. El Conjunto de los Enteros
Primeramente vamos a llamar al conjunto J = {1, 2, 3, . . .} como el conjunto delos enteros positivos. Ahora vamos a asumir que J es un subconjunto del sistema denumeros reales y en consecuencia el conjunto J hereda algunos axiomas del sistema denumeros reales.
Veamos ahora ciertos axiomas del mismo conjunto J .
Axiomas para los Enteros Positivos
J1. 1 ∈ J
J2. J ⊂ P
J3. El conjunto J es cerrado bajo la adicion y la multiplicacion.
J4. Si p y q son elementos de J tal que p > q, entonces p− q es un elementos de J .
J5. Todo subconjunto no nulo de J contiene por lo menos un elemento.
Como una primera consecuencia de estos axiomas, senalaremos que un numero nonegativo es un entero positivo y que el numero 0 es no es un entero positivo. Vamosahora a definir el conjunto K por:
K = {x ∈ IR : −x ∈ J}
donde los elementos de K son llamados enteros negativos. Observese que K ∩ J = ∅.Finalmente vamos a definir el conjunto de los numeros enteros por
Z = K ∪ {∅} ∪ J
Teorema 16 El conjunto Z de enteros es cerrado bajo la adicion, sustraccion y mul-tiplicacion.
1.9. Division de Enteros
Si a, b y x son enteros tales que a = bx y b = 0, entonces x es llamado el cocienteproducido cuando a es dividido por b. Ya que los enteros no son cerrados bajo la divi-sion, no es necesario que exista un x para los enteros a y b, definiremos entonces a bcomo un divisor de a si existe un x tal que a = bx.
y n Si m son enteros y si un entero b es divisor de ambos, entonces b es llamadoComun Divisor de m y n. La notacion b|a (se lee b divide a a) es usado para indicarque b es un divisor de a.
Definicion 16 Un entero b es un Maximo Comun Divisor de los enteros m y n si lassiguientes dos condiciones sean ciertas:
b|m ∧ b|n (1.21)
yy|m ∧ y|n⇒ y|b (1.22)
30
El sımbolo (m,n) sera usado para indicar el maximo comun divisorde m y n.
Un numero entero primo es un entero que no tiene divisor positivo mas que elmismo y el 1. Si m y n son entero cuyo maximo comun divisor es 1, entonces m y nson llamados primos relativos.
Teorema 17 Si a y b son enteros positivos y si b divide a a, entonces b = (b, a).
Demostracion: Bastara con verificar las condiciones (1.21) y (1.22), es decir
b|b ∧ b|a
y
y|b ∧ y|a⇒ y|b
de la primera condicion se ve que b divide a b puesto que existe un numero 1 tal queb = 1 · b, y b divide a a por hipotesis. La segunda condicion es claro ya que si y dividea b y y divide a a, entonces ciertamente y divide a b. A
1.10. El Principio de Buen Orden
Definicion 17 Un conjunto de numeros reales es bien ordenado con tal de que cadasubconjunto no vacıo contiene un mınimo elemento.
El axioma J5 es llamado el el principio de buena ordenacion del los enteros positivos.Una ilustracion del uso del axioma se ve en el siguiente teorema.
Teorema 18 Si a y b son enteros positivos tal que ab = 1, entonces a = 1 y b = 1.
Teorema 19 El numero 1 es el mınimo entero positivo
Teorema 20 Si a y b son enteros positivos tales que a|b y b|a , entonces a = b.
Teorema 21 Si d1 y d2 son los maximos comunes divisores dem y n, entonces d1 = d2.
Teorema 22 (La propiedad arquimediana de los numeros reales.) Para algu-nos numeros reales a y b con a = 0, entonces existe un entero n tal que an > b
Demostracion: Vamos a considerar el caso donde a y b son ambos positivos. Seael conjunto
S = {x ∈ IR : x = an para algun n ∈ J}sea b es una cota superior de S de modo que S tenga un supremo d. Entonces d− a noes una cota superior de S. Esto implica que existe un y ∈ S tal que y > d− a
Como y ∈ S entonces y = an para algun n ∈ J , entonces se tiene
an > d− a
de donde se concluye que a(n + 1) > d, que es una contradiccion ya que se dijo que dera el supremo de S. entonces se concluye que d no es una cota superior de S. lo queprueba que b no es una cota superior de S ya an > b con n ∈ J . A
31
Ejercicios 5
1. Liste todos los enteros primos menores que 100Solucion:
Los numeros enteros primos menores que 100 son:
1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
2. Liste todos los enteros positivos menores que 40 los cuales son primos relativos a20.Solucion:
Dos numeros enteros a y b se llaman primos relativos si el maximo comun divisorde estos es 1, es decir (a, b) = 1. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente,entonces los primos relativos menores que 40 de 20 son:
1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39
3. Lista todos los divisores de 40.Solucion:
El divisor de un numero es aquel numero que esta contenido en el primero unnumero exacto de veces. Entonces los divisores de 40 son:
2, 4, 5, 8, 10, 20
4. Lista todos los divisores comunes de 40 y 50.Solucion:
Son los siguientes 2, 5, 10, donde de
5. Lista todos los divisores comunes de 0 y 12Solucion:
Como todos los numeros son divisores del cero entonces los divisores comunes del0 y del 12 van ha ser los divisores del 12, los cuales son:
1, 2, 3, 4, 6, 12
6. Cuales de los siguientes conjuntos tiene un mınimo elemento?
a) El conjunto de los enteros positivos
El conjunto J de los enteros positivos si tiene un mınimo elemento que es el1, ya que ningun elemento de J es mayor que 1
b) El conjunto de los numeros enteros negativos
El conjunto K de los enteros negativos no tiene un mınimo elemento puestoque cualquier elemento de K es menor que 0, es decir que mientras masgrande sea el numero negativo, este sera mucho menor de el que lo antecede.
c) El conjunto de los enteros
El conjunto de los numeros enteros no tiene un elemento mınimo debido aque ∀x ∈ Z siempre existe un numero −y tal que −y < x, esto debido a queel conjunto de los Z no es acotado inferiormente.
32
d) El conjunto de los enteros primos
Sea el conjunto de los enteros primos denotado de la siguiente manera
Pr = {1, 2, 3, 5, 7, 11, .., }
donde cada uno de sus elementos solo tiene 2 divisores que son la unidady el mismo numero. El conjunto Pr tiene un mınimo elemento que es el 1,puesto que ningun otro elemento de Pr es menor que 1.
e) El conjunto nulo
Como este conjunto no posee elementos, es imposible que tenga un mınimoelemento.
f ) El conjunto de los enteros primos mayores que 1 000 000
Denotemos por S al conjunto de los enteros primos mayores que 1 000 000,donde su primer elemento va ha ser el 1 000 001, y ademas este es su mınimoelemento.
7. Mostrar que 4, 8 y 12 son elementos del conjunto
A = {x ∈ J : x = 8m+ 12n para cualquier m, n ∈ Z}
La notacion aquı indica que x es un elemento de A si y solo si existen enteros my n tales que x = 8m+ 12n.Solucion:
Para mostrar que 4, 8 y 12 son elementos de A bastara con encontrar enteros my n, tales que cumplan que x = 8m+ 12n, sean entonces
4 = 8(1) + 12(−1), donde m = 1, n = −18 = 8(1) + 12(0), donde m = 1, n = 0
12 = 8(0) + 12(1), donde m = 0, n = 1
8. Liste los cinco enteros mınimos del conjunto
{x ∈ J : 4m+ 6n para algunos m,n ∈ Z}
Solucion:
Sabemos si d es el maximo comun divisor de a y b entonces d es el menor entero(no nulo) que puede ser expresado por la forma d = ax + by donde x, y ∈ Z. Envirtud de lo anterior dicho hallemos el mcd de 4 y 6, que es 2, es decir
mcd(6, 4) = 2
2 = 4(−1) + 6(1)
en donde, para nuestro caso m = −1 y n = 1, y este es el menor entero delconjunto, luego los siguientes cuatro elementos que les sigue en orden son:
4 = 4(1) + 6(0), donde m = 1, n = 0
6 = 4(0) + 6(1), donde m = 0, n = 1
33
10 = 4(1) + 6(1), donde m = 1, n = 1
14 = 4(2) + 6(1), donde m = 2, n = 1
no se considera el elemento 0 puesto x ∈ J (enteros positivos)
9. Liste los cinco menores enteros del conjunto
{x ∈ J : x = 12m+ 5n para algunos m,n ∈ Z}
Solucion:
Analogo al ejercicio anterior, el mcd(12, 5) = 1 que es el menor entero del con-junto, puesto que 12 y 5 son primos entre si, entonces los cinco menores enterosde este conjunto son:
1 = 12(−2) + 5(5) con m = −2 y n = 5
2 = 12(1) + 5(−2) con m = 1 y n = −23 = 12(−1) + 5(3) con m = −1 y n = 3
4 = 12(2) + 5(−4) con m = 2 y n = −45 = 12(0) + 5(1) con m = 0 y n = 1
10. Sea a y b enteros positivos fijos y sea d el menor entero del conjunto
{x ∈ J : x = am+ bm para algun m,n ∈ Z}
Haga una suposicion de la relacion entre los enteros d y el par a, b. Encuentraalgunos ejemplos que proporcionen evidencia para corroborar su suposicion.Solucion:
Como d es el menor entero del conjunto dado, y como a y b son enteros fijos,quiere decir que la combinacion
d = am+ bn
es la mınima combinacion lineal que se puede hacer para todo m,n ∈ Z. Supon-dremos entonces que si d puede expresarse como la mınima combinacion lineal,entonces d es el maximo comun divisor de a y b.
Para probar dicha suposicion, primero tendremos que probar que d|(am + bn),en efecto
a) Si d es divisor de a y b entonces d|(a+ b)
Como d|a y d|b, entonces por definicion de division existiran q1 y q2 no nulostal que
a = q1d ∧ b = q2d
Sumando a y b se tiene
a+ b = q1d+ q2d
= (q1 + q2)d
a+ b = q′d
34
donde q1 + q2 = q′ (por cerradura en los Z), y por definicion de division enlos Z podemos decir que
d|(a+ b)
b) Si d|a y d|b entonces d|abCoo d|a y d|b, entonces por definicion de division en Z existiran q1 y q2 nonulos, tales que
a = q1d ∧ b = q2d
multiplicando a y b se tiene
ab = (q1d)(q2d)
ab = d[q1(q2d)]
ab = dq′′
donde q′′ = q1(q2d), y por definicion de division en Z
d|ab
c) Dados dos enteros fijos a y b, se cumple que si a|b entonces a|bm, ∀m ∈ Z.En efecto, si a|b, entonces
b = q1a
bm = (q1a)m
bm = (q1m)a
bm = q′a (cerradura en Z)
entonces a|bm
Finalmente, por hipotesis sabemos que d|a y d|b y por la parte c) sabemos que∀m,n ∈ Z se cumple que d|am y d|bn, ademas de la parte a) podemos concluirque d|(am+ bn).
