Universidad de Costa Rica

Facultad de Ciencias

Escuela de Fısica

FS0310: Fısica General II

I Ciclo 2010

Gerardo Lacy Mora

1 Capıtulo 23: Pimera Ley de la Termodinamica

Analizaremos el comportamiento de un sistema que interactua con su entorno,enfoncandonos en la manera como intercambian energıa y/o trabajo.

1.1 El Calor: Energıa en Transito

El calor es energıa que fluye entre un sistema y su ambiente a causa de la diferenciade temperatura entre ellos. Ası, el calor Q que fluye entre ellos puede salir o entraral sistema en funcion de la relacion de temperaturas con su entorno. Llamemos TS

y TE las temperaturas del sistema estudiado y la de su entorno, respectivamente.Usaremos la siguiente convencion:

• Q > 0 si TS < TE. (El calor entra al sistema).

• Q < 0 si TS > TE. (El calor sale del sistema).

• Q = 0 si TS = TE. (No hay intercambio de calor).

1

Sistema Sistema Sistema

TS

Entorno, TE Entorno Entorno

TS < TE TS = TE TS > TE

Q < 0Q = 0Q > 0

1.2 La Transferencia de Calor

El calor puede transmitirse de varias maneras, en funcion de la naturaleza de elsistema y su entorno. Nosotros nos enfocaremos en intercambio de calor cuando unsolido se encuentra en un gradiente de temperatura.

Analicemos entonces como se conduce el calor cuando un material de espesor ∆xmantiene una cara a un temperatura T y otra a T + ∆T . La tasa a la cual setransfiere calor por el esta dado por

H =Q

∆t= kA

∆T

∆x(1)

donde A es el area transversal del objeto y k es una constante de proporcionalidadpara cada material denominada conductividad termica.

El caso particular en que T y ∆T son constantes se denomina estado estacionario,y en esta situacion, todo incremento de energıa que entra por el extremo calientesale por el extremo frıo, por lo que a lo largo de cualquer seccion transversal delmaterial se medira la misma rapidez de transferencia de calor.

Asociado con el objeto en cuestion, se define su resistencia termica en funcion delespesor L del material por donde se transfiere calor:

R =L

k. (2)

En el caso en donde la seccion transversal del material no es constante, podemosreescribir (1) como

H = −kA(x)dT

dx(3)

2

donde se toma la convencion de que la direccion positiva de las x es la direccion enque se transfiere calor.

1.3 La Primera Ley de la Termodinamica

La Primera Ley de la Termodinamica es una manera de enunciar la conservacionde energıa para un proceso termodinamico. Ası, la energıa interna de un sistemapuede variar si este realiza (o recibe) trabajo y/o si entra (sale) calor de el. Estolo podemos expresar mediante

dEint = δQ − δW (4)

donde δQ es el calor que entra al sistema y δW el trabajo que este realiza.

Los sımbolos “δ” pretenden enfatizar que ni Q ni W son diferenciales exactos, mien-tras que Eint sı lo es. Esta condicion sobre Q y W lo que quiere decir es que habraque especificar la manera en que el sistema absorbe/cede calor y realiza/recibe tra-bajo. A su vez, el hecho de que Eint sea un diferencial exacto indica que la energıainterna de un sistema termodinamico depende unicamente del valor de las variablestermodinamicas en un estado dado y no de como se llego a ese estado.

Cualquier magnitud fısica macroscopica que caracterice el estado de un sistematermodinamico en equilibrio, recibe el nombre de Variable de Estado. La energıainterna es una variable de estado. La primera Ley nos dice que la energıa ha deconservarse en todo proceso, pero no indica si un proceso en particular donde secumpla pueda o no ocurrir.

