nombre del plantel: conalep tehuacán 150 · cuadrado de un binomio ... (5x−8y−6z)2 = (5x)2 +...

• Nombre del Plantel: Conalep Tehuacán 150

• Nombre del módulo:

Manejo de Espacios y Cantidades

Tutorial sobre Productos Notables y Factorización

• Nombre del docente:

Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

• Grupo: 106 y 108

• Carrera:

P.T.B. en ADMO y SOMA

• Ciclo Escolar: Agosto 2013 – Enero 2014

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Productos notables Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

PRODUCTOS NOTABLES CONCEPTO DE PRODUCTO NOTABLE Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A continuación se describen los más importantes. CUADRADO DE UN BINOMIO El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo del cuadrado del binomio ba + se puede obtener multiplicando término a término:

( ) ( )( ) 22222 2 bababbaababababa ++=+++=++=+ “El cuadrado de un binomio ba + es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. Ahora, al elevar al cuadrado el binomio ba− , también multiplicando término a término, se obtiene:

( ) ( )( ) 22222 2 bababbaababababa +−=+−−=−−=− “El cuadrado de un binomio ba− es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que: ( ) ( )[ ] ( ) 222222 22 bababbaababa +−=+−+=−+=− Ejemplos. 1) ( ) ( )( ) 1684424 2222 ++=++=+ aaaaa 2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22222 91243322232 yxyxyyxxyx ++=++=+ 3) ( ) ( )( ) 25105525 2222 +−=+−+=− bbbbb 4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22222 6496368862686 mkmkmmkkmk +−=−+−+=−

5) 22222

1625

35

94

45

45

322

32

45

32 bababbaaba ++=

+

+

=

+

6) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6324233222232 81126499972797 qqppqqppqp +−=+−+=−

7) ( ) ( ) ( )( ) 252045522252 2222 +−=+−+−=+− kkkkk


2

Representación geométrica de ( )2ba + : Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados ba + y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Los segmentos a y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro menor de lado b , y dos rectángulos de largo a y ancho b . La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado ba + :

Representación geométrica de ( )2ba − : Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a . Los segmentos ba− y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado ba− y otro menor de lado b , y dos rectángulos de largo ba− y ancho b . La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado 2a . Por lo tanto, el área del cuadrado de ba− es igual al área total menos el área de los rectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es: ( ) ( ) 22222222 2222 bababbababbbaaba +−=−+−=−−−=− CUADRADO DE UN POLINOMIO El producto de un trinomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un trinomio. El desarrollo del cuadrado del trinomio cba ++ se puede obtener de la siguiente forma:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2222222 2222 cbcacbabaccbabacbacba +++++=++++=++=++ ordenando se tiene

( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++ Por su parte, el desarrollo del cuadrado del polinomio de cuatro términos dcba +++ se puede obtener de la siguiente forma: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )2222 2 dcdcbabadcbadcba ++++++=+++=+++

2222 222222 dcdcbdbcadacbaba +++++++++= ordenando se llega a:

( ) cdbdbcadacabdcbadcba 22222222222 +++++++++=+++ En general, el cuadrado de un polinomio está dado por la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el doble producto algebraico de sus términos, tomados de dos en dos.

( ) 222 2 bababa +−=−

b

a

a

ba −

ba −

2b

( )2ba −

b ( )bba −

( )bba −

( ) 222 2 bababa +−=−

b

a

a

ba −

ba −

2b

( )2ba −

b ( )bba −

( )bba −


3

Ejemplos. 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )cbcabacbacba 32232223232 2222 +++++=++

bcacabcba 126494 222 +++++= 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )zyzxyxzyxzyx 682652852685685 2222 −−+−+−+−+−+=−−

yzxzxyzyx 966080366425 222 +−−++=

3) +

−

+

+

−+

+

=

−+ gefegfegfe

43

212

52

212

43

52

21

43

52

21 2222

fgegefgfegf53

43

52

169

254

41

43

522 222 −−+++=

−

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )++−+−++−+=−+− cabadcbadcba 94274259745974 22222 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )dcdbcbda 592572972542 −+−−+−+−

cdbdbcadacabdcba 907012640725625814916 2222 −+−−+−+++=

5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )++−+++−++=+−+ tprpqptrqptrqp 3233222223223 22102262210621062

( )( ) ( )( ) ( )( )trtqrq 22 102621062 −++−

trqtqrtprpqptrqp 2232332426 201212044024100364 −+−+−++++=

6) ( ) ++

−+

−+

=

+−−

24222

322

22

42322 625

47

236

25

47

23 sqpnmkjhsqpnmkjh

( )+

+

−

+

−

sqpjhnjhmkjh 4222322 6

232

25

232

47

232

( ) ( )sqpnsqpmknmk 42423232 62526

472

25

472

−+

−+

−

−

−−+++= 32228426424

42136

425

1649

49 mjkhsqpnmkjh

sqnpsqpmknmksqjphjnh 424232324222 30214

35182

15−−++

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos. Ejemplos. 1) ( )ba 34 + y ( )ba 34 − 2) ( )jk 52 − y ( )jk 52 + Al efectuar el producto de un binomio ba + por su conjugado ba − , se tiene:

( )( ) 2222 babbaabababa −=−+−=−+


4

esto significa que el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de sus términos. Esto es:

( )( ) 22 bababa −=−+ Ejemplos. 1) ( )( ) 933 2 −=−+ kkk 2) ( )( ) 22 492323 yxyxyx −=−+

3) ( )( ) 22 64258585 bababa −=−+ 4) ( )( ) 643232 49167474 zwzwzw −=−+

5) 22

259

41

53

21

53

21 yxyxyx −=

−

+

6) ( )( ) 2222 16364646 nmkjmnjkmnjk −=−+ 7) ( )( ) 21048645243252432 14410012101210 wusvtrwusvtrwusvtr −=−+

8) ( )( ) 2111 ααα −=++− La representación del producto de dos binomios conjugados se efectúa a partir de un cuadrado de lado a y un cuadrado interior de lado b . El área sombreada representa 22 ba − y está dada por la suma de los rectángulos ( )aba − y ( )bab − , esto es, ( )( )baba −+ :

ba −

b

( )( ) 22 bababa −=−+

a

a

2b

ba −b


5

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios cuyo término común es x de la forma ( )ax + por ( )bx + . Al desarrollar el producto se tiene: ( )( ) abxaxbxbxax +++=++ 2 , que se puede agrupar como sigue:

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2 Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos. Ejemplos. 1) ( )( ) ( ) ( )( ) 65323232 22 ++=+++=++ xxxxxx

2) ( )( ) ( ) ( )( ) 43414141 22 −+=−++−+=+− aaaaaa

3) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 151643523523252 22 ++=+++=++ bbbbbb

4) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 423997637637363 22 +−=−−+−−+=−− zzzzzz

5) ( ) ( )( ) 5221

164915

4715

471

475

47 2

2

+−=−−+

−−+

=

−

− xxxxxx

6) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 88641182118211282 4842444 −−=−+−+=−+ eeeeee

7) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2815257457457545 2346232232323 −+=−++−+=+− βαβαβαβαβαβα

8) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6017125125125 22 +−=+−++−=+−+− kkkkkk Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado x . A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que se forma una superficie con cuatro regiones:

bx +

b

a

xb

xa ab

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2

ax+

2xx

x


6

El área total que es ( )( )bxax ++ , también está dada por la suma de cada una de las áreas, es decir

abxaxbx +++2 , que en forma simplificada es: ( ) abxbax +++2 . CUBO DE UN BINOMIO El desarrollo del cubo del binomio ba + se puede obtener multiplicando este binomio por su cuadrado: ( ) ( )( ) ( )( )2223 2 babababababa +++=++=+

322223 22 babbaabbaa +++++= que simplificado es:

( ) 32233 33 babbaaba +++=+ Por su parte, el desarrollo del cubo del binomio ba− , se obtiene de forma similar: ( ) ( )( ) ( )( )2223 2 babababababa +−−=−−=−

322223 22 babbaabbaa −+−+−= que simplificado es:

( ) 32233 33 babbaaba −+−=− En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 322332333 3333 babbaabbabaababa ++−=+−+−+=−+=− Considerando lo anterior, se aprecia que el desarrollo anterior presenta la siguiente estructura: El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del primer término por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo término. Ejemplos. 1) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 812684323223232 232332233 +++=+++=+++=+ aaaaaaaaaa 2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 12525353553535 2332233 −+−+=−+−+−+=− kkkkkkk 1257515 23 −+−= kkk 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 322332233 4316364434344 yyxyxxyyxyxxyx +++=+++=+

3223 124864 yxyyxx +++=

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 7763763676 ddcdccdc −+−+−+=−

( )( ) ( )( ) 32233223 34388275621634349637363216 dcddccddcdcc −+−=−+−+=

5)32233

52

52

313

52

313

31

52

31

+

+

+

=

+ bbabaaba


7

+

+= 223

254

313

52

913

271 babaa

322332233

1258

254

152

271

1258

254

152

271

1258 babbaababbaab +++=+++=+

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3222322333323 8843843484 yyxyxxyx −+−+−+=−

( )( ) ( )( ) 643269643269 512768384645126443816364 yyxyxxyyxyxx −+−=−+−+= 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 10103310333103 +−+−+−=+− aaaa ( )( ) ( )( ) 100090027027100010033109327 2323 +−+−=+−++−= aaaaaa 8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 2293293929 −+−−+−−+−=−− zzzz ( )( ) ( )( ) 810848672984932813729 2323 −−−−=−−+−+−= zzzzzz CUBO DE UN TRINOMIO El desarrollo de un cubo de trinomio cba ++ se obtiene multiplicando este trinomio por su cuadrado: ( ) ( )( ) ( )( )bcacabcbacbacbacbacba 22222223 +++++++=++++=++

cbabcabbcbbaabccabaacaba 2223222223 222222 +++++++++++= 22322 222 bcacabcccbca ++++++ simplificado queda como:

( ) abcbccbaccaabbacbacba 6333333 2222223333 +++++++++=++ El resultado consta de diez términos y presenta la siguiente estructura: El cubo de un trinomio es igual a la suma de los cubos de cada uno de los términos, más el triple producto del cuadrado de cada término por cada uno de los términos restantes más seis veces el producto de los tres términos. Ejemplos. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cababacbacba 543243243524524 2223333 +++++=++ ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )cbacbcbca 5246523523543 222 ++++

( )( ) ( )( ) ( )( )cababacba 51634432163125864 222333 +++++=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )cbacbcbca 524625235432543 222 ++++

2222333 3002404896125864 accaabbacba ++++++= abcbccb 24015060 22 +++ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )133633633163163 2223333 −+−+−+−+−+=−− xyxyxyxyx

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1636163163133 222 −−+−−+−−+−+ yxyyx

( )( ) ( )( ) ( )( )1933633693121627 22233 −++−+−−= xyxyxyx


8

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )16361631363133 2 −−+−+−++ yxyyx

xyyyxxxyyxyx 10818108927324162121627 222233 +−−+−+−−−=

3) 223333

32

213

32

213

43

32

21

43

32

21

+

+

−+

+

=

−+ fefegfegfe

2222

43

323

43

323

43

213

43

213

−

+

−

+

−

+

−

+ gfgfgege

−

+ gfe

43

32

216

+

+−+= 22333

94

213

32

413

6427

278

81 fefegfe

+

−

+

+

−

+ 2222

169

323

43

943

169

213

43

413 gfgfgege

−

+ gfe

43

32

216

2222333

3227

169

32

21

6427

278

81 eggeeffegfe +−++−+=

efgfggf23

89 22 −+−

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3223433323432 45310451045 δβλδβλδβ −−++−+−=+−−

( )( ) ( ) ( ) ( )( )242422232 10531053453 λβλβδβ −+−+−−+

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )432243423 1045610431043 λδβλδλδ −−+−+−+

( )( ) ( )( )62341296 16534253100064125 δβδβλδβ −+−++−−=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )83468244 10043101631005310253 λδλδλβλβ −++−++ ( )( )( )432 10456 λδβ −−+

4462341296 750240300100064125 λβδβδβλδβ +−−+−−=

432834682 200120014805001 λδβλδλδλβ ,,, +−+− SUMA Y RESTA DE CUBOS Para obtener la suma de dos cubos de la forma 33 ba + se efectúa el siguiente producto: ( )( )22 bababa +−+ cuyo desarrollo es: 322223 babbaabbaa +−++− y simplificando se tiene: 33 ba +


9

Esto significa que: La suma de los cubos de dos términos es igual al producto de la suma de los términos, por un trinomio formado por el cuadrado del primer término, menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo. Es decir:

( )( ) 3322 babababa +=+−+ Ejemplos. Comprobar que los productos indicados representan la suma de dos cubos. 1) ( )( )11 2 +−+ xxx Solución. ( )( ) 3332232 11111 +=+=+−++−=+−+ xxxxxxxxxx

2) ( )( )22 96432 bababa +−+ Solución: ( )( ) 32222322 2718121812896432 babbaabbaabababa +−++−=+−+

( ) ( )3333 32278 baba +=+= 3) ( )( )1262462 25201654 jjkkjk +−+ Solución: ( )( ) 18122461226461262462 12510080100806425201654 jjkkjjkjkkjjkkjk +−++−=+−+

( ) ( )3632186 5412564 jkjk +=+= Similarmente, para obtener la diferencia de dos cubos de la forma 33 ba − se efectúa el siguiente producto: ( )( )22 bababa ++− cuyo desarrollo es: 322223 babbaabbaa −−−++ y simplificando se tiene: 33 ba − Esto significa que: La diferencia de los cubos de dos términos es igual al producto de la diferencia de los términos, por un trinomio formado por el cuadrado del primer término, más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo. Es decir:

( )( ) 3322 babababa −=++− Ejemplos. Comprobar que los productos indicados representan la diferencia de dos cubos 1) ( )( )422 2 ++− yyy Solución.


10

( )( ) 3332232 2884242422 −=−=−−−++=++− yyyyyyyyyy 2) ( )( )22 36302565 qpqpqp −+− Solución: ( )( ) 32222322 21618015018015012536302565 qpqqppqqppqpqpqp −−−−+=−+− ( ) ( )3333 65216125 qpqp −=−=

3)

++

− 22

259

103

41

53

21 bababa

Solución: 32222322

12527

509

203

509

203

81

259

103

41

53

21 babbaabbaabababa −−−++=

++

−

33

33

53

21

12527

81

−

=−= baba

BINOMIO DE NEWTON El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ( )nba + posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento. Si el binomio de la forma ( )ba + se multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:

( ) baba +=+ 1

( ) ( )( ) 22

2

2 2 bababababaveces

++=++=+ !!"!!#$

( ) ( )( )( ) 3223

3

3 33 babbaababababaveces

+++=+++=+ !!! "!!! #$

( ) ( ) ( ) 432234

4

4 464 babbabaabababaveces

++++=+⋅⋅⋅+=+ !! "!! #$

( ) ( ) ( ) 54322345

5

5 510105 babbababaabababaveces

+++++=+⋅⋅⋅+=+ !! "!! #$

( ) ( ) ( ) 6542332456

6

6 61520156 babbabababaabababaveces

++++++=+⋅⋅⋅+=+ !! "!! #$

De los desarrollos anteriores, se observa que: • El desarrollo de nba )( + tiene 1+n términos • El exponente de a empieza con n en el primer término y va disminuyendo en uno con cada término,

hasta cero en el último


11

• El exponente de b empieza con cero en el primer término y va aumentando en uno con cada término, hasta n en el último

• Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n • El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n • El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el

exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término • Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. Ejemplo. ( ) 65423324566 61520156 babbabababaaba ++++++=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )616

5215

4320

3415

256

1611

↑↑↑↑↑↑↑es

Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )

4433221

432132)1(

321)2)(1(

21)1(

1bannnnbannnbannbanaba nnnnnn −−−− −−−

+−−

+−

++=+

( )( )( )( )( )( )( )( )

nn bbannnnn+⋅⋅⋅+

−−−−+ − 55

543214321

Se define como factorial de un número natural n al producto de n por todos los números que le preceden hasta el uno. Se denota mediante !n :

( )( )( ) ( )( )nnn 14321! −⋅⋅⋅= Por definición, el factorial de cero es uno: 1!0 ≡ Ejemplos.