Como d es un divisor comun de am y bn entonces existira un c ∈ Z tal que c|amy c|an por que lo que c|d, y que por definicion de maximo comun divisor y porlo anterior dicho se concluye que d = mcd(a, b), veamos algunos ejemplos
a) Dado el conjunto
S = {x ∈ J : x = 520m+ 144n, para algunos m,n ∈ Z}
donde su menor entero va ha ser, segun nuestra ultima afirmacion el maximocomun divisor de 520 y 144, y este es
3 1 1 1 1 3520 144 88 56 32 24 888 56 32 24 8 0
de donde el menor entero es 8 = mcd(520, 144) = 520m+ 144n
35
11. Use el teorema 19 para completar la prueba del teorema 18
Demostracion: La prueba consistıa en que se tenıa que excluirse las posibi-lidades de que a < 1 y a > 1 y por la ley de la tricotomıa se podıa concluir deque a = 1, asumiendo por hipotesis de que b = 1, lo que faltaba probar era que
a no puede ser menor que 1
como ab = 1 entonces b = a−1, pero si a < 1 entonces ocurre que
a < 1 ⇒ a(a−1) < 1(a−1) Teo 9-c)⇒ 1 < a−1 A6
Es decir que b > 1, pero por hipotesis b = 1, y por el teorema 19 b es elmenor entero.
Por lo tanto a no puede ser menor que 1
A
1.11. El Algoritmo de la Division
La siguiente aplicacion del principio de buena ordenacion, involucra la idea de valorabsoluto de numeros reales.
Definicion 18 Para todo numero real x, el numero |x| (llamado el valor absoluto dex) esta dado por
i) |x| = x si x es positivo
ii) |x| = 0 si x = 0
iii) |x| = −x si x es negativo
Teorema 23 (El Algoritmo de la Division para Enteros.) Si m y n son enteroscon n = 0, entonces existen enteros q y r tales que
m = nq + r y 0 ≤ r < |n|
Teorema 24 Si a y b son enteros ambos no ceros, entonces el conjunto
S = {x ∈ J : x = am+ bn para cualquier m,n ∈ Z}
contiene al menor entero d. Este entero es el maximo comun divisor positivo de a y b.
Teorema 25 Si a y b son enteros no ambos nulos, entonces el conjunto
S = {x ∈ J/ x = am+ bn para algunos m,n ∈ Z}
contiene un menor entero d. Este entero positivo es el maximo comun divisor de a y b
Teorema 26 Si d = (a, b) entonces existen enteros m y n tales que d = am+ bn
Teorema 27 Si m,n, q y r son enteros tales que m = nq + r y n = 0, entonces(m,n) = (n, r)
Teorema 28 si a, b y c son enteros tales que a y b son primos relativos y a es undivisor de bc, entonces a es un divisor de c.
36
Ejercicios 6
1. Lista todos los maximos comunes divisores de los siguientes pares de enteros.
a) 10 y 121 5
12 10 22 0
∴ mcd(12, 10) = 2
b) 20 y 251 4
25 20 55 0
∴ mcd(25, 20) = 5
c) 16 y 201 4
20 16 41 4
∴ mcd(20, 16) = 4
d) 0 y -3Como el 0 y -3 son primos relativos, entonces el mcd(0,−3) = 1
e) 18 y 201 9
20 18 22 0
∴ mcd(20, 18) = 2
f ) 11 y -19
Estos dos numeros son primos entre si por lo que su mcd(−19, 11) = −1
2. Encuentre el maximo comun divisor de los enteros m y n del teorema 26 paracada par de enteros del problema anterior.Solucion:
a) Como el mcd(12, 10) = 2, entonces:
2 = 12− (1)10
2 = (1)12 + (−1)10
∴ m = 1, n = −1b) Como el mcd(25, 20) = 5, entonces:
5 = 25− 20
5 = 25(1) + 20(−1)
∴ m = 1, n = −1
37
c) Como el mcd(20, 16) = 4, entonces:
4 = 20− 16(1)
4 = 20(1) + 16(−1)
∴ m = 1, n = −1d) Como el mcd(20, 18) = 2, entonces
2 = 20− 18
= 20(1) + 18(−1)
∴ m = 1, n = −1e) Como el mcd(11,−19) = −1, entonces
−1 = −3− (−2)(1)= −3− (−8− (−3)(2))= −3(3)− (−8)= 3(−19− 2(−8))− (−8)= 3(−19) + (−7)(−8)= 3(−19) + (−7)(11− (−19)(−1))= (−7)11 + (−4)(−19)
∴ m = −7, n = −4
3. Encuentre los enteros m y n tales que 11m+ 19n = 1Solucion:
Por el algoritmo de Euclides sabemos que el mcd(19, 11) = 1
1 1 2 2 119 11 8 3 2 18 3 2 1 0
1 = 3− 2(1)
= 3− (8− 3(2))
= 3(3)− 8
= 3(11− 8)− 8
= 3(11)− 4(8)
= 3(11)− 4(19− 11)
= 7(11) + (−4)19
∴ m = 7, n = −4
4. ¿Si usted tiene un equilibrio ordinario de recipientes y un suministro grande deonce pesos de grano y diecinueve pesos de grano, cuantos peso de cada tipo quedebe ponerse en las dos recipientes para que la diferencia fuera un grano?Solucion:
38
Como se tiene dos tipos de pesos de grano (uno de once y otro de diecinueve) ysegun la hipotesis del problema se tiene un equilibrio ordinario, es decir se tieneuna relacion de igualdad entre estos dos tipos de pesos de grano.
Se tiene dos recipientes A y B para cada tipo de peso de grano, en la cual sedebe poner cierta cantidad de tipo de grano para que la diferencia entre estos dosrecipientes sea uno, es decir
11A− 19B = 1
lo que nos pide hallar son los valores de A y B, y que por el ejercicio anteriorsabemos que A = 7 y B = 4
5. Lista todos los fintegers primos menores que 5.Solucion:
Sabemos que los fintegers son los elementos del conjunto
F = {a, n ∈ J ; n+a
2n, con a < 2n}
de donde los elementos de este conjunto son
F = {1, 32, 2,
9
4,10
4,11
4, 3,
25
8,26
8,27
8,28
8,29
8,30
8,31
8,
4,65
16,66
16,67
16,68
16,69
16,70
16,71
16,72
16,73
16,74
16,75
16,76
16,77
16,78
16,79
16}
de donde los fintegers primos menores que 5 son
{1, 32, 2,
9
4,10
4,11
4, 3,
25
8,26
8,27
8,28
8,29
8,30
8,31
8,
,65
16,66
16,67
16,68
16,69
16,70
16,71
16,72
16,73
16,74
16,75
16,76
16,77
16,78
16,79
16}
6. Pruebe que no hay enteros entre n y n+ 1
Demostracion: Haremos esta prueba por el absurdo, para esto, sabemos quepara cualquier n, n + 1 ∈ Z donde n < n + 1, ahora supongamos que existe unnumero a ∈ Z tal que n+a = n+1 y esta entre n y n+1, es decir que se cumpleademas que
n+ 1 > a > n
de donde
n+ 1− a > 0 (1.23)
a− n > 0 (1.24)
tenemos que
n+ a = n+ 1 Por Teo.2
a = 1
39
que reemplazando este ultimo resultado en (1.23) y (1.24) se tiene:
n+ 1 > a a > n
n+ 1− a > 0 1 > n
n+ 1− 1 > 0 n < 1
n > 0
que claramente es una contradiccion puesto que n y n + 1 son numeros enteros.Por lo tanto no existe un entero entre n y n+ 1. A
7. Pruebe que el conjunto J es solo un subconjunto de IR satisfaciendo los axiomasJ1 hasta J5.Sugerencia: Sea L un conjunto satisfaciendo estos axiomas. Considerar el con-junto {x ∈ J : x ∈ L}. Pruebe que L = J . Esto significa que ciertos axiomas oparte de estos axiomas en estos conjuntos son redundantes y no son necesariospara describir completamente al conjunto J
1.12. Los Numeros Racionales
El conjunto de numeros racionales forman un conjunto importante que es cerradobajo las cuatro operaciones fundamentales.
Definicion 19 Un numero racional es un numero real que es el cociente de dos enteros.
si un numero real dado que x esta bajo la consideracion, que pueden o no existirdos enteros p y q tales que x = p
q. Si tales enteros existen entonces por definicion x es
un numero racional, pero si no existen, el numero x es un numero irracional. Ahora sepuede clasificar a los numeros reales dentro de una de las dos categorıas, pero no sepuede decir que es trivial determinar a que clase pertenece.
Teorema 29 Si a y b son numeros reales con a < b, entonces existe un numero racio-nal r tal que a < r < b
Teorema 30 El numero real√2 es irracional.
Demostracion: Para probar que√2 es un numero irracional debemos probar que√
2 no puede ser escrito como un racional, es decir, que√2 no puede ser escrito de la
forma√2 =
a
b. Haremos esta demostracion por el absurdo, asumiendo que
√2 =
a
b,
donde a y b son enteros tales que 1 = (a, b).
Entonces se ve que 2b2 = a2, que indica que 2 puede ser un divisor de a2, lo queimplica que 2 puede er un divisor de a, en otra palabras a = 2c, para algun entero c. Dedonde se tiene que 2b2 = 4c2 y de aquı b2 = 2c2 de donde se concluye que 2 es divisorde b (→←). Esto ultimo es una contradiccion de la suposicion de que el mcd(a, b) = 1,por lo tanto
√2 es un numero irracional. A
El sımbolo Q sera reservado para representar el conjunto de numeros racionales.
Teorema 31 El conjunto Q de numeros racionales es cerrado bajo la adicion, sustrac-cion, multiplicacion y division.
40
1.13. Campos y Anillos de Numeros Reales
Vamos a definir un sistema de numeros como un subconjunto no nulo S del conjuntode numeros reales cerrado bajo la adicion y multiplicacion. El conjunto S es llamadoel conjunto fundamental del sistema de numeros
Definicion 20 Si un sistema de numeros satisface los axiomas algebraicos (AxiomasA1 hasta A9) entonces el sistema de numeros es llamado el campo de numeros reales.
Teorema 32 Un sistema de numeros S es un campo de numeros reales si y solo sieste es un conjunto fundamental cerrado bajo la adicion, sustraccion, multiplicacion ydivision.