1.4 Capacidad Calorıfica y Calor Especıfico

La manera en que cada material/sustancia absorbe calor es especıfica de este, asicomo el cambio de temperatura que sufra por el intercambio de calor. Por lo tanto,definimos la Capacidad calorıfica, C, de un cuerpo como la razon entre la cantidadde energıa calorıfica transmitida al cuerpo y su cambio de temperatura correspon-diente:

C =Q

∆T(5)

3

Esta es una propiedad extensiva: depende de la cantidad de materia del cuerpo.Podemos definir una cantidad intensiva (que no depende de la cantidad de materia,sino que solo del material) que caracteriza el material, el Calor Especıfico:

c =C

m=

Q

m∆T(6)

De manera que el calor Q necesario para que un objeto de masa m sufra

un cambio de temperatura ∆T es Q = mc∆T .

Como el calor depende de las condiciones en que este se transfiere, para conseguirun valor unico de c, hablamos usualmente de calor especıfico a presion constante,cp, o calor especıfico a volumen constante, cv.

Tanto C como c dependen de la temperatura, ası que en terminos generales:

Q = m

∫ Tf

Ti

cdT (7)

En el caso de cambios de fase (solido↔lıquido↔gas) el calor que ingresa/sale nocambia la temperatura del objeto, sino que se utiliza en la transformacion. Ası,definimos el calor de transformacion, L, como la cantidad de calor por unidad demasa que debe transferirse para producir un cambio de fase:

Q = Lm (8)

donde m es la masa de la muestra que cambia la fase. Al calor transferido duranteel congelamiento o la fusion se le llama calor de fusion, Lf , y calor de evaporacion,Lv, al transferido durante la vaporizacion o condensacion.

1.5 Trabajo realizado en/por un gas ideal

El trabajo hecho por un gas ideal lo podemos encontrar mediante la integral

W =

∫

pdV (9)

4

Si W > 0 significa que el trabajo es realizado por el gas, si W < 0 que es realizadosobre el gas.

Como el trabajo depende de la manera en que se realice, tenemos, para un gas ideal:

• Trabajo hecho a volumen constante: Wv = 0.

• Trabajo hecho a presion constante: Wp = p(vf − vi).

• Trabajo hecho a temperatura constante: WT = nRT ln vi

vf.

• Trabajo hecho en aislamiento termico: WQ = 1

γ−1(pivi − pfvf ), donde γ =

Cp/Cv.

1.6 Energıa Interna de un Gas Ideal

La energıa de una molecula en promedio es compartida por igual entre todas lasformas en que puede absorber energıa (trasladarse, girar, vibrar, . . .), de maneraque, la energıa interna de n moles de un gas ideal a una temperatura absoluta T ,esta dada por:

Eint =g

2nRT (10)

donde g son los grados de libertad del sistema:

• g = 3 para un gas monoatomino.

• g = 5 para un gas diatomino.

• g = 6 para un gas poliatomino.

1.7 Capacidades Calorıficas de un Gas Ideal

CV =Q

n∆T=

∆Eint

n∆T=

g

2R (11)

donde g tiene el mismo significando que en (10).

Y

Cp = Cv + R (12)

5

1.8 Aplicaciones de la Primera Ley de la Termodinamica

• Procesos Adiabatico: Q = 0, ∆Eint = −WQ y pV γ =constante.

• Procesos Isotermicos: ∆Eint = 0, Q = WT .

• Procesos a Volumen constante: W = 0, ∆Eint = Q = mcv∆T .

• Procesos Cıclicos: ∆Eint = 0.

• Expansion Libre: ∆Eint = 0.

1.9 Ejercicios Resueltos

Ejercicio 23.6 Se formo hielo de un estanque poco profundo y se alcanzo unestacionario cuando el aire arriba del hielo esta a −5.20◦C y cuando el fondo delestanque tiene una temperatura de 3.98◦C. Si la profundidad total del hielo +agua es de 1.42 m, ¿de que espesor es el hielo? (Tome kagua = 0.502 W/m · K ykhielo = 1.67 W/m · K)

Como el sistema ha alcanzado el estado estacionario, no hay mas agua congelandoseni mas hielo derritiendose, por lo que la temperatura de la interfaz debe ser 0◦C.Por lo tanto:

Tx = 0 =R1T2 + R2T1

R1 + R2

de donde:

Lagua

kagua

T2 =Lhileo

khielo

T1

y como Lhielo + Lagua = 1.42 m, se obtiene Lhielo = 1.15 m.