( )( ) 6321!3 == ( )( )( )( ) 12054321!5 == ( )( )( )( )( )( )( ) 320,4087654321!8 == ( )( )( ) ( )( ) 200,291'178,8714134321!14 =⋅⋅⋅=

Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:

( ) ( )( ) 4433221

!432)1(

!3)2)(1(

!2)1(

!1bannnnbannnbannbanaba nnnnnn −−−− −−−

+−−

+−

++=+

( )( )( )( ) nn bbannnnn+⋅⋅⋅+

−−−−+ − 55

!54321

Ejemplos. 1) Obtener el desarrollo de 4)43( yx − Solución. Haciendo xa 3= , yb 4−= y 4=n Aplicando la fórmula se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )4322344 443!323443

!23443

!14343 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=−


12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4322344 44362443

21243

14343 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=−

( )( ) ( )( ) ( )( ) 432234 256643624169

212427

1481 yyxyxyxx +−++−+=

432234 25676886443281 yxyyxyxx +−+−= 2) Hallar la expansión de 5)25( yx + Solución. Haciendo 5xa = , yb 2= y 5=n Aplicando la fórmula se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )43223455 25!4

234525!334525

!24525

!15525 yxyxyxyxxyx ++++=+

( )52 y+ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 54322345 3216558251041251026255125,3 yyxyxyxyxx +++++=

54322345 32400000,2000,5250,6125,3 yxyyxyxyxx +++++= En el desarrollo binomial:

( ) nnnnnnnn babnba)n(nba)n)(n(nba)n(nbanaba ++−

+⋅⋅⋅+−−

+−

++=+ −−−−− 12233221

!1!21

!321

!21

!1

Analizando las características del desarrollo y si se decide llamar a un término cualquiera del desarrollo como r-ésimo término, se observa que: • El exponente de b es: 1−r • El exponente de a es: ( ) 11 +−=−− rnrn • El denominador del coeficiente es: ( )!1−r • El numerador del coeficiente es: ( )( ) ( )221 +−⋅⋅⋅−− rnnnn En consecuencia el r-ésimo término de la expansión de ( )nba + es:

( )( ) ( )( )

11!1

221 −+−−

+−⋅⋅⋅−− rbrnar

rnnnn

Ejemplos. 1) Encontrar el tercer término del desarrollo 5)62( mk − Solución.

35 62 ==−== r,n,mb,ka

Aplicando la expresión se tiene: ( )( )( ) ( ) ( )( ) 232323 880,23681062

!245 mkmkmk ==−

2) Calcular el sexto término del desarrollo 7)4( yx + Solución.


13

67 4 ==== r,n,yb,xa

Aplicando la expresión se tiene: ( )( )( )( ) ( ) ( ) 525252 504211024214

!534567 yx,yxyx ==

El triángulo de Pascal es un esquema que tiene como característica que cada uno de los componentes de sus filas representa los coeficientes del desarrollo binomial. Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el 1 de la cumbre. De una fila a la siguiente se escriben los números con un desfase de medio lugar o casilla para que cada casilla tenga dos números justo arriba, en la fila anterior. Cada extremo de la fila tiene un 1 y el valor que se escribe en una casilla es la suma de los números que están encima. Después, se efectúa una relación entre los números del triángulo de Pascal y la suma de las potencias de a y b , de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gráficamente esto es:

1 1

1 12

1 1

11

3 3

4 46

1 15 510 10

1 16 615 1520

1 17 721 2135 35

( )1ba +

( )2ba +

( )3ba +

( )4ba +

( )5ba +

( )6ba +

( )7ba +

1( )0ba +

Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo ( )6ba + , se le aplican los factores de la séptima fila, tal y como se muestra en la siguiente figura:

1 6 15 20 15 6 1

6542332456 61520156 babbabababaa ++++++

6542332456 babbabababaa


14

Ejemplos. 1) Aplicar el triángulo de Pascal para desarrollar ( )423 yx − Solución. Ubicando los coeficientes respectivos se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4322344 2234236234323 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=−

( )( ) ( )( ) ( )( ) 432234 16834496227481 yyxyxyxx +−++−+=

432234 169621621681 yxyyxyxx +−+−= 2) Encontrar la expansión de ( )634 45 ba + aplicando el triángulo de Pascal. Solución. Ubicando los coeficientes respectivos se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43243334234435464634 451545204515456545 babababaaba ++++=+

( )( ) ( )63534 4456 bba ++

( )( ) ( )( ) ( )( )91261632024 641252016625154125,36625,15 bababaa +++=

( )( ) ( )( ) 18154128 096,4024,1562562515 bbaba +++

12891261632024 000,96000,160000,150000,75625,15 babababaa ++++=

18154 096,4720,30 bba ++

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Productos notables y factorización Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

UNIDAD V V.1 PRODUCTOS NOTABLES Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A continuación se describen los más importantes. V.1.1 CUADRADO DE UN BINOMIO El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio. El desarrollo del cuadrado del binomio ba + se puede obtener multiplicando término a término:

( ) ( )( ) 22222 2 bababbaababababa ++=+++=++=+ “El cuadrado de un binomio ba + es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. Ahora, al elevar al cuadrado el binomio ba − , también multiplicando término a término, se obtiene:

( ) ( )( ) 22222 2 bababbaababababa +−=+−−=−−=− “El cuadrado de un binomio ba − es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”. En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que: ( ) ( )[ ] ( ) 222222 22 bababbaababa +−=+−+=−+=− Ejemplos. 1) ( ) ( )( ) 1684424 2222 ++=++=+ aaaaa

2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22222 91243322232 yxyxyyxxyx ++=++=+

3) ( ) ( )( ) 25105525 2222 +−=+−+=− bbbbb

4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22222 6496368862686 mkmkmmkkmk +−=−+−+=−

5) 22222

1625

35

94

45

45

322

32

45

32 bababbaaba ++=

+

+

=

+

6) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6324233222232 81126499972797 qqppqqppqp +−=+−+=−

7) ( ) ( ) ( )( ) 252045522252 2222 +−=+−+−=+− kkkkk


2

b

a

b

2a ab

2b

( ) 222 2 bababa ++=+

ab

a b

a

b

2a ab

2b

( ) 222 2 bababa ++=+

ab

a8) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 248242424 491401007710210710 λλααλλααλα ++=−+−−+−=−− Representación geométrica de ( )2ba + : Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados ba + y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Los segmentos a y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro menor de lado b , y dos rectángulos de largo a y ancho b . La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado ba + : Representación geométrica de ( )2ba − : Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a . Los segmentos ba − y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado ba − y otro menor de lado b , y dos rectángulos de largo ba − y ancho b . La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado 2a . Por lo tanto, el área del cuadrado de ba − es igual al área total menos el área de los rectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es: ( ) ( ) 22222222 2222 bababbababbbaaba +−=−+−=−−−=− V.1.2 CUADRADO DE UN POLINOMIO El producto de un trinomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un trinomio. El desarrollo del cuadrado del trinomio cba ++ se puede obtener de la siguiente forma:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2222222 2222 cbcacbabaccbabacbacba +++++=++++=++=++ ordenando se tiene

( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++ Por su parte, el desarrollo del cuadrado del polinomio de cuatro términos dcba +++ se puede obtener de la siguiente forma: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )2222 2 dcdcbabadcbadcba ++++++=+++=+++ 2222 222222 dcdcbdbcadacbaba +++++++++= ordenando se llega a:

( ) cdbdbcadacabdcbadcba 22222222222 +++++++++=+++

( ) 222 2 bababa +−=−

b

a

a

ba −

ba −

2b

( )2ba −

b ( )bba −

( )bba −

( ) 222 2 bababa +−=−

b

a

a

ba −

ba −

2b

( )2ba −

b ( )bba −

( )bba −


3

En general, el cuadrado de un polinomio está dado por la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el doble producto algebraico de sus términos, tomados de dos en dos. Ejemplos. 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )cbcabacbacba 32232223232 2222 +++++=++

bcacabcba 126494 222 +++++= 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )zyzxyxzyxzyx 682652852685685 2222 −−+−+−+−+−+=−−

yzxzxyzyx 966080366425 222 +−−++=

3) +

−

+

+

−+

+

=

−+ gefegfegfe

43

212

52

212

43

52

21

43

52

21 2222

fgegefgfegf53

43

52

169

254

41

43

522 222 −−+++=

−

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )++−+−++−+=−+− cabadcbadcba 94274259745974 22222 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )dcdbcbda 592572972542 −+−−+−+−

cdbdbcadacabdcba 907012640725625814916 2222 −+−−+−+++=

5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )++−+++−++=+−+ tprpqptrqptrqp 3233222223223 22102262210621062

( )( ) ( )( ) ( )( )trtqrq 22 102621062 −++−

trqtqrtprpqptrqp 2232332426 201212044024100364 −+−+−++++=

6) ( ) ++

−+

−+

=

+−−

24222

322

22

42322 625

47

236

25

47

23 sqpnmkjhsqpnmkjh

( )+

+

−

+

−

sqpjhnjhmkjh 4222322 6

232

25

232

47

232

( ) ( )sqpnsqpmknmk 42423232 62526

472

25

472

−+

−+

−

−

−−+++= 32228426424

42136

425

1649

49 mjkhsqpnmkjh

sqnpsqpmknmksqjphjnh 424232324222 30214

35182

15−−++

V.1.3 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS Dos binomios son conjugados si difieren sólo por el signo de uno de sus términos. Ejemplos. 1) ( )ba 34 + y ( )ba 34 − 2) ( )jk 52 − y ( )jk 52 + Al efectuar el producto de un binomio ba + por su conjugado ba − , se tiene:


4

( )( ) 2222 babbaabababa −=−+−=−+ esto significa que el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los cuadrados de sus términos. Esto es:

( )( ) 22 bababa −=−+ Ejemplos. 1) ( )( ) 933 2 −=−+ kkk 2) ( )( ) 22 492323 yxyxyx −=−+

3) ( )( ) 22 64258585 bababa −=−+ 4) ( )( ) 643232 49167474 zwzwzw −=−+

5) 22

259

41

53

21

53

21 yxyxyx −=

−

+

6) ( )( ) 2222 16364646 nmkjmnjkmnjk −=−+ 7) ( )( ) 21048645243252432 14410012101210 wusvtrwusvtrwusvtr −=−+

8) ( )( ) 2111 ααα −=++− La representación del producto de dos binomios conjugados se efectúa a partir de un cuadrado de lado a y un cuadrado interior de lado b . El área sombreada representa 22 ba − y está dada por la suma de los rectángulos ( )aba − y ( )bab − , esto es, ( )( )baba −+ :

ba −

b

( )( ) 22 bababa −=−+

a

a

2b

ba −b


5

V.1.4 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios cuyo término común es x de la forma

( )ax + por ( )bx + . Al desarrollar el producto se tiene: ( )( ) abxaxbxbxax +++=++ 2 , que se puede agrupar como sigue:

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2 Esto significa que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos. Ejemplos. 1) ( )( ) ( ) ( )( ) 65323232 22 ++=+++=++ xxxxxx

2) ( )( ) ( ) ( )( ) 43414141 22 −+=−++−+=+− aaaaaa

3) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 151643523523252 22 ++=+++=++ bbbbbb

4) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 423997637637363 22 +−=−−+−−+=−− zzzzzz

5) ( ) ( )( ) 5221

164915

4715

471

475

47 2

2

+−=−−+

−−+

=

−

− xxxxxx

6) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 88641182118211282 4842444 −−=−+−+=−+ eeeeee

7) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2815257457457545 2346232232323 −+=−++−+=+− βαβαβαβαβαβα

8) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6017125125125 22 +−=+−++−=+−+− kkkkkk Para representar el producto de dos binomios con un término común se utiliza un cuadrado de lado x . A uno de los lados se le agrega una cantidad a y a otro se le agrega una cantidad b , por lo que se forma una superficie con cuatro regiones:

bx +

b

a

xb

xa ab

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2

ax +

2xx

x


6

El área total que es ( )( )bxax ++ , también está dada por la suma de cada una de las áreas, es decir abxaxbx +++2 , que en forma simplificada es: ( ) abxbax +++2 .

V.1.5 CUBO DE UN BINOMIO El desarrollo del cubo del binomio ba + se puede obtener multiplicando este binomio por su cuadrado: ( ) ( )( ) ( )( )2223 2 babababababa +++=++=+ 322223 22 babbaabbaa +++++= que simplificado es:

( ) 32233 33 babbaaba +++=+ Por su parte, el desarrollo del cubo del binomio ba − , se obtiene de forma similar: ( ) ( )( ) ( )( )2223 2 babababababa +−−=−−=−

322223 22 babbaabbaa −+−+−= que simplificado es:

( ) 32233 33 babbaaba −+−=− En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera ya que: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 322332333 3333 babbaabbabaababa ++−=+−+−+=−+=− Considerando lo anterior, se aprecia que el desarrollo anterior presenta la siguiente estructura: El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del primer término por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo término. Ejemplos. 1) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 812684323223232 232332233 +++=+++=+++=+ aaaaaaaaaa

2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 12525353553535 2332233 −+−+=−+−+−+=− kkkkkkk 1257515 23 −+−= kkk 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 322332233 4316364434344 yyxyxxyyxyxxyx +++=+++=+

3223 124864 yxyyxx +++=

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 7763763676 ddcdccdc −+−+−+=−

( )( ) ( )( ) 32233223 34388275621634349637363216 dcddccddcdcc −+−=−+−+=

5)32233

52

52

313

52

313

31

52

31

+

+

+

=

+ bbabaaba


7

+

+= 223

254

313

52

913

271 babaa

322332233

1258

254

152

271

1258

254

152

271

1258 babbaababbaab +++=+++=+

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3222322333323 8843843484 yyxyxxyx −+−+−+=− ( )( ) ( )( ) 643269643269 512768384645126443816364 yyxyxxyyxyxx −+−=−+−+=

7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 10103310333103 +−+−+−=+− aaaa ( )( ) ( )( ) 100090027027100010033109327 2323 +−+−=+−++−= aaaaaa

8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 2293293929 −+−−+−−+−=−− zzzz ( )( ) ( )( ) 810848672984932813729 2323 −−−−=−−+−+−= zzzzzz V.1.6 CUBO DE UN TRINOMIO El desarrollo de un cubo de trinomio cba ++ se obtiene multiplicando este trinomio por su cuadrado: ( ) ( )( ) ( )( )bcacabcbacbacbacbacba 22222223 +++++++=++++=++

cbabcabbcbbaabccabaacaba 2223222223 222222 +++++++++++= 22322 222 bcacabcccbca ++++++ simplificado queda como:

( ) abcbccbaccaabbacbacba 6333333 2222223333 +++++++++=++ El resultado consta de diez términos y presenta la siguiente estructura: El cubo de un trinomio es igual a la suma de los cubos de cada uno de los términos, más el triple producto del cuadrado de cada término por cada uno de los términos restantes más seis veces el producto de los tres términos. Ejemplos. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cababacbacba 543243243524524 2223333 +++++=++

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )cbacbcbca 5246523523543 222 ++++

( )( ) ( )( ) ( )( )cababacba 51634432163125864 222333 +++++=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )cbacbcbca 524625235432543 222 ++++ 2222333 3002404896125864 accaabbacba ++++++= abcbccb 24015060 22 +++ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )133633633163163 2223333 −+−+−+−+−+=−− xyxyxyxyx

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1636163163133 222 −−+−−+−−+−+ yxyyx

( )( ) ( )( ) ( )( )1933633693121627 22233 −++−+−−= xyxyxyx

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )16361631363133 2 −−+−+−++ yxyyx