Definicion 21 Un sistema de numeros es llamado un anillo de numeros reales con talque este conjunto fundamental este cerrado bajo la adicion, sustraccion y multiplicacion.
Consideremos al conjunto de todos los numeros reales de la forma a+ b√2, donde
a, b ∈ Z, Este conjunto puede ser simbolizado por Z(√2)
Teorema 33 El conjunto Z(√2) es un anillo de numeros reales.
En forma analoga con la definicion del conjunto Z(√2) podemos definir el conjunto
Q(√2) como el conjunto de todos los numeros reales de la forma z+b
√2 donde a, b ∈ Q.
Teorema 34 El conjunto Q(√2) es un campo de numeros reales.
Demostracion: Se probara solo una parte, que es que Q(√2) es cerrado bajo la
division. Sean x, y ∈ Q(√2) con y = 0, entones x = a + b
√2 e y = c + d
√2, donde
a, b, c, d ∈ Q ademas con c, d = 0. Entonces
x
y=
a+ b√2
c+ d√2
=(a+ b
√2)(c− d
√2)
(c+ d√2)(c− d
√2)
=(ac− 2bd)
c2 − 2d2+
(bc− ac)√2
c2 − 2d2
Como el numero c2−2d2 no puede ser cero, entonces los numeros ac−2bdc2−2d2 y bd−ad
c2−2d2 ambos
son numeros racionales. Por lo tanto xyes un elemento de Q(
√2). A
Tambien es claro que Z(√2) ⊂ Q(
√2)
Teorema 35 El numero real√3 no esta en el campo Q(
√2)
41
Ejercicios 7
1. Para cualquier decimal repetido tal como y = 1,24121212 . . . es un numero racio-nal. El dispositivo siguiente puede ser usados en la expresion y como el cocientede dos enteros:
100y = 134,121212
y = 1,341212
99y = 132,78
y =13278
9900=
2213
1650
Exprese cada uno de los siguientes numeros es cocientes de enteros.
a) 3.1416
b) .101010
c) 1.232323
d) 1.234234234
Solucion:
a) y = 3,1416, entonces
10000y = 11416
y =31416
10000
y =3927
1250
b) y = 0,101010 . . ., entonces
99y = 9,999
y =9999
99000
y =1111
11000
c) 1,232323 . . ., entonces
99y = 121,9977
y =1219977
990000
y =12323
10000
d) y = 234234234 . . ., entonces
999y = 1232,766
y =1232766
999000
y =22829
18500
42
2. Completar la prueba del teorema 33
Demostracion: Queda por demostrar que Z(√2) es cerrado bajo la adicion y
sustraccion. Para ambos casos se tomaran los siguientes elementos x, y ∈ Z(√2),
donde
x = a+ b√2
y = c+ d√2
con a, b, c, d ∈ Z
Bajo la Adicion
x+ y = a+ b√2 + c+ d
√2
= a+ c+ b√2 + d
√2
= (a+ c) + (b+ d)√2
como a, b, c, d ∈ Z y los numeros enteros es cerrado bajo la adicion, entonces(a+ c), (b+ d) ∈ Z. Por lo tanto x+ y ∈ Z(
√2)
Bajo la Sustraccion
x− y = a+ b√2− (c+ d
√2)
= a+ b√2 + (−1)(c+ d
√2) Por Prob1-2
= a+ b√2 + (−1)c+ (−1)d
√2 Por Teo. 1
= a+ b√2− c− d
√2 Por Prob1-2
= a− c+ b√2− d
√2
= (a− c) + (b− d)√2 por A9
como a, b, c, d ∈ Z y los numeros enteros es cerrado bajo la sustraccion,entonces (a+ c), (b− d) ∈ Z. Por lo tanto x− y ∈ Z(
√2)
Con lo que se concluye que Z(√2) es un anillo de numeros reales. A
3. En la demostracion del teorema 34 se dijo que c2 − 2d2 no era cero. pruebe porque.
Demostracion: Probaremos esto por el absurdo, para esto supondremos quec2 − 2d2 es igual a cero, entonces
c2 − 2d2 = 0
c2 = 2d2
c2
d2= 2√
c
d= 2
c
d=√2
Pero eso es contradictorio puesto que por el teorema 30 sabemos que√2 es un
numero irracional, es decir que no se puede escribir como el cociente de dosnumeros. Por lo tanto c2 − 2d2 no es cero. A
43
Capıtulo 2
Grupos
2.1. Operaciones Binarias
Definicion 22 Una operacion binaria ∗ en un conjunto S, es una regla que asocia acada par ordenado de elementos de S, algun elemento de S.
Comentarios:
i) Si ∗ : S×S → S es una operacion binaria en S, denotaremos por a∗b al elementoasociado al par (a, b) por ∗.
ii) La palabra par ordenado es muy importante en la definicion anterior pues esposible que a ∗ b = b ∗ a
Ejemplo 1 Si S = Z+ y a ∗ b ={min{a, b} Si a = ba Si a = b
, entonces ∗ es una opera-
cion binaria en S, debido a que a ∗ b ∈ S para todo (a, b) ∈ S × S, siendo
a ∗ b = a Si a < ba ∗ b = b Si a > ba ∗ b = a Si a = b
En particular, 2 ∗ 11 = 2; 15 ∗ 10 = 10; 2 ∗ 2 = 2
Ejemplo 2 Si S = Z+ y a∗′ b = a, entonces ∗′ es una operacion binaria en S porquea ∗′ b ∈ S para todo a, b ∈ S.
En particular, tenemos 2 ∗′ 3 = 2 y 3 ∗′ 2 = 3.Esto significa que la operacion binaria ∗′ en Z+ depende del orden del par (a, b) dado.Mientras que la operacion binaria ∗ en Z+dado en el ejemplo 1.2.1 no depende delorden del par dado, pues a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ Z+.
Ejemplo 3 Sean S = Z+ y a ∗ b = a− b . . . . . . (1), entonces determinar si ∗ es unaoperacion binaria en S.
Solucion:Para concluir que ∗ definido en (1) no es una operacion binaria en S tenemos que
exhibir algun (a, b) ∈ S × S tal que a ∗ b /∈ SClaramente existe (1, 2) ∈ S × S tal que 1 ∗ 2 = 1 − 2 = −1 /∈ S. Por lo tanto, laoperacion ∗ del ejemplo 1.2.3 no es una operacion binaria en S.
44
Ejemplo 4 Si S = Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} y a ∗ b = a − b para todo a, b ∈ S,entonces consideremos el problema de calcular a ∗ b ∗ c.Sabemos que una operacion binaria ∗ permite combinar solo dos elementos y aqui haytres. Ası las distintas maneras de combinar tres elementos a, b, c ∈ S son (a ∗ b) ∗ c ya ∗ (b ∗ c).Con ∗ definida en el ejemplo 1.2.1: (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ 9 = 2; 2 ∗ (5 ∗ 9) = 2 ∗ 5 = 2, luego2 ∗ 5 ∗ 9 = (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ (5 ∗ 9).Por consiguiente, en el ejemplo 1 esta definido a ∗ b ∗ c.Ejemplo 5 Si S = Z+ y a∗′′b = a∗b+2, donde ∗ es la operacion binaria del ejemplo1, entonces a ∗′′ b ∗′′ c no esta definida. En otras palabras a ∗′′ b ∗′′ c es ambigua.
En efecto: para a = 2, b = 5, c = 9 tenemos
(2 ∗′′ 5) ∗′′ 9 = (2 ∗ 5 + 2) ∗′′ 9= (2 + 2) ∗′′ 9= 4 ∗′′ 9= 4 ∗ 9 + 2
= 4 + 2
= 6
2 ∗′′ (5 ∗′′ 9) = 2 ∗′′ (5 ∗ 9 + 2)
= 2 ∗′′ (5 + 2)
= 2 ∗′′ 7= 2 ∗ 7 + 2
= 2 + 2
= 4
Por consiguiente, siendo 6 = 4 la expresion a ∗′′ b ∗′′ c no esta definida.
2.1.1. Operaciones Binarias con Tablas
Mediante una tabla para un conjunto finito se puede definir una operacion binaria
Ejemplo 6 La siguiente tabla define la operacion binaria ∗ en S = {a, b, c} median-te la regla (i-esimo lugar en la izquierda)∗(j-esimo lugar arriba)=lugar en el i-esimorenglon y j-esima columna del cuerpo de la tabla.
∗ a b ca b c bb a c bc c b a
Se observa que:
i) a ∗ b = c y b ∗ a = a. Por consiguiente ∗ no es conmutativa.
ii) c ∗ (a ∗ b) = c ∗ c = a y (c ∗ a) ∗ b = c ∗ b = b. Por consiguiente ∗ no es asociativa.
En este caso el conjunto S na esta formado por numeros, entonces es comprensible quelas operaciones binarias pueden definirse en cualquier conjunto.
45
2.1.2. Criterios para Definir una Operacion Binaria.
Se observa que al definir una operacion binaria ∗ en un conjunto S debemos estarseguros de que:
1. Se asigne exactamente un elemento a cada par posible de elementos de S.
2. Para cada par ordenado de elementos de S, el elemento asignado este en S.
Si se infringe la condicion 2, entonces se dice que S no es cerrado bajo ∗. Caso contrariose dice que S es cerrado bajo ∗.
Ejemplo 7 Si se define ∗ : Q×Q→ Q por a ∗ b = a/bObservamos que existe (2, 0) ∈ Q×Q tal que 2∗0 = 2/0 no esta definido. Esto significaque falla la condicion (1) para ∗,por lo tanto ∗ no es una operacion binaria en Q.
Ejemplo 8 Si se define ∗ : Z+ × Z+ → Z+ por a ∗ b = a/bObservamos que existe 1 ∗ 3 = 1/3 /∈ Z+. Aqui falla la condicion (2) para ∗, por lotanto ∗ no es una operacion binaria en Z+.
Ejemplo 9 Si se define ∗ : Q+ ×Q+ → Q+ por a ∗ b = a/bEntonces las condicines (1) y (2) para ∗ se cumplen, por lo tanto ∗ es una operacionbinaria .
2.2. Propiedades de Grupos
Definicion 23 Un grupo (G, ∗) es un conjunto G, junto con una operacion binaria ∗en G, tal que se satisface los siguientes axiomas:
G1. La operacion binaria ∗ es asociativa
G2. Existe un elemento e ∈ G tal que e∗x = x∗e = x para todo x ∈ G (Este elementoe es un elemento identidad (o neutro )para ∗ en G).
G3. Para cada a en G existe un elemento a′ en G tal que a′ ∗ a = a ∗ a′ = e (elelemento a′ es un inverso de arespecto a ∗).