Ejercicio 23.17 Un tazon de cobre de 146 g contiene 223 g de agua; el tazon y elagua tienen una temperatura de 21◦C. Se deja caer en el agua un cilındro muycaliente de cobre de 314 g. Esto hace hervir 4.70 g de agua y la temperatura finaldel sistema entero es de 100◦C. a) ¿Cuanto calor se transfiere al agua? b) ¿Cuantoal tazon? c) ¿Cual era la temperatura original del cilındro?

En este proceso no se realiza trabajo, por lo que W = 0. Ademas la energıa seconserva, de manera que la primera ley de la Termodinamica establece que

Q = Qabsorbido + Qcedido = 0

6

Dado que el cilındro de cobre estaba a la mayor temperatura, este es el que cedecalor y el agua y el tazon la absorbe. Una vez alcanzado el equilibrio, el calor sehabra distribuido de la siguiente manera:

Qagua + Qvapor + Qtazon + Qcilindro = 0

maguacagua(100◦C−21◦C)+mvaporLv+mtazoncCu(100◦C−21◦C)+mcilindrocCu(100◦C−Ti) = 0

de donde obtenemos Ti = 832◦C.

Ejercicio tomado del Segundo Parcial II ciclo 2009 del profesor GLM

Un mol de gas ideal diatomico (γ = 1, 4) inicialmente a 1 atm y contenido en 1L, sufre tres procesos: una compresion adiabatica, disminuyendo su volumen a lamitad; luego se disminuye la presion a volumen constante hasta la temperaturainicial y a esa temperatura se expande hasta alcanzar de nuevo el volumen inicial.

1. Realice el diagrama pV del proceso entero.

p (atm)

V (L)

1

10.5

2. ¿Cual es el cambio en la energıa interna del gas luego de la compresionadiabatica?

En una compresion adiabatica ∆Q = 0, por lo que de la primera Ley de laTermodinamica ∆Eint = −W . Ahora, en un proceso adiabatico el trabajorealizado por el gas esta dado por

W =pivi − pfvf

γ − 1

7

de manera que lo que ocupamos es averiguar pf para esta etapa del proceso.Como en un proceso adiabatico se cumple que pvγ = constante, tenemos que

pf = pi(vi/vf )γ

entonces

∆Eint = pivi

(

(vi/vf)1−γ− 1

γ − 1

)

3. ¿Cual es el trabajo total realizado sobre el gas en el proceso completo?

El trabajo realizado por el gas es la suma de los trabajo realizados en cadaetapa del proceso: WTotal = WI + WII + WIII .

Ahora, WI ya lo calculamos en la parte b). WII es el trabajo realizado avolumen constante, de manera WII = 0 . Por ultimo, WIII es el trabajo enuna expansion isotermica. Como la temperatura es constante, ∆Eint = 0, demanera que

WIII = QIII = nRTIII ln(vf/vi).

El volumen final en esta etapa es 1 L y el volumen inicial es 0,5 L. Resta porencontrar la temperatura a la que se lleva a cabo la expansion. Notando quees la misma temperatura a la que se inicio el ciclo, podemos hallarla a partirde la Ley de Gas Ideal, ası

TIII = pivi/nR

Ejercicio tomado del Segundo Parcial I ciclo 2008 del profesor GLM

La eficiencia de una planta nuclear de 1000 MW es de 25 %. Si se utilizaun rıo con una rapidez de flujo de 106 kg/s para eliminar el exceso de calor,¿cual sera el aumento promedio en la temperatura del rıo?

8

Dado que la eficiencia de la planta es del 25 %, se libera 750 MJ de calorcada segundo. Si este calor es cedido al agua, esta sufrira un aumento en sutemperatura de:

∆T =Q

mcagua

= 0.018◦C.

1.10 Ejercicios y Problemas Recomendados Cap. 23

8, 11, 21, 24, 40, P20

9