8

xyyyxxxyyxyx 10818108927324162121627 222233 +−−+−+−−−=

3) 223333

32

213

32

213

43

32

21

43

32

21

+

+

−+

+

=

−+ fefegfegfe

2222

43

323

43

323

43

213

43

213

−

+

−

+

−

+

−

+ gfgfgege

−

+ gfe

43

32

216

+

+−+= 22333

94

213

32

413

6427

278

81 fefegfe

+

−

+

+

−

+ 2222

169

323

43

943

169

213

43

413 gfgfgege

−

+ gfe

43

32

216

2222333

3227

169

32

21

6427

278

81 eggeeffegfe +−++−+=

efgfggf23

89 22 −+−

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3223433323432 45310451045 δβλδβλδβ −−++−+−=+−−

( )( ) ( ) ( ) ( )( )242422232 10531053453 λβλβδβ −+−+−−+

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )432243423 1045610431043 λδβλδλδ −−+−+−+

( )( ) ( )( )62341296 16534253100064125 δβδβλδβ −+−++−−=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )83468244 10043101631005310253 λδλδλβλβ −++−++ ( )( )( )432 10456 λδβ −−+

4462341296 750240300100064125 λβδβδβλδβ +−−+−−=

432834682 200120014805001 λδβλδλδλβ ,,, +−+− V.1.7 SUMA Y RESTA DE CUBOS Para obtener la suma de dos cubos de la forma 33 ba + se efectúa el siguiente producto: ( )( )22 bababa +−+ cuyo desarrollo es: 322223 babbaabbaa +−++− y simplificando se tiene: 33 ba + Esto significa que:


9

La suma de los cubos de dos términos es igual al producto de la suma de los términos, por un trinomio formado por el cuadrado del primer término, menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo. Es decir:

( )( ) 3322 babababa +=+−+ Ejemplos. Comprobar que los productos indicados representan la suma de dos cubos. 1) ( )( )11 2 +−+ xxx Solución. ( )( ) 3332232 11111 +=+=+−++−=+−+ xxxxxxxxxx

2) ( )( )22 96432 bababa +−+ Solución: ( )( ) 32222322 2718121812896432 babbaabbaabababa +−++−=+−+

( ) ( )3333 32278 baba +=+= 3) ( )( )1262462 25201654 jjkkjk +−+ Solución: ( )( ) 18122461226461262462 12510080100806425201654 jjkkjjkjkkjjkkjk +−++−=+−+

( ) ( )3632186 5412564 jkjk +=+= Similarmente, para obtener la diferencia de dos cubos de la forma 33 ba − se efectúa el siguiente producto: ( )( )22 bababa ++− cuyo desarrollo es: 322223 babbaabbaa −−−++ y simplificando se tiene: 33 ba − Esto significa que: La diferencia de los cubos de dos términos es igual al producto de la diferencia de los términos, por un trinomio formado por el cuadrado del primer término, más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo. Es decir:

( )( ) 3322 babababa −=++− Ejemplos. Comprobar que los productos indicados representan la diferencia de dos cubos 1) ( )( )422 2 ++− yyy Solución. ( )( ) 3332232 2884242422 −=−=−−−++=++− yyyyyyyyyy


10

2) ( )( )22 36302565 qpqpqp −+− Solución: ( )( ) 32222322 21618015018015012536302565 qpqqppqqppqpqpqp −−−−+=−+−

( ) ( )3333 65216125 qpqp −=−=

3)

++

− 22

259

103

41

53

21 bababa

Solución: 32222322

12527

509

203

509

203

81

259

103

41

53

21 babbaabbaabababa −−−++=

++

−

33

33

53

21

12527

81

−

=−= baba

V.1.8 BINOMIO DE NEWTON El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ( )nba + posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento. Si el binomio de la forma ( )ba + se multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias:

( ) baba +=+ 1

( ) ( )( ) 22

2

2 2 bababababaveces

++=++=+ 4434421

( ) ( )( )( ) 3223

3

3 33 babbaababababaveces

+++=+++=+ 444 3444 21

( ) ( ) ( ) 432234

4

4 464 babbabaabababaveces

++++=+⋅⋅⋅+=+ 44 344 21

( ) ( ) ( ) 54322345

5

5 510105 babbababaabababaveces

+++++=+⋅⋅⋅+=+ 44 344 21

( ) ( ) ( ) 6542332456

6

6 61520156 babbabababaabababaveces

++++++=+⋅⋅⋅+=+ 44 344 21

De los desarrollos anteriores, se observa que: • El desarrollo de nba )( + tiene 1+n términos • El exponente de a empieza con n en el primer término y va disminuyendo en uno con cada término,

hasta cero en el último • El exponente de b empieza con cero en el primer término y va aumentando en uno con cada

término, hasta n en el último


11

• Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n • El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n • El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el

exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término • Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. Ejemplo. ( ) 65423324566 61520156 babbabababaaba ++++++=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )616

5215

4320

3415

256

1611

↑↑↑↑↑↑↑es

Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene:

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )

4433221

432132)1(

321)2)(1(

21)1(

1bannnnbannnbannbanaba nnnnnn −−−− −−−

+−−

+−

++=+

( )( )( )( )( )( )( )( )

nn bbannnnn+⋅⋅⋅+

−−−−+ − 55

543214321

Se define como factorial de un número natural n al producto de n por todos los números que le preceden hasta el uno. Se denota mediante !n :

( )( )( ) ( )( )nnn 14321! −⋅⋅⋅= Por definición, el factorial de cero es uno: 1!0 ≡ Ejemplos.

( )( ) 6321!3 == ( )( )( )( ) 12054321!5 == ( )( )( )( )( )( )( ) 320,4087654321!8 == ( )( )( ) ( )( ) 200,291'178,8714134321!14 =⋅⋅⋅=

Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así:

( ) ( )( ) 4433221

!432)1(

!3)2)(1(

!2)1(

!1bannnnbannnbannbanaba nnnnnn −−−− −−−

+−−

+−

++=+

( )( )( )( ) nn bbannnnn+⋅⋅⋅+

−−−−+ − 55

!54321

Ejemplos. 1) Obtener el desarrollo de 4)43( yx − Solución. Haciendo xa 3= , yb 4−= y 4=n Aplicando la fórmula se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )4322344 443!323443

!23443

!14343 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4322344 44362443

21243

14343 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=−


12

( )( ) ( )( ) ( )( ) 432234 256643624169

212427

1481 yyxyxyxx +−++−+=

432234 25676886443281 yxyyxyxx +−+−= 2) Hallar la expansión de 5)25( yx + Solución. Haciendo 5xa = , yb 2= y 5=n Aplicando la fórmula se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )43223455 25!4

234525!334525

!24525

!15525 yxyxyxyxxyx ++++=+

( )52 y+ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 54322345 3216558251041251026255125,3 yyxyxyxyxx +++++=

54322345 32400000,2000,5250,6125,3 yxyyxyxyxx +++++= En el desarrollo binomial:

( ) nnnnnnnn babnba)n(nba)n)(n(nba)n(nbanaba ++−

+⋅⋅⋅+−−

+−

++=+ −−−−− 12233221

!1!21

!321

!21

!1

Analizando las características del desarrollo y si se decide llamar a un término cualquiera del desarrollo como r-ésimo término, se observa que: • El exponente de b es: 1−r • El exponente de a es: ( ) 11 +−=−− rnrn • El denominador del coeficiente es: ( )!1−r • El numerador del coeficiente es: ( )( ) ( )221 +−⋅⋅⋅−− rnnnn

En consecuencia el r-ésimo término de la expansión de ( )nba + es:

( )( ) ( )( )

11!1

221 −+−−

+−⋅⋅⋅−− rbrnar

rnnnn

Ejemplos. 1) Encontrar el tercer término del desarrollo 5)62( mk − Solución.

35 62 ==−== r,n,mb,ka

Aplicando la expresión se tiene: ( )( )( ) ( ) ( )( ) 232323 880,23681062

!245 mkmkmk ==−

2) Calcular el sexto término del desarrollo 7)4( yx + Solución.

67 4 ==== r,n,yb,xa

Aplicando la expresión se tiene: ( )( )( )( ) ( ) ( ) 525252 504211024214

!534567 yx,yxyx ==


13

El triángulo de Pascal es un esquema que tiene como característica que cada uno de los componentes de sus filas representa los coeficientes del desarrollo binomial. Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el 1 de la cumbre. De una fila a la siguiente se escriben los números con un desfase de medio lugar o casilla para que cada casilla tenga dos números justo arriba, en la fila anterior. Cada extremo de la fila tiene un 1 y el valor que se escribe en una casilla es la suma de los números que están encima. Después, se efectúa una relación entre los números del triángulo de Pascal y la suma de las potencias de a y b , de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gráficamente esto es:

1 1

1 12

1 1

11

3 3

4 46

1 15 510 10

1 16 615 1520

1 17 721 2135 35

( )1ba +

( )2ba +

( )3ba +

( )4ba +

( )5ba +

( )6ba +

( )7ba +

1( )0ba +

Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo ( )6ba + , se le aplican los factores de la séptima fila, tal y como se muestra en la siguiente figura:

1 6 15 20 15 6 1

6542332456 61520156 babbabababaa ++++++

6542332456 babbabababaa


14

Ejemplos. 1) Aplicar el triángulo de Pascal para desarrollar ( )423 yx − Solución. Ubicando los coeficientes respectivos se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4322344 2234236234323 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=−

( )( ) ( )( ) ( )( ) 432234 16834496227481 yyxyxyxx +−++−+=

432234 169621621681 yxyyxyxx +−+−=

2) Encontrar la expansión de ( )634 45 ba + aplicando el triángulo de Pascal. Solución. Ubicando los coeficientes respectivos se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43243334234435464634 451545204515456545 babababaaba ++++=+

( )( ) ( )63534 4456 bba ++

( )( ) ( )( ) ( )( )91261632024 641252016625154125,36625,15 bababaa +++=

( )( ) ( )( ) 18154128 096,4024,1562562515 bbaba +++

12891261632024 000,96000,160000,150000,75625,15 babababaa ++++=

V.2 FACTORIZACIÓN Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Ejemplo. Sean los siguientes productos: ( )( ) 623 = , por lo que factores de son 3 y . ( )( ) 1025 = , por lo que factores de son 5 y 2 . ( )( )( ) 30235 = , por lo que factores de 30 son 5 , 3 y 2 . Nótese como el número 2 aparece como factor común de 6 , 10 y 30 porque cada uno de estos números se divide exactamente entre dicho factor común. Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los términos de un polinomio, se dice que es factor común de ellos. Ejemplos. 1) El término 23x es factor común de yx46 , de 39x y de 2212 yx− porque cada monomio puede expresarse como el producto de 23x por otro término, es decir:

( )( )yxxyx 224 236 =

( )( )xxx 339 23 =

( )( )2222 4312 yxyx −=−

18154 096,4720,30 bba ++

6 210


15

2) El término 24ab es factor común de 3228 ba , de 2320 ba− y de 38ab porque cada monomio puede expresarse como el producto de 24ab por otro término, es decir:

( )( )ababba 7428 232 =

( )( )2223 5420 aabba −=−

( )( )babab 248 23 = Factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una expresión matemática. Esto significa que factorizar es convertir una expresión en el producto indicado de sus factores. En toda expresión debe obtenerse la máxima factorización posible. Los tipos de factorización más utilizados se exponen a continuación. V.2.1 MONOMIO COMO FACTOR COMÚN Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los términos, se escogen las que tengan el menor exponente. Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios. 1) El MCD de los coeficientes es , y las literales de menor exponente que aparecen en todos los términos son: 2a y b , por lo que el factor común es: ba 22 Así que: ( )babababa 522104 2223 +=+

2) 42454335 21186 zyxzyxzyx −+ El MCD de los coeficientes es 3 , y las literales de menor exponente que aparecen en todos los términos son: 3x , 2y y z , por lo que el factor común es: zyx 233

Así que: ( )34222342454335 762321186 xzzyyxzyxzyxzyxzyx −+=−+

3)

4) ( )qpppqp +=+ 43312 2

5) ( )xxxxxxxxxx 4537283240245616 324235246 +−+−=+−+−

6) ( )6225332329254836534 132910779114637049 mmkkmmkkmkmkmkmkmkmk −+−+=−+−+

7)

( )2323442 523

215

23 effefefe +=+

8) ( )222236426442254763 56421155664422 λαβλαλαβλαλαλβαλαλβα +−−=+−− Nótese como no aparece en el factor común la literal β ya que no está en todos los términos del polinomio. V.2.2 POLINOMIO COMO FACTOR COMÚN En una expresión, cuando el máximo común divisor (MCD) de todos los términos es un polinomio entonces se puede descomponer como el producto de este factor común por un polinomio cuyo resultado sea la expresión original, tal y como se muestra a continuación.

223 104 baba +2

( )mkkkmk +=+2


16

Ejemplos. Factorizar las siguientes expresiones. 1) ( ) ( )bakba +++5 El MCD de los todos los términos es: ( )ba + Así que: ( ) ( ) ( )( )kbabakba ++=+++ 55 2) ( ) ( ) ( )nmsnmqnmr 3113836 −+−−− El MCD de los todos los términos es: ( )nm 3− Así que: ( ) ( ) ( ) ( )( )sqrnmnmsnmqnmr 118633113836 +−−=−+−−− 3) ( ) ( )zyxpzyxzyxw 2342323 −+++−−−+ Esta expresión puede rescribirse como: ( ) ( ) ( )zyxpzyxzyxw 23423123 −++−+−−+

por lo que el MCD de los todos los términos es: ( )zyx 23 −+ Así que: ( ) ( ) ( )( )pwzyxzyxpzyxzyxw 41232342323 +−−+=−+++−−−+

4) ( ) ( )322 4334 aaaa −+− Esta expresión puede rescribirse como: ( ) ( )322 3434 −−− aaaa

El MCD de los todos los términos es: ( )234 −aa

Así que: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )aaaaaaaaaaaaaa −−=−−=−−−=−−− 1343333434343434 222322

5) ( ) ( )( )197474749 22 ++=+++ zfefefez 6) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )152221022221024210 333333 +−=+−=−+−=−+− udcudcdcdcudcdcu 7) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )ycbxwwycwwbx −+−−+=+−++−+− 833383

8) ( ) ( ) ( )( )bcaaaabaac++−=+−++− 2222

2

21341

341

38

V.2.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común. En esos casos, se debe factorizar por agrupación, procedimiento que combina los dos métodos anteriores. Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios: 1) bwawbxax +++ Para los primeros dos términos se toma como factor común a x y para los otros dos a w : ( ) ( )bawbax +++

ahora, se factoriza el polinomio ( )ba + : ( )( )wxba ++

( )( )wxbabwawbxax ++=+++∴ 2) yxayax 44 +++ El factor común para los primeros dos términos es a y para los otros dos es 4 : ( ) ( )yxyxa +++ 4

después, se factoriza el polinomio ( )yx + :


17

( )( )4++ ayx ( )( )444 ++=+++∴ ayxyxayax

3) 2961510 yxypypx −+− Para los primeros dos términos se toma como factor común a p5 y para los otros dos a y3 :

( ) ( )yxyyxp 323325 −+− ahora, se factoriza el polinomio ( )yx 32 − : ( )( )ypyx 3532 +−

( )( )ypyxyxypypx 3532961510 2 +−=−+−∴ 4) bdbcadac 3648 +−− El factor común para los primeros dos términos es a4 y para los otros dos es b3− :

( ) ( )dcbdca −−− 2324 después, se factoriza el polinomio ( )dc −2 : ( )( )badc 342 −−

( )( )badcbdbcadac 3423648 −−=+−−∴ 5) 3103 2 ++ aa Esta expresión puede rescribirse como: 393 2 +++ aaa El factor común para los primeros dos términos es a3 : ( ) 333 +++ aaa

( )( )1333103 2 ++=++∴ aaaa

6) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )zxyxxxzyxxxxzxyxzxxzyxyx 3353355333515935 222222324 −+=−+=+−+=−−+

7) ( ) ( )232323233223 2222222222 −+−=−+−=+−− abyabxyabyxabxabyxyabx ( )( )2223 yxab +−= 8) ( ) ( ) ( )12121212221222 −+−−−=−++−−=−+−−+ aacabacacbabcacbaab ( )( )112 +−−= cba Otra forma de resolver este ejercicio es escribirlo como 1222 −+−+− cbcacab :

( ) ( ) ( ) ( )( )1211121222 −+−=+−−+−=+−−+− acbcbcbacbaacab V.2.4 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 29a es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de a3 . Se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio:

( ) 4434421321Perfecto

CuadradoTrinomio

binomiounde

Cuadrado

bababa 222 2 ++=+

Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe cumplir que dos de sus términos sean cuadrados perfectos y que el otro término corresponda al doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadráticos.