Teorema 36 Si G es un grupo con una operacion binaria ∗, entonces las leyes decancelacion se cumplen en G. Es decir, a∗ b = a∗ c implica b = c y b∗a = c∗a implicab = c para todo a, b, c ∈ G.
Demostracion: Supongamos que b ∗ a = c ∗ a . . . (1)Por G3 existe a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = eMultiplicando por la derecha por a′ a (1):
(b ∗ a) ∗ a′ = (c ∗ a) ∗ a′ . . . (2)Aplicando ley asociativa en cada lado de (2)
b ∗ (a ∗ a′) = c ∗ (a ∗ a′) . . . (3)Por la propiedad de a′ de (3):
b ∗ e = c ∗ e . . . (4)De (4) por definicion de e en G2 obtenemos que b = c.Similarmente, de a ∗ b = a ∗ c se deduce b = c. A
46
Teorema 37 Si G es un grupo con operacion binaria ∗ y si a y b son elementoscualesquiera de G, entonces las ecuaciones lineales a∗x = b y y∗a = b tienen solucionesunicas en G.
Demostracion: Solo demostraremos que y ∗ a = b tiene unica solucionEXISTENCIA:Como G es un grupo y a ∈ G, entonces por G3 existe a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = e.Multiplicando por la derecha a la ecuacion por a′ obtenemos
(y ∗ a) ∗ a′ = b ∗ a′ . . . (1)
Pero (y ∗ a) ∗ a′ = y ∗ (a ∗ a′) Por G1
= y ∗ e Por G3
= y Por G2
Tomando extremos (y ∗ a) ∗ a′ = y . . . (2)De (2) en (1) se deduce y = b ∗ a′.Es claro que y ∈ G ya que ∗ es una operacion binaria en G.UNICIDAD :Para probar que y ∈ G es la unica solucion de y ∗ a = b, suponiendo que y1 ∈ G essolucion de y ∗ a = b debemos concluir que y1 = y.Como y, y1 son soluciones de la ecuacion, entonces satisfacen a la ecuacion, es deciry1∗a = b = y∗a, tomando extremos y1∗a = y∗a. De esto por el teorema 36 concluimosque y1 = y.De manera analoga, se demuestra que a ∗ x = b tiene unica solucion. A
Definicion 24 Un grupo (G, ∗) es abeliano si su operacion binaria ∗ es conmutativa.
Ejemplo 10 El conjunto Z+ con la operacion binaria + no es un grupo, pues noexiste un elemento identidad para + en Z+. Esto siginifica que no se cumple G2.
Ejemplo 11 El conjunto S = Z+ ∪{0} con la operacion binaria + todavıa no es ungrupo. Existe elemento identidad 0, pero no hay inverso para 3 ∈ G. Esto siginifica queno se cumple G3.
Ejemplo 12 El conjunto Zcon la operacion binaria + es un grupo porque se satis-facen todos los axiomas G1, G2 y G3 de grupo. Es mas que eso, (Z,+) es un grupoabeliano.
Teorema 38 En un grupo G con operacion binaria ∗ hay una sola identidad e tal quee ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G.De la misma manera, para cada a ∈ G existe un solo elemento a′ ∈ G tal que a′ ∗ a =a′ ∗ a = e
Demostracion:
47
1. UNICIDAD DE LA IDENTIDAD eSupongamos que e, e1 son identidades para ∗ en G, entonces debemos concluirque e1 = e.Si e es la identidad para ∗ en G, entonces e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G.En particular para x = e1:
e ∗ e1 = e1 ∗ e = e1 . . . (1)Si e1 es la identidad para ∗ en G, entonces
e1 ∗ x = x ∗ e1 = x para todo x ∈ G.En particular para x = e:
e1 ∗ e = e ∗ e1 = e . . . (2)De (1) y (2), deducimos que e1 = e.Por lo tanto, la identidad en un grupo es unica.
2. UNICIDAD DEL INVERSO DE CADA ELEMENTOSupongamos que a′, a′′ ∈ G son inversos de a respecto a ∗, entonces debemosdebemos concluir que a′′ = a′.Si a′ es un inverso de a, entonces a′ ∗ a = a ∗ a′ = e . . . (1)Si a′′ es un inverso de a, entonces a′′ ∗ a = a ∗ a′′ = e . . . (2)de manera que
a′′ = a′′ ∗ e Por G2
= a′′ ∗ (a ∗ a′) Por (1)
= (a′′ ∗ a) ∗ a′ Por G1
= e ∗ a′ Por (2)
= a′ Por G2
Tomando extremos concluimos que a′′ = a′.Por lo tanto, el inverso de a ∈ G en un grupo es unico.
A
2.3. Grupos Cıclicos
2.3.1. Propiedades Elementales
Si G es un grupo y a ∈ G, entonces H = {an|n ∈ Z} 6 G. Este grupo es el subgrupocıclico de G generado por a.Ahora bien, si G = {an|n ∈ Z}, entonces a es un generador de G y el grupo G = ⟨a⟩es cıclico.
Teorema 39 Todo grupo cıclico es abeliano.
Demostracion: (Para que un grupoG sea abeliano debemos demostrar que ∀g1, g2 ∈G : g1g2 = g2g1).Sea G un grupo cıclico y sea a un generador de G, entonces G = ⟨a⟩ = {an|n ∈ Z}Si g1 y g2 son elementos cualesquiera de G, entonces existen enteros r y s tales que
48
g1 = ar, g2 = as, de manera que g1g2 aras = ar+s
= as+r
= asar
= g2g1Por lo tanto, el grupo G es abeliano A
Comentario:
i) Seguiremos utilizando la notacion multiplicativa en nuestro trabajo acerca degrupos, a pesar de saber que son abelianos.
Lema 25 (Algoritmo de division para Z) Si m es un entero positivo y n es cual-quier entero, entonces existen enteros unicos q y r tales que n = mq + r y 0 6 r < m.
Demostracion: Se da una explicacion con diagramas mediante la siguiente figura
������
︸ ︷︷ ︸−m 0 m 2m qm (q + 1)m
n = qm+ r
︷︸︸︷r n
n > 0, q > 0 . . .| | | | | ||
����
︸ ︷︷ ︸n = qm+ r
n < 0, q < 0 | | || | || . . .−m (q + 1)m 0−m m 2m
r︷︸︸︷ n
Sobre el eje x real usado en geometrıa analitica, se han marcado los multiplos de m yse puede tomar r igual a cero, o n caera entre dos multiplos de m. Si este es el caso,sea qm el primer multiplo de m a la izquierda de n. Entonces r es como se muestra enla figura 1.8.1Se observa en dicha figura que 0 6 r < m. Despues de pensarlo u poco se ve que launicidad de qy de r es clara a partir de los diagramas A
Teorema 40 Un subgrupo de un grupo cıclico es cıclico.
Demostracion: Sea G un grupo cıclico y H 6 G, entonces G = ⟨a⟩. Ahora, tenemosque demostrar que H es cıclico.Si H = {e}, entonces H = ⟨e⟩ es cıclicoSi H = {e}, entonces existe m = mın{n ∈ Z+|an ∈ H} de modo que am ∈ HAfirmamos que c = am genera HEs decir, H = ⟨am⟩ = ⟨c⟩Debemos demostrar que todo elemento b de H es una potencia de c.Sea b ∈ H, como H 6 G, b = an para algun n ∈ Z.Ası para n y m enteros positivos, existen enteros q y r tales que n = mq + r para0 6 r < m mediante el lema 25. Entonces an = amq+r = (am)qar
de donde ar = (am)−qan . . . (1)Ahora, como an ∈ H y am ∈ H y H es grupo, tanto (am)−1 = (am)q = (am)−q comoan estan en H. Ası (am)−qan ∈ H
49
Es decir, ar ∈ H por (1).Debido a que m se ha elegido como el mınimo entero talque am ∈ H y 0 6 r < m,debemos tener r = 0.Por lo tanto, n = mq y b = an = (an)q = cq, de modo que b es una potencia de c A
Corolario 2 Los subgrupos de Z bajo la suma, son precisamente los los grupos nZbajo la suma para n ∈ Z+.
2.3.2. Clasificacion de Grupos Cıclicos
Sea G un grupo cıclico con generador a. Consideremos dos casos
Caso I.- G tiene un numero infinito de elementosEn este caso afirmamos que dos exponentes distintos h y k dan elementos distintos ah, ak
de G. En efecto, supongamos que ah = ak con h > k. Entonces aha−k = ah−k = e, laidentidad y h− k > 0. Sea m el menor entero positivo tal que am = e.Afirmamos que G tendra unicamente los distintos elementos e, a, a2, . . . , am−1.Sea an ∈ G, luego se encuentran q y r tales que n = mq+r para 0 6 r < m por el lema1.8.1, de manera que an = amq+r = (am)qar = ar para 0 6 r < m. Esto significa que G
es finito( →←Hip.
); Hip. G tiene infinitos elementos. Por lo tanto todas las potencias de
a son distintas.
Ahora bien, si G′ es otro grupo cıclico infinito con generador b. Es claro que si secambian el nombre de bn por an, aparece que G′ es exactamente igual a G; es decir, losgrupos G y G′ son isomorfos.Ası Z bajo la suma puede tomarse como prototipo de cualquier grupo cıclico infinito.
Ejemplo 13 Se parece extrano que los grupos Z y 3Z son estructuralmente identicosa pesar de que 3Z < Z.Los nombres no importan, si el 1 lo nombramos 3, al 2 lo nombramos 6 y en generalal n lo nombramos 3n, habremos convertido Z en 3Z como grupo aditivo.
Caso II.- G tiene orden finito.En este caso no todas las potencias de un generador a de G son distintas, ası que paraalgunos h y k tenemos ah = ak. Siguiendo la argumentacion del CASO I, existe unentero m tal que am = e y ninguna potencia positiva menor de a es e. Entonces, elgrupo G consta de los distintos elementos e, a, a2, . . . , am−1.Como se acostumbra usar n para el orden del grupo cıclico en general, cambiaremos lanotacion para lo siguiente, estableciendo m = n.
Ejemplo 14 Es agradable imaginar los elementos e = a0, a1, a2, . . . , an−1 de un gru-po cıclico de orden n, distribuidos equitativamente sobre una circunferencia.Como se ve en la figura 1.8.2. El elemento e = a0 esta localizado en la parete inferiory el ah esta localizado a h de estas unidades iguales, medidas en el sentido contrario alque giran las manecillas del reloj, desde e = a0.Para multiplicar ah y ak mediante este diagrama,se comienza desde ah y se avanza, en
50
el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, k unidades mas. Para ver enterminos aritmeticos donde termina, encuentre q y r tales que h + k = nq + r para0 6 r < n.El termino nq nos lleva q veces alrededor del cırculo hasta llegar a ar.
Definicion 26 Sea n un entero positivo fijo y sean h y k enteros cualesquiera. Elnumero r tal que h+ k = nq + r para 0 6 r < n es la suma de h y k modulo n.
2.4. Subgrupos
Notacion y Terminologıa.- En resumen, posteriormente usaremos en un grupo(G, ∗) las siguientes notaciones:
1. ab = a ∗ b
2. e = e
3.En caso multiplicativo a−1
∨En caso aditivo −a
= a′
Definicion 27 Si G es un grupo finito, entonces el orden de G denotado por |G| sedefine como el numero de elementos de G . En general, para cualquier conjunto finitoS, |S| es el numero de elementos de S.
Por ejemplo, si S = {a, b, c}, entonces |S| = 3.
Definicion 28 Un conjunto B es un subconjunto de A denotado por B ⊆ A(o A ⊇ B)si cada elemento de B esta en A. Las notaciones B ⊂ A o A ⊃ B se usaran paraB ⊆ A, pero A = B.
Observacion.- Para cualquier conjunto A se tiene que ϕ ⊆ A y A ⊆ A.
Definicion 29 Si A es cualquier conjunto, entonces A es el subconjunto impropio deA. cualquier otro subconjunto de A es un subconjunto propia de A.
Definicion 30 Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Si para cada a, b ∈ S escierto que el producto ab calculado en G tambien esta en S, entonces se dice que S escerrado bajo la operacion de grupo de G. La operacion binaria en S, ası definida, sellama operacion inducida en S desde G.
Estamos en condiciones para precisar el concepto de grupo contenido en otro
Definicion 31 Si H es un subconjunto de un grupo G cerrado bajo la operacion degrupo de G y si H mismo es un grupo bajo esta operacion inducida, entonces H es unsubgrupo de G .
Denotaremos por H 6 G o G > H el hecho de que H es un subgrupo de G.H < G o G > H significara que H 6 G, pero H = G
51
Comentarios
1. (Z,+) < (IR,+)
2. (Q+, ·) ≤ (IR,+) aunque Q+ ⊆ IR
3. G ⊆ G y {e} ⊆ G, donde e es el elemento identidad de G
4. H ≤ G esto significara que H no es un subgrupo de G.
Definicion 32 Si G es un grupo, entonces G se llama subgrupo impropio de G. Todoslos otros subgrupos de G son subgrupos propios. Ademas {e} es el subgrupo trivial deG. Todos los otros subgrupos son no triviales.
Ejemplo 15 Q+ bajo la multiplicacion es un subgrupo propio de IR+ bajo la multi-plicaion
Ejemplo 16 Hay dos tipos de diferentes estructuras de grupo de orden 4.El grupo V es 4-grupo de Klein y el grupo Z4,como muestran las siguientes tablas:Z4 : + 0 1 2 3
0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2
V : ⊕ e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e
Comentarios:
i) El unico subgrupo no trivial de Z4 es {0, 2}
ii) {0, 3} 6 Z4, pues {0, 3} no es cerrado bajo la +, por ejemplo 3+3=2 y 2 /∈ {0, 3}.
iii) El grupo V tiene tres subgrupos propios no triviales,{e, a},{e, b},{e, c}
iv) {e, a, b} 6 V , pues {e, a, b} no es cerrado bajo la operacion de V , por ejemploab = c y c /∈ {e, a, b} .
v) Es conveniente hacer un diagrama reticular de los subgrupos de un grupo. endicho diagrama una recta que baja de un grupo G a un grupo H significa queH es un subgrupo de G. Por lo tanto el grupo mas grande esta arriba en eldiagrama.La siguiente figura contiene diagramas reticulares para los grupos Z4 y V delejemplo anterior.
Z4
��{0, 2}
��{0}
diagrama reticular para Z4
52
V
uukkkkkkkk
kkkkkkkk
kkk
�� ))SSSSSSS
SSSSSSSS
SSSS
{e, a}
))SSSSSSS
SSSSSSSS
SSS{e, b}
��
{e, c}
uukkkkkkkk
kkkkkkkk
kk
{e}
diagrama reticular paraV
Si H 6 G y a ∈ H entonces, por el teorema de unicidad de ecuaciones lineales, laecuacion ax = a debe tener solucion unica en H, a saber, el elemento identidad deH. Pero esta ecuacion tambien puede verse como una ecuacion en G y vemos que estasolucion unica debe ser tambien la identidad de G.Un argumento analogo aplicado a la ecuacion ax = e considerada en H como en G,muestra que el inveso a−1 de a en G tambien es el inverso de a en el subgrupo H.El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar si un subconjunto de ungrupo eds un subgrupo del grupo.
Teorema 41 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y solo si:
i) H es cerrado bajo la operacion binaria de G .
ii) La identidad e de G esta en H.
iii) Para todo a ∈ H se cumple que a−1 ∈ H.
Demostracion:
(⇒) Si H 6 G, entonces H es cerrado bajo la operacion binaria de G y se cumplenlas condiciones ii) y iii) por lo visto arriba.
(⇐) Por la condicion i) H tiene como operacion binaria la inducida de G. Para queH sea grupo debe satisfacer los tres axiomas de grupo.
G1: La operacion binaria en G es asociativa, luego la inducidaes asosiativa en HEn efecto a, b, c ∈ H, entonces (ab)c = a(bc) ya que a, b, c ∈ G.
G2: Por la condicion ii) la identidad e ∈ H. Y cumple para e las propiedadesea = ae = a por i) para todo a ∈ H.
G3: Por iii) para cada a ∈ H, existe a−1 ∈ H tal que a−1a = aa−1 = e. Por lotanto para todo a ∈ H, existe a−1 ∈ H tal que a−1a = aa−1 = e
A
Teorema 42 Un subconjunto no vacıo H de un grupo G es un subgrupo de G si ysolo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H
53
Demostracion:
(⇒) Si H 6 G, entonces por G3 para b ∈ H, existe b−1 ∈ HAsı para a ∈ H y b−1 ∈ H deducimos que ab−1 ∈ H ya que H es cerrado bajo laoperacion binaria en G
(⇐) Como H = ϕ, existe a ∈ HPor hipotesis para a = a, b = a : ab−1 = aa−1 = e ∈ Hluego se cumple la condicion ii) del teorema anteriorPara a = e, b = b por hipotesis tenemos que b−1 = eb−1 = ab−1 ∈ H, luegose cumple la condicion i) del teorema anterior. Por el teorema mencionado seconcluye que H es un subgrupo de G
A
2.5. Isomorfismo de Grupos y Propiedades Funda-
mentales
Nos ocuparemos ahora de precisar, la idea de que dos grupos G y G′ son isomorfos,si son identicos salvo el nombre de los elementos y las operaciones.De este modo, podemos obtener G′ a partir de GCambiando el nombre de un elemento x ∈ G por el nombre de cierto elemento x′ ∈ G′.En realidad es una aplicacion ϕ con dominio G. Es claro que dos elementos diferentesx, y ∈ G deben tener contrapartes diferentes de x′ = xϕ, y′ = yϕ en G′. Ademas, cadaelemento de G′ debe ser contraparte de algun elemento de G.Si los grupos son estructuralmente el mismo y si denotamos la operacion del grupo Gpor ∗ y la de G′ por ∗′, entonces la contraparte de x ∗ y deberıa ser x′ ∗′ y′, o (x ∗ y)ϕdeberıa ser (xϕ) ∗′ (yϕ).Comunmente se omiten las notaciones ∗ y ∗′ para las operaciones y se usa la notacionmultiplicativa
(xy)ϕ = (xϕ)(yϕ) . . . (1)
Se nota que la multiplicacion xy en (1) es la multiplicacion en G; mientras que lamultiplicacion (xϕ)(yϕ) en (1) es la multiplicacion en G′.
Definicion 33 Un isomorfismo entre un grupo G y un grupo G′ es una aplicacionϕ : G→ G ′ que es inyectiva y sobreyectiva en G′ tal que para todo x, y ∈ G : (xy)ϕ =(xϕ)(yϕ)En este caso G es isomorfo a G′, lo cual denotaremos por G ∼= G′.
Teorema 43 Si ϕ : G→ G ′ es un isomorfismo de G en G′ y e es la identidad de G,entonces eϕ es la identidad en G′. Ademas
a−1ϕ = (aϕ)−1 para todo a ∈ G.Es decir, un isomorfismo lleva la identidad en la identidad y los inversos a los inversos.
Demostracion: Sea x′ ∈ G′. Como ϕ es sobre, existe x ∈ G tal que xϕ = x′.Entonces
54
x′ = xϕ = (xe)ϕ = (xϕ)(eϕ) = x′(eϕ)Similarmentex′ = xϕ = (ex)ϕ = (eϕ)(xϕ) = (eϕ)x′
de modo que eϕ es la identidad en G′
Tomemos ademas para a ∈ G
eϕ = (a−1a)ϕ = (a−1ϕ)(aϕ)
De manera analogaeϕ = (aa−1)ϕ = (aϕ)(a−1ϕ)
Por consiguiente e′ = eϕ, a−1ϕ = (aϕ)−1 A
2.5.1. Como Demostrar que dos Grupos son Isomorfos
El procedimiento para demostrar que dos grupos, G y G′, son isomorfos, sigue loscuatro pasos siguientes:
PASO 1. Definir la aplicacion ϕ que da el isomorfismo de G en G′. Esto significa describir,de alguna manera, cual serıa xϕ en G′ para toda x ∈ G.
PASO 2. Demostrar que ϕ es una aplicacion 1-1.
PASO 3. Demostrar que ϕ es sobre G′.
PASO 4. Demostrar que (xy)ϕ = (xϕ)(yϕ) parar todo x, y ∈ G.Se calculan ambos lados de la ecuacion y se ve si son iguales.
Ejemplo 17 Demostrar que el grupo IR bajo la suma es isomorfo al grupo IR+ bajola multiplicacion
Demostracion:
PASO 1. Para x ∈ IR se define xϕ = ex
Esto nos da una aplicacion ϕ : IR→ IR+.
PASO 2. Sean x, y ∈ IR tales que xϕ = yϕ entonces x = yComo ex = ey, aplicando logaritmo natural se obtiene x = y. Por lo tanto ϕ es1-1.
PASO 3. Si r ∈ IR+, entonces existe ln r ∈ IR tal (ln r)ϕ = eln r = r. Por lo tanto ϕ es sobreIR+.
PASO 4. Para x, y ∈ IR tenemos(x+ y)ϕ = ex+y = exey = (xϕ)(yϕ)
A
Teorema 44 Cualquier grupo cıclico infinito G es isomorfo al grupo Z de los enterosbajo la suma.