18

Ejemplos. Determinar si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. 1) 22 254016 yxyx ++ Primero se comprueba que dos términos sean cuadrados perfectos:

xx 416 2 =

yy 525 2 = el doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual al otro término: ( )( ) xyyx 40542 =

por lo tanto el trinomio, es un TCP. 2) 422 649636 baba ++ Comprueba que dos términos sean cuadrados perfectos:

aa 636 2 = 24 864 bb =

el doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual al otro término: ( )( ) 22 96862 abba =

por lo tanto, el trinomio es un TCP. 3) 22 9104 mkmk ++ Primero se comprueba que dos términos sean cuadrados perfectos:

kk 24 2 =

mm 39 2 = el doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual al otro término: ( )( ) kmkmmk 1012322 ≠=

por lo tanto el trinomio no es un TCP. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos, se separan por el signo que tiene el término que no lo es y finalmente se eleva el binomio al cuadrado. Ejemplos. Factorizar los siguientes TCP: 1) 49142 ++ xx Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:

xx =2 749 =

se separan por el signo del otro término ( )+ y el binomio se eleva al cuadrado: ( )27+x

( )22 74914 +=++∴ xxx 2) 22 44 baba +− Extrayendo las raíces de los términos cuadrados perfectos:

aa =2

bb 24 2 = se separan por el signo del otro término ( )− y el binomio se eleva al cuadrado: ( )22ba −

( )222 244 bababa −=+−∴


19

3) 4236 10018081 qqpp +− Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:

36 981 pp = 24 10100 qq =

se separan por el signo del otro término ( )− y el binomio se eleva al cuadrado: ( )223 109 qp −

( )2234236 10910018081 qpqqpp −=+−∴

4) ( )222 76498436 bababa +=++

5) ( )222 5325309 yxyxyx −=+−

6) ( )26412648 51025100100 zwzzww −=+−

7) 2

22

134

32

16916

3916

94

+=++ fefefe

8) ( )26231226234662346122 3291241249 wtrntwwtrnrnwtrnrntw −=+−=−+ Operación: Completar un trinomio cuadrado perfecto Ejemplos. Completar los siguientes TCP: 1) 9___2 ++x Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:

xx =2 39 =

se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: ( )( ) xx 632 = por lo tanto el TCP completo es: 962 ++ xx 2) 22 25___16 dc ++ Las raíces de los términos cuadrados perfectos son:

cc 416 2 =

dd 525 2 = se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: ( )( ) cddc 40542 = por lo tanto el TCP completo es: 22 254016 dcdc ++ 3) 64 49___144 βα +− Extrayendo las raíces de los términos cuadrados perfectos:

24 12144 αα = 36 749 ββ =

se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: ( )( ) 3232 1687122 βαβα = por lo tanto el TCP completo es: 6324 49168144 ββαα +− 4) ___162 ++ xx

Se extrae la raíz del término cuadrado perfecto: xx =2


20

se divide el otro término entre la raíz obtenida: 1616=

xx

este resultado se divide por dos 82

16= y, finalmente, se eleva al cuadrado: 6482 =

por lo tanto el TCP completo es: 64162 ++ xx 5) ___4836 22 ++ aba

La raíz del término cuadrado perfecto es: aa 636 2 =

se divide el otro término entre la raíz obtenida: 22

86

48 baab

=


42

8 bb= y, finalmente, se eleva al cuadrado: ( ) 422 164 bb =

por lo tanto el TCP completo es: 422 164836 baba ++ 6) ___312144 4510 ++ hgg

Extrayendo la raíz del término cuadrado perfecto: 510 12144 gg =


45

2612

312 hghg

=


132

26 hh= y, finalmente, se eleva al cuadrado: ( ) 824 16913 hh =

por lo tanto el TCP completo es: 84510 169312144 hhgg ++ V.2.5 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados:

( )( )bababa −+=− 22 Esto implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los términos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su conjugado. Ejemplos. Factorizar las siguientes expresiones: 1) 42 −x Se extraen las raíces de los términos:

xx =2 24 =

se forma el binomio: ( )2+x y se multiplica por su conjugado: ( )( )22 −+ xx por lo que: ( )( )2242 −+=− xxx 2) 42 1625 ba − Las raíces de los términos son:

aa 525 2 =


21

24 416 bb = se forma el binomio: ( )245 ba + y se multiplica por su conjugado: ( )( )22 4545 baba −+ así que: ( )( )2242 45451625 bababa −+=− 3) ( )( )mkmkmk 81081064100 22 −+=− 4) ( )( )434386 3123129144 rnrnrn −+=− 5) ( )( )65651210 25725762549 ptptpt −+=− 6) ( )( )9687968718121614 16201620256400 hgfehgfehgfe −+=−

7)

−

+=− bababa

116

21

116

21

12136

41 22

8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222323 131313133113 wzzwzwzzwz −−−=−−−=−+− ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )( )wzwzzwzwzz −−+−−=−−+−−= 131313131313

V.2.6 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxxn

n ++ 2

Para factorizar un trinomio de la forma cbxxn

n ++ 2 , donde nx es un cuadrado perfecto y n natural par, se expresa como producto de dos binomios cuyo primer término para ambos sea la raíz cuadrada de nx ,

es decir, 2n

x . Por su parte, los términos no comunes de este producto de binomios deben cumplir con la doble condición de que su suma sea igual al coeficiente b y su producto igual al coeficiente c . En general: • Si el término c es positivo entonces los dos números buscados tienen el mismo signo. Si b es

positivo los números son positivos. Si b es negativo los números son negativos. • Si el término c es negativo entonces los números buscados tienen signos contrarios y el signo del

número más grande es el mismo que el del coeficiente b . Ejemplos. Factorizar los siguientes trinomios: 1) 1072 ++ xx La raíz del primer término es: xx =2 el término c es positivo y b también lo es, por lo que los dos números buscados que sumados sean 7 y multiplicados sea 10 son positivos. Estos números son 5 y 2 . Por lo tanto: ( )( )251072 ++=++ xxxx 2) 24112 +− xx La raíz del primer término es: xx =2 el término c es positivo y b es negativo, por lo que los dos números buscados que sumados sean 11− y multiplicados sea 24 son negativos. Estos números son 8− y 3− . Por lo tanto: ( )( )3824112 −−=+− xxxx


22

3) 283 24 −+ kk La raíz del primer término es: 24 kk = el término c es negativo y b es positivo, por lo que los dos números buscados que sumados sean 3 y multiplicados sea 28− tienen signos contarios y el más grande es positivo. Estos números son 7 y 4− . Por lo tanto: ( )( )47283 2224 −+=−+ kkkk 4) 152 36 −− zz La raíz del primer término es: 36 zz = el término c es negativo y b también lo es, por lo que los dos números buscados que sumados sean 2− y multiplicados sea 15− tienen signos contarios y el más grande es negativo. Estos números son 5− y 3 . Por lo tanto: ( )( )35152 3336 +−=−− zzzz

5) ( )( )45209 4448 ++=++ wwww

6) ( )( )493613 55510 −−=+− mmmm

7) ( )( )3206017 2224 −+=−+ xxxx

8) ( )( )5157510 66612 +−=−− nnnn

9) ( ) ( ) ( )( )23438323869 22 −+=−+=−+ xxxxxx

10) ( ) ( ) ( )( )12525242584 3332336 −+=−+=−+ aaaaaa V.2.7 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax ++2 Para factorizar un trinomio de la forma cbxax ++2 , se efectúa el siguiente procedimiento1: • Se multiplican todos los términos por el coeficiente a • Se expresa el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el

coeficiente a por b • Se factoriza aplicando el caso anterior • Se divide el resultado entre a de forma tal que no quede ningún cociente. Ejemplos. Factorizar los siguientes trinomios: 1) 276 2 ++ xx Multiplicando los términos del trinomio por 6 : ( ) ( ) ( )267666 2 ++ xx expresando el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el coeficiente 6 por el 7 : ( ) ( ) 12676 2 ++ xx aplicando el caso anterior de factorización se buscan dos números que sumados sean 7 y multiplicados sean 12 se tiene: ( )( )3646 ++ xx

se divide por 6 de forma que no queden cocientes:( )( ) ( ) ( ) ( )( )1223

336

246

63646

++=++

=++ xxxxxx

por lo tanto: ( )( )1223276 2 ++=++ xxxx

1 Generalmente a no es cuadrado perfecto y aún siéndolo no es de la forma cbxxn

n ++ 2 porque b no es entero.


23

2) 232 2 −+ xx Multiplicando los términos del trinomio por 2 : ( ) ( ) ( )223222 2 −+ xx expresando el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el coeficiente 3 por el 2 : ( ) ( ) 4232 2 −+ xx aplicando el caso anterior de factorización se buscan dos números que sumados sean 3 y multiplicados sean 4− se tiene: ( )( )1242 −+ xx


112

242

21242

−+=−+

=−+ xxxxxx

por lo tanto: ( )( )122232 2 −+=−+ xxxx 3) 6135 24 −− kk Multiplicando los términos del trinomio por 5 : ( ) ( ) ( )6513555 24 −− kk expresando el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el

coeficiente 5 por el 13 : ( ) ( ) 305135 222 −− kk aplicando el caso anterior de factorización se buscan dos números que sumados sean 13− y multiplicados sean 30− se tiene: ( )( )25155 22 +− kk se divide por 5 de forma que no queden cocientes: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )253

125

5155

525155 22

2222

+−=+−

=+− kkkkkk

por lo tanto: ( )( )2536135 2224 +−=−− kkkk 4) 9154 36 +− qq

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )341243641549415444 3332336 −−=+−=+− qqqqqq

( ) ( ) ( )( )3431

344

124 3333

−−=−− qqqq

( )( )3439154 3336 −−=+−∴ qqqq 5) 15148 2 −− xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )68208120814815814888 22 +−=−−=−− xxxxxx ( ) ( ) ( )( )3452

268

4208

+−=+− xxxx

( )( )345215148 2 +−=−−∴ xxxx 6) 1109 48 ++ αα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1999991091910999 4442448 ++=++=++ αααααα

( ) ( ) ( )( )1911

199

99 4444

++=++

αααα

( )( )1911109 4448 ++=++∴ αααα

7) 334 2 −+ yy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )114124132414334444 22 −+=−+=−+ yyyyyy


24

( ) ( ) ( )( )11431

1144

124−+=

−+ yyyy

( )( )1143334 2 −+=−+∴ yyyy 8) 24467 510 ++ zz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )47427168746724746777 55525510 ++=++=++ zzzzzz

( ) ( ) ( )( )4761

477

427 5555

++=++ zzzz

( )( )47624467 55510 ++=++∴ zzzz V.2.8 FACTORIZACIÓN DEL CUBO DE UN BINOMIO Una cantidad es cubo perfecto cuando es el producto de tres factores iguales, es decir, es el cubo de otra cantidad. Por ejemplo, 3125k es cubo perfecto, ya que es el cubo de k5 . El cubo de un binomio es de la forma:

( ) 32233 33 babbaaba +++=+ y cumple con las siguientes características: • Posee cuatro términos. • El primero como el último término son cubos perfectos • El segundo término es el triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz

cúbica del último. • El tercer término es el triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz

cúbica del último. Para verificar que la factorización de una expresión de cuatro términos es el cubo de un binomio se debe proceder de la siguiente manera: 1. Se ordena el polinomio en forma descendente o ascendente respecto a una literal. 2. Se extrae la raíz cúbica del primer y último términos del polinomio. 3. Se observa si todos los signos son iguales o si se alternan. 4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último y se compara

con el segundo término del polinomio dado. 5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último y se compara

con el tercer término de la expresión. 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos previos son iguales, se trata del desarrollo del cubo

de un binomio y se factoriza así: se forma un binomio con las raíces cúbicas del primer y último término del polinomio, con los signos que se obtengan (si todos los signos son iguales) o por el signo menos (si los signos se alternan). Finalmente, se eleva el binomio al cubo.

Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios: 1) 133 23 +++ kkk Se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

kk =3 3


25

113 = El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es: ( ) ( ) 22 313 kk = , que es igual al segundo término.

El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es: ( )( ) kk 313 2 = , que es igual al tercer término.

Dado que todos los signos son positivos, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )31+k , así que: ( )323 1133 +=+++ kkkk

2) 3292727 xxx −+− Se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

3273 =

xx −=−3 3 El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es: ( ) ( ) xx 2733 2 −=− , que es igual al segundo término.

El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es: ( )( ) 22 933 xx =− , que es igual al tercer término.

Dado que los signos se alternan, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )33 x− , así que: ( )332 392727 xxxx −=−+−

3) nmnmmn 2332 33 +++ Se ordena el polinomio con respecto a m : 3223 33 nmnnmm +++ se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

mm =3 3

nn =3 3 El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es: ( ) ( ) nmnm 22 33 = , que es igual al segundo término.

El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es: ( )( ) 22 33 mnnm = , que es igual al tercer término.

Dado que todos los signos son positivos, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )3nm + , así que: ( )33223 33 nmnmnnmm +=+++

4) 264369 1268 pqpqpq −+− Se ordena el polinomio con respecto a q :

643269 6128 ppqpqq −+− se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

33 9 28 qq = 23 6 pp −=−

El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es:

( ) ( ) 26223 1223 pqpq −=− , que es igual al segundo término. El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es:

( )( ) 43223 623 pqpq =− , que es igual al tercer término.


26

Dado que los signos se alternan, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )3232 pq − , así que: ( )323643269 26128 pqppqpqq −=−+−

5) ( )32323 151157512515751125 +=+++=+++ xxxxxxx

6) ( )32642264 261281268 wwwwwww −=−+−=−−+

7) ( )34312834698346129 541253002406430024012564 yxyyxyxxyxyxyx −=−+−=+−−

8) ( )332326496649632 16118108216108216118 +=+++=++++ bababababababa V.2.9 FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Sea n un número entero positivo. • La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es:

nn ba + es divisible por ba + . Por lo tanto: ( )( )12321 −−−− +−+−+=+ nnnnnn bbabaababa L • La suma de potencias iguales pares, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las bases a

menos de que sea posible transformarla en una suma equivalente de potencias impares. • La diferencia de potencias iguales, sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de las bases.

Esto es: nn ba − es divisible por ba − . Por lo tanto: ( )( )12321 −−−− ++++−=− nnnnnn bbabaababa L • La diferencia de potencias iguales pares, es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es:

nn ba − es divisible por ba + . Por lo tanto: ( )( )12321 −−−− +−+−+=− nnnnnn bbabaababa L Ejemplos. Factorizar las siguientes sumas de potencias iguales: 1) 33 ba + Solución. Las potencias son impares, entonces es divisible por ba + :

22

32

32

22

32

23

33

0

baba

babbab

abbabba

baababa

+−

−−

+

+

+−

−−

++

Por lo tanto: ( )( )2233 babababa +−+=+

2) 325 +k Solución.