55
Demostracion: Supongamos que G es generado por a ∈ G y la operacion de G esmultiplicativa, entonces G = ⟨a⟩ = {an|n ∈ Z}. Sea e la identidad de G, entoncesa = e. Vamos a demostrar que G es isomorfo a Z con el procedimiento de los siguientescuatro pasos:
PASO 1. Definamos una aplicacion ϕ : G→ Z por anϕ = n ∀an ∈ G.Afirmacion: Si an1 , an2 ∈ G son tales que an1 = an2 , entonces n1 = n2
Por RAA, supongamos que n1 = n2, luego n1 < n2 o n2 < n1.Si n1 < n2, n2 − n1 > 0. De an1 = an2 , deducimos que an2−n1 = e. De estasdos afirmaciones vemos que existe n2 − n1 ∈ Z+ tal que an2−n1 = e, lo cual nos
indica que G tiene a lo mas n2 − n1 elementos
(G es infinito→←
)Si suponemos que n2 < n1, tambien se llega a una contradiccion.Por RAA queda demostrada la afirmacion. En consecuencia, ϕ esta bien definidacomo aplicacion.
PASO 2. Sean an1 , an2 ∈ G tales que an1ϕ = an2ϕ, entonces an1 = an2 .Como an1ϕ = n1 = n2 = an2ϕ, inmediatamente se tiene an1 = an2 , ası ϕ es 1-1.
PASO 3. Por definicion de G, dado n ∈ Z, se tiene an ∈ G, de modo que anϕ = n, luegoϕ es sobre Z.
PASO 4. Sean an1 , an2 ∈ G, entonces an1an2ϕ = an1ϕ+ an2ϕEn efecto, (an1an2)ϕ = (an1+n2)ϕ = n1 + n2
= an1ϕ+ an2ϕ
De los pasos 1-4, se concluye que G ∼= Z A
Comentarios:
i) Si G es un grupo y i : G → G es la aplicacion identidad ( ig = g, ∀g ∈ G ),entonces G ∼= G
ii) Si G es isomorfo a G′, entonces G′ es isomorfo a GEs decir, G ∼= G′ ⇒ G′ ∼= G
iii) G ∼= G′ ∧ G′ ∼= G′′, entonces G ∼= G′′
iv) De i), ii) y iii) la propiedad de isomorfismoentre grupos es una relacion de equi-valencia en una coleccion de grupos. Es decir, dada una coleccion no vacıa degrupos se puede partir la coleccion en celdas (clases de equivalencia) tales quecualesquiera dos grupos en la misma clase son isomorfos y no hay grupos en celdasdistintas que sean isomorfos.
v) Hemos visto que cualesquiera dos grupos de orden 3 son isomorfos. Lo expresamosdiciendoque solo hay un grupo de orden 3, salvo isomorfismo.
Ejemplo 18 Hay un solo grupo de orden 1, uno de orden 2 y uno de orden 3, salvoisomorfismo. Hemos visto que hay exactamente dos grupos diferentes de orden 4, salvoisomorfismo: el grupo Z4 y el 4-grupo V de Klein. Hay al menos dos grupos diferentes,salvo isomorfismos de orden 6: Z6 y S3.
56
2.5.2. Como Demostrar que Dos Grupos no son Isomorfos
Ejemplo 19 Z4 y S6 no son isomorfos, pues no existe una aplicacion 1-1 de Z4
sobre S6.En el caso infinito, no siempre esta claro si existen o no aplicaciones y sobre.
Ejemplo 20 Z bajo la suma no es isomorfo a IR bajo la suma, porque no existe unaaplicacion 1-1 de Z sobre IR.OTRA FORMA DE JUSTIFICAR la afirmacion del ejemplo consiste en:Supongamos que Z ∼= IR, luego el grupo IR bajo la suma es cıclico, luego Q bajo lasuma es un grupo cıclico . . . (1)
Por otro lado, sea r =m
n∈ Q (fijo) con mcd{m,n} = 1
Luego el subgrupo cıclico de Q generado por r es⟨mn
⟩=
{z(mn
): z ∈ Z
}Es claro que
m
n,2m
n∈⟨mn
⟩, de modo que existen
m
n,2m
n∈ Q tales que s =
m/n + 2m/n
2=
3m
2n/∈⟨mn
⟩y s ∈ Q
Esto significa que⟨mn
⟩es un subgrupo propio de Qcomo r =
m
nes arbitrario, ⟨r⟩ <
Q ∀r ∈ Q, por lo que Qcomo grupo bajo la suma no es cıclico(
(1)→←)
∴ Z � IR
Para mostrar que dos grupos no son isomorfos (si tal es el caso) se exhibe algunapropiedad estructural que un grupo posee y el otro no.Las propiedades estructurales de grupo son las que deben compartir grupos isomorfosPodemos citar algunas propiedades estructurales de grupo:
i) El grupo es cıclico.
ii) El grupo es abeliano.
iii) El grupo tiene orden 8.
iv) El grupo es finito.
v) El grupo tiene exactamente dos elementos de orden 6.
vi) La ecuacion x2 = a tiene una solucion para cada elemento a en el grupo.
Ejemplo 21 Z y 3Z son isomorfos, porque existe un isomorfismo ϕ : Z→ 3Z dadopor nϕ = 3n.
Ejemplo 22 Z y Q no son isomorfos como grupos bajo la suma, pues Z es cıclicoy Q no es cıclico.
Ejemplo 23 El grupo Q∗ = Q−{0} bajo la multiplicacion, no es isomorfo al grupoIR∗ = IR− {0} bajo la multiplicacion.Es claro que la ecuacion x3 = a, ∀a ∈ IR∗, tiene solucion en IR∗, mientras que existeuna ecuacion x3 = 2, 2 ∈ Q∗, que no tiene solucion en Q∗, en consecuencia Q∗ � IR∗.
57
Ejemplo 24 El grupo IR∗ = IR−{0} bajo la multiplicacion, no es isomorfo al grupoIC∗ = IC − {0} bajo la multiplicacion.Es claro que la ecuacion x2 = a tiene solucion en IC∗ para todo a ∈ IC∗, pero existe una ecuacion x2 = −1 no tiene solucion en IR∗.
Justificacion.- Supongamos que IC∗ ∼= IR∗, luego existe un isomorfismo ϕ : IC∗ → IR∗
de IC∗ sobre IR∗.−1 ∈ IR∗, existe b ∈ IC∗ tal que bϕ = −1La ecuacion x2 = b tiene solucion en IC∗,ası existe d ∈ IC∗ tal que d2 = bAplicando d2ϕ = bϕ = −1 . . . (1)Pero d2ϕ = dϕdϕ = (dϕ)2 . . . (2)De (1) y (2), (dϕ)2 = −1, donde dϕ ∈ IR∗ esto significa que x2 = −1 tiene solucion
en IR∗(x2=−1 no tiene solucion IR∗
→←). Por RAA, concluimos que IC∗ no es isomorfo a IR∗ bajo
las operaciones indicadas.
Ejemplo 25 El grupo IR∗ = IR−{0} bajo la multiplicacion, no es isomorfo al grupoIR de numeros reales bajo la adicion, pues x+x = a siempre tiene solucion en (IR,+),pero la ecuacion correspondiente x.x = a no siempre tiene solucion en (IR∗, ·), porejemplo, si a = −1.
2.6. Productos Directos
2.6.1. Productos Directos Externos
El producto cartesiano de conjuntos S1, S2, . . . , Sn se denota por S1×S2× . . .×Sn
o porn∏i=1
Si.
Tambien se puede definir el producto cartesiano de un numero infinito de conjuntos.Ahora, si consideramosG1, G2, . . . , Gn grupos con operaciones multiplicativas, podemos
formar un grupon∏i=1
Gi con operacion binaria definida por componentes.
Teorema 45 Sean G1, G2, . . . , Gn grupos.
Para (a1, a2, . . . , an) y (b1, b2, . . . , bn) ∈n∏i=1
Gi se define la operacion binaria enn∏i=1
Gi
por(a1, a2, . . . , an)(b1, b2, . . . , bn) = (a1b1, a2b2, . . . , anbn).
Entoncesn∏i=1
Gi es un grupo bajo esta operacion binaria
Definicion 34 Sean G1, G2, . . . , Gn grupos, entonces el grupo obtenido en el teorema
anterior,n∏i=1
Gi es el producto directo externo de los grupos Gi.
58
Comentario.- Si el conjunto Ai tiene ri elementos para i = 1, . . . , n, entoncesn∏i=1
Ai
tiene r1r2 · · · rn elementos, porque en una n−ada hay r1 elecciones posibles para laprimera componente A1 y para cada una de estas hay r2 elecciones posibles de A2 parala segunda componente y ası sucesivamente.
Ejemplo 26 El grupo Z2 × Z3 tiene 2× 3 = 6 elementos,pues Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}Se observa que Z2 × Z3 es un grupo cıclico, ya que existe (1, 1) ∈ Z2 × Z3
tal que Z2 × Z3 = ⟨(1, 1)⟩= {n(1, 1)|n ∈ Z}
para n = 1, 1(1, 1) = (1, 1)para n = 2, 2(1, 1) = (1 + 1, 1 + 1) = (0, 2)para n = 3, 3(1, 1) = (1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1) = (1, 0)para n = 4, 4(1, 1) = 3(1, 1) + (1, 1) = (0, 1)para n = 5, 5(1, 1) = 4(1, 1) + (1, 1) = (1, 2)para n = 6, 6(1, 1) = 5(1, 1) + (1, 1) = (0, 0)Como hay unico grupo cıclico Z6 de orden, concluimos que Z6
∼= Z2 × Z3.
Ejemplo 27 El grupo Z3 × Z3 tiene 9 elementos, puesZ3 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}Se muestra que Z3 × Z3 no es cıclico, por consiguiente Z9 no es isomorfo a Z3 × Z3
Teorema 46 El grupo Zm × Zn es isomorfo a Zmn si y solo si mcd{m,n} = 1
Corolario 3 El grupon∏i=1
Zmies isomorfo a Zm1m2···mn si y solo si mcd{mi,mj} = 1
para i, j = 1, · · · , n y i = j
Ejemplo 28 Si n = (p1)n1(p2)
n2 · · · (pr)nr , donde los pi son numeros primos distin-tos, por el corolario anterior Zn es isomorfo a Z(p1)n1 × Z(p2)n2 × . . .× Z(pr)nr
En particular, Z12 es isomorfo a Z8 × Z9.
Definicion 35 Sea G un grupo y a ∈ G. Si existe algun entero positivo n tal quean = e, el menor de dichos enteros positivos n, es ell orden de a. Si no existe dicha n,entonces a es de orden finito.
De esto se desprende que si a es un elemento de un grupo G, el orden de a es igualal orden del subgrupo cıclico generado por a.
Teorema 47 Sea (a1, a2, . . . , an) ∈n∏i=1
Gi.
Si ai es de orden finito ri en Gi, entonces el orden de (a1, a2, . . . , an) enn∏i=1
Gi es igual
al mınimo comun multiplo de todas las ri
Ejemplo 29 Podemos citar el orden de todos los elementos de Z3 × ZEl orden de (0,0) es 1 El orden de (1,0) es 3El orden de (0,1) es 3 El orden de (1,1) es 3
59
El orden de (0,2) es 3 El orden de (1,2) es 3El orden de (2,0) es 3=mcm{3, 1}El orden de (2,1) es 3=mcm{3, 3}El orden de (2,2) es 3=mcm{3, 3}
Sin∏i=1
Gi es el producto directo externo de grupos Gi, entonces el subconjunto
Gi = {(e1, e2, . . . , ei−1, ai, ei+1, . . . , en)|ai ∈ Gi} es un subgrupo den∏i=1
Gi.
Ademas Gi es isomorfo a Gi mediante la proyeccion canonicaπi dada por (e1, e2, . . . , ei−1, ai, ei+1, . . . , en)πi = aiAsı, el grupo Gi se refleja en la i−esima componente de los elementos de Gi.
Consideremosn∏i=1
Gi como el producto directo interno de estos subgrupos Gi. Los termi-
nos interno y externo, aplicados a los productos directos de grupos, solo reflejan si seconsideran o no (respectivamente), a los grupos componentes como subgrupos del gru-po producto. En adelante se omite la palabra interno o externo y se dira solo productodirecto.
Definicion 36 Sea {Si|i ∈ I} una coleccion de conjuntos.
Aqui I puede ser cualquier conjunto de indices. Se define la interseccion∩i∈I
Si de los
conjuntos como ∩i∈I
Si = {x ∈ Si|i ∈ I}
Teorema 48 La interseccion de los subgrupos Hi de un grupo G para i ∈ I es unsubgrupo de G
Demostracion: (Vamos a usar el teorema 1.5.2):
Sea Hi =∩i∈I
Hi
como e =∩i∈I
Hi para i ∈ I siendo Hi 6 G, deducimos que e ∈∩i∈I
Hi ⇒ H = ϕ.
Ası H es un subconjunto no vacıo del grupo G.Sean a, b ∈ H, entonces ab−1 ∈ HEn efectoa ∈ H =
∩i∈I
Hi ⇒ a ∈ Hi para todo i ∈ I . . . (1)
b ∈ H =∩i∈I
Hi ⇒ b ∈ Hi para todo i ∈ I
Como Hi 6 G para todo i ∈ I: b−1 ∈ Hi para todo i ∈ I . . . (2)De (1) y (2): ab−1 ∈ Hi para todo i ∈ I, pues Hi 6 G para todo i
Luego ab−1 ∈ H =∩i∈I
Hi.
Por el teorema 1.5.2, concluimos que∩i∈I
Hi es un subgrupo de G. A
60
2.6.2. Productos Directos Internos
Definicion 37 Sea G un grupo con subgrupos Hi para i = 1, 2, . . . , n, entonces se dice
que G es el producto directo interno de los subgrupos Hi si la aplicacion ϕ :n∏i=1
Hi → G
dado por (h1, h2, . . . , hn)ϕ = h1h2 . . . hn es un isomorfismo.
Teorema 49 Sı G es el producto directo interno de los subgrupos H1, H2, . . . , Hn, en-tonces cada g ∈ G puede escribirse de manera unica como g = h1h2 . . . hn, dondehi ∈ Hi
Tambien vale la recıproca.
Demostracion:
⇒) Por hipotesis, G es el producto directo interno de los subgrupos H1, H2, . . . , Hn,
entonces la aplicacion ϕ :n∏i=1
Hi → G tal que
(h′1, h′2, . . . , h
′n)ϕ = h′1h
′2 . . . h
′n es un isomorfismo. . . . (1)
Sea g = h1h2 . . . hn = g1g2 . . . gn donde hi, gi ∈ Hi . . . (2)Por (1): (h1, h2, . . . , hn)ϕ = (g1, g2, . . . , gn)ϕComo ϕ es un isomorfismo, ϕ es 1-1, luego(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn) ⇔ hi = gi para i = 1, 2, . . . , nLuego de (2), concluimos que cada g ∈ G tiene unica representacion comog = h1h2 . . . hn, donde hi ∈ Hi
⇐) Definamos ϕ :n∏i=1
Hi → G por (h1, h2, . . . , hn)ϕ = h1h2 . . . hn
a) ϕ esta bien definida
Sean (h1, h2, . . . , hn), (g1, g2, . . . , gn) ∈n∏i=1
Hi tales que
(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn), entonces (h1, h2, . . . , hn)ϕ = (g1, g2, . . . , gn)ϕEn efecto, de (h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn) ⇒ hi = gi; para i =1, 2, . . . , nLuego h1h2 . . . hn = g1g2 . . . gn. Es decir (h1, h2, . . . , hn)ϕ = (g1, g2, . . . , gn)ϕ
b) ϕ es 1-1
Sean (h1, h2, . . . , hn), (g1, g2, . . . , gn) ∈n∏i=1
Hi tales que
(h1, h2, . . . , hn)ϕ = (g1, g2, . . . , gn)ϕ, entonces (h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn)En efecto, (h1, h2, . . . , hn)ϕ = (g1, g2, . . . , gn)ϕ ∈ GEs decir, h1h2 . . . hn = g1g2 . . . gn ∈ G donde gi, hi ∈ Hi, tiene unica repre-sentacion implica que hi = gi para i = 1, 2, . . . , nLuego (h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn).
c) ϕ es sobre GSea g ∈ G, por hipotesis cada elemento se representa como producto de loselementos de sus subgrupos, luego g = h1h2 . . . hn
De donde existe (h1, h2, . . . , hn) ∈n∏i=1
Hi tal que (h1, h2, . . . , hn)ϕ = g
61
d) Sean (h1, h2, . . . , hn), (g1, g2, . . . , gn) ∈n∏i=1
Hi, entonces
[(h1, h2, . . . , hn)(g1, g2, . . . , gn)]ϕ = (h1, h2, . . . , hn)ϕ(g1, g2, . . . , gn)ϕEn efecto, [(h1, h2, . . . , hn)(g1, g2, . . . , gn)]ϕ = (h1g1, h2g2, . . . , hngn)ϕ
= h1g1h2g2 . . . hngn= h1h2 . . . hng1g2 . . . gn= (h1, h2, . . . , hn)ϕ(g1, g2, . . . , gn)ϕ
Por definicion se concluye que GH1, H2, . . . , Hn A
SeaH yK subgrupos de un grupoG. nos interesa examinarHK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}.desafortunadamente HK no necesariamente es un subgrupo de G, pues h1k1h2k2 nosiempre es de la forma hk.Si G es abeliano o aun si cada elemento h ∈ H conmuta con cada elemento k de K,hk = kh, entonces h1h2k1k2 = h3k3 donde h3 = h1h2 y k3 = k1k = 2 son elementos deH y K respectivamente.Se verifica facilmente que en este caso HK 6 G, pues ee = e ∈ HK y (hk)−1 =k−1h−1 = h−1k−1 ∈ HK.En el caso no conmutativo, existe un subgrupo de G que contiene HK.
Definicion 38 Sean H y K subgrupos de un grupo de G.El compuesto H ∨ K de H y K es la interseccion de todos los subgrupos de G quecontiene HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}.
Comentarios:
i) H ∨K es el mas pequeno subgrupo de G que contiene HK.
ii) Si G es abeliano o conmutan los elementos de H con los de K, entonces HK =H ∨K
Teorema 50 Un grupo G es el producto directo interno de los subgrupos H y K si ysolo si
i) G = H ∨K
ii) hk = kh para todas las h ∈ H y todas las k ∈ K
iii) H ∩K = {e}
Demostracion:
⇒) Por hipotesis ϕ : H ×K → G tal que(h, k)ϕ = hk es un isomorfismo.
i) Sabemos que HK ⊆ H ∨K ⊆ GComo ϕ es sobre G, si g ∈ G, existe (h, k) ∈ H ×Ktal que g = (h, k)ϕ = hk, de aquı G ⊆ HK, ∀G = H ∨K = HK
62
ii) (h, k) = (e, k)(h, e) para todo (h, k) ∈ H ×KComo ϕ es un isomorfismo(h, k)ϕ = (e, k)ϕ(h, e)ϕ, de dondehk = (ek)(he) = khAsı hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K.
iii) Sea h ∈ H ∩K ⇒ h ∈ H y h ∈ KComo he = h = eh obtenemosque (h, e)ϕ = (e, h)ϕϕ es un isomorfismo, luego ϕ es 1-1De modo que (h, e) = (e, h), luego h = eAsı H ∩K = {e}.
⇐) Por hipotesis se cumplen las condiciones i), ii) y iii).Demostremos que ϕ : H × K → G una aplicacion definida por ϕ(h, k) = hk es unisomorfismo de H ×K sobre G.ϕ es 1-1Sean (h1, k1), (h2, k2) ∈ H × K tales que (h1, k1)ϕ = (h2, k2)ϕ entonces (h1, k1) =(h2, k2).En efecto, (h1, k1)ϕ = (h2, k2)ϕ significa que
h1k1 = h2k2, de dondeh−12 h1 = k2k
−11 ∈ H ∩K = {e}
Luego h−12 h1 = e y k2k−11 = e, de modo que h1 = h2, k2 = k1
Por consiguiente (h1, k1) = (h2, k2).ϕ es sobre GLa condicion ii)hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K implica, como hemos visto
antes de definir H ∨K, que HK es un subgrupo de G, de modo que HK = H ∨K i)= G
Si g ∈ G, existe (h, k) ∈ H ×K tal que (h, k)ϕ = hk = g.Afirmamos si (h1, k1), (h2, k2) ∈ H ×K, entonces[(h1, k1)(h2, k2)]ϕ = (h1, k1)ϕ(h2, k2)ϕEn efecto, [(h1, k1)(h2, k2)]ϕ = (h1h2, k1k2)ϕ
= (h1h2)(k1k2), por ii)= (h1k1)(h2k2)= (h1, k1)ϕ(h2, k2)ϕ
A
2.7. Homomorfismos de Grupos y Propiedades Fun-
damentales
Definicion 39 Una Aplicacion ϕ de un grupo G en un grupo G′ es un homomorfis-mo si (ab)ϕ = (aϕ)(bϕ) para todos los elementos a y b ∈ G.