27

555 232 +=+ kk , las potencias son impares, entonces es divisible por 2+k :

16842

032163216

168328

84324

42322

2322

234

2

2

23

3

34

4

45

5

+−+−

−−

+

+

+−

−−

+

+

+−

−−

++

kkkk

kkkk

k

kkk

kkk

kkkk

Por lo tanto: ( )( )16842232 2345 +−+−+=+ kkkkkk 3) 33 ba − Solución. La expresión es divisible por ba − :

22

32

32

22

32

23

33

0

baba

babbab

abbabba

baababa

++

+−

−

+−

−

+−

−−

Por lo tanto: ( )( )2233 babababa ++−=− 4) 7296 +x Solución:

666 3729 +=+ xx , las potencias son pares, entonces no es divisible por 3+x ni por 3−x .

Sin embargo, 7296 +x equivale a ( ) ( )3232 3+x , expresión que es factorizable ya que:


28

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) 21222

322

322

2222

322

2232

3322

99

09999

99

99

9

99+−

−−

+

+

+−

−−

++

xx

xx

xx

x

xx

xx

Por lo tanto: ( )( )8199729 2426 +−+=+ xxxx 5) 7296 −x Solución: Las potencias son pares, entonces es divisible por 3+x :

343812793

0729343729343

3438172981

812772927

2797299

937293

37293

2345

2

2

23

3

34

4

45

5

56

6

−+−+−

+

−−

−−

−

+

−−

−−

−

+

−−

−−

−+

xxxxx

xxxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxx

Por lo tanto: ( )( )3438127933729 23456 −+−+−+=+ xxxxxxx .

La expresión, 7296 +x también se puede expresar como ( ) ( )223 27−x , que es una diferencia de cuadrados, por lo tanto, su máxima factorización es: ( )( )2727729 336 −+=+ xxx y se puede ver la ventaja sobre el planteamiento anterior para obtener la máxima factorización. 6) 44 qp − Solución. Las potencias son pares, entonces es divisible por qp + :


29

3223

43

43

322

422

223

43

34

44

0

qpqqpp

qpqqpq

pqqpqqp

qpqpqqp

qppqpqp

−+−

+

−−

−−

−

+

−−

−−

−+

Por lo tanto: ( )( )322344 qpqqppqpqp −+−+=− . Factorizando por agrupación se obtiene su máxima factorización: ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )222244 qpqpqpqpqqppqpqp +−+=−+−+=− Este mismo ejercicio pudo hacerse factorizando la diferencia de cuadrados: ( )( )222244 qpqpqp −+=− y se puede ver la ventaja sobre el planteamiento anterior para obtener la máxima factorización. 7) 1287 −x Solución.

777 2128 −=− xx , la expresión es divisible por 2−x :

643216842

01286412864

643212832

321612816

1681288

841284

421282

21282

23456

2

2

23

3

34

4

45

5

56

6

67

7

++++++

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−−

xxxxxx

xxxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

Por lo tanto: ( )( )6432168422128 234567 ++++++−=− xxxxxxxx


30

V.2.10 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Ejemplos. 1) k10 es el MCM de k2 y de 5 2) 212ab es el MCM de a3 y de 24b 3) 42360 zyx es el MCM de 43xyz , de 235 yx , de z4 y de 3222 zyx . Para obtener el mínimo común múltiplo de monomios se encuentra el MCM de los coeficientes y a continuación se escriben las literales comunes y no comunes, dando a cada literal el mayor exponente que tengan las expresiones dadas. Ejemplos. Obtener el mínimo común múltiplo de los siguientes monomios: 1) 234 ba y 46ab el MCM es: 4312 ba 2) zyx 236 y 248 zxy

el MCM es: 24324 zyx

3) 3225 mjk y pkn52

el MCM es: pnmjk 532210

4) dcba 3238 y 24612 ecb el MCM es: 246324 decba 5) 26mn , 325 nm y nm312 el MCM es: 3360 nm 6) βα 33 , 2236 λβα y 4224 λδ

el MCM es: 422372 λδβα

7) 325 rspq , 324 rp , 223 sq y srp 448

el MCM es: 3424120 srqp

8) 3224 xa , 4236 ya , 5212 yx y 6360 ya

el MCM es: 633360 yxa Para encontrar el mínimo común múltiplo de polinomios primero se factorizan los polinomios dados en sus factores primos y después se multiplican (conservando el MCM en forma factorizada) los factores primos, comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplos. Obtener el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: 1) 55 +x y 1010 −x Tomando como factor común a 5 para la primera expresión: ( )15 +x


31

Tomando como factor común a 10 para la segunda expresión: ( )110 −x

∴ el MCM es: ( )( )1110 −+ xx

2) ( )21−a y 12 −a Factorizando cada una de las expresiones: ( ) ( )( )111 2 −−=− aaa

( )( )1112 −+=− aaa

∴ el MCM es: ( ) ( )11 2 +− aa

3) yxx 23 2+ y 22 4yx −

Tomando como factor común 2x para la primera expresión: ( )yxx 22 +

Factorizando la segunda expresión: ( )( )yxyx 22 −+

∴ el MCM es: ( )( )yxyxx 222 −+ 4) 22 484 bzbyzby +− y zcyc 22 66 − Tomando como factor común b4 para la primera expresión: ( )22 24 zyzyb +−

Factorizando el TCP: ( )24 zyb −

Tomando como factor común 26c para la segunda expresión: ( )zyc −26

∴ el MCM es: ( )2212 zybc −

5) 42 −x , 62 −− xx y 442 ++ xx Factorizando cada una de las expresiones:

( )( )2242 −+=− xxx

( )( )2362 +−=−− xxxx

( )22 244 +=++ xxx

∴ el MCM es: ( ) ( )( )322 2 −−+ xxx

6) 22 −+ kk , 342 +− kk y 1032 −− kk Factorizando todas las expresiones:

( )( )1222 −+=−+ kkkk

( )( )13342 −−=+− kkkk

( )( )251032 +−=−− kkkk ∴ el MCM es: ( )( )( )( )5312 −−−+ kkkk

7) 252 −z , 1253 −z y 102 +z Factorizando las expresiones:

( )( )55252 −+=− zzz


32

( )( )2555125 23 ++−=− zzzz ( )52102 +=+ zz

∴ el MCM es: ( )( )( )255552 2 ++−+ zzzz

8) aaxax 1452 −+ , xxx 4914 23 ++ y 234 187 xxx −+ Factorizando todas las expresiones:

( ) ( )( )27145145 22 −+=−+=−+ xxaxxaaaxax

( ) ( )2223 749144914 +=++=++ xxxxxxxx

( ) ( )( )29187187 222234 −+=−+=−+ xxxxxxxxx

∴ el MCM es: ( ) ( )( )927 22 +−+ xxxax

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Factorización Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

FACTORIZACIÓN CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Ejemplo. Sean los siguientes productos: ( )( ) 623 = , por lo que factores de son 3 y . ( )( ) 1025 = , por lo que factores de son 5 y 2 . ( )( )( ) 30235 = , por lo que factores de 30 son 5 , 3 y 2 . Nótese como el número 2 aparece como factor común de 6 , 10 y 30 porque cada uno de estos números se divide exactamente entre dicho factor común. Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los términos de un polinomio, se dice que es factor común de ellos. Ejemplos. 1) El término 23x es factor común de yx46 , de 39x y de 2212 yx− porque cada monomio puede

expresarse como el producto de 23x por otro término, es decir: ( )( )yxxyx 224 236 =

( )( )xxx 339 23 =

( )( )2222 4312 yxyx −=−

2) El término 24ab es factor común de 3228 ba , de 2320 ba− y de 38ab porque cada monomio puede expresarse como el producto de 24ab por otro término, es decir:

( )( )ababba 7428 232 =

( )( )2223 5420 aabba −=−

( )( )babab 248 23 = Factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una expresión matemática. Esto significa que factorizar es convertir una expresión en el producto indicado de sus factores. En toda expresión debe obtenerse la máxima factorización posible. Los tipos de factorización más utilizados se exponen a continuación. MONOMIO COMO FACTOR COMÚN Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los términos, se escogen las que tengan el menor exponente.

6 210


2

Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios. 1) El MCD de los coeficientes es , y las literales de menor exponente que aparecen en todos los términos son: 2a y b , por lo que el factor común es: ba22 Así que: ( )babababa 522104 2223 +=+

2) 42454335 21186 zyxzyxzyx −+ El MCD de los coeficientes es 3 , y las literales de menor exponente que aparecen en todos los términos son: 3x , 2y y z , por lo que el factor común es: zyx 233

Así que: ( )34222342454335 762321186 xzzyyxzyxzyxzyxzyx −+=−+

3)

4) ( )qpppqp +=+ 43312 2

5) ( )xxxxxxxxxx 4537283240245616 324235246 +−+−=+−+−

6) ( )6225332329254836534 132910779114637049 mmkkmmkkmkmkmkmkmkmk −+−+=−+−+

7)

( )2323442 523

215

23 effefefe +=+

8) ( )222236426442254763 56421155664422 λαβλαλαβλαλαλβαλαλβα +−−=+−− Nótese como no aparece en el factor común la literal β ya que no está en todos los términos del polinomio. POLINOMIO COMO FACTOR COMÚN En una expresión, cuando el máximo común divisor (MCD) de todos los términos es un polinomio entonces se puede descomponer como el producto de este factor común por un polinomio cuyo resultado sea la expresión original, tal y como se muestra a continuación. Ejemplos. Factorizar las siguientes expresiones. 1) ( ) ( )bakba +++5 El MCD de los todos los términos es: ( )ba+ Así que: ( ) ( ) ( )( )kbabakba ++=+++ 55 2) ( ) ( ) ( )nmsnmqnmr 3113836 −+−−−

El MCD de los todos los términos es: ( )nm 3− Así que: ( ) ( ) ( ) ( )( )sqrnmnmsnmqnmr 118633113836 +−−=−+−−− 3) ( ) ( )zyxpzyxzyxw 2342323 −+++−−−+ Esta expresión puede rescribirse como: ( ) ( ) ( )zyxpzyxzyxw 23423123 −++−+−−+

por lo que el MCD de los todos los términos es: ( )zyx 23 −+ Así que: ( ) ( ) ( )( )pwzyxzyxpzyxzyxw 41232342323 +−−+=−+++−−−+

4) ( ) ( )322 4334 aaaa −+− Esta expresión puede rescribirse como:

223 104 baba +2

( )mkkkmk +=+2


3

( ) ( )322 3434 −−− aaaa

El MCD de los todos los términos es: ( )234 −aa Así que: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )aaaaaaaaaaaaaa −−=−−=−−−=−−− 1343333434343434 222322

5) ( ) ( )( )197474749 22 ++=+++ zfefefez 6) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )152221022221024210 333333 +−=+−=−+−=−+− udcudcdcdcudcdcu 7) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )ycbxwwycwwbx −+−−+=+−++−+− 833383

8) ( ) ( ) ( )( )bcaaaabaac++−=+−++− 2222

2

21341

341

38

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común. En esos casos, se debe factorizar por agrupación, procedimiento que combina los dos métodos anteriores. Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios: 1) bwawbxax +++ Para los primeros dos términos se toma como factor común a x y para los otros dos a w : ( ) ( )bawbax +++

ahora, se factoriza el polinomio ( )ba+ : ( )( )wxba ++

( )( )wxbabwawbxax ++=+++∴ 2) yxayax 44 +++ El factor común para los primeros dos términos es a y para los otros dos es 4 : ( ) ( )yxyxa +++ 4

después, se factoriza el polinomio ( )yx + : ( )( )4++ ayx

( )( )444 ++=+++∴ ayxyxayax 3) 2961510 yxypypx −+− Para los primeros dos términos se toma como factor común a p5 y para los otros dos a y3 :

( ) ( )yxyyxp 323325 −+− ahora, se factoriza el polinomio ( )yx 32 − : ( )( )ypyx 3532 +−

( )( )ypyxyxypypx 3532961510 2 +−=−+−∴ 4) bdbcadac 3648 +−− El factor común para los primeros dos términos es a4 y para los otros dos es b3− :

( ) ( )dcbdca −−− 2324 después, se factoriza el polinomio ( )dc−2 : ( )( )badc 342 −−

( )( )badcbdbcadac 3423648 −−=+−−∴


4

5) 3103 2 ++ aa Esta expresión puede rescribirse como: 393 2 +++ aaa El factor común para los primeros dos términos es a3 : ( ) 333 +++ aaa

( )( )1333103 2 ++=++∴ aaaa

6) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )zxyxxxzyxxxxzxyxzxxzyxyx 3353355333515935 222222324 −+=−+=+−+=−−+

7) ( ) ( )232323233223 2222222222 −+−=−+−=+−− abyabxyabyxabxabyxyabx ( )( )2223 yxab +−= 8) ( ) ( ) ( )12121212221222 −+−−−=−++−−=−+−−+ aacabacacbabcacbaab ( )( )112 +−−= cba Otra forma de resolver este ejercicio es escribirlo como 1222 −+−+− cbcacab :

( ) ( ) ( ) ( )( )1211121222 −+−=+−−+−=+−−+− acbcbcbacbaacab FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales, es decir, es el cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, 29a es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de a3 . Se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP) al resultado que se obtiene de elevar al cuadrado un binomio:

( ) !!"!!#$"#$Perfecto

CuadradoTrinomio

binomiounde

Cuadrado

bababa 222 2 ++=+

Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, se debe cumplir que dos de sus términos sean cuadrados perfectos y que el otro término corresponda al doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadráticos. Ejemplos. Determinar si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. 1) 22 254016 yxyx ++ Primero se comprueba que dos términos sean cuadrados perfectos:

xx 416 2 =

yy 525 2 = el doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual al otro término: ( )( ) xyyx 40542 =

por lo tanto el trinomio, es un TCP. 2) 422 649636 baba ++ Comprueba que dos términos sean cuadrados perfectos:

aa 636 2 = 24 864 bb =

el doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual al otro término:


5

( )( ) 22 96862 abba = por lo tanto, el trinomio es un TCP. 3) 22 9104 mkmk ++ Primero se comprueba que dos términos sean cuadrados perfectos:

kk 24 2 =

mm 39 2 = el doble producto de las raíces cuadradas debe ser igual al otro término: ( )( ) kmkmmk 1012322 ≠=

por lo tanto el trinomio no es un TCP. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos, se separan por el signo que tiene el término que no lo es y finalmente se eleva el binomio al cuadrado. Ejemplos. Factorizar los siguientes TCP: 1) 49142 ++ xx Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:

xx =2 749 =

se separan por el signo del otro término ( )+ y el binomio se eleva al cuadrado: ( )27+x

( )22 74914 +=++∴ xxx

2) 22 44 baba +− Extrayendo las raíces de los términos cuadrados perfectos:

aa =2

bb 24 2 = se separan por el signo del otro término ( )− y el binomio se eleva al cuadrado: ( )22ba −

( )222 244 bababa −=+−∴ 3) 4236 10018081 qqpp +− Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:

36 981 pp = 24 10100 qq =

se separan por el signo del otro término ( )− y el binomio se eleva al cuadrado: ( )223 109 qp −

( )2234236 10910018081 qpqqpp −=+−∴

4) ( )222 76498436 bababa +=++

5) ( )222 5325309 yxyxyx −=+−

6) ( )26412648 51025100100 zwzzww −=+−

7) 2

22

134

32

16916

3916

94

+=++ fefefe

8) ( )26231226234662346122 3291241249 wtrntwwtrnrnwtrnrntw −=+−=−+


6

Operación: Completar un trinomio cuadrado perfecto Ejemplos. Completar los siguientes TCP: 1) 9___2 ++x Se extraen las raíces de los términos cuadrados perfectos:

xx =2 39 =

se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: ( )( ) xx 632 =

por lo tanto el TCP completo es: 962 ++ xx 2) 22 25___16 dc ++ Las raíces de los términos cuadrados perfectos son:

cc 416 2 =

dd 525 2 = se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: ( )( ) cddc 40542 =

por lo tanto el TCP completo es: 22 254016 dcdc ++ 3) 64 49___144 βα +− Extrayendo las raíces de los términos cuadrados perfectos:

24 12144 αα = 36 749 ββ =

se multiplican estos dos términos y se duplica el resultado: ( )( ) 3232 1687122 βαβα = por lo tanto el TCP completo es: 6324 49168144 ββαα +− 4) ___162 ++ xx

Se extrae la raíz del término cuadrado perfecto: xx =2

se divide el otro término entre la raíz obtenida: 1616=

xx


= y, finalmente, se eleva al cuadrado: 6482 =

por lo tanto el TCP completo es: 64162 ++ xx 5) ___4836 22 ++ aba

La raíz del término cuadrado perfecto es: aa 636 2 =


8648 baab

=


428 bb

= y, finalmente, se eleva al cuadrado: ( ) 422 164 bb =

por lo tanto el TCP completo es: 422 164836 baba ++ 6) ___312144 4510 ++ hgg

Extrayendo la raíz del término cuadrado perfecto: 510 12144 gg =


7


45

2612312 h

ghg

=


13226 hh

= y, finalmente, se eleva al cuadrado: ( ) 824 16913 hh =

por lo tanto el TCP completo es: 84510 169312144 hhgg ++ FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Una diferencia de cuadrados es el resultado del producto de dos binomios conjugados:

( )( )bababa −+=− 22 Esto implica que para factorizar una diferencia de cuadrados, se extraen las raíces cuadradas de los términos y se forma un binomio. Finalmente se expresa el producto de este binomio por su conjugado. Ejemplos. Factorizar las siguientes expresiones: 1) 42 −x Se extraen las raíces de los términos:

xx =2

24 = se forma el binomio: ( )2+x y se multiplica por su conjugado: ( )( )22 −+ xx por lo que: ( )( )2242 −+=− xxx

2) 42 1625 ba − Las raíces de los términos son:

aa 525 2 = 24 416 bb =

se forma el binomio: ( )245 ba + y se multiplica por su conjugado:

( )( )22 4545 baba −+ así que: ( )( )2242 45451625 bababa −+=− 3) ( )( )mkmkmk 81081064100 22 −+=− 4) ( )( )434386 3123129144 rnrnrn −+=− 5) ( )( )65651210 25725762549 ptptpt −+=− 6) ( )( )9687968718121614 16201620256400 hgfehgfehgfe −+=−

7)

−

+=− bababa

116

21

116

21

12136

41 22

8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222323 131313133113 wzzwzwzzwz −−−=−−−=−+− ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( )( )wzwzzwzwzz −−+−−=−−+−−= 131313131313


8

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxxn

n ++ 2

Para factorizar un trinomio de la forma cbxxn

n ++ 2 , donde nx es un cuadrado perfecto y n natural par, se expresa como producto de dos binomios cuyo primer término para ambos sea la raíz cuadrada de nx ,

es decir, 2n

x . Por su parte, los términos no comunes de este producto de binomios deben cumplir con la doble condición de que su suma sea igual al coeficiente b y su producto igual al coeficiente c . En general: • Si el término c es positivo entonces los dos números buscados tienen el mismo signo. Si b es

positivo los números son positivos. Si b es negativo los números son negativos. • Si el término c es negativo entonces los números buscados tienen signos contrarios y el signo del

número más grande es el mismo que el del coeficiente b . Ejemplos. Factorizar los siguientes trinomios: 1) 1072 ++ xx La raíz del primer término es: xx =2 el término c es positivo y b también lo es, por lo que los dos números buscados que sumados sean 7 y multiplicados sea 10 son positivos. Estos números son 5 y 2 . Por lo tanto: ( )( )251072 ++=++ xxxx

2) 24112 +− xx La raíz del primer término es: xx =2 el término c es positivo y b es negativo, por lo que los dos números buscados que sumados sean 11− y multiplicados sea 24 son negativos. Estos números son 8− y 3− . Por lo tanto: ( )( )3824112 −−=+− xxxx

3) 283 24 −+ kk La raíz del primer término es: 24 kk = el término c es negativo y b es positivo, por lo que los dos números buscados que sumados sean 3 y multiplicados sea 28− tienen signos contarios y el más grande es positivo. Estos números son 7 y 4− . Por lo tanto: ( )( )47283 2224 −+=−+ kkkk

4) 152 36 −− zz La raíz del primer término es: 36 zz = el término c es negativo y b también lo es, por lo que los dos números buscados que sumados sean 2− y multiplicados sea 15− tienen signos contarios y el más grande es negativo. Estos números son 5− y 3 . Por lo tanto: ( )( )35152 3336 +−=−− zzzz

5) ( )( )45209 4448 ++=++ wwww

6) ( )( )493613 55510 −−=+− mmmm

7) ( )( )3206017 2224 −+=−+ xxxx


9

8) ( )( )5157510 66612 +−=−− nnnn

9) ( ) ( ) ( )( )23438323869 22 −+=−+=−+ xxxxxx

10) ( ) ( ) ( )( )12525242584 3332336 −+=−+=−+ aaaaaa FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA cbxax ++2 Para factorizar un trinomio de la forma cbxax ++2 , se efectúa el siguiente procedimiento1: • Se multiplican todos los términos por el coeficiente a • Se expresa el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el

coeficiente a por b • Se factoriza aplicando el caso anterior • Se divide el resultado entre a de forma tal que no quede ningún cociente. Ejemplos. Factorizar los siguientes trinomios: 1) 276 2 ++ xx Multiplicando los términos del trinomio por 6 : ( ) ( ) ( )267666 2 ++ xx expresando el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el coeficiente 6 por el 7 : ( ) ( ) 12676 2 ++ xx aplicando el caso anterior de factorización se buscan dos números que sumados sean 7 y multiplicados sean 12 se tiene: ( )( )3646 ++ xx


336

246

63646

++=++

=++ xxxxxx

por lo tanto: ( )( )1223276 2 ++=++ xxxx 2) 232 2 −+ xx Multiplicando los términos del trinomio por 2 : ( ) ( ) ( )223222 2 −+ xx expresando el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el coeficiente 3 por el 2 : ( ) ( ) 4232 2 −+ xx aplicando el caso anterior de factorización se buscan dos números que sumados sean 3 y multiplicados sean 4− se tiene: ( )( )1242 −+ xx


112

242

21242

−+=−+

=−+ xxxxxx

por lo tanto: ( )( )122232 2 −+=−+ xxxx

3) 6135 24 −− kk Multiplicando los términos del trinomio por 5 : ( ) ( ) ( )6513555 24 −− kk expresando el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el coeficiente 5 por el 13 : ( ) ( ) 305135 222 −− kk

1 Generalmente a no es cuadrado perfecto y aún siéndolo no es de la forma cbxx

nn ++ 2 porque b no es entero.


10

aplicando el caso anterior de factorización se buscan dos números que sumados sean 13− y multiplicados sean 30− se tiene: ( )( )25155 22 +− kk se divide por 5 de forma que no queden cocientes: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )253

125

5155

525155 22

2222

+−=+−

=+− kkkkkk

por lo tanto: ( )( )2536135 2224 +−=−− kkkk 4) 9154 36 +− qq

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )341243641549415444 3332336 −−=+−=+− qqqqqq

( ) ( ) ( )( )343134

4124 33

33

−−=−− qqqq

( )( )3439154 3336 −−=+−∴ qqqq

5) 15148 2 −− xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )68208120814815814888 22 +−=−−=−− xxxxxx ( ) ( ) ( )( )3452

268

4208

+−=+− xxxx

( )( )345215148 2 +−=−−∴ xxxx

6) 1109 48 ++ αα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1999991091910999 4442448 ++=++=++ αααααα

( ) ( ) ( )( )191119

999 44

44

++=++

αααα

( )( )1911109 4448 ++=++∴ αααα

7) 334 2 −+ yy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )114124132414334444 22 −+=−+=−+ yyyyyy ( ) ( ) ( )( )1143

1114

4124

−+=−+ yyyy

( )( )1143334 2 −+=−+∴ yyyy

8) 24467 510 ++ zz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )47427168746724746777 55525510 ++=++=++ zzzzzz

( ) ( ) ( )( )476147

7427 55

55

++=++ zzzz

( )( )47624467 55510 ++=++∴ zzzz FACTORIZACIÓN DEL CUBO DE UN BINOMIO Una cantidad es cubo perfecto cuando es el producto de tres factores iguales, es decir, es el cubo de otra cantidad. Por ejemplo, 3125k es cubo perfecto, ya que es el cubo de k5 . El cubo de un binomio es de la forma:


11

( ) 32233 33 babbaaba +++=+ y cumple con las siguientes características: • Posee cuatro términos. • El primero como el último término son cubos perfectos • El segundo término es el triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz

cúbica del último. • El tercer término es el triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz

cúbica del último. Para verificar que la factorización de una expresión de cuatro términos es el cubo de un binomio se debe proceder de la siguiente manera: 1. Se ordena el polinomio en forma descendente o ascendente respecto a una literal. 2. Se extrae la raíz cúbica del primer y último términos del polinomio. 3. Se observa si todos los signos son iguales o si se alternan. 4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último y se compara

con el segundo término del polinomio dado. 5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último y se compara

con el tercer término de la expresión. 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos previos son iguales, se trata del desarrollo del cubo

de un binomio y se factoriza así: se forma un binomio con las raíces cúbicas del primer y último término del polinomio, con los signos que se obtengan (si todos los signos son iguales) o por el signo menos (si los signos se alternan). Finalmente, se eleva el binomio al cubo.

Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios: 1) 133 23 +++ kkk Se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

kk =3 3

113 = El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es: ( ) ( ) 22 313 kk = , que es igual al segundo término.

El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es: ( )( ) kk 313 2 = , que es igual al tercer término.

Dado que todos los signos son positivos, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )31+k , así que: ( )323 1133 +=+++ kkkk

2) 3292727 xxx −+− Se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

3273 =

xx −=−3 3 El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es: ( ) ( ) xx 2733 2 −=− , que es igual al segundo término.

El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es: ( )( ) 22 933 xx =− , que es igual al tercer término.


12

Dado que los signos se alternan, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )33 x− , así que: ( )332 392727 xxxx −=−+−

3) nmnmmn 2332 33 +++ Se ordena el polinomio con respecto a m : 3223 33 nmnnmm +++ se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

mm =3 3

nn =3 3 El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es: ( ) ( ) nmnm 22 33 = , que es igual al segundo término.

El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es: ( )( ) 22 33 mnnm = , que es igual al tercer término.

Dado que todos los signos son positivos, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )3nm + , así que: ( )33223 33 nmnmnnmm +=+++

4) 264369 1268 pqpqpq −+− Se ordena el polinomio con respecto a q :

643269 6128 ppqpqq −+− se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:

33 9 28 qq = 23 6 pp −=−

El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es:

( ) ( ) 26223 1223 pqpq −=− , que es igual al segundo término. El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es:

( )( ) 43223 623 pqpq =− , que es igual al tercer término. Dado que los signos se alternan, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es: ( )3232 pq − , así que: ( )323643269 26128 pqppqpqq −=−+−

5) ( )32323 151157512515751125 +=+++=+++ xxxxxxx

6) ( )32642264 261281268 wwwwwww −=−+−=−−+

7) ( )34312834698346129 541253002406430024012564 yxyyxyxxyxyxyx −=−+−=+−−

8) ( )332326496649632 16118108216108216118 +=+++=++++ bababababababa FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Sea n un número entero positivo. • La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es:

nn ba + es divisible por ba + . Por lo tanto: ( )( )12321 −−−− +−+−+=+ nnnnnn bbabaababa ⋯ • La suma de potencias iguales pares, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las bases a

menos de que sea posible transformarla en una suma equivalente de potencias impares.


13

• La diferencia de potencias iguales, sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de las bases. Esto es: nn ba − es divisible por ba − . Por lo tanto: ( )( )12321 −−−− ++++−=− nnnnnn bbabaababa ⋯

• La diferencia de potencias iguales pares, es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es:

nn ba − es divisible por ba + . Por lo tanto: ( )( )12321 −−−− +−+−+=− nnnnnn bbabaababa ⋯ Ejemplos. Factorizar las siguientes sumas de potencias iguales: 1) 33 ba + Solución. Las potencias son impares, entonces es divisible por ba + :

22

32

32

22

32

23

33

0

baba

babbab

abbabba

baababa

+−

−−

+

+

+−

−−

++

Por lo tanto: ( )( )2233 babababa +−+=+

2) 325 +k Solución.

555 232 +=+ kk , las potencias son impares, entonces es divisible por 2+k :

16842

032163216

168328

84324

42322

2322

234

2

2

23

3

34

4

45

5

+−+−

−−

+

+

+−

−−

+

+

+−

−−

++

kkkk

kkkk

k

kkk

kkk

kkkk


14

Por lo tanto: ( )( )16842232 2345 +−+−+=+ kkkkkk 3) 33 ba − Solución. La expresión es divisible por ba − :

22

32

32

22

32

23

33

0

baba

babbab

abbabba

baababa

++

+−

−

+−

−

+−

−−

Por lo tanto: ( )( )2233 babababa ++−=− 4) 7296 +x Solución:

666 3729 +=+ xx , las potencias son pares, entonces no es divisible por 3+x ni por 3−x .

Sin embargo, 7296 +x equivale a ( ) ( )3232 3+x , expresión que es factorizable ya que:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) 21222

322

322

2222

322

2232

3322

99

09999

99

99

9

99

+−

−−

+

+

+−

−−

++

xx

xx

xx

x

xx

xx

Por lo tanto: ( )( )8199729 2426 +−+=+ xxxx 5) 7296 −x Solución: Las potencias son pares, entonces es divisible por 3+x :


15

343812793

0729343729343

3438172981

812772927

2797299

937293

37293

2345

2

2

23

3

34

4

45

5

56

6

−+−+−

+

−−

−−

−

+

−−

−−

−

+

−−

−−

−+

xxxxx

xxxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxx

Por lo tanto: ( )( )3438127933729 23456 −+−+−+=+ xxxxxxx .

La expresión, 7296 +x también se puede expresar como ( ) ( )223 27−x , que es una diferencia de cuadrados, por lo tanto, su máxima factorización es: ( )( )2727729 336 −+=+ xxx y se puede ver la ventaja sobre el planteamiento anterior para obtener la máxima factorización. 6) 44 qp − Solución. Las potencias son pares, entonces es divisible por qp + :

3223

43

43

322

422

223

43

34

44

0

qpqqpp

qpqqpq

pqqpqqp

qpqpqqp

qppqpqp

−+−

+

−−

−−

−

+

−−

−−

−+

Por lo tanto: ( )( )322344 qpqqppqpqp −+−+=− . Factorizando por agrupación se obtiene su máxima factorización: ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )222244 qpqpqpqpqqppqpqp +−+=−+−+=−


16

Este mismo ejercicio pudo hacerse factorizando la diferencia de cuadrados: ( )( )222244 qpqpqp −+=− y se puede ver la ventaja sobre el planteamiento anterior para obtener la máxima factorización. 7) 1287 −x Solución.