En la condicion (ab)ϕ = (aϕ)(bϕ), la operacion (ab)ϕ en el lado izquierdo ocurre enG, mientras que la operacion (aϕ)(bϕ) del lado derecho, ocurre en G′. Asi, la condicionpara ser homomorfismo relaciona la estructura de G con la de G′.
Ejemplo 30 La aplicacion γ de Z en Zn dada por mγ = r donde r es el residuode m al dividir lo entre n.
63
Entonces γ es un homomorfismo:
(s+ t)γ = sγ + tγ
En efecto, sean s = q1n+ r1, t = q2n+ r2 . . . (1)donde 0 6 ri < nLuego sγ = r1, tγ = r2. Ası sγ + tγ = (r1 + r2) mod nSi r1 + r2 = q3nr3 para 0 6 r3 < n, entonces sγ + tγ = r3 . . . (2)Por otro lado, de (1): s+ t (q1 + q2)n+ (r1 + r2)
(q1 + q2 + q3)n+ r3Ası (s+ t)γ = r3 . . . (3)De (2) y (3), se concluye que (s+ t)γ = sγ + tγ
Observacion.- Si consideramos Zn como el grupo Z/nZ de clases residuales modulon, vemos que γ asigna a cada elemento de Z la clase residual modulo n.
Teorema 51 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, entonces la aplicacioncanonica γ : G→ G/N dada por aγ = aN para a ∈ G, es un homomorfismo.
Demostracion: Sean a, b ∈ G, entonces (ab)γ = (aγ)(bγ)En efecto, (ab)γ = (ab)N
= (aN)(bN)= (aγ)(bγ)
A
Definicion 40 El nucleo de un homomorfismo ϕ, ϕ : G→ G′ denotado por kerϕ, esel conjunto kerϕ = {g ∈ G|gϕ = e′}
Ejemplo 31 Para la aplicacion γ : Z→ Zn, es tal que ker γ = nZ.Se nota que nZ es un subgrupo normal de Z y Z/nZ es isomorfo a Zn.
Definicion 41 Sea ϕ una aplicacion de un conjunto X en u conjunto Y . Sea A ⊆X, B ⊆ Y . La imagen Aϕ de A en Y bajo ϕ es Aϕ = {aϕ|a ∈ A}. La imagen inversaBϕ−1 de B es Bϕ−1 = {x ∈ X|xϕ ∈ B}
El siguiente teorema proporciona algunas caracterısticas estructurales preservadas bajoun homomorfismo
Teorema 52 Sea ϕ un homomorfismo de un grupo G en un grupo G′. Si e es laidentidad en G, entonces eϕ es la identidad en G′ y si a ∈ G, entonces a−1ϕ = (aϕ)−1.Si H es un subgrupo de G, entonces Hϕ es un subgrupo de G′, y H es normal en Gimplica que Hϕ es normal en Gϕ. Ahora, en otra direccion, si K ′ es un subgrupo deG′, entonces K ′ϕ−1 es un subgrupo de G y K ′ es normal en Gϕ, implica que K ′ϕ−1
es normal en G. Dicho brevemente, bajo un homomorfismo, subgrupos corresponden asubgrupos y subgrupos normales a subgrupos normales.
Demostracion: Sea ϕ un homomorfismo de G sobre G′.Entonces, aϕ = (ae)ϕ = (aϕ)(eϕ) y
aϕ = (ea)ϕ = (eϕ)(aϕ)de donde eϕ es la identidad e′ en G′
Ademas, eϕ = (aa−1)ϕ = (aϕ)(a−1ϕ) yeϕ = (a−1a)ϕ = (a−1ϕ)(aϕ) de modo que el inverso
de aϕ es (aϕ)−1 = a−1ϕ.
64
1) Si H 6 G, entonces Hϕ 6 G′
En efecto, eϕ ∈ Hϕ, luego Hϕ =↗ϕconjunto vacıo.
Sean a, b ∈ Hϕ, entonces ab−1 ∈ HϕEs claro que a ∈ H implica que a = h1ϕ , h1 ∈ H
b ∈ H implica que b−1 = h−12 ϕ ;h−12 , h2 ∈ H puesH 6 G
Como H 6 G, de modo que ab−1 = (h1ϕ)(h−12 ϕ)
(h1h−12 )ϕ ∈ Hϕ
Segun el teorema 1.5.2 se deduce que Hϕ 6 G′.
2) Si H es un subgrupo normal de G, entonces Hϕ es un subgrupo normal de Gϕ.Sean gϕ ∈ Gϕ y hϕ ∈ Hϕ, entonces (gϕ)−1hϕ(gϕ) ∈ Hϕ.En efecto, (gϕ)−1hϕ(gϕ) = (g−1ϕ)(hϕ)(gϕ) = (g−1hg)ϕ, ϕ es un homomorfismo
= hϕ ∈ Hϕ, pues H es un subgrupo normal de G
3) Si K ′ 6 G′, entonces K ′ϕ−1 6 GEn efecto, K ′ϕ−1 = {g ∈ G|gϕ ∈ K ′}, luego e ∈ G es tal que eϕ ∈ K ′ porqueK ′ 6 G′. AsıK ′ϕ−1 es un subconjunto no vacıo de G.Sean a, b ∈ K ′ϕ−1, entonces ab−1 ∈ K ′ϕ−1Claramente, a ∈ K ′ϕ−1 implica que a ∈ G y aϕ ∈ K ′
b ∈ K ′ϕ−1 implica que b ∈ G y bϕ ∈ K ′de donde ab−1 ∈ G y (ab−1)ϕ = (aϕ)(b−1) ∈ K ′pues ϕ es homomorfismo y K ′ 6 G′.
Por el teorema 1.5.2, concluimos que K ′ϕ−1 es un subgrupo de G.
4) Si K ′ E Gϕ, entonces K ′ϕ−1 E GNotacion: K ′ E Gϕ significa que K ′ es un subgrupo normal de GϕSean g ∈ G, h ∈ K ′ϕ−1 entonces g−1hg ∈ K ′ϕ−1.En efecto, h ∈ K ′ϕ−1 ⇒ h ∈ Gy hϕ ∈ K ′Luego g−1hg ∈ G y (g−1hg)ϕ = (gϕ)−1(hϕ)(gϕ) ∈ Kϕ porque K ′ E GϕPor consiguiente g−1hg ∈ K ′ϕ−1. Esto significa que K ′ϕ−1 es un subgrupo normalde G
A
2.8. El Teorema Fundamental del Homomorfismo
El teorema anterior, en particular, muestra que para un homomorfismo ϕ : G→ G′,el nucleo de ϕ, kerϕ = K = {e′}ϕ−1 es un subgrupo normal de G puesto que {e′} esun subgrupo normal de G′.
Teorema 53 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea ϕ un homomor-fismo de un grupo G en un grupo G′, con el nucleo K. Entonces Gϕ es ungrupo y existeun isomorfismo canonico (natural) de Gϕ con G/K.
Demostracion:
i) Considerando H = G, en el teorema anterior, deducimos que Gϕ es un subgrupode G′, luego Gϕ es un grupo.
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ii) AFIRMACION.- G/K ∼= GϕEn efecto, definamos una aplicacion ψ : G/K → Gϕ por (ak)ψ = aϕ para todoak ∈ G/K.
1) ψ esta bien definida (como aplicacion)Sean ak, bk ∈ G/K tales que ak = bk, entonces (ak)ψ = (bk)ψEn efecto, ak = bk implica que b−1a ∈ K, luego
a = bk para algun k ∈ K, ahora aplicando ϕaϕ = (bk)ϕ
= (bϕ)(kϕ)= (bϕ)e′ porque k ∈ K = kerϕ= bϕ
de donde aϕ = bϕAsı, por definicion de ψ : (ak)ψ = aϕ = bϕ = (bk)ψ.
2) ψ es 1-1Sean ak, bk ∈ G/K tales que (ak)ψ = (bk)ψ, entonces ak = bk.En efecto, de (ak)ψ = (bk)ψ se tiene aϕ = bϕDe aquı (b−1a)ϕ = eϕ, luego b−1a ∈ K = kerϕ, por consiguiente ak = bk.
3) ψ es sobre Gϕ. En efecto:Dado gϕ ∈ Gϕ, existe gK ∈ G/K tal que (gK)ψ = gϕ.
4) ψ es un homomorfismo.Sean ak, bk ∈ G/K, entonces (aKbK)ψ = (aK)ψ(bK)ψEn efecto, (aKbK)ψ = (abK)ψ pues K es un subgrupo normal de G
= (ab)ϕ= (aϕ)(bϕ) porque ϕ es un homomorfismo
= (aK)ψ(bK)ψ
De 1), 2), 3) y 4) queda verificado la afirmacion ii)
A
Comentario.- La aplicacion ψ es una aplicacion canonica en el sentido de que si γes el homomorfismo canonico γ : G→ G/K, entonces ϕ = γψEsta igualdad se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo.
Gϕ //
γ !!CCC
CCCC
CCGϕ
G/K
ψ
<<yy
yy
Cuando se tenga un homomorfismo, hay dos cosas de principal importancia: la imageny el nucleo.
A cada grupo cociente G/N corresponde un homomorfismo ϕ : G → G′ la imagenes esencialmente G/K donde K = kerϕ, salvo un isomorfismo canonico.
Ejemplo 32 La aplicacion ϕ : IR → IC∗ dada por xϕ = cos x + i senx es un homo-morfismo de IR bajo la suma en IC∗ grupo bajo la multiplicacion.
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En efecto, sean x, y ∈ IR, entonces (x + y)ϕ = (xϕ)(yϕ), desarrollando cada lado ollegando del lado izquierdo al derecho
(x+ y)ϕ = cos(x+ y) + i sen(x+ y)
= (cos x cos y − sen x sen y) + i(senx cos y − cos x sen y)
= (cos x cos y + i cos x sen y) + (i sen x cos y − senx sen y)
= (cos x+ i senx)(cos y + i sen y)
= (xϕ)(yϕ)
Hallemos el nucleo de ϕ : K = kerϕ = {r ∈ IR|rϕ = 1}= {r ∈ IR| cos r + i sen r = 1}= {r ∈ IR|r = 2kπ, k ∈ Z}= ⟨2π⟩
Del teorema anterior IR/ ⟨2π⟩ ∼= C = IRϕ, donde C es la circunferencia con centro en(0,0) y radio 1 en el plano complejo. por lo tanto ϕ es un homomorfismo.
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Bibliografıa
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Notas de clases no publicadas, Peru.
[2] Hilton Peter, (2000). Curso de Algebra Moderna
Editorial Reverte, Espana.
[3] W. Keesee, (1999). Elementary Abstract Algebra
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