777 2128 −=− xx , la expresión es divisible por 2−x :

643216842

01286412864

643212832

321612816

1681288

841284

421282

21282

23456

2

2

23

3

34

4

45

5

56

6

67

7

++++++

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−

+−

−−

xxxxxx

xxxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxx

Por lo tanto: ( )( )6432168422128 234567 ++++++−=− xxxxxxxx MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Ejemplos. 1) k10 es el MCM de k2 y de 5 2) 212ab es el MCM de a3 y de 24b 3) 42360 zyx es el MCM de 43xyz , de 235 yx , de z4 y de 3222 zyx . Para obtener el mínimo común múltiplo de monomios se encuentra el MCM de los coeficientes y a continuación se escriben las literales comunes y no comunes, dando a cada literal el mayor exponente que tengan las expresiones dadas. Ejemplos. Obtener el mínimo común múltiplo de los siguientes monomios:


17

1) 234 ba y 46ab el MCM es: 4312 ba 2) zyx 236 y 248 zxy

el MCM es: 24324 zyx

3) 3225 mjk y pkn52

el MCM es: pnmjk 532210

4) dcba 3238 y 24612 ecb el MCM es: 246324 decba 5) 26mn , 325 nm y nm312 el MCM es: 3360 nm 6) βα 33 , 2236 λβα y 4224 λδ

el MCM es: 422372 λδβα

7) 325 rspq , 324 rp , 223 sq y srp 448

el MCM es: 3424120 srqp

8) 3224 xa , 4236 ya , 5212 yx y 6360 ya

el MCM es: 633360 yxa Para encontrar el mínimo común múltiplo de polinomios primero se factorizan los polinomios dados en sus factores primos y después se multiplican (conservando el MCM en forma factorizada) los factores primos, comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplos. Obtener el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: 1) 55 +x y 1010 −x Tomando como factor común a 5 para la primera expresión: ( )15 +x

Tomando como factor común a 10 para la segunda expresión: ( )110 −x

∴ el MCM es: ( )( )1110 −+ xx

2) ( )21−a y 12 −a Factorizando cada una de las expresiones: ( ) ( )( )111 2 −−=− aaa

( )( )1112 −+=− aaa

∴ el MCM es: ( ) ( )11 2 +− aa

3) yxx 23 2+ y 22 4yx −

Tomando como factor común 2x para la primera expresión: ( )yxx 22 +

Factorizando la segunda expresión: ( )( )yxyx 22 −+


18

∴ el MCM es: ( )( )yxyxx 222 −+ 4) 22 484 bzbyzby +− y zcyc 22 66 − Tomando como factor común b4 para la primera expresión: ( )22 24 zyzyb +−

Factorizando el TCP: ( )24 zyb −

Tomando como factor común 26c para la segunda expresión: ( )zyc −26

∴ el MCM es: ( )2212 zybc −

5) 42 −x , 62 −− xx y 442 ++ xx Factorizando cada una de las expresiones:

( )( )2242 −+=− xxx

( )( )2362 +−=−− xxxx

( )22 244 +=++ xxx

∴ el MCM es: ( ) ( )( )322 2 −−+ xxx

6) 22 −+ kk , 342 +− kk y 1032 −− kk Factorizando todas las expresiones:

( )( )1222 −+=−+ kkkk

( )( )13342 −−=+− kkkk

( )( )251032 +−=−− kkkk ∴ el MCM es: ( )( )( )( )5312 −−−+ kkkk

7) 252 −z , 1253 −z y 102 +z Factorizando las expresiones:

( )( )55252 −+=− zzz

( )( )2555125 23 ++−=− zzzz ( )52102 +=+ zz

∴ el MCM es: ( )( )( )255552 2 ++−+ zzzz

8) aaxax 1452 −+ , xxx 4914 23 ++ y 234 187 xxx −+ Factorizando todas las expresiones:

( ) ( )( )27145145 22 −+=−+=−+ xxaxxaaaxax

( ) ( )2223 749144914 +=++=++ xxxxxxxx

( ) ( )( )29187187 222234 −+=−+=−+ xxxxxxxxx

∴ el MCM es: ( ) ( )( )927 22 +−+ xxxax

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

4-1

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es encontrar los factores, dado el producto.

Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como resultado la primera expresión.

Ejemplo: sí; 65xx3)2)(x(x 2 ++=++

Tenemos que, 2x + y 3)(x + son factores de 65xx 2 ++ , así pues, factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado.

Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos procedimientos. 1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común.

Ejemplos:

Factorizar los siguientes polinomios:

a) 2)a(a2aa 2 +=+

b) 3ab)10b(130ab10b 2 +=+

c) )3a15a(2a15a5a10a 232 ++=++

d) )y7bxx3abx(ab5ayxb35abx15axb5a 532254222423 −+=−+

e) )7a3bb5a6ab(2abb42a18abb30ab12a 3322442332 −+−=−+−

f) )5x7x2x(1x15ax75ax105ax30ax15a 322252423222 −+−=−+−

g) )x3aabx2(22axx66abx22a44ax 22n2n31n2n −+−=−+− ++

h) )yyxyy(xxyxyxyx 12m1nmn1nmn2mnnm2nnnm −−+−++ −−=−−



4-2

2. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.

Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos. a). Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: b)b)(a(aba 22 −+=− ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

Ejemplos:

1) )2y)(3x2y(3x4y9x 2242 −+=−=− 222 )(2y(3x)

2) 4ab)4ab)(5x5xb16a25x 222 −+=−=− ((4ab)(5x) 22

3) 2)2)(x4)(x(x

16x2

4

−++=

=−+=−+=−=− ](2)4)[(x)(x4)4)(x(x(4))(x 22222222

4)

− −+=−=3y

4x

3y

4x

9y

16x 22 22

3

y

4

x

b). Factorización de un cuadrado perfecto:

Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene:

22 b2abab)(a ++=+ 2 y también 222 b2abab)(a +−=−

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, así tenemos

que 24a es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a . Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo termino y elevando este binomio al cuadrado.

Ejemplos:

1) 1)1)(m(m1)(m12mm 22 ++=+=++

2) 20xy25y4x 22 −+ . Ordenando y factorizando, se tiene:

5y)5y)(2x(2x5y)(2x25y20xy4x 222 −−=−=+−

3) )8ax)(18ax(1)8ax(1x64a16ax1 2222422 −−=−=+− 4) 2y)2y)(3x(3x2y)(3x4y12xy9x 222 −−=−=+−



4-3

5) y)y)(2x(2xy)(2xy4xy4x 222 ++=+=++

6)

++=+=++

21

x21

x21

x41

xx2

2

7)

−−=−=+− 3b

4a

3b4a

3b4a

9bab23

16a 2

22

8)

−−=−=+−

3b

21

3b

21

3b

21

9b

3b

41 22

c). Factorización de una suma o diferencia de cubos.

Se sabe que: )babb)(a(aba 2233 +−+=+ y )babb)(a(aba 2233 ++−=−

Ejemplos:

1). Factorizar: 33 216y8x + . Llevándolo al tipo de suma de cubos tenemos:

)36y12xy6y)(4x(2x216y8x 2233 +−+=+=+ 33 (6y)(2x)

2). Factorizar: 44 192xyy81x − . Llevándolo al tipo de diferencia de cubos tenemos:

)16y12xy4y)(9y3xy(3x

192xyy81x22

44

++−=

=−=−=− ](4y)3xy[(3x))64y3xy(27x 3333

3). Factorizar: 827a 3 − . Se puede ver que es una diferencia de cubos, por lo que:

4)6a2)(9a(3a827a 23 ++−=−=− 33 (2)(3a)

4). Factorizar: 1x 3 +

1)x1)(x(x1x 23 +−+=+

5). Factorizar: 12564x 3 + .

25)20x5)(16x(4x12564x 23 +−+=+=+ 33 (5)(4x)

d). Factorización de cubos perfectos de binomios.

Se ha visto que: 32233 b3abb3aab)(a +++=+ y que: 32233 b3abb3aab)(a −+−=− . Ejemplos:

1) 4a)4a)(14a)(1(14a)(164a48a12a1 332 +++=+=+++



4-4

2) )6b)(a6b)(a6b(a

)6b(a2116bb108ab18aa535353

35315103569

−−−=

=−=−− +

3)

−−−=−=+−−

2b

32a

2b

32a

2b

32a

2b

32a

2ab

32a

8b

278a 32233 b

3. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

Ejemplos: Factorizar:

1) bxax5b5a +++ . Agrupando los términos que tengan algún factor común se tiene:

x)b)(5(a ++=+++ b)x(ab)5(a o también x)b)(5(a ++=+++ x)b(5x)a(5

2) b)a)(x(xabbxaxx 2 ++=+++=+++ a)b(xa)x(x

3) b)y)(8a(xby)8aybx8ax −+=+−+=−+− y)b(xy)8a(x

4) 2b)x)(a(p2bp2bxaxap −+=+−+=−−+ x)2b(px)a(p

5) c)bc)(ab(a

c2bcba 222

−−++=

=+−=++−=−−− 22222 c)(ba)c2bc(ba

6) b)yxb)(ayx(a2by2axyxba 2222 −−+++++−+=−+−+− =22 b)(yx)(a

7) b)11)(a(a1baba 2 −−+=+−−+=−−− 1)b(a1)1)(a(a

4. FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

Para factorizar el trinomio 3511x6x 2 −− se procede de acuerdo al siguiente procedimiento:

Primero. Se buscan dos números que al sumarlos nos den el coeficiente del termino de

primer grado (- 11) y que al multiplicarlos den el producto del coeficiente del término de segundo grado (6) por el término independiente (- 35)

Es decir: 11nm −=+ y 21035)6(mn −=−= Como la suma: 1121)(10 −=−+ y la multiplicación: 21021)10( −=− , resulta que: 10m = y 21n −= .



4-5

Segundo. El término de primer grado (- 11x) se descompone como la suma de mx + nx:

356x356x 22 −−+=−− 21x10x11x Tercero. Se factoriza por agrupamiento la expresión anterior:

7)5)(2x(3x

3521x10x6x 2

−+=+−+=

=−−++=−−+

5)7(3x5)2x(3x

35)21x(10x)(6x2

Por lo que:

7)5)(2x(3x3511x6x2 −+=−−

Ejemplos.

1) Factorizar: 3x14x 2 −+ . Siguiendo los pasos descritos:

1nm =+ y 42mn −= . Por lo que: m = - 6 y n = 7.

Entonces:

3)1)(7x(2x

3x14x 2

−+=+−+=

=+−+=−+−=−+

1)3(2x1)7x(2x

3)(6x7x)(14x37x6x14x 22

2) Factorizar: 36x9x 2 −+ . Siguiendo el procedimiento anterior:

6nm =+ y 27mn −= . Por tanto: m = -3 y n = 9

Entonces:

3)1)(3x(3x1)3(3x1)3x(3x39x3x9x36x9x 22 +−=−+−=−+−=−+ 3) Factorizar: 1124x4x 2 +− . De acuerdo al procedimiento empleado:

24nm −=+ y 44mn −= . Por tanto: m = - 2 y n = - 22

Entonces:

11)1)(2x(2x1)11(2x1)2x(2x1122x2x4x1124x4x 22 −−=−−−=+−−=+−

Para el caso del trinomio de la forma: x2 + bx + c en donde el coeficiente del término al cuadrado vale la unidad, también se procede en la misma forma.



4-6

Ejemplos: 1) Factorizar: 127xx 2 +− .

m + n = - 7 y mn = 12. Por tanto: m = - 3 y n = - 4, entonces:

4)3)(x(x3)4(x3)x(x124x3xx127xx 22 −−=−−−=+−−=+− 2) Factorizar: 1213aa 2 ++

m + n = 13 y mn = 12. Por tanto: m = 1 y n = 12

12)1)(a(a1)12(a1)a(a1212aaa1213aa 22 ++=+++=++=++ + 3) Factorizar: 145xx 2 −− .

m + n = - 5 y mn = - 14.Por tanto: m = + 2 y n = - 7

7)2)(x(x2)7(x2)x(x147x2xx145xx 22 −+=+−+=−−+=−− 5. FACTORIZACIÓN POR COMPLEMENTACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Algunas veces se puede factorizar un trinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c, si previamente se completa con él un trinomio cuadrado perfecto, este naturalmente bajo la hipótesis de que no lo es desde un principio.

Se empieza por sacar como factor común el coeficiente de x2 únicamente en los términos en las que está contenida la literal x. Posteriormente se divide entre dos al coeficiente que le haya quedado a x elevado a la primer potencia y a lo que resulta, se eleva al cuadrado, ésta es la cantidad que debe sumarse para complementar el trinomio cuadrado perfecto y restarse también inmediatamente después, para que no haya alteraciones.

Ejemplos: 1) Factorizar: 1124x4x 2 +− .

De acuerdo a lo indicado tenemos: 119)96x4(x 2 +−+− . Los tres primeros sumandos dentro del paréntesis forman el trinomio cuadrado perfecto. Por lo que:

2222 (5)3)][(2(x253)4(x11363)4(x −−=−−=+−−

Vemos que es una diferencia de cuadrados.

11)1)(2x(2x1124x4x 2 −−=−−+−=−−+−=+− 5)65)(2x6(2x5]3)5][2(x3)[2(x



4-7

2) Factorizar: 36x9x 2 −+ .

1)3)(3x(3x

36x9x 2

−+=

=−+++=−+++=

=−+=−−+=−−++=−+

2)12)(3x1(3x23

1x32

3

1x3

(2)3

1x331

3

1x93

9

1

9

1x

3

2x9 2

222

3) Factorizar: 3548x16x 2 +−

7)5)(4x(4x

3548x16x 2

−−=

=−−+−=−−+−=

=−−=−−=+−+−=+−

1)61)(4x6(4x12

3x41

2

3x4

12

3x41

2

3x1635

4

9

4

93xx16

222

6. RAZONES Y PROPORCIONES

La razón es un número abstracto que expresa sólo la relación que hay entre dos magnitudes, por lo que carece de unidades.

La razón es una fracción de dos magnitudes a y b, se escribe ba

, o bien, a : b y se lee: a

es a b.

Ejemplos: 1) Sean dos engranes A y B de 10 y 15 dientes respectivamente la razón de A a B es:

1510

, o sea 32

, o bien 2:3 que se lee 2 es a 3.

La razón de B a A es.1015

, o sea 23

, o bien 3:2 que se lee 3 es a 2.

2) La razón peras12pesos60

indica que una pera cuesta pesos$5.001260

= .

3) En 25 aciertos de un tirador, en 100 disparos, la razón es: 4:1o41

o10025



4-8

Proporciones.

La igualdad de dos razones se llama proporción. Cuando se aplican las razones a problemas es frecuente encontrar situaciones en que dos razones son iguales.

De modo que si ba

y dc

representan la misma razón, resulta la proporción dc

ba= , que

también puede escribirse como : a : b :: c : d y a : b = c : d y se lee "a es a b como c es a d”.

Las cantidades a, b, c y d se llaman términos de la proporción y sin importar que expresión se use, se dice que: a y d son los extremos; b y c son los medios

Por otra parte se les conoce como: a y c antecedentes b y d consecuentes Propiedades de las proporciones. 1. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Las

razones ba

y dc

son iguales si bcad = , propiedad fundamental.

2. En toda proporción, los medios se pueden intercambiar. Si tenemos: dc

ba= resulta:

db

ca= . (1)

3. En toda proporción, la suma de los dos primeros términos es al segundo, como la suma de

los dos últimos es al cuarto.

Partiendo de: dc

ba= . Sumándole la unidad a cada razón tendremos:

ddc

bba +=

+∴+=+ 1

d

c1

b

a (2)

4. En toda proporción la diferencia de los dos primeros términos es al segundo, como la

diferencia de los dos últimos es al cuarto;

Sea la proporción: dc

ba= . Restando la unidad a cada razón se tiene:

ddc

bba −=

−∴−=− 1

d

c1

b

a (3)

5. En toda proporción, la diferencia de los dos primeros términos es a su adición, como la

diferencia de los últimos es a su adición de ellos.

Igualando los cocientes de los miembros respectivos de las dos proporciones anteriores: Igualando los primeros miembros:



4-9

1baba=

+

−∴==

+

−+=

−1

b

b

ba

ba;

b

ba

b

ba (a)

Igualando los segundos miembros:

1dcdc=

+

−∴==

+

−+=

−1

d

d

dc

dc;

d

dc

d

dc (b)

Igualando (a) y (b), nos da: dcdc

baba

+

−=

+

− (4)

Para obtener el valor de un término desconocido en una proporción, debemos aplicar la propiedad fundamental de éstas y efectuar las operaciones necesarias.

Ejemplos:

1) Encuentre el valor de x si: 52

15x

= . Usando la propiedad fundamental, tenemos:

302(15)5x ==

Despejando: 65

30x ==

2) Encontrar los valores de a y b, si a - b = 12; c = 3 y d = 2. De acuerdo a la propiedad (3):

ddc

bba −=

−. Sustituyendo:

24b =∴==−

=2

b12;

2

1

2

23

b

12

Sabemos que a - b = 12. Sustituimos b:

36a =+=∴=− 24121224a

Comprobación: Según la propiedad (1):

32

2436

== ;d

c

b

a

Variación directamente proporcional.

Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento de la otra, o a una disminución de una corresponde una disminución de la otra, se dice que dichas cantidades son directamente proporcionales.



4-10

Sean x, y dos cantidades que varían en forma directamente proporcional; si a x1 le corresponde el valor y1, y a x2 le corresponde y2, se cumple la igualdad:

2

1

2

1

yy

xx

=

Para expresar que las cantidades x, y son directamente proporcionales, se escribe; y ∝∝ x

De acuerdo con la definición, se cumple que kxy= , donde k, es la constante de

proporcionalidad.

Para determinar la constante de proporcionalidad, basta conocer los valores correspondientes de x e y.

Si y toma el valor y1; cuando x toma el valor x1, se tiene:

kxy

1

1 =

Ejemplo:

Si la velocidad de un automóvil es constante, la distancia recorrida y el tiempo son directamente proporcionales, pues a mayor distancia recorrida corresponde mayor tiempo, y a menor distancia menor tiempo Si la distancia recorrida es de 300 Km en 4 horas. ¿Qué distancia se recorrerá en 7 horas?.

Representando por x a la distancia y por t al tiempo, se tiene:

x1 = 300, t1 = 4 y t2 = 7

Como: 2

1

2

1

tt

xx

= . Sustituyendo valores tenemos: 7

4

x

300

2

=

Despejando: km5254

2100x 2 ==∴= 24x(300)(7)

La constante de proporcionalidad en este caso está dada por ktx= , para encontrar su

valor se sustituye x1 y t1, o x2 y t2

Para: 300x1 = y 4t1 = , se tiene: km75k4

300== , en donde k, es la velocidad del automóvil.



4-11

Variación inversamente proporcional.

Dadas dos cantidades puede ocurrir, que, a todo aumento de una, corresponda una disminución para la otra, o que a toda disminución de una, corresponda un aumento para la otra. Entonces se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.

Sean x, y dos cantidades que varían en forma inversamente proporcional, si a x1 le

corresponde el valor y1 y a x2 el valor y2, se cumple la igualdad:

1

2

2

1

yy

xx

=

De acuerdo con la definición se cumple que: yx = k, donde k, es la constante de

proporcionalidad inversa.

Ejemplo:

Un tren recorre 300 km, la velocidad que lleva y el tiempo empleado en recorrer esa distancia, son cantidades inversamente proporcionales , a mayor velocidad corresponderá menor tiempo, y a menor velocidad mayor tiempo.

Si la velocidad es de 20 km/hr y ocupa un tiempo de 15 minutos. ¿Qué velocidad lleva si ocupa 4 minutos?

Utilizando: v = velocidad y t = tiempo

v1 = velocidad correspondiente a t1 y v2 = velocidad correspondiente a t2,

Tenemos: 1

2

2

1

tt

vv

= . Sustituyendo: 3004v;15

4

v

202

2

==

Despejando: km/h754

300v 2 == , qué es la velocidad que lleva el tren al correr en 4

minutos la distancia de 300 Km. 7. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es una expresión de la forma ba

, donde a y b son polinomios.

Como se observa, la fracción algebraica es el cociente de dos cantidades que, en este

caso, son polinomios. a es el numerador o dividendo y b es el denominador o divisor.

Son fracciones algebraicas:

12bb2aba

bxyx

6x5x 322

7

63

+

−+−;;

Existen tres signos asociados en una fracción algebraica: el signo del numerador, el signo

del denominador y el signo resultante de la operación de la fracción.



4-12

Es decir: dc

dc

dc

ba

ba

−=−

=−

=−

−;

De lo anterior se observa que se pueden hacer cambios en los signos de una fracción, sin

que ésta se altere. a) La fracción algebraica es propia cuando el grado del numerador es menor que el grado

del denominador.

Ejemplos:

3y84yy

9a5a

3y2

6

2

3

2

−

−−

+−

−;;

b) Una fracción algebraica es impropia cuando el grado del numerador es igual o mayor que

el grado del denominador.

Ejemplos:

32b5b2b

2a44aa

23

5

2

2

−−

+

−

−+;

c) Una fracción algebraica es simple cuando el numerador y el denominador son

polinomios.

Ejemplos:

bb3b5b365yb

3x12a5a

234

232

+−+

++

−

++;

d) Una fracción es compuesta cuando existe, por lo menos, una fracción, en el numerador ó .

Ejemplos:

52a38a5a

6

2aa4a

12a1

10a43a

11a2a

3

2

−

+++

+−

−+

−−

+

;

8. SIMPLIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES.

Se dice que una fracción esta expresada en su forma más simple, cuando el numerador y el denominador no tienen factor común, excepto la unidad.

Esta operación sólo puede ejecutarse previa factorización del numerador y denominador de una fracción, puesto que en tales condiciones, naturalmente si las hay, pueden suprimirse los factores comunes del numerador y denominador. Cuando se hace esto se dice que tales factores se simplifican, no que se anulan, puesto que toda expresión dividida entre sí misma da la unidad por cociente.

Ejemplos:



4-13

1) 8bb2ab16a

22

32

=

2) 4x62x

242x2x 2

−=+

+−=

+

−−=

+

−−

3x

3)4)(x(x

3)2(x

12)x2(x2

3) 2

2

32

23

5m6a

25m35amm30a42a

=−

−=

−

−

5m)(7a5m

5m)(7a6a2

2

4) 2

32

222

5243

3bx2a

x3bx18abx2ax12a

=+

+=

+

+

x)x(6a3b

x)(6ax2a2

42

5) 1a1a

12aa2

−=−

−=

−

+−

1a

1)(a 2

6) yxyx

yxy2xyx

22

22

+

−=

−+

−=

−

+−

y)y)(x(x

y)(x 2

7) a

dcaba

bdadbcac2

+=

+

++=

+

+++=

+

+++

b)a(a

b)d)(a(c

b)a(a

d)b(cd)a(c

8)

bababa

)b(a)b(ab)(a

22

222

332

−

++=

−+

++−+

−+

++−+=

−

−+

=

=

22

222

2

222

b)(ab)(a

)babb)(a(ab)(a

b)]b)(a[(a

)babb)(a(ab)(a

9. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las operaciones con fracciones algebraicas se efectúan de la misma forma que en aritmética, pero en álgebra intervienen expresiones con signos y que contienen números y literales.

1. Suma y resta de fracciones.

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se procede en forma análoga a como se

efectúa en aritmética, o sea: d

cbadc

db

da ++

=++

Ejemplo:

2xyc8a

2xyc

2xy5a

2xy3a −

=−+

=−+2xy

c5a3a

Si los denominadores de las fracciones son diferentes, entonces cada fracción se convierte

a una fracción equivalente con el mínimo común múltiplo, m.c.m., de los denominadores, como



4-14

nuevo denominador común de los denominadores.

Ejemplo:

6xy2xy

3y1

6x1 +

=+

Para efectuar la suma o resta, se procede como se indica a continuación:

1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible 2. Se obtiene el m.c.m. de los denominadores, si son diferentes, éste será el nuevo

denominador común. 3. Se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores dados y el cociente se multiplica

por el numerador correspondiente. 4. Se agrupan todos los numeradores resultantes en una sola fracción que tiene como

denominador el m.c.m. encontrado. 5. Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador de la nueva fracción. 6. Se reducen términos semejantes en el numerador y, 7. Se simplifica, la fracción resultante; si es posible.

Ejemplos:

1) 127a

65a

43a

32a

+++

El 12 es el denominador común y se divide entre cada uno de los denominadores para tener:

=+++

=+++12

1(7a)2(5a)3(3a)4(2a)127a

65a

43a

32a

Efectuando las operaciones: 12

7a10a9a8a +++=

Reduciendo términos semejantes: 12

34a=

Se simplifica la fracción: 6

17a=

2) Procediendo igualmente para este ejemplo y los siguientes:



4-15

22

22

ba)b2(a

baba

baba

−

+=

−

+=

+−+++=

+−

−−+++=

+

−+

−

+=

−

22

22

22

2222

ba

2b2a

ba

b2abab2aba

b)b)(a(a

b)b)(a(ab)b)(a(a

3)

22

22

22

xa6xax3a

x)x)(a(aa3x

xa3x

xa2a

−

++=

−

++++−=

−+

++++−=

+−

++

−+

+=

22

2222

22

xa

a3x3x3ax2ax2a

x)x)(a(a

a3xx)3x(ax)2a(a

4)

2

2

2

x12xx

x1x1

x11

x

−

++=

−

+++−=

−

++++−+−

−+

+++−+−+=

−

++

++

=

=

2

323

2

322

2

x1

xx2xx

x1

xxx1x1)xx(1

x)x)(1(1

x))(1x(1x)(1x)x)(1x(1

5)

6055a89x

53x

62a7x

45a13x

−=

−+−−=

=−−−−

=−−

−−

60

36x20a70x75a195x60

12(3x)2a)10(7x5a)15(13x

6) 0

c)c)(b(a1

c)b)(b(a1

c)b)(a(a1

=−−−

−++−−=

=−−−

−+−−−=

−−+

−−−

−−

c)c)(bb)(a(a

bacacb

c)c)(bb)(a(a

b)(ac)(ac)(b

7)

1x1x

1x1x

1x4x

22x1x

22x1x

2

2

2

+

−=

−+

−=

=−

+−=

−

+−=

−

+−=

=−

++−−+−++=

=−+

++−−−−++=

=−

+−

−−

+

−−

−

+=

−

+−

−−

+

−−

−

+

1)1)(x(x

1)(x

1x

12xx

1)2(x

1)2x2(x

1)2(x

24x2x

1)2(x

22x8x12xx12xx

1)1)(x2(x

1)2(x2(4x)1)1)(x(x1)1)(x(x

1x

1x

1x

4x

1)2(x

1x

1)2(x

1x

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2. Multiplicación de fracciones.

La multiplicación de fracciones algebraicas se efectúa en la forma análoga a como se lleva a cabo en aritmética es decir: 1. Para multiplicar un entero por un quebrado ó un quebrado por un entero, se multiplica el



4-16

entero por el numerador y se deja el mismo denominador.

Ejemplo:

cab

cba =

2. Para multiplicar entre sí dos ó más quebrados el producto de sus numeradores se divide

entre el producto de sus denominadores.

Ejemplo:

bdface

fe

dc

ba

=

Ejemplos:

1) 35z12y

7x4y

5z3x

===35xz

12xy

5z(7x)

3x(4y)

2) 2

9x105x

3x2x

3015x 2

=−

−=

−

−=

−

−

10)2(5x

10)3x(3)(5x

10)2x(5x

30)(15x3x 2

3) 1ba

aba

1a

ba 22

=−+

−+=

−+

−=

−+

−

b)b)(a(a

b)b)(a(a

b)b)(aa(a

)ba(a 22

4) 2

222

2

22

yy)(xx

axyyx

y)a(xxy

yxa −

=+

−+=

+

−=

−

+ y)(xy

y)y)(x(xx

y)a(xaxyy

)yxy(xxa2

2

2

2222

5)

1x

)x(xx1

x1

x1

3

3423

+=++−−+=

=++−

=++−

=++−

232

33

234

3

2

xxxx1x

1)(xxx

xx1)x(x

x

xx1

6)

x)x(11x2x

1x1

x12x

x11

2

+

++=

+

++=

=+

++−=

−

−+

++−=−

−+

+

x

1

x1

1x2x

x

1

x1

2x2xx1

x

x1

x)x)(1(1

x)2x(1x1

2

2

7)

2

24

x1xx

1x1

x1x1

x

++=

−++−++−+=

−+++=−

++

+=−+++ =

2

232324

2222

x

xxxx1xxxx

x

x1x

x

x1x1

x

1x1

x

1x



4-17

8)

2y)x)(x(a

yx)n6(m

nmn)(m

12yx

n)(mxa 22222

3

−+=

+−+

−++−++=

+

−

−

+−

+

+=

y)n)(x(mn)12(m

n)n)(m(mn)y)(my)(xx)(x6(a3

2

3. División de fracciones.

La división de fracciones algebraicas se efectúa en la misma forma que en aritmética. Se presentan los siguientes casos. 1. Para dividir un quebrado entre un entero siempre que se puede se divide el numerador

entre el entero y se deja el mismo denominador, si no es posible, se multiplica el denominador por el entero y se deja el mismo numerador.

Es decir:

bca

cba

=

Ejemplos:

725

9x85

895

72

78

16

87

16

==== ;

2. Para dividir un entero entre un quebrado, se multiplica el entero por el inverso del

quebrado.

Lo que podemos representar como: bac

cba

==b

ca

3. Para dividir un quebrado entre otro, se multiplica el quebrado dividendo por el quebrado

divisor invertido.

bcad

dcba

==c

d

b

a

Ejemplos: 1) Realizar la siguiente división:



4-18

x

6ab

9b2ax3b4a

3

2

2

===

2

323

2

2

6axb

b36a

2ax

9b

3b

4a

2) Dividir 8

4xx 2 + entre

416x 2 −

. Dividiendo:

4)2(xx

416x

84xx

2

2

−=

−+

+=

−

+

−

+

−

+

=

=

4)4)(x8(x

4)4x(x

16)8(x

4x)4(x

16x

4

8

4xx2

2

2

2

3) Dividir 22x

x3

− entre

1x2x−

. Dividiendo:

24x3

1x2x

22xx3

=−

−=

−

−=

−

−=

−

−

1)2x2x(x

1)3(x

2x

1x

2)x(2x

3

1x

2x2)x(2x

3

4) Dividir yx

y)(x 2

−

+ entre 2y)(x

yx−

+. Dividiendo:

22

2

2

yx

y)(xyxyx

y)(x

−=−+=+−

−+

+

−

−

+

−

+

−

+

=

= y)y)(x(x

y)y)(x(x

y)(xy)(x

yx

y)(x

yx

y)(x 2222

5) Dividir 1x

xx

−+ entre

1xx

x−

− . Dividiendo:

2xx

1xx

x

1xx

x

−=

−=

−=

−−

+−=

−

−−−

+−

=

−−

−+

2)x(x

x

2xx

x

xxx

xxx

1x

x1)x(x1x

x1)x(x2

2

2

2

2

6) Dividir 33

33

xaxa

+

− entre 22 xaxa

xa+−

−. Dividiendo:



4-19

xaxaxa

x))(axaxx)(a(a)xax)(axaxx)(a(a

x))(ax(a)ax)(ax(a

xaxaxa

xaxa

xaxaxaxaxa

22

22

2222

33

223322

33

33

22

33

33

+

++

−+−+

+−++−

−+

+−−

−

+−

+

−

+−

−+

−

==

==

=

x

7) Dividir baba

baba

+

−−

−

+ entre

baba

1+

−+ . Dividiendo:

ba2b

baba

1

baba

baba

−=

−=−=

+

+−

−+−++

=

=

+

−++

+−

−−+

=

+

−++

+−

−−−++

=

+

−+

+

−−

−

+

b)2a(a

4ab

2aba

4ab

ba

2ab)b)(a(a

b2abab2aba

ba

babab)b)(a(a

b)(ab)(a

ba

b)(ab)(ab)b)(a(a

b)b)(a(ab)b)(a(a

2222

22

nombre del plantel: conalep tehuacán 150 · cuadrado de un binomio ... (5x−8y−6z)2 = (5x)2 +...

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